ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ α x +β<0 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ α.(β+γ)=α. β+α. γ =δ. π+υ 1.3 Δυνάμεις φυσικών αριθμών Πολλές φορές συναντάμε γινόμενα των οποίων όλοι οι παράγοντες είναι ίσοι. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν έδρας κύβου και τον όγκο του, για διάφορες τιμές της ακμής του. Ο κύβος είναι ένα γεωμετρικό στερεό σώμα με επίπεδες επιφάνειες που έχουν σχήμα τετραγώνου και λέγονται έδρες. Ακμή είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο έδρες. ακμή ακμή έδρα Το εμβαδόν τετραγώνου πλευράς α δίνεται από τον τύπο Ε = α α. Επομένως, το εμβαδόν έδρας κύβου ακμής α δίνεται από τον τύπο Ε = α α.
4 Κεφάλαιο 1 ο Ο όγκος του κύβου είναι ίσος με το γινόμενο των ακμών που εκφράζουν το μήκος, το πλάτος και το ύψος του. Επειδή οι ακμές του κύβου είναι ίσες μεταξύ τους, αυτό εκφράζεται σύντομα με τον τύπο: Ο (κύβου) = α α α (ή V κύβου = α α α, όπου V ο διεθνής συμβολισμός του ό- γκου (αρχικό της λέξης Volume = όγκος). Εφαρμόζοντας τους τύπους υπολογισμού του εμβαδού έδρας και όγκου κύβου, βρίσκουμε ότι: Για ακμή α = 2 είναι: Ε = 2 2 = 4 τ.μ. και V = 2 2 2 = 8 κ.μ. Για ακμή α = 3 είναι: Ε = 3 3 = 9 τ.μ. και V = 3 3 3 =27 κ.μ. Για ακμή α = 4 είναι: Ε =4 4 = 16 τ.μ. και V = 4 4 4 = 64 κ.μ. Για ακμή α = 5 είναι: Ε = 5 5 =25 τ.μ. και V = 5 5 5 = 125 κ.μ. Παρατηρούμε ότι, γενικά, για να υπολογίσουμε το εμβαδόν μιας έδρας κύβου (τετραγώνου), πολλαπλασιάζουμε δύο ίσους αριθμούς και για να υπολογίσουμε τον όγκο ενός κύβου πολλαπλασιάζουμε τρεις ίσους αριθμούς. Δηλαδή, υπολογίζουμε γινόμενα αποτελούμενα από δύο και τρεις αντίστοιχα, ίσους παράγοντες. Ας δούμε ένα ακόμη παράδειγμα... Αναρωτηθήκατε ποτέ πόσοι είναι οι δυνατοί τετραψήφιοι κωδικοί pin ενός κινητού τηλεφώνου; Δεν είναι δύσκολο να τους υπολογίσουμε. Έστω λοιπόν ένας τετραψήφιος κωδικός pin Α Β Γ Δ Προφανώς, στη θέση Α μπορεί να μπει καθένας από τους αριθμούς 0, 1, 2, 3,,9 οι οποίοι είναι συνολικά 10. Για κάθε μία από τις 10 αυτές επιλογές για τη θέση Α, υπάρχουν 10 επιλογές για τη θέση Β. Δηλαδή, μόνο για τα δύο πρώτα ψηφία υπάρχουν 10 10 = 100 επιλογές. Πράγματι, αν στη θέση Α μπει το 0, υπάρχουν 10 επιλογές (0-9) για τη θέση Β. Αν στη θέση Α μπει το 1, υπάρχουν 10 επιλογές (0-9) για τη θέση Β, κ.ο.κ. Οπότε όλες οι δυνατές περιπτώσεις είναι 10 + 10 +... + 10 = 10 10 = 100 10 φορές
Κεφάλαιο 1 ο 5 Με την ίδια λογική, για κάθε μία από τις 100 δυνατές επιλογές για τις θέσεις Α και Β, υπάρχουν 10 επιλογές για τη θέση Γ. Δηλαδή, μόνο για τα τρία πρώτα ψηφία, υπάρχουν 10 10 10 = 100 10 = 1000 επιλογές. Τελικά, επειδή για κάθε μία από τις 1000 δυνατές επιλογές για τις θέσεις Α, Β και Γ υπάρχουν 10 για τη θέση Δ, για ένα τετραψήφιο κωδικό pin υπάρχουν 10 10 10 10 = 1000 10 = 10000 επιλογές. Και πάλι είχαμε να υπολογίσουμε ένα γινόμενο αποτελούμενο από 4 ίσους παράγοντες. Θα μπορούσαμε να συνεχίζουμε να δίνουμε παραδείγματα στα οποία θα εμφανίζονταν γινόμενα οσωνδήποτε μεταξύ τους παραγόντων. Δεν θα είχε κάποιο ιδιαίτερο νόημα είμαστε σίγουροι αφενός ότι υπάρχουν και αφετέρου ότι μπορούμε να τα κατασκευάσουμε. Από έναν αριθμό παραγόντων και πέρα, είναι εύκολο να αντιληφθούμε τις δυσκολίες που θα συναντούσαμε για να τα γράψουμε (και κατόπιν, βέβαια, να τα υπολογίσουμε). Τα μαθηματικά είναι γνωστό ότι διακρίνονται (ή αν προτιμάτε, πρέπει να διακρίνονται) από ακρίβεια, σαφήνεια, λιτότητα και κομψότητα στην έκφραση (στη μαθηματική, όχι στη λεκτική ερμηνεία της). Αυτό απαιτεί και επιβάλλει την εκτεταμένη χρήση ορισμών και εννοιών, που συχνά συνοδεύονται και από τα αντίστοιχα σύμβολα. Το αποτέλεσμα είναι η μεγιστοποίηση των μαθηματικών εκφραστικών δυνατοτήτων, η οποία μπορεί ταυτόχρονα να γίνει δίκοπο μαχαίρι για όποιον δεν αποκωδικοποιεί σωστά όρους και σύμβολα (γι αυτό προσοχή και εγρήγορση!!!). Στην περίπτωση ενός γινομένου ίσων παραγόντων, εισάγουμε την έννοια της δύναμης συνοδευόμενη από τον αντίστοιχο συμβολισμό. Ονομάζουμε δύναμη με βάση το (φυσικό) αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό ν (ν > 1) και συμβολίζουμε με α ν το γινόμενο ν παραγόντων ίσων με α. Δηλαδή α ν = α14243 α α...α ν φορές Το σύμβολο α ν διαβάζεται επίσης «α στη νιοστή» ή «α στη ν».
