ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης

2 ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Τετάρτη, 3 Μα ου 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Α οι συαρτήσεις f, g είαι παραγωγίσιμες στο R, α αποδείξετε ότι (f () + g()) = f ()+ g (), R Μοάδες 7 Α. Σε έα πείραμα με ισοπίθαα αποτελέσματα α δώσετε το κλασικό ορισμό της πιθαότητας εός εδεχομέου Α Μοάδες 4 Α3. Πώς ορίζεται ο συτελεστής μεταβολής ή συτελεστής μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, α >0 και πώς, α <0; Μοάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθού, γράφοτας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που ατιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, α η πρόταση είαι σωστή, ή Λάθος, α η πρόταση είαι λαθασμέη. α) Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται μόο για τη γραφική παράσταση ποσοτικώ δεδομέω (μοάδες ). β) Η παράγωγος της f στο ο εκφράζει το ρυθμό μεταβολής του y = f () ως προς, ότα = o (μοάδες ). γ) Α Α, Β εδεχόμεα εός δειγματικού χώρου Ω με Α Β, τότε ισχύει ότι Ρ(Α) > Ρ(Β) (μοάδες ). δ) Το εύρος, η διακύμαση και η τυπική απόκλιση τω τιμώ μιας μεταβλητής είαι μέτρα διασποράς (μοάδες ). ε) limημ=ημo, o R (μοάδες ). o ΑΠΑΝΤΗΣΗ Α. Σελ. 3 σχολικό βιβλίο Α. Σελ. 48 σχολικό βιβλίο Α3. Σελ. 96 σχολικό βιβλίο Α4. α) Λ, β) Σ, γ) Λ, δ) Σ, ε) Σ Μοάδες 0

3 F i % ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΘΕΜΑ Β Οι χρόοι (σε λεπτά) που χρειάστηκα οι μαθητές μιας τάξης για α λύσου έα μαθηματικό πρόβλημα αήκου στο διάστημα [5,45) και έχου ομαδοποιηθεί σε τέσσερις κλάσεις ίσου πλάτους. Τα δεδομέα τω χρόω εμφαίζοται στο παρακάτω ιστόγραμμα αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω επί τοις εκατό. F 3 % 50% F % Β. Με βάση το παραπάω ιστόγραμμα αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω επί τοις εκατό, α υπολογίσετε τη διάμεσο τω χρόω που χρειάστηκα οι μαθητές. Μοάδες 4 Β. Στο επόμεο πίακα συχοτήτω της καταομής τω χρόω, α αποδείξετε ότι α=8 (μοάδες 3) και α μεταφέρετε το πίακα κατάλληλα συμπληρωμέο στο τετράδιό σας (μοάδες 5). Χρόοι (λεπτά) [5,. ) [.,. ) [.,. ) [., 45) Σύολο i vi fi% Ni α+4 3α-6 α+8 α- Fi% Μοάδες 8 Β3. Να βρεθεί η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση s τω χρόω που χρειάστηκα οι μαθητές. (Δίεται ότι: 84 9,7) Μοάδες 8 3

4 ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Β4. Να βρεθεί το ποσοστό τω μαθητώ που χρειάστηκα τουλάχιστο 37 λεπτά α λύσου το μαθηματικό πρόβλημα. Μοάδες 5 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Β. Από το πολύγωο αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω βρίσκοτας που ατιστοιχεί το 50% έχουμε δ=5, επειδή η αθροιστική σχετική συχότητα της διαμέσου είαι 50%. Β. Αφού δ=5 τότε (από το ορισμό της διαμέσου) είαι +=3+4. Άρα α+4+3α 6=α+8+α α=8. Χρόοι Fi% i vi fi% Ni (λεπτά) [5, 5 ) [5, 5 ) [5, 35 ) [35, 45) Σύολο Β3. Είαι =Σi fi=4 λεπτά. (από πίακα) (δε έχει γραφεί η στήλη ii) s 4 ( i ) v i = ( i ) fi 4 = =[(0 4) 0,+(0 4) 0,3+(30 4) 0,4+(40 4) 0,]= v =(39,+4,8+4,4+5,6)=84 άρα s = 84 9,7. Β4. F i % 00% (90+)% 90% Β Δ Γ A Ε 50% 0% Αφού οι παρατηρήσεις θεωρούται ομοιόμορφα καταεμημέες είαι: ΑΒΓ ΑΔΕ άρα AB ΒΓ = = =. Άρα το ποσοστό τω μαθητώ που χρειάστηκα AΔ ΔΕ 0 0 τουλάχιστο 37 λεπτά είαι (00 (F3+))%=8%. Ή επειδή από αήκει το 0% τω παρατηρήσεω της 4 ης κλάσης το ποσοστό τω μαθητώ που χρειάστηκα τουλάχιστο 37 λεπτά άρα από είαι το 8%. 4

