ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΥΣΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ DATA ENVELOPMENT ANALYSIS - (DEA)

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΥΣΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ DATA ENVELOPMENT ANALYSIS - (DEA) Κωνσταντίνος Α. Σαϊττης Επιβλέπων: Νικόλαος Τσάντας Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών Πάτρα, Φεβρουάριος 2015

2

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΥΣΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ DATA ENVELOPMENT ANALYSIS - (DEA) Κωνσταντίνος Α. Σαϊττης Επιβλέπων: Νικόλαος Τσάντας Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών Εγκρίθηκε από την τριμελή επιτροπή την 19 η Φεβρουαρίου 2015... κ. Δημητρίου Ιωάννη Λέκτορας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Πατρών... κ. Πετρόπουλο Κωνσταντίνο Καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Πατρών... κ. Τσάντας Νικόλαος Καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Πατρών 3

... Κωνσταντίνος Α. Σαϊττης Πτυχιούχος Μαθηματικός Πανεπιστημίου Πατρών Copyright Κωνσταντίνος Α. Σαϊττης, 2014 Με επιφύλαξη πάντος δικαιώματος. All rights reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκο-πικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συμπεράσματα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και δεν πρέπει να ερμηνευτεί ότι εκφράζουν τις επίσημες θέσεις του Πανεπιστημίου Πατρών. 4

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η παρούσα διπλωματική εργασία σκοπεύει στην παρουσίαση και ανάλυση της μεθόδου της Περιβάλλουσας Ανάλυσης Δεδομένων, η οποία δημιουργήθηκε για την αξιολόγηση της αποδοτικότητας οργανωτικών μονάδων όπως τα τραπεζικά υποκαταστήματα, σχολεία, νοσοκομεία ή εστιατόρια. Το κλειδί που μας επιτρέπει την σύγκριση αυτών των μονάδων βρίσκετε στους πόρους που χρησιμοποιούν για την παραγωγή έργου. Η Περιβάλλουσα Ανάλυση Δεδομένων (Data Evelopmet Aalysis) πρωτοπαρουσιάστηκε το 1978 από τους Chares Cooper και Rhodes σε μία μελέτη τους (Chares, et al.1978; Cooper 1978; Rhodes 1978). Η μελέτη αναφερόταν σε εκτιμήσεις της αποδοτικότητας μη κερδοσκοπικών οργανισμών και μπορεί δε να θεωρηθεί επέκταση της τεχνικής αποδοτικότητας, δοσμένης από τον Farell το 1957. Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζεται το θεωρητικό υπόβαθρο της μεθόδου, τα μοντέλα που κρύβονται πίσω από την μέθοδο, τον τρόπο υπολογισμού της αποδοτικότητας, τις παραδοχές πίσω από το σύνολο δυνατοτήτων παραγωγής, γραφική αναπαράσταση της μεθόδου και ένα παράδειγμα το οποίο είναι συνδιασμός των πιο πάνω. Στο 2 ο κεφάλαιο παρουσιάζουμε εναλλακτικά μοντέλα τα οποία είναι προεκτάσεις των βασικών μοντέλων της μεθόδου, αναδεικνύοντας την προσαρμοστικότητα της μεθόδου. Αρκετά από αυτά τα μοντέλα προέκυψαν από την ανάγκη αντιμετώπισης αρκετών ασυνεπειών. Μερικά απο τα μοντέλα που παρουσιάζουμε είναι το προσθετικό μοντέλο, το πολλαπλαστικό μοντέλο και μοντέλα με εξωγενείς και κατηγορικές μεταβλητές. Το προσθετικό μοντέλο σε αντίθεση με τα μοντέλα CCR και BCC έχει την ικανότητα ελαχιστοποίηση των εισροών και μεγιστοποίησης των εκροών ταυτόχρονα. Αυτό ήταν αδύνατο στα μοντέλο CCR και BCC καθώς αυτά μπορούσαν είτε να ελαχιστοποιήσουν της εισροές είτε στην μεγιστοποίηση των εκροών αλλά όχι και τα 2 ταυτόχρονα. Επίσης στο 2 ο κεφάλαιο παρουσιάζεται η χρήση απολύτων φραγμάτων στους συντελεστές βαρύτητας ιδιομορφίες των συντελεστών βαρύτητας οι οποίοι συντελούν στην ασυνέπεια της μεθόδου με την ιδιόμορφη συμπεριφορά τους. Λέξεις Κλειδιά Περιβάλλουσα Ανάλυση Δεδομένων, αποδοτικότητα, μοντέλο CCR (Chares, Cooper, Rhodes), μοντέλο BCC (Baker, Chares, Cooper), οικονομίες κλίμακος CRS VRS. 5

6

ABSTRACT This thesis aims at presetig ad aalyzig the method of Data Evelopmet Aalysis, which was created to assess the efficiecy of orgaizatioal uits such as bak braches, schools, hospitals ad restaurats. The key that eables us to compare these uits is the kid of resources they used to produce results. Data Evelopmet Aalysis was itroduced i 1978 by Chares Cooper ad Rhodes i their semiar study (Chares, et al.1978; Cooper 1978; Rhodes 1978). The paper refers to estimatios of the efficiecy, of o-profit orgaizatios ad may be cosidered as a extesio of techical efficiecy, give by Farell 1957. I the first chapter we are presetig the theoretical backgroud of the method, the liear models behid the method, methods for calculatig the efficiecy, assumptios eeded for productio possibility set, graphical represetatios of the process ad a example which is a combiatio all of the above. The secod chapter presets alterative models that are extesios of the basic models of the process, highlightig the versatility of the method. Several of those models arose from the eed to address a umber of icosistecies. The models we are presetig i these sectio are the additive model, the exteded additive model, the multiplicative model ad models with exogeous ad categorical variables. The additive model i cotrast with the CCR ad BCC models have the ability to miimize iputs ad maximize outputs simultaeously. This was impossible i the CCR ad BCC model as they could either miimize or maximize iputs outputs but ot the two simultaeously. Also we preset the use of absolute limits o the weight coefficiets whose peculiar behavior cotribute to some of the icosistecies observed i the method. KEY WORDS Data Evelopemet Aalysis, efficiecy, CCR model (Chares, Cooper, Rhodes), BCC model (Baker, Chares, Cooper), ecoomy of scale. 7

8

Θα ήθελα να ευχαριστήσω τους γονείς και τους φίλους μου για την στήριξη τους όλο αυτό το διάστημα και βέβαια τον επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Τσάντα Νικόλαο. 9

10

Πίνακας Περιεχομένων ΠΕΡΙΛΗΨΗ... 5 ABSTRACT... 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... 11 Κεφάλαιο Σελίδα 1. ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΥΣΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ... 12 1.1 Εισαγωγή-Πρόλογος... 12 1.2 Γενικοί Ορισμοί... 15 1.2.1 Παραγωγικές Μονάδες... 15 1.2.2 Δείκτης Απόδοσης... 17 1.2.3 Σύνολο Δυνατοτήτων Παραγωγής... 19 1.3 Εμπειρικά σύνολα αναφοράς... 21 1.4 Αποδοτικότητα Pareto και Τεχνική Αποδοτικότητα... 22 1.5 Γραφική Ανάλυσης της Αποδοτικότητα... 26 1.6 Χρήση της ΠΑΔ για την μέτρηση της Τεχνικής Αποδοτικότητας εξόδου στην περίπτωση πολλαπλών εισροών και πολλαπλές εκροών... 30 1.7 Το δυϊκό μοντέλο της ΠΑΔ... 36 1.8 Μοντέλα Περιβάλλουσας Ανάλυσης Δεδομένων... 38 1.9 Ερμηνεία του Μοντέλου CCR... 43 1.10 Ιδιότητες του μοντέλου CCR... 45 1.11 Στόχοι Βελτίωσης μη αποδοτικών μονάδων για το μοντέλο (CCR p I)... 46 1.12 Μοντέλο BCC (Baker, Chares, Cooper) Αποδόσεις Οικονομιών κλίμακας... 47 11

1.13 Ερμηνεία του μοντέλου BCC και διαφορές με το μοντέλο CCR... 52 1.14 Στόχοι βελτίωσης για μη αποδοτικές μονάδες για το μοντέλο (BCC p I)... 53 2. ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΤΗΣ ΠΑΔ, ΦΡΑΓΜΕΝΑ ΜΟΝΤΕΛΑ 2.1 Προσθετικό Μοντέλο (Additive Model)... 54 2.2 Ανάλυση Ευαισθησίας Προσθετικού Μοντέλου... 57 2.3 Επαυξημένο Προσθετικό Μοντέλο (Exteded Additive Model)... 60 2.4 Πολλαπλασιαστικό Μοντέλο (Multiplicative Model)... 61 2.5 Μοντέλα με εξωγενείς και κατηγορικές μεταβλητές... 63 2.5.1 Κατηγορικές Μεταβλητές (Categorical Variables)... 64 2.6 Αξιολόγηση της Αποδοτικότητας κάτω από Περιορισμούς Πιθανοτήτων (Chace Costraied efficiecy Evaluatio)... 65 2.7 Ανάλυση Αποδοτικότητας κατά παράθυρο (Widow Aalysis)... 66 2.8 Μέτρο Αποδοτικότητας TDT... 68 2.9 Περιορισμοί στους Συντελεστές Βαρύτητας... 69 2.10 Χρήση Απολύτων Φραγμάτων στους Συντελεστές Βαρύτητας Εισροών Εκροών... 71 2.10.1 Παράδειγμα στην Προσέγγιση Απολύτων Φραγμάτων στους Συντελεστές Βαρύτητας... 75 2.11 Εναλλακτικοί Μεθόδοι Περιορισμού των Συντελεστών Βαρύτητας... 79 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ..83 12

