ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ (α + β) = α + αβ + β α + β + γ = 0, α 0 = β ± β 4αγ α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Πράξεις με Πραγματικούς αριθμούς. Μονώνυμα - Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα - Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων Αξιοσημείωτες ταυτότητες Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων Διαίρεση πολυωνύμων Ε.Κ.Π και Μ.Κ.Δ. ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις Πράξεις Ρητών παραστάσεων
ΕΝΟΤΗΤΑ Η : Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΕΝΟΤΗΤΑ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ.. Ποιές είναι οι ιδιότητες των πράξεων της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού; Οι ιδιότητες των πράξεων της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού παρουσιάζονται στον επόμενο πίνακα: Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός Ιδιότητα α + β = β + α α. β = β. α αντιμεταθετική (α + β) + γ = α + (β + γ) α. ( β. γ ) = ( α. β ). γ προσεταιριστική α + 0 = α α + ( α) = 0 α. ( β + γ ) = α. β + α. γ α. = α α α =, α 0 α. 0 = 0 επιμεριστική.. Να γράψετε τους ορισμούς και τις ιδιότητες των δυνάμεων. Ορισμοί: Ιδιότητες: Αν α πραγματικός αριθμός και ν φυσικός με ν Με την προϋπόθεση ότι κάθε φορά ορίζονται οι δυνάμεις και οι πράξεις που σημειώνονται έχουμε: τότε ορίζουμε: α ν = ααα... α. α μ. α ν = α μ+ν ν παραγοντες Για ν = ορίζουμε α = α. Για α 0, ορίζουμε α 0 = και Είναι α ( ) β β α ν = ( )ν α ν = ν α., α, β 0. α α μ ν = α μ ν. α ν. β ν = (α. β) ν ν ν α 4. = ν β ( α β ) 5. (α μ ) ν = α μν.. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α;. Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, ονομάζουμε τον θετικό αριθμό που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, μας δίνει τον αριθμό α. Δηλαδή α =, τότε = α ή ( ) α = α. Ακόμα ορίζουμε 0 = 0..4. Να αποδείξετε ότι α β = αβ, με α, β 0. Υψώνουμε κάθε μέλος της ισότητας στο τετράγωνο και έχουμε: Από το ο μέλος: ( α β) α β = α.β = ( ) ( ) Από το ο μέλος: ( αβ ) = α.β
4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Αλγεβρικές Παραστάσεις Άρα ( α β) = ( αβ) και επομένως α β = αβ..5. Να αποδείξετε ότι α β = α β με α 0 και β > 0. Υψώνουμε κάθε μέλος της ισότητας στο τετράγωνο και έχουμε: Από το ο μέλος: Από το ο μέλος: Άρα α β = α β α β α β = ( α ) ( β ) = α β και επομένως = α β α β =.5.. Αν α > 0 και β > 0 τότε α+ β α + β Η ισότητα α+ β = α + β ισχύει αν ένας τουλάχιστον είναι ίσος με 0. α β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α Ομάδα.6. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 6 0+ (4 y ) Α = 00 ( + ( z) + ( y+ z) ) y, αν είναι + y = 00. [Απ. Α=-00].. Αν = και y = 0, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α = 5. ( y y) [Απ. - 48 5 ].7. Να βρείτε την τιμή της παράστασης Π = 5 7 8 ( ) 4 6 [Απ. Π=].. Δείξτε ότι + + + 7+ 4 = 6..4. Δείξτε ότι 4 6 9 6 =..8. Να μετατρέψετε την παράσταση: (5 5 + 5 5 + 5 5 + 5 5 + 5 5 ).(.. ) σε δύναμη με βάση το 0..9. Να μετατρέψετε την παράσταση: ( ) : +. + σε δύναμη με βάση το. [Απ. 0 ] [Απ. 7 ].5. Να γίνουν οι πράξεις: α) 4 β) 45 5 4.6. Να εκτελέσετε τις πράξεις: 0 6 α) β) 5 [Απ. α) β)] [Απ. α) β)].0. Αν ισχύει + 4y = 5 να αποδείξετε ότι το κλά- y σμα Α = + y y.. Αν = 0,0 και y = 0 έχει σταθερή τιμή., να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης Α = [Απ. Α=] 7 5 ( y ) : y. [Απ. Α=000].7. Να εξετάσετε αν η παράσταση: 6 + 8 8 + 8 είναι πολλαπλάσιο του 7. [Απ. 4=πολ.7].8. Αν α, β είναι μη αρνητικοί αριθμοί, να υπολογίσετε την παράσταση: 49 β + 4β + α α. [Απ. 7]
ΕΝΟΤΗΤΑ Η : Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς 5.9. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: Α = 4 + και Β = 8 0 [Απ. Α=+, Β=4-5 ].5. Να βρείτε το αποτέλεσμα: + 5 + 5 5 + 5 [Απ. 7].0. Αν, y είναι μη αρνητικοί αριθμοί, τότε να δείξετε ότι η παράσταση: 5 y y y y είναι ίση με μηδέν... Να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου με μια πλευρά cm και αντίστοιχο ύψος cm. [Απ. Ε=cm ].. Να βρείτε το αποτέλεσμα: i) 6 6+ ii) 9 + 9 [Απ. i)5 ii)4].. Αν Α = + και Β = 8, να υπολογιστούν οι παραστάσεις: Α+Β, Α Β, Α. Β. [Απ. Α+Β= -, Α-Β= -, ΑΒ=].4. Να απλοποιήσετε οι παραστάσεις i) Α = + 7 ii) Β = 8+ + 5 8 8 [Απ. i)α=6 ii)β= ].6. Να λύσετε την εξίσωση: = 5 ( ).7. Να λύσετε την εξίσωση: 5 = + 5+.8. Να αποδείξετε ότι η τιμή της παράστασης 5 7 + : είναι ίση με 6. +.9. Να αποδείξετε ότι: 5 60 : 5 + 5 =. 5 [Απ. =] [Απ. = 5 ].0. Ένα τραπέζιο έχει βάσεις 7 cm και cm και ύψος cm. Πόσες φορές είναι μεγαλύτερο το εμβαδόν του από το εμβαδόν τετραγώνου πλευράς 5 cm; [Απ. φορές] β Ομάδα.. Να αποδείξετε ότι ( ) + ( + ) =... Να συμπληρώσετε το παρακάτω τετράγωνο ώστε να γίνει μαγικό, δηλαδή όλες του οι γραμμές, οι στήλες και οι διαγώνιοι να έχουν το ίδιο άθροισμα. 9 50 8.. Να υπολογιστεί η παράσταση 8 + 4 8 + 4 0 0 4 [Απ. 6]