6 Κεφάλαιο 1 ο Ορίζουμε επιπλέον ότι α 1 = α, για κάθε (φυσικό) α- ριθμό α (καθώς επίσης και α 0 = 1, για κάθε α διάφορο του μηδενός, όπως θα δούμε σε επόμενο κεφάλαιο, προς το τέλος αυτής της χρονιάς). Μπορεί να φαίνεται παράδοξος ο ορισμός των δυνάμεων α 1 και α 0, αφού για να έχουμε γινόμενο χρειαζόμαστε τουλάχιστον 2 παράγοντες!!! Καθώς όμως θα ε- μπλουτίζουμε τις γνώσεις μας πάνω στους αριθμούς, στις δυνάμεις και στις πράξεις με αυτές, θα γίνει φανερή τόσο η αναγκαιότητα της συμπλήρωσης του ορισμού κατά τον τρόπο αυτό, όσο και η λογική του. Μετά και την επέκταση του ορισμού της δύναμης για εκθέτη οποιονδήποτε φυσικό, προφανώς ισχύει: 1 ν =1, για κάθε ν φυσικό. ηλαδή όλες οι δυνάμεις του 1 είναι ίσες με 1. Επίσης είναι: 0 ν = 0, για κάθε φυσικό ν 0. ηλαδή όλες οι (διάφορες της μηδενικής) δυνάμεις του 0 είναι ίσες με 0. Το σύμβολο 0 0 δεν έχει νόημα (δεν ορίζεται η μηδενική δύναμη του μηδενός. Σε επόμενο κεφάλαιο, θα γίνει φανερό και το γιατί). Ενδιαφέρον επίσης, παρουσιάζουν και οι δυνάμεις του 10. Είναι: 10 1 = 10 (1 μηδενικό) 10 2 = 10 10 = 100 (2 μηδενικά) 10 3 = 10 10 10 = 1000 (3 μηδενικά)... και γενικά 10 ν = 1000 0 ηλαδή: ν μηδενικά Για να σχηματίσουμε μια οποιαδήποτε δύναμη του 10, αρκεί να γράψουμε το 1, και δεξιά του τόσα μηδενικά όσος είναι και ο εκθέτης της δύναμης. Η δύναμη είναι ένας σύντομος τρόπος για να γράψουμε ένα γινόμενο ίσων παραγόντων, ακριβώς όπως το γινόμενο είναι ένας σύντομος τρόπος για να γράψουμε ένα άθροισμα ίσων προσθετέων. Έτσι, η δύναμη α κ εκφράζει το γινόμενο κ παραγόντων ίσων με α, ενώ το γινόμενο κ α εκφράζει το άθροισμα κ προσθετέων ίσων με α. ηλαδή είναι:
Κεφάλαιο 1 ο 7 κ α14243 α α...α = α, αλλά κ φορές α1442443 + α+ α... + α = κ α κ φορές Πρέπει λοιπόν να είμαστε πολύ προσεκτικοί και να μην τα μπερδεύουμε. Πράγματι ένα πολύ συνηθισμένο λάθος που γίνεται κατά τον υπολογισμό δυνάμεων είναι να πολλαπλασιάσουμε τη βάση με τον εκθέτη. Προσοχή λοιπόν!!! Για παράδειγμα είναι: 4 3 = 4 4 4 = 64 ΠΟΤΕ 3 4 = 4 3= 12 Υπάρχει η περίπτωση ένα γινόμενο να αποτελείται από δύο ή και περισσότερους διαφορετικούς παράγοντες που ο ένας τουλάχιστον επαναλαμβάνεται (τουλάχιστον δύο φορές). Τότε, το γινόμενο αυτό μπορεί να γραφεί ως γινόμενο αριθμού με δύναμη ή γινόμενο δυνάμεων. Για παράδειγμα: 3 4 5 5 5 = 4 5 6 6 6 2 2 2 2 2= 6 2 3 φορές 3 φορές 5 φορές 3 5 2 2 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 6 6 = 2 3 4 5 6 2 φορές 3 φορές 4 φορές 3 φορές 2 φορές 2 3 4 3 2 Προφανώς, όπως μπορούμε να γράψουμε ένα γινόμενο ίσων παραγόντων με τη μορφή δύναμης, έτσι μπορούμε να αναλύσουμε μια δύναμη σε γινόμενο (ίσων) παραγόντων και να μπορέσουμε να την υπολογίσουμε. Για παράδειγμα: 7 3 =7 7 7 = 49 7 =343 4 5 = 4 4 4 4 4 =16 16 4 =256 4 = 1024 αφού, σύμφωνα με την προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού, μπορούμε να αντικαταθιστούμε παράγοντες με το γινόμενό τους (ή να αναλύουμε ένα παράγοντα σε γινόμενο). Ειδικά για τη δεύτερη και τρίτη δύναμη ενός αριθμού α (α 2 και α 3 αντίστοιχα) έχουν καθιερωθεί, επιπλέον, κάποιες ιδιαίτερες ονομασίες. Κατά κανόνα, λοιπόν τη δύναμη α 2 την αποκαλούμε α στο τετράγωνο (εκτός των ονομασιών «δεύτερη δύναμη» και «α στη δευτέρα»). Η ονομασία αυτή οφείλεται στο γεγονός ότι η δύναμη α 2 εκφράζει το εμβαδόν τετραγώνου πλευράς α. Θυμηθείτε: Το εμβαδόν τετραγώνου πλευράς α δίνεται από τον τύπο: Ε = α α = α 2