Περιβάλλουσα Ανάλυση Δεδομένων 1.1 Εισαγωγή Η Περιβάλλουσα Ανάλυση Δεδομένων (ΠΑΔ) είναι μια σχετικά νέα μέθοδος, που οφείλει την ανάπτυξη της στην μεγάλη έμφαση που έχει δοθεί τα τελευταία χρόνια για την σύγκριση της αποδοτικότητας των οργανισμών, με σκοπό τον προσδιορισμό των πηγών μη αποτελεσματικότητας και την βελτίωση τους αν είναι δυνατό, προκειμένου να αντεπεξέλθουν καλύτερα στο ανταγωνιστικό περιβάλλον. Πρωτοπαρουσιάστηκε από τους Chares, Cooper και Rhodes το 1978 για την εκτίμηση της σχετικής αποδοτικότητας σε μη κερδοσκοπικούς οργανισμούς και τον Δημόσιο τομέα, μπορεί δε να θεωρηθεί σαν επέκταση της τεχνικής αποδοτικότητας, δοσμένης από τον Farell το 1957. Η Περιβάλλουσα Ανάλυση Δεδομένων αναπτύχθηκε από την Διοικητική και Οικονομική Επιστήμη, είναι μία μέθοδος γραμμικού προγραμματισμού που εκτιμά την σχετική αποδοτικότητα παραγωγικών μονάδων (Decisio makig uits DMUs) αναφορικά πάντα με ένα σύνολο όμοιων μονάδων που χρησιμοποιούν πολλαπλές εισροές και εκροές. Στην κατασκευή του συνόρου αποδοτικότητας δεν απαιτείται ο προσδιορισμός μιας συνάρτησης παραγωγής γι αυτό τον λόγο θεωρείται ως μία μη παραμετρική μέθοδος και βασίζεται σε πραγματικές παρατηρήσεις εισροών- εκροών τις οποίες μετρούμε στις φυσικές τους κλίμακες. Η ΠΑΔ χρησιμοποιείται πάντα για την αξιολόγηση ομοιογενών μεταξύ τους οργανισμών όπως τραπεζικά υποκαταστήματα, καταστήματα λιανικής πώλησης, σχολεία, πανεπιστήμια, νοσοκομεία δηλ. οργανισμούς που προσφέρουν είτε υπηρεσίες είτε παράγουν προϊόντα. Αυτούς τους οργανισμούς τους ονομάζουμε σαν παραγωγικές μονάδες και κυρίαρχος ρόλος της ΠΑΔ παίζει η ποσοτική εκτίμηση της αποδοτικότητας κάθε παραγωγικής μονάδας ξεχωριστά. Το βασικό χαρακτηριστικό, που καθιστά αυτές τις μονάδες συγκρίσιμες σε κάθε περίπτωση είναι ότι εκτελούν την ίδια λειτουργία όσον αφορά τα είδη των πόρων που καταναλώνουν (εισροές-iput) και τα είδη που παράγουν (εκροέςoutput). Για παράδειγμα, μπορούμε να συγκρίνουμε όλα τα υποκαταστήματα της Τράπεζας διότι χρησιμοποιούν συνήθως προσωπικό και στοιχεία ενεργητικού κεφαλαίου για την πραγματοποίηση προσοδοφόρων δραστηριοτήτων, όπως η προώθηση των δανείων, πώληση 13

χρηματοοικονομικών προϊόντων και τη διενέργεια τραπεζικών συναλλαγών για λογαριασμό των πελατών τους. Ως αποδοτικότητα μιας μονάδας μπορεί να οριστεί η ικανότητας της να μετασχηματίζει αποτελεσματικά τους διαθέσιμους πεπερασμένους πόρους που λαμβάνει (εισροές-iputs) και να τους μετατρέπει σε προϊόντα ή υπηρεσίες (εκροές-outputs). Ο μηχανισμός παραγωγής από τις εισροές στις εκροές είναι άγνωστος και δεν απασχολεί την μέθοδο την οποία θα αναλύσουμε. Οι παραδοσιακές οικονομετρικές μέθοδοι, προκειμένου να εκτιμήσουν την αποδοτικότητα, απέβλεπαν στο να υπολογίσουν θεωρητικά αναλυτικές συναρτήσεις παραγωγής, τις οποίες στη συνέχεια εφάρμοζαν στα πραγματικά δεδομένα. Ο συνδιασμός των εισροών και εκροών μιας επιχείρησης μπορει να περιγραφεί από αυτές τις συνάρτησεις παραγωγής. Χρησιμοποιώντας αυτές τις συναρτήσεις μπορούμε να δούμε την μέγιστη απόδοση που μπορεί να επιτευχθεί με οποιόδήποτε εφικτό συνδιασμό εισροών κατασκευάζοντας με αυτό τον τρόπο ένα σύνορο αποδοτικότητας. (Seiford & Thrall 1990). Πριν από 30 χρόνια η μέθοδος ΠΑΔ έθεσε ως στόχο να απαντήσει στο ερωτημα του πως να χρησιμοποιούν αυτή την αρχή σε εμπειρικές εφαρμογές, ξεπερνώντας το πρόβλημα ότι για πραγματικές επιχειρήσεις (ή άλλες παραγωγικές μονάδες - DMU) δεν μπορεί ποτέ να είναι γνωστή όλοι οι πιθανοί συνδιασμοί εισροών-εκροών. Ο Farell, βασιζόμενος σε παλαιότερος μελέτες εξέφρασε την αποδοτικότητα των μονάδων παραγωγής με το δείκτη αποδοτικότητας, ο οποίος εκφράζεται ως ο λόγος των συνολικών εκροών προς τις συνολικές εισροές: Συνολικές Εκροές Συνολικές Εισροές Το έργο του Farell θεωρείται ως σημείο εκκίνησης της όλης προσπάθειας, διότι εισήγαγε τεχνικές γραμμικού προγραμματισμού για τον προσδιορισμό της αποδοτικότητας και ανέλυσε αυτήν σε επιμέρους στοιχεία.το έργο του Farrell (1957), η εργασία "Μέτρηση της αποτελεσματικότητας των μονάδων λήψης αποφάσεων" ("Measurig the efficiecy of decisio makig uits") από τον Chares, ο Cooper και ο Rhodes (1978) θεμελίωσαν την πολύ διαδεδομένη πλέον «Περιβάλλουσα Ανάλυση Δεδομένων ΠΑΔ, (Data Evelopmet 14

Aalysis DEA)», εισάγοντας μια νέα τεχνική αποτίμησης της αποδοτικότητας. Η τεχνική αυτή είναι μια μη παραμετρική μέθοδος, βασιζόμενη σε μοντέλα γραμμικού προγραμματισμού, η οποία επιτυγχάνει να εκτιμήσει ποσοτικά την μέγιστη τιμή της σχετικής αποδοτικότητας των παραγωγικών μονάδων. Ο παραπανω δείκτης αποδοτικότητας είναι συχνά ανεπαρκής και δεν μπορεί να αντιμετωπίσει περιπτώσεις στις οποίες οι μονάδες διαχειρίζονται πολλαπλές εισροές και εκροές που συνδέονται με διαφορετικούς πόρους, διαφορετικές δραστηριότητες και περιβαλλοντικούς παράγοντες. Αυτο το πρόβλημα θα αντιμετωπιστεί απο ένα δείκτη που χρησιμοποιεί τον λογο των σταθμισμένων αθροισμάτων των εκροών ως προς τις εισροές. 1.2 Γενικοί Ορισμοί Πιο κάτω δίνονται οι κυριότερες ορολογίες που θα συναντήσουμε κατά την ανάλυση των δεδομένων μας μέσω της μεθόδου ΠΑΔ. Παραγωγικές Μοναδες - Μονάδες Απόφασης (DMU) Οι παραγωγικες μονάδες είναι οι μονάδες που προτείνουμε για σύγκριση, με άλλες συγκρίσιμες μεταξύ τους μονάδες, ως προς τις επιδόσεις τους. Αυτές οι μονάδες μπορεί να είναι σχολεία, πανεπιστήμια, τραπεζικά υποκαταστήματα. Οι παραγωγικες μονάδες χρησιμοποιούν ένα σύνολο πόρων-εισροών τους οποίους μετατρέπουν σε εκροές. Σχεδόν σε ολες τις περιπτώσεις οι παραγωγικες μονάδες διαθέτουν πολλαπλές εισροές και εκροές. Περιβαλλοντικοί παράγοντες μπορεί να επηρεάσουν την διαδικασία μετατροπής των εισροών σε εκροές και ανάλογα με την κατεύθυνσης των επιπτώσεων τους, μπορούν να ενσωματωθούν είτε σαν εισροές είτε σαν εκροές. Συνήθως η ΠΑΔ προσπαθεί να μεγιστοποιήσει τις εκροές και να ελαχιστοποιήσει τις εισροές. Αυτό όμως μπορεί να δημιουργήσει προβλήματα, π.χ ένα εργοστάσιο που παράγει ένα προϊον μπορεί κατά την διάρκεια παραγωγής να εκπέμπει ρύπους στην ατμόσφαιρα, κάτι που εμείς θα θεωρούσαμε ως εκροή και θα προσπαθούσαμε να μεγιστοποιήσουμε αλλά αυτό θα είναι λάθος. Για αυτές τις περιπτώσεις υπάρχουν συγκεκριμένες μελέτες που προσπαθούν να αντιμετωπίσουν αυτούς τους ανεπιθύμητους παράγοντες, μερικές από αυτές αναφέρουν ότι μπορούμε να 15

