Συναρτήσεις ζήτησης Κεφάλαιο 5 Νίκολσον (κεφ. 6784 από Varian) Τα αποτελέσματα εισοδήματος και υποκατάστασης Τα άριστα επίπεδα των 2 n ως συναρτήσεις όλων των τιμών και του εισοδήματος n συναρτήσεις ζήτησης στην μορφή: Coright 25 b South-Wtrn a diviion of Thomon Larning. ll right rrvd. * d ( 2 n ) 2 * d 2 ( 2 n ) n * d n ( 2 n ) 2 Συναρτήσεις ζήτησης Ομοιογένεια Αν έχουμε μόνο δύο αγαθά ( και ): * ( ) * ( ) Οι τιμές και το εισόδημα είναι εξωγενή Τα άτομα δεν ελέγχουν αυτές τις παραμέτρους Αν διπλασιάσουμε όλες τις τιμές και το εισόδημα οι άριστες ζητούμενες ποσότητες δεν αλλάζουν Ο εισοδηματικός περιορισμός δεν αλλάζει i * d i ( 2 n ) d i (t t 2 t n t) Οι ατομικές συναρτήσεις ζήτησης είναι ομοιογενείς μηδενικού βαθμού για όλες τις τιμές και το εισόδημα 3 4 Ομοιογένεια Ομοιογένεια Με συν. χρησιμότητας Cobb-Dougla χρησιμότητα U().3.7 οι συναρτήσεις ζήτησης είναι.3 *.7 * Βλέπετε πως με διπλασιασμό των τιμών και του εισοδήματος τα * και * δεν αλλάζουν Με συνάρτηση χρησιμότητας CES χρησιμότητα U().5.5 οι συναρτήσεις ζήτησης είναι * * / / Βλέπετε πως με διπλασιασμό των τιμών και του εισοδήματος τα * και * δεν αλλάζουν 5 6
Μεταβολές στο εισόδημα Μια αύξηση του εισοδήματος απεικονίζεται με παράλληλη μετατόπιση του εισοδηματικού περιορισμού Εφόσον ο λόγος / δεν αλλάζει ο MRS μένει σταθερός καθώς το άτομο πετυχαίνει μεγαλύτερη χρησιμότητα (ικανοποίηση των στόχων του) Αύξηση εισοδήματος Αν αυξηθούν τα και με την αύξηση εισοδήματος τότε τα και είναι κανονικά αγαθά Ποσότητα του C B Καθώς αυξάνεται το εισόδημα το άτομο επιλέγει να καταναλώσει περισσότερο και U 3 U U 2 7 Ποσότητα του 8 Αύξηση εισοδήματος Κανονικά και κατώτερα αγαθά Αν το μειωθεί με την αύξηση εισοδήματος τότε το είναι κατώτερο αγαθό Ποσότητα του C B Καθώς αυξάνεται το εισόδημα το άτομο επιλέγει να καταναλώσει λιγότερο και U 3 U 2 U Βλέπετε πως οι καμπύλες αδιαφορίας δεν χρειάζεται να έχουν «περίεργο» σχήμα. Η υπόθεση του φθίνοντος MRS ισχύει. Ένα αγαθό i για το οποίο ισχύει i / είναι κανονικό αγαθό για αυτά τα εισοδήματα Ένα αγαθό i για το οποίο ισχύει i / < είναι κατώτερο αγαθό για αυτά τα εισοδήματα Ποσότητα του 9 ενός αγαθού του αγαθού Μια μεταβολή στην τιμή ενός αγαθού αλλάζει την κλίση του εισοδηματικού περιορισμού Αλλάζει και το MRS στο σημείο μεγιστοποίησης χρησιμότητας Όταν αλλάζει η τιμή υπάρχουν δύο επιδράσεις αποτέλεσμα υποκατάστασης αποτέλεσμα εισοδήματος Ακόμα και αν έμενε στην ίδια καμπύλη αδιαφορίας όταν αλλάξει η τιμή η άριστη επιλογή θα αλλάξει γιατί ο MRS εξισώνεται με τον εισοδηματικό περιορισμό αποτέλεσμα υποκατάστασης Η αλλαγή της τιμής αλλάζει το «πραγματικό» εισόδημα του ατόμου οπότε πρέπει να αλλάξει και η καμπύλη αδιαφορίας αποτέλεσμα εισοδήματος 2 2
του αγαθού του αγαθού Ποσότητα του Έστω ότι ο καταναλωτής μεγιστοποιεί την χρησιμότητα στο σημείο. B Συνολική αύξηση Αν η τιμή του μειωθεί ο καταναλωτής θα μεγιστοποιεί την χρησιμότητα στο B. U U 2 Ποσότητα του 3 Ποσότητα του C Για να απομονώσουμε το αποτέλεσμα υποκατάστασης κρατάμε το «πραγματικό» εισόδημα σταθερό αλλά αφήνοντας την σχετική τιμή του αγαθού να αλλάξει Το αποτέλεσμα υποκατάστασης είναι η μετακίνηση από το σημ. στο σημ. C Το άτομο υποκαθιστά το αγαθό για το αγαθό U επειδή τώρα είναι σχετικά φτηνότερο Ποσότητα του Αποτέλεσμα υποκατάστασης 4 Ποσότητα του Έχουμε το αποτέλεσμα εισοδήματος επειδή το «πραγματικό» εισόδημα αλλάζει με την μεταβολή της τιμής του Το αποτέλεσμα εισοδήματος είναι η μεταβολή από το σημείο C στο B B Αν το είναι κανονικό C αγαθό το άτομο θα U 2 αγοράσει περισσότερο U γιατί το «πραγματικό» εισόδημα έχει αυξηθεί