ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΧWELL KAI TA ΠΕ ΙΑ Β ΚΑΙ Η. Κ.Ε.Αργυρόπουλος ιδάκτωρ Φυσικς Ε.Μ.Π Σχ.Σύβουλος ΠΕ4. Οι εξισώσεις Maxwell Η κατάσταση στην οποία βρισκόταν η ηλεκτροαγνητικ θεωρία πάνω από ένα αιώνα πριν ο Maxwell αρχίσει το έργο του απεικονίζεται στις παρακάτω εξισώσεις: (Νόος του Gauss) i. Ε= ρ ε (Χωρίς όνοα) (.) Β Ε= (Νόος του Faraday) Β= (Νόος του Ampere) ii. Β= iii. iv. όπου: ε : είναι η διηλεκτρικ σταθερά του κενού ( επιδεκτικότητα του ελεύθερου 2 2 2 χώρου) και στο σύστηα SI έχει τι ε = 8,85 C N m ( F / m ) / ρ : είναι η στιγιαία τι της πυκνότητας φορτίου ε ονάδα έτρησης στο 3 σύστηα SI C / m : είναι η σταθερά διαπερατότητας του ελεύθερου χώρου και στο σύστηα 7 2 SI έχει τι = 4π N A ( H / m ) / : είναι η στιγιαία τι της χωρικς πυκνότητας ρεύατος, δηλαδ η είναι το ρεύα ανά ονάδα επιφάνειας κάθετης στη ρο, ε ονάδα έτρησης στο σύστηα 2 SI A / m Ε : είναι η στιγιαία τι της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου και στο σύστηα SI έχει ονάδα έτρησης V / m Β: είναι η στιγιαία τι της έντασης του αγνητικού πεδίου και στο σύστηα SI έχει ονάδα έτρησης το Tesla Συβαίνει όως σ αυτές τις εξισώσεις να υπάρχει ία ασυνέπεια, που έχει να κάνει ε τον παλιό εκείνο κανόνα που λέει ότι η απόκλιση ενός στροβιλισού είναι πάντα ηδέν. Αν εφαρόσουε την απόκλιση στην εξίσωση (iii) παίρνουε: ( ) Β Ε = = ( Β) (.2) Το αριστερό έλος είναι ηδέν επειδ η απόκλιση του στροβιλισού είναι ηδέν το δεξιό έλος είναι ηδέν εξαιτίας της εξίσωσης (ii). Κάνοντας το ίδιο στην εξίσωση (iv) παίρνουε: ( Β) = ( ) (.3)
Το αριστερό έλος, επειδ είναι απόκλιση στροβιλισού, είναι ηδέν το δεξιό έλος όως γενικά δεν είναι. Για σταθερά ρεύατα η απόκλιση της είναι ηδέν ενώ για η σταθερά ρεύατα η δεν είναι ηδέν. 2. Η διόρθωση του Maxwell στον Νόο του Ampere Το δεξιό έλος της (.3) θα έπρεπε να είναι ηδέν, αλλά δεν είναι, και το πρόβληα εντοπίζεται ακριβώς σ αυτό το σηείο. ρ Εφαρόζοντας την εξίσωση συνέχειας =, πορούε να γράψουε τον προβληατικό όρο ως εξς: ( ) Ε ρ = = ε Ε = ε Από την σχέση αυτ γίνεται φανερό ότι για να απαλλαγούε από την ενοχλητικ απόκλιση πρέπει να προσθέσουε την ποσότητα ε στο. Έτσι τελικά παίρνουε: Β= + ε (.4) Θα πρέπει να σηειώσουε ότι ο Maxwell πρόσθεσε την ποσότητα αυτ στο νόο του Ampere για διαφορετικούς λόγους. Ο συλλογισός όως που διατυπώσαε παραπάνω θεωρείται σερα πολύ πιο πειστικός από εκείνον του Maxwell, ο οποίος είχε πάντα στο υαλό του το οντέλο του αιθέρα που έχει προ πολλού εγκαταλειφθεί. Στη