ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Η συγγραφή και η επιμέλεια του βιβλίου πραγματοποιήθηκε υπό την αιγίδα του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου υγγραφή και η επιμέλεια του βιβλίου πραγματοποιήθηκε υπό την αιγίδα του Παιδαγωγικού Ινστιτούτ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΠΑΝΕΚ ΟΣΗΣ Η επανέκδοση του παρόντος βιβλίου πραγματοποιήθηκε από το Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών & Εκδόσεων «Διόφαντος» μέσω ψηφιακής μακέτας, η οποία δημιουργήθηκε με χρηματοδότηση από το ΕΣΠΑ / ΕΠ «Εκπαίδευση & Διά Βίου Μάθηση» / Πράξη «ΣΤΗΡΙΖΩ» Οι αλλαγές που ενσωματώθηκαν στην παρούσα επανέκδοση έγιναν με βάση τις διορθώσεις του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής Β/θμιας εκπαίδευσης Μέτης Στέφανος Καθηγητής Β/θμιας εκπαίδευσης Μπρουχούτας Κων/νος Καθηγητής Β/θμιας εκπαίδευσης Παπασταυρίδης Σταύρος Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Πολύζος Γεώργιος Καθηγητής Β/θμιας εκπαίδευσης ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΚΔΟΣΕΩΝ «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ»

ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΤΗ Το τεύχος που κρατάς έχει μια ιδιομορφία: σου δίνεται με τη σύσταση να μη το διαβάσεις τουλάχιστο με την έννοια που διαβάζεις ένα άλλο βιβλίο για να κατανοήσεις το περιεχόμενό του Πράγματι, οι ασκήσεις που σου δίνει ο καθηγητής σου είναι για να εργαστείς μόνος Γιατί το να λύσεις μια άσκηση σημαίνει πολλές φορές όχι μόνο ότι έχεις κατανοήσει την αντίστοιχη θεωρητική ύλη αλλά και ότι ξέρεις να τη χρησιμοποιήσεις για να δημιουργείς, να ανακαλύπτεις ή να επιβεβαιώνεις κάτι καινούργιο Και αυτό έχει ιδιαίτερη σημασία για σένα τον ίδιο Δεν μπορεί παρά να έχεις και συ τη φιλοδοξία να λύνεις μόνος χωρίς βοήθεια τις ασκήσεις για να νιώθεις τη χαρά αυτής της δημιουργίας, της ανακάλυψης Πρέπει να ξέρεις ότι όταν δυσκολεύεσαι στη λύση μιας άσκησης, τις πιο πολλές φορές υπάρχει κάποιο κενό στη γνώση της αντίστοιχης θεωρίας Πήγαινε πίσω λοιπόν στο διδακτικό βιβλίο κάθε φορά που χρειάζεται να εντοπίσεις και να συμπληρώσεις τέτοια κενά Οπωσδήποτε πριν καταπιαστείς με τη λύση των ασκήσεων πρέπει να αισθάνεσαι κάτοχος της θεωρίας που διδάχτηκες Εκτός από την κατανόηση της θεωρίας μπορεί να βοηθηθείς στη λύση μιας άσκησης από τα παραδείγματα και τις εφαρμογές που περιέχει το διδακτικό σου βιβλίο Αν παρ όλα αυτά δεν μπορείς να προχωρήσεις, στο τέλος του βιβλίου σου θα βρεις μια σύντομη υπόδειξη που ασφαλώς θα σε διευκολύνει Στις ελάχιστες περιπτώσεις που έχοντας εξαντλήσει κάθε περιθώριο προσπάθειας δε βρίσκεται η πορεία που οδηγεί στη λύση της άσκησης, τότε και μόνο τότε μπορείς να καταφύγεις σ αυτό το τεύχος και μάλιστα για να διαβάσεις εκείνο το τμήμα της λύσης που σου είναι απαραίτητο για να συνεχίσεις μόνος Ουσιαστικά λοιπόν δεν το χεις ανάγκη αυτό το τεύχος Σου παρέχεται όμως για τους εξής λόγους: α) Για να μπορείς να συγκρίνεις τις λύσεις που εσύ βρήκες β) Για να σε προφυλάξει από ανεύθυνα «λυσάρια» γ) Για να απαλλάξει τους γονείς σου από αντίστοιχη οικονομική επιβάρυνση δ) Για να έχεις εσύ και οι συμμαθητές σου την ίδια συλλογή ασκήσεων που είναι έτσι επιλεγμένες, ώστε να εξασφαλίζουν την εμπέδωση της ύλης ε) Για να εργάζεσαι χωρίς το άγχος να εξασφαλίσεις οπωσδήποτε για κάθε μάθημα τις λύσεις των ασκήσεων Το τεύχος που κρατάς είναι λοιπόν φίλος Να του συμπεριφέρεσαι όπως σ έναν φίλο που έχει δει πριν από σένα την ταινία που πρόκειται να δεις μη του επιτρέψεις να σου αποκαλύψει την «υπόθεση» πριν δεις και συ το έργο Μετά μπορείτε, να συζητήσετε Η σύγκριση των συμπερασμάτων θα είναι ενδιαφέρουσα και προπαντός επωφελής (Από το Τμήμα ΜΕ του ΠΙ)

Α ΜΕΡΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚΕΣ - ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΟΜΑΔΑΣ i) Ο πίνακας είναι τύπου 7 ii) Το στοιχείο α μας πληροφορεί ότι η ομάδα ΝΙΚΗ έχει 6 νίκες, ενώ το στοιχείο α 5 μας πληροφορεί ότι η ίδια ομάδα πέτυχε τέρματα Το στοιχείο α 4 μας πληροφορεί ότι η ομάδα ΘΥΕΛΛΑ έχει ισοπαλίες Τέλος, το στοιχείο α 7 μας πληροφορεί ότι η ομάδα ΔΑΦΝΗ έχει βαθμούς Ο πίνακας A [α ij ] τύπου 4 4 σε ορθογώνια διάταξη είναι: Επειδή α ij i j, έχουμε α α α α4 Α α α α α4 α α α α 4 α α α α 4 4 4 44 α, α, α, α 4 4 α, α, α, α 4 4 α, α, α, α 4 4 α 4 4, α 4 4, α 4 4, α 44 4 4 Επομένως Α 7

