ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Transcript

1 ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδηµαϊκό Έτος

2 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια 1 Παράµετροι Κεντρικής Τάσης: ο Μέσος Μέσος Αριθµητικός (δεδοµένα σε απλή µορφή) Έστω ότι έχουµε παρατηρήσεις 1,,, µιας µεταβλητής X Ο µέσος αριθµητικός δίνεται από τον τύπο Χαρακτηριστικά του µέσου αριθµητικού: Υπολογίζεται εύκολα 1 Λαµβάνει υπόψη όλες τις παρατηρήσεις Επηρεάζεται από ακραίες τιµές Έχει «προβλέψιµη συµπεριφορά» 1

3 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια ιακύµανση (Varace) ιακύµανση σ του πληθυσµού όπου µ ο µέσος του πληθυσµού σ 1 Αν έχουµε δείγµα µεγέθους, τότε ( µ) 1 ( ) (1) () Αν θέλουµε να χρησιµοποιήσουµε το δείγµα για να βγάλουµε συµπεράσµατα για τον πληθυσµό τότε η παρακάτω σχέση δίνει καλύτερη εκτίµηση 1 ( ) -1 (3)

4 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια 3 Συνδιακύµανση ύο Μεταβλητών Έστω Χ και Υ δύο µεταβλητές (π.χ. αριθµός διαφηµίσεων και πωλήσεις µιας επιχείρησης) 700 Πωλήσεις Αριθµός ιαφηµίσεων Η συνδιακύµανση δίνει τη συµµεταβολή δύο µεταβλητών, όταν αυτές συνδέονται γραµµικά Ορισµός συνδιακύµανσης: ρ XY ( )(y y)

5 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια 4 Ερµηνεία Συνδιακύµανσης Αν ρ ΧΥ > 0, τότε όταν η Χ αυξάνεται, η Υ επίσης αυξάνεται και αντίστροφα Αν ρ ΧΥ < 0, τότε όταν η Χ αυξάνεται, η Υ µειώνεται και αντίστροφα Αν ρ ΧΥ 0, τότε δεν υπάρχει γραµµική σχέση µεταξύ των Χ και Υ Η συνδιακύµανση εξαρτάται από τις µονάδες µέτρησης των µεταβλητών

6 Συντελεστής Συσχέτισης (Correlato Coeffcet) Ορισµός συντελεστή συσχέτισης όπου ρ XY είναι η συνδιακύµανση των δύο µεταβλητών, δηλαδή Γενικά ισχύει y XY Y X XY XY r XY ( )(y y) ρ XY y y y y r ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια 5

7 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια 6 Ερµηνεία Συντελεστή Συσχέτισης Είναι καθαρός αριθµός Παίρνει τιµές µεταξύ -1 και +1 Όσο πιο κοντά στο µηδέν είναι η τιµή του συντελεστή, τόσο πιο ασθενής η σχέση Τιµές του συντελεστή κοντά στο +1 σηµαίνουν ισχυρή θετική συσχέτιση Τιµές του συντελεστή κοντά στο -1 σηµαίνουν ισχυρή αρνητική συσχέτιση Προσοχή: Υψηλή τιµή του συντελεστή δε σηµαίνει αναγκαστικά και αιτιώδη σχέση

8 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια 7 Αναµενόµενη Τιµή Αν Χ είναι µία ασυνεχής (διακριτή) τυχαία µεταβλητή η οποία παίρνει τιµές µε αντίστοιχες πιθανότητας f( ) (1,,), τότε η αναµενόµενη τιµή (epected value) της Χ είναι: E(X) f( ) Λέγεται και προσδοκώµενη τιµή ή µαθηµατική ελπίδα (mathematcal epectato) της Χ (Ουσιαστικά είναι ένας σταθµικός µέσος των τιµών της Χ σταθµισµένων µε τις αντίστοιχες πιθανότητές τους) Αν η Χ είναι συνεχής, τότε η αναµενόµενη τιµή της είναι: + 1 E(X) f( )d

9 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια 8 ιακύµανση Τυχαίας Μεταβλητής Έστω Χ τυχαία µεταβλητή µε αναµενόµενη τιµή Ε(Χ)µ. Η αναµενόµενη τιµή της τυχαίας µεταβλητής (X µ) λέγεται διακύµανση (varace) της Χ. Αν η Χ είναι διακριτή τότε είναι Αν η Χ είναι συνεχής τότε είναι Αποδεικνύεται ότι var(x) E(Xµ) ( µ) f( ) + ( 1 var(x) E(Xµ) µ) f( )d [ ] var(x) E(X ) E(X)

10 Ιδιότητες Αναµενόµενης Τιµής και ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια 9 ιακύµανσης Αναµενόµενη Τιµή Σταθεράς Ε(α) α Ε(αΧ)αΕ(Χ) Ε(αΧ+β)αΕ(Χ)+β Αν Yg(X) είναι µία γραµµική συνάρτηση της Χ τότε είναι: [ ] ge(x) [ ] E(Y) E g(x) Αν η g(x) δεν είναι γραµµική, τότε γενικά E(Y) ge(x) [ ] Επίσης είναι var(αχ+ β) α var(x)

11 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια 10 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΕΚΤΙΜΗΤΩΝ Αµερόληπτος: Ένας εκτιµητής καλείται αµερόληπτος όταν ακολουθεί δειγµατική κατανοµή ίση µε της παραµέτρου Θ. Αποτελεσµατικός:Ένας εκτιµητής καλείται αποτελεσµατικός όταν είναι αµερόληπτος και έχεις την µικρότερη δυνατή διακύµανση Συνεπής: lm Εθ () θ,lm Var() θ 0 v > v > Ε ( θ) θ var( $ θ) < var( θ*) Επαρκής: Εάν χρησιµοποιεί όλες τις πληροφορίες σχετικά µε την παράµετρο Θ που περιέχονται στο δείγµα.

12 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια 11 ΚΟΘ & ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΟΘ: Για δείγµατα αρκετά µεγάλου µεγέθους η κατανοµή των µέσων τιµών δείγµατος είναι κατά προσέγγιση κανονική. Άριστη γνώση των συνεχών και διακριτών κατανοµών (κυρίως κανονικής,της κατανοµής t-tudet, Χ της κατανοµής F και της κατανοµής.

13 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια 1 ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Η µεθοδολογία του ελέγχου στηρίζεται στην διατύπωση µιας πρότασης σχετικά µε την τιµή µιας πληθυσµιακής παραµέτρου και αφετέρου στην επιλογή ενός κριτηρίου, µε βάση το οποίο θα αποφασίσουµε για το εάν η υπόθεση που κάνουµε ισχύει ή όχι. Η λέξη στατιστική αναφέρεται σο γεγονός ότι µιλάµε πάντα σε όρους πιθανότητας και υπάρχει το ενδεχόµενο για σφάλµα.

14 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια 13 ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ-ΕΙ Η ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ ύο είδη σφάλµατος µπορούν να προκύψουν από έναν έλεγχο Σφάλµα τύπου Ι:Απόρριψη της αρχικής υπόθεσης ενώ αυτή είναι σωστή Σφάλµα τύπου ΙΙ:Απόρριψη της αρχικής υπόθεσης ενώ αυτή δεν είναι σωστή

15 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια 7 ΤΙ ΝΑ ΙΑΒΑΣΩ; Στατιστική. Σηµειώσεις που βρίσκονται στο e-cla