χρησιμοποιήσουμε αυτές τις εκροές ως εισροές με την λογική ότι θέλουμε να τις ελαχιστοποιήσουμε αλλά αυτό δεν είναι εντελώς σωστό. Η περιγραφή των παραγωγικες μονάδες και ο προσδιορισμός των αντίστοιχων παραγόντων, εισροών-εκροών είναι καθοριστικής σημασίας για την αξιολόγηση των επιδόσεων. Αν δεν περιγράψουμε την μονάδα αξιολόγησης σωστά ή αν παραλείψουμε κάποια σημαντική εισροή ή εκροή, τοτε η αξιολόγηση θα είναι μεροληπτική. Οι παραγωγικες μονάδες συχνά αναφέρονται και σαν μονάδες απόφασης (decisio makig uits - DMUs) ένας ορισμός που επινοήθηκε από τον Chares (et al. 1978) στην διδακτωρική του διατριβή πάνω στην μέθοδο ΠΑΔ. Θα χρησιμοποιούμε την έκφραση DMU κάθε φορά που θα αναφερόμαστε σε μονάδα απόφασης. Ο χαρακτηρισμός της παραγωγικής μονάδας ως μονάδα απόφασης υποδηλώνει τον έλεγχο που κατέχουν στην διαδικασίας μετατροπής εισροών σε εκροές. Εισροές Μετασχηματισμός απο την Μονάδα Απόφασης Εκροές Με τον χαρακτηρισμό εισροή ή είσοδος εννοούμε τους πόρους που χρησιμοποιούνται για την παραγωγή των εκροών. Με τον χαρακτηρισμό εκροή ή έξοδος εννοούμε τα προϊόντα ή τις υπηρεσίες πού παράγονται από τις μονάδες. Η διαδικασία μετατροπής εισροών σε εκροές περιγράφετε από την τεχνολογία παραγωγής της παραγωγικής μονάδας. Η τεχνολογία παραγωγής μετατρέπει εισροές σε εκροές, μέσω των οποίων και εκφράζεται. Μια επιτυχής εφαρμογή της χαρακτηρίζεται και ως αποδοτική. Η αποδοτική μετατροπή εκφράζει οριακές σχέσεις μεταξύ των εισροών και εκροών με την έννοια του μεγίστου όγκου εκροών που επιτυγχάνονται από δεδομένο συνδιασμό εισροών ή του ελαχίστου όγκου εισροών που χρησιμοποιούνται για δεδομένο όγκο εκροών. Ο προσδιορισμός των εισροών και των εκροών στην αξιολόγηση μιας DMU είναι τόσο δύσκολος όσο και κρίσιμος. Οι εισροές πρέπει να περιέχουν όλους τους πόρους που 16

έχουν αντίκτυπο στις εξοδους και οι έξοδοι θα πρέπει να αντανακλούν ολα τα χρήσιμα αποτελέσματα στα οποία θέλουμε να αξιολογήσουμε την DMU. Σε γενικές γραμμές, η βασική ιδέα είναι ότι θέλουμε να εκτιμήσουμε πόσο αποτελεσματικά, κάθε DMU χειρίζεται τη διαδικασία μετασχηματισμού (εισροές σε εκροές) σε σύγκριση με άλλες DMU που ασχολούνται με την ίδια διαδικασία. Για να γίνει αυτό θα πρέπει να συλλάβουμε στις εκροές, το τι η DMU επιτυγχάνει, λαμβάνοντας υπόψη τους πόρους που χρησιμοποιεί και τυχόν παράγοντες πέραν του ελέγχου της DMU που επηρεάζουν την απόδοση της. Το τι είναι κάτω από τον έλεγχο DMU, θα εξαρτηθεί σε γενικές γραμμές όχι μόνο από τη φύση των δραστηριοτήτων στις οποίες εμπλέκεται DMU, αλλά και στην εξουσία που κατέχει όσο αφορά την λήψη αποφάσεων στον τομέα της. Η μέτρηση της αποδοτικότητας που χρησιμοποιούμε αντανακλά την εκτίμηση μας για τις δυνατότητες που έχει μια μονάδα, οσο αφορά την διατήρηση των πόρων που καταναλώνει ή την αύξηση της παραγωγικότητας της (εκροών). Έτσι, για να μετρήσουμε την απόδοση της μονάδας θα πρέπει να εκτιμησουμε τα επίπεδα εισροών-εκροών στα οποία η μονάδα θα μπορούσε να λειτουργήσει για να είναι αποδοτική. Δείκτης απόδοσης Ένας δείκτης απόδοσης είναι συνήθως ο λόγος εκροών προς εισροών, που σχετίζονται με τη μονάδα που αξιολογείται. Ένας δείκτης αποδοσης είναι σπάνια αρκετός για να μεταφέρει την σχετική αποδοτικότητα πραγματικών λειτουργικών μονάδων. Οχι μόνο μπορεί να έχουμε οικονομίες κλίμακος, αλλά συνήθως έχουμε πολλαπλές εισροές και εκροές που χαρακτηρίζουν τις δραστηριότητες κάθε συγκρίσιμης μονάδας. Στις περιπτώσεις που ανακύπτουν πολλαπλοί δείκτες αποδοσης δεν έχουμε μοναδικό σημείο αναφοράς, του ελάχιστου λόγου εισροών προς εκροών που θα χρησιμοποιηθεί για τη μέτρηση της αποδοτικότητας κάθε λειτουργικής μονάδας. Σε προβλήματα πολλαπλών εισροών και πολλαπλών εκροών οι δείκτες απόδοσης δεν συλλαμβάνουν το πώς, πολλαπλές εισροές επηρεάζουν ταυτόχρονα πολλαπλές εκροές, δηλαδή τη διαδικασίας μετασχηματισμού που πραγματοποιείται από τη μονάδα που αξιολογείται. Δείκτες αποδοσης με την μορφή λόγου (εκροών-εισροών), μπορούν μόνο να 17

συλλάβουν την διαδικασία μετασχηματισμού, όταν στην διαδικασία αυτή συμμετέχουν μόνο μια εισροή και μόνο μια εκροή. Σε πιο ρεαλιστικά πλαίσια που αφορούν πολλαπλές εισροές και πολλαπλές εκροές χρειαζόμαστε μια προσέγγιση μοντελοποίησης για την μέτρηση της αποδοσης και αυτή την μοντελοποίηση θα την επιτύχουμε με την χρήση γραμμικού προγραμματισμού. Υπάρχουν δύο είδη μεθόδων μοντελοποίησης της συγκριτικής μέτρησης επιδόσεων. Αυτές είναι οι παραμετρικές μέθοδοι και οι μη παραμετρικές μέθοδοι. Η παραμετρική προσέγγιση απαιτεί την επιβολή μιας συγκεκριμμένης συναρτησιακής μορφής, όπως είναι για παράδειγμα μια εξίσωση παλινδρόμησης ή μια συνάρτηση παραγωγής. Οι παραμετρικές μέθοδοι απεικονίζονται καλύτερα σε περιπτώσεις, όπου έχουμε είτε μόνο μια είσοδο ή εναλλακτικά μόνο μια εξόδο. Βασίζονται σε μοντέλα γραμμικής παλινδρόμησης, τα οποία περιέχουν τον τυχαίος παράγοντας εi (δηλ. το σφάλμα). Εκτιμούν τις παραμέτρους βi μέσω της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων, υποθέτοντας ότι τα σφάλματα εi ακολουθούν κανονική κατανομή με μέση τιμή το 0 και τυπική απόκλιση σ και είναι ανα 2 ασυσχέτιστα Cov(ε i, ε j ) = 0. Με αυτό τον τρόπο προσπαθούμε να δούμε την συσχέτιση που υπάρχει μεταξύ ανεξάρτητων και εξαρτημένων μεταβλητών. Ενας εναλλακτικός τρόπος αντιμετόπισης του προβλήματος με παραμετρικές μεθόδους είναι η υπόθεση μιας συναρτησιακής μορφής την οποία θα ακολουθούν τα δεδομένα. Με αυτό τον τρόπο θα κατασκευάζεται ένα μοντέλο το οποίο θα προβλέπει το μέσο επίπεδο παραγωγής που μπορεί να εξασφαλιστεί με ένα δεδομένο επίπεδο εισροών. Δυστυχώς οι παραμετρικές μέθοδοι εμπεριέχουν πολλά προβλήματα και το σημαντικότερο από αυτά είναι το γεγονός ότι πρέπει να υποθέσουμε τον τύπο του μοντέλου που θέλουμε να εκτιμήσουμε (γραμμικό, μη-γραμμικό, λογαριθμικό, κλπ) αυτό μπορεί εύκολα να οδηγήσει σε ένα κακώς προσδιορισμένο μοντέλο. Ένα άλλο πρόβλημα είναι ότι δεν μπορούν να αντιμετωπίσουν εύκολα πολλαπλές εισόδους και πολλαπλές εξόδους. Ολα αυτά μπορούν να αντιμετωπιστούν από μη παραμετρικές μέθοδους, κυριότερη εκ των οποίων είναι η περιβάλλουσα ανάλυση δεδομένων (ΠΑΔ). Η Περιβάλλουσα Ανάλυση Δεδομένων δεν απαιτεί οποιαδήποτε υπόθεση για την συναρτησιακή μορφή. Η ΠΑΔ υπολογίζει ένα μέγιστο μέτρο αποδοσης για καθε μονάδα σχετικά με τις υπόλοιπες στον παρατηρηθέντα 18