6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Αλγεβρικές Παραστάσεις ΕΝΟΤΗΤΑ. ΜΟΝΩΝΥΜΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ.. Τι ονομάζουμε αλγεβρικές παραστάσεις; Οι εκφράσεις που περιέχουν μεταβλητές, λέγονται αλγεβρικές παραστάσεις.... Για παράδειγμα, αλγεβρικές παραστάσεις είναι: 5, 4α, α + 9β,,6κ 4 + λμ.. Τι ονομάζουμε αριθμητική τιμή μιας αλγεβρικής παράστασης; Αν σε μια αλγεβρική παράσταση αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές με αριθμούς και εκτελέσουμε τις πράξεις που σημειώνονται, προκύπτει ένας αριθμός που λέγεται αριθμητική τιμή της αλγεβρικής παράστασης.... Για παράδειγμα: Αν για α = η τιμή της αλγεβρικής παράστασης α 5α 8 είναι ( ) 5( ) 8 =.4 + 0 8 = + 0 8 = 4... Τι ονομάζουμε μονώνυμο; Μονώνυμο ονομάζουμε την αλγεβρική παράσταση που σημειώνεται μόνο η πράξη του πολλαπλασιασμού.... Παραδείγματα μονωνύμων:, α, 5, α β 4, 4,5κ 6 λ μ 9..4. Ποια μονώνυμα λέγονται όμοια; Δύο ή περισσότερα μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος λέγονται όμοια μονώνυμα..4.. Για παράδειγμα: Τα μονώνυμα α βγ 5, 9α βγ 5,,7α βγ 5 είναι όμοια..5. Πως βρίσκουμε το άθροισμα όμοιων μονωνύμων; Το άθροισμα όμοιων μονωνύμων είναι ένα όμοια με αυτά μονώνυμο που έχει συντελεστή το άθροισμα των συντελεστών τους..5.. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Το άθροισμα των όμοιων μονωνύμων 5α β, α β, α β είναι: 5α β + α β + ( α β) = (5 + )α β = 4α β..6. Τι ονομάζουμε πολυώνυμο; Πολυώνυμο ονομάζουμε την αλγεβρική παράσταση που είναι άθροισμα μονωνύμων που δεν είναι όμοια..6.. Για παράδειγμα:, 5α β +,α β, 6μ 5 μν + 4 μ νρ 5.
ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η : Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα 7.7. Πως βρίσκουμε το γινόμενο μονωνύμων; Το γινόμενο μονωνύμων είναι ένα μονώνυμο που έχει συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών τους και ως κύριο μέρος όλες τις μεταβλητές με εκθέτη σε καθεμιά το άθροισμα των εκθετών τους..7.. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Το γινόμενο των μονωνύμων α β, 4 αβ5 γ 4, αβγ 5 είναι: (α β).( 4 αβ5 γ 4 ).( αβ) = ( 4 )( )α αα.ββ 5 β.γ 4 γ.) = α4 β 7 γ 9..8. Πως βρίσκουμε το πηλίκο δύο μονωνύμων; Το πηλίκο δύο μονωνύμων βρίσκεται, όπως και στους αριθμούς, με πολλαπλασιασμό επί τον αντίστροφο του διαιρέτη..8.. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: () α 5 β γ : ( α βγ) = α 5 β γ. α βγ () ( 0 y ω) : ( 5y 4 ω) = ( 0 y ω). 4 5y ω 5 5 αβγ = = β γ α = 4α β. αβγ α β γ 0 y ω = = 0 y ω 4 4 5y ω 5 y ω = y..8.. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Στο προηγούμενο παράδειγμα βλέπουμε ότι το πηλίκο δύο μονωνύμων ΔΕΝ είναι πάντοτε μονώνυμο. ΑΣΚΗΣΕΙΣ.9. Να βρείτε ποιες από τις επόμενες παραστάσεις είναι μονώνυμα i) α β γ ii),4 4 y 5 iii) y iv) 4 6 ω - v) vi) (+ 5 )κλ.0. Αν +y = να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: ( ) + y(y ) + y [Απ. 0].. Να αντικαταστήσετε τα κενά με τα κατάλληλα μονώνυμα στην ισότητα α) α y 7α y 5 y 5 + 7α y + + = 5α y β) 0,6α β γ + α γ 5 α β γ + + 4γ α = α γ.. Για ποια τιμή του κ η αλγεβρική παράσταση (5κ+4)α 4 β γ είναι το μηδενικό μονώνυμο;.. Να βρείτε ποια από τα επόμενα μονώνυμα, y, y, y, y,, είναι όμοια..4. Να κάνετε τις πράξεις: i) y y y + y ii) y ω ωy 5y ω y ω + 6 iii) κ λ μ 4 κ λ μ 4,5κ μ 4 λ + 4 4 5 κ λ μ 4.5. Δίνονται τα μονώνυμα α y β+, y 4 β. Να βρείτε τις τιμές των α, β ώστε τα παραπάνω μονώνυμα να είναι όμοια. [Απ. α=, β=].6. Να προσδιορίσετε τους ακέραιους αριθμούς κ, μ ώστε να είναι μονώνυμο η αλγεβρική παράσταση: α κ+ + 5α μ+.7. Να προσδιορίσετε τους ακέραιους αριθμούς λ, μ ώστε να είναι μονώνυμο η αλγεβρική παράσταση: α y μ+7 + α λ+ y.8. Να κάνετε τις πράξεις: i) y. ( y 4 ) ii) ( ). ( ) iii) 5 y ω. 5 ( 5 y ω) 8 iv) y. ( 4 y). ( 4 y 6 ) v) y. ( α β γ). 4α γ 5. ( α βγ ).9. Να κάνετε τις πράξεις: i) ( ) αβ. ( β α 5 ). ( αβ 4 γ) ii) ( y ω). ( ) 4 ω y α 4 αy
