Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0- Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0- ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 006-007, 3ο εξάµηνο 0.. Εισαγωγή 0... Το µοντέλο της γραµµικής παλινδρόµησης ΜΑΘΗΜΑ 0 Συµπερασµατολογία για ποσοτικές µεταβλητές (ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ) Έστω ότι έχουµε ποσοτικές µεταβλητές Χ: επεξηγηµατική ή ανεξάρτητη Υ: απόκρισης ή εξαρτηµένη Είναι λογικό ότι αν πιστεύουµε ότι η Χ επηρεάζει (επιδρά) µε κάποιο τρόπο την Υ τότε θα υπάρχει µια συνάρτηση h(x) τέτοια ώστε: y=h(x) και επειδή µιλάµε για τυχαία φαινόµενα προσθέτουµε και ένα τυχαίο όρο (σφάλµα) y=h(x)+ε ε~distributio(θ) ιαφάνεια 0- ιαφάνεια 0-3 0. ύο ποσοτικές µεταβλητές ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 0.. Εισαγωγή 0... Το µοντέλο της γραµµικής παλινδρόµησης Εισαγωγή Το µοντέλο της γραµµικής παλινδρόµησης είκτης γραµµική συσχέτισης του Pearso Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση Το µοντέλο Έλεγχοι υποθέσεων & Ερµηνεία παραµέτρων Εφαρµογή στο SPSS (Παράδειγµα 0-) Έλεγχος Προϋποθέσεων ιαγνωστικά διαγράµµατα καταλοίπων Μετασχηµατισµοί της µεταβλητής απόκρισης Σύγκριση µε το paired t-test Έστω ότι έχουµε ποσοτικές µεταβλητές Χ: επεξηγηµατική ή ανεξάρτητη Υ: απόκρισης ή εξαρτηµένη Η πιο απλή µορφή αυτής της λογικής είναι να θέσουµε τη συνάρτηση ίση µε τη γραµµική συνάρτηση δηλ. h(x)=β 0 +β x και να χρησιµοποιήσουµε την «αγαπηµένη» µας κανονική κατανοµή ως τυχαίο σφάλµα y= β 0 +β x +ε ε~ν( 0, σ ) ιαφάνεια 0- ιαφάνεια 0-4
Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-3 Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-4 0.. Εισαγωγή 0... Το µοντέλο της γραµµικής παλινδρόµησης 0.. Εισαγωγή 0... είκτης γραµµικής συσχέτισης του Pearso Πιο σωστή προσέγγιση (GLM) Χ: επεξηγηµατική ή ανεξάρτητη (γνωστή/σταθερή) Υ: απόκρισης ή εξαρτηµένη (τυχαία) Υ ~ Distributio ( θ ) g(θ) = h(x) h(x): σταθερή (µη τυχαίο) συνιστώσα g(θ): συνδετική συνάρτηση (lik fuctio) µεταξύ τυχαίας (στοχαστικής) και σταθερής (ντετερµινιστικής) συνιστώσας του µοντέλου Συνήθως h(x) γραµµική συνάρτηση ως προς X γραµµικός συνδυασµός/προσδιορισµός (liear predictor) ιαφάνεια 0-5 Cov( X, Y ) Ο δείκτης γραµµικής συσχέτισης του Pearso ρ = σ xσ y Παίρνει τιµές από έως = πλήρη θετική γραµµική σχέση - = πλήρη αρνητική γραµµική σχέση 0 = οι δύο µεταβλητές είναι ασυσχέτιστές /ανεξάρτητες ( Χi X )( Yi Y ) S Είναι ελεύθερος µονάδων xy r = = S S Ποσοτικοποιεί το βαθµό της γραµµικής εξάρτησης x y µεταξύ των δύο µεταβλητών ( Χi X ) ( Yi Y ) ιαφάνεια 0-7 εν ξεχωρίζει ποια είναι Χ και ποια Υ 0.. Εισαγωγή 0... Το µοντέλο της γραµµικής παλινδρόµησης Πιο σωστή προσέγγιση (GLM type) Χ: επεξηγηµατική ή ανεξάρτητη (γνωστή/σταθερή) Υ: απόκρισης ή εξαρτηµένη (τυχαία) 0.. Εισαγωγή 0... είκτης γραµµικής συσχέτισης του Pearso Παράδειγµα 0- [world95] Να εξετασθεί η γραµµική σχέση µεταξύ Αναµενόµενου χρόνου ζωής ανδρών και γυναικών Lifexpf lifexpm Πληθυσµού και πυκνότητας πληθυσµού. Υ ~ ormal( µ, σ ) [θ=(µ,σ ) T ] µ = β 0 +β x [g(θ)=µ] ιαφάνεια 0-6 ιαφάνεια 0-8
Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-5 Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-6 0.. Εισαγωγή 0... είκτης γραµµικής συσχέτισης του Pearso 0.. Εισαγωγή 0... είκτης γραµµικής συσχέτισης του Pearso Παράδειγµα 0- [world95] Να εξετασθεί η γραµµική σχέση µεταξύ Αναµενόµενου χρόνου ζωής ανδρών και γυναικών Lifexpf lifexpm Παράδειγµα 0- [world95] Να εξετασθεί η γραµµική σχέση µεταξύ Πληθυσµού και πυκνότητας πληθυσµού lifeexpf Average female life expectacy lifeexpm Average male life expectacy Correlatios Pearso Correlatio Sig. (-tailed) Pearso Correlatio Sig. (-tailed) **. Correlatio is sigificat at the 0.0 level (-tailed). lifeexpf Average female life expectacy lifeexpm Average male life expectacy.98**.000 09 09.98**.000 09 09 Ο πίνακας είναι συµµετρικός Η διαγώνιος είναι εφόσον είναι οι συσχετίσεις της κάθε µεταβλητής µε τον εαυτό της populat Populatio i thousads desity umber of people / sq. kilometer Correlatios Pearso Correlatio Sig. (-tailed) Pearso Correlatio Sig. (-tailed) populat Populatio i desity umber of people / sq. thousads kilometer -.08.850 09 09 -.08.850 09 09 Είναι λογικό αυτό; ιαφάνεια 0-9 ιαφάνεια 0-0.. Εισαγωγή 0... είκτης γραµµικής συσχέτισης του Pearso 0.. Εισαγωγή 0... είκτης γραµµικής συσχέτισης του Pearso Παράδειγµα 0- [world95] Να εξετασθεί η γραµµική σχέση µεταξύ Αναµενόµενου χρόνου ζωής ανδρών και γυναικών Lifexpf lifexpm Παράδειγµα 0- [world95] Να εξετασθεί η γραµµική σχέση µεταξύ Πληθυσµού και πυκνότητας πληθυσµού lifeexpf Average female life expectacy lifeexpm Average male life expectacy Correlatios Pearso Correlatio Sig. (-tailed) Pearso Correlatio Sig. (-tailed) lifeexpf Average female life expectacy lifeexpm Average male life expectacy.98**.000 09 09.98**.000 09 09 **. Correlatio is sigificat at the 0.0 level (-tailed). Μέγεθος δείγµατος Αν p-value<0.0 τότε ** Αν 0.0<p-value<0.05 τότε * Ο δείκτης γρ.συσχέτισης του Pearso p-value για τον έλεγχο Η 0 : ρ=0 έναντι της Η : ρ 0 ιαφάνεια 0-0 ιαφάνεια 0-
Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-7 Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-8 0.. Εισαγωγή 0... είκτης γραµµικής συσχέτισης του Pearso 0.. Εισαγωγή 0... είκτης γραµµικής συσχέτισης του Pearso Επιπλέον σχόλια Ο δείκτης προϋποθέτει Χ,Υ να είναι τυχαίες µεταβλητές Σαν δείκτης µπορεί να χρησιµοποιηθεί ανεξάρτητα κανονικότητας Ο έλεγχος προϋποθέτει κανονικότητα ή µεγάλο δείγµα Εναλλακτικά µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τους µη παραµετρικούς δείκτες συσχέτισης Αν η σχέση είναι ισχυρή αλλά µη γραµµική ο δείκτης θα µας δείξει πόσο καλά προσεγγίζεται από τη γραµµική σχέση Σύµφωνα µε τους Chatfield & Collis (980, σελ. 40-4) Ο έλεγχος είναι σχετικά συντηρητικός δηλ. µικρά r θα µας δώσουν εξάρτηση (κάποιου είδους) ειδικά για µεγάλα δείγµατα Εµπειρικός κανόνας: ισχυρή γρ. σχέση για r>0.70 Ο ρδεν εκτιµάται αξιόπιστα για µικρά δείγµατα (<) ΠΙΝΑΚΕΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ (ΣΥΜΜΑΖΕΜΑ) Μόνο δείκτες συσχέτισης ή p-value δεκαδικό για τα r Μονάδες στη διαγώνιο Οµαδοποίηση παρόµοιων µεταβλητών χρησιµοποιήστε σύµβολα (αστεράκια) ή χρώµατα να τονίσετε σηµαντικές σχέσεις Αν παρόλα αυτά δε βγαίνει νόηµα σβήστε τα νούµερα (κρατήστε µόνο σύµβολα) Χρησιµοποιήστε path diagrams ιαφάνεια 0-3 ιαφάνεια 0-5 0.. Εισαγωγή 0... είκτης γραµµικής συσχέτισης του Pearso 0.. Εισαγωγή 0... είκτης γραµµικής συσχέτισης του Pearso ΠΙΝΑΚΕΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Correlatios ΠΙΝΑΚΕΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ log_de log_pop Log (base 0) of Populatio populat Populatio i thousads Pearso Correlatio Sig. (-tailed) Pearso Correlatio Sig. (-tailed) Pearso Correlatio Sig. (-tailed) desity lifeexpf lifeexpm pop_icr log_pop Log populat umber of urba Average Average literacy Populatio (base 0) of Populatio i people / sq. People livig female life male life People who icrease (% log_de Populatio thousads kilometer i cities (%) expectacy expectacy read (%) per year)).43.8.56**.05.6.53.084 -.5**.37.4.000.876.9.3.388.008 09 09 09 09 08 09 09 07 09.43.59** -.09 -.38 -.088 -.08 -.050 -.078.37.000.343.55.365.396.60.48 09 09 09 09 08 09 09 07 09.8.59** -.08 -.75 -.07 -.033 -.064 -.050.4.000.850.07.46.737.56.603 09 09 09 09 08 09 09 07 09 desity umber of Pearso Correlatio.56** -.09 -.08.3*.8.5.03 -.65 people / sq. kilometer Sig. (-tailed).000.343.850.00.86.7.753.086 09 09 09 09 08 09 09 07 09 urba People livig i Pearso Correlatio.05 -.38 -.75.3*.743**.730**.650** -.375** cities (%) Sig. (-tailed).876.55.07.00.000.000.000.000 08 08 08 08 08 08 08 07 08 lifeexpf Average Pearso Correlatio.6 -.088 -.07.8.743**.98**.865** -.579** female life expectacy Sig. (-tailed).9.365.46.86.000.000.000.000 09 09 09 09 08 09 09 07 09 lifeexpm Average Pearso Correlatio.53 -.08 -.033.5.730**.98**.809** -.50** male life expectacy Sig. (-tailed).3.396.737.7.000.000.000.000 09 09 09 09 08 09 09 07 09 literacy People who Pearso Correlatio.084 -.050 -.064.03.650**.865**.809** -.699** read (%) Sig. (-tailed).388.60.56.753.000.000.000.000 07 07 07 07 07 07 07 07 07 pop_icr Populatio Pearso Correlatio -.5** -.078 -.050 -.65 -.375** -.579** -.50** -.699** icrease (% per year)) Sig. (-tailed).008.48.603.086.000.000.000.000 09 09 09 09 08 09 09 07 09 **. Correlatio is sigificat at the 0.0 level (-tailed). *. Correlatio is sigificat at the 0.05 level (-tailed). ιαφάνεια 0-4 ιαφάνεια 0-6
Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-9 Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-0 0.. Εισαγωγή 0... είκτης γραµµικής συσχέτισης του Pearso 0.. Εισαγωγή 0... είκτης γραµµικής συσχέτισης του Pearso ΠΙΝΑΚΕΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ ΠΙΝΑΚΕΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ ιαφάνεια 0-7 ιαφάνεια 0-9 0.. Εισαγωγή 0... είκτης γραµµικής συσχέτισης του Pearso 0.. Εισαγωγή 0... είκτης γραµµικής συσχέτισης του Pearso ΠΙΝΑΚΕΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ ΠΙΝΑΚΕΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ/ PATH DIAGRAM Πληθυσµός Λογάριθµος Πληθυσµού Πυκνότητα Πληθυσµού Λογ. Πυκνότητας Πληθυσµού Αναµενόµενος χρόνος ζωής γυναικών Αναµενόµενος χρόνος ζωής ανδρών % που διαβάζουν Αύξηση Πληθυσµού % Αστικού πληθυσµού ιαφάνεια 0-8 ιαφάνεια 0-0
Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0- Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-0.. Εισαγωγή 0... είκτης γραµµικής συσχέτισης του Pearso 0... Το µοντέλο ΠΙΝΑΚΕΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ/ ΑΛΛΕΣ ΕΠΙΛΟΓΕΣ ΣΤΟ SPSS Σηµείωση σηµαντικών συσχετίσεων Μη παραµετρικοί δείκτες του Kedall και του Spearma Έλεγχοι διπλής ή µονής ουράς Το µοντέλο: Y=β 0 +β x +ε, ε~ν( 0, σ ) ή ισοδύναµα Y~Ν(µ, σ ), Ε(Y)=µ=β 0 +β x Μοντέλο και δεδοµένα: Υ i, X i ζεύγη τιµών για,,, Y i =β 0 +β x i +ε i, ε i ~Ν( 0, σ ) Y i ~Ν( µ i, σ ), µ i =β 0 +β x i ιαφάνεια 0- ιαφάνεια 0-3 0.. Εισαγωγή 0... είκτης γραµµικής συσχέτισης του Pearso 0... Το µοντέλο ΠΙΝΑΚΕΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ/ ΑΛΛΕΣ ΕΠΙΛΟΓΕΣ ΣΤΟ SPSS Μέσοι & τυπικές αποκλίσεις Συνδιακυµάνσεις Χειρισµός Αγνοούµενων τιµών: *Αφαίρεση ανά ζεύγος µεταβλητών *Αφαίρεση όλης της παρατήρησης από όλες τις συσχετίσεις ιαφάνεια 0- ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ+ΟΡΟΛΟΓΙΑ ˆ β0, ˆ β : ειγµατικές Εκτιµήσεις των β 0 και β ŷ i : Αναµενόµενη/προβλεπόµενη yˆ i = ˆ β 0 + ˆ βx i τιµή (σύµφωνα µε το µοντέλο) της µεταβλητής απόκρισης για το i άτοµο e i : Κατάλοιπο/σφάλµα της ei = yi yˆ i = yi ˆ β0 ˆ βxi ν παλινδρόµησης (εκτίµηση του ε i ) ei σˆ : Εκτίµηση της διακύµανσης ι= ˆ σ = των σφαλµάτων ιαφάνεια 0-4
Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-3 Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-4 0... Το µοντέλο 0... Το µοντέλο ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ+ΟΡΟΛΟΓΙΑ σˆ : Εκτίµηση της διακύµανσης των σφαλµάτων R : Συντελεστής προσδιορισµού (coefficiet of determiatio, Rya, 997, σελ. 9) δείκτης καλής προσαρµογής Τιµές από 0 έως Ποσοστό διακύµανσης που εξηγείται από το µοντέλο (για µεγάλο ) Στην απλή παλινδρόµηση ίσο µε r R adj : δείκτης καλής προσαρµογής Τιµές από 0 έως Ποσοστό διακύµανσης που εξηγείται από το µοντέλο Πιο χρήσιµος στην πολλαπλή παλινδρόµηση ei ˆ ι= σ = ιαφάνεια 0-5 ν ( ) ˆ σ R = ( ) s ˆ σ R adj = sυ Υ ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ: Ανεξαρτησία σφαλµάτων (και Υ) Κανονικότητα σφαλµάτων (και Υ) Οµοσκεδαστικότητα σφαλµάτων (και Υ) Γραµµικότητα µεταξύ Χ και Υ ουλεύουµε µε κατάλοιπα e i ιαφάνεια 0-7 0... Το µοντέλο 0... Έλεγχοι υποθέσεων & Ερµηνεία ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ+ΟΡΟΛΟΓΙΑ ˆ β0, ˆ β : ειγµατικές Εκτιµήσεις των β 0 και β X iyi XY ( X i ˆβ = = Χi X = ˆ β ( Y Y ) i ( X X ) i ˆ β X )( Y Y ) ( X X ) 0 = Y Χ ιαφάνεια 0-6 i ( X i X )( Yi Y ) s = s ( X X ) i i y x r Μας ενδιαφέρει η σχέση Χ & Υ: Η 0 : β =0 έναντι της εναλλακτικής Η : β 0 ΕΥΤΕΡΕΥΩΝ ΕΛΕΓΧΟΣ: Η 0 : β 0 =0 έναντι της εναλλακτικής Η : β 0 0 Κατά πόσο µπορούµε να προβλέψουµε την Y µε τη χρήση της Χ; [ΟΤΑΝ ΜΑΣ ΕΝ ΙΑΦΕΡΕΙ ΠΡΟΒΛΕΨΗ] ιαφάνεια 0-8
Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-5 Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-6 0... Έλεγχοι υποθέσεων & Ερµηνεία 0... Έλεγχοι υποθέσεων & Ερµηνεία Μας ενδιαφέρει η σχέση Χ & Υ: Η 0 : β =0 έναντι της εναλλακτικής Η : β 0 ισοδύναµο µε τον έλεγχο για συσχέτιση µεταξύ Χ και Υ ίνει την κλίση της ευθείας Μας ενδιαφέρει για την ερµηνεία των αιτιολογικών σχέσεων µεταξύ φαινοµένων µεταβλητών ΕΡΜΗΝΕΙΑ: Εξετάζει πόσο αναµένουµε να αυξηθεί η Υ µε µία µονάδα αύξησης της Χ Η τιµή του β επηρεάζεται από την κλίµακα (µονάδες µέτρησης) των Χ & Υ. Το ρ (και r) και ο αντίστοιχος έλεγχος δεν επηρεάζονται. ιαφάνεια 0-9 Μας ενδιαφέρει η σχέση Χ & Υ: ΟΤΑΝ ΜΑΣ ΕΝ ΙΑΦΕΡΕΙ ΠΡΟΒΛΕΨΗ: Κατά πόσο µπορούµε να προβλέψουµε την Y µε τη χρήση της Χ; Μπορούµε να προβλέψουµε την αναµενόµενη τιµή του Υ για κάθε τιµή του Χ Το σ & το R µας δίνουν την ακρίβεια της πρόβλεψης. R >0.7 καλές προβλέψεις, R >0.9 πολύ καλές προβλέψεις ΠΡΟΣΟΧΗ: οι προβλέψεις είναι σωστές αποδεκτές και αξιόπιστες µόνο για τις τιµές του Χ που έχουµε παρατηρήσει εν µπορούµε να προβλέψουµε κάτι που δεν το έχουµε µελετήσει Πολλές φορές κάνουµε πρόβλεψη για τιµές εκτός του παρατηρούµενου εύρους τιµών της Χ (extrapolatio) Αυτές οι προβλέψεις χρησιµοποιούνται σαν οδηγός µόνο Υποθέτουµε ότι η ίδια σχέση υπάρχει και στις άλλες τιµές του Χ (αυτές που δεν έχουµε παρατηρήσει). ιαφάνεια 0-3 0... Έλεγχοι υποθέσεων & Ερµηνεία 0..3. Εφαρµογή στο SPSS Μας ενδιαφέρει η σχέση Χ & Υ: ΕΥΤΕΡΕΥΩΝ ΕΛΕΓΧΟΣ: Η 0 : β 0 =0 έναντι της εναλλακτικής Η : β 0 0 Μας δίνει το σηµείο που η ευθεία τέµνει τον κάθετο άξονα ΥΥ δηλαδή την τιµή του Υ όταν Χ=0 ΕΡΜΗΝΕΙΑ: Η αναµενόµενη τιµή του Υ όταν Χ=0 Πολλές φορές η τιµή αυτή δεν έχει ερµηνεία (διότι η τιµή Χ=0 δεν παρατηρείται ποτέ στην πράξη) Άλλες φορές θέτουµε β 0 =0 εκ-των-προτέρων και ανεξαρτήτως ελέγχου λόγω κοινής λογικής Πολλές φορές «βολεύει» για λόγους ερµηνείας αντί της Χ να χρησιµοποιήσουµε την Χ * =Χ X. Τότε Το β δεν αλλάζει Το β 0 είναι ίσο µε την αναµενόµενη τιµή του Υ όταν Χ είναι ίσο µε το δειγµατικό µέσο ιαφάνεια 0-30 Παράδειγµα 0- [05_dataset5.dat] Ο υπεύθυνος των logistics µιας εταιρείας, ενδιαφέρεται να εκτιµήσει το χρόνο παράδοσης (άρα και το αντίστοιχο κόστος) κάθε φορτίου ανάλογα µε την απόσταση. Για το λόγο αυτό πήρε ένα τυχαίο δείγµα 0 φορτωτικών και κατέγραψε την απόσταση σε µίλια και τις ηµέρες παράδοσης. Να κατασκευαστεί ένα µοντέλο που θα βοηθήσει τον υπεύθυνο της εταιρείας Φορτωτική Απόσταση σε µίλια Χρόνος παράδοσης σε ηµέρες 85 3.5 5.0 ιαφάνεια 0-3 3 070 4.0 4 55 0.0 5 48 0.0 6 90 3.0 7 350 4.5 8 35.5 9 670 3.0 0 5 5.0
Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-7 Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-8 0..3. Εφαρµογή στο SPSS Παράδειγµα 0- Μονάδα µελέτης: φορτωτική Μέγεθος δείγµατος: = φορτωτικές Χαρακτηριστικά p=3 Αριθµός φορτωτικής Απόσταση Χρόνος παράδοσης Ποια είναι Χ & ποια Υ; 0..3. Εφαρµογή στο SPSS Παράδειγµα 0-: ιαγραµµατική απεικόνιση SCATTERPLOT ιαφάνεια 0-33 ιαφάνεια 0-35 0..3. Εφαρµογή στο SPSS Παράδειγµα 0- ΑΝΑΛΥΣΗ ΒΗΜΑΤΑ Ανάλυση ανά µία µεταβλητή ιαγραµµατική απεικόνιση (Scatter-plot) είκτες συσχέτισης Μοντέλο Παλινδρόµησης Έλεγχος Προϋποθέσεων (Ανάλυση καταλοίπων) 0..3. Εφαρµογή στο SPSS Παράδειγµα 0-: ιαγραµµατική απεικόνιση SCATTERPLOT + ΓΡΑΜΜΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ R =0.9 ιαφάνεια 0-34 ιαφάνεια 0-36
Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-9 Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-0 0..3. Εφαρµογή στο SPSS Παράδειγµα 0-: Συσχέτιση Ρίχνουµε µια µατιά σε κανονικότητα (ελέγχους QQplot Ιστογράµµατα) distace delivery ΕΛΕΓΧΟΙ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ Tests of ormality Kolmogorov-Smirov a Shapiro-Wilk Statistic df Sig. Statistic df Sig.. 0.00*.970 0.89.4 0.00*.937 0.50 *. This is a lower boud of the true sigificace. a. Lilliefors Sigificace Correctio 0..3. Εφαρµογή στο SPSS Παράδειγµα 0-: Συσχέτιση ΕΙΚΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ ΤΟΥ PEARSO distace delivery Correlatios Pearso Correlatio Sig. (-tailed) Pearso Correlatio Sig. (-tailed) **. Correlatio is sigificat at the 0.0 level ( il d) distace delivery.949**.000 0 0.949**.000 0 0 ιαφάνεια 0-37 ιαφάνεια 0-39 0..3. Εφαρµογή στο SPSS Παράδειγµα 0-: Συσχέτιση QQPLOTS 0..3. Εφαρµογή στο SPSS Παράδειγµα 0-: Συσχέτιση ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΟΙ ΕΙΚΤΕΣ Correlatios Kedall's tau_b Spearma's rho distace delivery distace delivery Correlatio Coefficiet Sig. (-tailed) Correlatio Coefficiet Sig. (-tailed) Correlatio Coefficiet Sig. (-tailed) Correlatio Coefficiet Sig. (-tailed) **. Correlatio is sigificat at the 0.0 level (-tailed). distace delivery.000.84**..00 0 0.84**.000.00. 0 0.000.945**..000 0 0.945**.000.000. 0 0 ιαφάνεια 0-38 ιαφάνεια 0-40
Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0- Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-0..3. Εφαρµογή στο SPSS Παράδειγµα 0-: Παλινδρόµηση ΠΕΡΙΛΗΠΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΟΝΤΕΛΟΥ Εξαρτηµένη µεταβλητή ανεξάρτητη µεταβλητή 0..3. Εφαρµογή στο SPSS Παράδειγµα 0-: Παλινδρόµηση ΠΕΡΙΛΗΠΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΟΝΤΕΛΟΥ R = % διακύµανσης που εξηγείται από το µοντέλο Χρησιµοποιείται ως µέτρο καλής προσαρµογής ή πρόβλεψης αυξάνει µε κάθε µεταβλητή που προσθέτουµε εν ΠΡΕΠΕΙ να χρησιµοποιείται ως κριτήριο επιλογής µοντέλου (ΓΕΝΙΚΑ) Μπορούµε να συγκρίνουµε µοντέλα µε ίδιο αριθµό µεταβλητών (άρα και µοντέλα απλής γραµµικής παλινδρόµησης) Στην απλή παλινδρόµηση R =r Model Summary Model R R Square Adjusted R Square Std. Error of the Estimate.949 a.900.888.4800 a. Predictors: (Costat), distace ιαφάνεια 0-4 ιαφάνεια 0-43 0..3. Εφαρµογή στο SPSS Παράδειγµα 0-: Παλινδρόµηση ΠΕΡΙΛΗΠΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΟΝΤΕΛΟΥ Multiple Correlatio Coefficiet (Συντελεστής πολλαπλής συσχέτισης) Παίρνει τιµές από 0 έως Στην απλή παλινδρόµηση R= r Model Summary Model R R Square Adjusted R Square Std. Error of the Estimate.949 a.900.888.4800 a. Predictors: (Costat), distace ιαφάνεια 0-4 0..3. Εφαρµογή στο SPSS Παράδειγµα 0-: Παλινδρόµηση ΠΕΡΙΛΗΠΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΟΝΤΕΛΟΥ R adj = % διακύµανσης που εξηγείται από το µοντέλο διορθωµένο για τον αριθµό των µεταβλητών Λαµβάνει υπόψη του τις µεταβλητές Χρησιµοποιείται ως µέτρο καλής προσαρµογής ή πρόβλεψης ΕΝ αυξάνει µε κάθε µεταβλητή που προσθέτουµε ΜΠΟΡΕΙ να χρησιµοποιηθεί ως κριτήριο επιλογής µοντέλου (ΓΕΝΙΚΑ) Στην απλής γραµµικής παλινδρόµησης δε διαφέρει πολύ από το R. Model Summary Model R R Square Adjusted R Square Std. Error of the Estimate.949 a.900.888.4800 a. Predictors: (Costat), distace ιαφάνεια 0-44
Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-3 Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-4 0..3. Εφαρµογή στο SPSS Παράδειγµα 0-: Παλινδρόµηση ΠΕΡΙΛΗΠΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΟΝΤΕΛΟΥ Τυπικό απόκλιση των σφαλµάτων Εκτίµηση του σ Συνδέεται άµεσα µε την ακρίβεια των προβλέψεων του µοντέλου Model Summary Model R R Square Adjusted R Square Std. Error of the Estimate.949 a.900.888.4800 a. Predictors: (Costat), distace ιαφάνεια 0-45 Παράδειγµα 0-: Παλινδρόµηση ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΥ Model 0..3. Εφαρµογή στο SPSS Στην απλή παλινδρόµηση ελέγχει την υπόθεση: Η 0 : β =0 έναντι της εναλλακτικής Η : β 0 ΠΡΟΣΟΧΗ: στην πολλαπλή (που ακολουθεί, ενοτ. 8) η υπόθεση είναι διαφορετική ΕΛΕΓΧΕΙ ΚΑΤΑ ΠΟΣΟ ΤΟ ΤΡΕΧΩΝ ΜΟΝΤΕΛΟ ΙΑΦΕΡΕΙ ΑΠΟ ΤΟ ΣΤΑΘΕΡΟ (δηλαδή το µοντέλο y=β 0 +ε) Regressio Residual Total a. Predictors: (Costat), distace b. Depedet Variable: delivery AOVA b Sum of Squares df Mea Square F Sig. 6.68 6.68 7.396.000 a.843 8.30 8.55 9 ιαφάνεια 0-47 0..3. Εφαρµογή στο SPSS Παράδειγµα 0-: Παλινδρόµηση ΠΕΡΙΛΗΠΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΟΝΤΕΛΟΥ Υποσηµείωση που δείχνει τις µεταβλητές που χρησιµοποιούνται ως ανεξάρτητες: Εδώ έχουµε τον σταθερό όρο και την «απόσταση» 0..3. Εφαρµογή στο SPSS Παράδειγµα 0-: Παλινδρόµηση ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΗΜΕΡΕΣ ΠΑΡΑ ΟΣΗΣ = 0.8 + 0.00359 ΜΙΛΙΑ + ε, ε~ormal(0, 0.48 ) Model Summary Model R R Square Adjusted R Square Std. Error of the Estimate.949 a.900.888.4800 a. Predictors: (Costat), distace ιαφάνεια 0-46 Model (Costat) distace a. Depedet Variable: delivery Ustadardized Coefficiets Coefficiets a Stadardized Coefficiets B Std. Error Beta t Sig..8.355.333.748.00359.0004.949 8.509.000 ιαφάνεια 0-48
Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-5 Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-6 0..3. Εφαρµογή στο SPSS Παράδειγµα 0-: Παλινδρόµηση ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΤΥΠΙΚΑ ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΕΚΤΙΜΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ = Var( ˆ β ) = 0.355, ˆ σ = Var( ˆ β ) = 0.0004 ˆ ˆ β 0 ˆ 0 β σ 0..3. Εφαρµογή στο SPSS Παράδειγµα 0-: Παλινδρόµηση ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΜΟΝΤΕΛΟΥ P-values για τους έλεγχους στατιστικής σηµαντικότητας κάθε παραµέτρου Model (Costat) distace a. Depedet Variable: delivery Ustadardized Coefficiets Coefficiets a Stadardized Coefficiets B Std. Error Beta t Sig..8.355.333.748.00359.0004.949 8.509.000 ιαφάνεια 0-49 Model (Costat) distace a. Depedet Variable: delivery Ustadardized Coefficiets Coefficiets a Stadardized Coefficiets B Std. Error Beta t Sig..8.355.333.748.00359.0004.949 8.509.000 ιαφάνεια 0-5 Model 0..3. Εφαρµογή στο SPSS Παράδειγµα 0-: Παλινδρόµηση ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ˆ β t = ˆ σ ˆ ˆ β ˆ 0.00359 β 0 0.8 β t ˆ = = = 0.333, t ˆ = = = 8.57 β0 β ˆ σ 0.355 ˆ σ 0.0004 Ελεγχοσυναρτήσεις t για τον έλεγχο αν κάθε παράµετρος είναι µηδέν ή όχι ˆ β0 (Costat) distace a. Depedet Variable: delivery Ustadardized Coefficiets Coefficiets a Stadardized Coefficiets B Std. Error Beta t Sig..8.355.333.748.00359.0004.949 8.509.000 ιαφάνεια 0-50 ˆ β Model 0..3. Εφαρµογή στο SPSS Παράδειγµα 0-: Παλινδρόµηση ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΜΟΝΤΕΛΟΥ Τυποποιηµένοι συντελεστές Οι συντελεστές αν χρησιµοποιήσουµε τις τυποποιηµένες µεταβλητές Ζ X και Ζ Y Ο τυποποιηµένος συντελεστής του β 0 είναι πάντα 0 Ερµηνεία: πόσες τυπικές αποκλίσεις αναµένουµε να αυξηθεί η Υ όταν Χ αυξάνεται κατά µία τυπική απόκλιση; (Costat) distace a. Depedet Variable: delivery Ustadardized Coefficiets Coefficiets a Stadardized Coefficiets B Std. Error Beta t Sig..8.355.333.748.00359.0004.949 8.509.000 ιαφάνεια 0-5
Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-7 Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-8 Model 0..3. Εφαρµογή στο SPSS Παράδειγµα 0-: Παλινδρόµηση ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΜΟΝΤΕΛΟΥ Τυποποιηµένοι συντελεστές Στην γραµµική παλινδρόµηση ο τυποποιηµένος συντελεστής του β 0 είναι ίσος µε τον συντελεστή του Pearso (Costat) distace a. Depedet Variable: delivery Ustadardized Coefficiets Coefficiets a Stadardized Coefficiets B Std. Error Beta t Sig..8.355.333.748.00359.0004.949 8.509.000 ιαφάνεια 0-53 0..3. Εφαρµογή στο SPSS Παράδειγµα 0-: Παλινδρόµηση ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΣ β Έστω Χ =Χ και Χ =Χ+ τότε µ = β 0 +β Χ = β 0 +β Χ µ = β 0 +β Χ = β 0 +β (Χ+) µ=µ -µ =β 0 +β (Χ+)-β 0 -β Χ=β ιαφάνεια 0-55 0..3. Εφαρµογή στο SPSS 0..3. Εφαρµογή στο SPSS Παράδειγµα 0-: Παλινδρόµηση ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΣ β =0.00359 ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΧΕΣΗ; ΝΑΙ P=0.000<0.05 δηλαδή απορρίπτουµε τη Η 0 => Συνεπώς η απόσταση επηρεάζει τον χρόνο παράδοσης ΤΙ ΣΧΕΣΗ; ΘΕΤΙΚΗ β >0 συνεπώς θετική σχέση => όσο αυξάνει η απόσταση τόσο µεγαλώνει ο χρόνος παράδοσης ΠΟΣΟ ΕΠΗΡΕΑΖΕΙ Η ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΤΗΝ ΠΑΡΑ ΟΣΗ; Με κάθε επιπλέον µίλι ο αναµενόµενος χρόνος παράδοσης αυξάνει κατά 0.00359 µέρες (περίπου 5 λεπτά) Με κάθε επιπλέον 00 µίλια ο αναµενόµενος χρόνος παράδοσης αυξάνει κατά 0.359 µέρες (περίπου 8.6 ώρες) ιαφάνεια 0-54 Παράδειγµα 0-: Παλινδρόµηση ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΣ β 0 =0.8 ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ; ΟΧΙ P=0.748>0.05 δηλαδή δεν απορρίπτουµε τη Η 0 => Συνεπώς η σταθερά µπορεί να θεωρηθεί 0 και να αφαιρεθεί από το µοντέλο ΕΡΜΗΝΕΙΑ; Όταν η απόσταση είναι µηδενική τότε ο χρόνος παράδοσης είναι 0.8 µέρες (.8 ώρες) Χρόνος παράδοσης όταν το φορτίο είναι πολύ κοντά ΠΡΟΣΟΧΗ είναι εκτός των ορίων της Χ ΝΑ ΤΟ ΑΦΑΙΡΕΣΟΥΜΕ; ΜΑΛΛΟΝ ΝΑΙ Εδώ η λογική και ο έλεγχος µας λέει ναι ιαφάνεια 0-56
Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-9 Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-30 0..3. Εφαρµογή στο SPSS Παράδειγµα 0-: Παλινδρόµηση ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΒΛΕΠΤΙΚΗ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ/ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ R=r=0.95 & R =0.89; Υψηλή σχέση Υψηλή προσαρµογή και καλή προβλεπτική ικανότητα 89% της διακύµανσης εξηγείται από το µοντέλο r 0..3. Εφαρµογή στο SPSS Παράδειγµα 0-: Παλινδρόµηση ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ β s ( st) Z y ˆ ( st Z β Z 0 ˆβ = r = r ˆ ( st) ) 0 = x y = β Z xz y = ( Z Z )( Z Z ) x, i x y, i y ( Z x, i Z x ) ( Z y, i Z ) y = s Z x Z x, i Z Z x, i y, i Z xz y Z y, i = = Z xz y i X Yi Y Χ i sx s = y Χi X Yi Y s x i s = y = r XY ιαφάνεια 0-57 ιαφάνεια 0-59 0..3. Εφαρµογή στο SPSS Παράδειγµα 0-: Παλινδρόµηση ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ β =0.949 Αν η απόσταση αυξηθεί κατά µία τυπική απόκλιση (380 µίλια) τότε ο χρόνος παράδοσης αναµένουµε να αυξηθεί κατά 0.95 τυπικές αποκλίσεις (δηλαδή κατά 0.949*.435=.36 µέρες). Descriptive Statistics 0..4. Έλεγχος προϋποθέσεων Παράδειγµα 0-: Έλεγχος προϋποθέσεων ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ Κανονικότητα σφαλµάτων (και Υ) Ανεξαρτησία σφαλµάτων (και Υ) Οµοσκεδαστικότητα σφαλµάτων (και Υ) Γραµµικότητα µεταξύ Χ και Υ distace delivery Valid (listwise) Miimum Maximum Mea Std. Deviatio 0 5 350 76.00 379.746 0.0 5.0.850.4347 0 ουλεύουµε µε κατάλοιπα e i ιαφάνεια 0-58 ιαφάνεια 0-60
Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-3 Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-3 0..4. Έλεγχος προϋποθέσεων Παράδειγµα 0-: Έλεγχος προϋποθέσεων ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ 0..4. Έλεγχος προϋποθέσεων Παράδειγµα 0-: Έλεγχος προϋποθέσεων ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ ιαγραµµατική απεικόνιση κατανοµής των καταλοίπων ιαφάνεια 0-6 Αποθήκευση τυποποιηµένων καταλοίπων ιαφάνεια 0-63 0..4. Έλεγχος προϋποθέσεων Παράδειγµα 0-: Έλεγχος προϋποθέσεων ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ 0..4. Έλεγχος προϋποθέσεων Παράδειγµα 0-: Έλεγχος προϋποθέσεων ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ Έλεγχος κανονικότητας τυποποιηµένων καταλοίπων (EXPLORE) ZRE_ Stadardized Residual *. This is a lower boud of the true sigificace. a. Lilliefors Sigificace Correctio Tests of ormality Kolmogorov-Smirov a Shapiro-Wilk Statistic df Sig. Statistic df Sig..40 0.00*.934 0.487 OK µε την προϋπόθεση κανονικότητας ιαφάνεια 0-6 ιαφάνεια 0-64
Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-33 Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-34 0..4. Έλεγχος προϋποθέσεων Παράδειγµα 0-: Έλεγχος προϋποθέσεων ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ Η ανεξαρτησία των καταλοίπων δεν είναι εύκολα ελεγχόµενη Time sequece plot Έλεγχος τυχαιότητας (RUS TEST) Έλεγχος για αυτοσυσχετίσεις [κυρίως για χρονολογικά δεδοµένα] δείκτης Durbi Watso (συσχέτιση διαδοχικών σφαλµάτων αυτοσυσχέτιση ης τάξης) Box-Ljug έλεγχος αυτοσυσχετίσεων και ACF Plots AR µοντέλα Για λεπτοµέρειες βλ. Rya 997 σελ. 46-47 0..4. Έλεγχος προϋποθέσεων Παράδειγµα 0-: Έλεγχος προϋποθέσεων ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ RUS TEST ιαφάνεια 0-65 ιαφάνεια 0-67 0..4. Έλεγχος προϋποθέσεων Παράδειγµα 0-: Έλεγχος προϋποθέσεων ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ TIME SEQUECE PLOT 0..4. Έλεγχος προϋποθέσεων Παράδειγµα 0-: Έλεγχος προϋποθέσεων ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ RUS TEST Rus Test ιαφάνεια 0-66 Test Value a Cases < Test Value Cases >= Test Value Total Cases umber of Rus Z Asymp. Sig. (-tailed) Exact Sig. (-tailed) Poit Probability a. Media ZRE_ Stadardized Residual.6337 5 5 0 3 -.677.094.079.03 εν απορρίπτεται η υπόθεση της τυχαιότητας για α=0.05 ιαφάνεια 0-68
Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-35 Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-36 0..4. Έλεγχος προϋποθέσεων 0..4. Έλεγχος προϋποθέσεων Παράδειγµα 0-: Έλεγχος προϋποθέσεων ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ Η ανεξαρτησία των καταλοίπων δεν είναι εύκολα ελεγχόµενη Μπορούµε να ελέγξουµε αυτοσυσχέτιση µε τον δείκτη Durbi Watso [κυρίως για χρονολογικά δεδοµένα] 0<D<4 0<D< θετική αυτοσυσχέτιση <D<4 αρνητική αυτοσυσχέτιση D= δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση Έλεγχος από πίνακες: Μόνο για 5 00 D<d L απορρίπτουµε την υπόθεση µηδενικής αυτοσυσχέτισης D>d U δεν απορρίπτουµε την υπόθεση µηδενικής αυτοσυσχέτισης ιαφορετικά δεν µπορούµε να αποφασίσουµε Χοντρικά µπορούµε να απορρίψουµε τη µηδενική αυτοσυσχέτιση για.5<d<.5 [d L για =00, p=] ιαφάνεια 0-69 Παράδειγµα 0-: Έλεγχος προϋποθέσεων ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ Model Summary b Model R R Square Adjusted R Square Std. Error of the Estimate Durbi- Watso.949 a.900.888.4800.753 a. Predictors: (Costat), distace b. Depedet Variable: delivery Έλεγχος Durbi Watso Επικίνδυνα χαµηλή τιµή ιαφάνεια 0-7 0..4. Έλεγχος προϋποθέσεων Παράδειγµα 0-: Έλεγχος προϋποθέσεων ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ 0..4. Έλεγχος προϋποθέσεων Παράδειγµα 0-: Έλεγχος προϋποθέσεων ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ ACF PLOTS και έλεγχοι BOX-LJUG Έλεγχος Durbi Watso ιαφάνεια 0-70 ιαφάνεια 0-7
Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-37 Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-38 0..4. Έλεγχος προϋποθέσεων Παράδειγµα 0-: Έλεγχος προϋποθέσεων ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ ACF PLOTS και έλεγχοι BOX-LJUG Autocorrelatios Series: ZRE_ Stadardized Residual Lag 3 4 5 6 7 8 a. Box-Ljug Statistic Autocorrel atio Std.Error a Value df Sig. b.500.74 3.37.068.07.58 3.498.74 -.397.4 6.99 3.0 -.577.4.864 4.0 -.38.04 6.345 5.006 -.06.83 6.68 6.0.09.58 7.00 7.07.4.9 8.3 8.00 The uderlyig process assumed is idepedece (white oise). b. Based o the asymptotic chi-square approximatio. 0..4. Έλεγχος προϋποθέσεων Παράδειγµα 0-: Έλεγχος προϋποθέσεων ΟΜΟΣΚΕ ΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ ΙΑΓΡΑΜΜΑ RESIDUALS ΑΝΑ Χ ΙΑΓΡΑΜΜΑ RESIDUALS ΑΝΑ Yˆ ΙΑΓΡΑΜΜΑ RESIDUALS ΑΝΑ ΕΛΕΓΧΟΙ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΕΩΝ ΣΕ ΟΜΑ ΟΠΟΙΗΣΕΙΣ ΤΗΣ Χ (ΣΕ 4 ή περισσότερες) Βλ. Gust & Maso (980, σελ. 37) Βλ. Draper & Smith (998, 3 rd editio, σελ. 56-59, 6-67) Yˆ ιαφάνεια 0-73 ιαφάνεια 0-75 0..4. Έλεγχος προϋποθέσεων Παράδειγµα 0-: Έλεγχος προϋποθέσεων ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ ACF PLOTS και έλεγχοι BOX-LJUG Partial Autocorrelatios 0..4. Έλεγχος προϋποθέσεων Παράδειγµα 0-: Έλεγχος προϋποθέσεων ΟΜΟΣΚΕ ΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ ΙΑΓΡΑΜΜΑ RESIDUALS ΑΝΑ Χ Series: Stadardized Residual Lag 3 4 5 6 7 8 Partial Autocorrel atio Std.Error.500.36 -.90.36 -.505.36 -.58.36..36 -.060.36 -.87.36 -.9.36 ιαφάνεια 0-74 ιαφάνεια 0-76
Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-39 Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-40 0..4. Έλεγχος προϋποθέσεων Παράδειγµα 0-: Έλεγχος προϋποθέσεων ΟΜΟΣΚΕ ΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ ΙΑΓΡΑΜΜΑ RESIDUALS ΑΝΑ Yˆ 0..4. Έλεγχος προϋποθέσεων Παράδειγµα 0-: Έλεγχος προϋποθέσεων ΟΜΟΣΚΕ ΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ ΙΑΓΡΑΜΜΑ RESIDUALS ΑΝΑ Yˆ ιαφάνεια 0-77 ιαφάνεια 0-79 0..4. Έλεγχος προϋποθέσεων Παράδειγµα 0-: Έλεγχος προϋποθέσεων ΟΜΟΣΚΕ ΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ ΙΑΓΡΑΜΜΑ RESIDUALS ΑΝΑ Yˆ 0..4. Έλεγχος προϋποθέσεων Παράδειγµα 0-: Έλεγχος προϋποθέσεων ΟΜΟΣΚΕ ΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ ΙΑΓΡΑΜΜΑ RESIDUALS ΑΝΑ Υ; ιαφάνεια 0-78 ιαφάνεια 0-80
Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-4 Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-4 0..4. Έλεγχος προϋποθέσεων Παράδειγµα 0-: Έλεγχος προϋποθέσεων ΟΜΟΣΚΕ ΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ ΙΑΓΡΑΜΜΑ RESIDUALS ΑΝΑ Yˆ 0..4. Έλεγχος προϋποθέσεων Παράδειγµα 0-: Έλεγχος προϋποθέσεων ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑ Χ & Υ ΙΑΓΡΑΜΜΑ RESIDUALS ΑΝΑ Yˆ [ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΣΕ ΜΙΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΖΩΝΗ] [- ΕΩΣ ΓΙΑ ST.RESIDUALS] Scatterplot Χ & Υ ιαφάνεια 0-8 ιαφάνεια 0-83 0..4. Έλεγχος προϋποθέσεων Παράδειγµα 0-: Έλεγχος προϋποθέσεων ΟΜΟΣΚΕ ΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ ΕΛΕΓΧΟΣ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΕΩΝ ΑΝΑ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΑ Χ 0..4. Έλεγχος προϋποθέσεων Παράδειγµα 0-: Έλεγχος προϋποθέσεων ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑ Χ & Υ Yˆ ΙΑΓΡΑΜΜΑ RESIDUALS ΑΝΑ Test of Homogeeity of Variaces Stadardized Residual Levee Statistic df df Sig..880 3 6.503 ε φαίνεται διαφορά. Προσοχή όµως έχουµε λίγες παρατηρήσεις ιαφάνεια 0-8 ιαφάνεια 0-84
Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-43 0..4. Έλεγχος προϋποθέσεων Παράδειγµα 0-: Έλεγχος προϋποθέσεων ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑ Χ & Υ ΑΝΤΙΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Χ~ORMAL(0,) [ ΕΙΓΜΑ 00 ΤΙΜΩΝ] Υ=5+x+0x ΜΟΝΤΕΛΟ ΓΡ. ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ: Y=5+6.67X + ε ε~νormal(0, 8.34 ) R = 0. ιαφάνεια 0-85 0..4. Έλεγχος προϋποθέσεων Παράδειγµα 0-: Έλεγχος προϋποθέσεων ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑ Χ & Υ test$res 0 0 40 60 80 00 0 0 50 00 50 y Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-44 0..4. Έλεγχος προϋποθέσεων Παράδειγµα 0-: Έλεγχος προϋποθέσεων ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑ Χ & Υ ΑΝΤΙΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ # Χ~SEQ(0,5,0.)[ ΕΙΓΜΑ 00 ΤΙΜΩΝ] Υ=5x ΜΟΝΤΕΛΟ ΓΡ. ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ: Y= - 0+5X + ε ε~νormal(0, 9.88 ) R = 0.93 ιαφάνεια 0-87 0..4. Έλεγχος προϋποθέσεων Παράδειγµα 0-: Έλεγχος προϋποθέσεων ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑ Χ & Υ y3 0 0 40 60 80 00 0 test$res -0-5 0 5 0 5 0 0 0 0 30 40 - - 0 3 4 test$fit x ιαφάνεια 0-86 0 3 4 5-0 0 0 40 60 80 00 x test$fit ιαφάνεια 0-88
Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-45 0..4. Έλεγχος προϋποθέσεων Παράδειγµα 0-: Έλεγχος προϋποθέσεων ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑ Χ & Υ ΑΝΤΙΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ #3 Χ~SEQ(0.,0,0.)[ ΕΙΓΜΑ 00 ΤΙΜΩΝ] Υ= -3 + l(x) ΜΟΝΤΕΛΟ ΓΡ. ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ: Y= -.77 + 0.57 x + ε ε~νormal(0, 0.83 ) R = 0.80 ιαφάνεια 0-89 0..4. Έλεγχος προϋποθέσεων Παράδειγµα 0-: Έλεγχος προϋποθέσεων ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑ Χ & Υ -6-4 - 0 test3$res -4-3 - - 0 y Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-46 0..4. Έλεγχος προϋποθέσεων Παράδειγµα 0-: Έλεγχος προϋποθέσεων ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑ Χ & Υ ΑΝΤΙΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ #4 Χ~SEQ(0.,0,0.)[ ΕΙΓΜΑ 00 ΤΙΜΩΝ] Υ= exp(-3) x ΜΟΝΤΕΛΟ ΓΡ. ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ: Y= -0.855 + 0.5 x + ε ε~νormal(0, 0.375 ) R = 0.939 ιαφάνεια 0-9 0..4. Έλεγχος προϋποθέσεων Παράδειγµα 0-: Έλεγχος προϋποθέσεων ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑ Χ & Υ y 0 3 4 5 test4$res -0.4-0. 0.0 0. 0.4 0.6 0.8 0 4 6 8 0-3 - - 0 x test3$fit ιαφάνεια 0-90 0 4 6 8 0-0 3 4 x test4$fit ιαφάνεια 0-9
Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-47 Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-48 0..5. Ακραίες τιµές Παράδειγµα 0-: Έλεγχος προϋποθέσεων ΑΚΡΑΙΕΣ ΤΙΜΕΣ Yˆ ΙΑΓΡΑΜΜΑ ST. RESIDUALS ΑΝΑ [A EIAI ΜΕΤΑΞΥ - ΚΑΙ ] ΑΠΛΟ SCATTERPLOT X+Y HISTOGRAM ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ (ST.) DELETED RESIDUALS ΠΙΟ ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ IFLUETIAL OBSERVATIOS: ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΕΠΗΡΕΑΖΟΥΝ ΑΛΛΟΙΩΝΟΥΝ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 0..5. Ακραίες τιµές Παράδειγµα 0-: Έλεγχος προϋποθέσεων ΑΚΡΑΙΕΣ ΤΙΜΕΣ ΑΠΛΟ SCATTERPLOT X+Y ιαφάνεια 0-93 ιαφάνεια 0-95 0..5. Ακραίες τιµές Παράδειγµα 0-: Έλεγχος προϋποθέσεων ΑΚΡΑΙΕΣ ΤΙΜΕΣ Yˆ ΙΑΓΡΑΜΜΑ RESIDUALS ΑΝΑ 0..5. Ακραίες τιµές Παράδειγµα 0-: Έλεγχος προϋποθέσεων ΑΚΡΑΙΕΣ ΤΙΜΕΣ ΑΠΛΟ ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ ιαφάνεια 0-94 ιαφάνεια 0-96
Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-49 Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-50 0..5. Ακραίες τιµές Παράδειγµα 0-: Έλεγχος προϋποθέσεων ΑΚΡΑΙΕΣ ΤΙΜΕΣ ΑΠΛΟ ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ (studetized deleted) 0..6. Μετασχηµατισµοί της µεταβλητής απόκρισης Συνηθισµένοι µετασχηµατισµοί του Υ L(y) = β 0 +β Χ + ε Υ=exp(β 0 +β Χ + ε) = B 0 (B ) X E, E~LOGORMAL Προσοχή είναι διαφορετικό από Υ=exp(β 0 +β Χ)+ε, ε~ormal Υ - = β 0 +β Χ + ε ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ BOX-COX Z λ =(Υ λ )/λ, λ 0, Z 0 =l(x) Για θετικά Υ µόνο Μπορούµε να επιλέξουµε λ µ,ε ML ή µε R. ύσκολη η ερµηνεία ιαφάνεια 0-97 Βλ. Draper & Smith (998, 3rd editio, σελ. 56-59, 77-39) ιαφάνεια 0-99 0..6. Μετασχηµατισµοί της µεταβλητής απόκρισης Με µετασχηµατισµούς της Υ µπορούν να λυθούν προβλήµατα Κανονικότητας Οµοσκεδαστικότητας Μη γραµµικότητας Βλ. Draper & Smith (998, 3rd editio, σελ. 56-59, 77-39) 0..6. Μετασχηµατισµοί της µεταβλητής απόκρισης Συνηθισµένοι µετασχηµατισµοί του Χ & Υ y = β 0 +β l(χ) + ε L(y) = β 0 +β l(χ) + ε Υ=exp(β 0 +β lχ + ε) = B 0 (X) β E, E~LOGORMAL Υ = β 0 +β Χ - + ε Υ - = β 0 +β Χ - + ε Με µετασχηµατισµούς της Χ µπορούν να λυθούν προβλήµατα Μη γραµµικότητας ιαφάνεια 0-98 ιαφάνεια 0-00
Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-5 Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-5 0..6. Μετασχηµατισµοί της µεταβλητής απόκρισης 0..6. Μετασχηµατισµοί της µεταβλητής απόκρισης Y = b 0 +b l(χ) Y = b 0 +b /x l(y) = l(b 0 ) + l(b ) x l(y) = b 0 +b /x l(y) = b 0 +b x l(y) = l(b 0 ) + b x ιαφάνεια 0-0 ιαφάνεια 0-03 0..6. Μετασχηµατισµοί της µεταβλητής απόκρισης 0.3. Σχέση παλινδρόµησης µε το paired t-test Depedet Variable: delivery Equatio Liear Logarithmic Iverse Compoud S Growth Expoetial Model Summary ad Parameter Estimates Model Summary R Square F df df Sig. The idepedet variable is distace. Parameter Estimates b Costat.900 7.396 8.000.8.004.839 4.6 8.000 -.58.3.66 5.639 8.004 4.550-948.84.836 40.78 8.000.86.00.7 0.730 8.00.645-4.806.836 40.78 8.000 -.9.00.836 40.78 8.000.86.00 Και στις προσεγγίσεις έχουµε ποσοτικές µεταβλητές όσον αφορά το software Τι κάνει το ένα και τι το άλλο; ιαφάνεια 0-0 ιαφάνεια 0-04
Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-53 Μάθηµα 0 ιαφάνειες Μαθήµατος: 0-54 0.3. Σχέση παλινδρόµησης µε το paired t-test 0.3. Σχέση παλινδρόµησης µε το paired t-test Pair ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: WORLD95 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΑΝ ΡΩΝ ΚΑΙ ΓΥΝΑΙΚΩΝ Average female life expectacy & Average male life expectacy Paired Samples Correlatios Correlatio Sig. 09.98.000 Ο δείκτης συσχέτισης διαδοχικών χρονικά µετρήσεων ονοµάζεται και itraclass correlatio coefficiet Model ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: WORLD95 AOVA b ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ Sum of ΑΝ ΡΩΝ ΚΑΙ ΓΥΝΑΙΚΩΝ Regressio Residual Total Squares df Mea Square F Sig. 648.4 648.4 95.585.000 a 4.5 07 3.945 070.349 08 a. Predictors: (Costat), Average male life expectacy b. Depedet Variable: Average female life expectacy? Paired Samples Test Paired Samples Test Paired Differeces Paired Differeces Pair Average female life expectacy - Average male life expectacy 95% Cofidece Iterval of the Differece Std. Error Mea Std. Deviatio Mea Lower Upper t df Sig. (-tailed) 4.09.000 5.39.69.7 4.808 5.669 08 Pair Average female life expectacy - Average male life expectacy 95% Cofidece Iterval of the Differece Std. Error Mea Std. Deviatio Mea Lower Upper t df Sig. (-tailed) 4.09.000 5.39.69.7 4.808 5.669 08 ιαφάνεια 0-05 ιαφάνεια 0-07 0.3. Σχέση παλινδρόµησης µε το paired t-test 0.3. Σχέση παλινδρόµησης µε το paired t-test ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: WORLD95 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ AOVA b ΑΝ ΡΩΝ ΚΑΙ ΓΥΝΑΙΚΩΝ Model Regressio Residual Total Sum of Squares df Mea Square F Sig. 648.4 648.4 95.585.000 a 4.5 07 3.945 070.349 08 a. Predictors: (Costat), Average male life expectacy b. Depedet Variable: Average female life expectacy? Model ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: WORLD95 Coefficiets a ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ Ustadardized ΑΝ ΡΩΝ Stadardized ΚΑΙ ΓΥΝΑΙΚΩΝ (Costat) Average male life expectacy a. Depedet Variable: Average female life expectacy Coefficiets Coefficiets B Std. Error Beta t Sig. -.550.35 -.887.06.0.0.98 54.338.000? Paired Samples Test Paired Samples Test Paired Differeces Paired Differeces Pair Average female life expectacy - Average male life expectacy 95% Cofidece Iterval of the Differece Std. Error Mea Std. Deviatio Mea Lower Upper t df Sig. (-tailed) 4.09.000 5.39.69.7 4.808 5.669 08 Pair Average female life expectacy - Average male life expectacy 95% Cofidece Iterval of the Differece Std. Error Mea Std. Deviatio Mea Lower Upper t df Sig. (-tailed) 4.09.000 5.39.69.7 4.808 5.669 08 ιαφάνεια 0-06 ιαφάνεια 0-08