πληθυσμό με την μόνη απαίτηση ότι κάθε μονάδα να βρίσκεται επάνω ή κατω από το αποδοτικό όριο. Σύνολο Δυνατοτήτων Παραγωγής (Productio Possibility Set) Το σύνολο δυνατοτήτων παραγωγής είναι το σύνολο όλων των εφικτών συνδυασμών εισροών - εκροών που επιτρέπονται από την υπάρχουσα τεχνολογία παραγωγής σε έναν οργανισμό, αποδοτικών και μη αποδοτικών. Στις περισσότερες αναλύσεις το σύνολο αυτό είναι άγνωστο και μπορεί να κατασκευασθεί από τις διαθέσιμες ποσότητες εισροών και εκροών των παρατηρηθέντων μονάδων. Ο ορισμός του συνόλου δυνατοτήτων παραγωγής το οποίο αναφέρεται και ως σύνολο αναφοράς πλαισιώνεται από ένα σύνολο παραδοχών, με την έννοια ότι, κάθε παραγωγική μονάδα που δεν ανήκει στο σύνολο αναφοράς προκύπτει αναγκαία μέσω κάποιας παραδοχής. Το σύνολο αναφοράς αποτελείται από το εσωτερικό του συνόλου και το σύνορο του συνόλου. Παραγωγικές μονάδες που ανήκουν στο εσωτερικό του συνόλου αναφοράς αναφέρονται ως μη αποδοτικές και λαμβάνουν βαθμό αποδοτικότητας μικρότερο της μονάδας (< 1), ενώ αντίθετα οι μονάδες που ανήκουν στο σύνορο του συνόλου αναφέρονται ως αποδοτικές και λαμβάνουν βαθμό ίσο με (= 1). Υποθέτουμε ότι υπάρχουν δεδομένα σε ένα σύνολο j = 1,2,, παραγωγικών μονάδων με Χ R m +, Y R s + τους πίνακες εισροών - εκροών αντίστοιχα των παραγωγικών μονάδων, όπου Χ j = (X 1j,, X ij,, X mj ) και Y j = (Y 1j,, Y ij,, Y sj ) είναι τα διανύσματα των παρατηρούμενων εισροών - εκροών για την παραγωγική μονάδα j. Το σύνολο αναφοράς Τ είναι το σύνολο όλων των εφικτών συνδιασμών εισροών εκροών και μπορεί να εκφραστεί ως εξής: Τ = {(X, Y) / Y 0 μπορεί να παραχθεί από Χ 0 } Ο όρος εφικτός αναφέρεται στις ποσότητες εισροών εκροών, οι οποίες είναι τέτοιες ώστε το σύνολο εκροών Y μπορεί κατά φυσικό τρόπο να παραχθεί χρησιμοποιώντας το σύνολο εισροών Χ. 19

Ο πάραπανω ορισμός ενδυναμώνεται περισσότερο από τις ακόλουθες παραδοχές: Παραδοχή 1: (Μονοτονικότητα, Mootoicity) a) Αν (X, Y) T και Χ Χ τότε (Χ, Υ) Τ b) Αν (X, Y) T και Υ Υ τότε (Χ, Υ ) Τ Η παραδοχή 1(a) διατυπώνει ότι εάν ένα σύνολο εκροών μπορεί να παραχθεί με την χρήση ενός συνόλου εισροών, τότε το ίδιο σύνολο εκροών μπορεί να παραχθεί και με την χρήση περισσοτέρων εισροών. Η παραδοχή 1(b) διατυπώνει ότι εάν ένα σύνολο εισροών μπορεί να παράξει ένα σύνολο εκροών, τότε το ίδιο σύνολο εισροών μπορεί να παράξει και ένα σύνολο με λιγότερες εκροές. Παραδοχή 2: (Κυρτότητα, Covexity) Αν (Χ j, Y j ) T j = 1,2,, και λ j είναι μη αρνητικοί δέκτες έτσι ώστε: λ j = 1 τότε ( λ j X j, λ j Y j ) T Η πάραπανω παραδοχή διατυπώνει ότι κάθε ενδιάμεσο εφικτό σημείο μπορεί να εκφραστεί ως κυρτός συνδιασμός των παρατηρούμενων σημείων. Παραδοχή 3: (Μη περιορισμένη ακτίνα, Ray uboudedess) Αν (X, Y) T τότε (kχ, kυ) Τ, k > 0 Αυτή η παραδοχή διατυπώνει ότι ένα εφικτό μείγμα εισροών εκροών μπορεί να είναι επίσης εφικτό σε μεγαλύτερη ή μικρότερη κλίμακα μεγέθους k > 0. 20

Παραδοχή 4: (Περίκλειση των παρατηρήσεων, Iclusio of observatios) Η παραδοχή 4 διατυπώνει ότι κάθε παρατηρούμενο διάνυσμα (Χ j, Y j ) T j = 1,2,, είναι εναρμονισμένο με την τεχνολογία παραγωγής. Παραδοχή 5: (Τομή συνόλων, Miimality) Η παραδοχή 5 αναφέρεται στο σύνολο αναφοράς T το οποίο είναι η τομή όλων των συνόλων T που ικανοποιούν τις 4 προηγούμενες παραδοχές. Από το πιο πάνω μπορούμε να εξάγουμε το συμπέρασμα ότι το T είναι το << μικρότερο >> σύνολο που είναι συνεπές με τις παρατηρήσεις και τις παραδοχές που αφορούν το σύνολο αναφοράς. Απο τα πιο πάνω καταλαβαίνουμε ότι η επιλογή διαφορετικών παραδοχών οδηγεί σε διαφορετικά σύνολα αναφοράς. 1.3 Εμπειρικά σύνολα αναφοράς Τα εμπειρικά σύνολα αναφοράς εκφράζονται μέσω εμπειρικών συναρτήσεων, οι τιμές των οποίων είναι γνωστές για περιορισμένο αριθμό σημείων, ενώ οι τιμές τους για άλλα σημεία στο πεδίο ορισμού της δίδονται από γραμμικούς συνδιασμούς (κυρίως κυρτούς) των τιμών σε γνωστά σημεία (Chares et al. 1985). Τα σημεια που ανήκουν πεδίο ορισμού νοούνται ως εισροές, ενώ ως εκροές λαμβάνονται τα σημεία στο πεδίο τιμών της συνάρτησης. Συμφωνα με τα πιο πάνω μπορούμε να ορίσουμε ως εμπειρικό σύνολο αναφοράς Τ ε το πιο κάτω: Τ ε = {(X, Y) / X = X j μ j, Y = Y j μ j, μ j = 1, μ j 0} Το Τ ε είναι το κυρτό κέλυφος (covex hull) των παρατηρούμενων εισροών εκροών και στηρίζεται στις παραδοχές 2, 4 και 5. Στην ανάλυση της αποδοτικότητας, τα σύνολα αναφοράς που θα μελετήσουμε χωρίζονται σε 2 κατηγορίες, τις μεταβλητές οικονομίες κλίμακος (VRS) και τις σταθερές 21

οικονομίες κλίμακος (CRS). Οι σταθερές οικονομίες κλίμακος (Costat Retur to Scale, CRS) στηρίζονται και στις 5 παραδοχές που είχαμε αναφέρει πιο πάνω και έχoυν την εξής μορφή: Τ CRS = {(X, Y) X X j λ j, Y Y j λ j, λ j 0} Θεμελιώδες χαρακτηριστικό τους είναι ότι μπορούν να συμπεριλάβουν σαν στοιχεία τους γραμμικούς συνδυασμούς εισροών εκροών των παρατηρουμένων παραγωγικών μονάδων. Τα σύνολα αναφοράς περιβάλλονται από ένα σύνορο αποδοτικότητας (efficiet frotier) το οποίο αποτελείται από ένα υποσύνολο αποδοτικών παραγωγικών μονάδων. Η παραδοχή της κυρτότητας χαρακτηρίζει το σύνορο των συνόλων αναφοράς και στην περίπτωση των CRS το σύνορο αυτό ορίζεται ως το κωνικό κέλυφος που περιβάλλει τις παραγωγικές μονάδες. 1.4 Αποδοτικότητα Pareto και Τεχνική Αποδοτικότητα Η ΠΑΔ ειναι μία μέθοδος για συγκριτική ή αλλίως σχετική αποδοτικότητα. Μιλάμε για σχετική αποδοτικότητα διότι η μέτρηση της από την ΠΑΔ γίνεται σε ένα σύνολο όμοιων μονάδων και όλες οι συγκρίσεις γίνονται μεταξύ τους. Γενικά δεν μπορούμε να αντλήσουμε απο την ΠΑΔ κάποιο απόλυτο μέτρο αποδοτικότητας εκτός και αν κάνουμε κάποια συμπληρωματική υπόθεση, ότι οι μονάδες που συγκρίνονται περιλαμβάνουν έναν επαρκή αριθμό μονάδων, οι οποίες να είναι αποδοτικές ως προς κάποια απόλυτη έννοια. Ετσι σε ένα πρακτικό πρόβλημα, μονάδες που θεωρήθηκαν αποτελεσματικές από την ΠΑΔ μπορεί στην πραγματικότητα να είναι σε θέση να βελτιώσουν απόδοση τους ακόμη περισσότερο. Η μέτρηση της αποδοτικότητας βασίζεται σε εκτιμήσεις του βαθμού στον οποίο η μονάδα θα μπορούσε να εξασφαλίσει μεγαλύτερη παραγωγή - εκροές για το επίπεδο των εισροών της ή το βαθμό στον οποίο θα μπορούσε να χρησιμοποιησεί λιγότερους πόρους - 22