i) Η ισότητα ισχύει, αν και μόνο αν + y y + y Λύνουμε το σύστημα των δύο πρώτων εξισώσεων και βρίσκουμε ότι και y Οι τιμές αυτές των, y επαληθεύουν και τις άλλες δύο εξισώσεις Επομένως, οι πίνακες είναι ίσοι αν και μόνο αν, και y ii) Η ισότητα ισχύει, αν και μόνο αν + y y + y y Λύνουμε το σύστημα των δύο πρώτων εξισώσεων και βρίσκουμε ότι y ή y Οι τιμές αυτές των, y δεν επαληθεύουν την τρίτη εξίσωση Επομένως, δεν υπάρχουν τιμές των, y για τις οποίες οι πίνακες αυτοί να είναι ίσοι 4 Ο πίνακας είναι διαγώνιος, αν και μόνο αν ln (ln ή ln ) ln e ln ln (ln ή ln ) 5 Η ισότητα ισχύει, αν και μόνο αν ηµ ηµ εϕ συν π 5π Η τρίτη εξίσωση εφ έχει στο [,π) λύσεις τις, Οι τιμές αυτές του 4 4 επαληθεύουν και τις υπόλοιπες Επομένως, οι πίνακες είναι ίσοι αν και μόνο π π αν ή 5 4 4 8

Α ΟΜΑΔΑΣ Έχουμε i) Α+ Β 5 + 6 5 8 Α Β 5 6 5 + 6 5 5 5 ii) Α+ Β 6 7 8 9 + 5 6 7 8 5 7 5 6 7 8 6 7 8 9 5 7 Α Β 6 7 8 9 5 6 7 8 5 6 7 8 6 7 8 9 iii) Α+ Β [ 4 5 6] + [ 4 5 6] [ ] Α Β [ 4 5 6] [ 4 5 6] [ 8 ] iv) Δεν ορίζονται το άθροισμα και η διαφορά v) Α+ Β α β γ α β γ y ω + y ω κ λ µ κ λ µ Έχουμε 5 6 5 Α+ Α + Α + Α4 + + + 7 + 6 7 6 4 Έχουμε 5 8 ω 5 + 4 6 9 y 7 9

4 Έχουμε 8 8 ω 5 6 y 7 ω 5 ω 8 6 7 y 7 y 8 i) 5 6 5 5 6 8 4 + 5 5 5 + 5 9 5 5 4 5 4 6 ii) 4 4 4 4 + 8 4 6 4 8 λ λ λ λ λ λ iii) λ λ λ λ λ λ λ 5 Έχουμε 6 i) Α 4 6 8 6 ii) ( Α) ( Α) 4 6 6 6 6 iii) 5Β Α 5 4 4 8 6 6 + 4 4 8 4 8 4

6 iv) Α Β 4 8 9 6 6 + 6 4 4 6 i) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά 5 4 4 X + 7 5 4 4 5 X 5 7 9 X 9 9 X 9 X ii) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά 6 7 5 4 X 7X 5 6 4 5 5 + 6 7X 8 4 7 7X 8 4 7 X 7 8 4 X 4

7 Έχουμε συνα ηµ α ηµ α συνα συνα ηµ α α συνα + ηµ συνα ηµ α συν α ηµ ασυνα συν συν + ηµ α ηµ ασυνα αηµ α α ηµ ασυνα ηµ α συν α + ηµ α ηµ ασυνα + ηµ ασυνα συναηµ α ηµ ασυνα συν α + ηµ α, που είναι διαγώνιος πίνακας 8 Έχουμε 4 8 4 8 X 5 5 α β α β Ψ γ δ γ δ α β + 5α β 4 8 γ δ 5γ 5δ 7α 8β 4 8 7γ δ Β ΟΜΑΔΑΣ Έχουμε i) + + y y y + y + y + y + y+ + y y + y ± y y y ±

ii) + y y + y + + y y y + + ( ή ) + y + y y y ( y ή y ) y + Η πρώτη εξίσωση γράφεται X + Y Y X () Η δεύτερη εξίσωση λόγω της () γράφεται 4 4 5X + Y 5X X 4 + 4 + 5 4 X 6X 4 4 X 4 X Επομένως, λόγω της () έχουμε Η εξίσωση γράφεται Y + 6 6 ( X + Β ) X + 5 5 Α Β Χ + Β Χ + Α Β X X Α5Β Β X Α 8Β X Α 4 Β

Επομένως X 4 4 4 5 + 8 9 5 5 4 4 4 Είναι 8 4 8 4 Π + Π 5 6 + 8 8 Φωτ Μηχ Βιντ Τηλεορ 68 58 8 υλικά 48 6 74 εργασία oπότε Φωτ Μηχ Βιντ Τηλεορ 68 58 8 4 9 4 υλικά ( Π + Π ) 48 6 74 4 7 εργασία Ο τελευταίος πίνακας δίνει για τη βιομηχανία το μέσο κόστος κάθε συσκευής 5 i) Αν η παραγωγή αυξηθεί κατά %, τότε το ημερήσιο επίπεδο παραγωγής θα δίνεται από τον πίνακα Β, Α Είναι Β Α 8 4 6 8 4 98 54 66,, 88 44 ii) Για τους δύο πρώτους μήνες το επίπεδο παραγωγής δίνεται από τον πίνακα (Α) 6Α Για τους άλλους τρεις μήνες το επίπεδο παραγωγής δίνεται από τον πίνακα (Β) 9Β Επομένως, το σύνολο της παραγωγής ανά προϊόν για τους 5 μήνες δίνεται από τον πίνακα 8 4 6 98 54 66 6Α+ 9Β 6 9 8 4 + 88 44 8 86 6 954 7 66 98 98 4

Α ΟΜΑΔΑΣ Έχουμε i) ΑΒ [ ] [ + + ] [ ] 6 4 ΒΑ [ ] 9 6 4 ii) ΑΒ 4 4 4 4 + + 4 ΒΑ 4 4 4 ( ) + + + 6 44 ( ) 4 6 5 4 iii) ΑΒ 4 4 6 5 7 9 9 5 ΒΑ 4 4 4 5 5 4 iv) ΑΒ 4 7 4 7 8 7 8 Δεν ορίζεται το γινόμενο ΒΑ Έχουμε i) ΑΒ 5

ii) ΑΒ Γ iii) ΑΒΓ ( ΑΒΓ ) 4 6 Ειδ Ανειδ Αποδ Έστω Κ 6 75 6 και Λ 5 Ειδ 4 Ανειδ Επειδή οι αμοιβές στην α εταιρεία είναι 6 5 + 75 4 και στη β εταιρεία είναι 5 + 6 4, το σύνολο των αμοιβών των εργατών στις δύο εταιρείες εκφράζεται με τον πίνακα 6 5 + 75 4 6 75 5 5 + 6 4 6 4 ΚΛ 4 i) Έχουμε ΑΒ I Επομένως ο πίνακας Β είναι αντίστροφος του Α ii) Έχουμε 4 8 ΑΒ 5 7 4 9 4 5+ 8 8+ + 8 85 + 57 6 + 5 + 5 4 4 + 76 4 + 44 + 4 I Επομένως ο πίνακας Β είναι αντίστροφος του Α 6

