Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1
Δυνάμεις φυσικών αριθμών Δύναμη ονομάζουμε το γινόμενο πολλών ίσων παραγόντων Πχ: 8 8= 64, 4 4 4= 64, 3 3 3 3= 81. Έτσι, το γινόμενο ενός φυσικού αριθμού α που αποτελείται από ν παράγοντες ίσους με α, ονομάζεται νιοστή δύναμη του α και συμβολίζεται με α ν : α ν = α α α α... α ν παράγοντες Ο φυσικός αριθμός α ονομάζεται βάση της δύναμης και ο ν εκθέτης, ενώ η δύναμη α ν λέγεται άλφα στη νιοστή. α ν εκθέτης Βάση Όταν ο εκθέτης είναι ο αριθμός 2, τότε η δύναμη α 2 λέγεται άλφα στο τετράγωνο. Αυτό συμβαίνει γιατί το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς α ισούται με α α = α 2. α Όταν ο εκθέτης είναι ο αριθμός 3, τότε η δύναμη α 3 διαβάζεται άλφα στον κύβο. Αυτό συμβαίνει γιατί ο όγκος ενός κύβου ακμής α ισούται με α α α = α 3. α www.ma8eno.gr Σελίδα 2
Για τους υπόλοιπους εκθέτες ν η αντίστοιχη δύναμη του α αποκαλείται κανονικά α στη νιοστή : α 1 άλφα στην πρώτη, α 4 άλφα στην τετάρτη κοκ. Για να έχει μια δύναμη νόημα θα πρέπει να είναι ν 1. Δεν ορίζεται η δύναμη 0 0. Για ν = 1 ορίζουμε α 1 =α Στην περίπτωση που είναι ν = 0, τότε το α 0 δεν είναι δύναμη αλλά ένα σύμβολο που εμείς ορίζουμε συμβατικά να έχει τιμή 1, δηλαδή α 0 =1 με α 0. Το γινόμενο 1 1 1. 1 ισούται πάντα με 1, ανεξάρτητα με το πόσες φορές επαναλαμβάνεται. Άρα: 1 ν =1 Το γινόμενο 0 0 0. 0 ισούται πάντα με 0, ανεξάρτητα με το πόσες φορές επαναλαμβάνεται. Άρα: 0 ν = 0, (ν 0). α, όταν ν = 1 α ν = 1, όταν ν = 0 α α α α... α όταν ν > 0 ν παράγοντες www.ma8eno.gr Σελίδα 3
Παραδείγματα Να υπολογίσετε τις δυνάμεις Α) 2 2, 2 3, 2 4 Β) 3 2, 3 3, 3 4, 3 5 Λύση Από τον ορισμό της δύναμης έχουμε: Α) 2 2 = 2 2 = 4 2 3 = 2 2 2 = 8 2 4 = 2 2 2 2 = 16 60 2 = 60 60 = 3.600 70 2 = 4.900 Β) 3 2 = 3 3 = 9 3 3 = 3 3 3 = 27 3 4 = 3 3 3 3 = 81 www.ma8eno.gr Σελίδα 4
Να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α. 5 2 + 4 2 = 25 +16 = 41 Β. (5 + 4) 2 = 9 2 = 81 Γ. 5 3 + 4 3 = 125 + 64 = 189 Δ. (5 + 4) 3 = 9 3 = 729 Ε. 5 3-4 3 = 125-64 = 8.000 Να γράψετε σύντομα τις παραστάσεις Α) 2+2+2+2 = 4 2 = 8 Β) 2 2 2 2 2 2 = 2 6 = 64 Δυνάμεις του 10 Η νιοστή δύναμη του 10, δηλαδή η 10 ν, είναι ίση με τον αριθμό που προκύπτει όταν δεξιά του 1 γράψουμε ν μηδενικά. Με τη βοήθεια των δυνάμεων του 10 κάθε αριθμός γράφεται στην αναπτυγμένη του μορφή ως εξής: α β γ = α 100 + β 10 + γ = α 10 2 + β 10 + γ Παραδείγματα 10 2 = 100 10 4 = 10.000 1.000 = 10 3 1.000.000 = 10 6 www.ma8eno.gr Σελίδα 5
