ΕΝΟΤΗΤΑ ΙΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΕΝΟΤΗΤΑ ΙΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 0

Ηλεκτρικά κυκλώµατα Ηλεκτρικό κύκλωµα ονοµάζουµε ένα σύνολο στοιχείων που συνδέονται κατάλληλα έτσι ώστε να επιτελέσουν ένα συγκεκριµένο σκοπό. Για παράδειγµα το παρακάτω κύκλωµα είναι ένα ηλεκτρικό κύκλωµα µε δύο ανεξάρτητες πηγές τάσης και τρεις αντιστάσεις. 3 V V Σε κάθε κύκλωµα διακρίνουµε τις εισόδους ή διεγέρσεις και τις εξόδους ή αποκρίσεις. Οι είσοδοι είναι γνωστές τάσεις ή ρεύµατα. Οι έξοδοι είναι τάσεις ή ρεύµατα που επιθυµούµε να βρούµε. ίνουµε στη συνέχεια ορισµένους βασικούς ορισµούς. Κλάδος: κάθε στοιχείο δύο ακροδεκτών (π.χ. µια αντίσταση). Κόµβος: το σηµείο τοµής δύο ή περισσότερων κλάδων. Βρόχος: κάθε κλειστή διαδροµή ρεύµατος. Ελάχιστος βρόχος: ο βρόχος που δεν περιέχει στο εσωτερικό του άλλους βρόχους. Σύµφωνα µε τους παραπάνω ορισµούς στο κύκλωµα του παραδείγµατος υπάρχουν 5 κλάδοι, 4 κόµβοι, 3 βρόχοι εκ των οποίων ελάχιστοι. Ιδιαίτερη σηµασία έχουν οι πηγές του κυκλώµατος που µπορεί να είναι δύο ειδών, πηγές τάσης και πηγές ρεύµατος. Μια πραγµατική πηγή τάσης παρουσιάζει στους ακροδέκτες της τάση που δεν εξαρτάται από το ρεύµα που τη διαρρέει. Εµφανίζεται πάντα µε µια αντίσταση σε σειρά.

s Vs Μια πηγή ρεύµατος παρέχει ρεύµα ανεξάρτητο από την τάση στα άκρα της. Εµφανίζεται πάντα µε µια παράλληλη σε αυτήν αντίσταση. s s Η µετατροπή ενός τύπου πηγής σε άλλο είναι απλή και βασίζεται στις σχέσεις s s s Vs V s s= V s = s s s

Νόµος ρευµάτων του Kirchhoff Ο νόµος ρευµάτων του Kirchhoff ορίζει ότι σε έναν οποιοδήποτε κόµβο το αλγεβρικό άθροισµα των ρευµάτων ανά πάσα χρονική στιγµή οφείλει να είναι ίσο µε µηδέν. Θετικά θεωρούνται κατά σύµβαση τα ρεύµατα που φεύγουν από τον κόµβο. Ι 3 Ι Ι 4 Ι Για τον κόµβο του σχήµατος µπορούµε να γράψουµε - Ι + Ι Ι 3 + Ι 4 = 0. Νόµος των τάσεων του Kirchhoff Ο νόµος των τάσεων απαιτεί το άθροισµα των τάσεων σε µια κλειστή διαδροµή (βρόχος) να είναι ίσο µε µηδέν. Οι πηγές τάσης θεωρούνται κατά σύµβαση θετικές αν η φορά τους συµφωνεί µε τη φορά ρεύµατος του βρόχου, δηλαδή αν το ρεύµα τις διαρρέει από τον αρνητικό προς το θετικό πόλο. V Ι V 3 Για το παραπάνω κύκλωµα µπορούµε να γράψουµε + + 3 = V V. 3

ιαιρέτης τάσης Αν έχουµε δύο αντιστάσεις συνδεδεµένες σε σειρά και στα άκρα τους µια πηγή τάσης τότε η τάση κατανέµεται σε κάθε αντίσταση ανάλογα µε το µέγεθος της. Η σχέση µπορεί να επεκταθεί για περισσότερες αντιστάσεις. + V Ε V - + V - V = E= + ολ E ιαιρέτης ρεύµατος Σε έναν κόµβο το ρεύµα µοιράζεται ανάλογα µε την αγωγιµότητα του κάθε κλάδου. s Ι Ι G = G+ G s = G G ολ s 4

Μέθοδος των ελάχιστων βρόχων Η µέθοδος των ελάχιστων βρόχων είναι µια συστηµατική µέθοδος ανάλυσης ηλεκτρικών κυκλωµάτων που βασίζεται στο νόµο τάσεων του Kirchhoff. Η µεθοδολογία ανάλυσης είναι η εξής: α) Μετατρέπουµε τις πηγές ρεύµατος σε πηγές τάσεις. β) Από όλους τους δυνατούς βρόχους επιλέγουµε τους ελάχιστους και ορίζουµε ένα ρεύµα βρόχου µε δεξιόστροφη φορά. γ) Εφαρµόζουµε το νόµο τάσεων του Kirchhoff σε κάθε ελάχιστο βρόχο και ως συνέπεια προκύπτει ένα σύστηµα Ν x N µε αγνώστους τα ρεύµατα βρόχων. δ) Επιλύουµε το σύστηµα µε τη µέθοδο Cramer. ε) Αν ένα αποτέλεσµα προκύψει αρνητικός αριθµός σηµαίνει ότι η πραγµατική του φορά είναι η αντίθετη από αυτή που αρχικά δεχτήκαµε. Το σύστηµα εξισώσεων που προκύπτει θα έχει τη µορφή: N N N N NN E E = N EN όπου τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου είναι το άθροισµα των αντιστάσεων κάθε βρόχου, τα στοιχεία εκατέρωθεν της διαγωνίου είναι το αρνητικό άθροισµα των αντιστάσεων που είναι κοινές στους κόµβους i και j, Ι,, Ι Ν, τα ρεύµατα βρόχων και Ε,, Ε Ν το αλγεβρικό άθροισµα των πηγών. Μέθοδος των κόµβων Η µέθοδος των κόµβων είναι επίσης µια συστηµατική µέθοδος ανάλυσης ηλεκτρικών κυκλωµάτων που βασίζεται στο νόµο ρευµάτων του Kirchhoff. Η µεθοδολογία ανάλυσης είναι η εξής: α) Μετατρέπουµε τις πηγές τάσης σε πηγές ρεύµατος. β) Αριθµούµε τους κόµβους του κυκλώµατος και ορίζουµε ένα κόµβο αναφοράς (κόµβος 0). γ) Εφαρµόζουµε το νόµο ρευµάτων του Kirchhoff σε κάθε κόµβο εκτός από τον κόµβο αναφοράς. 5

