Κλάσματα Ένα βράδυ τρεις φίλοι αγοράζουν πίτσα και την χωρίζουν σε οκτώ κομμάτια. Ο ένας έφαγε το ένα, ο δεύτερος τα τρία και ο τρίτος δύο κομμάτια. Μπορείς να βρεις το μέρος της πίτσας που έφαγε ο καθένας Τι μέρος της πίτσας περίσσεψε; Αφού γνωρίζουμε ότι ο ένας έφαγε το ένα κομμάτι από τα οκτώ της πίτσας, λέμε ότι έφαγε το (ένα όγδοο) της πίτσας. Όμοια ο δεύτερος έφαγε τα (τρία όγδοα) της πίτσας, ο τρίτος τα (δύο όγδοα) της πίτσας και περίσσεψαν τα (δύο όγδοα). Στις προηγούμενες ερωτήσεις απαντήσαμε με την βοήθεια των κλασμάτων. κλάσμα : πόσα μέρη πήραμε σε πόσαίσα μέρη χωρίσαμε : αριθμητής παρανομαστής Όταν ένα μέγεθος ή ένα σύνολο αντικειμένων χωρισθεί σε ν ίσα μέρη, το κάθε ένα από αυτά το συμβολίζουμε με ν. Κάθε τμήμα του μεγέθους ή του συνόλου, που αποτελείται από κ ίσα μέρη, κ συμβολίζεται με το κλάσμα ν. Η έννοια του κλάσματος επεκτείνεται και στην περίπτωση που ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρανομαστή.. Μια σοκολάτα ζυγίζει 0 γρ. Και έχει 6 ίσα κομμάτια. () Ποιο μέρος της σοκολάτας είναι το ένα κομμάτι; () Ποιο μέρος της σοκολάτας είναι τα δύο κομμάτια; () Πόσα κομμάτια πρέπει να κόψουμε για να πάρουμε 0 γρ. ; () Πόσα κομμάτια πρέπει να κόψουμε για να πάρουμε 0 γρ. ;. Το καμπαναριό μιας εκκλησίας έχει ύψος 0 μ. Ενώ η εκκλησία έχει ύψος τα του ύψους του καμπαναριού. Ποιο είναι το ύψος της εκκλησίας; Υπόδειξη: Χωρίζουμε το καμπαναριό σε ίσα μέρη. Τι ύψος θα έχει το κάθε μέρος; Ξενιτίδης Κλεάνθης, Μαθηματικός
Τι ύψος θα έχουν τα μέρη του καμπαναριού;. Μια δεξαμενή πετρελαίου σε μια πολυκατοικία, χωράει 000 λ. Ο διαχειριστής σε μια μέτρηση βρήκε ότι ήταν γεμάτη κατά τα. Πόσα λίτρα πετρέλαιο είχε η δεξαμενή;. Τι κλάσμα των μαθητών της τάξης μαθητών είναι οι απόντες;. Βρες ποιο μέρος του κιλού είναι τα: (α) 00 γρ. (β) 00 γρ. (γ) 0 γρ. ; 6. Ποιο μέρος (α) του μήνα, (β) του εξαμήνου, (γ) του έτους είναι οι μέρες;. Ένα κατάστημα κάνει έκπτωση στα είδη του ίση με τα της αρχικής τιμής τους. Ένα φόρεμα κόστιζε 00 ευρώ πριν την έκπτωση. Πόσο κοστίζει το φόρεμα μετά την έκπτωση;. Ένα ευθύγραμμο τμήμα έχει μήκος εκατοστά. Να σχεδιάσετε: (α) ένα ευθύγραμμο τμήμα με μήκος το του αρχικού, (β) ένα ευθύγραμμο τμήμα με μήκος το 0 του αρχικού. Ισοδύναμα Κλάσματα Τα παρακάτω πέντε τετράγωνα είναι χωρισμένα αντίστοιχα, σε ίσα μέρη. Προσπαθήστε να βρείτε για καθεμία περίπτωση το κλάσμα του τετραγώνου που αποτελεί το χρωματισμένο μέρος του. Τα κλάσματα είναι αντίστοιχα τα:, 6, 6 9, και 0. Παρατηρούμε ότι το χρωματισμένο μέρος του τετραγώνου δεν αλλάζει. Επομένως τα παραπάνω κλάσματα εκφράζουν το ίδιο μέρος του τετραγώνου. Δύο κλάσματα λέγονται ισοδύναμα όταν εκφράζουν το ίδιο τμήμα ενός μεγέθους. Επειδή εκφράζουν το ίδιο τμήμα ενός μεγέθους είναι ίσα. Στο προηγούμενο παράδειγμα για να εκφράσουμε την ισότητα γράφουμε: Ξενιτίδης Κλεάνθης, Μαθηματικός