8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Αλγεβρικές Παραστάσεις iii) ( κλ μ ). ( κ 4 λμ ). 5 6 ( ) μκλ 4 4 5 4 6 v) ( α β y) ( αβ y ) ( a y ).0. Να κάνετε τις πράξεις: i) 8 : ( 6 5 ) ii) ( 4α 9 β 7 ) : (6α 5 β ) iii) ( 8α β ) : (9α β) iv) 0y 4 z : ( 5 y 4 z 5 ).. Να εκτελέσετε τις πράξεις: i) [ y 4. ( 6 y)] : ( 4 5 y 7 ) ii) [( 4α β ). α 5 ). ( α 6 β)] : ( 4α β 5 4 ) iii) ( α 5 ) : ( 9 4 α 4 4 ) 4 iv) ( κλμ) :( κλ) :( μλ) 4
ΕΝΟΤΗΤΑ Η : Πολυώνυμα - Πρόσθεση & Αφαίρεση πολυωνύμων 9 ΕΝΟΤΗΤΑ. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ..Τι ονομάζουμε αναγωγή των όμοιων όρων; Αν σε μια αλγεβρική παράσταση αντικαταστήσουμε τους όμοιους όρους με το άθροισμά τους, η εργασία αυτή λέγεται αναγωγή των όμοιων όρων.... ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: 5α α +6β + + 9β α + β + α = 4α α + 4β +. ΑΣΚΗΣΕΙΣ..Να κάνετε τις αναγωγές των όμοιων όρων i) 4 + 5 + 7 + + 4 ii) 5 4 + 7 4 + 4 5 iii) α + + α + 5 4 iv) α 6α + 5α + α α 4 + 4..Αν Α = +, Β = ++5 και Γ = να βρεθούν τα επόμενα αθροίσματα i) Α + Β ii) Α + Β + Γ iii) Α Β Γ.4.Να κάνετε τις πράξεις: i) [(5 ) + 4 ( +6)] + ( 5) ii) 5α (α +α ) + [ (α α 4) + ( +6α)].5.Να εκτελέσετε τις πράξεις: i) ( ) [ ( )] { [+4 ( )]} ii) { [ ( )]+} { + [+( ) ] } 4
0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Αλγεβρικές Παραστάσεις ΕΝΟΤΗΤΑ 4. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 4.. Πως πολλαπλασιάζουμε μονώνυμο με πολυώνυμο; Για να πολλαπλασιάσουμε μονώνυμο με πολυώνυμο, πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με κάθε όρο του πολυωνύμου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν. 4... ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: (α β).(αβ β γ + 4) = 6α β α β γ + 8α β. 4.. Πως πολλαπλασιάζουμε δύο πολυώνυμα; Για να πολλαπλασιάσουμε δύο πολυώνυμα, πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο του ενός με κάθε όρο του άλλου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν. 4... ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: (α ).(α α 4) = α α 4α α + 6α + 8 = α 5α + α + 8 4... ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Όταν κάνουμε τον πολλαπλασιασμό μονωνύμου με πολυώνυμο ή δύο πολυωνύμων, λέμε πολλές φορές ότι αναπτύσσουμε τα γινόμενα αυτά και το αποτέλεσμα λέγεται ανάπτυγμα του γινομένου. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4.. Να γίνουν οι πράξεις: ( y)y + (y+y )( ) + (+y)( y) (+)y. Μετά να βρείτε την αριθμητική τιμή του εξαγόμενου για = και y =. 4.4. Να δείξετε ότι η αλγεβρική παράσταση (α α+) (α+)(α ) (α +) + α έχει σταθερή τιμή για τις διάφορες τιμές των α,. 4.5. Να εκτελέσετε τις παρακάτω πράξεις και μετά να βρείτε την αριθμητική τιμή του εξαγόμενου για τις τιμές των μεταβλητών που αναφέρονται. α) (+)( + ) ( )(+), =. β) ( y y )( y) (+y) ( y)( y ), =, και y =. 4.6. Να γίνουν οι πράξεις: α) ( ) 4 (+) + 4( ) β) 5 ( +4) +( )( 4 ) ( ) γ) α(α αβ+β ) β (α β)( αβ) 4α β δ) [ (+4) ] [ + ( )] 5 ε) α{αβ [α ( αβ+4)] + } (α ) 4.7. Να αντικατασταθούν οι παρακάτω αστερίσκοι έτσι, ώστε να ισχύει κάθε μια από τις ισότητες: α) *. (4β 7β+8) = 8β 49β + 56β β) *. ( +8 7) = 6 5 + * * γ) 5α β ( * 9β + * ) = 0α 5 β 7 * + α 4 β 9 4.8. Να εκτελέσετε τους πολλαπλασιασμούς: α) (+)( ) β) ( +4)( 5) γ) (+)( )(+5) δ) (+)(+)(+) 4.9. Να εκτελέσετε τους πολλαπλασιασμούς: α) (κ )( κ)(κ ) β) μ(μ )(4μ+)( μ) γ) ( )( 5)( +5 ) δ) (α+)( α)(α α )(4 α ) 4.0. Να γίνουν οι πράξεις:
ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η : Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων i) ( )( ) + ( +)( + ) ii) α(α+)( α) (α +α )( α+α ) 4.. Αν Α = α α+, Β = α+ και Γ = α να βρεθούν τα εξαγόμενα: Α. Β, Β. Γ, Α. Γ και Α. Β + Β. Γ Γ. Α. 4.. Αν Κ = 4, Λ = και Μ = + να βρεθούν τα εξαγόμενα: K. Λ, Λ. Μ, Κ. Μ και K. Λ Κ. (Λ. Μ Κ. Μ). 4.. Να εκτελέσετε τις πράξεις: 5 7 y y y y ( y)(4 y) ( )( ) ( ) 4.4. Ένα τραπέζιο έχει βάσεις, και ύψος. Ένα τετράγωνο έχει πλευρά. Να βρείτε το λόγο των εμβαδών του τραπεζίου και του τετραγώνου. [Απ. 4 ]
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Αλγεβρικές Παραστάσεις ΕΝΟΤΗΤΑ 5. ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 5..Τι ονομάζουμε ταυτότητα; Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές των μεταβλητών αυτών λέγεται ταυτότητα. 5... ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ: (i) α(α ) = α α (ii) ( + )( + 5) = + 7 +0 (iii) κ + λ = (κ + λ) κλ Τετράγωνο αθροίσματος 5..Να αποδείξετε την ταυτότητα (α + β) = α + αβ + β. Είναι : (α + β) = (α + β)(α + β) = α + αβ + βα + β = α + αβ + β. 5... ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ: (i) (α + ) = α + α. + = α + 6α + 9. (ii) (5 + 4y) = (5) +. 5. 4y + (4y) = 5 + 40y + 6y. (iii) (μ + 4 ν ) = (μ ) +. μ. 4 ν + ( 4 ν ) = 4μ 6 + μ ν + 6 ν4. Τετράγωνο διαφοράς 5..Να αποδείξετε την ταυτότητα (α β) = α αβ + β. Είναι : (α β) = (α β)(α β) = α αβ βα + β = α αβ + β. 5... ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ: (i) (β ) = β β. + = β β +. (ii) ( 6 + 7α) = (7α 6 ) = (7α). 7α. 6 + (6 ) = 49α 84α + 6 4. 4 4 4 4 κ (iii) 4λμ = κ + 4λμ = κ + 4λμ = κ +. 4 κ. 4λμ + (4λμ ) 8 = κ + 4κ 4 λμ + 6λ μ 6. 4