5 Ο πίνακας Α αντιστρέφεται, αφού D 4, και έχει αντίστροφο τον Α 4 Ο πίνακας Β δεν αντιστρέφεται, αφού D 4 4 Ο πίνακας Γ αντιστρέφεται, αφού συνθ ηµ θ D συν θ + ηµ θ, ηµ θ συνθ και έχει αντίστροφο τον Γ συνθ ηµ θ θ συνθ ηµ ηµ α 6 i) Είναι D συνα αντιστρέφεται και έχει αντίστροφο τον ηµ α συνα συνα ηµ α + συν α, οπότε ο πίνακας ηµ α συνα ηµ α ii) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά ηµ α συνα ηµ α συνα ηµ α συνα ηµ α συνα συνα ηµ α ηµ α X συνα Β ΟΜΑΔΑΣ i) Έχουμε 7 συνα ηµ α συνα συνα ηµ α ηµ α ηµ α συν α X ηµ ασυνα συνα X ηµ α Α Α + yi 4 4 4 + y 5 4 + y y ηµ α συνα

5 + y 4+ y Από την τελευταία ισότητα των πινάκων παίρνουμε το σύστημα + y 5 5 + y y 4 ii) Η ισότητα A A + yι με 5 και y γίνεται: Έτσι έχουμε: Α 5Α Α Α Α 5ΑΑ 5Α 55Α 5Α 5 4 5 5 5 4 και Α Α Α 5ΑΑ 5Α 5 5Α 5Α 5 5 5 5 Έχουμε: Α Α Α 7 9 4 Α Α Α 7 9 4 Η δοθείσα ισότητα γράφεται: Έχουμε: + + α α X I β β α α + β β 8

α α ± α α α + β α β ή β β β β ± Επομένως, οι ζητούμενοι πίνακες είναι οι 4 i) Έχουμε και Α Α Α I Ομοίως έχουμε Β Β Β Ι 4 4 4 4 ii) Α Β 5 5 5 και 4 4 Α+ Β + 5 5 Επομένως 4 4 4 4 4 4 ( Α Β) 5 5 5 5 5 5 6 + 4 6 4+ 6 + 4 4 + 5 4+ 5 4 + 5 5+ 5 + 55 5+ 5 9

4 4 ( Α+ Β) 5 5 5 5 6 8+ 6+ 8 + 5 5 + 9+ 5 5 + 5 4+ 5 + + 5+ 4 4 4 4I 4 iii) Είναι Α Β και ( Α+ Β)( Α Β) Άρα, Α Β ( Α+ Β)( ΑΒ) 4 4 4 4 8 8 8 5 5 5 5 5 5 i) Είναι D + 4, οπότε ο Α αντιστρέφεται και έχει αντίστροφο τον Α ii) Είναι Α+ Α I ν ν ν Άρα ( Α+ Α ) ( I) I, με ν * 6 i) Έχουμε συν ηµ συν ηµ Α ( ) Α( ) Α( ) ηµ συν ηµ συν συν ηµ ηµ συνηµ συν ηµ συν+ ηµ συν ηµ +συν συν ηµ Α( ) ηµ συν

ηµ συν ηµ συν Β ( ) Β( ) Β ( ) συν ηµ συν ηµ ii) Έχουμε ηµ συν ηµ συν ηµ συν συν +ηµ συν ηµ ηµ συν Α () + Β () Α() Α() iii) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: συν ηµ ηµ συν Α( ) Α () Β () Ι Α() + Α() Ι Α() Ι Α() Ι συν ηµ ηµ συν Από την τελευταία ισότητα προκύπτει το σύστημα: συν κπ, κ Z κπ, κ Z ηµ 7 i) Είναι Μ Ν 6, 6,, 5 6, 9, 6 7 5,, 4, 4 5 Ο πίνακας ΜΝ εκφράζει το συνολικό κόστος παραγωγής για κάθε ένα από τα τρία είδη παραγωγής και στα δύο εργοστάσια

ii) Το κόστος εργασίας για την παραγωγή μιας καρέκλας στο εργοστάσιο E είναι,6 ευρώ και το κόστος παραγωγής ενός πάγκου στο εργοστάσιο Ε είναι 8,8 ευρώ 8 Έχουμε Α Α Α 5 6 5 6 9 Α Α Α 9 5 6 Αν ν >, τότε Α ν Α Α ν Α ν Β Β Β 4 4 4 4 I 4 4 Β Β Β Ι Β Β Αν ν ρ (άρτιος), τότε Β ν Β ρ (Β ) ρ Ι ρ Ι, ενώ Αν ν ρ + (περιττός), τότε Β ν Β ρ+ Β ρ Β I Β Β ηµ ( ) 9 i) Είναι Α( ) ( ) ( ) συν ηµ συν ηµ Για να δείξουμε ότι Α () Α( ), αρκεί να δείξουμε ότι ισχύει Α( ) Α() I Έχουμε ηµ ηµ Α( ) Α( ) συν ηµ συν ηµ ηµ

ii) Η ισότητα Α() I γράφεται: i) Έχουμε Α( ) ηµ συν ηµ + συν συν συν I συν ηµ συν ηµ συν συν εϕ ηµ ηµ συν συν εϕ συν συν συν κπ, κ εϕ εϕ y y y+ y + + y Α( ) Α( y) y y+ + y ( + y) ( + y) Α( + y) ii) Ο πίνακας Α(y) είναι αντίστροφος του Α(), αν και μόνο αν Α( ) Α( y) I + y y iii) Προφανώς Μ Α()

