ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Transcript

1 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. ος τρόπος Οι παρατηρήσεις t, t,..., t έχου μέση τιμή. Οι έες παρατηρήσεις είαι της μορφής: yi = ti, όπου i =,,..., Σύμφωα με τη εφαρμογή του βιβλίου, η μέση τιμή τω ος τρόπος Η μέση τιμή τω t, t,..., t θα είαι: t + t t v y= = ti = = 0 i= y i θα είαι y= = 0 Α. Ο σταθμικός μέσος ορίζεται ως: w i w+ w w i= = = w+ w w w i= i i (Ορισμός σχολικού βιβλίου σελ.87) Α3. Ορισμός σχ. βιβλίου σελ. 40 Α4.. α) ΣΩΣΤΟ β) ΛΑΘΟΣ γ) ΣΩΣΤΟ δ) ΛΑΘΟΣ ε) ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑ Β Β. f = +, R ( + ) f() + + lim = lim = lim = lim Έχουμε απροσδιόριστη μορφή ορίου, διότι: lim ( + ) =( + ) = ( ) = 0

2 lim = = 0 f Έ στω g( ) =, για κάθε. Τότε: g = ( + ) ( + )( + + ) + ( )( + + ) ( )( + + ) = = = = ( + ) ( )( + + ) ( ) = = + + ( )( + + ) Οπότε το ζητούμεο όριο είαι: lim g() = lim = = = Β.Ο συτελεστής διεύθυσης της εφαπτομέης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της με 0 = 0 είαι: f ( 0 ) Η f είαι παραγωγίσιμη στο R, ως πράξη παραγωγίσιμω, με: () f = + = + = + 0= + = ( ) + = Άρα: f ( 0 ) = f ( 0) = = = 0 0+ Β3.O συτελεστής διεύθυσης της εφαπτομέης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με 0 = 0 είαι: f 0 = εφω, όπου ω η γωία που σχηματίζει η εφαπτομέη με το με 0 ω<π π 3π 3π Οπό τε : εφω = εφω = εφ π εφω = εφ, με 0 ω < π ω = ΘΕΜΑ Γ Χ : «απώλεια βάρους» σε κιλά = 60 άτομα κ = 5 κλάσεις Γ. Για α βρούμε το αώτατο όριο της κάθε κλάσης προσθέτουμε στο κατώτερο όριο το c, άρα : το άω όριο της ης κλάσης είαι 0+c = c, τότε : η κλάση : [0 c) με κέτρο 0 + c c = = η c + c 3c κλάση : [c c) με κέτρο = = 3c 6 = 3c = c = 4

3 Γ. Οι κλάσεις θα είαι : [0-4) με κέτρο = = [4-8) με κέτρο = = [8 - ) με κέτρο 3 = = [ - 6) με κέτρο 4 = = [6-0) με κέτρο 5 = = 8 Άρα ο πίακας συμπληρωμέος είαι: Απώλεια Κέτρο i Βάρους σε Κλάσης v i i v i i v i κιλά i [0 4) [4 8) [8 ) [ 6) [6 0) ΣΥΝΟΛΟ Για τη μέση τιμή υπολογίζουμε τα γιόμεα i v i, άρα η μέση τιμή είαι : 5 _ v i i _ i = 600 = = = 0 κιλά v 60 κ v i i κ i = ( 600) η διακύμαση είαι : s = iv i = = v i = v = 5 0 = 5 00 = Άρα η τυπική απόκλιση είαι s = s = 5 s = 5 κιλά S 5 Γ3. CV = = > _ 0 = 0 ή Άρα το δείγμα δε είαι ομοιογεές CV = 00% = 50% > 0% 3

4 Γ4. Α : «η απώλεια βάρους ατόμου που επιλέγεται τυχαία είαι από 7 έως 4 κιλά» Το απλά εδεχόμεα είαι ισοπίθαα, άρα μπορούμε α εφαρμόσουμε το κλασικό N(A) ορισμό της πιθαότητας, δηλαδή : P(A) = () N(Ω) Το 7 αήκει στη η κλάση και το 4 είαι το κέτρο της 4ης κλάσης, οπότε θέλουμε το 4 της ης κλάσης, όλη τη 3 η κλάση και το της 4 ης. Αφού οι παρατηρήσεις είαι ομοιόμορφα και συμμετρικά καταεμημέες σε κάθε κλάση, θα έχουμε : Ν(Α) = = = = Ν(Ω) = = () Ρ(Α) = Ρ(Α) = 60 6 ΘΕΜΑ Δ Δ. f() = ln P A P A + P B > P A με 0 P A ( ) ( ) ( + ) Η f είαι παραγωγίσιμη στο P A,,ως πράξη παραγωγίσιμω με: f() = ( ln( P( A) )) ( P( A) ) + ( P( B) ) = = P A ( P( A) ) ( P( A) )( P( A) ) ( P( A) ) ( P( A )), > = = P A P A όπου P A 0 P A = ( ) ( ) f = 0 P A = 0 P A = ή P( A) = = + P( A) > P(A), αφού 0 P( A) ή = + P( A) P(A), αφού 0 P( A) > ( ) ( ) + P( A) < < +P( A) P( A) P(A) P( A ) Πρέπει P A 0, οπότε η απορρίπτεται f > 0 P A > 0 P A < P A < < < < < + ό μως > P(A) 4

5 P(A) + P(A) + f() + 0 f() f( + P(A)) Μέγιστο ( ) Ισχύ ει f + P A = 0 ( ) Επειδ ή f > 0 στο P(A),+P A, η f είαι γησίως αύξουσα P(A),+P A Επειδ ή f < 0 στο +P A, +, η f είαι γησίως γθίουσα +P A, + Ά ρα η f παρουσιάζει μέγιστο στο = + P A,ίσο με: 0 f( + P( A) ) = ln( + P( A) P( A) ) ( + P( A) P( A) ) + P( B) = ln + P( B) = P( B) Δ. 5 f παρουσιάζει ακρότατο στο 0 με τιμή f ( 0) f 5 Η = = = Όμως δείξαμε ότι η f παρουσιάζει έα μόο ακρότατο (συγκεκριμέα μέγιστο) στο = + P A. 0 5 = + = 5 = Άρα: P( A) P( A) P( A) f ( 0 ) = P( B) Δείξαμε ότι η τιμή του μεγίστου είαι P( Β ) = όμως f ( 0 ) = 0 Δ3. 5 P( A ) =, P( B ) =, P( A B ) = 3 6 ( A B ) :"α μη πραγματοποιηθού ταυτόχροα τα Α,Β" P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) 5 P( A B) = P( A B) = P( A B) = = Άρα : P( ( A B) ) = P( A B) = P( ( A B) 3 ) = 3 5

6 Δ4.( Α Β) ( Β Α ):"α πραγματοποιηθεί μόο έα από τα Α,Β" Τα εδεχόμεα Α Β, Β Α είαι ασυμβίβαστα άρα ισχύει ο απλός προσθετικός όμος: P ( Α Β) ( Β Α ) = P Α Β + P B A = P Α P Α B + P Β P Α B = P( Α ) + P( Β) P( Α B) = P Α Β Β Α = ( ) 6