ΕΝΟΤΗΤΑ 5 Η : Αξιοσημείωτες ταυτότητες Κύβος αθροίσματος 5.4.Να αποδείξετε την ταυτότητα (α + β) = α + α β + αβ + β. Είναι : (α + β) = (α + β)(α + β) = (α + β)(α + αβ + β ) = α + α β + αβ + βα + αβ + β = α + α β + αβ + β. Κύβος διαφοράς 5.5.Να αποδείξετε την ταυτότητα (α β) = α α β + αβ β. Είναι : (α β) = (α β)(α β) = (α β)(α αβ + β ) = α α β + αβ βα + αβ β = α α β + αβ β. Γινόμενο αθροίσματος επί διαφορά 5.6.Να αποδείξετε την ταυτότητα (α + β)(α β) = α β. Είναι : (α + β)(α β) = α αβ + βα β = α β. 5.6.. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ: (i) (9α + βy)(9α βy) = (9α) (βy) = 8α 4β y. (ii) ( μ 5 + λ ν )(μ 5 + λ ν ) = (λ ν μ 5 )( λ ν + μ 5 ) = (λ ν ) (μ 5 ) = λ 6 ν 4 9μ 0. Διαφορά κύβων Άθροισμα κύβων 5.7.Να αποδείξετε τις ταυτότητες (i) α β = (α β)(α + αβ + β ). (ii) α + β = (α + β)(α αβ + β ). (i) Το ο μέλος της ταυτότητας γράφεται: (α β)(α + αβ + β ) = α + α β + αβ βα αβ β = α β. (ii) Το ο μέλος της ταυτότητας γράφεται: (α + β)(α αβ + β ) = α α β + αβ + βα αβ + β = α + β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α Ομάδα 5.8.Να βρείτε τα αναπτύγματα: α) ( + 5) β) ( ) γ) (α 7β) δ) (y + ) ε) ( 4y) στ) (α αβ ) 5.9.Να βρείτε τα αναπτύγματα: α) ( + 4y) β) (7α β ) γ) (α α ) δ) ( 4a + α β) ε) ( 5 6 y 4 y ) στ) ( αβ γ 6 βγ ) 5.0.Να βρείτε τα αναπτύγματα: y ) α) ( α + β 4 ) β) ( + 4 γ) ( α 4 β5 ) δ) ( 4 y 6 y ) 5..Να μετατρέψετε την παράσταση (α + β) + (αγ + βγ) σε μία δύναμη. 5..Να συμπληρώσετε τα κενά έτσι ώστε να προκύψουν τέλεια τετράγωνα και μετά να τα γράψετε ως τέλεια τετράγωνα: α) + α + β) 4 + 4y + γ) 9α 6αβ + δ) + 4y +
4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Αλγεβρικές Παραστάσεις ε) 5α + 4β + στ) 8μ + 49ν ζ) 40y + 6 + η) 60κλ + 9κ + θ) μ ν + 4ν 4 + 5..Να συμπληρώσετε τα κενά έτσι ώστε να προκύψουν τέλεια τετράγωνα και μετά να τα γράψετε ως τέλεια τετράγωνα: α) α αβ + β) α + 4 + γ) + 6 5 + δ) 49α6 + β 8 + ε) 9 4 6y + στ) 5 4 a 5β + 5.4.Αν (α+β) = α + β +, να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α, β είναι αντίστροφοι. 5.5.Να αποδείξετε ότι η αριθμητική τιμή της παράστασης Α = (ν+) (ν ) είναι πάντοτε πολλαπλάσιο του 4, όταν ο ν παίρνει ακέραιες τιμές. 5.6.i) Να συγκρίνετε τους αριθμούς κ + λ και κλ. ii) Με τη βοήθεια της προηγούμενης σύγκρισης να αποδείξετε ότι: α + β + γ αβ + βγ + γα. 5.7.Να βρείτε τα γινόμενα: α) (4+)(4 ) β) (αβ+)(αβ ) γ) (5α β )(5α+β ) δ) ( y 4 a )( y 4 +a ) 5.8.Να βρείτε τα γινόμενα: α) (7a+4β)(4β 7α) β) ( 5 y ω )(ω + 5 y ) γ) (4α 9β y)( 4α 9β y) δ) ( a 4 κ)( a 4 κ ) 5.9.Να βρείτε τα γινόμενα: α) (+y )(+y+) β) (+y ω)(+y+ω) γ) (α+β γ)(α β+γ) δ) ( + +)( +) ε) (α +β y)(α++β+y) 5.0.Αν α =, β = +, να υπολογιστούν: αβ( α + β ) i) α.β ii) α + β iii) α+ β [Απ. i) ii) iii)6] 5..Να βρείτε τα αναπτύγματα: α) ( + 4) β) ( ) γ) ( y) δ) (y + ) ε) ( + y) στ) ( a α ) 5..Να γίνουν οι πράξεις: α) (α+β) (α β) 5β β) ( α) (α β)(α+β ) ( β) γ) ( +y ) (y + ) + ( y )( +y ) δ) (+) + ( ) + (+)( ) ( 5) 5..Να εκτελέσετε τις πράξεις: α) (+) +( ) +( ) (+) + (+)( ) (+)( ) β) (+5) ( 5) + ( ) (+) ( )(+) γ) (+) + (+)( ) (+)( ) ( )( ) δ) ( +) + ( ) ( +4) + ( ) + ( )( +) 5.4.Να αποδείξετε ότι: (+)( )( ) ( ) ( )( 5) + 5 = 0( ). 5.5.Αν α = 4 5 και β = 6 0 τότε: i) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης α β. ii) Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α και β είναι αντίθετοι. 5.6.Οι κάθετες πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου ΑΒΓ δίνονται από τις ισότητες β = 7 6 7+ 6 και γ = +. 4 4 4+ 4 Να βρείτε την περίμετρο και το εμβαδόν του τριγώνου. [Απ. Π=0, Ε=0] 5.7.Αν αφαιρέσουμε από το τετράγωνο του ημιαθροίσματος δύο αριθμών, το τετράγωνο της ημιδιαφοράς τους, βρίσκουμε τον αριθμό. Να εξετάσετε αν οι αριθμοί αυτοί είναι αντίστροφοι. 5.8.Να αποδείξετε ότι ο αριθμός ρ = 0 + 5 λύση της εξίσωσης: 0 + 50 = 0. είναι 5.9.Αν 6y + y 8y + 8 = 0 α) Να δείξετε ότι: ( y) + (y ) = 0. β) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου Α(,y) που επαληθεύουν την παραπάνω εξίσωση. [Απ. β)α(6,)] 5.0.Να αποδείξετε ότι: α) α β = (α β) + αβ(α β). β) α + β = (α + β) αβ(α + β). 5..Να εκτελεστούν οι πράξεις: α) ( ) (+) ( )(+) β) (+y) y( y)(+y) ( y) γ) (+) ( ) + ( )(+)( ) 5..Να βρείτε τα εξαγόμενα: i) (+) + (+) ( ) + (+)( ) + ( ) ii) ( y) ( y) (+y) + ( y)(+y) (+y) iii) (κ+λ) (κ λ) (κ+λ) (κ λ) + (κ+λ)(κ λ)