Ποσότητα του Αποτέλεσμα Εισοδήματος 5 Ποσότητα του B C Μια αύξηση στην τιμή του σημαίνει πως μεγαλώνει η κλίση του εισοδηματικού περ. Το αποτέλεσμα υποκατάστασης είναι η μεταβολή από το σημ. στο C U 2 Αποτέλεσμα υποκατάστασης Αποτέλεσμα εισοδήματος U Το αποτ. Εισοδήματος είναι η μεταβολή από το σημ C στο B Ποσότητα του 6 Μεταβολές τιμών για κανονικά αγαθά Αν τα αγαθά είναι κανονικά τα δύο αποτελέσματα έχουν την ίδια κατεύθυνση Όταν πέφτει η τιμή και τα δύο αποτελέσματα οδηγούν στην αύξηση της ζήτησης Όταν ανεβαίνει η τιμή και τα δύο αποτελέσματα οδηγούν στην μείωση της ζήτησης Μεταβολές τιμών για κατώτερα αγαθά Για κατώτερα αγαθά τα δύο αποτελέσματα έχουν αντίθετη κατεύθυνση Το τελικό αποτέλεσμα είναι απροσδιόριστο Όταν αυξάνεται η τιμή το αποτέλεσμα υποκατάσταση οδηγεί σε μείωση της ζήτησης αλλά το ΑΕ έχει την αντίθετη κατεύθυνση Όταν μειώνεται η τιμή το αποτέλεσμα υποκατάστασης οδηγεί σε αύξηση της ζήτησης αλλά το ΑΕ έχει την αντίθετη κατεύθυνση 7 8 3
Το παράδοξο του Giffn Μια περίληψη Αν το αποτέλεσμα εισοδήματος είναι αρκετά ισχυρό μπορεί να έχουμε θετική σχέση μεταξύ τιμής και ζητούμενης ποσότητας Μια αύξηση στην τιμή δημιουργεί μια μείωση στο πραγματικό εισόδημα Για κατώτερο αγαθό η μείωση εισοδήματος προκαλεί αύξηση στην ζητούμενη ποσότητα Η μεγιστοποίηση χρησιμότητας σημαίνει (για κανονικά αγαθά) πως μια πτώση της τιμής θα οδηγήσει σε αύξηση της ζητούμενης ποσότητας το αποτέλεσμα υποκατάστασης σημαίνει αύξηση της ζητούμενης ποσότητας καθώς κινείται κατά μήκος της καμπύλης αδιαφορίας το αποτέλεσμα εισοδήματος οδηγεί στην αύξηση της ζητούμενης ποσότητας καθώς η μεγαλύτερη αγοραστική δύναμη του ατόμου του επιτρέπει να ανέβει σε ψηλότερη καμπύλη αδιαφορίας 9 2 Μια περίληψη Η μεγιστοποίηση χρησιμότητας σημαίνει (για κανονικά αγαθά) πως μια αύξηση της τιμής θα οδηγήσει σε μείωση της ζητούμενης ποσότητας το αποτέλεσμα υποκατάστασης σημαίνει μείωση της ζητούμενης ποσότητας καθώς κινείται κατά μήκος της καμπύλης αδιαφορίας το αποτέλεσμα εισοδήματος οδηγεί στην μείωση της ζητούμενης ποσότητας καθώς η μικρότερη αγοραστική δύναμη του ατόμου τον αναγκάζει να κατέβει σε χαμηλότερη καμπύλη αδιαφορίας Μια περίληψη Η μεγιστοποίηση χρησιμότητας σημαίνει πως για κατώτερα αγαθά δεν μπορεί να γίνει πρόβλεψη για την επίδραση μιας μεταβολής της τιμής του αγαθού το αποτέλεσμα υποκατάστασης και το αποτέλεσμα εισοδήματος έχουν αντίθετη κατεύθυνση Αν το ΑΕ είναι μεγαλύτερο του ΑΥ έχουμε το παράδοξο του Giffn 2 22 Η ατομική καμπύλη ζήτησης Η ατομική καμπύλη ζήτησης Η ζήτηση ενός ατόμου για εξαρτάται από τις προτιμήσεις τις τιμές και το εισόδημα: * ( ) Συχνά βολεύει να παριστάνουμε το διάγραμμα ζήτησης για κρατώντας το εισόδημα και την τιμή του ( ) σταθερά Ποσότητα του Καθώς πέφτει η τιμή του... η ποσότητα της ζητούμενης ποσ. του αυξάνεται. U U 2 U 3 2 3 Ποσότητα του Ποσότητα του 23 24 4
2 2 και σταθερά 2 2 2 2 και σταθερά 2 2 25 26 2 2 και σταθερά 2 2 2 2 και σταθερά 27 28 χ 2 2 και σταθερά 2 2 και σταθερά *( ) * *( ) *( ) 29 3 5
2 και σταθερά 2 και σταθερά 2 2 *( ) * *( ) *( ) * *( ) *( ) *( ) 3 *( ) 32 2 και σταθερά 2 και σταθερά 2 2 *( ) *( ) * *( ) *( ) * *( ) *( ) *( ) *( ) 33 *( ) 34 2 2 και σταθερά 2 2 και σταθερά Μαρσαλιανή καμπύλη ζήτησης για το αγαθό *( ) *( ) *( ) * *( ) *( ) *( ) * *( ) *( ) *( ) *( ) *( ) 35 *( ) 36 6