8 Κεφάλαιο 1 ο Λιγότερο συχνά, τη δύναμη α 3 την αποκαλούμε «α στον κύβο» (εκτός των ονομασιών «τρίτη δύναμη» και «α στην τρίτη»). Η ονομασία αυτή οφείλεται στο γεγονός ότι η δύναμη α 3 εκφράζει τον όγκο κύβου πλευράς α. Θυμηθείτε: Ο όγκος κύβου ακμής a δίνεται από τον τύπο: V = a a a = a 3 Αριθμητική παράσταση Αριθμητική παράσταση είναι μια σειρά αριθμών που συνδέονται μεταξύ τους με τα σύμβολα των πράξεων (πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού, διαίρεσης) και στην οποία πιθανόν να υπάρχουν και παρενθέσεις. π.χ. 3 4 2 8 : 2 + 5 (7 + 3) 9 (12 : 4 2) 5 + 7 (8 5) 2-2 Τιμή της αριθμητικής παράστασης λέγεται το αποτέλεσμα που βρίσκουμε όταν εκτελέσουμε τις πράξεις που σημειώνονται. Η τιμή μιας αριθμητικής παράστασης ορίζεται μονοσήμαντα (δηλαδή σε κάθε α- ριθμητική παράσταση αντιστοιχεί μόνο μία τιμή). Επομένως, όταν υπολογίζουμε την τιμή μιας αριθμητικής παράστασης, οφείλουμε, εκτός από το να κάνουμε σωστά τις πράξεις, να τις κάνουμε και με μια συγκεκριμένη, προσυμφωνημένη σειρά, ώστε να καταλήγουμε όλοι πάντα στο ίδιο αποτέλεσμα. Όπως ακριβώς, ο Κώδικας Οδικής Κυκλοφορίας ορίζει ποιο αυτοκίνητο έχει προτεραιότητα σε μια διασταύρωση ανάλογα με την περίπτωση (απουσία σήμανσης, ύπαρξη ειδικής σήμανσης, εισαγωγή σε κυκλική πορεία, κ.λπ.) έτσι για να υπολογίσουμε την τιμή μιας αριθμητικής παράστασης εκτελούμε τις πράξεις σύμφωνα με την παρακάτω:
Κεφάλαιο 1 ο 9 Προτεραιότητα των πράξεων 1 ο : Δυνάμεις 2 ο : Πολλαπλασιασμοί διαιρέσεις 3 ο : Προσθέσεις αφαιρέσεις Αν υπάρχουν παρενθέσεις, εκτελούμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις με την παραπάνω σειρά. Πράξεις με την ίδια προτεραιότητα (πολλαπλασιασμοί διαιρέσεις και προσθέσεις - αφαιρέσεις) γίνονται από τα αριστερά προς τα δεξιά. Όταν έχουμε μόνο προσθέσεις ή μόνο πολλαπλασιασμούς, μπορούμε να τις/ τους εκτελέσουμε με όποια σειρά θέλουμε, λόγω της αντιμεταθετικής και της προσεταιριστικής ιδιότητας της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού αντίστοιχα. Θα εκτελέσουμε τις πράξεις στις αριθμητικές παραστάσεις που αναφέραμε προηγουμένως και θα υπολογίσουμε την τιμή τους. Θα ονομάσουμε την πρώτη αριθμητική παράσταση με Α και τη δεύτερη με Β. Α = 3 4 2 8 : 2 + 5 (7 + 3) 9 = 3 4 2 8 : 2 + 5 10 9 Κάνουμε την πράξη της παρένθεσης = 3 16 8 : 2 + 5 10 9 Υπολογίζουμε τη δύναμη: 4 2 = 4 4 = 16 = 48 4 + 50 9 Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις = 44 + 50 9 Εκτελούμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις = 94 9 με τη σειρά από αριστερά προς τα δεξιά = 85 Η τιμή της αριθμητικής παράστασης Α είναι 85
10 Κεφάλαιο 1 ο Β = (12 : 4 2) 5 + 7 (8 5) 2 2 = (3 2) 5 + 7 (8 5) 2 2 Κάνουμε πράξεις στις παρενθέσεις, πρώτα κάνουμε τη διαίρεση = 1 5 + 7 3 2 2 και μετά τις αφαιρέσεις = 1 5 + 7 9 2 Υπολογίζουμε τη δύναμη: 3 2 = 3 3 = 9 = 5 + 63 2 Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς = 68 2 Κάνουμε την πρόσθεση = 66 Κάνουμε την αφαίρεση Η τιμή της αριθμητικής παράστασης Β είναι 66. 1 Να γίνουν οι πράξεις α) (2 3) 2, β) (2 3 ) 2 Πρώτα θα γίνουν οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις και έπειτα θα υ- πολογίσουμε τις δυνάμεις. Λύση Κάνουμε πρώτα τις πράξεις που είναι μέσα στις παρενθέσεις και έπειτα υπολογίζουμε τη δύναμη που προκύπτει: α) (2 3) 2 = 6 2 = 6 6 = 36 β) (2 3 ) 2 = (2 2 2) 2 = (4 2) 2 = 8 2 = 8 8 = 64
Κεφάλαιο 1 ο 11 2 Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: Α = 15 : 3 + 2 3 5 4 2 : 8 Ακολουθούμε τη σειρά των πράξεων. 1. υνάμεις 2. Πολλαπλασιασμοί - διαιρέσεις με τη σειρά από αριστερά προς δεξιά 3. Προσθέσεις - αφαιρέσεις με τη σειρά από αριστερά προς δεξιά. Λύση Α = 15 : 3 + 2 3 5 4 2 : 8 = 15 : 3 + 8 5 16 : 8 υπολογίζουμε πρώτα τις δυνάμεις: 2 3 = 2 2 2 = 4 2 = 8 και 4 2 = 4 4 = 16 = 5 + 40 2 κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις = 45 2 κάνουμε την πρόσθεση = 43 κάνουμε την αφαίρεση
12 Κεφάλαιο 1 ο Με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή τσέπης υπολογίστε τις παρακάτω δυνάμεις: 11 2 = 111 2 = 1111 2 = Χωρίς τη βοήθεια του ηλεκτρονικού υπολογιστή τσέπης, μπορείτε να υπολογίσετε τις παρακάτω δυνάμεις; 11111 2 = 111111 2 = 1111111 2 = Η Λύση βρίσκεται στο τέλος του τεύχους.
