ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Κεραίες-Ραδιοζεύξεις-Ραντάρ Ενότητα: Κεραίες Σαββαΐδης Στυλιανός Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε.
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
1.1. Εξισώσεις Maxwell... 5 1.. Νόμος του Gauss για το Ηλεκτρικό πεδίο.... 5 1..1 Νόμος του Gauss για το Μαγνητικό Πεδίο... 5 1.. Νόμος του Ampere... 6 1..3 Νόμος της Επαγωγής... 6 1.3. Αρμονικά Μεταβαλλόμενα Πεδία... 6 1.4. Γενικά Χαρακτηριστικά των Κεραιών... 8 1.4.1 Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο «Τυχαίας» Κεραίας... 8 1.4.1.1 Παράδειγμα Συνολική Ακτινοβολούμενη Ισχύς... 1 1.4.1.. Παράδειγμα Ισοτροπικός Ακτινοβολητής... 13 1.4. Διάγραμμα Έντασης Πεδίου... 13 1.4.3 Πόλωση Πεδίου... 16 1.4.3.1 Παράδειγμα Συντελεστής Απωλειών Πόλωσης Γραμμικά Πολωμένων Κεραιών... 0 1.4.3. Παράδειγμα Συντελεστής Απωλειών Πόλωσης Κυκλικά Πολωμένων Κεραιών... 1 1.4.4 Διάγραμμα Ισχύος... 1.4.5 Εμβαδόν Δέσμης... 3 1.4.6 Κατευθυντικότητα... 5 1.4.6.1 Παράδειγμα Κατευθυντικότητα Κεραίας και Ακτινοβολούμενη Ισχύς. 6 1.4.6. Παράδειγμα Κατευθυντικότητα Κεραίας και Ακτινοβολούμενη Ισχύς. 6 1.4.7 Κέρδος... 7 1.4.7.1 Παράδειγμα Κέρδος Κεραίας και Ακτινοβολούμενη Ισχύς.... 7 1.4.8 Η Κεραία ως Κυκλωματικό Στοιχείο... 8 1.4.8.1 Κεραία Πομπός... 8 1.4.8. Κεραία Δέκτης... 9 1.4.8.3 Θεώρημα Αμοιβαιότητας ή Αντιστοιχίας... 30 1.4.8.4 Ιδία Σύνθετη Αντίσταση... 3 1.4.8.5 Αμοιβαία Σύνθετη Αντίσταση... 33 1.4.8.6 Σύνθετες Αντιστάσεις Κεραίας Δέκτη... 35 1.4.8.6.1 Ισότητα Αμοιβαίων Σύνθετων Αντιστάσεων... 35 1.4.8.6. Ισότητα διαγράμματος ακτινοβολίας λήψης και εκπομπής... 36 3
1.4.8.6.3 Ισότητα Ιδίας Σύνθετης Αντίστασης Εκπομπής και Λήψης... 36 1.4.8.7 Μετάδοση Ισχύος στο δέκτη... 37 1.4.9 Ενεργός Επιφάνεια... 37 1.4.9.1 Λαμβανόμενη ισχύς στον Δέκτη... 39 4
1.1. Εξισώσεις Maxwell Στα πλαίσια ενός γενικού ορισμού οι κεραίες μπορούν να προσδιοριστούν ώς ένα σύστημα που χρησιμοποιείται για την εκπομπή και τη λήψη ραδιοκυμάτων. Συνεπώς, ο υπολογισμός των ραδιοκυμάτων και κατ επέκταση η ανάλυση μιας οποιασδήποτε κεραίας βασίζεται στις γνωστές εξισώσεις Maxwell για τα Ηλεκτρομαγνητικά Πεδία (ΗΜ). Οι εξισώσεις που συστηματοποίησε ο Maxwell, συνδέουν την ύπαρξη ΗΜ πεδίων με την ύπαρξη αντίστοιχων πηγών και περιγράφονται ακολούθως. 