(a) Καμπύλες αδιαφορίας και επ Κρασί 2. Η ατομική καμπύλη ζήτησης 5.2 4.3 2.8 (b) Καμπύλη Ζήτησης b $ ανά μονάδα 2. 2 3 Τιμή-κατανάλωση L ( $2) b L2 ( b $6) L3 ( b $4) 26.7 44.5 58.9 E 2 3 Μπύρα Η ατομική καμπύλη ζήτησης δείχνει την σχέση μεταξύ της τιμής του αγαθού και την ποσότητα που θέλει να αγοράσει το άτομο όταν υποθέτουμε πως όλοι οι άλλοι παράγοντες που επηρεάζουν την ζήτηση είναι σταθεροί 6. E 2 4. E 3 D Ζήτηση για μπύρα 26.7 44.5 58.9 Μπύρα 37 38 Μεταβολές στην καμπύλη ζήτησης (a) ndiffrn Curv and Budgt Contraint Win Gallon r ar L 3 L 2 Τρεις παράγοντες κρατούνται σταθεροί σε μια καμπύλη ζήτησης εισόδημα Οι τιμές μςάλλων αγαθών ( ) Οι προτιμήσεις του ατόμου Αν οποιοσδήποτε από αυτούς παράγοντες αλλάξει θα υπάρξει μεταβολή της καμπύλης ζήτησης σε νέα θέση L 7. 4.8 2.8 (b) Dmand Curv Pri of br $ r unit 2 () Engl Curv Y Budgt 2 3 nom-onumtion urv 2 3 26.7 38.2 49. Br Gallon r ar E E 2 E 3 26.7 38.2 49. Br Gallon r ar Engl urv for br D 3 D 2 D Y 3 $837 Y 2 $628 Y $49 E * E 2 * E 3 * 39 26.7 38.2 49. Br Gallon r ar 4 (a) ndiffrn Curv and Budgt Contraint ll othr good r ar Y L 3 3 Μεταβολές στην καμπύλη ζήτησης Y L2 2 Y L (b) Engl Curv Y nom Y 3 Y 2 Y nom-onumtion urv 3 3 2 2 Hamburgr r ar E 3 E 2 Engl urv E Μια μετακίνηση κατά μήκος της καμπύλης ζήτησης προέρχεται από μεταβολή της τιμής του αγαθού μια μεταβολή στην ζητούμενη ποσότητα Μια μεταβολή της καμπύλης ζήτησης προέρχεται από μεταβολή στο εισόδημα στις τιμές άλλων αγαθών ή των προτιμήσεων μια μεταβολή της ζήτησης Hamburgr r ar 4 42 7
Συναρτήσεις ζήτησης και καμπύλες Συναρτήσεις ζήτησης και καμπύλες Είδαμε νωρίτερα τις συναρτήσεις ζήτησης Οποιαδήποτε αλλαγή στο εισόδημα θα μεταβάλει την καμπύλη ζήτησης.3.7 * * Με εισόδημα $ οι συναρτήσεις γίνονται 3 * 7 * 43 44 Αντισταθμιστική καμπύλη ζήτησης Η χρησιμότητα μεταβάλλεται κατά μήκος της καμπύλης ζήτησης Καθώς μειώνεται η τιμή του το άτομο βρίσκεται όλο και σε ψηλότερες καμπύλες αδιαφορίας Σε (Μαρσαλιανή) καμπύλη ζήτησης μένει σταθερό το ονομαστικό εισόδημα Αυτό σημαίνει πως το «πραγματικό» αυξάνεται καθώς πέφτει η τιμή του Αντισταθμιστική καμπύλη ζήτησης Μια εναλλακτική μέθοδος κρατάει την χρησιμότητα σταθερή ( πραγματικό εισόδημα) για μεταβολές τις τιμής Οι μεταβολές των τιμών «αντισταθμίζονται» έτσι ώστε να παραμείνει το άτομο στην ίδια καμπύλη αδιαφορίας Οι μεταβολές στην ζητούμενη ποσότητα αντικατοπτρίζουν μόνο το αποτέλεσμα υποκατάστασης 45 46 Αντισταθμιστική καμπύλη ζήτησης Μια αντισταθμιστική (Hikian) καμπύλη ζήτησης δείχνει την σχέση της τιμής ενός αγαθού με την ποσότητα που διατίθεται να αγοράσει όταν κρατούνται σταθερές οι τιμές των άλλων αγαθών και η χρησιμότητα Η αντισταθμιστική καμπύλη ζήτησης είναι μια απεικόνιση στις δύο διαστάσεις την συνάρτησης * ( U) Αντισταθμιστική καμπύλη ζήτησης Ποσότητα του Κρατώντας σταθερή την χρησιμότητα καθώς μειώνεται η τιμή... ' κλίση '' κλίση ''' κλίση U 2 η ζητούμενη ποσότητα αυξάνεται. Ποσότητα του Ποσότητα του 47 48 8
Αντισταθμιστικές και μη-αντισταθ. καμπύλες ζήτησης Αντισταθμιστικές & μη-αντισταθ. καμπύλες ζήτησης Στο οι καμπύλες τέμνονται γιατί το εισόδημα του ατόμου είναι αρκετό για να πετύχει U 2 Σε τιμές ψηλότερες του 2 είναι θετική η εισοδηματική αντιστάθμιση γιατί το άτομο χρειάζεται ενίσχυση για καταφέρει να διατηρήσει το U 2 Ποσότητα του * Ποσότητα του 49 5 Αντισταθμιστικές και μη-αντισταθ. καμπύλες ζήτησης (a) Καμπύλες αδιαφορίας: κανονική ζήτηση και αντισταθμιστική ζήτηση Κρασί 2. 