= 6 = 6 9 = = 0. Πως ελέγχουμε όμως αν δύο κλάσματα είναι ίσα; Αν δύο κλάσματα είναι ίσα, τότε τα χι-αστή γινόμενα είναι ίσα. Θα κάνουμε την επαλήθευση για το προηγούμενο παράδειγμα. Θα δούμε δηλαδή αν τα παραπάνω κλάσματα είναι ίσα. = 6 άρα 6=. Όμοια 6 = 6 9 άρα 9=6 6. Με όμοιο τρόπο δείχνουμε ότι και τα υπόλοιπα κλάσματα είναι ισοδύναμα. Ασκήσεις. Να εξετάσετε αν τα (α) και 0 (β) και 6 6. Να εξετάσετε αν τα παρακάτω κλάσματα είναι ισοδύναμα. i. ii.,, 6,, 0,,, 6, 0 είναι ισοδύναμα. Εάν μας δοθεί ένα κλάσμα, τότε πως μπορούμε να βρούμε άλλα κλάσματα τα οποία να είναι ισοδύναμα με αυτό που μας δόθηκε; Όταν πολλαπλασιαστούν οι όροι ενός κλάσματος (αριθμητής και παρανομαστής) με τον ίδιο αριθμό (διάφορο του μηδενός) προκύπτει ισοδύναμο κλάσμα. Παράδειγμα Θα βρούμε κλάσματα ισοδύναμα με το κλάσμα Αυτό μπορούμε να το κάνουμε πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρανομαστή με τον ίδιο αριθμό. Πολλαπλασιάζουμε με το και έχουμε: Πολλαπλασιάζουμε με το και έχουμε: Πολλαπλασιάζουμε με το και έχουμε:. = 6 0. = 9. = 0. Ξενιτίδης Κλεάνθης, Μαθηματικός
Άσκηση Να βρείτε κλάσματα ισοδύναμα με τα παρακάτω κλάσματα: i. ii. iii. 0. 9.. Σύγκριση Κλασμάτων Πως μπορούμε να συγκρίνουμε δύο κλάσματα; Για να απαντήσουμε σε αυτό το ερώτημα θα πρέπει να εισάγουμε τους παρακάτω όρους. Κλάσματα τα οποία έχουν ίδιους παρανομαστές, ονομάζονται ομώνυμα. Παράδειγμα Τα κλάσματα και είναι ομώνυμα. Κλάσματα τα οποία έχουν διαφορετικούς παρανομαστές, ονομάζονται ετερώνυμα. Παράδειγμα Τα κλάσματα 6 και 9 είναι ετερώνυμα. Επανερχόμαστε στο ερώτημα πως μπορούμε να συγκρίνουμε δύο κλάσματα. Είναι εύκολο να συγκρίνουμε δύο ομώνυμα κλάσματα. Για παράδειγμα, ποιο από τα δύο παρακάτω κλάσματα είναι πιο μεγάλο;... Προφανώς το κλάσμα είναι μεγαλύτερο, διότι αν χωρίσουμε ένα μέγεθος σε ίσα μέρη, τότε αν πάρουμε τα από τα μέρη προκύπτει μεγαλύτερη ποσότητα από την περίπτωση όπου παίρνουμε τα από τα μέρη. Συμπεραίνουμε ότι από δύο ομώνυμα κλάσματα (δηλαδή δύο κλάσματα που έχουν τον ίδιο παρανομαστή) μεγαλύτερο είναι εκείνο με τον μεγαλύτερο αριθμητή. Ξενιτίδης Κλεάνθης, Μαθηματικός