αγνητοστατικ, όπου έχουε το Ε σταθερό, η τροποποίηση αυτ δεν επιφέρει καία αλλαγ και ισχύει ο νόος του Ampere δηλ. Β=. Είναι γεγονός ότι ο όρος του Maxwell δύσκολα ανιχνεύεται στα συνθη ηλεκτροαγνητικά πειράατα, διότι πρέπει να τον ξεχωρίσει κανείς από τον όρο. Γι αυτό το λόγο, ούτε ο Faraday ούτε άλλοι πόρεσαν να τον ανακαλύψουν στο εργαστριο. Ο όρος όως αυτός του Maxwell διαδραατίζει αποφασιστικό ρόλο στη διάδοση των ηλεκτροαγνητικών κυάτων. Πέρα από το ότι θεραπεύει το ελάττωα του νόου του Ampere, ο όρος του Maxwell πορεί να ας προσφέρει και κάποια αισθητικ απόλαυση. Ακριβώς όπως ένα εταβαλλόενο αγνητικό πεδίο επάγει ένα ηλεκτρικό πεδίο (νόος του Faraday), έτσι και ένα εταβαλλόενο ηλεκτρικό πεδίο επάγει ένα αγνητικό πεδίο. Η επιβεβαίωση της θεωρίας του Maxwell λθε το 888 ε τα πειράατα του Hertz στην ηλεκτροαγνητικ ακτινοβολία. Ο Maxwell ονόασε τον όρο του ρεύα ετατόπισης. d = ε (.5) Πρόκειται για ια παραπλανητικ ονοασία αφού το ε δεν έχει καία σχέση ε ρεύατα, εκτός από το ότι συνυπάρχει ε στο νόο του Ampere. 2
3. Οι εξισώσεις Maxwell στο εσωτερικό της ύλης Η τελικ ορφ των εξισώσεων Maxwell ετά τις τελευταίες επεβάσεις που έγιναν στην προηγούενη παράγραφο έχουν ως εξς: i. Ε= ρ ε ii. Β= iii. iv. (Νόος του Gauss) (Χωρίς όνοα) (.6) Β Ε= (Νόος του Faraday) Β= + ε (Νόος του Ampere ε την διόρθωση του Maxwell) Οι παραπάνω εξισώσεις (.6) είναι πλρεις. Όως αν δουλεύουε ε υλικά που επιδέχονται ηλεκτρικ και αγνητικ πόλωση πρέπει να επαναδιατυπώσουε τις εξισώσεις του Maxwell, ώστε να αναφέρονται σ εκείνες όνο τις πηγές που ελέγχουε άεσα τα ελεύθερα φορτία και ρεύατα. Αυτό διότι στο εσωτερικό της πολωένης ύλης δηιουργούνται συσσωρεύσεις δέσιων φορτίων και ρευάτων, τις οποίες είναι αδύνατο να ελέγξουε άεσα. Γνωρίζουε ότι ια ηλεκτρικ πόλωση Ρ προκαλεί συσσώρευση δέσιων φορτίων, ε πυκνότητα: ρ (.7) = Ρ Οοίως, ια αγνητικ πόλωση ( αγντιση ) Μ δηιουργεί δέσια ρεύατα: = Μ (.8) Αν εταβληθεί η πόλωση Ρ τότε η πυκνότητα ρεύατος είναι: = Ρ ρ (.9) Αυτό το ρεύα πόλωσης δεν έχει καία απολύτως σχέση ε το δέσιο ρεύα. Το τελευταίο έχει να κάνει ε τη αγντιση του υλικού και αποτελεί συνέπεια του σπίν και της τροχιακς κίνησης των δέσιων ηλεκτρονίων. Το ρ, αντιθέτως, είναι αποτέλεσα της ευθύγραης εταφοράς φορτίου όταν εταβάλλεται η ηλεκτρικ πόλωση. Κάτω από αυτές τις συνθκες θα πρέπει να ελέγξουε αν η (.9) είναι συνεπς ε την εξίσωση συνέχειας. Πράγατι έχουε: Ρ ρ ρ = = ( Ρ) = που σηαίνει ότι ικανοποιείται η εξίσωση συνέχειας. Το ρ εποένως είναι ο αποφασιστικός εκείνος παράγοντας που εξασφαλίζει τη διατρηση του δέσιου φορτίου. Μια εταβαλλόενη όως αγντιση δεν οδηγεί σε κάποια συσσώρευση φορτίου ρεύατος. Το δέσιο ρεύα, αλλάζει ανταποκρινόενο στις εταβολές της Μ, τίποτα = Μ περισσότερο όως δεν συβαίνει. Σύφωνα ε τα παραπάνω η ολικ πυκνότητα φορτίου πορεί να χωριστεί σε δύο έρη: ρ ρ + ρ = ρ (.) = Ρ 3