Επομένως Μ i) Είναι: λ Α ΑΑ λ Α( ) + λ λ λ λ + λ λ λ + ( + λ)( λ) λ( + λ) λ( + λ) λ( λ) λ( λ) ( λ)( + λ) + λ λ + λ + λ λ I Α Α Α Α Επομένως Αν ν λ (άρτιος), τότε Α ν Α λ (Α ) λ Ι Αν ν λ + (περιττός), τότε Α ν Α λ+ Α λ Α Α + ii) Για λ έχουμε Α Επειδή το 99 είναι περιττός, έχουμε Α 99 Α Επομένως, η εξίσωση Α 99 X γράφεται διαδοχικά: ΑX X Α X Α (αφού Α Α) X X 4

iii) Ι + Α + Α + + Α Ι + Α + Ι + Α + Ι + Α + Ι + Α + Ι + Α + Ι 6Ι + 5Α i) Είναι D, οπότε ο Α αντιστρέφεται και έχει αντίστροφο τον Α ii) α) Η εξίσωση ΑX γράφεται διαδοχικά: XΑ X X β) Η εξίσωση ΑX Α γράφεται διαδοχικά: X ΑΑ XΑ Α X X X 5

γ) Η εξίσωση ΑΧ Α +Α γράφεται διαδοχικά i) Έχουμε ΑΧ Α(Α + Ι) Χ Α Α(Α +Ι) Χ Α + Ι X + X 4 Α 4 οπότε, Α Α Α 4 4 4 I I, αν άρτιος Γενικά: Α ( Α ) ( I) Ι, αν ν περιττός ν ν ν ν ii) Επειδή 99 664 και 989 66 έχουμε Α 99 (Α ) 664 ( Ι) 664 Ι και Α 989 (Α ) 66 ( Ι) 66 Ι Επομένως: 99 989 Α + ( + ) Α I ( + ) I 6 ( ) I ( ) ή

4 4 Α ΟΜΑΔΑΣ Οι γραμμικοί μετασχηματισμοί Τ, Τ και Τ έχουν πίνακες τους και 4 αντιστοίχως 7, Έτσι Οι εικόνες των Α(,) και Β(,), ως προς τον Τ είναι τα σημεία Α (, ) και Β (,) αντιστοίχως, που έχουν συντεταγμένες την πρώτη και δεύτερη στήλη του πίνακα του γραμμικού μετασχηματισμού Τ Οι εικόνες των Α(,) και Β(,) ως προς τον Τ είναι τα σημεία Α (,) και Β (,) αντιστοίχως Οι εικόνες των Α(,) και Β(,) ως προς τον Τ είναι τα σημεία Α (,) και Β (,4) αντιστοίχως i) T : y y ii) T Είναι: : y y και 4, οπότε η εικόνα του Ο(,) είναι το σημείο Ο (,) και του Α(,4) το σημείο Α (, ) Επομένως ( ΟΑ ) + 4 5 και ( ΟΑ ) + 9, οπότε ( ΟΑ) ( ΟΑ ) Άρα, ο Τ δεν είναι ισομετρία 4 Ο πίνακας του τετραπλεύρου Α Β Γ Δ προκύπτει, αν πολλαπλασιάσουμε τον πίνακα του γραμμικού μετασχηματισμού με τον πίνακα του τετραγώνου ΑΒΓΔ Είναι, δηλαδή, ο πίνακας

4 Επομένως, η εικόνα του τετραγώνου ΑΒΓΔ με πίνακα τον είναι το τετράπλευρο Α Β Γ Δ με πίνακα τον Οι ευθείες Α Δ και Β Γ έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ και λ, αντιστοίχως Είναι δηλαδή λ λ, οπότε Α Δ //Β Γ Ομοίως, οι Α Β και Δ Γ έχουν συντελεστές λ και λ 4 αντιστοίχως Είναι δηλαδή λ λ, οπότε Α Β //Δ Γ Επιπλέον 4 ισχύει λλ Επομένως το Α Β Γ Δ είναι πλάγιο παραλληλόγραμμο 5 i) Ισχύει 5 y Επομένως, αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη με τον αντίστροφο του πίνακα, που είναι ο πίνακας, έχουμε: 5 5 y y 5 5 y Άρα, το πρότυπο του Α (,5) είναι το σημείο Α(5, 5) ii) Αρκεί να βρούμε την εξίσωση η οποία επαληθεύεται μόνο από τις συντεταγμένες των εικόνων των σημείων της ευθείας ε Είναι: y y y y y y 8 + y y y

4 Επομένως, αν το σημείο M(,y) ανήκει στην ε, τότε θα ισχύει y + y + y + l 5 y Άρα το σημείο M (,y ) θα ανήκει στην ευθεία ε : 5 y Αλλά και αντιστρόφως, αν το σημείο M (,y ) ανήκει στην ευθεία ε : 5 y, τότε το σημείο M(,y) θα ανήκει στην ευθεία ε: y + Συνεπώς, η εικόνα της ευθείας ε: y + είναι η ευθεία ε : 5 y π π συν ηµ 6 i) Ο πίνακας Α γράφεται Α 6 6 π π ηµ συν 6 6 Επομένως, ο γραμμικός μετασχηματισμός παριστάνει στροφή με κέντρο την π αρχή των αξόνων Ο και γωνία θ 6 ii) Παριστάνει ομοιοθεσία με κέντρο την αρχή των αξόνων Ο και λόγο λ > iii) Παριστάνει το μετασχηματισμό που προκύπτει, αν εφαρμόσουμε πρώτα τη συμμετρία ως προς άξονα την ευθεία y και στη συνέχεια τη συμμετρία ως προς την αρχή των αξόνων Ο iv) Παριστάνει το μετασχηματισμό που προκύπτει, αν εφαρμόσουμε πρώτα την ομοιοθεσία με κέντρο την αρχή των αξόνων Ο και λόγο λ > και στη συνέχεια τη συμμετρία ως προς κέντρο την αρχή των αξόνων Ο v) Παριστάνει το μετασχηματισμό που προκύπτει, αν εφαρμόσουμε πρώτα τη συμμετρία ως προς άξονα την ευθεία y και στη συνέχεια τη συμμετρία ως προς άξονα τον άξονα των vi) Παριστάνει το μετασχηματισμό που προκύπτει, αν εφαρμόσουμε πρώτα τη συμμετρία ως προς κέντρο την αρχή των αξόνων Ο, στη συνέχεια τη συμμετρία ως προς άξονα τον άξονα των και τέλος τη συμμετρία ως προς άξονα την ευθεία y 9