Η σύγκριση δύο ετερώνυμων κλασμάτων απαιτεί ένα βήμα παραπάνω. Άσκηση Να συγκρίνετε τα κλάσματα: Λύση και 0. Θα μας βόλευε αν τα δύο κλάσματα ήταν ομώνυμα. Γιαυτό θα προσπαθήσουμε να μετατρέψουμε το πρώτο κλάσμα σε ένα ισοδύναμό του, το οποίο να έχει παρανομαστή. Παρατηρούμε ότι αν πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρανομαστή του πρώτου κλάσματος με το, τότε προκύπτει το ισοδύναμο κλάσμα. Επομένως αρκεί τώρα να συγκρίνουμε τα κλάσματα: και 0. Όμως τα δύο τελευταία κλάσματα είναι ομώνυμα, επομένως μεγαλύτερο είναι εκείνο με τον μεγαλύτερο αριθμητή, δηλαδή το. Τελικά συμπεραίνουμε ότι το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το κλάσμα 0. Άσκηση Να συγκρίνετε τα κλάσματα:.... και 0. και 9 0. και 6. 0 και 0. Τι γίνεται όταν δεν μπορούμε να βρούμε τον αριθμό με τον οποίον πρέπει πολλαπλασιάσουμε το ένα κλάσμα για να γίνει ομώνυμο με το άλλο; Σε αυτήν την περίπτωση θα μετατρέψουμε και τα δύο κλάσματα, έτσι ώστε να προκύψουν δύο καινούρια κλάσματα ισοδύναμα με τα προηγούμενα και ομώνυμα μεταξύ τους. Παράδειγμα Θα συγκρίνουμε τα κλάσματα και 0. Σε αυτήν την περίπτωση θα μετατρέψουμε και τα δύο κλάσματα. Θα πολλαπλασιάσουμε το πρώτο με τον παρανομαστή του δεύτερου και το δεύτερο με τον παρανομαστή του πρώτου. Δηλαδή, πολλαπλασιάζουμε το με το 6 Ξενιτίδης Κλεάνθης, Μαθηματικός
0 και προκύπτει το 0 0. Όμοια πολλαπλασιάζουμε το 0. με το και προκύπτει το 0. Έτσι τώρα μπορούμε να συγκρίνουμε εύκολα τα δύο κλάσματα, αφού είναι ομώνυμα. 0 Το 0. είναι μεγαλύτερο από το 0. Τέλος λόγω ισοδυναμίας, το είναι μεγαλύτερο από το Άσκηση 0. Να συγκρίνετε τα κλάσματα:.... Λύση.. και 6 0 και 9 και 0 και = 6 6 = 0 και 6 = 6 = 0. Έχουμε 0 = 0 = 0 και = 0 0 = 0 0. Έχουμε 0. 0 0, επομένως 6. 0 0 0, επομένως. Να βρείτε πόσα γραμμάρια είναι τα: i. ii. iii. iv. 0. Να βρείτε τα του κιλού. του κιλού. Του κιλού. Του κιλού. Ασκήσεις - Προβλήματα των μαθητών μιας τάξης που έχει 0 μαθητές. Ξενιτίδης Κλεάνθης, Μαθηματικός
. Από μια τάξη με μαθητές απουσιάζουν μια μέρα μαθητές. Να βρείτε ποιο μέρος των μαθητών της τάξης απουσίαζε εκείνη τη μέρα.. Ένα μπλουζάκι αξίας 6, πουλήθηκε. Να βρείτε το κλάσμα που εκφράζει την έκπτωση που έγινε στην αξία της μπλούζας.. Να βρείτε τα και τα 6 του 0. 6. Σε μια τάξη τα των μαθητών μαθαίνουν Αγγλικά. Ποιο είναι το πλήθος των μαθητών της τάξης αν γνωρίζεις ότι οι μαθητές που μαθαίνουν Αγγλικά είναι.. Τα. Τα κιλό. ενός κιλού μοσχαρίσιου κρέατος κοστίζουν 6. Πόσο κοστίζουν τα ; του κιλού ενός τυριού κοστίζουν 0. Να βρείτε πόσο κοστίζει το ένα 9. Τα των μαθητών ενός τμήματος είναι 0 μαθητές. Να βρείτε πόσους μαθητές έχει το τμήμα. 