Οι αστροφυσικοί έχουν ανακαλύψει στο διάστημα περίπου 500.000.000 γαλαξίες. Αυτό γράφεται και ως: 5 100.000.000 100.000.000 = 10 8 500.000.000 = 5 10 8 Το 34.720 αναπτύσσεται ως εξής: 34.720 = 3 10.000 + 4 1.000 + 7 100 + 2 10 + 0 1 = = 3 10 4 + 4 10 3 + 7 10 2 + 2 10 1 + 0 10 0 = 3 10 4 + 4 10 3 + 7 10 2 + 2 10 1. ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ Όταν θέλουμε να εκτελέσουμε πράξεις σε αλγεβρικές παραστάσεις ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα : Α) Αν έχουμε παρενθέσεις, κάνουμε πράξεις στις παρενθέσεις με την σειρά : Δυνάμεις - πολ/μοί και διαιρέσεις - προσθέσεις και αφαιρέσεις. Β) Μετά εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα προσέχοντας το πρόσημο, ( όταν έχουμε μείον ( - ) έξω από την παρένθεση κατά την εφαρμογή της επιμεριστικής, αλλάζουμε τα πρόσημα ) Γ) Κατόπιν, αφού δεν έχουμε πλέον παρενθέσεις, εκτελούμε τις πράξεις με την σειρά : Δυνάμεις - Πολ/μοί και διαιρέσεις προσθέσεις και αφαιρέσεις. Δ) Αν έχουμε άθροισμα κλασμάτων, τα κάνουμε ομώνυμα (όχι στον πολ/μό ). Ε) Στα αθροίσματα είναι πιο εύκολο να θέτουμε πρώτα τους Θετικούς αριθμούς και μετά τους Αρνητικούς αριθμούς. www.ma8eno.gr Σελίδα 6
Παραδείγματα Να υπολογίσετε τις παραστάσεις 3 3-2 4 + 2 3 2 = 27 16+2 9 = 27-16 + 18 = 29 3 5 2 = 3 25 = 75 3 5 2 + 2 = 3 25 + 2 = 75 + 2 = 77 5 2 + 2 2 = 3 25 + 4 = 75 + 4 = 79. 5 + 2 2 = 3 5 + 4 = 15 + 4 = 19. 3 (5 + 2 ) 2 = 3 7 2 = 3 49 = 147. 3 2 + 3 3 + 2 3 + 2 4 = 9 + 27 + 8 +16 = 60. (13-2 ) 4 + 5 3 2 =14.641 + 5 9 = 14.641 + 45 = 14.686. Παραδείγματα 2 3 ( 2 ) ( 3) ( 1) ( 15 ) : ( 3) 3 ( 2) 16 : ( 8 4) + + + + + = ( 2) ( 3) 1 ( 15 ) : ( 3) 3 ( 8) 16 : ( 4) ( 2) ( 3) + 1+ ( 5) 3 ( 8) + 16 : ( 4) = ( 2) [ 3+ 1 5] + 24 4 = ( 2) ( 7) + 24 4 = + + + + = + 14 + 24 4 = 38 4 = 34 www.ma8eno.gr Σελίδα 7
2 3χ 4 = + + + 2 3 2 3χ + 4= χ + 2 3 2 3χ χ = 2 42 3 2 2 4 χ = 3 1 1 2 6 12 2χ = 3 3 3 16 2χ = 3 16 χ = :2 3 16 1 ( ) χ ( ) χ = 3 2 16 8 χ = = 6 3 www.ma8eno.gr Σελίδα 8
Aπό τα χρόνια της αρχαιότητας πριν τη χρονολογία γέννησης του Χριστού, διάφοροι λαοί (Βαβυλώνιοι, Αιγύπτιοι, Έλληνες, Κινέζοι), είχαν αρχίσει να ξεχωρίζουν τους πολλαπλασιασμούς που οι παράγοντές τους ήταν ίσοι αριθμοί, από τους κοινούς πολλαπλασιασμούς που οι παράγοντές τους διέφεραν μεταξύ τους. Στον Πάπυρο του Αχμές-Ρίντ (Αρχαίο μαθηματικό αιγυπτιακό χειρόγραφο που φυλάσσεται στο Βρετανικό Μουσείο του Λονδίνου) διαβάζουμε ένα πρόβλημα: Σε καθένα από 7 σπίτια ζούν 7 γάτες. Κάθε γάτα τρώει 7 ποντικούς, κάθε ποντικός τρώει 7 στάχυα, από κάθε στάχυ μπορούμε να γεμίσουμε 7 δοχεία σιτάρι. Πόσα είναι όλα τα δοχεία; Επίσης το παιδικό νανούρισμα: Όταν πήγαινα στο Σαιντ ϊβς Συνάντησα έναν άνθρωπο με εφτά συζύγους, Κάθε μια τους είχε εφτά σάκους Κάθε σάκος είχε εφτά γάτες Κάθε γάτα είχε εφτά γατάκια. Γατάκια, γάτες, σάκοι και γυναίκες, Πόσοι πήγαιναν στο Σαιντ ϊβς; Μπορείτε να συσχετίσετε την απάντηση του συνολικού αριθμού έμβιων ταξιδιωτών (γατιών και ανθρώπων) και ταξιδιωτικών αντικειμένων (σάκων), με το προηγούμενο παράδειγμα του αθροίσματος των δυνάμεων του εφτά; www.ma8eno.gr Σελίδα 9
www.ma8eno.gr Σελίδα 10