και πυκνότητα ρεύατος σε τρία έρη: Ρ = + + ρ = + Μ+ (.) Ο νόος του Gauss πορεί τώρα να γραφεί ως εξς: ρ Ε = ε ( Ρ) ε Ε+ Ρ = ρ ( ) (.2) D= ρ Ρ όπου η ποσότητα: D = ε Ε+ (.2α) ονοάζεται ηλεκτρικ ετατόπιση. Επίσης ο νόος του Ampere (αζί ε τον όρο του Maxwell) γίνεται: Ρ Β= + Μ+ + ε όπου η ποσότητα: Β Μ = + D Η = + Η = Β Μ ( ε Ε+Ρ) (.3) ονοάζεται πεδίο Η αγνητικό πεδίο Η όπως θα εξηγσουε στην επόενη παράγραφο. Ο νόος του Faraday και η Β= δεν επηρεάζονται από τον διαχωρισό του φορτίου και του ρεύατος σε ελεύθερα και δέσια έρη, από τη στιγ που δεν περιέχουν το ρ το. Έτσι πλέον, ε την βοθεια των ελεύθερων φορτίων και ρευάτων, οι εξισώσεις Maxwell γράφονται: i. D= ρ (.4) Β Ε= D Η = + ii. Β= iii. iv. Θα πορούσε να αναρωτηθεί κανείς αν οι εξισώσεις (.4) είναι πιο γενικές από τις (.6). Η απάντηση είναι όχι. Απλώς οι (.4) αντανακλούν τη χρσιη διάκριση του φορτίου και του ρεύατος σε ελεύθερα και η ελεύθερα έρη. Επίσης έχουν το ειονέκτηα ότι υιοθετούν έναν υβριδικό συβολισό που περιέχει αφενός τα Ε και D και αφετέρου τα Β και Η. 4
εν πορούν να σταθούν από όνες τους χωρίς να συπληρωθούν από τις εξισώσεις ορισού (.2α),(.3) των ποσοττων D και Η, καθώς και από τις επιπλέον εξισώσεις που καθορίζουν τις ποσότητες Ρ και Μ που εξαρτώνται από την φύση του υλικού. Για γραικά έσα οι εξισώσεις αυτές παίρνουν την ορφ: Ρ= ε x eε =ε Ε και (.5) Μ= x m Η Η= Β D όπου: x m e : η αγνητικ επιδεκτικότητα x : η ηλεκτρικ επιδεκτικότητα 4. Το βοηθητικό (δευτερεύων) πεδίο Η Σ αυτ την παράγραφο θα ασχοληθούε ε την περιγραφ και την επιχειρηατολογία που κάνουν την ποσότητα Β θεελιώδη και επιβάλλουν την ονοασία της σαν αγνητικό πεδίο. Γι αυτό το λόγο θα χρησιοποισουε και έννοιες που έχουν αναπτυχθεί σε προηγούενες παραγράφους. Σαν φυσικό επακόλουθο της αγντισης είναι η δηιουργία των δέσιων ρευάτων ) = Μ στο εσωτερικό του υλικού και K =Μ n στην επιφάνεια του. Τα δέσια αυτά ρεύατα παράγουν επακριβώς το πεδίο λόγω αγντισης του υλικού. Έχουε λοιπόν το πεδίο που παράγεται από τα δέσια ρεύατα και το πεδίο που παράγεται από οποιαδποτε άλλα ρεύατα, τα οποία τα ονοάσαε ελεύθερα ρεύατα. Τα ελεύθερα ρεύατα πορούν να ρέουν είτε έσω αγωγών