ΕΝΟΤΗΤΑ 5 Η : Αξιοσημείωτες ταυτότητες 5 iv) 5 y 5 + 5 y + 5 5..Να αποδείξετε ότι: α) (α+β) (α β) = 4αβ β) (α +β ) (αβ) = (α β ) α+β γ) ( ) α β ( ) + 5 y 5 y 5 + 5 + 5 y 5 y 5 + 5 = αβ δ) (+y) ( y) 5y = 0y ε) (α +4)( +) (α+) = ( α) στ) (α +β )( +y ) = (α+βy) + (αy β) 5.4.Να αποδείξετε ότι: ( ) α) αα+ αα ( ) = α 5.5.Αν μ > ν, να αποδείξετε ότι οι αριθμοί μ + ν, μ ν και μν είναι πλευρές ορθογώνιου τριγώνου. 5.6.Αν μ >, να αποδείξετε ότι οι αριθμοί μ, και μ + είναι πλευρές ορθογώνιου τριγώνου. μ 5.7.Να αποδείξετε ότι: α) (α+β) + (β+γ) + (γ+α) α β γ = (α+β+γ) β) ( +y +y) = y + (+y) ( +y ) γ) (α+β+γ) + (α+β γ) + (α β+γ) + (α β γ) = 4(α +β +γ ) 5.8.Να αποδείξετε ότι: ( +) ( +) ( ) + 7 = 5( 4 ) ( )(4 +) 5.9.Να υπολογίσετε τις αριθμητικές παραστάσεις: α) 999 + 998 + β) 00 + 00 γ) 00. 999 = (000+)( ) δ) 99 +. 99 +. 99 + ε) 0. 0 + 0 5.40.Να συμπληρώσετε τα κενά: i) (α + ) = + + 9β ii) (α + ) = + + 4 4 iii) ( y ) = 5 4 + iv) ( κ) = 4μ κ + v) ( + ) = 4α + 9β 4 + vi) ( ) = 9 9 + 5.4.Να συμπληρώσετε τα κενά: i) ( 5α + )( 8β ) = ii) ( )( + ) = α 8 4 9 β y 6 iii) ( )( + ) = α β 4 5.4.Να συμπληρώσετε τα κενά: i) ( + ) = 64α + + + 5β ii) ( + ) = 8α + α β + + iii) ( α) = 000 + 5.4.Να αποδείξετε τις ισότητες: i) (α+) = α(α ) + (α ) ii) (α+β) = α(α β) + β(β α) iii) ( +y ) ( +y ) + y (+y) = (y) 5.44.Αν = α β, y = αβ και ω = α +β, να αποδείξετε ότι θα είναι + y = ω. 5.45.Αν α = (+), β = ( ) και γ = α+8 τότε α- ποδείξτε ότι: α β + γ = (+) 5.46.Αν + y = και y =, να υπολογίσετε τις α- ριθμητικές τιμές των παραστάσεων: i) + y ii) + y [Απ.i) ii)6] 5.47.Αν + y = α και y = β, να αποδείξετε ότι: i) + y = α β ii) + y = α αβ 5.48.Αν α = 5 + και β = 5, να βρεθεί η τιμή των επόμενων παραστάσεων: i) Α = α αβ + β ii) Β = α + β αβ 5.49.Να βρεθούν δύο διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί που τα τετράγωνά τους να διαφέρουν κατά 99. [Απ.49, 50] 5.50.Αν α = 7, να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: α i) α + ii) α α α. [Απ.i)5 ii)64] 5.5.Αν > 0 και ( + ) = 9, να βρείτε την τιμή της παράστασης +. [Απ.8] 5.5.Να αποδείξετε τις επόμενες ανισότητες: i) α + β αβ ii) (α + β) 4αβ + iii)
6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Αλγεβρικές Παραστάσεις iv) α + α, α > 0 Πότε ισχύει η ισότητα σε κάθε μία από αυτές; 5.5.Στο παρακάτω σχήμα το τετράγωνο ΕΖΗΘ είναι εγγεγραμμένο στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. A Ε Β Να χρησιμοποιήσετε την ισότητα που προκύπτει από τα εμβαδά των δύο τετραγώνων και των ίσων τεσσάρων ορθογωνίων τριγώνων για να συμπεράνετε το Πυθαγόρειο θεώρημα, δηλαδή ότι: + y = z. 5.54.Δίνεται το επόμενο σχήμα: B Γ y z y ω ω Θ Η Ζ Γ A Μ Να χρησιμοποιήσετε την ισότητα που προκύπτει από τα εμβαδά των δύο σχημάτων για να συμπεράνετε το Πυθαγόρειο θεώρημα, δηλαδή ότι: + y = ω. y Β Ομάδα 5.55.Χρησιμοποιήστε το πιο κάτω σχήμα για να δικαιολογήσετε τον τύπο: (α + ) = α + 4α +4. [Απ. =7w] 5.6.Να υπολογίσετε τους αριθμούς α, β και γ οι ο- ποίοι ικανοποιούν την παρακάτω σχέση: α + β + γ α 4β 6γ + 4 = 0. [Απ. α=, β=, γ=] 5.6.Για το επόμενο σχήμα δίνεται ότι: Γ 5.56.Αν οι αριθμοί, y, z είναι πλευρές ορθογώνιου τριγώνου με υποτείνουσα το, τότε δείξτε ότι και οι αριθμοί α = + y + z, β = + y + z, γ = + y + z είναι πλευρές ορθογώνιου τριγώνου. 5.57.Να δείξετε ότι το γινόμενο τεσσάρων διαδοχικών φυσικών αριθμών αυξημένο κατά μια μονάδα είναι τέλειο τετράγωνο. Δηλαδή, ν(ν+)(ν+)(ν+) + = (ν +ν+). 5.58.Αν.y = 6 και y + y + +y = 5 να βρείτε την τιμή της παράστασης + y. [Απ. ] 5.59.Δίνεται η αλγεβρική παράσταση: Α = α 0αβ + 7β 8β + 8. α) Να μετασχηματίσετε την παράσταση Α σε ά- θροισμα τετραγώνων. β) Να βρείτε τις τιμές των α, β για τις οποίες η παράσταση Α παίρνει την ελάχιστη τιμή. [Απ. β)α=0, β=] Α y Ε Η Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. ΑΔ =, ΑΕ = y, ΑΓ = + y. Το εμβαδόν (ΔΕΖΗ) του τετραγώνου ΔΕΖΗ ισούται με τα του εμβαδού (ΑΒΓ) του τριγώνου 5 ΑΒΓ. Να υπολογίσετε: i) Το λόγο y ii) Το λόγο (ΑΔΕ) (ΑΒΓ) Ζ Β [Απ. i) ii) 5 ] 5.60.Για τους πραγματικούς αριθούς, y, z, w ισχύει η ισότητα + 0y + 0z + 9w = 6(y + yz + zw). α) Να μετασχηματίσετε την ισότητα ώστε στο ένα μέλος να γραφεί σαν άθροισμα τριών τέλειων τετραγώνων και στο άλλο μέλος το 0. β) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τους και w.