0. Τα των μαθητών μιας τάξης είναι αγόρια. Να βρείτε πόσους συνολικά μαθητές έχει η τάξη αν τα αγόρια είναι.. Τα του κιλού χοιρινού κρέατος στοιχίζουν,60. Να υπολογίσετε πόσο θα πληρώσουμε για κιλά χοιρινού κρέατος.. Ένας ανιψιός κληρονόμησε από τον θείο του 0 000. Αν τα χρήματα αποτελούν τα ολόκληρης της περιουσίας του θείου του, να υπολογίσετε πόσα ευρώ ήταν ολόκληρη η περιουσία. Ποσοστά Το σύμβολο α% ονομάζεται ποσοστό επί τις εκατό ή απλούστερα ποσοστό και είναι α ισοδύναμο με το κλάσμα 00.. Το ποσοστό 0% είναι το κλάσμα 0 00. Ξενιτίδης Κλεάνθης, Μαθηματικός
. Το ποσοστό % είναι το κλάσμα. Το ποσοστό 9,% είναι το κλάσμα 00. 9, 00. Αντίστροφα ένα κλάσμα μπορεί να γραφεί και ως ποσοστό.. Το κλάσμα. Το κλάσμα 00. μπορεί να γραφτεί ως ποσοστό στη μορφή %. 9 00. μπορεί να γραφτεί ως ποσοστό στη μορφή 9%. Ασκήσεις Να μετατρέψετε τα παρακάτω κλάσματα σε ισοδύναμα κλάσματα με παρανομαστή τον αριθμό 00 και στη συνέχεια να τα γράψετε στη μορφή ποσοστού...... Θυμόμαστε από την ενότητα Ισοδύναμα Κλάσματα ότι αν πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρανομαστή ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό τότε προκύπτει ένα ισοδύναμο κλάσμα. Έτσι αρκεί να βρούμε τον αριθμό με τον οποίον αν πολλαπλασιάσουμε το θα προκύψει το 00. Ο αριθμός αυτός είναι το. Επομένως έχουμε:. Άρα το κλάσμα = = 00. είναι ισοδύναμο με το κλάσμα 00 και με το ποσοστό %. Ο αριθμός με τον οποίον πρέπει να πολλαπλασιάσουμε αυτό το κλάσμα έτσι ώστε να προκύψει ισοδύναμο κλάσμα με παρανομαστή το 00 είναι ο αριθμός 0. Έτσι έχουμε: Άρα το κλάσμα 0.. = 0 0 = 60 00. είναι ισοδύναμο με το κλάσμα 60 00 και με το ποσοστό 60%. 9 Ξενιτίδης Κλεάνθης, Μαθηματικός
Προβλήματα. Ένα παντελόνι στοίχιζε 0. Στις εκπτώσεις το πλήρωσα 0. Πόσο ήταν το ποσοστό της έκπτωσης ;. Ένα κοστούμι πριν τις εκπτώσεις στοίχιζε 00. Το κατάστημα μας έκανε έκπτωση 0%. Πόσο θα πληρώσουμε στο ταμείο ;. Ένα διαμέρισμα νοικιαζόταν 00 και ο ιδιοκτήτης του αύξησε το ενοίκιο και τώρα νοικιάζεται 0. Πόσο είναι το ποσοστό της αύξησης ;. Το ένα κιλό ντομάτες στοιχίζει 0,90. Αυξήθηκε η τιμή τους κατά 0%. Πόσο θα στοιχίζει τώρα το ένα κιλό ;. Ένα δαχτυλίδι το πλήρωσα 60 με τις εκπτώσεις. Το κατάστημα μου είχε κάνει έκπτωση 0%. Ποια ήταν η αρχική τιμή του δαχτυλιδιού ; 6. (Ανάποδα) Αν ένα δαχτυλίδι στοίχιζε 00 και μας έκαναν έκπτωση 0% πόσο θα πληρώσουμε για να το αγοράσουμε ;. Ένα βιβλίο στοίχιζε χωρίς ΦΠΑ. Αν το ποσοστό ΦΠΑ είναι 0% ποια θα είναι η τιμή του βιβλίου ;. Ένα παντελόνι πωλείται όπου ο ΦΠΑ είναι 0% στην αρχική αξία. Ποια είναι η αρχική αξία του παντελονιού ; 9. Ποια είναι η τιμή πώλησης ενός ψυγείου αξίας 0 όταν το κατάστημα κάνει έκπτωση % ; 0. Η τιμή ενός computer πριν την έκπτωση είναι 00 και μετά την έκπτωση 0. Ποιο είναι το