5.2 3 Τιμή-κατανάλωση Σε χαμηλότερες τιμές του 2 έχουμε αρνητική εισοδηματική αντιστάθμιση για να αποτρέψουμε μια αύξηση της χρησιμότητας με την φτηνή τιμή 2.8 (b) Καμπύλη Ζήτησης b $ ανά μονάδα L ( $2) b L3 ( b $4) 26.7 58.9 2 3 Μπύρα 2. E *** Ποσότητα του 4. E 3 D Ζήτηση για μπύρα H αντισταθμιστική καμπύλη ζήτησης 5 26.7 58.9 Μπύρα 52 Αντισταθμιστικές και μη-αντισταθ. καμπύλες ζήτησης Για κανονικό αγαθό η αντισταθμιστική καμπύλη ζήτησης έχει μεγαλύτερη απόλυτη κλίση (αντιδρά λιγότερο σε μεταβολές στις τιμές) από την Μαρσαλιανή καμπύλη ζήτησης Η μη-αντισταθμιστική καμπύλη αντικατοπτρίζει το αποτέλεσμα υποκατάσταση και εισοδήματος Η αντισταθμιστική καμπύλη αντικατοπτρίζει το αποτέλεσμα υποκατάστασης μόνο Αντισταθμιστικές καμπύλες ζήτησης Έστω συνάρτηση χρησιμότητας: χρησιμότητα U().5.5 Οι Μαρσαλιανές συναρτήσεις ζήτησης: /2 /2 Η έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας: χρησιμότητα V( ) 2.5.5 53 54 9
Αντισταθμιστικές καμπύλες ζήτησης Αντισταθμιστικές καμπύλες ζήτησης Για να βρούμε τις αντισταθμιστικές συναρτήσεις ζήτησης λύνουμε την έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας ως προς και μετά αντικαθιστούμε τις Μαρσαλιανές V V. 5.5.5.5 V V. 5.5.5 Η ζήτηση τώρα εξαρτάται από το (V) αντί του εισοδήματος Αυξήσεις στο μειώνουν την ζητούμενη ποσότητα του μόνο το αποτέλεσμα υποκατάστασης.5 55 56 Μια μαθηματική ανάπτυξη Μια μαθηματική ανάπτυξη Θέλουμε να εξετάσουμε πώς η ζητούμενη ποσότητα του αγαθού αλλάζει όταν αλλάζει το / Η διαφοροποίηση των συνθηκών πρώτης τάξης του προβλήματος μεγιστοποίησης της χρησιμότητας θα μας δώσει αυτήν την παράγωγο Όμως αυτή η διαδικασία είναι περίπλοκη και δεν μας βοηθάει να κατανοήσουμε το τι συμβαίνει Θα προτιμήσουμε μια έμμεση προσέγγιση Θυμηθείτε την συνάρτηση δαπανών Ελάχιστες δαπάνες E( U) Εξ ορισμού ( U) [ E( U)] Η ζητούμενη ποσότητα είναι ίδια και για τις δύο συναρτήσεις όταν το εισόδημα είναι ακριβώς αυτό που χρειάζεται για να πετύχουμε την συγκεκριμένη χρησιμότητα 57 58 Μια μαθηματική ανάπτυξη Μια μαθηματική ανάπτυξη ( U) [ E( U)] ιαφοροποιώντας τις αντισταθμιστικές συναρτήσεις ζήτησης έχουμε E E E E 59 E E Ο πρώτος όρος είναι η κλήση της αντισταθμιστικής συνάρτησης χρησιμότητας Η μαθηματική μορφή του αποτελέσματος υποκατάστασης 6
Μια μαθηματική ανάπτυξη Η εξίσωση Slutk E E Ο δεύτερος όρος δείχνει το τρόπο που μια αλλαγή στο επηρεάζει την ζήτηση του μέσω της επίδρασης που έχει στο εισόδημα Η μαθηματική μορφή του αποτελέσματος εισοδήματος Το αποτέλεσμα υποκατάστασης αποτέλεσμα υποκατάστασης Το αποτέλεσμα εισοδήματος αποτέλεσμα εισοδήματος U ontant E E E 6 62 Η εξίσωση Slutk Η εξίσωση Slutk Προσέξετε πως το E/ μια αύξηση της τιμής κατά $ αυξάνει τις απαραίτητες δαπάνες κατά δολάρια $ παραπάνω πρέπει να ξοδευθεί για κάθε μονάδα που αγοράζεται Η υπόθεση της μεγιστοποίησης της χρησιμότητας δείχνει πως τα αποτελέσματα υποκατάστασης και εισοδήματος που απορρέουν από την μεταβολή της τιμής μπορεί να γραφτεί με αυτό το τρόπο αποτ. υποκατ. αποτ. εισοδήματος U ontant 63 64 Η εξίσωση Slutk Η εξίσωση Slutk U ontant Ο πρώτος όρος είναι το αποτ. υποκατάστασής Πάντα αρνητικός εφόσον ο MRS φθίνει Η κλίση της αντισταθμιστικής συνάρτησης ζήτησης είναι αρνητική U ontant Ο δεύτερος όρος είναι το αποτ. εισοδήματος Αν το είναι κανονικό αγαθό τότε / > Το αποτέλεσμα εισοδήματος είναι αρνητικό αν είναι κατώτερο τότε / < Το αποτέλεσμα εισοδήματος είναι θετικό 65 66
Παράδειγμα: Εξίσωση Slutk Παράδειγμα: Εξίσωση Slutk Μπορούμε να δούμε τα αποτελέσματα υποκατάστασης και εισοδήματος μελετόντας την επίδραση μιας μεταβολής της τιμής με την συνάρτηση Cobb-Dougla Η Μαρσαλιανή συνάρτηση ζήτησης για το που είχαμε βρει είναι.5 ( ) Η Χικσιανή (αντισταθμιστική) συνάρτηση ζήτησης για ήταν.5 V ( ) V.5 Η συνολική επίδραση της μεταβολής της τιμής στην ζητούμενη ποσότητα.5 2 67 68 Παράδειγμα: Εξίσωση Slutk Παράδειγμα: Εξίσωση Slutk Το συνολικό αποτέλεσμα είναι η άθροιση των δύο αποτελεσμάτων Slutk Το αποτέλεσμα υποκατάστασης το βρίσκουμε διαφοροποιώντας την αντισταθμιστική συνάρτηση ζήτησης Μπορούμε να αντικαταστήσουμε την έμμεση συνάρτηση ζήτησης (V).5.5.5.5(.5 ) 25.25 αποτ. υποκατάστασης.5 2 αποτ. υποκατάστασης.5v.5.5 69 7 Παράδειγμα: Εξίσωση Slutk Μαρσαλιανές Ελαστικότητες Ζήτησης Το αποτέλεσμα εισοδήματος.5.5.25 αποτ. εισοδήματος 2 Παρατηρούμε πως με αυτήν την συνάρτηση τα δύο αποτελέσματα είναι ίδια Οι ελαστικότητας που χρησιμοποιούνται συχνότερα απορρέουν από την Μαρσαλιανή συνάρτηση ζήτησης ( ) Ελαστικότητα ζήτησης ( ) Δ / Δ / 7 72 2