ΕΝΟΤΗΤΑ 6 Η : Παραγοντοποίηση Αλγεβρικών Παραστάσεων 7 ΕΝΟΤΗΤΑ 6. ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 6.. Τι ονομάζουμε παραγοντοποίηση; Η διαδικασία να μετατρέπουμε μια παράσταση από άθροισμα σε γινόμενο, λέγεται παραγοντοποίηση. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κοινός παράγοντας 6.. Να γίνουν οι παραγοντοποιήσεις: α) αβ 4αγ β) 6 + γ) y + 6y y δ) 5α β 5αβγ + 0αβ γ 6.. Να γίνουν οι παραγοντοποιήσεις: α) α( ) + β) κ(α ) + 6 α γ) α(+y) 7β(+y) (y+) 6.4. Να γίνουν οι παραγοντοποιήσεις: α) (α β) + (α+β) (α β) β(α +β ) β) (5α β)(4 y) + (y 4)α 6.5. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός: ν+ ν+ + ν είναι πολλαπλάσιο του 9. Ομαδοποίηση 6.6. Να μετατρέψετε σε γινόμενα τις αλγεβρικές παραστάσεις α) α + ay + + 6y β) 5y 5ω λω + λy γ) 4αy βy + αω βω δ) 5α + 6β 0yα 8yβ ε) y + y 6y στ) + + + ζ) α 5 + α 4 + α + α + α + 6.7. Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα: α) α + αβ β β) + y y γ) α 6α + 5α 0 δ) α α β αβ + β ε) 8y 4y 7αy + α στ) + y y ζ) αβ αβy αγ + αγy η) 5 + 5 6.8. Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα: α) + (5 y) 5y β) α(α γ) β(β γ) γ) ( β) + y(α ) α( β) δ) y(α +β ) + αβ( +y ) ε) κλ(μ ν ) + μν(κ λ ) 6.9. Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα: α) (α+β)(λ+μ) γλ γμ β) κ κy λ + λy + μ μy γ) α β + βy + γy γ αy δ) α β α + α + β αβ ε) y + yω + yφ + yφω + ω 6.0. Οι αριθμοί, y είναι μη μηδενικοί και διάφοροι μεταξύ τους. Αν + y + = τότε να δείξετε ότι οι y, y είναι αντίστροφοι. Διαφορά τετραγώνων 6.. Να κάνετε τις παραγοντοποιήσεις: α) 8α 49β β) y 7 y γ) 45 y 4 80ω δ) 0κ 5 y ε) 9 4 στ) 4 ζ) 8 ζ) 6α 6 49β 8
8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Αλγεβρικές Παραστάσεις 6.. Να υπολογίσετε τις αριθμητικές παραστάσεις: α) 00 β) γ) ε) 6, 7,69 4,6 004 84 94 94 δ) 540 46 077 5, 7, 97,4 6.. Να κάνετε τις παραγοντοποιήσεις: α) α β α + α + β αβ β) 8 4 6y 4 γ) 8 δ) 7 ε) 0 5 6.4. Να κάνετε τις παραγοντοποιήσεις: α) α 5α 4α + 0 β) y 8y + 7 γ) α 4α + 4 δ) α 5 + α 4 α ε) α + β αy βy στ) α α (y + z) ζ) 9α 4α 9β + 4β 6.5. Να μετατρέψετε σε γινόμενα τις αλγεβρικές παραστάσεις i) (5 6) 9 ii) (μ ν) 6ν iii) (α β) (β α) iv) ( 5y) 9(+y) v) 9(α β) 6(α+β) vi) (y z) 6.6. Αν ο είναι φυσικός αριθμός, τότε η παράσταση ( ++) είναι γινόμενο τεσσάρων διαδοχικών φυσικών αριθμών. 6.7. Να γίνουν οι παραγοντοποιήσεις: α) (4 8) (4 +) β) 5(4 ) ( ) γ) (5 )(+4) + ( 5)( ) +9 5 6.8. Αν ο κ είναι ακέραιος τότε δείξτε ότι ο κ κ γράφεται σαν γινόμενο τριών διαδοχικών ακεραίων. 6.9. Έστω ν θετικός ακέραιος και Α = ν ν + ν. i) Να παραγοντοποιήσετε τον Α. ii) Να βρείτε τις τιμές του ν, για τις οποίες ο Α είναι πρώτος αριθμός. [Απ. ii)ν=] Διαφορά & άθροισμα κύβων 6.0. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις i) α 5 ii) 8κ + 7 iii) 7α + 64β iv) 6ω v) 4 64 6.. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις i) 64 y 6 + 7 ii) 6 κ μ 8 iii) α 6 + 64β Ανάπτυγμα τετραγώνου 6.. Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα: α) + β) κ 4κy + 4y γ) 9 + 48y + 64y δ) 9 6 5 y + 4 5 y ε) + 4 y στ) + y 9 + 4 6.. Να μετατρέψετε σε γινόμενα τις αλγεβρικές παραστάσεις α) α(α+) + β) 9(+y) 6y(+y) + y γ) + +, > 0 δ) y y + 6.4. Να μετατρέψετε σε γινόμενα τις αλγεβρικές παραστάσεις α) α α + 8α β) 4 + 4 4 γ) + + + y + y Τριώνυμο 6.5. Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα α) 0 + 4 β) α + α + 7 γ) y + y 0 δ) α + α 5 ε) 6 4 στ) 40 ζ) 4 5 η) + + 5 θ) 7 84 ι) β + 6β + 5β 6.6. Να αποδείξετε ότι η παράσταση Α = 5 + 6 παίρνει θετικές τιμές, για κάθε >. 6.7. Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα α) + 9α + 4α β) α 4αβ + β γ) μ + 4μν 5ν Ανάπτυγμα τετραγώνου και διαφορά τετραγώνων 6.8. Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα: α) α + 6α 9