ποσοστό της έκπτωσης ;. Ο πληθυσμός μιας πόλης αυξήθηκε κατά % και σήμερα είναι 00 άτομα. Πόσος ήταν ο πληθυσμός της πόλης αρχικά ;. Σε ένα θερμοκήπιο φυτέψαμε 0 ντομάτες, 90 πιπεριές, 0 φασολάκια, 0 μελιτζάνες και 60 κολοκυθάκια. Να βρείτε το ποσοστό για κάθε λαχανικό.. Τον Κώστα τον ψήφισαν μαθητές του τμήματός του που είχε μαθητές και την Μαρία την ψήφισαν 6 μαθητές από τους 0 μαθητές του δικού της τμήματος. Ποιος είναι πιο δημοφιλής ;. Πόσο θα πάρουμε σε ένα χρόνο αν το κεφάλαιο μας σε μία τράπεζα είναι 0 000 και το επιτόκιο % ; Πρόσθεση και Αφαίρεση Κλασμάτων Για να προσθέσουμε δύο ή περισσότερα κλάσματα θα πρέπει αυτά να είναι ομώνυμα. Εάν δεν είναι ομώνυμα τότε θα πρέπει να τα μετατρέψουμε σε ομώνυμα και στην 0 Ξενιτίδης Κλεάνθης, Μαθηματικός
συνέχεια να εκτελέσουμε την πράξη. Ας θυμηθούμε το παράδειγμα με την πίτσα στην αρχή της ενότητας. Ο πρώτος από τους φίλους έφαγε ένα κομμάτι από την πίτσα, ο δεύτερος τρία κομμάτια και ο τρίτος δύο. Για να δούμε πιο μέρος της πίτσας έφαγαν και οι τρεις μαζί θα προσθέσουμε τα κλάσματα, και. Προφανώς και οι τρεις μαζί έφαγαν 6 κομμάτια, δηλαδή έφαγαν τα 6 της πίτσας. Παρατηρούμε ότι για να υπολογίσουμε ένα τέτοιο άθροισμα προσθέτουμε τους αριθμητές των κλασμάτων και στον παρανομαστή αφήνουμε τον κοινό παρανομαστή των κλασμάτων. Συνοψίζοντας, για την πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων ισχύουν οι παρακάτω κανόνες. Προσθέτουμε δύο ή περισσότερα ομώνυμα κλάσματα προσθέτοντας τους αριθμητές τους και αφήνοντας ίδιο τον παρανομαστή. Παράδειγμα: = 9 Προσθέτουμε ετερώνυμα κλάσματα αφού τα μετατρέψουμε σε ομώνυμα. Παράδειγμα: Όμοια γίνονται οι αφαιρέσεις. = 0 0 = 0. Να υπολογιστεί το άθροισμα Λύση =. Να υπολογιστεί το άθροισμα Λύση Ο αριθμός ισοδυναμεί με το κλάσμα. Αυτό το κλάσμα δεν είναι ομώνυμο με τα δύο προηγούμενα, επομένως πρέπει να το μετατρέψουμε σε ομώνυμο. Θα πολλαπλασιάσουμε το αριθμητή και τον παρανομαστή με το. = = Ξενιτίδης Κλεάνθης, Μαθηματικός
. Να υπολογιστεί η διαφορά και το άθροισμα των κλασμάτων και 0. Λύση Θα μετατρέψουμε τα δύο κλάσματα σε ομώνυμα. Θα πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρανομαστή του πρώτου με το 0 και τον αριθμητή και τον παρανομαστή του δεύτερου με το. Άρα = 60 0 και 0. 0 = 60 0 0 = 0 και 0 60 0 = 0 Πολλαπλασιασμός Κλασμάτων Το γινόμενο δύο κλασμάτων είναι το κλάσμα που έχει αριθμητή το γινόμενο των αριθμητών και παρανομαστή το γινόμενο των παρανομαστών. 0 = 0 = Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με ένα κλάσμα γράφουμε τον αριθμό σε μορφή κλάσματος, βάζοντας τον αριθμό στη θέση του αριθμητή και την μονάδα στην θέση του παρανομαστή. = = = Παράδειγμα 0= 0 = 0 = 0 = Ένας πεζόδρομος στρώθηκε με πλάκες. Τα από τις πλάκες είναι χρωματιστές. Από αυτές τα είναι κόκκινες. Ποιο είναι το μέρος όλου του πεζόδρομου που καταλαμβάνουν οι κόκκινες πλάκες; Ξενιτίδης Κλεάνθης, Μαθηματικός