εισροές για τα επίπεδα παραγωγής εκροές της. Έτσι, αρχικά θα πρέπει να αναρωτηθούμε αν οι εν λόγω μονάδες έχουν περισσότερη διακριτική ευχέρεια ως προς τα επίπεδα εισροών ή ως προς τα επίπεδα εκροών που τους αφορούν. Η απάντηση εξαρτάται από το πλαίσιο. Για παράδειγμα, τα νοσοκομεία έχουν σχετικά μικρό έλεγχο στα επίπεδα των εκροών του που σε αυτή την περίπτωση θα είναι οι ασθενείς διαφόρων κατηγοριών που χρειάζονται βοήθεια. Μονάδες όπως τα νοσοκομεία ελέγχουν τις εισροές τους, που πολύ πιθανόν να είναι οι γιατροί, νοσοκόμες. Από την άλλη πλευρά τα σχολεία έχουν ελάχιστο έλεγχο πάνω από τα επίπεδα εισροών τους, πιθανόν να είναι τα μέτρα της έμφυτη ικανότητα των μαθητών που διδάσκονται και το κοινωνικο-οικονομικό υπόβαθρο και περισσότερο έλεγχο πάνω στις εξόδους τους, πιθανώς τα επιτευγμάτων των μαθητών κατά την έξοδο τους από το σχολείο. Για τους παραπάνω λόγους θα ορίσουμε προσανατολισμό, ανάλογα με το τι μπορεί να ελέξει η μονάδα. Ο προσανατολισμός εισροών είναι κατάλληλος όταν οι εισροές της DMU είναι ελέγξιμες και αντίστοιχα ο προσανατολισμός εκροών είναι κατάλληλος όταν οι εκροές είναι ελέγξιμες. Για να ορίσουμε τις αποδοτικότητες κατά Pareto υποθέτουμε την ύπαρξη ενός σύνολου ομοιογενών μονάδων - DMUs οι οποίες χρησιμοποιούν μια ή περισσότερες εισροές για να διασφαλίσουν μία ή περισσότερες εκροές. Προσανατολισμός Εισροών : Μια DMU είναι αποδοτική κατά Pareto αν είναι αδύνατο να μειώσουμε το επίπεδο οποιασδήποτε εισροής της χωρίς να αυξήσουμε το επίπεδο τουλάχιστον μίας άλλης ή χωρίς να μειώσουμε το επίπεδο παράγωγής τουλάχιστον μιας εκροής της. Προσανατολισμός Εκροών : Μια DMU είναι αποδοτική κατά Pareto αν είναι αδύνατο να αυξήσουμε το επίπεδο παραγωγής κάποιας εκροής της χωρίς να μειώσουμε το επίπεδο παράγωγης τουλάχιστον μιας άλλης 23

εισροής ή αντίστοιχα χωρίς να αυξήσουμε το επίπεδο μιας τουλάχιστον εισροής. Επίσης πολύ συχνά στην ΠΑΔ χρησιμοποιείται και ο ορισμός της τεχνικής αποδοτικότητας όπως θα δουμε στην συνέχεια σε μερικά παραδείγματα. Αντίστοιχα με τους πιο πάνω προσανατολισμένους ορισμούς κατα Pareto έχουμε ανάλογους ορισμούς για την τεχνική αποδοτικότητα εισόδων και εξόδων. Τεχνική Αποδοτικότητα : Εκροών Η τεχνική αποδοτικότητα εκροών μιας DMU είναι η μέγιστη αναλογία των παρατηρηθέντων επιπέδων εκροών τα οποία αναπαριστούν τα επίπεδα των εκροών, όταν όλοι οι εισροές είναι κατανεμημένες ακτινικά* όσο το δυνατό περισσότερο, χωρίς οποιαδήποτε φθορά στα επίπεδα εκροών. Τεχνική Αποδοτικότητα : Εισροών Υποθέτουμε ότι όλες οι εισροές μιας DMU έχουν συρρικνωθεί ακτίνικά* όσο το δυνατό περισσότερο χωρίς κάποια φθορά στα επίπεδα παραγωγής των εκροών της. Η τεχνική αποδοτικότητα εισροών μιας DMU είναι η μέγιστη αναλογία οποιουδήποτε από τα προκαθορισμένα επίπεδα εισροών με τα παρατηρησθέντα επίπεδα αυτής της εισροής. *Ο όρος ακτινικά αναφέρεται στο ότι οι εισροές μπορεί να μειωθούν ή να αυξηθούν σε ίση αναλογία κατά μήκος μιας ακτίνας διερχόμενης από την αρχή των αξόνων. Η μέτρηση της αποδοτικότητας εκροών απεικονίζει τον βαθμό στον οποίο μια DMU μπορεί να αυξήσει τα επίπεδα παραγωγής της επιτυγχάνοντας με αυτόν τον τροπο καλύτερη 24

αποδοτικότητα, διατηρώντας παράλληλα την αναλογία τους σταθερή, χωρίς επιπρόσθετη κατανάλωση πόρων. Συμπεραίνουμε ότι η μέτρηση της αποδοτικότητας στηρίζεται στην εκτίμηση των μέγιστων επιπέδων παραγωγής εκροών για δεδομένα επίπεδα εισροών ή εναλλακτικά στην εκτίμηση των ελαχίστων απαιτούμενων επιπέδων εισροών για την επίτευξη ενός δεδομένου επιπέδου παραγωγής εκροών. Μέσω της ΠΑΔ είμαστε σε θέση να πραγματοποιήσουμε τις πιο πάνω εκτιμήσεις και να καταλήξουμε στην αποδοτικότητα μιας μονάδας απόφασης - DMU. Μπορούμε επομένως να ορίσουμε το σύνορο αποδοτικότητα P(T) ενός κυρτού συνόλου αναφοράς Τ σαν το υποσύνολο του Τ αποτελούμενο από τα αποδοτικά κατα Pareto σημεία, ως εξης: P(T) = {(X, Y) T / X Χ, Y Y, (X, Y ) (X, Y) (X, Y ) Τ } Με λίγα λόγια το σύνορο αποδοτικότητας αποτελείται από εκείνα τα σημεία του Τ που δεν κυριαρχούνται από κάποια άλλα σημεία (udomiated poits). 1.5 Γραφική Ανάλυσης της Αποδοτικότητα 25

Στο πιο κάτω γράφημα μπορούμε να παρατηρήσουμε την διαφορά μεταξύ προσανατολισμού εισροών και προσανατολισμού εκροών στην μέτρησης της αποδοτικότητας. Πιο κάτω απεικονίζεται η περίπτωση όπου μια DMU παράγει μια εκροή με την χρήση μιας εισροής (sigle-iput, sigle-output). (εικόνα 1 Γραφική αναπαράσταση της Αποδοτικότητας μιας παραγωγικής μονάδας) Η καμπύλη OD αναφέρεται στην μέγιστη παραγωγή που μπορεί να επιτευχθεί χρησιμοποιώντας τα συγκεκριμμένα επίπεδα εισόδου. Ετσι αυτή η καμπύλη μπορεί να θεωρηθεί σαν ένα σύνορο απόδοσης και ορίζει την περιοχή παραγωγικής δυνατότητας. Θα εφαρμόσουμε τους ορισμούς Pareto και την τεχνική αποδοτικότητα που είχαμε αναφέρει πιο πάνω για να μελετήσουμε την DMU A που απεικονίζεται στο πιο πάνω σχήμα. Το DMU A χρησιμοποιεί επίπεδο εισροών G, με αυτό το επίπεδο φαίνεται ότι θα μπορούσε να αποδίδει στο σημείο D του συνόρου απόδοσης δηλ να βρίσκεται πάνω στην καμπύλη του συνόρου απόδοσης επιτυγχάνοντας έτσι την μέγιστη δυνατή απόδοση για το επίπεδο εισροών της. Αντίστοιχα το DMU A μπορούσε να λειτουργεί με επίπεδο εισροών F χρησιμοποιώντας έτσι την ελάχιστα επίπεδα εισροών για τα επίπεδα εκροών που έχει δηλ. το C. Για αυτόν το λόγο το DMU A δεν είναι αποδοτικό κατά Pareto διότι μπορούσε να παράξει μεγαλύτερα επίπεδα εκροών χωρίς την χρήση επιπρόσθετων επιπέδων εισροών ή να χρησιμοποιούσε μικρότερα επίπεδα εισροών χωρίς φθορά στα επίπεδα εκροών της. 26

Αν ένα DMU ήταν αποδοτικό κατά Pareto τότε θα βρισκόταν πάνω στο σύνορο απόδοτικότητας και θα είχε τεχνική αποδοτικότητα 1 είτε την μετρούσαμε βάσει των εκροών της είτε βάσει των εισροών της. Αποδοτικότητα εισόδου της DMU A = OF OG Ο λόγος των ελαχίστων επιπέδων εισροών που θα μπορούσε να χρησιμοποιεί για τα επίπεδα εκροών της, με τα επίπεδα εισροών που χρησιμοποιεί στη πραγματικότητα. Αποδοτικότητα εξόδου της DMU A = OH OB Ο λόγος των επιπέδων εκροών που έχει η μονάδα Α, με τα επίπεδα εκροών που έπρεπε να έχει για να είναι αποδοτική. Πιο κάτω θα αναλύσουμε ακόμα ένα γράφημα το οποίο περιέχει 4 παραγωγικές μονάδες. (εικόνα 1.5.2) 27