1.. Νόμος του Gauss για το Ηλεκτρικό πεδίο. Αν θεωρηθεί κλειστή επιφάνεια S που περικλείει φορτίο q και D =ε E είναι το διάνυσμα της Διηλεκτρικής Μετατόπισης στην επιφάνεια S, τότε ισχύει η ακόλουθη D σχέση ds = q μεταξύ των προαναφερόμενων μεγεθών: S (1.1) όπου με ε δηλώνεται η διηλεκτρική επιτρεπτότητα του χώρου και με E η ένταση του Ηλεκτρικού Πεδίου. Ο Ν. Gauss για το Ηλεκτρικό Πεδίο γράφεται ισοδύναμα, σε σημειακή μορφή, συνδέοντας την Διηλεκτρική Μετατόπιση D σε ένα σημείο με την πυκνότητα του φορτίου σε αυτό το σημείο, ώς εξής: D = ρ (1.) Ο Ν.Gauss επιβεβαιώνει την ύπαρξη Ηλεκτρικού Πεδίου που οφείλεται στην παρουσία στατικών φορτίων. Μάλιστα, στη στατική περίπτωση, το Ηλεκτρικό Πεδίο υπάρχει ανεξάρτητα από το Μαγνητικό, όπως υποδεικνύει η απουσία της Μαγνητικής Επαγωγής B ή της έντασης του Μαγνητικού Πεδίου H στις προαναφερόμενες εξισώσεις. 1..1 Νόμος του Gauss για το Μαγνητικό Πεδίο Αν θεωρηθεί κλειστή επιφάνεια S και B =μ H είναι το διάνυσμα της Μαγνητικής B dsεπαγωγής =0 στην επιφάνεια S, τότε ισχύει η ακόλουθη σχέση: S (1.3) όπου με μ δηλώνεται η μαγνητική διαπερατότητα χώρου και με H ή ένταση του Μαγνητικού Πεδίου. Η ισοδύναμη σημειακή διατύπωση του Ν. Gauss για το Μαγνητικό Πεδίο είναι η ακόλουθη: B =0 (1.4) Ο Ν.Gauss επιβεβαιώνει την ύπαρξη (στατικού) Μαγνητικού Πεδίου, που οφείλεται στην παρουσία μαγνητικών δίπολων. Η έννοια του δίπολου αποκλείει την ύπαρξη «μαγνητικού φορτίου» με πολικότητα, και για αυτό το λόγο το δεξιό τμήμα της εξίσωσης, είναι ίσο με το μηδέν (ενώ για το ηλεκτρικό πεδίο ισχύει ακριβώς το αντίθετο). Στη στατική περίπτωση, το Μαγνητικό Πεδίο υπάρχει ανεξάρτητα από το Ηλεκτρικό, όπως υποδεικνύει η απουσία της Διηλεκτρικής Μετατόπισης D ή της έντασης του Ηλεκτρικού Πεδίου E στις προαναφερόμενες εξισώσεις. 5
1.. Νόμος του Ampere Αν θεωρηθεί ανοικτή επιφάνεια S, που καταλήγει σε μια κλειστή γραμμή C, τότε ή ένταση του Μαγνητικού Πεδίου H πάνω στην κλειστή γραμμή C, το ρεύμα Ι που περικλείεται από την γραμμή C και η Διηλεκτρική Μετατόπιση D στην επιφάνεια S, συνδέονται με την ακόλουθη σχέση: H dl = I + D ds t C S Ο Ν. Ampere, στη σημειακή του μορφή, γράφεται ισοδύναμα: (1.5) D H = J + t (1.6) Ο Νόμος του Ampere επιβεβαιώνει ότι μια ρευματική κατανομή ή/και ένα χρονικά μεταβαλλόμενο Ηλεκτρικό Πεδίο δημιουργούν Μαγνητικό Πεδίο. 1..3 Νόμος της Επαγωγής Αν θεωρηθεί ανοικτή επιφάνεια S, που καταλήγει σε μια κλειστή γραμμή C, τότε ή ένταση του Ηλεκτρικού Πεδίου E πάνω στην κλειστή γραμμή C, και η Μαγνητική Επαγωγή B στην επιφάνεια S, συνδέονται με την σχέση: C E' dl = t S B'dS είτε με την ισοδύναμη σημειακή εκδοχή της: (1.7) B E = t (1.8) Ο Νόμος της Μαγνητικής Επαγωγής επιβεβαιώνει, ότι ένα χρονικά μεταβαλλόμενο Μαγνητικό Πεδίο δημιουργεί Ηλεκτρικό Πεδίο. Αξίζει να σημειωθεί, ότι τα πεδιακά μεγέθη E, D, H, B καθώς και οι κατανομές των πηγών ρ, J αποτελούν, στην γενικότερη περίπτωση, συναρτήσεις του χώρου και του χρόνου π.