5 ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΘΕΜΑ Γ Από τους μαθητές μιας τάξης εός σχολείου επιλέγουμε τυχαία έα μαθητή. Α φυσικός αριθμός με 3, τότε η πιθαότητα του εδεχομέου ο μαθητής α μαθαίει 3 Γαλλικά είαι + + Ισπαικά είαι + + και τις δύο παραπάω γλώσσες είαι μία τουλάχιστο από τις παραπάω γλώσσες είαι ίση με το όριο lim ( + 3 ) + + Γ. Να αποδείξετε ότι το εδεχόμεο ο μαθητής α μαθαίει μία τουλάχιστο από τις παραπάω δύο γλώσσες είαι βέβαιο. Μοάδες 7 Γ. Να αποδείξετε ότι = 3 Μοάδες 6 Γ3. Να βρείτε τη πιθαότητα του εδεχομέου ο μαθητής α μαθαίει μόο μία από τις δύο γλώσσες. Μοάδες 6 Γ4. Α ο αριθμός τω μαθητώ που μαθαίου και τις δύο παραπάω γλώσσες είαι 3, α βρείτε το αριθμό τω μαθητώ της τάξης. Μοάδες 6 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Γ. Έστω τα εδεχόμεα : 3 Γ: «Ο μαθητής μαθαίει γαλλικά» με Ρ(Γ)= + + Ι :«Ο μαθητής μαθαίει ισπαικά» με Ρ(Ι)= + + Γ Ι: «Ο μαθητής μαθαίει και τις δύο» με Ρ(Γ Ι)= + Γ Ι: «Ο μαθητής μαθαίει μια τουλάχιστο απο τις δύο» με Ρ(Γ Ι) = lim = lim ( + 3 ) ( + 3 ) = lim ( )(+ ) ( ) = = ( )( (+ ) ) ( )( 3 ) = lim ( + 3 4) ( )( ) Αφού Ρ(Γ Ι)= το εδεχόμεο Γ Ι είαι βέβαιο, αφού τα απλά εδεχόμεα είαι ισοπίθαα επειδή επιλέγουμε τυχαία έα μαθητή από τη τάξη. = 5

6 ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 3 Γ. Ισχύει ότι : Ρ(Γ)+Ρ(Ι) Ρ(Γ Ι)=Ρ(Γ Ι) = = += + 3=0 ( 3)=0 =0 ή =3 + Αφού 3, από υπόθεση, τότε =3 Γ3. Για =3, Ρ(Γ)= 0 9, Ρ(Ι)=0 5, Ρ(Γ Ι)=0 4 Είαι (Γ Ι) (Ι Γ): «Ο μαθητής μαθαίει μόο μία από τις δύο γλώσσες». Επειδή (Γ Ι) (Ι Γ) = P((Γ Ι) (Ι Γ)) = P(Γ I)+Ρ(Ι Γ) = Ρ(Γ)+Ρ(Ι) Ρ(Γ Ι) = 5 3 Γ4. Ισχύει ότι Ν(Γ Ι)=3 τότε N(Γ Ι) 4 3 Ρ(Γ Ι)= = 4=30 =80 Ν(Ω) 0 ΘΕΜΑ + ln Δίεται η συάρτηση f()=, >0 Δ. Να αποδείξετε ότι η f είαι γησίως φθίουσα. Μοάδες 5 Δ. Έστω Μ(, f()), > 0 σημείο της γραφικής παράστασης της f. Η παράλληλη ευθεία από το Μ προς το άξοα y y τέμει το ημιάξοα O στο σημείο Κ(, 0) και η παράλληλη ευθεία από το Μ προς το άξοα τέμει το ημιάξοα Oy στο σημείο Λ(0, f()). Α O είαι η αρχή τω αξόω, α αποδείξετε ότι το εμβαδό του ορθογωίου παραλληλόγραμμου ΟΚΜΛ γίεται ελάχιστο, ότα αυτό γίει τετράγωο. Μοάδες 7 Δ3. Έστω η ευθεία ε: y = λ + β, β 0, η οποία είαι παράλληλη προς τη εφαπτομέη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Σ(, f()). Θεωρούμε δέκα σημεία (i,yi), i=,,,0 της ευθείας ε, τέτοια ώστε οι τετμημέες τους i α έχου μέση τιμή =0 και τυπική απόκλιση s =. Να βρείτε για ποιες τιμές του β το δείγμα τω τεταγμέω yi τω δέκα σημείω είαι ομοιογεές. Μοάδες 8 Δ4. Α Α και Β είαι εδεχόμεα εός δειγματικού χώρου με ισοπίθαα απλά εδεχόμεα, τέτοια ώστε Α και Α Β, τότε α αποδείξετε ότι f(ρ(α))+ f(ρ(α Β)) f(ρ(α Β)) Μοάδες 5 6