Κεφάλαιο 1 ο 13 Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε Ονομάζουμε δύναμη με βάση το (φυσικό) αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό ν (ν > 1) και συμβολίζουμε με α ν το γινόμενο ν παραγόντων ίσων με α. Δηλαδή α ν = α14243 α α...α ν φορές Ορίζουμε επιπλέον ότι α 1 = α, για κάθε (φυσικό) αριθμό α (καθώς επίσης και α 0 = 1, για κάθε α διάφορο του μηδενός). 1 ν =1, για κάθε ν φυσικό. Δηλαδή όλες οι δυνάμεις του 1 είναι ίσες με 1. 0 ν = 0, για κάθε φυσικό ν 0. Δηλαδή όλες οι (διάφορες της μηδενικής) δυνάμεις του 0 είναι ίσες με 0. Το σύμβολο 0 0 δεν έχει νόημα (δεν ορίζεται η μηδενική δύναμη του μηδενός). 10 ν = 1000 0 Δηλαδή: ν μηδενικά Για να σχηματίσουμε μια οποιαδήποτε δύναμη του 10, αρκεί να γράψουμε το 1, και δεξιά του τόσα μηδενικά όσος είναι και ο εκθέτης της δύναμης. Η δύναμη είναι ένας σύντομος τρόπος για να γράψουμε ένα γινόμενο ίσων παραγόντων, ακριβώς όπως το γινόμενο είναι ένας σύντομος τρόπος για να γράψουμε ένα άθροισμα ίσων προσθετέων. κ α14243 α α...α = α, αλλά κ φορές α1442443 + α+ α... + α = κ α κ φορές Τη δύναμη α 2 την αποκαλούμε α στο τετράγωνο (εκτός των ονομασιών «δεύτερη δύναμη» και «α στη δευτέρα»). Τη δύναμη α 3 την αποκαλούμε «α στον κύβο» (εκτός των ονομασιών «τρίτη δύναμη» και «α στην τρίτη»).
14 Κεφάλαιο 1 ο Αριθμητική παράσταση είναι μια σειρά αριθμών που συνδέονται μεταξύ τους με τα σύμβολα των πράξεων (πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού, διαίρεσης) και στην οποία πιθανόν να υπάρχουν και παρενθέσεις. Τιμή της αριθμητικής παράστασης λέγεται το αποτέλεσμα που βρίσκουμε όταν εκτελέσουμε τις πράξεις που σημειώνονται. Προτεραιότητα πράξεων Όταν εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση, πρέπει να τηρούμε την εξής σειρά: 1. Υπολογίζουμε τις δυνάμεις 2. Εκτελούμε πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις 3. Εκτελούμε προσθέσεις και αφαιρέσεις. Αν υπάρχουν παρενθέσεις εκτελούμε πρώτα τις πράξεις σ αυτές με την ίδια σειρά. Όταν πρόκειται για πράξεις με την ίδια προτεραιότητα (προσθέσεις - αφαιρέσεις, πολλαπλασιασμούς - διαιρέσεις), τις εκτελούμε, από αριστερά προς τα δεξιά. Κατ εξαίρεση, όταν έχουμε μόνο προσθέσεις ή μόνο πολλαπλασιασμούς, μπορούμε να τις εκτελέσουμε με όποια σειρά θέλουμε, λόγω της αντιμεταθετικής και της προσεταιριστικής ιδιότητας της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού αντίστοιχα.
Κεφάλαιο 1 ο 15 1. Να συμπληρωθούν τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: i) Έστω α και ν φυσικοί με ν > 1. Το σύμβολο α ν ονομάζεται με α και ν και εκφράζει το. ii) Επεκτείνοντας τον ορισμό της δύναμης για εκθέτη οποιονδήποτε φυσικό διαφορετικό του μηδενός, ορίζουμε επιπλέον ότι: α 1 = iii) Η δύναμη είναι ένας σύντομος τρόπος για να γράψουμε ένα ίσων, ακριβώς όπως το γινόμενο είναι ένας σύντομος τρόπος για να γράψουμε ένα ίσων. iv) Συνηθίζουμε να αποκαλούμε τη δεύτερη δύναμη ενός αριθμού α, επειδή το α 2 εκφράζει.. v) Η τρίτη δύναμη ενός αριθμού α αποκαλείται επίσης επειδή το α 3 εκφράζει. vi) Για να σχηματίσουμε οποιαδήποτε δύναμη του 10, αρκεί να γράψουμε τη μονάδα και δεξιά της. vii) Ισχύει: 1 ν =, για κάθε ν φυσικό και 0 ν = για κάθε ν φυσικό του μηδενός. 2. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της αριστερής στήλης με τα στοιχεία της δεξιάς. 3 3 3 2 2 3 2 + 2 3 3 3 3 + 2 2 2 3 2 + 3 2 2 3 3 + 3 2 2 3 3 2 2 3 3 + 2 2 2 3 2 + 3 2 2 3 3 2 2 2 3 3 + 2 2 2 3 3 + 3 2 2 3 2 2 3
16 Κεφάλαιο 1 ο 3. Να συμπληρώσετε τα τετράγωνα με τους κατάλληλους αριθμούς, ώστε να ι- σχύουν οι ισότητες: i) 10 5 + 7 10 4 + 10 2 + 3 =1 9 3 ii) 8 10 4 + 10 3 + 2 10 = 4 iii) 7 10 + 10 3 + 10 + 5 = 7 4 2 4. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις: Σ Λ i) Στη δύναμη 3 2 η βάση είναι το 2 και ο εκθέτης το 3 ii) Ισχύει (5+1) 5-1 2 2 < 5 2 + 1 iii) Η δύναμη 8 4 εκφράζει το γινόμενο 4 παραγόντων ίσων με 8. iv) Κάθε αριθμός που τελειώνει σε ένα ή περισσότερα μηδενικά μπορεί να γραφεί ως γινόμενο με παράγοντα μία τουλάχιστον δύναμη του 10. v) Η δύναμη είναι ένας σύντομος τρόπος για να εκφράσουμε το άθροισμα ίδιων (ίσων) προσθετέων.
