ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: 5(ΠΕΝΤΕ) ΘΕΜΑ Α Α1. Α οι συαρτήσεις f,g είαι παραγωγίσιμες στο, α αποδείξετε ότι f x g x f x g x, x Α. Πότε λέμε ότι μια συάρτηση f είαι παραγωγίσιμη στο σημείο x0 του πεδίου ορισμού της; Μοάδες Α3. Α x 1, x,..., x είαι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ εός δείγματος μεγέθους και w 1, w,..., w είαι οι ατίστοιχοι συτελεστές στάθμισης (βαρύτητας), α ορίσετε το σταθμικό μέσο της μεταβλητής Χ. Μοάδες Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθού, γράφοτας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που ατιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, α η πρόταση είαι σωστή, ή Λάθος, α η πρόταση είαι λαθασμέη. α) Α για τη συάρτηση f ισχύου fx0 0 για x0 α,β, α,x 0 και fx 0 στο 0 διάστημα x x. α,β για 0 f x 0 στο x,β, τότε η f παρουσιάζει ελάχιστο στο β) Έα τοπικό ελάχιστο μιας συάρτησης στο πεδίο ορισμού της μπορεί α είαι μεγαλύτερο από έα τοπικό μέγιστο. γ) Η διακύμαση τω παρατηρήσεω μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ εκφράζεται με τις ίδιες μοάδες με τις οποίες εκφράζοται οι παρατηρήσεις. ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΘΕΜΑ Β ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ δ) Α για τους συτελεστές μεταβολής τω δειγμάτω Α και Β ισχύει CV >CV, τότε λέμε ότι το δείγμα Β εμφαίζει μεγαλύτερη ομοιογέεια B A από το δείγμα Α. ε) Α Α, Β είαι εδεχόμεα εός δειγματικού χώρου Ω, τότε η έκφραση «η πραγματοποίηση του Α συεπάγεται τη πραγματοποίηση του Β» δηλώει ότι Α Β. Μοάδες 10 Έστω Α, Β και Γ εδεχόμεα εός δειγματικού χώρου Ω. Οι πιθαότητες τω εδεχομέω Α, A B και A B αήκου στο σύολο λύσεω της εξίσωσης 3x 1 8x 6x 1 0. Η πιθαότητα του εδεχομέου Γ αήκει στο σύολο λύσεω της εξίσωσης 9x 3x 0. 1 1 1 Β1. Να αποδείξετε ότι P(A), P(A B) και P(A B). 3 Β. Να υπολογίσετε τη πιθαότητα P(A B ), καθώς επίσης και τη πιθαότητα του εδεχομέου Δ: «πραγματοποιείται το πολύ έα από τα εδεχόμεα Α και Β». Β3. Να υπολογίσετε τη πιθαότητα του εδεχομέου Ε: «πραγματοποιείται μόο έα από τα εδεχόμεα Α και Β». Β. Να εξετάσετε α τα εδεχόμεα Β και Γ είαι ασυμβίβαστα. Μοάδες 6 Μοάδες 6 ΘΕΜΑ Γ Θεωρούμε έα δείγμα παρατηρήσεω μιας συεχούς ποσοτικής μεταβλητής Χ, τις οποίες ομαδοποιούμε σε 5 ισοπλατείς κλάσεις, όπως παρουσιάζοται στο Πίακα Ι, όπου f %, 1,,3,,5 είαι οι σχετικές συχότητες επί τοις εκατό τω ατιστοίχω κλάσεω. Θεωρούμε ότι οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης είαι ομοιόμορφα καταεμημέες. Δίεται ότι : Το ποσοστό τω παρατηρήσεω του δείγματος που είαι μικρότερες του 10 είαι 10%. Το ποσοστό τω παρατηρήσεω του δείγματος που είαι μεγαλύτερες ή ίσες του 16 είαι 30%. Στο κυκλικό διάγραμμα σχετικώ συχοτήτω, η γωία του κυκλικού τομέα που ατιστοιχεί στη 3 η κλάση είαι 108 ο. Η μέση τιμή τω παρατηρήσεω του δείγματος είαι x 1. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Kλάσεις f % [8, 10) [10, 1) [1, 1) [1, 16) [16, 18) ΠΙΝΑΚΑΣ Ι Γ1. Να αποδείξετε ότι f 1% 10, f % 10, f 3 % 30, f % 0, f 5% 30. Δε είαι απαραίτητο α μεταφέρετε στο τετράδιό σας το Πίακα Ι συμπληρωμέο. Μοάδες 6 Γ. Να εξετάσετε α το δείγμα τω παρατηρήσεω είαι ομοιογεές. Δίεται ότι 6,6,57. Γ3. Έστω x 1, x, x3 και x τα κέτρα της 1 ης, ης, 3 ης και ης κλάσης ατίστοιχα και 1,, 3 και οι συχότητες της 1 ης, ης, 3 ης και ης κλάσης ατίστοιχα. Α 1 x 1780, βρείτε το πλήθος τω παρατηρήσεω του δείγματος. Γ. Έστω 1,, 3,, 5 πέτε τυχαία επιλεγμέες παρατηρήσεις διαφορετικές μεταξύ τους από το παραπάω δείγμα παρατηρήσεω. Ορίζουμε ως τη μέση τιμή τω πέτε αυτώ παρατηρήσεω και S α τη τυπική τους απόκλιση. Εά, για =1,, 3,, 5, α δείξετε ότι η μέση τιμή του δείγματος S β, =1,, 3,, 5 είαι ίση με 0 και η τυπική του απόκλιση S β είαι ίση με 1. ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Δ Δίεται κύκλος (Ο,ρ) με κέτρο Ο και ακτία ρ=5 και ορθογώιο ΑΒΓΔ εγγεγραμμέο στο κύκλο αυτό με πλευρά ΑΒ=x, όπως φαίεται στο Σχήμα Ι. A x Β Δ Ο Γ ΣΧΗΜΑ Ι Δ1. Να αποδείξετε ότι το εμβαδό του ορθογωίου ΑΒΓΔ, ως συάρτηση του x, δίεται από το τύπο f(x) x 100 x, 0 x 10. Μοάδες Δ. Να βρείτε τη τιμή του x για τη οποία το εμβαδό του ορθογωίου ΑΒΓΔ γίεται μέγιστο. Για τη τιμή αυτή του x, δείξτε ότι το ορθογώιο ΑΒΓΔ είαι τετράγωο. (1 x) 99 Δ3. Να υπολογίσετε το όριο lm x 0 98 x f Δ. Έστω Α, Β εδεχόμεα εός δειγματικού χώρου Ω. Α P(A-B)>0, α δείξετε ότι f P(A B) P(A) f 100 P (A) 100 P (A B).. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομέους) 1. Στο εξώφυλλο του τετραδίου α γράψετε το εξεταζόμεο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάω-πάω α συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή. Στη αρχή τω απατήσεώ σας α γράψετε πάω-πάω τη ημερομηία και το εξεταζόμεο μάθημα. Να μη ατιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και α μη γράψετε πουθεά στις απατήσεις σας το όομά σας.. Να γράψετε το οοματεπώυμό σας στο πάω μέρος τω φωτοατιγράφω αμέσως μόλις σας παραδοθού. Τυχό σημειώσεις σας πάω στα θέματα δε θα βαθμολογηθού σε καμία περίπτωση. Κατά τη αποχώρησή σας α παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοατίγραφα. 3. Να απατήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόο με μπλε ή μόο με μαύρο στυλό με μελάι που δε σβήει. Μολύβι επιτρέπεται, μόο α το ζητάει η εκφώηση, και μόο για πίακες, διαγράμματα κλπ.. Κάθε απάτηση επιστημοικά τεκμηριωμέη είαι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διαομή τω φωτοατιγράφω. 6. Χρόος δυατής αποχώρησης: 10.30 π.μ. ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