που έχουν τοποθετηθεί στο εσωτερικό του αγνητισένου υλικού, είτε έσα από το ίδιο το υλικό, αν αυτός είναι αγωγός. Έτσι το ολικό ρεύα πορεί να γραφεί: = + (.6) Το ελεύθερο ρεύα περιγράφει ια πραγατικ εταφορά φορτίων (υπάρχει επειδ κάποιος συνέδεσε έναν αγωγό ε ια ηλεκτρικ πηγ), το δέσιο ρεύα υπάρχει λόγω της αγντισης που είναι αποτέλεσα της συνεργασίας πολλών ευθυγραισένων ατοικών δίπολων. Όπως έχουε αναφέρει, από τις σχέσεις: παίρνουε: = Μ και = + Β Μ Η = = όπου Η Β Μ, είναι ια διανυσατικ συνάρτηση όπως και προηγούενα έχουε αναφέρει. Κάνοντας χρση του Η,λοιπόν, ο νόος του Ampere σε αγνητικά υλικά γράφεται: 5
σε ολοκληρωτικ ορφ: όπου εγκ Η = (.7) Η dl = Ι (.8) εγκ Ι είναι το ελεύθερο έγκλειστο ρεύα που διαπερνά στον Απεριανό βρόγχο. Με άλλα λόγια το διάνυσα Η Β Μ σχετίζεται ε το ελεύθερο ρεύα ε τον τρόπο που το Β σχετίζεται ε το ολικό ρεύα δέσιο και ελεύθερο. Ο παραλληλισός όως δεν είναι πλρης, διότι έχουε πάντοτε, ενώ η Β= διανυσατικ ας συνάρτηση Η δεν έχει αναγκαστικά απόκλιση ηδέν. Παρόλα αυτά το διάνυσα Η είναι πραγατικά χρσιο για έναν πρακτικό λόγο, που αξίζει να γίνει κατανοητός. Σε ηλεκτρικά συστατα, αυτά που πορούε να ελέγχουε και να ετράε εύκολα είναι οι διαφορές δυναικού των σωάτων και όχι τα ποσά των ελεύθερων φορτίων έσα σε αυτά. Έτσι ελέγχουε άεσα το ηλεκτρικό πεδίο Ε. Το D είναι έξω από τον άεσο έλεγχό ας και επειδ δεν είναι θεελιώδης ποσότητα από καία άποψη δε ας ενδιαφέρει, το ότι συβαίνει σε αυτό. Σε αγνητικά συστατα όως τα ελεύθερα ρεύατα είναι ακριβώς εκείνα που πορούε να ελέγχουε πιο εύκολα. Τα οδηγούε έσα από αγωγούς, τα ετράε ε απερόετρα, τα διοχετεύουε σε αυστηρά καθορισένες διαδροές κτλ. Κατά κανόνα έχουε πολύ λιγότερο άεσο έλεγχο στη αγντιση και συνεπώς στο Β. Έτσι το βοηθητικό διάνυσα Η είναι χρσιο, ακόα και αν το D δεν είναι. Θεωρούε το Β σαν το θεελιώδες διάνυσα του αγνητικού πεδίου, διότι η απουσία αγνητικού φορτίου, συνεπάγεται Β= παντού, ακόα και έσα στα άτοα και στα όρια. Από την Β= προκύπτει ότι το έσο ακροσκοπικό πεδίο στην ύλη είναι το Β και όχι το Η. Οι συνέπειες του γεγονότος αυτού δεν είχαν γίνει κατανοητές στο παρελθόν ούτε είχε δοθεί η δέουσα προσοχ. Πολλοί συγγραφείς χρησιοποιούν τον όρο αγνητικό πεδίο για το Η αντί για το Β. Αναγκάζονται, λοιπόν, να επινοσουν ια άλλη λέξη για το Β : πυκνότητα ρος αγνητικ επαγωγ (ια παράλογη επιλογ αφού ο όρος αυτός έχει δη τουλάχιστον δύο άλλες σηασίες στην ηλεκτροδυναικ). Τελικά το Β είναι αναφισβτητα η θεελιώδη ποσότητα οπότε θα τη λέε αγνητικό πεδίο. Το διάνυσα Η δεν έχει κάποιο λογικό όνοα θα το λέε πεδίο Η αγνητικό πεδίο Η..