Λύση Ο πεζόδρομος έχει συνολικά πλάκες. Τα του είναι πλάκες. Από αυτές τα, δηλαδή οι 0 είναι κόκκινες. Άρα οι κόκκινες είναι τα 0 του συνόλου. Ένας δεύτερος τρόπος για να υπολογίσουμε πόσες πλάκες είναι κόκκινες είναι να πολλαπλασιάσουμε το με το. Θα βρούμε δηλαδή τα δύο τρίτα των πέντε εβδόμων. =0 Άσκηση Ο Κώστας ήπιε τα από ένα μπουκάλι, που περιείχε αναψυκτικό όγκου λίτρου. Πόσα λίτρα αναψυκτικού ήπιε; του Διαίρεση Κλασμάτων Για να διαιρέσουμε δύο κλάσματα αρκεί να πολλαπλασιάσουμε τον διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη. : = = = : = = = 6 : = = = = Για να διαιρέσουμε έναν αριθμό με ένα κλάσμα, γράφουμε τον αριθμό σε μορφή κλάσματος, βάζοντας τον αριθμό στη θέση του αριθμητή και την μονάδα στην θέση του παρανομαστή. : = : = = 9 : = 9 : = 9 = 9 6 = Ξενιτίδης Κλεάνθης, Μαθηματικός
Ασκήσεις. Ένας μελισσοκόμος παράγει 0 κιλά μέλι και θέλει να το συσκευάσει σε κουτιά του κιλού. Πόσα κουτιά θα χρειαστεί;. Πόσα πακέτα των Λύσεις ζάχαρη;. Θα υπολογίσουμε την διαίρεση 0:. Έχουμε 0:.=0 : = 0 = 0 =0.. Θα υπολογίσουμε την διαίρεση 0:. Έχουμε 0:.=0 : = 0 = 600 =00. του κιλού χρειάζονται για να συσκευάσουμε 0 κιλά Ασκήσεις Προβλήματα. Το βήμα ενός ενηλίκου είναι τα όταν κάνει: a) 0 βήματα b) 0 βήματα του μέτρου. Να βρείτε πόση απόσταση διανύει, c) 000 βήματα. Σε ένα σχολείο με 900 μαθητές, τα πόσα κορίτσια είναι στο σχολείο αυτό. των μαθητών είναι κορίτσια. Να βρείτε. Σε ένα περιβόλι γεμάτο με δέντρα το των δέντρων είναι λεμονιές και τα 9 των λεμονιών έχουν ξεραθεί. Τι μέρος των δέντρων όλου του περιβολιού έχει ξεραθεί;. Κάποιος είχε μαζί του στην αρχή της ημέρας 0. Ξόδεψε τα των χρημάτων του για επισκευή του αυτοκινήτου του και τα των υπολοίπων τα κατέθεσε στην τράπεζα. Πόσα χρήματα κατέθεσε στην τράπεζα;. Κάποιος αγόρασε 0 κιλά πατάτες προς 0 λεπτά του ευρώ το κιλό. Πούλησε τα Ξενιτίδης Κλεάνθης, Μαθηματικός
αυτών προς 90 λεπτά το κιλό, τα αυτών προς λεπτά το κιλό και τις υπόλοιπες στην τιμή που τις αγόρασε. Πόσα χρήματα κέρδισε; 6. Μία σοκολάτα είναι χαραγμένη σε ίσα μέρη. Ο Δημήτρης πήρε το της σοκολάτας και από το κομμάτι αυτό έδωσε στην αδερφή του το. Πόσα κομμάτια σοκολάτας πήρε η αδερφή του;. Ένας μαθητής γυμνασίου διαθέτει το της ημέρας του για το σχολείο, το σε εξωσχολικές δραστηριότητες (Ξένες