χ. E = E ( x,y,z,t ). Οι προαναφερόμενες εξισώσεις, μπορούν να χρησιμοποιηθούν στη μελέτη των κεραιών, αν ληφθεί υπόψη, ότι οι κεραίες αποτελούν αγώγιμες διατάξεις, που διαρρέονται από χρονικά μεταβαλλόμενες ρευματικές κατανομές. Η διέγερση των κεραιών από χρονικά μεταβαλλόμενες ρευματικές κατανομές, σύμφωνα με τις εξισώσεις Maxwell, συναρτάται (είτε σαν αίτιο είτε σαν αποτέλεσμα) με την ύπαρξη χρονικά μεταβαλλόμενων και αλληλοεξαρτώμενων Ηλεκτρικών και Μαγνητικών Πεδίων. Προκειμένου, να συστηματοποιηθεί η μέθοδος υπολογισμού του ΗΜ Πεδίου μιας κεραίας, με βάση τις εξισώσεις Maxwell, θα εισαχθεί στην επόμενη ενότητα η έννοια του Βαθμωτού Δυναμικού Φ και του Διανυσματικού Δυναμικού A. 1.3. Αρμονικά Μεταβαλλόμενα Πεδία Σε μια κεραία, κατά κανόνα, κυκλοφορεί ρεύμα περιοδικής μορφής, και κατ επέκταση το παραγόμενο ηλεκτρομαγνητικό πεδίο είναι αρμονικό. Στα περισσότερα προβλήματα κεραιών η ζώνη συχνοτήτων είναι τόσο στενή, 6
ώστε να λαμβάνεται υπόψη μόνο μία συχνότητα f (αρμονική). Στην περίπτωση των διαμορφωμένων σημάτων η συχνότητα f συμπίπτει με τη φέρουσα. Αποδεχόμενοι αυτού του τύπου τη χρονική μεταβολή, τα υπολογιζόμενα πεδιακά μεγέθη θα έχουν την ακόλουθη γενική μορφή: j( ωt + θ ) Χ (x,y,z,t)=xo(x,y,z)συν[ωt+θ(x,y,z)]=re[xo(x,y,z) e ]=Re[Χ(x,y,z) jωt e ] (1.18) όπου Χο(x,y,z) είναι πραγματική jθ συνάρτηση και X ( x, y, z ) = X 0 ( x, y, z )e = X 0 ( x, y, z )συνθ + jx 0 ( x, y, z )ημθ (1.19) είναι μιγαδική συνάρτηση με πλάτος Χο και φάση θ. Υιοθετώντας τις εκφράσεις των σχέσεων (1.18)-(1.19), για τα πεδιακά μεγέθη και τις κατανομές πηγών, προκύπτουν οι ακόλουθες σχέσεις: E jωt ( x, y,z,t ) = Re[ E( x,y,z )e ] (1.0) D jωt ( x,y,z,t ) = Re[ D( x,y,z )e ] (1.1) H jωt ( x,y,z,t ) = Re[ H( x,y,z )e ] (1.) B jωt ( x,y,z,t ) = Re[ B( x,y,z )e ] (1.3) J jωt ( x,y,z,t ) = Re[ J( x,y,z )e ] (1.4) ρ jωt ( x,y,z,t ) = Re[ ρ( x,y,z )e ] (1.5) Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις (1.0-1.5) στις εξισώσεις (1.1-1.8), και εναλλάσσοντας τους τελεστές, t, με τον τελεστή Re, προκύπτουν εξισώσεις, όπου και στα δύο μέλη τους επικεφαλής βρίσκεται ο τελεστής Re. Δεδομένου ότι Α+jB=C+jD A=C, ο τελεστής Re μπορεί να απαλειφθεί. Ένα παράδειγμα της παραπάνω συλλογιστικής παρουσιάζεται για το νόμο του Ampere καθώς και για το χωρικό ολοκλήρωμα που εκφράζει το διανυσματικό δυναμικό. Ν. Ampere jωt D jωt jωt Re[ De ] H = J' + Re[ He ] = Re[ Je ] + t t jωt jωt jωt jωt jωt jωt Re[ ( He )] = Re[ Je + jωde ] ( He ) = Je + jωde jωt jωt e [ H ] = e [ J + jωd ] Αν εκτός από την απαλοιφή του τελεστή Re, παραλειφθεί και ο κοινός όρος jωt e, προκύπτει η απλοποιημένη έκφραση H = J + jωd (1.6) jω( t R / c ) jωt μ Re[ J( x',y',z' )e dv' Διανυσματικό Re[ A( x,y,zδυναμικό )e ] = A jω( t R / c ) jωt 4 = π μ J( x',y',z' R )e dv' Re[ A( x,y,z )e ] Re[ V jωr/ c ] jωt jωt μ J( = 4πx',y',z' )e R dv' e A( x,y,z ) e V 4π R V jωt Απαλείφοντας τον όρο e jkr μ J( x',y',z' )e dv' προκύπτει η ακόλουθη απλοποιημένη έκφραση A( x,y,z ) = 4π R V (1.7) όπου k=ω με =ω/c=π f c =π/λ είναι ο κυματικός αριθμός και λ το μήκος κύματος. Ακολουθώντας ανάλογο τρόπο υπολογισμού, καταλήγουμε στις ακόλουθες εκφράσεις για τις σημαντικότερες εξισώσεις της παρούσας ενότητας: Εξισώσεις Maxwell D = ρ, Β = 0, Ε = jωβ, Η = J + jωd (1.8) Δυναμικά Β = A, E = Φ jωa (1.9) k ω Συνθήκη A= Lorentz jωμεφ = j Φ Φ= j A ω k (1.30) 7
Σύμφωνα με τη συνθήκη Lorentz το βαθμωτό δυναμικό Φ μπορεί να εκφραστεί σαν συνάρτηση του A. Συνεπώς, είναι δυνατή η έκφραση του ΗΜ ω Πεδίου E αποκλειστικά = jωα j με ( τη A ), χρήση B = του A Διανυσματικού Δυναμικού A : k (1.31) Ταυτόχρονα η κυματική εξίσωση (1.15), για αρμονική χρονική μεταβολή, καταλήγει στη γνωστή μη ομογενή εξίσωση Helmholtz A+ k A= μj (1.3) Η γενική της λύση της κυματικής εξίσωσης (1.3) έχει ήδη υπολογιστεί στην εξίσωση (1.7). 1.4. Γενικά Χαρακτηριστικά των Κεραιών 1.4.1 Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο «Τυχαίας» Κεραίας Ο χώρος που περιβάλλει μια κεραία μπορεί να χωρισθεί σε ζώνες που αντανακλούν την τροποποίηση των χαρακτηριστικών του ΗΜ κύματος καθώς αυτό απόμακρύνεται από την κεράια. Η περιοχή κοντά στην κεραία ονομάζεται ζώνη Κοντινού ή Εγγύς Πεδίου (near field region). Σε αυτή την περιοχή το πεδίο παρουσιάζει επαγωγικά χαρακτηριστικά και η γωνιακή (θ,φ) κατανομή του εξαρτάται από την απόσταση (R) από την κεραία. Η επαγωγική φύση του πεδίου έχει σαν αποτέλεσμα τον εγλωβισμό-αποθήκευση ενέργειας στο χώρο γύρω από την κεραία. Μάλιστα, ανάλογα με το εάν κυριαρχεί το πεδίο επαγωγής ή το πεδίο ακτινοβολίας, η ζώνη του κοντινού πεδίου μπορεί να αναλυθεί σε ζώνη Κοντινού Πεδίου Επαγωγής (Reactive near-field region) ή σε ζώνη Κοντινού Πεδίου Ακτινοβολίας (Fresnel-Radiating near-field region), αντίστοιχα. Η περιοχή σε μεγάλη απόσταση από την κεραία ονομάζεται ζώνη Fraunhofer ή Μακρινού Πεδίου (far field region). Σε αυτή την περιοχή το πεδίο παρουσιάζει χαρακτηριστικά καθαρής