Μαρσαλιανές Ελαστικότητες Ζήτησης Εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης ( ) Δ / Δ / σταυροειδής ελαστικότητα ζήτησης ( ) Δ / Δ / Ελαστικότητα ως προς την τιμή της ζήτησης Η ελαστικότητα ως προς την τιμή της ζήτησης είναι αρνητική Η μόνη εξαίρεση είναι το παράδοξο του Giffn Το μέγεθος της ελαστικότητας έχει σημασία αν < - η ζήτηση είναι ελαστική αν > - η ζήτηση είναι ανελαστική αν - η ζήτηση είναι μοναδιαία ελαστική 73 74 Ελαστικότητα ζήτησης και συνολικές δαπάνες Οι συνολικές δαπάνες για το είναι Συνολικές δαπάνες Με την ελαστικότητα μπορούμε να δούμε πως αλλάζουν οι συνολικές δαπάνες για το όταν αλλάζει η τιμή του ( ) [ ] Ελαστικότητα ζήτησης και συνολικές δαπάνες ( ) [ Το πρόσημο της παραγώγου εξαρτάται απο το αν η είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη του - αν > - είναι ανελαστική η ζήτηση οπότε η τιμή και οι συνολικές δαπάνες κινούνται στην ίδια κατεύθυνση αν < - είναι ελαστική η ζήτηση οπότε η τιμή και οι συνολικές δαπάνες κινούνται προς αντίθετες κατευθύνσεις ] 75 76 Αντισταθμισμένες Ελαστικότητες Είναι επίσης χρήσιμο να ορίσουμε ελαστικότητες που σχετίζονται με την αντισταθμισμένη συνάρτηση ζήτησης Αντισταθμισμένες Ελαστικότητες Αν η αντισταθμιστική συνάρτηση ζήτησης είναι ( U) μπορούμε να υπολογίσουμε Αντισταθμιστική ελαστικότητα ζήτησης ( ) Αντισταθμιστική σταυροειδής ελαστικότητα ζήτησης ( ) 77 78 3
Αντισταθμισμένες Ελαστικότητες Αντισταθμισμένες Ελαστικότητες Η αντισταθμιστική ελαστικότητα ζήτησης είναι ( ) Δ / Δ / Η αντισταθμιστική σταυροειδής ελαστικότητα ζήτησης ( ) i Η σχέση μεταξύ Μαρσαλιανής και αντισταθμιστικής ελαστικότητα ζήτησης φαίνεται με την εξίσωση Slutk αν / τότε Δ / Δ / 79 8 Αντισταθμισμένες Ελαστικότητες Ομοιογένεια Η εξίσωση Slutk δείχνει πως οι Μαρσαλιανές και αντισταθμιστικές ελαστικότητες θα είναι όμοιες αν Το ποσοστό του εισοδήματος που δαπανάται για είναι μικρό Η εισοδηματική ελαστικότητα του είναι μικρή Οι συναρτήσεις ζήτησης είναι ομοιογενείς μηδενικού βαθμού στις τιμές και στο εισόδημα Το θεώρημα του Eulr για ομοιογενείς συναρτήσεις δείχνει πως 8 82 Ομοιογένεια Άθροιση κατά Engl ιαιρώντας με έχουμε Όποια αναλογική μεταβολή σε όλες τις τιμές και στο εισόδημα θα αφήσει ανεπηρέαστη την ζητούμενη ποσότητα του O Nόμος του Engl υπονοεί πως η εισοδηματική ελαστικότητα της ζήτησης για τρόφιμα είναι μικρότερη της μονάδας Που σημαίνει πως η εισοδηματική ελαστικότητα για όλα τα υπόλοιπα αγαθά είναι μεγαλύτερη της μονάδας 83 84 4
5 Άθροιση κατά Engl Το βλέπουμε αυτό παραγοντίζοντας τον εισοδηματικό περιορισμό ως προς το εισόδημα (διατηρώντας σταθερές τις τιμές) 85 Άθροιση κατά Cournot Το μέγεθος της σταυροειδούς επίδρασης μιας μεταβολής στην τιμή του στην ζητούμενη ποσότητα του είναι περιορισμένη λόγω του εισοδηματικού περιορισμού 86 Αυτό φαίνεται αν διαφοροποιήσουμε τον εισοδηματικό περιορισμό ως προς Άθροιση κατά Cournot 87 Ελαστικότητες ζήτησης Η συνάρτηση χρησιμότητας Cobb-Dougla είναι U() α β (αβ) Η συνάρτηση ζήτησης του και είναι 88 α β Ελαστικότητες ζήτησης Υπολογίζοντας τις ελαστικότητες βρίσκουμε 2 α α 89 α α Ελαστικότητες ζήτησης Μπορούμε να δείξουμε ομοιογένεια 9 Άθροιση κατά Engl α β β α Άθροιση κατά Cournot α β α ) (