γλώσσες, αθλητισμός κλπ.), το για διάβασμα των μαθημάτων του και τα για ύπνο. Πόσες ώρες διαθέτει την ημέρα για το σχολείο, τις διάφορες δραστηριότητες, το διάβασμα και τον ύπνο;. Σε μία πόλη το μάλιστα τα 00 των κατοίκων έχει ηλικία μεγαλύτερη από 6 χρόνια και από αυτούς έχουν ηλικία μεγαλύτερη από τα 0 χρόνια. a) Να βρείτε ποιο μέρος των κατοίκων έχουν ηλικία πάνω από τα 0 χρόνια. b) Αν το των κατοίκων είναι 00 κάτοικοι να βρείτε πόσοι έχουν ηλικία 0 πάνω από τα 0 χρόνια. 9. Για την αγορά ενός αυτοκινήτου αξίας 000 πλήρωσε κάποιος το προκαταβολή και συμφώνησε να πληρώνει μηνιαία δόση το μέχρι την εξόφληση. Πόσα ευρώ είναι η κάθε δόση; 9 ως του υπολοίπου 0. Για την εξόφληση ενός χρέους 000 προς την τράπεζα πλήρωσε κάποιος το ως προκαταβολή και το του υπόλοιπου ποσού τον επόμενο μήνα. Τι 0 ποσό οφείλει να πληρώσει ακόμα;.το σιτάρι όταν μετατρέπεται σε αλεύρι χάνει στο άλεσμα το Το αλεύρι δίνει στο ψήσιμο τα πάρουμε από 60 κιλά σιτάρι; του βάρους του. του βάρους του σε ψωμί. Πόσα κιλά ψωμί θα. Ένας παραγωγός πορτοκαλιών πούλησε τα της παραγωγής του και στη συνέχεια το των υπολοίπων. Αν είχε 00 κιλά πορτοκάλια πόσα του μένουν 6 ακόμα για πούλημα; Ξενιτίδης Κλεάνθης, Μαθηματικός
. Ένα μπουκάλι χωράει λάδι; Ασκήσεις Προβλήματα λίτρα λάδι. Πόσα μπουκάλια θα γεμίσουμε με λίτρα. Το ενός χωραφιού είναι φυτεμένο με λεμονιές, τα με πορτοκαλιές και το υπόλοιπο, που είναι στρέμματα, είναι ακαλλιέργητο. Πόσα στρέμματα είναι όλο το χωράφι;. Μια κληρονομιά μοιράστηκε σε δύο κόρες, στους τρεις γιούς και σε έξι άλλους συγγενείς ως εξής: Η κάθε κόρη πήρε το και ο κάθε γιος το της κληρονομιάς. Η υπόλοιπη κληρονομιά μοιράστηκε εξίσου στους 6 άλλους συγγενείς. a) Να βρείτε το μέρος της κληρονομιάς που πήρε ο καθένας από τους έξι συγγενείς. b) Αν ο καθένας από τους συγγενείς πήρε 0, να βρείτε πόσα ευρώ ήταν όλη η κληρονομιά και πόσα χρήματα πήρε ο κάθε γιος και η κάθε κόρη.. Τα των φοιτητών μιας σχολής γνωρίζουν Αγγλικά, το φοιτητές άλλες γλώσσες. Πόσους φοιτητές έχει η σχολή;. Σε πόσα μπουκάλια του, λίτρου χωράνε 0 λίτρα νερό; 6. Ένας εργάτης τελειώνει τα ολόκληρο το έργο;. Από την Α Γυμνασίου ενός σχολείου το μαθητές. Το 6 Γαλλικά και του έργου σε ώρες. Σε πόσες ώρες τελειώνει γράφει κάτω από τη βάση και είναι των υπολοίπων γράφει άριστα. Πόσοι μαθητές έγραψαν άριστα;. Πρέπει να συσκευαστούν 00 κιλά πορτοκάλια σε κιβώτια των, κιλών. Να βρείτε πόσα κιβώτια χρειαζόμαστε. 9. Μια πλατεία 00 τετραγωνικών μέτρων πρέπει να πλακοστρωθεί με πλακάκια εμβαδού του τετραγωνικού μέτρου. Πόσα πλακάκια χρειάζονται; 6 Ξενιτίδης Κλεάνθης, Μαθηματικός