ΕΝΟΤΗΤΑ 6 Η : Παραγοντοποίηση Αλγεβρικών Παραστάσεων 9 β) 4y + 4y γ) 9 9α β + 6αβ δ) 9α α + 4 4β ε) + α +βγ α β γ στ) 9y 4 + 4 ζ) 4 6 + 8 y η) 6y 9 + 4 6.9. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: i) α + β + (αβ 8) ii) κ λ y + β γ κλβ γy iii) y 4yω + ω ω 6.0. Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα: i) α 4 + α + ii) α 4 + α β + β 4 iii) α 4 α β + β 4 iv) 4 + + 4 v) y 4 y + vi) 5α 4 + α β + 6β 4 6.. Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα: i) κ 4 + 4λ 4 + κ λ ii) 4 + 9y + 5 y iii) κ 4 κ + 6 Ανάπτυγμα κύβου 6.. Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα: α) + + 48 + 64 β) 8α α + 6α γ) α + 6α + α + 8 6.. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις α) (+y) (+y). y + (+y). y y β) (κ+λ) + (κ λ) + (κ+λ). (κ λ) + (κ+λ). (κ λ) Όλες οι περιπτώσεις 6.4. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: α) ( )(+) + β) (α+β)(β α) + (α β) (α 4β ) γ) ( 9) (+) δ) ( 5+) 4 + 4 ε) 5κ 9 5 κ στ) y + 4 6 y 6.5. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: i) κ + λ κ + λ κλ ii) + (α+) + α + α iii) γ + 9(β α ) + 6βγ iv) α + β γ δ αβ + γδ v) α + α(β+) +β(α+) + β 6.6. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις i) α + αβ + β + 4 4 ii) 9 4y 4y iii) y ω + yω + iv) 4 + 5 y + 9y 4 v) 9( + y) 6y( + y) + y vi) (α ) (α ) (α ) vii) (ω ) (ω 4) + (4 ω ) 6.7. Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα: i) ( 5+6)( ) ( )( ) ii) 4(αδ + βγ) (α β γ + δ ) iii) (5α +α ) (α α ) iv) ( 6)( ) (5 0)( ) v) (ω 9) (ω + ) 6.8. Να γίνει γινόμενο η παράσταση: (ν + ν + ). [Απ.ν(ν+)(ν+)(ν+)] 6.9. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις α) κ 4 λ 4 (κ+λ)(κ λ) β) (α + ) 4α γ) α 6 δ) (α + β γ ) 4α β 6.40. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις α) 4α 4α + α(α ) + 8α 9α β) κ 5 + κ 4 + κ κ κ 6.4. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: i) ii) (++ ) iii) (++ ) iv) + 6.4. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις i) α + β α β α β αβ ii) αβ α β + βγ β γ + α γ αγ iii) αβ + α β + βγ + β γ + α γ + αγ + αβγ iv) α β α β + β γ β γ + γ α γ α Θέματα με παραγοντοποίηση 6.4. i) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή των μη αρνητικών ακεραίων α, β με α > β ο αριθμός (α+ ) (β+ ) κ = 4 είναι θετικός ακέραιος. ii) Να προσδιορίσετε τις τιμές των α, β για τις οποίες ο κ είναι πρώτος, δηλαδή είναι κ > και οι μοναδικοί θετικοί διαιρέτες του είναι οι αριθμοί και κ. [Απ. ii)α=, β=0] 6.44. Αν ισχύει (0 5 + 5) (0 5 5) = 0 ν, όπου ν φυσικός αριθμός, να βρεθεί η τιμή του ν. [Απ. ν=7]
0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Αλγεβρικές Παραστάσεις 6.45. Να απλοποιηθεί το κλάσμα: Κ = + 4+ 6+ 8 +... + 00. + 6+ 9+ +... + 00 [Απ. Κ= ] 6.46. Να γίνει γινόμενο η παράσταση Π = α + β α β α β αβ. 6.47. Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση: Α = ( + + ) (Υπόδειξη: Προσθέστε και αφαιρέστε τον.) [Απ. Α=(++ )(4+ )] 6.48. α) Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση: 4 + 4y 4. β) Αν οι αριθμοί, y είναι θετικοί ακέραιοι και y, να αποδείξετε ότι ο αριθμός 4 + 4y 4 είναι σύνθετος. 6.49. Δίνεται το άθροισμα S = 00 99 + 98 97 + +. α) Να αποδείξετε ότι 00 99 = 00 + 99 και έπειτα ότι S = 00 + 99 + 98 + 97 + + +. β) Να υπολογίσετε το S χρησιμοποιώντας τη μέθοδο που εφάρμοσε ο Gauss όταν ήταν μικρός. [Απ. β)s=5050]
ΕΝΟΤΗΤΑ 7 Η : Διαίρεση Πολυωνύμων ΕΝΟΤΗΤΑ 7. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7.. Να κάνετε τις διαιρέσεις: i) ( + 45) : ( + 5) ii) (8 + 9 50 5) : ( 5) iii) ( 7 ) : ( + ) iv) (5α 4α + 7α + 6) : (5α + ) 7.. Να εκτελέσετε τις διαιρέσεις: i) ( + 4 8 + ) : ( + ) ii) (ω + 4ω ω 0) : (ω ω 6) iii) ( y 4 + 8y 6y + 8) : (y 4) iv) ( 5 + 4 6 + 6 + 5 ) : ( + + ) 7.. Να γίνουν οι διαιρέσεις: i) [(+5) + (+) (+4) (+) ] : ( ) ii) [( 9) (+5)( ) ] : ( + ) iii) 7.4. Να βρεθεί το πολυώνυμο, το οποίο πολλαπλασιαζόμενο με το + να δίνει γινόμενο το 4 +. 7.5. Να βρεθεί το πολυώνυμο, το οποίο πολλαπλασιαζόμενο με το + γίνεται 5 + 7 + 95. 7.6. Αν είναι φ() = 5 +, να εκτελεστεί η διαίρεση: [φ() + φ( ) φ( )] : ( ) 7.7. Αν είναι φ() = +, να γίνει η διαίρεση: [φ(+) + φ( ) φ()] : ( )
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Αλγεβρικές Παραστάσεις ΕΝΟΤΗΤΑ 8. Ε.Κ.Π. & Μ.Κ.Δ. ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8.. Να βρείτε το Ε.Κ.Π. και το Μ.Κ.Δ. των παραστάσεων: α) α β γ, 5α β γ, 6α 4 β β) 8α, 4α 5, α γ) α (α β), 6α β(α β) (α + β) 8.. Να βρείτε το Ε.Κ.Π. και το Μ.Κ.Δ. των παραστάσεων: α) 4( y ), 6( + y), ( y) β) α β, (α β), α β γ) α 6α + α 8, α 4, α α δ) α α +, α + α 4, α α, α α +
ΕΝΟΤΗΤΑ 9 Η : Ρητές Αλγεβρικές Παραστάσεις ΕΝΟΤΗΤΑ 9. ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 9.. Τι ονομάζουμε κλασματική αλγεβρική παράσταση; Μια αλγεβρική παράσταση που περιέχει μεταβλητή στον παρονομαστή, λέγεται κλασματική αλγεβρική παράσταση. Για παράδειγμα: Οι παραστάσεις, α 5y, είναι κλασματικές αλγεβρικές παραστάσεις. 4 β + y y ΑΣΚΗΣΕΙΣ 9.. Να απλοποιηθoύν τα κλάσματα i) αλμ α α ii) αλ 6α 8α iii) a 4 a 4β iv) α 6α α αβ 9.. Να απλοποιηθoύν τα κλάσματα α β 4 y i) ii) 4β 4α y y iii) + 9 iv) 4+ 9.4. Να απλοποιηθoύν τα κλάσματα α 4αβ+ 4β i) ii) ( ) α 4β aλ αμ+ λ μ iii) iv) αβ αγ+ β γ α + β α αβ+ β 9.5. Να απλοποιηθoύν οι παραστάσεις 9 4y y 7y + 7 i) ii) 9 y+ 4y 4+ 49 iii) 49 6y 49 56y+ 6y iv) αβ + α β 6α β 6αβ 6α β 9.6. Να απλοποιήσετε τα κλάσματα i) 4 ω 8 6+ 9 ii) ω 9 4+ iii) ( αβ ) ( α+ ) ( 4) ( + ) iv) αβ+ α+ β+ 4+ 9.7. Δίνεται το κλάσμα Κ = 4 + 4 48. 8+ 6 i) Για ποιες τιμές του ορίζεται το κλάσμα; ii) Να απλοποιήσετε το κλάσμα; iii) Για ποιες τιμές του παίρνει την τιμή μηδέν; [Απ. i) και iii)=-4] 9.8. Για ποιες τιμές του κ το παρακάτω κλάσμα παίρνει την τιμή μηδέν; κ 4κ+ 49 κ 49 [Απ. καμμία] (α β) (α β) 9.9. Δίνεται η παράσταση Α = (5α 4 β) (4α 5 β) και οι αριθμοί α, β δεν είναι ίσοι ούτε αντίθετοι. Να δείξετε ότι Α >. 9.0. Να απλοποιηθoύν οι παραστάσεις i) + ( α+ β) αβ ii) 4 + + αβ β iii) 4 4 α β α β iv) a + a β + αβ + β α a β β 9.. Να απλοποιηθεί η παράσταση: 5 4 4 5 y y + y 4 y y + y 9.. Δίνεται το κλάσμα Α = ( ) + 4 9 4 i) Ποιες τιμές δεν μπορεί να πάρει το ; ii) Να απλοποιήσετε το κλάσμα.
4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Αλγεβρικές Παραστάσεις iii) Να λυθεί η εξίσωση Α =. [Απ. iii)=-] 9.. Δίνονται οι παραστάσεις Α = 7+ 6, 6 Β = + 7+ 6. i) Για ποιες τιμές του ορίζονται οι δύο παραστάσεις; ii) Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις Α και Β. iii) Να αποδείξετε ότι: (Α+Β) (Α Β) = 4. 9.4. Να δείξετε ότι: 7 4 6 y + y 5 4 4 y y+ y = + y + y
ΕΝΟΤΗΤΑ 0 Η : Πράξεις Ρητών Παραστάσεων 5 ΕΝΟΤΗΤΑ 0. ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πολλαπλασιασμός Διαίρεση ρητών παραστάσεων 0.. Να γίνουν οι πράξεις: i) + 5 9 4 4 0.. Να γίνουν οι πράξεις: α β i) ii) 4 6αβ 5α 5α iii) κ 6 κ : κ κ+ κ κ + κ 4 ii) : + α+ β α β α 6 : α+ α 8α+ 6 α 9 [Απ. i) 5α ii) α- α-4 0.. Να αποδείξετε ότι η παράσταση: 4 y y y + y A = : είναι σταθερή. y + y+ y 0.4. Να αποδείξετε ότι η παράσταση: 8 4 y : : είναι σταθερή. y + y+ y y y 0.5. Δίνεται το κλάσμα Α = 4 5+ 6 i) Για ποιες τιμές του ορίζεται το κλάσμα; ii) Να απλοποιήσετε το κλάσμα. iii) κ -κ ] [Απ. A=] 0.6. Να δείξετε ότι: α + α + : α (4α+ 5)( α+ ) =. 5+ 4α 6α + 5+ 40α α [Απ. ] 0.8. Να γίνουν οι πράξεις: i) + + 4 4 y ii) + y y iii) + 4 α α + α 4 iv) + 6 α + α α 9 v) α β α + β α [Απ. i) + ( β) ( α)( β) ii) + y iii) α + iv) α + v)] 0.9. Αν οι αριθμοί, y, z είναι διαφορετικοί ανά δύο, να δείξετε ότι: + + = 0. ( y)( z) ( y z)( y ) ( z )( z y) 0.0. Να γίνουν οι πράξεις: + y 4y i) y y α + β α + β + αβ ii) + α αβ α β α α + β iii) + α αβ+ β αβ a + αβ α iv) y + ( α + ) ( α + y) y y y v) α α 4 α α + 4 a y [Απ. i) + y ii)- α β iii)- α β α iv) v)- ] α + Πρόσθεση Αφαίρεση ρητών παραστάσεων 0.7. Να εκτελέσετε τις πράξεις: i) 5 5+ 9 β + 4 ii) 5αα 4β β [Απ. i)- α ii) 4 ] 0.. Να γίνουν οι πράξεις: i) + 5α + α + a 6a 6 ii) + α β α + αβ α αβ β iii) + α 4αβ α β β + α a 4β