4 4 Β ΟΜΑΔΑΣ + y i) Είναι, οπότε y y + 4 y Άρα, το σημείο M (,y ) ανήκει στην ευθεία y Επομένως, όλα τα σημεία M(,y) του επιπέδου απεικονίζονται σε σημεία της ευθείας y ii) Αν M(,y) είναι ένα πρότυπο του Ο(,), τότε θα ισχύει 4 + y y + 4y + y y Άρα, τα πρότυπα του Ο(,) είναι όλα τα σημεία Μ,, y R, δηλαδή όλα τα σημεία της ευθείας y iii) Το σημείο Α (,) δεν έχει πρότυπο ως προς το μετασχηματισμό Τ, αφού δεν ανήκει στην ευθεία y στην οποία απεικονίζονται όλα τα σημεία του επιπέδου i) Ο μετασχηματισμός Τ δεν είναι ισομετρία αφού πχ για τα σημεία Α(,) και Β(,) και τις εικόνες τους Α (,) και Β (,) ισχύει ii) Έχουμε ( ΑΒ ) ( ΑΒ ) 5 Τ : y y y y y y Το μέσο του ΑΒ είναι το σημείο M(,y ) με + και y y + y Επομένως, η εικόνα του είναι το σημείο Μ (, y ) με ()

4 + y + y y + y y + ( ) ( ) + y y + y Άρα, το Μ (, y ) είναι το μέσο του Α Β iii) Έχουμε i) Έστω Ε( ΟΑΒ ) det( ΟΑΟΒ, ) y y y y y y Ε( ΟΑΒ ) det( ΟΑ, ΟΒ ) Επομένως Ε y + y y y Ε ( ΟΑΒ) ( ΟΑΒ ) Τ : α y γ ο ζητούμενος μετασχηματισμός Τότε β δ y α + β y y γ + δy Επειδή το Α(,) απεικονίζεται στο Α (,) και το B(, ) στο B (,), έχουμε οπότε α, β, γ και δ α + β γ + δ α β γ δ Επομένως, Τ : y y

4 Για να βρούμε, τώρα, την εξίσωση της εικόνας της ευθείας ε: y, αρκεί να βρούμε την εξίσωση, η οποία επαληθεύεται μόνο από τις συντεταγμένες των εικόνων των σημείων της ευθείας ε Είναι y y y y y y y + y y Επομένως το M(,y) ανήκει στην ε, αν και μόνο αν y + y y y Συνεπώς, η εικόνα της ευθείας y είναι η ευθεία y ii) Αν εργαστούμε αναλόγως, βρίσκουμε ότι ο μετασχηματισμός που απεικονίζει τα σημεία Α(,) και Β(, ) στα Α (6,) και Β (,) αντιστοίχως, είναι ο οπότε θα έχουμε Τ : 4 y y 4+ y y + y Αν M(,y) είναι ένα σημείο της ευθείας y, τότε θα έχουμε 4+ ( ) y + ( ) Επομένως, η ευθεία y απεικονίζεται στο σημείο Ο(,)

4 4 i) Από την ισότητα των τριγώνων ΟΒΜ και ΟΑ Μ προκύπτει ότι OB OΑ και ΜΒ Μ Α, οπότε έχουμε Επομένως, είναι ΟΑ ΟΒ και ΟΒ ΟΑ y και y οπότε το συμμετρικό του σημείου M(,y), ως προς την ευθεία y, είναι το σημείο M ( y, ) Άρα y y + y y y y y, οπότε ο ζητούμενος μετασχηματισμός είναι ο Τ : y y που είναι γραμμικός μετασχηματισμός με πίνακα ii) Από το διπλανό σχήμα έχουμε + y y y + y y y Επομένως, η προβολή πάνω στον άξονα είναι γραμμικός μετασχη- ματισμός με πίνακα

4 iii) Από το διπλανό σχήμα έχουμε + y y y y + y y y Άρα, η προβολή πάνω στον άξονα y y είναι γραμμικός μετασχηματισμός με πίνακα iv) Έστω Μ (,y ) η προβολή του M(,y) στην ευθεία ε: y Τότε θα ισχύει y y y y λ MM λ ε y y y y y + y y + y y y Άρα, η προβολή πάνω στην ευθεία ε: y είναι γραμμικός μετασχηματισμός με πίνακα τον 4

4 Όπως γνωρίζουμε, ο πίνακας της εικόνας ενός πολυγώνου προκύπτει, αν πολλαπλασιάσουμε τον πίνακα του γραμμικού μετασχηματισμού με τον πίνακα του πολυγώνου Έτσι ο πίνακας της εικόνας του τετραγώνου με πίνακα είναι ο:, με τον γραμμ μετασχηματισμό του (i), με τον γραμμ μετασχηματισμό του (ii), με τον γραμμ μετασχηματισμό του (iii), με τον γραμμ μετασχηματισμό του (iv) 5 i) Αρκεί να βρούμε την εξίσωση η οποία επαληθεύεται μόνο από τις συντεταγμένες των εικόνων των σημείων του κύκλου C: + y Έχουμε α α α y β y yy β y y β Επομένως, το M(,y) ανήκει στον κύκλο + y, αν και μόνο αν ή, ισοδύναμα, + y α β ( ) α ( y ) + β Αυτό σημαίνει ότι το M(,y) ανήκει στον κύκλο + y, αν και μόνο αν το M (,y ) ανήκει στην έλλειψη y α + β Συνεπώς, η εικόνα του κύκλου + y είναι η έλλειψη y α + β 5

5 και 6 ii) Το τετράγωνο ΟΑΓΒ, που έχει πίνακα τον, με τον μετασχηματισμό Τ έχει εικόνα το τετράπλευρο Ο Α Γ Β με πίνακα α α α β β β Επομένως, (Ο Α Γ Β ) αβ και επειδή (ΟΑΓΒ), έχουμε (Ο Α Γ Β ) αβ(οαγβ) 5 και 6 Α ΟΜΑΔΑΣ 5 i) y ω ii) 6 y ω 6 y+ ω + y+ ω ϕ + y ω i) + y+ ω+ 4ϕ ii) + y + 4ω ϕ ω 4+ y+ ω Οι επαυξημένοι πίνακες αντίστοιχα είναι: 4, 4 4 i) y Άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση την ( yω,, ) (,, ) ω 6