(Εικόνα 2 Γραφική αναπαράσταση της Αποδοτικότητας τεσσάρων παραγωγικών μονάδων:d1, D2, D3, D4) Εφαρμόζοντας τους ορισμούς της τεχνικής αποδοτικότητας που είχαμε αναφέρει προηγουμένως. DMU D1: Χρησιμοποιώντας το σύνορο απόδοσης σαν σημείο αναφοράς είμαστε σε θέση να εκτιμήσουμε το ελάχιστο επίπεδο εισροών με το οποίο θα μπορούσαμε να επιτύχει τα επίπεδα εκροών της. Αν διατηρήσουμε το επίπεδο εκροών της D1 στο 2 και κινηθούμε παράλληλα με τον άξονα των Χ δηλ. να μειώνοντας τα επίπεδα εισροών της λαμβάνουμε τις εφικτές αναλογίες εισροών-εκροών πάνω στην ευθεία BD1. Το ελάχιστο επίπεδο εισροών που θα μπορούσε να χρησιμοποιεί η DMU D1 είναι το CB άρα η τεχνική αποδοτικότητα εισροών της είναι D1 = CB CD1 Με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να βρούμε την τεχνική αποδοτικότητα εκροών της D1. Διατηρούμε το επίπεδο εισροών της σταθερό στο 1 και κινούμαστε παράλληλα με τον άξονα τον Υ δηλ. αυξάνουμε τα επίπεδα εκροών της, παίρνοντας έτσι ένα πλήθος εφικτών αναλογιών εισροών-εκροών πάνω στην ευθεία D1D. Εκφράζοντας το επίπεδο AD1 ως τον λόγο του μέγιστου επιπέδου που μπορούμε να επιτύχουμε παίρνουμε τον λόγο AD1 AD δηλ. την τεχνική αποδοτικότητα εκροών της D1. Από το γράφημα μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι ΟΑ= CD1 και OC=AD1. Από αυτό συμπεραίνουμε ότι CB CD1 = AD1 AD δηλ. ότι η τεχνική αποδοτικότητα εισροών και η τεχνική αποδοτικότητα εκροών είναι ίσες. 28

(εικόνα 3 Δημιουργία Περίβληματος από τις αποδοτικές μονάδες) Το πάραπανω σχήμα 1.5.3 παρουσιάζει ένα σύνολο μονάδων P1, P2,, P6 όπου κάθε μονάδα καταναλώνει τις ίδιες ποσότητες εισροών, ενώ παράγουν διαφορετικές ποσότητες εκροών y1 και y2 όπως φαίνεται στο σχήμα. Για ένα δεδομένο ποσό εισροών, οι μονάδες που παρέχουν μεγαλύτερες ποσότητες εκροών θα είναι και οι πιο αποδοτικές. Η εφαρμογή της ΠΑΔ προσέγγισης, σε αυτό το σύνολο μονάδων, θα προσδιορίσει τις μονάδες P1, P2, P3, P4 ως αποδοτικές και θα δημιουργήσει ένα περίβλημα-περιβάλλουσα, που θα περικλείει τις μονάδες P5 και P6, δηλαδή τις μονάδες που είναι εντός της περιβάλλουσας οι οποίες είναι και μη αποδοτικές. Η περιβάλλουσα δεδομένων έχει ιδεατά επεκταθεί στους άξονες του ορθοκανονικού συστήματος με την χρήση των γραμμών P1y2, P4y1 περιβάλλοντας με αυτό τον τρόπο όλα τα δεδομένα του προβλήματος. Η απόσταση μιας μη αποδοτικής μονάδας από το όριο-σύνορο της αποδοτικότητας εκφράζει σε ποιο βαθμό αυτή μπορεί να βελτιωθεί προκειμένου να καταστεί αποδοτική. Τα σημεία προβολής των μη αποδοτικων μονάδων επί του ορίου της αποδοτικότητας αποτελούν στόχους για την επίτευξη της άριστης αποδοτικότητας. Για την μονάδα P5 ο στόχος είναι το P5 (ακτινική προβολή στο τμήμα που ορίζουν τα P1 και P2 ). Οι στόχοι αυτοί επιτυγχάνονται με την αναλογική αύξηση των αποτελεσμάτων της P5. Είναι σαφές ότι υπάρχουν και άλλοι πιθανοί στόχοι για την μονάδα P5. Για παράδειγμα αν η παραγωγή στο επίπεδο y2 δεν θα μπορούσε να αυξηθεί, για την μονάδα P5 θα μπορούσε να οριστεί ένας 29

νέος στόχος P5 ο οποίος θα βασίζεται εξ ολοκλήρου στην αύξηση της παραγωγής y1. Το σύνολο των στόχων P5 μπορεί να προέλθει από το σταθμισμένο μέσο όρο των μονάδων P1 και P2. Έτσι, η P5 μπορεί να θεωρηθεί ως μια σύνθετη μονάδα που αποτελείται από ένα σταθμισμένο μέσο όρο των ομότιμων μονάδων και αυτή η σύνθετη μονάδα παρέχει ένα στόχο για την μη αποδοτική μονάδα. 1.6 Χρήση της ΠΑΔ για την μέτρηση της Τεχνικής Αποδοτικότητας εξόδου στην περίπτωση πολλαπλών εισροών και εκροών (multi-iput, multi-output) Η σχετική τεχνική αποδοτικότητα (techical efficiecy) μίας μονάδας υπολογίζεται σχηματίζοντας τον λόγο του σταθμικού αθροίσματος των εκροών προς το σταθμικό άθροισμα των εισροών, όπου οι συντελεστές βαρύτητας επιλέγονται κατά τέτοιο τρόπο, ώστε να υπολογίζεται η κατά Pareto αποδοτικότητα της υπο εξέτασης μονάδας. Σχετική Αποδοτικότητα = Σταθμισμένο άθροισμα εκροών Σταθμισμένο άθροισμα εισροών Σχετική Αποδοτικότητα της μονάδας j = u 1y 1j + u 2 y 2j + v 1 x 1j + v 2 x 2j + Η τιμή της αποδοτικότητας λαμβάνει τιμές στο κλειστό διάστημα [0,1]. Η αρχική υπόθεση είναι ότι το μέτρο της αποδοτικότητας απαιτεί την ύπαρξη ενός κοινού συνόλου βαρών που πρέπει να εφαρμοστεί σε όλες τις παραγωγικές μονάδες. Χρησιμοποιώντας αυτή την υπόθεση εισάγουμε το πρόβλημα, του πως θα βρούμε αυτή την κοινή ομάδα βαρών. Μπορεί να υπάρχουν 2 ειδών από δυσκολίες στην απόκτηση αυτού του κοινού συνόλου βαρών. Πρώτα απ όλα μπορεί να είναι δύσκολο να υπολογιστεί η αξία των εισροών και των εκροών. Δεύτερο, διαφορετικές μονάδες είναι πιθανών να αξιολογούν τις 30

εισροές και τις εκροές τους με διαφορετικό τρόπο διαφορετικές μεταβλητές και συνεπώς να απαιτούν διαφορετικά βάρη. Με βάση την προηγούμενη συλλογιστική, αυτό το μέτρο της απόδοσης σε συνδιασμό με την υπόθεση ότι απαιτείται ένα και μόνο κοινό σύνολο βαρών είναι ανεπαρκές. Οι Chares, Cooper και Rhodes προσπάθησαν να επιλύσουν τη δυσκολία αναζήτησης ενός κοινού συνόλου βαρών για τον προσδιορισμό της σχετικής αποδοτικότητας. Αναγνώρισαν το γεγονός ότι οι διαφορετικές μονάδες μπορεί να αποτιμήσουν τις εισροές και τις εκροές με διαφορετικό τρόπο και, συνεπώς, να υπολογίσουν διαφορετικά βάρη, γι αυτό τον λόγο πρότειναν ότι κάθε μονάδα θα πρέπει να επιτρέπεται να εγκρίνει ένα σύνολο των βαρών που αναδεικνύει την μέγιστη αποδοτικότητα σε σύγκριση με τις άλλες μονάδες. Υπό αυτές τις συνθήκες, η αποδοτικότητα της μονάδας j0 μπορεί να ληφθεί ως λύση για το εξής πρόβλημα: «Μεγιστοποίηση της αποδοτικότητας της μονάδας j0, υπό τον περιορισμό ότι η απόδοση όλων των μονάδων πρέπει να είναι μικρότερη ή ίση με την μονάδα» Οι μεταβλητές του πάραπανω προβλήματος είναι τα βάρη και συνεπώς η λύση παράγει τα πλέον ευνοϊκά βάρη για την μονάδα j0 ενώ παράγει και ένα μέτρο της αποτελεσματικότητας. Το αλγεβρικό μοντέλο για το παραπάνω πρόβλημα είναι το ακόλουθο: y rj0 Max h 0 = r u r (Μ1) i v i x ij0 Subject to r u r y rj 1 for each uit j. i v i x ij 31

u r, v r ε Πιο κάτω θα αναλύσουμε ένα παράδειγμα στο οποίο συμμετέχουν 20 αποθήκες (παραγωγικές μονάδες) με 2 εισροές και 3 εκροές και θα τα αναλύσουμε ούτως ώστε να μορφοποιηθεί η προαναφερθείσα μεθοδολογία. Τα δεδομένα δίνονται στο πιο κάτω πίνακα 1. Πίνακας 1. Δεδομένα απο 20 παραγωγικές μονάδες με 2 εισροές και 3 εκροές Εισροή 1 Εισροή 2 Εκροή 1 Εκροή 2 Εκροή 3 Αποθήκη 1 3 5 40 55 30 Αποθήκη 2 2.5 4.5 45 50 40 Αποθήκη 3 4 6 55 45 30 Αποθήκη 4 6 7 48 20 60 Αποθήκη 5 2.3 3.5 28 50 25 Αποθήκη 6 4 6.5 48 20 65 Αποθήκη 7 7 10 80 65 57 Αποθήκη 8 4.4 6.4 25 48 30 Αποθήκη 9 3 5 45 64 42 Αποθήκη 10 5 7 70 65 48 Αποθήκη 11 5 7 45 65 40 Αποθήκη 12 2 4 45 40 44 Αποθήκη 13 5 7 65 25 35 Αποθήκη 14 4 4 38 18 64 Αποθήκη 15 2 3 20 50 15 Αποθήκη 16 3 6 38 20 60 Αποθήκη 17 7 11 68 64 54 Αποθήκη 18 4 6 25 38 20 Αποθήκη 19 3 4 45 67 32 Αποθήκη 20 5 6 57 60 40 32