δ) Εκφράζουµε τα ρεύµατα κλάδων συναρτήσεις των δυναµικών των κόµβων και ως συνέπεια προκύπτει ένα σύστηµα Ν x N, µε αγνώστους τα δυναµικά κόµβων. ε) Επιλύουµε το σύστηµα µε τη µέθοδο Cramer. στ) Αν ένα αποτέλεσµα προκύψει αρνητικός αριθµός σηµαίνει ότι η πραγµατική του φορά είναι η αντίθετη από αυτή που αρχικά δεχτήκαµε. Το σύστηµα εξισώσεων που προκύπτει θα έχει τη µορφή: N N N N NN E E = EN N όπου τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου είναι το άθροισµα των αγωγιµοτήτων των στοιχείων που καταλήγουν σε κάθε κόµβο, τα στοιχεία εκατέρωθεν της διαγωνίου είναι το αρνητικό άθροισµα των αγωγιµοτήτων που είναι κοινές στους κόµβους i και j, Ε,, Ε Ν, τα δυναµικά των κόµβων ως προς τον κόµβο αναφοράς και Ι,, Ι Ν το αλγεβρικό άθροισµα των πηγών. Το θεώρηµα της επαλληλίας (υπέρθεσης) Σύµφωνα µε το θεώρηµα της επαλληλίας η απόκριση σε ένα κλάδο ενός κυκλώµατος ισούται µε το άθροισµα των αποκρίσεων που προκαλεί κάθε διέγερση ξεχωριστά στο συγκεκριµένο κλάδο. Για να εφαρµόσουµε το θεώρηµα της επαλληλίας, θέτουµε εκτός λειτουργίας όλες τις πηγές ενός κυκλώµατος εκτός από αυτή της οποίας η απόκριση µας ενδιαφέρει. Αυτό σηµαίνει ότι αντικαθιστώ της πηγές τάσης µε βραχυκύκλωµα και τις πηγές ρεύµατος µε ανοιχτό κύκλωµα. Επαναλαµβάνω τη διαδικασία για όλες τις πηγές και στο τέλος αθροίζω τις αποκρίσεις. Το θεώρηµα της επαλληλίας ισχύει σε γραµµικά κυκλώµατα και µπορεί να εφαρµοστεί και σε περιπτώσεις όπου οι πηγές δεν έχουν την ίδια συχνότητα. Περισσότερες λεπτοµέρειες δίνονται στο κεφάλαιο των ασκήσεων. Ισοδύναµο Thevenin Ορισµένες φορές προκύπτει η ανάγκη αντικατάστασης ενός σύνθετου κυκλώµατος µε ένα πολύ απλούστερο που όµως θα αποδίδει την ίδια τάση και ρεύµα, δηλαδή της ίδιες ηλεκτρικές συνθήκες στα άκρα του. Το θεώρηµα Thevenin αντικαθιστά το κύκλωµα του σχήµατος µε 6

ένα ισοδύναµο κύκλωµα που αποτελείται από µια πηγή τάσης σε σειρά µε µια αντίσταση. th α α ΚΥΚΛΩΜΑ L Vth L β β Για τον υπολογισµό του ισοδύναµου Thevenin ακολουθείται η παρακάτω διαδικασία: α) αποσυνδέουµε το φορτίο L. β) υπολογίζουµε την αντίσταση αβ µε ανενεργές τις πηγές. γ) υπολογίζουµε την τάση V αβ µε ενεργές τις πηγές. δ) σχηµατίζουµε το ισοδύναµο Thevenin και συνδέουµε το φορτίο. Ισοδύναµο Norton Το θεώρηµα Norton αντικαθιστά το κύκλωµα του σχήµατος µε ένα ισοδύναµο κύκλωµα που αποτελείται από µια πηγή ρεύµατος µε µια παράλληλη αντίσταση. α α ΚΥΚΛΩΜΑ L N N L β β Για τον υπολογισµό του ισοδύναµου Norton ακολουθείται η παρακάτω διαδικασία: α) αποσυνδέουµε το φορτίο L. β) υπολογίζουµε την αντίσταση αβ µε ανενεργές τις πηγές. 7

γ) βραχυκυκλώνουµε τα σηµεία α και β και υπολογίζουµε το ρεύµα βραχυκύκλωσης. δ) σχηµατίζουµε το ισοδύναµο Norton και συνδέουµε το φορτίο. 8