5 και 6 + ω ii) ω y ω 4 y 4+ ω Άρα το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων της μορφής ( ω, 4+ ω, ω), ω R y + y iii) ω ω ϕ 4 ϕ 4 Άρα το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων της μορφής ( + yy,,, 4), y R 4 i) Σχηματίζουμε τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος και έχουμε διαδοχικά Γ ΓΓ Γ ΓΓ Γ Γ+ Γ Γ Γ Γ Γ Γ ΓΓ Γ ΓΓ Ο τελευταίος πίνακας αντιστοιχεί στο σύστημα y z Επομένως το σύστημα έχει μοναδική λύση την (,y,z) (,,) 7

5 και 6 ii) Με τον αλγόριθμο του Gauss βρίσκουμε ότι ο ανηγμένος κλιμακωτός πίνακας του συστήματος είναι: Επομένως το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων της μορφής z+, z+, z, z R iii) Με τον αλγόριθμο του Gauss βρίσκουμε ότι ο πίνακας του συστήματος είναι ισοδύναμος με τον πίνακα: 7 5 5 5 Επομένως το σύστημα είναι αδύνατο 5 i) Έχουμε: Γ ΓΓ Γ ΓΓ Γ ΓΓ Γ ΓΓ Γ ΓΓ Γ 4 8 Γ Γ Γ 4 Γ ΓΓ

9 5 και 6 Ο τελευταίος πίνακας αντιστοιχεί στο σύστημα: y z y z + ω ω Επομένως το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων της μορφής (, z, z, ), z R ii) Με τον αλγόριθμο του Gauss βρίσκουμε ότι ο ανηγμένος κλιμακωτός πίνακας του συστήματος είναι: Επομένως το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων της μορφής z R iii) Με τον αλγόριθμο Gauss βρίσκουμε ότι ο πίνακας του συστήματος είναι ισοδύναμος με τον πίνακα: 7 4 Επομένως το σύστημα είναι αδύνατο 6 i) Έχουμε: 4 6 4 4 4 4 Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ 8 8 5 4 4 Γ Γ 8 8 4 4 4 4 8 8 + Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ

5 και 6 Επομένως το σύστημα έχει μοναδική λύση την (, y), ii) Με τον αλγόριθμο του Gauss βρίσκουμε ότι ο πίνακας του συστήματος είναι ισοδύναμος με τον πίνακα: 7 7 Επομένως το σύστημα είναι αδύνατο 5 και 6 Β ΟΜΑΔΑΣ Επειδή το σύστημα έχει ως λύση την (, y, ω) (,,) έχουμε: α + β( ) + γ α β + γ α + ( ) γ α γ β( ) + γ β + γ Αν προσθέσουμε κατά μέλη τις δύο πρώτες εξισώσεις, βρίσκουμε: α β () Επίσης, αν προσθέσουμε κατά μέλη τη δεύτερη και τρίτη εξίσωση, βρίσκουμε: α + β () Αν τώρα προσθέσουμε κατά μέλη τις () και (), βρίσκουμε ότι: α 6 α, οπότε β και γ Επομένως, (α, β, γ) (,, ) Αφού η παραβολή διέρχεται από τα σημεία (,), (,) και (,6), πρέπει οι συντεταγμένες των σημείων αυτών να επαληθεύουν την εξίσωσή της Άρα, έχουμε το σύστημα: α + β+ γ 4 α + β + γ α β + γ 6 4

4 5 και 6 Με τον αλγόριθμο του Gauss βρίσκουμε ότι ο ανηγμένος κλιμακωτός πίνακας του συστήματος είναι: Επομένως, α, β, γ και η εξίσωση της παραβολής είναι y + Σχόλιο Το σύστημα αυτό μπορεί να λυθεί και ως εξής: Αφαιρούμε την πρώτη εξίσωση από τις άλλες δύο οπότε προκύπτει το σύστημα 6 α β β + Επομένως β και α Με αντικατάσταση των τιμών των α, β στην πρώτη εξίσωση βρίσκουμε γ Οι τρεις ισότητες αποτελούν σύστημα που έχει ως αγνώστους τους ημα, συνβ και εφγ Σχηματίζουμε τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος και έχουμε διαδοχικά: 4 4 4 Γ Γ 4 Γ Γ Γ Γ Γ Γ 5 Γ Γ 5 Γ Γ 5 + Γ Γ Γ Γ Γ

5 και 6 ηµ α Επομένως, συνβ εϕγ Γ Γ+ Γ 4 Η εξίσωση ΑΧ 4Χ γράφεται: 4 + Γ ΓΓ π π και επειδή < αβγ,, < έχουμε α β γ + y+ ω 4 y 4 y y ω 4y + + ω ω y+ω 4ω Από την ισότητα των πινάκων έχουμε το σύστημα: + y+ ω 4 + y+ ω + y + ω 4y y + ω y + ω 4ω y ω y ω y + ω Αν αφαιρέσουμε κατά μέλη τις εξισώσεις βρίσκουμε ότι 4ω, οπότε y 5 ω 5ω Επομένως το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων της μορφής R

5 και 6 5 Οι ζητούμενοι πίνακες Χ είναι της μορφής z 4 y ω Επομένως, η εξίσωση ΑΧ ΧΑ γράφεται διαδοχικά: ω y z ω y z ω yz y y y z + ω ω+ z ω z Από την τελευταία ισότητα των πινάκων προκύπτει το σύστημα: ω + y y ω y z y + yz ω ω+ z ω z y z ω z y + ω y ω + y z ω z Με τον αλγόριθμο του Gauss βρίσκουμε ότι ο ανηγμένος κλιμακωτός πίνακας του συστήματος είναι: Επομένως, το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων της μορφής ω+ z, ω, ω, z, ω, z R Άρα, οι ζητούμενοι πίνακες είναι της μορφής ω+ z ω, ω, z R ω z

5 και 6 6 i) Σχηματίζουμε τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος και έχουμε διαδοχικά 4 α α 4 α 9 α α α α + Αν α α +, δηλαδή αν α και α, τότε το σύστημα είναι αδύνατο Αν α, τότε ο τελευταίος επαυξημένος πίνακας γράφεται διαδοχικά: Επομένως, για α το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων της μορφής ω ω ω ω Αν α, τότε ο τελευταίος επαυξημένος πίνακας γράφεται διαδοχικά: Επομένως, για α το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων της μορφής (,, ), R ii) Σχηματίζουμε τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος και έχουμε διαδοχικά: 6 6 4 λ µ λ µ 6 6 4 λ µ () 44