Κεφάλαιο 1 ο 17 1. Να συμπληρωθούν τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: i) Έστω α και ν φυσικοί με ν > 1. Το σύμβολο α ν ονομάζεται δύναμη με βάση α και εκθέτη ν και εκφράζει το γινόμενο ν παραγόντων ίσων με α. ii) Επεκτείνοντας τον ορισμό της δύναμης για εκθέτη οποιονδήποτε φυσικό διαφορετικό του μηδενός, ορίζουμε επιπλέον ότι: α 1 = α. iii) Η δύναμη είναι ένας σύντομος τρόπος για να γράψουμε ένα γινόμενο ίσων παραγόντων, ακριβώς όπως το γινόμενο είναι ένας σύντομος τρόπος για να γράψουμε ένα άθροισμα ίσων προσθετέων. iv) Συνηθίζουμε να αποκαλούμε τη δεύτερη δύναμη ενός αριθμού α «α στο τετράγωνο», επειδή το α 2 εκφράζει το εμβαδόν τετραγώνου πλευράς α. v) Η τρίτη δύναμη ενός αριθμού α αποκαλείται επίσης «α στον κύβο» επειδή το α 3 εκφράζει τον όγκο κύβου ακμής α. vi) Για να σχηματίσουμε οποιαδήποτε δύναμη του 10, αρκεί να γράψουμε τη μονάδα και δεξιά της τόσα μηδενικά όσος είναι και ο εκθέτης της δύναμης. vii) Ισχύει: 1 ν =1, για κάθε ν φυσικό και 0 ν =0 για κάθε ν φυσικό διαφορετικό/ μεγαλύτερο του μηδενός. 2. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της αριστερής στήλης με τα στοιχεία της δεξιάς. 3 3 3 2 2 3 2 + 2 3 3 3 3 + 2 2 2 3 2 + 3 2 2 3 3 + 3 2 2 3 3 2 2 3 3 + 2 2 2 3 2 + 3 2 2 3 3 2 2 2 3 3 + 2 2 2 3 3 + 3 2 2 3 2 2 3
18 Κεφάλαιο 1 ο 3. Να συμπληρώσετε τα τετράγωνα με τους κατάλληλους αριθμούς, ώστε να ισχύουν οι ισότητες: i) 1 10 5 + 7 10 4 + 9 10 2 + 3 =1 7 0 9 0 3 ii) 8 10 4 + 4 10 3 + 2 10 =8 4 0 2 0 iii) 7 10 6 + 4 10 3 + 2 10 1 + 5 = 7 0 0 4 0 2 5 4. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις: Σ Λ i) Στη δύναμη 3 2 η βάση είναι το 2 και ο εκθέτης το 3 Χ ii) Ισχύει (5+1) 5-1 2 2 < 5 2 + 1 Χ iii) Η δύναμη 8 4 εκφράζει το γινόμενο 4 παραγόντων ίσων με 8. Χ iv) Κάθε αριθμός που τελειώνει σε ένα ή περισσότερα μηδενικά μπορεί να γραφεί ως γινόμενο με παράγοντα μία τουλάχιστον δύναμη του 10. Χ v) Η δύναμη είναι ένας σύντομος τρόπος για να εκφράσουμε το άθροισμα ίδιων (ίσων) προσθετέων. Χ
Κεφάλαιο 1 ο 19 Δραστηριότητα 1 η Από πόσα τετράγωνα αποτελούνται τα τέσσερα πρώτα σχήματα και από πόσους κύβους τα επόμενα τρία; Στα τέσσερα πρώτα σχήματα, κάθε γραμμή αποτελείται από τον ίδιο αριθμό τετραγώνων. Επομένως, για να βρούμε από πόσα τετράγωνα α- ποτελείται κάθε σχήμα, αρκεί να πολλαπλασιάσουμε το πλήθος των τετραγώνων κάθε γραμμής με το πλήθος των γραμμών του σχήματος. Στα τρία τελευταία σχήματα, κάθε σειρά αποτελείται από τον ίδιο αριθμό κύβων. Επομένως, για να βρούμε από πόσους κύβους αποτελείται κάθε σχήμα, αρκεί να πολλαπλασιάσουμε το πλήθος των κύβων κάθε σειράς με το πλήθος των σειρών του σχήματος.