7 ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Δ. H f είαι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμω με ln ln ( + ln )' ()'(+ ln ) ln(ln)' ln f ()= = = = ln ln ln ln+ (ln ) = = = f ()=0 (ln ) =0 ln= =e Επειδή (ln ) >0 για κάθε e, >0 για >0 Είαι f ()<0 για κάθε e Έτσι έχουμε το παρακάτω πίακα προσήμου για τη f και για τις μεταβολές της f. 0 e + f () f Άρα η f είαι γήσια φθίουσα στο (0, e] και γήσια φθίουσα στο [e, + ) και επειδή f συεχής στο ο =e η f είαι γήσια φθίουσα στο (0, + ). Δ. Το εμβαδό του παραλληλογράμμου ΟΚΜΛ που είαι ορθογώιο δίεται από το τύπο Ε=(ΟΚ)(ΟΛ) άρα είαι Ε()= f() =+ln, >0, επειδή f()>0 για κάθε >0 ln Είαι Ε ()=ln(ln) =ln =. ln Ε ()=0 =0 ln=0 = ln Ε ()>0 >0 ln>0 > ln Ε ()<0 <0 ln<0 0<< Οπότε έχουμε το παρακάτω πίακα 0 + E () + E min Ε() Άρα η Ε παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για =. Για = (ΟΚ)= και (ΟΛ)=f()= άρα (ΟΛ)=(ΟΚ) που σημαίει ότι το ορθογώιο είαι τετράγωο 7

8 ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Δ3. Αφού η ευθεία ε: y = λ + β, β 0, η οποία είαι παράλληλη προς τη εφαπτομέη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Σ(, f()), θα ισχύει λ= f ()=. Άρα (ε) ψ= +β Σύμφωα με τη γωστή εφαρμογή ψ= +β ή ψ= 0+β και sψ = s sψ = s = Για α είαι το δείγμα τω τεταγμέω ομοιογεές πρέπει CVψ 0, ή 0, β 0 β 0 β 0 > 0 β 0 0 β 0 ή β 30 β 0 0 β 0 β 0 0 ή 0, s ψ 0, ψ Δ4. Επειδή Α Α Β ισχύει Ρ(Α) Ρ(Α Β) Α Β Α Β ισχύει Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) Επειδή Α 0, Α Β 0 και τα απλά εδεχόμεα είαι ισοπίθαα είαι Ρ(Α) 0, Ρ(Α Β) 0 άρα είαι 0<Ρ(Α) Ρ(Α Β) 0<Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) Και επειδή η f είαι γήσια φθίουσα στο (0, + ) Θα ισχύει f(ρ(α)) f(ρ(α Β)) f(ρ(α Β)) f(ρ(α Β)) και με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει f(ρ(α))+ f(ρ(α Β)) f(ρ(α Β)) ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ Τα σημεριά θέματα καλύπτου όλο το φάσμα της ύλης και διακρίοται για τη σαφήεια τω ερωτημάτω. Οι υποψήφιοι που προετοιμάστηκα με συέπεια δε θα ατιμετωπίσου ιδιαίτερες δυσκολίες. Ααμέεται, από τη σημεριή εξέταση, οι επιδόσεις τω υποψηφίω α είαι συγκριτικά με πέρσι βελτιωμέες. 8