Με βάση τα δεδομένα μας, η αποτελεσματικότητα της αποθήκης 1 προκύπτει από την επίλυση του πάρακατω γραμμικού μοντέλου: Max h 0 = 40u 1 + 55u 2 + 30u 3 3v 1 + 5v 2 (Μ2) Subject to 40u 1 + 55u 2 + 30u 3 3v 1 + 5v 2 1 (αποθήκη 1) 45u 1 + 50u 2 + 40u 3 2.5v 1 + 4.5v 2 1 (αποθήκη 2) 55u 1 + 45u 2 + 30u 3 4v 1 + 6v 2 1 (αποθήκη 3)... 57u 1 + 60u 2 + 40u 3 5v 1 + 6v 2 1 (αποθήκη 20) u 1, u 2, u 3, v 1, v 2 ε Παρατηρούμε ότι καταλήγουμε σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης με 20 περιορισμούς και απαιτούμε όλες οι u και v μεταβλητές του προβλήματος να είναι περιορισμένες στο να παίρνουν τιμές μεγαλύτερες ή ίσες με ορισμένες μικρές θετικές ποσότητες εψιλον ε (π.χ 10 6 ) προκειμένου να αποφευχθεί να αγνοηθούν κάποιες εισροές ή εκροές εντελώς κατά τον προσδιοριμό της απόδοσης. Η λύση για το πάραπανω μοντέλο δίνει: Την αξία h j0 Την αποδοτικότητα της αποθήκης 1 Τα βάρη της αποδοτικότητας που οδηγούν σε αυτό. Οταν η βέλτιστη τιμή της αποδοτικότητας της αποτιμόμενης αποθήκης ισούται με την μονάδα, δηλαδή όταν h j0 = 1 τότε μπορούμε να ισχυριστούμε ότι η αποθήκη 1 είναι αποδοτική και αντίστροφα, σε σχέση πάντα με τις υπόλοιπες αποθήκες. Αν h j0 < 1 τότε 33

κάποια άλλη αποθήκη ή αποθήκες είναι πιο αποδοτικές από την αποθήκη 1, ακόμη και όταν τα βάρη έχουν επιλεγεί με σκοπό την μεγιστοποίηση της αποδοτικότητας της αποθήκης 1. Η ευελιξία στην επιλογή των βαρών είναι ταυτόχρονα, η δύναμη και η αδυναμία αυτής της μεθόδου. Είναι αδυναμία, διότι με μια προσεκτική επιλογή βαρών από μια μονάδα που πιθανώς δεν συνδέεται με την αξία της κάθε εισροής ή εκροής μπορεί να επιτρέψει σε μια μονάδα να φαίνεται αποδοτική. Αυτό οδηγεί στην προβληματισμό για το γεγονός ότι η λύση έχει να κάνει περισσότερο με την επιλογή των βαρών παρά με την εγγενή αποδοτικότητα του συστήματος. Ωστόσο, η ευελιξία αυτή αποτελεί επίσης πλεονέκτημα, για μια μονάδα, εφόσον αποδειχθεί μη αποδοτική, ακόμη και όταν τα πιο ευνοϊκά βάρη έχουν ενσωματωθεί στο μέτρο της αποδοτικότητας. Αυτό είναι μια ισχυρή δήλωση και το επιχείρημα ότι τα βάρη είναι λανθασμένα δεν ευσταθεί. Σύμφωνα με μία μελέτη ο τρόπος αντιμετώπισης αυτού του προβλήματος είναι η εισαγωγή περισσότερων μονάδων από το γινόμενο των εισροών και των εκροών. Δηλαδή αν έχουμε t εισροές και m εκροές, το πλήθος των μονάδων προς αξιολόγηση πρέπει να είναι πολύ μεγαλύτερο από το tm. Η Περιβάλλουσα Ανάλυση Δεδομένων επομένως ενδεικνύεται όταν οι μονάδες αξιολογούν τις εισροές ή τις εκροές με διαφορετικό τρόπο, ή όταν υπάρχει υψηλή αβεβαιότητα ή διαφωνία για την αξία ορισμένων εισροών ή εκροών. Παρατηρούμε ότι η ΠΑΔ χωρίζει τις μονάδες απόφασης σε αποδοτικές και μη αποδοτικές. Ο χαρακτηρισμός μιας μονάδας ως αποδοτικής είναι δυνατόν να αμφισβητηθεί αφού κάθε διαχειριστής μπορεί να σταθμίσει τις εισροές και τις εκροές με διαφορετικά βάρη, σύμφωνα με τις προσωπικές του εκτιμήσεις που αφορούν την σημαντικότητα τους. Ετσι μια μη αποδοτική μονάδα για την ΠΑΔ μπορεί να φαίνεται ως αποδοτική. Ενα απλό παράδειγμα για την πιο περίπτωση που μόλις αναφέραμε, είναι μονάδες με πολύ υψηλή αναλογία μίας εκροή προς μια εισροή, θα έχουν πολύ υψηλή αποδοτικότητα ανεξαρτήτως τον υπολοίπο τους εισροών και εκροών. Αυτό μπορεί να επιτευχθεί με την τοποθέτηση όσο περισσότερο βάρος είναι δυνατό στη συγκεκριμμένη αναλογία και το μικρότερο δυνατό στις υπόλοιπες εισροές και εκροές. Αντίθετα, ο χαρακτηρισμός μιας μονάδας ως μη αποδοτικής δεν μπορεί να είναι αμφισβητήσιμος, αφού η αποδοτικότητα της υπολογίζεται πάντοτε υπό τους πιο ευνοϊκούς όρους για την μονάδα της οποίας υπολογίζεται η αποδοτικότητα. Επιπλέον όταν ο αριθμός των μονάδων είναι μικρός σε σχέση με τον αριθμό των εισροών και των εκροών 34

η ΠΑΔ δεν μπορεί να διαχωρίσει με αποτελεσματικό τρόπο τις μονάδες σε αποδοτικές και μη. Το μοντέλο ΠΑΔ (Μ1) είναι ένα κλασματικό πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού. Για να επιλυθεί το μοντέλο πρέπει προηγουμένως να μετατραπεί σε γραμμική μορφή, ούτως ώστε οι μεθόδοι γραμμικού προγραμματισμού να μπορούν να εφαρμοσθούν. Η διαδικασία είναι σχετικά απλή. Η γραμμική απόδοση των περιορισμών του (Μ1) εμφανίζεται στο μοντέλο (Μ3). Για την αντικειμενική συνάρτηση είναι απαραίτητο να σημειωθεί ότι για την μεγιστοποίηση ενός κλάσματος ή ενός λόγου είναι το σχετικό μέγεθος του αριθμητή και του παρονομαστή που παρουσιάζουν ενδιαφέρον και όχι οι ατομικές τους τιμές. Ετσι, συνήθως είναι δυνατόν να επιτευχθεί το ίδιο αποτέλεσμα, με τον καθορισμό του παρονομαστή ως ίσου με μια σταθερά και επικεντρωνόμαστε με αυτό τον τρόπο στην μεγιστοποίηση του αριθμητή. Συνεπώς το προκύπτων μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού έχει ως εξής: Max h 0 = u r y rj0 r (Μ3) Subject to v i x ij0 = 1 i u r y rj v i x ij r i 0, j = 1,2,. u r, v i ε 35