20 Κεφάλαιο 1 ο Το σχήμα 1 αποτελείται από δύο γραμμές κάθε μία από τις οποίες αποτελείται από δύο τετράγωνα. Συνεπώς, το σχήμα (1) αποτελείται συνολικά από 2 2 =4 τετράγωνα (όπως μπορούμε εύκολα να επαληθεύσουμε μετρώντας τα). 1 η γραμμή 2 η γραμμή Το σχήμα 2 αποτελείται από τρεις γραμμές κάθε μία από τις οποίες αποτελείται από τρία τετράγωνα. Συνεπώς, το σχήμα 2 αποτελείται συνολικά από 3 3 =9 τετράγωνα. 1 η γραμμή 2 η γραμμή 3 η γραμμή Το σχήμα 3 αποτελείται από τέσσερις γραμμές κάθε μία από τις οποίες αποτελείται από τέσσερα τετράγωνα. Συνεπώς, το σχήμα 3 αποτελείται συνολικά από 4 4 = 16 τετράγωνα. 1 η γραμμή 2 η γραμμή 3 η γραμμή 4 η γραμμή Το σχήμα 4 αποτελείται από πέντε γραμμές κάθε μία από τις οποίες αποτελείται από πέντε τετράγωνα. Συνεπώς, το σχήμα 4 αποτελείται συνολικά από 5 5 = 25 τετράγωνα 1 η γραμμή 2 η γραμμή 3 η γραμμή 4 η γραμμή 5 η γραμμή Το σχήμα 5 αποτελείται από δύο σειρές (στρώσεις) κύβων. Κάθε σειρά κύβων αποτελείται από 2 2 =4 κύβους (αφού κάθε σειρά αποτελείται από 2 γραμμές με 2 κύβους η κάθε μία). Συνεπώς, το σχήμα 5 αποτελείται συνολικά από 2 2 2 = 8 κύβους. ύψος (5) μήκος πλάτος
Κεφάλαιο 1 ο 21 Το σχήμα 6 αποτελείται από τρεις σειρές (στρώσεις) κύβων. Κάθε σειρά κύβων αποτελείται από 3 3 = 9 κύβους (αφού κάθε σειρά αποτελείται από 3 γραμμές με 3 κύβους η κάθε μία). Συνεπώς, το σχήμα 6 αποτελείται συνολικά από 3 3 3 = 27 κύβους (6) Το σχήμα 7 αποτελείται από τέσσερις σειρές (στρώσεις) κύβων. Κάθε σειρά κύβων αποτελείται από 4 4 = 16 κύβους (αφού κάθε σειρά αποτελείται από 4 γραμμές με 4 κύβους η κάθε μία). Συνεπώς, το σχήμα 7 αποτελείται συνολικά από 4 4 4 = 64 κύβους (7) Λαμβάνοντας ως μονάδα μέτρησης επιφάνειας το και ως μονάδα όγκου του προφανώς οι αριθμοί που βρήκαμε παραπάνω εκφράζουν το εμβαδόν των σχημάτων (1) (4) και τον όγκο των σχημάτων (5) (7), τα οποία είναι τετράγωνα και κύβοι αντίστοιχα. ηλαδή, το εμβαδόν τετραγώνου είναι ίσο με το γινόμενο 2 ίσων αριθμών και ο όγκος του κύβου είναι ίσος με το γινόμενο 3 ίσων αριθμών. Γι αυτό, άλλωστε, και έχει επικρατήσει η δεύτερη δύναμη ενός αριθμού α να ονομάζεται και τετράγωνο του α και η τρίτη δύναμη ενός αριθμού α να ονομάζεται και κύβος του α.
22 Κεφάλαιο 1 ο Δραστηριότητα 2 η Ο Κωστάκης, η Ρένα και ο Δημήτρης έκαναν τις πράξεις στην αριθμητική παράσταση: 8 (2 3+4 6)+5 (7+7 9) + 10 και βρήκαν ο καθένας διαφορετικό αποτέλεσμα. Ο Κωστάκης βρήκε 1.312, η Ρένα 600 και ο Δημήτρης 180. Βρες ποιο από τα τρία αποτελέσματα είναι το σωστό. Μπορείς να μαντέψεις με ποια σειρά έκανε ο καθένας τις πράξεις; Διατύπωσε έναν κανόνα για την προτεραιότητα που πρέπει να τηρούμε, όταν κάνουμε πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση. Από το δημοτικό γνωρίζουμε ότι στις αριθμητικές παραστάσεις, οι πράξεις γίνονται από τα αριστερά προς τα δεξιά με μια ορισμένη σειρά: α) πρώτα πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις και β) μετά προσθέσεις και αφαιρέσεις. Αν υπάρχουν παρενθέσεις, κάνουμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις με την ίδια σειρά. Βρες ποιο από τα τρία αποτελέσματα είναι το σωστό. Για να βρούμε ποιο από τα τρία αποτελέσματα είναι σωστό, πρέπει να εκτελέσουμε μόνοι μας τις πράξεις με τη σωστή σειρά. Στην αριθμητική παράσταση που δίνεται παρατηρούμε ότι υπάρχουν παρενθέσεις, πολλαπλασιασμοί και προσθέσεις. Από το δημοτικό γνωρίζουμε ότι στις αριθμητικές παραστάσεις, οι πράξεις γίνονται από τα αριστερά προς τα δεξιά με μια ορισμένη σειρά: α) πρώτα πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις και β) μετά προσθέσεις και αφαιρέσεις. Αν υπάρχουν παρενθέσεις, κάνουμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις με την ίδια σειρά.
Κεφάλαιο 1 ο 23 Όταν υπάρχουν μόνο προσθέσεις (ή μόνο πολλαπλασιασμοί) λόγω της αντιμεταθετικής και της προσεταιριστικής ιδιότητας, της πρόσθεσης (αντίστοιχα, του πολλαπλασιασμού) μπορούμε να τις εκτελέσουμε με ό- ποια σειρά θέλουμε. Σε ό,τι αφορά πράξεις με την ίδια προτεραιότητα (πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός διαίρεση) εργαζόμαστε από α- ριστερά προς τα δεξιά. Μετά τις παραπάνω παρατηρήσεις, είμαστε έτοιμοι να υπολογίσουμε την τιμή της αριθμητικής παράστασης. Είναι: ( ) ( ) 8 2 3+ 4 6 + 5 7+ 7 9 + 10 = 8 6 + 24 + 5 7 + 63 + 10 Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς στις παρενθέσεις = 8 30 + 5 70 + 10 Εκτελούμε τις προσθέσεις στις παρενθέσεις = 240 + 350 + 10 Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς = 590 + 10 Εκτελούμε την πρώτη από αριστερά πρόσθεση = 600 Εκτελούμε την πρόσθεση Από τη στιγμή που έμειναν μόνο προσθέσεις, μπορούσαν να γίνουν με οποιαδήποτε σειρά (και όχι υποχρεωτικά από αριστερά προς τα δεξιά) λόγω της αντιμεταθετικής και της προσεταιριστικής ιδιότητας.