Ελαστικότητες ζήτησης Ελαστικότητες ζήτησης Μπορούμε να κάνουμε χρήση της εξίσωσης Slutk για να βρούμε την αντισταθμιστική ελαστικότητα ζήτησης α () α β Η αντισταθμιστική ελαστικότητα ζήτησης εξαρτάται από το πόσο σημαντικό είναι το αγαθό () στην συνάρτηση χρησιμότητας Η CES συνάρτηση ζήτησης (με σ 2 5) είναι U().5.5 Οι συναρτήσεις ζήτησης για και είναι ( ) ( ) δ 9 92 Ελαστικότητες ζήτησης Ελαστικότητες ζήτησης Θα χρησιμοποιήσουμε την har latiit για να βρούμε την ελαστικότητα ζήτησης Σε αυτήν την περίπτωση Η ελαστικότητα μεριδίου είναι ( ( 2 ) ) Οπότε αν θέσουμε.5 93 94 Ελαστικότητες ζήτησης Η CES συνάρτηση χρησιμότητας (με σ.5 δ -) είναι U() - - - - Το μερίδιο του αγαθού είναι.5.5 Ελαστικότητες ζήτησης Οπότε η ελαστικότητα μεριδίου δίνεται.5.5 (.5.5.5.5 Πάλι θέτοντας.5.5.5.5 2 ) (.5.5 ) 95.5.75 2 96 6
Το πλεόνασμα του καταναλωτή Το πλεόνασμα του καταναλωτή Ένα σημαντικό ζήτημα στα οικονομικά της ευημερίας είναι να αναπτύξουμε ένα χρηματικό μέτρο των ωφελειών και απωλειών που έχουν τα άτομα σαν αποτέλεσμα μεταβολών των τιμών Ένας τρόπος να εκτιμήσουμε την απώλεια ευημερίας από μια αύξηση της τιμής ( σε ) θα ήταν η σύγκριση των δαπανών που απαιτούνται για να επιτύχουμε ένα επίπεδο χρησιμότητας U στις δύο καταστάσεις απάνες στο E E( U ) απάνες στο E E( U ) 97 98 Το πλεόνασμα του καταναλωτή Το πλεόνασμα του καταναλωτή Για να αποζημιωθεί το άτομο για μια αύξηση της τιμής θα χρειασθεί αντισταθμιστική μεταβολή [omnating variation (CV)] που είναι CV E( U ) - E( U ) Ποσότητα του B Έστω ότι ο καταναλωτής μεγιστοποιεί την χρησιμότητα στο σημείο. Αν αυξηθεί η τιμή του ο καταναλωτής θα μεγιστοποιεί την χρησιμότητα στο B. U Η χρησιμότητα του καταναλωτή πέφτει από το U στο U 2 U 2 Ποσότητα του 99 Το πλεόνασμα του καταναλωτή Το πλεόνασμα του καταναλωτή Ποσότητα του B C Ο καταναλωτής μπορεί να αποζημιωθεί ώστε να παραμείνει στο U CV είναι η ποσότητα της αποζημίωσης (το αντιστάθμισμα) U Η παράγωγος της συνάρτησης δαπανών ως προς την τιμή είναι η αντισταθμιστική συνάρτηση ζήτησης E( U ) ( U ) U 2 Ποσότητα του 2 7
Το πλεόνασμα του καταναλωτή Το πλεόνασμα του καταναλωτή Για να βρούμε το μέγεθος της CV ολοκληρώνουμε για μικρές μεταβολές της τιμής από το στο CV de ( U ) d Αντιστοιχεί με το εμβαδόν αριστερά από την αντισταθμιστική καμπύλη ζήτησης και μεταξύ της τιμής και Με την αύξηση της τιμής από το στο ο καταναλωτής έχει μια απώλεια ευημερίας Απώλεια ευημερίας ( U ) Ποσότητα του 3 4 Το πλεόνασμα του καταναλωτή Επειδή μια μεταβολή στην τιμή προκαλεί αποτέλεσμα εισοδήματος και υποκατάστασης δεν είναι ξεκάθαρο ποια αντισταθμιστική καμπύλη πρέπει να χρησιμοποιηθεί Χρησιμοποιούμε την καμπύλη της αρχικής χρησιμότητας ή της νέας χρησιμότητας μετά την μεταβολή της τιμής; Η έννοια του πλεονάσματος του καταναλωτή Μια άλλη προσέγγιση είναι να ρωτήσουμε πόσο θα ήταν διατεθειμένο το άτομο να πληρώσει για το δικαίωμα να καταναλώσει όσο ήθελε πριν από το αγαθό στην τιμή 5 6 Το πλεόνασμα του καταναλωτή Το πλεόνασμα του καταναλωτή Το εμβαδόν της περιοχής κάτω από την αντισταθμιστική καμπύλη ζήτησης και πάνω από την τιμή ονομάζεται πλεόνασμα του καταναλωτή Το επιπλέον όφελος που απολαμβάνει το άτομο για την δυνατότητα να αγοράζει το αγαθό στην συγκεκριμένη αγοραία τιμή Με την αύξηση της τιμής από στο η πραγματική αγοραία αντίδραση θα είναι μια μετακίνηση από το στο C C Η χρησιμότητα του καταναλωτή πέφτει από το U στο U (...U ) (...U ) ( ) Ποσότητα του 7 8 8