5 και 6 Αν λ, από τη μορφή () του επαυξημένου πίνακα έχουμε διαδοχικά: 6λ µ 8 6 λ 4λ µ + 8 4 λ µ µ λ λ 45 λ + µ 6 λ 4λ µ + 8 λ µ λ Επομένως, αν λ το σύστημα έχει μοναδική λύση την λ + µ 6 4λ µ + 8 µ,, λ λ λ Αν λ και µ, τότε από τη μορφή () του επαυξημένου πίνακα προκύπτει ότι το σύστημα είναι αδύνατο Αν λ και μ, τότε το σύστημα είναι συμβιβαστό και από τη μορφή () του επαυξημένου πίνακα έχουμε διαδοχικά: 4 Επομένως, το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων της μορφής iii) Αν προσθέσουμε κατά μέλη τις δύο πρώτες εξισώσεις βρίσκουμε + (κ +)y κ + + y Επομένως, το σύστημα είναι ισοδύναμο με το + ( κ + ) y κ + + ( κ + ) y R

7 Αν κ + κ, το σύστημα είναι αδύνατο Αν κ + κ, τότε το σύστημα γράφεται: + y + y + y + y + y Από την επίλυση του τελευταίου συστήματος βρίσκουμε και y Άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση την (,) 7 Α ΟΜΑΔΑΣ 5 i) ( )( 5) 5 ii) iii) e 5 e ( e e ) e e e e 8 ηµ θ συνθ ηµ θ συνθ ηµ θ + συν θ συνθ ηµ θ συνθ ηµ θ iv) α β α β α β αβ βα αβ β α α β ( ) v) log 5 log log5 ( ) (log + log 5) log log vi) e e e e e e e e 46

7 i) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: ( ) οπότε l ή l ( )( + ) ( ) ( )( + ) ( )( ) ( ) ( + ), ii) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά οπότε ή ( ) ( ) ( ) + + + iii) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά + οπότε,, ( ) ( ) + ( ) + + + ( + ), 47

7 iv) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά ηµ ηµ + ηµ ηµ ( ηµ + ηµ ) + ( ηµ ηµ ) ηµ ηµ + ηµ ηµ ηµ ηµ ηµ ή ηµ κπ + π ή κπ π, κ 5 i) Είναι: D 5 Επειδή D, το σύστημα έχει μοναδική λύση Βρίσκουμε τις ορίζουσες D και D y Έχουμε D 4 5 4 6 και D y 9 7 7 D 6 Dy 9 Επομένως,, y D D 4 4 ii) Έχουμε D 4 4 4 5 6 6 Επειδή D, το σύστημα έχει μοναδική λύση Υπολογίζουμε τις ορίζουσες D, D y και D ω και βρίσκουμε D 5, D y 6 και D ω 78 D 5 Dy 6 Επομένως,, y D 5 D 5, ω Dω 78 D 5 4 iii) Είναι D 46 7 48

7 Το σύστημα είναι ομογενές και αφού D έχει μοναδική λύση τη μηδενική (,,) iv) Είναι D 4 D και D Επομένως, το σύστημα έχει μοναδική λύση την D ηµ D D, συν D Επειδή [ π, ) οι τιμές του για τις οποίες συναληθεύουν οι εξισώσεις ημ και συν είναι μόνο η 4 i) To σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις, αν και μόνο αν κ κ κ κ ( κ) κ κ ( κ)( κ + κ ) ( + κ ) ( κ)( κ κ ) ( κ ) ( κ)( κ κ + ) ( κ)( κ κ ) κ ή κ ii) Το σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις, αν και μόνο αν κ κ κκ ( ) ( κ ) + ( κ) κ κκ ( )( κ + ) ( κ ) ( κ ) ( κ )( κ + κ ) κ ή κ 49

7 7 B ΟΜΑΔΑΣ i) Έχουμε D κ κ ( κ)( κ) Επομένως: κ Όταν κ και κ το σύστημα έχει μοναδική λύση Υπολογίζουμε τις ορίζουσες D, D y, D ω Έχουμε D κ + κ, D y κ κ + κ( κ) κ και D ω κ κ κ + κ κ Άρα, η λύση του συστήματος είναι η τριάδα (,y,ω) με: D, D ( κ)( κ) Dy κ( κ) κ y D ( κ)( κ) κ Dω κ ω D ( κ)( κ) κ Όταν κ το σύστημα γράφεται: + y + ω + y + ω + y+ ω το οποίο προφανώς είναι αδύνατο Όταν κ το σύστημα γράφεται: + y + ω + y+ ω + y + ω + y+ + y+ ω ω 5

7 Σχηματίζουμε τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος και έχουμε διαδοχικά: 5 Επομένως, το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων της μορφής λ ( y, y, ), y R ii) Έχουμε D λ λ ( λ+ )( λ) λ Επομένως Όταν λ και λ το σύστημα έχει μοναδική λύση Υπολογίζουμε τις ορίζουσες D, D y, D ω Έχουμε: D λ λ ( λ)( λ+ 4), λ λ D y λ λ λ ( λ λ+ )( λ ) λ και D ω λ λ ( λ)( λ) λ D ( λ)( λ+ 4) λ + 4, D ( λ+ )( λ) ( λ + ) Dy ( λ λ+ )( λ ) λ λ+ y D ( λ+ )( λ) ( λ + ) Dω λ λ λ και ω ( )( ) D ( λ+ )( λ) λ + Όταν λ, το σύστημα γίνεται: + y ω + y+ ω + y+ ω

7 Αν αφαιρέσουμε κατά μέλη τις δύο πρώτες εξισώσεις, βρίσκουμε ω, οπότε το σύστημα είναι ισοδύναμο με την εξίσωση + y, που γράφεται y Άρα, το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων της μορφής y, y,, R Όταν λ, το σύστημα γίνεται: + y ω + y ω + y ω το οποίο προφανώς είναι αδύνατο + λ(y+ ω) Το σύστημα λ + y ω γράφεται ισοδύναμα λ + y + ω λ Έχουμε D λ ( λ)( + λ) λ 5 + λ y + λω λ + y ω λ + y + ω λ Επομένως: Αν λ και λ το σύστημα έχει μοναδική λύση τη μηδενική (,,) Αν λ, το σύστημα γίνεται: + y+ ω + y+ ω + y ω + y + y + ω ω Σχηματίζουμε τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος και έχουμε διαδοχικά: Επομένως, το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων της μορφής R Αν λ, το σύστημα γίνεται: y ω y ω + y ω + y ω + y+ ω