24 Κεφάλαιο 1 ο Μπορείς να μαντέψεις με ποια σειρά έκανε ο καθένας τις πράξεις; Ο Κωστάκης Ενώ ξεκίνησε, όπως έπρεπε, με τον υπολογισμό των παρενθέσεων, μέσα στις παρενθέσεις δεν ακολούθησε τη σωστή σειρά των πράξεων. Δηλαδή, και στις δύο παρενθέσεις, πρόσθεσε πρώτα τους αριθμούς που βρίσκονται αριστερά και δεξιά του «+» και κατόπιν εκτέλεσε τους πολλαπλασιασμούς. Βέβαια, όταν δεν υπήρχαν πια παρενθέσεις, συνέχισε την εκτέλεση των πράξεων με τη σωστή σειρά, δηλαδή εκτέλεσε πρώτα τους πολλαπλασιασμούς και στο τέλος έκανε και τις προσθέσεις. Ο Κωστάκης, δηλαδή, υπολόγισε αντί της αριθμητικής παράστασης που δίνεται την ακόλουθη: ( ) ( ) 8 2 3+ 4 6 + 5 7+ 7 9 + 10 = 8 ( 2 7 6) + 5 ( 14 9) + 10 Υπολογίζουμε την παρένθεση που βρίσκεται σε καθεμιά από τις αγκύλες. Οι παρενθέσεις φεύγουν και οι αγκύλες γίνονται παρενθέσεις. = 8 ( 14 6) + 5 126 + 10 Στην πρώτη (αριστερή) από τις παρενθέσεις, εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς, από αριστερά προς τα δεξιά. = 8 84 + 5 126 + 10 Υπολογίζουμε και την τελευταία παρένθεση. = 672 + 630 + 10 Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς = 1302 + 10 Εκτελούμε τις προσθέσεις από τα αριστερά προς τα δεξιά (βέβαια, όχι απαραιτήτως, έτσι, αφού, πλέον έχουμε μόνο προσθέσεις). =1312 Εκτελούμε την τελευταία πρόσθεση Ο Δημήτρης Ο Δημήτρης αγνόησε εντελώς τις παρενθέσεις και εργάστηκε σαν να μην υπήρχαν. Υπολόγισε δηλαδή την αριθμητική παράσταση: 8 2 3+ 4 6+ 5 7+ 7 9+ 10 = 16 3+ 24+ 35+ 63+ 10 Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς = 48 + 24 + 35 + 63 + 10 Εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό που απέμεινε =... = 180 Εκτελούμε τις προσθέσεις με όποια σειρά θέλουμε, λόγω της αντιμεταθετικής και της προσεταιριστικής ιδιότητας της πρόσθεσης.
Κεφάλαιο 1 ο 25 Διατύπωσε έναν κανόνα για την προτεραιότητα που πρέπει να τηρούμε, όταν κάνουμε πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση. Προφανώς, επειδή η δύναμη είναι ένας σύντομος τρόπος για να γράψουμε ένα γινόμενο ίσων παραγόντων (δηλαδή είναι σαν να έχουμε ένα γινόμενο σε παρένθεση) θα προηγείται σε σχέση με τον πολλαπλασιασμό ακριβώς όπως ο πολλαπλασιασμός προηγείται σε σχέση με την πρόσθεση. Συνοψίζοντας, όταν εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση, πρέπει να τηρούμε την εξής σειρά: 1. Υπολογίζουμε τις δυνάμεις 2. Εκτελούμε πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις 3. Εκτελούμε προσθέσεις και αφαιρέσεις. Αν υπάρχουν παρενθέσεις εκτελούμε πρώτα τις πράξεις σ αυτές με την ίδια σειρά. Όταν πρόκειται για πράξεις με την ίδια προτεραιότητα (προσθέσεις - αφαιρέσεις, πολλαπλασιασμούς - διαιρέσεις), τις εκτελούμε, από αριστερά προς τα δεξιά. Κατ εξαίρεση, όταν έχουμε μόνο προσθέσεις ή μόνο πολλαπλασιασμούς, μπορούμε να τις εκτελέσουμε με όποια σειρά θέλουμε, λόγω της αντιμεταθετικής και της προσεταιριστικής ιδιότητας της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού αντίστοιχα.
26 Κεφάλαιο 1 ο Στον υπολογισμό μιας δύναμης πρέπει να ξεχωρίζουμε ποιος είναι ο ρόλος της βάσης και ποιος του εκθέτη. Η βάση μας δείχνει ποιος είναι ο παράγοντας του γινομένου που επαναλαμβάνεται ενώ ο εκθέτης πόσες φορές επαναλαμβάνεται αυτός ο παράγοντας. Για παράδειγμα στη δύναμη 5 3 ο αριθμός 5 είναι η βάση, δηλαδή ο παράγοντας του γινομένου και ο αριθμός 3 είναι ο εκθέτης που μας δείχνει ότι πρέπει να πάρουμε τον παράγοντα τρεις φορές. Δηλαδή η δύναμη 5 3 γράφεται 5 5 5. Προσοχή εν πρέπει ποτέ στον υπολογισμό μιας δύναμης να παίρνουμε το γινόμενο της βάσης με τον εκθέτη, δηλαδή η δύναμη α ν δεν είναι ίση με α ν. Όταν έχουμε να υπολογίσουμε μία δύναμη του 10 γράφουμε τη μονάδα και δεξιά τόσα μηδενικά όσος είναι ο εκθέτης της δύναμης. π.χ. 10 7 = 10.000.000 (ο εκθέτης είναι το 7 άρα γράφουμε επτά μηδενικά) Όταν έχουμε να υπολογίσουμε μία δύναμη του 1 πρέπει να θυμόμαστε ότι οποιοσδήποτε και αν είναι ο εκθέτης, η δύναμη θα ισούται πάντα με 1. Δηλαδή 1 ν = 1, όπου ν οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός. Αριθμητική παράσταση είναι ένα σύνολο αριθμών που συνδέονται με τις πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης. Αν κάνουμε (σωστά) τις πράξεις σε μία αριθμητική παράσταση με τη σωστή σειρά, τότε θα βρούμε έναν αριθμό που λέγεται τιμή της παράστασης.
Κεφάλαιο 1 ο 27 Σε μία αριθμητική παράσταση πρώτα κάνουμε τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις, αν υπάρχουν, με την κατάλληλη σειρά και ύστερα κάνουμε τις υπόλοιπες πράξεις. Η σειρά που ακολουθούμε είναι η εξής: - πρώτα υπολογίζουμε τις δυνάμεις, - έπειτα κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις, με τη σειρά από τ αριστερά προς τα δεξιά, - στο τέλος κάνουμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις με τη σειρά, από τ αριστερά προς τα δεξιά.