1.7 Το δυϊκό μοντέλο της ΠΑΔ Για κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού είναι δυνατό να διατυπωθεί ένα έτερο ΓΠ χρησιμοποιώντας τα ίδια δεδομένα, και η λύση, είτε με το αρχικό ΓΠ ή το δυικό του, βασίζεται στις ίδιες πληροφορίες σχετικά με το πρόβλημα που μοντελοποιήθηκε. Η πάραπανω λογική ισχύει και για την ΠΑΔ. Το δυικό μοντέλο είναι κατασκευασμένο με την λογική της ανάθεσης μιας μεταβλητής (δυική μεταβλητή) σε κάθε περιορισμό του πρωταρχικού μοντέλου και την κατασκευή ενός νέου μοντέλου για τις μεταβλητές αυτές. Αυτή η μορφοποίηση φαίνεται πιο κάτω. Πρωτευον μοντέλο: Δυικές μεταβλητές Max h 0 = r u r y rj0 Ζ (M4) Subject to v i x ij0 = 1 i λ 0 u r y rj v i x ij 0, r i j = 1,2, v i ε i = 1,2, m s I + u r ε r = 1,2, t s I Δυικό μοντέλο: (M5) + Mi 1 Z 0 ε s r ε s i Subject to: r i x ij0 Z 0 s i x ij λ j j = 0 i = 1,, m 36

s r + + y rj λ j j λ j, s r +, s i 0, = y rj0 r = 1,, t Z 0 χωρίς περιορισμό Το πρώτο πράγμα που πρέπει να σημειώσουμε είναι ότι το πρωτεύον μοντέλο έχει +t+m+1 περιορισμούς, ενώ το δυικό μοντέλο έχει m+t περιορισμούς. Οπου είναι ο αριθμός των μονάδων,ο οποίος είναι αισθητά μεγαλύτερος από το t+m, που είναι ο αριθμός των εισροών και των εκροών. Σε γενικές γραμμές, στα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, όσο περισσότεροι είναι οι περιορισμοί τόσο πιο δύσκολη είναι και η επίλυση του προβλήματος. Ως εκ τούτου, είναι συνηθισμένο να επιλύεται το δυικό μοντέλο και όχι το πρωτεύον. Από την θεωρία του γραμμικού προγραμματισμού είναι γνωστό ότι οι τιμές των δυικών μεταβλητών ως αποτέλεσμα της επίλυσης ενός δυικού μοντέλου είναι ίδιες με τις σκιώδεις τιμές στο πρωτεύον μοντέλο. Οι δυικές τιμές λ j είναι επομένως, οι σκιώδεις τιμές που συνδέονται με τους περιορισμούς, οι οποίοι και περιορίζουν την αποδοτικότητα της κάθε μονάδας να ξεπεράσει την μονάδα. 1.8 Μοντέλα Περιβάλλουσας Ανάλυσης Δεδομένων Μοντέλο CCR (Chares, Cooper, Rhodes). Η Περιβάλλουσα Ανάλυση Δεδομένων αποτελεί εφαρμογή του γραμμικού προγραμματισμού και έχει ως στόχο τον προσδιορισμό των συνόλων παραγωγής, τα οποία χρησιμοποιούνται στην αξιολόγηση της αποδοτικότητας παραγωγικών μονάδων που χρησιμοποιούν ίδιες εισροές και παράγουν ίδιες εκροές, σε διαφορετικές, όμως ποσότητες. Πολλαπλές εισροές και εκροές μπορούν να χρησιμοποιηθούν στην ΠΑΔ ακόμα και με διαφορετικές μονάδες μέτρησης στην κάθε μία. 37

Οπως είχαμε αναφέρει και πιο πάνω, η μέθοδος χρησιμοποιείται περισσότερο: Για εντοπισμό των μη αποδοτικών DMUs Για τον προσδιορισμό των πηγών και τις ποσότητες μη αποδοτικότητας τους, για κάθε εισροή και εκροή. Η σχετική τεχνική αποδοτικότητα μίας παραγωγικής μονάδας υπολογίζεται σχηματίζοντας τον λόγο του σταθμισμένου αθροίσματος των εκροών προς το σταθμισμένο άθροισμα των εισροών, όπου οι συντελεστές βαρύτητας επιλέγονται κατά τέτοιο τρόπο, ώστε να υπολογίζεται η κατά Pareto αποδοτικότητα της υπο εξέταση παραγωγικής μονάδας. Οπως είχαμε αναφέρει και πιο πάνω ένας συνηθισμένος τρόπος μέτρησης της σχετικής αποδοτικότητας είναι ο εξής: Σχετική Αποδοτικότητα = Σταθμισμένο Αθροισμα Εκροών Σταθμισμένο Αθροισμα Εισροών και λαμβάνοντας υπόψη τους συνηθισμένους συμβολισμούς των παραμέτρων καταλήγουμε στο εξής. Σχετική Αποδοτικότητα της μονάδας j = u 1y 1j + u 2 y 2j + v 1 x 1j + v 2 x 2j + Οπου: j = 1,, πλήθος παραγωγικών μονάδων u1= βάρος εκροής, y1j = εκροή j v1= βάρος εισροής, x1j = εισροή j Η τεχνική αποδοτικότητα εστιάζεται στα φυσικά επίπεδα των εκροών που επιτυγχάνονται, δεδομένων των φυσικών επιπέδων των εισροών σε αντίθεση με την κατανεμητική αποδοτικότητα (allocative efficiecy) η οποία αναφέρεται στο κατάλληλο μείγμα των εισροών, δεδομένων των τιμών των εκροών. Η μεθοδολογία της ΠΑΔ επιλύει το ακόλουθο μη γραμμικό κλασματικό πρόβλημα μαθηματικού προγραμματισμού για κάθε DMU. 38

s Max h 0 = r=1 u r y rj0 m Μοντέλο (CCR) i=1 v i x ij0 Κάτω από s r=1 u r y rj m v i 1 για κάθε μονάδα j όπου j = 1,, i=1 x ij u r, v r 0 Οπου: o = η μονάδα προς αξιολόγηση j = 1,, πλήθος παραγωγικών μονάδων r = 1,, s αριθμός εκροών i = 1,, m αριθμός εισροών y rj = εκροή r της μονάδας j x ij = εισροή i της μονάδας j v i, u r συντελεστές για την εισροή i και την εκροή j που μεγιστοποιούν την αντικειμενική συνάρτηση της μονάδας προς αξιολόγηση Η σχετική αποδοτικότητα κάθε μονάδας επιτυγχάνεται θεωρώντας στο πρόβλημα CCR τους συντελεστές vi, ur σαν μεταβλητές και μεγιστοποιώντας την αποδοτικότητα του DMUo κάτω από τον περιορισμό ότι κανένα DMU με το ίδιο σύνολο συντελεστών βαρύτητας δεν θα έχει αποδοτικότητα μεγαλύτερη από το την μονάδα. Το μοντέλο CCR μπορεί να μετατραπεί σε γραμμικό πρόβλημα (Chares, Cooper 1962) θέτωντας τον παρονομαστή ίσο με κάποια σταθερά και μεγιστοποιώντας τον αριθμητή. Ετσι χρησιμοποιώντας τους πιο κάτω μετασχηματισμούς : v j = tv j j = 1, m εισροές u r = tμ r r = 1,, s εκροές t > 0 39

m v i x io = 1 σταθμικό άθροισμα των εισροών ισούται με την μονάδα i=1 Προκύπτει το ακόλουθο ισοδύναμο γραμμικό πρόβλημα, το οποίο περιορίζει το σταθμικό άθροισμα των εισροών να είναι μονάδα και μεγιστοποιεί τις εκροές του. Max Y o = μ r y ro s r=1 μεγιστοποίηση σταθμισμένου αθροίσματος εκροών Κάτω από m v i x io = 1 (1) i=1 s m r=1 μ r y rj i=1 v i x ij 0, j = 1,, (2) μ i, v i 0, i = 1,, m r = 1,, s Το προηγούμενο πρόβλημα έχει το αντίστοιχο δυικό του, το οποίο προσφέρει επιπρόσθετες χρήσεις και ερμηνείες. Ετσι στο περιορισμό (1) αντιστοιχεί η μεταβλητή Θ0, χωρίς περιορισμό στο πρόσημο, και στον περιορισμό (2) αντιστοιχεί η μεταβλητή λ j 0. Πρόκυπτει, κατ αυτόν τον τρόπο, το ακόλουθο δυικό πρόβλημα, που ψάχνει τιμές λ j για να κατασκευάσει ένα σύνθετο DMU με εισροές λ j x ij (i = 1,, m) και εκροές λ j y rj (r = 1,, s) το οποίο να υπερέχει του υπό αξιολόγηση DMU0. Δυικό Μοντελο: Mi Θ ο Κάτω από λ j y rj y ro, r = 1,, s x io Θ ο x ij λ j 0, i = 1,, m 40

λ j 0, Θ ο χωρίς περιορισμό Το προηγούμενο πρόβλημα εκτιμά την οριακή αποδοτικότητα. Δηλαδή, ένα DMU μπορεί να ανήκει στο σύνορο αποδοτικότητας χωρίς να είναι αποδοτικό κατά Pareto, εφόσον είναι δυνατό να χρησιμοποιεί εισροές ή εκροές, περισσότερες ή λιγότερες απ οτι χρειάζεται. Η δυσκολία αυτή αντιμετωπίστηκε από το Chares το 1979 με την εισαγωγή αυστηρά θετικών περιορισμών των μεταβλητών στο μοντέλο (CCR), u i ε, v i ε όπου ε ένας πολύ μικρός θετικό αριθμός (π.χ 10 6 ). Με τους νέους περιορισμούς και την χρήση των προηγούμενων μετασχηματισμών διατυπώνεται το ακόλουθο ζεύγος δυικών προβλημάτων: Max Y o = μ r y ro Κάτω από s r=1 m v i x io i=1 = 1 (CCR p I) s m μ r y rj v i x ij r=1 i=1 0, j = 1,, μ r ε, v i ε, ε > 0, i = 1,, m, r = 1,, s m s Mi Z 0 = Θ ο ε( s i + s r + ) Κάτω από r=1 λ j y rj s r + = y ro, r = 1,, s (CCR p I) x io Θ ο x ij λ j s i 0, i = 1,, m 41