Το πλεόνασμα του καταναλωτή Το πλεόνασμα του καταναλωτή C D B Η απώλεια του καταναλωτή μπορεί να περιγραφεί ως B [με την χρήστη του (...U )] ή ως CD [με την χρήση του (...U )]? (...U ) Το επίπεδο U ή U είναι το σωστό σημείο αναφοράς; C Μπορούμε να κάνουμε χρήση της Μαρσαλιανής καμπύλης ζήτησης ως «συμβιβασμός» των δύο Η περιοχή B C έχει ενδιάμεσο μέγεθος ( σε σχέση με ) (...U ) και (...U ) D (...U ) (...U ) (...U ) Ποσότητα του Ποσότητα του 9 Πλεόνασμα του καταναλωτή Θα ορίσουμε ως πλεόνασμα του καταναλωτή την περιοχή μεταξύ της Μαρσαλιανής καμπύλης ζήτησης και της τιμής είχνει πως το άτομο θα ήταν διατεθειμένο να πληρώσει για το δικαίωμα να κάνει την ανταλλαγή σε αυτήν την τιμή Μεταβολές στο πλεόνασμα του καταναλωτή μετράει τις μεταβολές στην ευημερία που απορρέουν από μεταβολές στις τιμές Απώλεια ευημερίας από μια αύξηση της τιμής Έστω ότι η αντισταθμιστική συνάρτηση ζήτησης του είναι V ( V ).5.5 Η απώλεια ευημερίας από μια μεταβολή της τιμής από στο 4 είναι 4 CV V.5.5 2V 4.5.5 X 2 Απώλεια ευημερίας από μια αύξηση της τιμής Αν υποθέσουμε ότι V 2 και 2 CV 222(4).5 222().5 8 Αν υποθέσουμε πως χρησιμότητα (V) πέφτει στο μετά την αύξηση της τιμής (και κάναμε χρήση αυτού του επιπέδου για τους υπολογισμούς) CV 22(4).5 22().5 4 3 Απώλεια ευημερίας από μια αύξηση της τιμής Αν χρησιμοποιούσαμε την Μαρσαλιανή συνάρτηση ζήτησης ( ).5 Η απώλεια ευημερίας από μια αύξηση της τιμής από το στο 4 είναι 4 - Α πώλεια.5 d.5ln - 4 4 9
Απώλεια ευημερίας από μια αύξηση της τιμής Αν το εισόδξημα () είναι 8 απώλεια 4 ln(4) - 4 ln() 4 ln(4) 4(.39) 5.55 Αυτή η απώλεια που υπολογίσαμε με την Μαρσαλιανή καμπύλη ζήτησης είναι ένας συμβιβασμός αυτών που υπολογίσαμε χρησιμοποιώντας τις αντισταθμιστικές συναρτήσεις ζήτησης Αποκαλυφθείσα προτίμηση και το αποτέλεσμα υποκατάστασης Η θεωρία της αποκαλυφθείσας προτίμησης παρουσιάστηκε από τον Paul Samulon στα τέλη του 94 Η θεωρία ορίζει μια αρχή της ορθολογικότητας που βασίζεται στις παρατηρήσεις της συμπεριφοράς. Οι πληροφορίες χρησιμοποιούνται στην κατασκευή μιας ατομική συνάρτησης χρησιμότητας. 5 6 Αποκαλυφθείσα προτίμηση και το αποτέλεσμα υποκατάστασης Έστω δύο καλάθια αγαθών: και B Αν το άτομο μπορεί να αγοράσει ή το ένα ή το άλλο αλλά επιλέγει το λέμε πως το έχει αποκαλυφθεί προτιμότερο του B Με οποιονδήποτε άλλο συνδυασμό τιμώνεισοδήματος το B δεν μπορεί ποτέ να αποκαλυφθεί προτιμότερο του Αποκαλυφθείσα προτίμηση και το αποτέλεσμα υποκατάστασης Ποσότητα του Έστω πως με εισοδηματικό περιορισμό επιλέγεται το B Το πρέπει να παραμένει προτιμότερο του B όταν το εισόδημα γίνει 3 (επειδή και το και το B είναι εφικτά) Αν το B επιλεγεί ο εισοδηματικός περιορισμός πρέπει να είναι όμοιος με το 2 όπου το δεν είναι εφικτό 2 3 7 Ποσότητα του 8 Αρνητικό αποτέλεσμα υποκατάστασης Αρνητικό αποτέλεσμα υποκατάστασης Έστω ότι το άτομο είναι αδιάφορο μεταξύ: C και D Έστω πως C C είναι οι τιμές του C που έχει επιλεγεί Έστω πως D D είναι οι τιμές που οδηγούν στην επιλογή του D Εφόσον το άτομο είναι αδιάφορο μεταξύ το C και D Όταν επιλέγεται το C το D πρέπει να κοστίζει το λιγότερο όσο το C C C C C C D C D Όταν επιλέγεται το D το C πρέπει να κοστίζει το λιγότερο όσο το D D D D D D C D C 9 2 2