28 Κεφάλαιο 1 ο 1. Να υπολογιστούν το τετράγωνο, ο κύβος, η τέταρτη, η πέμπτη και η έκτη δύναμη του αριθμού 10. Τι παρατηρείτε; Νιοστή δύναμη του α ονομάζεται το γινόμενο α α α... α, που έχει ν παράγοντες (ν 2) ίσους με το α (και συμβολίζεται με α ν ). Τετράγωνο ενός αριθμού ονομάζεται η δεύτερη δύναμη του αριθμού. Κύβος ενός αριθμού ονομάζεται η τρίτη δύναμη του αριθμού. Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό επί 10, 100, 1000,... γράφουμε στο τέλος του αριθμού τόσα μηδενικά όσα έχει κάθε φορά ο παράγοντας 10, 100, 1000... Σύμφωνα με τον ορισμό δύναμης αριθμού έχουμε: 10 2 = 10 10 α 2 = α α (2 παράγοντες ίσοι με α) = 100 για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 10, αρκεί να συμπληρώσουμε στο τέλος του αριθμού ένα μηδενικό. 10 3 = 10 10 10 α 3 = α α α (3 παράγοντες ίσοι με α) = 10 2 10 Εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού α α = α 2 =100 10 10 2 = 100 (υπολογίστηκε προηγουμένως) =1000 για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 10, αρκεί να συμπληρώσουμε στο τέλος του αριθμού ένα μηδενικό.
Κεφάλαιο 1 ο 29 10 4 = 10 10 10 10 α 4 = α α α α ( 4 παράγοντες ίσοι με α) =10 3 10 Εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού α α α =α 3 =1000 10 10 3 = 1000 (υπολογίστηκε προηγουμένως) = 10000 για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 10, αρκεί να συμπληρώσουμε στο τέλος του αριθμού ένα μηδενικό. 10 5 = 10 10 10 10 10 α 5 = α α α α α ( 5 παράγοντες ίσοι με α) =10 4 10 Εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού α α α α = α 4 = 10000 10 10 4 = 10000 ( υπολογίστηκε προηγουμένως) = 100000 για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 10, αρκεί να συμπληρώσουμε στο τέλος του αριθμού ένα μηδενικό. 10 6 = 10 10 10 10 10 10 α 6 = α α α α α α = 10 5 10 Εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα = 100000 10 10 5 = 100000 (υπολογίστηκε προηγουμένως) = 1000000 για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 10, αρκεί να συμπληρώσουμε στο τέλος του αριθμού ένα μηδενικό. Παρατηρούμε ότι κάθε μία από τις δυνάμεις του 10 που υπολογίσαμε, έχει τόσα μηδενικά όσος είναι και ο εκθέτης της δύναμης. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι: για να σχηματίσουμε μια οποιαδήποτε δύναμη του 10, αρκεί να γράψουμε το 1, και δεξιά του τόσα μηδενικά όσος είναι και ο εκθέτης της δύναμης.
30 Κεφάλαιο 1 ο 2. Να εκτελεστούν οι πράξεις: α) (2 5) 4 + 4 (3 +2) 2 β) (2 +3) 3-8 3 2 Για να υπολογίσουμε την τιμή μιας αριθμητικής παράστασης, εκτελούμε τις πράξεις με την ακόλουθη σειρά: 1. Υπολογίζουμε τις δυνάμεις 2. Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις 3. Εκτελούμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις Αν υπάρχουν παρενθέσεις, εκτελούμε πρώτα τις πράξεις στις παρενθέσεις με την ίδια σειρά. Ακολουθούμε τη σειρά των πράξεων: α) ( 2 5) + 4 ( 3+ 2) 4 2 4 2 = 10 + 4 5 = 10000 + 4 25 = 10000 + 100 = 10100 β) ( ) 3 2 2+ 3 8 3 Εκτελούμε τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις Υπολογίζουμε τις δυνάμεις Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς Εκτελούμε την πρόσθεση 3 2 = 5 8 3 = 125 8 9 = 125 72 = 53 Εκτελούμε την πρόσθεση μέσα στην παρένθεση Υπολογίζουμε τις δυνάμεις 5 3 = 5 5 5= 125 και 3 2 = 3 3 = 9 Εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό Εκτελούμε την αφαίρεση
Κεφάλαιο 1 ο 31 3. Να γραφεί το ανάπτυγμα του αριθμού 7.604 με χρήση των δυνάμεων του 10. Για να γράψουμε το ανάπτυγμα του αριθμού 7.604 με χρήση των δυνάμεων του 10, θα δηλώσουμε την αξία του κάθε ψηφίου με: 1 ο βήμα: Λέξεις 2 ο βήμα: Αριθμούς 3 ο βήμα: υνάμεις του 10 (Πολλαπλασιαζόμενο πάντα με τον αριθμό κάθε ψηφίου). Έχουμε τον αριθμό 7.604 Βήμα 1 ο : Δηλώνουμε την αξία του κάθε ψηφίου, με λέξεις. 7 χιλιάδες + 6 εκατοντάδες + 0 δεκάδες + 4 μονάδες Βήμα 2 ο : Αντικαθιστούμε τις λέξεις με αριθμούς. 7 1000 + 6 100 + 0 10 + 4 1 Βήμα 3 ο : Αντικαθιστούμε τους αριθμούς με δυνάμεις του 10. 7 10 3 + 6 10 2 + 0 10 1 + 4 Επειδή : το 1000 έχει τρία μηδενικά, είναι: 1000 = 10 3 το 100 έχει δύο μηδενικά, είναι: 100 = 10 2 το 10 έχει 1 μηδενικό, είναι: 10 = 10 1 Η αναπτυγμένη μορφή σε δυνάμεις του 10 του αριθμού 7.604 είναι: 7 10 3 + 6 10 2 + 0 10 1 + 4