7 Με πρόσθεση κατά μέλη βρίσκουμε y ω Επομένως, το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων της μορφής ( R i) Παίρνουμε τις ευθείς ε, ε και σχηματίζουμε το σύστημα: Το σύστημα αυτό έχει ορίζουσα ε : + y ε : + y και άρα έχει μοναδική λύση την (, ), που σημαίνει ότι οι ευθείες ε, ε τέμνονται στο σημείο Α(, ) Επειδή οι συντεταγμένες του σημείου Α επαληθεύουν και την εξίσωση της ε, η ευθεία ε διέρχεται και αυτή από το Α Επομένως, οι τρεις ευθείες διέρχονται από το ίδιο σημείο Α(, ) Αν εργαστούμε, τώρα, όπως και στο ερώτημα (i) βρίσκουμε ότι: ii) Οι ευθείες ε, ε τέμνονται στο σημείο Α(, 9), το οποίο δεν ανήκει στην ε, αφού οι συντεταγμένες του δεν την επαληθεύουν Επομένως, οι ε, ε, ε δεν διέρχονται από το ίδιο σημείο Επίσης, οι ευθείες ε, ε τέμνονται στο Β(,) και οι ε, ε στο Γ(,) Άρα, οι ε, ε και ε σχηματίζουν τρίγωνο y ε : + y + iii) Επειδή, το σύστημα είναι αδύνατο και άρα ε : 4+ y + y οι ευθείες ε, ε είναι παράλληλες Οι ευθείες ε, ε τέμνονται στο Α(,), ενώ οι ευθείες ε, ε τέμνονται στο Β, iv) Τα συστήματα ε : + 9y ε : + 9y ε : + y, και ε : + y ε : + 6y 5 ε : + 6y 5 είναι αδύνατα Επομένως οι ευθείες ε, ε, ε είναι παράλληλες ανά δύο 5

7 4 Η ορίζουσα του συστήματος είναι: D β α β 4αγ () γ β i) Αν η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες, τότε θα ισχύει D β 4αγ > και επομένως, λόγω της (), το σύστημα θα έχει μοναδική λύση Αν το σύστημα έχει μοναδική λύση, τότε θα είναι D β 4αγ που σημαίνει ότι D > ή D < Όταν όμως D <, η εξίσωση αt + βt + γ είναι αδύνατη Άρα δεν ισχύει το αντίστροφο ii) Αν η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα, τότε Δ β 4αγ και επομένως το ομογενές σύστημα έχει άπειρες λύσεις 5 Οι τρεις ισότητες σχηματίζουν το ομογενές σύστημα: γ y βω γ y+ αω β+ αy ω Επειδή οι, y, ω δεν είναι όλοι μηδέν, το σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις Επομένως, η ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων είναι ίση με μηδέν Έχουμε: 6 i) Λύνουμε το σύστημα α + γ( γ αβ) β( αγ + β ) α γ αβγ αβγ β α + β + γ + αβγ + ( λ + ) y () + y λ + των δύο τελευταίων εξισώσεων και εξετάζουμε αν η λύση του (εφόσον βέβαια υπάρχει) επαληθεύει και την πρώτη εξίσωση του δοθέντος συστήματος 54

7 Έχουμε: λ + D λ λ D λ + λ λ λ( λ+ ) λ + D y + λ + λ λ Επομένως Αν λ, τότε D και άρα το σύστημα () έχει μοναδική λύση την: D Dy λ+, y D D Η λύση αυτή είναι λύση του δοθέντος συστήματος, αν και μόνο αν επαληθεύει και την πρώτη εξίσωση αυτού, δηλαδή αν και μόνο αν ισχύει: ( λ+ )( λ+ ) + ( ) λ+ λ + λ+ λ+ λ + λ + 4λ λ( λ+) 55, αφού λ Επομένως, α) Αν λ, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση την (,y) (, ), ενώ β) Αν λ,, τότε το σύστημα είναι αδύνατο Αν λ, τότε το σύστημα γράφεται: + y + y + y y + y και άρα έχει άπειρες λύσεις της μορφής Σχόλιο: Το παραπάνω σύστημα μπορεί να λυθεί και ως εξής: R

7 Αν προσθέσουμε κατά μέλη τις δύο πρώτες εξισώσεις βρίσκουμε (λ + ) + (λ + )y λ + ( λ+ ) + ( λ+ ) y λ + Επομένως το σύστημα γίνεται + ( λ + ) y + y λ + Αν λ, τότε το σύστημα γράφεται: + y + ( λ + ) y + y λ + οπότε αν λ + δηλαδή αν λ, το σύστημα είναι αδύνατο αν λ + δηλαδή αν λ, το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων της μορφής ( yy, ), y R y Αν λ, το σύστημα γράφεται και έχει μοναδική λύση την + y (, ) ii) Λύνουμε το σύστημα y λ y λ της ης και ης εξίσωσης και εξετάζουμε αν η λύση του επαληθεύει και τη η εξίσωση Έχουμε: D + D λ λ λ + λ λ και D y λ λ+ λ λ λ Επομένως το σύστημα () έχει μοναδική λύση του D D y λ, y λ D D () 56

7 Η λύση αυτή είναι λύση και του δοθέντος συστήματος, αν και μόνο αν επαληθεύει και την η εξίσωση, δηλαδή αν και μόνο αν ισχύει: λ( λ) + ( λ) + 5 λ λ + 5 57 λ + λ 5 λ ± 7 4 λ 5 ή λ Επομένως, α) Αν λ 5, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση την (, y) 5, 5 β) Αν λ, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση την (, y) (, ) γ) Αν, τότε το σύστημα είναι αδύνατο 7 i) Έχουμε: ΑX λx y λ y y λ y λ y y λ y λ y ( λ) y ( + λ) y Επομένως, υπάρχει μη μηδενικός πίνακας Χ που να ικανοποιεί την ΑΧ λχ, αν και μόνο αν το σύστημα () έχει και μη μηδενικές λύσεις, που συμβαίνει αν και μόνο αν λ ( λ)( + λ) + ( + λ) ()