Αρνητικό αποτέλεσμα υποκατάστασης Αρνητικό αποτέλεσμα υποκατάστασης Με αναδιάταξη έχουμε C ( C - D ) C ( C - D ) D ( D - C ) D ( D - C ) Προσθέτοντας έχουμε ( C D )( C - D ) ( C D )( C - D ) Έστω πως αλλάζει η τιμή μόνο του ( C D ) ( C D C D )( C - D ) Αυτό σημαίνει πως η τιμή και η ποσότητα κινούνται προς αντίθετες κατευθύνσεις όταν μένει σταθερή η χρησιμότητα Το αποτέλεσμα υποκατάστασης είναι αρνητικό 2 22 Μαθηματική Γενίκευση Μαθηματική Γενίκευση Αν στις τιμές i το καλάθι i επιλεγεί αντί το i (και το i μπορεί να αγοραστεί) τότε n n i i i i i i Το καλάθι έχει «αποκαλυφθεί προτιμότερο» του Συνεπώς στις τιμές i )που ισχύουν όταν επιλέγεται το n n i i > i i Το καλάθι πρέπει να είναι πιο ακριβό από το i i 23 24 Ισχυρό αξίωμα της αποκαλυφθείσας προτίμησης Αν το καλάθι αποκαλυφθεί προτιμότερο του και αν το καλάθι αποκαλυφθεί προτιμότερο ρ του 2 και το 2 αποκαλυφθεί προτιμότερο του 3 και το καλάθι K- αποκαλυφθεί προτιμότερο του K τότε το K δεν μπορεί να αποκαλυφθεί προτιμότερο του Σημαντικά σημεία: Αναλογικές μεταβολές στις τιμές και στο εισόδημα δεν μετακινούν τον εισοδηματικό περιορισμό και ως εκ τούτου δεν μεταβάλλουν το καλάθι αγαθών που επιλέγει το άτομο Οι συναρτήσεις ζήτησης είναι ομοιογενείς μηδενικού βαθμού στις τιμές και στο εισόδημα 25 26 2
Σημαντικά σημεία: Σημαντικά σημεία: Όταν αλλάζει η αγοραστική δύναμη (το εισόδημα αλλάζει χωρίς να αλλάξουν οι τιμές) ο εισοδηματικός περιορισμός μετατοπίζεται Για κανονικά αγαθά μια αύξηση του εισοδήματος θα οδηγήσει σε αύξηση της ζητούμενης ποσότητας Για κατώτερα αγαθά μια αύξηση του εισοδήματος σημαίνει πως λιγότερο θα αγοραστεί από το αγαθό Μια μείωση της τιμής προκαλεί αποτελέσματα υποκατάστασης και εισοδήματος Για κανονικό αγαθό και τα δύο αποτελέσματα προκαλούν αύξηση της ζήτησης Για κατώτερο αγαθό τα αποτελέσματα έχουν αντίθετη κατεύθυνση εν μπορούμε να προβλέψουμε την τελική επίδραση 27 28 Σημαντικά σημεία: Σημαντικά σημεία: Μια αύξηση της τιμής επίσης προκαλεί αποτέλεσμα υποκατάστασης και εισοδήματος Για κανονικά αγαθά θα μειωθεί θίη ζητούμενη ποσότητα Για κατώτερα αγαθά το τελικό αποτέλεσμα είναι αμφίβολο Η Μαρσαλιανή καμπύλη ζήτησης δείχνει την επίδραση και των δύο αποτελεσμάτων για κάθε πιθανή τιμή Μεταβολές των τιμών προκαλούν μετακινήσεις κατά μήκος της καμπύλης Μεταβολές σε εισόδημα τιμές άλλων αγαθών και στις προτιμήσεις μπορούν να προκαλέσουν μετατόπιση της καμπύλης 29 3 Σημαντικά σημεία: Σημαντικά σημεία: Αντισταθμιστικές καμπύλες ζήτησης δείχνουν μετακινήσεις κατά μήκος μιας καμπύλης αδιαφορίας για διαφορετικές τιμές Κατασκευάζονται κρατώντας την χρησιμότητα σταθερή και μας δείχνουν μόνο το αποτέλεσμα υποκατάστασης μιας μεταβολής της τιμής Η κλίση τους είναι πάντα αρνητική (η μηδενική) Ελαστικότητες ζήτησης χρησιμοποιούνται συχνά για εμπειρική έρευνα για να συνοψίσουν την συμπεριφορά ατόμων σε μεταβολές τιμών Η ελαστικότητα ζήτησης είναι η σημαντικότερη Μετράει την αναλογική μεταβολή της ζητούμενης ποσότητας που προκαλεί μια μεταβολή της τιμής κατά % 3 32 22
Σημαντικά σημεία: Σημαντικά σημεία: Υπάρχουν πολλές συσχετίσεις μεταξύ ελαστικοτήτων ζήτησης Οι ελαστικότητες ζήτησης ως προς την τιμή του ίδιου αγαθού καθορίζουν ρζ πως μια μεταβολή στην τιμή επηρεάζει τις συνολικές δαπάνες για το αγαθό Το αποτέλεσμα υποκατάστασης και εισοδήματος συνοψίζεται με την εξίσωση Slutk Έχουμε διάφορα αποτελέσματα αθροίσματος μεταξύ ελαστικοτήτων Οι επιπτώσεις στην ευημερία που προκαλούν οι μεταβολές στις τιμές μπορούν να μετρηθούν είτε με αντισταθμιστικές είτε με Μαρσαλιανές συναρτήσεις ζήτησης Τέτοιες αλλαγές επηρεάζουν το μέγεθος του πλεονάσματος του καταναλωτή που απολαμβάνουν οι καταναλωτές από την δυνατότητα να κάνουν αγοραίες συναλλαγές 33 34 Σημαντικά σημεία: Το αρνητικό πρόσημο του αποτελέσματος υποκατάστασης είναι ένα από τα βασικά ευρήματα της θεωρίας της ζήτησης Μπορεί να αποδειχθεί με την θεωρία της αποκαλυφθείσας προτίμησης και δεν χρειάζεται απαραιτήτως την ύπαρξη συνάρτησης χρησιμότητας 35 23