Για περισσότερες λεπτοέρειες ο αναγνώστης πορεί να ανατρέξει στο Βιβλίο. Ηλεκτρισός Μαγνητισός. Μαθατα Φυσικς Πανεπιστηίου BERKELEY. Εκδόσεις Ε.Μ.Π σελ.425. 2.Από το Βιβλίο του A. Sommereld Electrodynamics (New York, Academic Press 952 σελ.45) αναφέρουε ο ατυχς όρος αγνητικό πεδίο για το Η πρέπει να αποφεύγεται όσο γίνεται περισσότερο. Κατά την γνώη ας ο όρος αυτός είχε οδηγσει σε σφάλατα ακόη και τον ίδιο τον Maxwell. 5. Ο πρακτικός ρόλος των πεδίων Ε, D, Β και Η 6
Ο ρόλος του πεδίου Η στη αγνητοστατικ είναι ανάλογος ε τον ρόλο του πεδίου D στην ηλεκτροστατικ. Ακριβώς όπως το πεδίο D ας επέτρεψε να γράψουε τον νόο του Gauss χρησιοποιώντας όνο το ελεύθερο φορτίο, έτσι και το πεδίο Η ας επέτρεψε να εκφράσουε τον νόο του Ampere χρησιοποιώντας όνο το ελεύθερο ρεύα, το οποίο και ελέγχουε άεσα. Το δέσιο ρεύα ας επιβλθηκε καθ οδόν, ακριβώς όπως και το δέσιο φορτίο-η αγντιση που αποκτά το υλικό προκαλεί την εφάνιση του δέσιου ρεύατος. δεν πορούε να ρυθίσουε το ρεύα αυτό κατά βούληση, όπως κάνουε ε το ελεύθερο ρεύα. Όταν εφαρόζουε την Η d Ι= Ι εγκ,το όνο που χρειαζόαστε είναι το ελεύθερο ρεύα, το οποίο το γνωρίζουε, αφού εείς το προκαλέσαε. Το πεδίο Η αποδεικνύεται στην πράξη πιο χρσιο από το πεδίο D (λέε την ηλεκτρικ ετατόπιση D,πεδίο ε την έννοια ότι σε κάθε σηείο του χώρου όπου ορίζεται παίρνει ια ορισένη τι). Στο εργαστριο ακούε συχνά να ιλούν για το πεδίο Η (συχνότερα ακόη και από το αγνητικό πεδίο Β), ποτέ όως δεν θα ακούσουε να ιλά κάποιος για το πεδίο D (παρά όνο για το ηλεκτρικό πεδίο Ε ). Ο λόγος είναι ο εξς: Για να κατασκευάσουε έναν ηλεκτροαγντη χρειαζόαστε ένα σωληνοειδές που διαρρέεται από ένα συγκεκριένο (ελεύθερο) ρεύα. Αυτό που διαβάζουε στις ενδείξεις των οργάνων είναι η ένταση του ρεύατος και η τι της προσδιορίζει το πεδίο Η ( εν πάση περίπτωση, το επικαπύλιο ολοκλρωα του πεδίου Η ). Το αγνητικό πεδίο Β εξαρτάται από τα συγκεκριένα υλικά που χρησιοποιούε και (αν κάποιο από αυτά είναι ο σίδηρος), από την προηγούενη αγνητικ ιστορία τους. Από την άλλη, αν θέλουε να δηιουργσουε ένα ηλεκτρικό πεδίο, αυτό που κάνουε δεν είναι να εταφέρουε ένα γνωστό ελεύθερο φορτίο στους οπλισούς ενός πυκνωτ, αλλά να τους συνδέσουε ε ια παταρία γνωστς τάσης. Στις ενδείξεις των οργάνων διαβάζουε τη διαφορά δυναικού, η τι της οποίας προσδιορίζει το ηλεκτρικό πεδίο Ε ( εν πάση περίπτωση, το επικαπύλιο ολοκλρωα του ηλεκτρικού πεδίου Ε ). Το πεδίο D (ηλεκτρικ ετατόπιση) εξαρτάται από τις λεπτοέρειες των δοών του υλικού που χρησιοποιούε. Αν η έτρηση του φορτίου ταν ευκολότερη από τη έτρηση του δυναικού, τότε θα ακούγαε τους πειραατικούς να ιλάνε για την ηλεκτρικ ετατόπιση D αντί για το ηλεκτρικό πεδίο Ε. Το γεγονός λοιπόν, ότι το πεδίο Η είναι πιο οικείο από την ηλεκτρικ ετατόπιση D οφείλεται σε καθαρά πρακτικούς λόγους, ενώ από θεωρητικ άποψη έχουν παράλληλους ρόλους. 6. Μια παραπλανητικ αντιστοιχία [4] Η εξίσωση Η= οιάζει ακριβώς ε τον νόο του Ampere Β=,όνο που το ολικό ρεύα έχει αντικατασταθεί από το ελεύθερο ρεύα και το Β έχει αντικατασταθεί από το. Η Ωστόσο όπως και στην περίπτωση της ηλεκτρικς ετατόπισης D,δεν πρέπει να παρασυρθούε από αυτ την αντιστοιχία. 7
Η αντί για το, διότι ο στροβιλισός, από όνος του δεν είναι αρκετός για τον Το νόηά της δεν είναι ότι το είναι ακριβώς όπως το Β, όνο που η πηγ του είναι το προσδιορισό ενός διανυσατικού πεδίου-πρέπει οπωσδποτε να γνωρίζουε και την απόκλιση. Και ενώ Β=, η απόκλιση του Η, γενικά δεν είναι ηδέν. Πράγατι από την Η = Β Μ έχουε: Η= Μ. Εποένως, όνο αν η απόκλιση της αγντισης Μ είναι ηδέν, υπάρχει πιστ αντιστοιχία εταξύ των Β και Η. Για να η θεωρηθούν όλα τα παραπάνω λεπτοέρειες ας σκεφτούε το παράδειγα, του ραβδόορφου αγντη: Ένας πεπερασένος σιδερένιος κύλινδρος που έχει όνιη οογεν αγντιση Μ παράλληλη στον άξονά του. Στη περίπτωση αυτ δεν υπάρχει πουθενά ελεύθερο ρεύα, και ια απλοϊκ εφαρογ της Η d Ι= Ι εγκ πορεί να ας κάνει να υποθέσουε ότι Η = οπότε Β= Μ στο εσωτερικό του αγντη και Β = στο εξωτερικό που είναι τελείως λανθασένο. Είναι αλθεια ότι στροβιλισός του Η ηδενίζεται παντού, η απόκλιση όως όχι. εν πρέπει να υποθέτουε ότι το Η είναι ηδέν όνο και όνο επειδ δεν βλέπουε πουθενά κάποιο ελεύθερο ρεύα. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ. Κ. Αργυρόπουλος -Β.Κώτσος. Μικροκύατα.Λαία 25 2. Carl T.A. ohnk. Engineering Electromagnetic Fields and Weves ohn Wiley & sons second edition 3. David K. Cheng. Fundamentals o Engineering Electromagnetics Addison Wesley 994 4. David Griiths. Εισαγωγ στην ηλεκτροδυναικ Τόος Ι και ΙΙ. ΠΕΚ. 5. Gayle F.Miner. Lines and Electromagnetic Fields or Engineers Oxord university press 996 6. Κ. Καρούπαλου Κ. Βαλεούτη. Εφαροσένος Ηλεκτροαγνητισός 7. Νικολάου Ουζούνογλου.Εισαγωγ στα ικροκύατα Εκδόσεις Παπασωτηρίου 8. Θ.. Τσιπούκη.Εισαγωγ στη βασικ θεωρία του ηλεκτροαγνητικού πεδίου. Τόοι Ι, ΙΙ, ΙΙΙ 9. William H. Hayt, r. ohn A. Buck, Engineering Electromagnetics TATA McGRAW - HILL 8