ακτινοβολίας, η γωνιακή (θ,φ) κατανομή του δεν εξαρτάται από την απόσταση (R) και η ακτινική συνιστώσα του είναι αμελητέα έναντι των εγκάρσιων. Τα όρια μεταξύ των προαναφερόμενων περιοχών διαφέρουν ανάλογα με τον τύπο της κεραίας. Μια χονδρική προσέγγιση, που είναι αρκετά ακριβής στις περισσότερες περιπτώσεις, είναι η ακόλουθη: 3 R<0, 6 D λ Ζώνη Κοντινού Πεδίου Επαγωγής, για αποστάσεις, όπου με D δηλώνεται η μέγιστη διάσταση της κεραίας. 3 0, 6 D λ R< D λ Ζώνη Κοντινού Πεδίου Ακτινοβολίας, για αποστάσεις. Ζώνη Μακρινού Πεδίου, για αποστάσεις R D λ. Στην πράξη, το Μακρινό Πεδίο παρουσιάζειι το μεγαλύτερο ενδιαφέρον π.χ. σε μια ζεύξη ο δέκτης βρίσκεται στο μακρινό πεδίο της κεραίας-πομπού. Άμεση συνέπεια του περιορισμού των υπολογισμών στη ζώνη του Μακρινού Πεδίου, είναι η δυνατότητα χρήσης προσεγγιστικών παραδοχών που μειώνουν σημαντικά την υπολογιστική πολυπλοκότητα. Για παράδειγμα, ο βασικός τύπος υπολογισμού (1.7), για το Διανυσματικό Δυναμικό A, μπορεί να απλοποιηθεί περαιτέρω. Η απλοποίηση αναφέρεται στην τυχαία γεωμετρία του Σχήματος 1., όπου η τοποθέτηση του σημείου υπολογισμού Ρ(r,θ,φ) στη ζώνη του Μακρινού Πεδίου, επιτρέπει τις ακόλουθες παραδοχές: 8
Οι διαφορές στις ακτινικές αποστάσεις R και r μπορούν να θεωρηθούν αμελητέες σε ότι αφορά το πλάτος του υπολογιζόμενου μεγέθους δηλ. 1/R 1/r. Οι πεδιακές συνιστώσες οι οποίες εξασθενούν ταχύτερα του 1/r (πχ. 1/ r, 1/ r 3 κ.ο.κ) θεωρούνται αμελητέες συγκριτικά με αυτές που εξασθενούν ανάλογα του 1/r. Συνεπώς, στους υπολογισμούς που αφορούν στο μακρινό πεδίο, μπορούν να αμεληθούν οι όροι που εξασθενούν ταχύτερα του 1/r, χωρίς να εισάγεται σημαντικό σφάλμα. Οι ευθείες που ενώνουν τις θέσεις (r,θ,φ ) των στοιχειωδών ρευματικών κατανομών και το μακρινό σημείο υπολογισμού Ρ(r,θ,φ) μπορούν να θεωρηθούν παράλληλες μεταξύ τους και επομένως θ1 θ. Οι διαφορές μεταξύ των ακτινικών αποστάσεων R και r, αν και αμελητέες ως προς το πλάτος, υπολογίζονται με μεγαλύτερη ακρίβεια σε ότι αφορά τη jkr τιμή της φάσης e. Σύμφωνα με το Σχήμα 1., μια ικανοποιητική προσέγγιση δίνεται από τη σχέση R r r' συνψ Γενικά η γωνία ψ δεν είναι ίση με θ-θ διότι οι διευθύνσεις z, r, r δεν είναι κατ ανάγκη ομοεπίπεδες. Η γενική σχέση ορισμού της γωνίας ψ είναι η ακόλουθη: συνψ=συνθσυνθ +ημθημθ συν(φ-φ ) z θ1 JdV R (r, θ, φ P(r, θ, φ) θ θ ψ r r O jkr jkr μe jkr'συνψ μe A( x,y,z ) = J( r',θ,φ' )e dv' = Ν( θ,φ ) 4πr 4πr V Σύμφωνα με τις παραδοχές, για το μακρινό πεδίο, η έκφραση του jkr Διανυσματικού Δυναμικού μe = [ rˆn ( A θ,φ τροποποιείται ) θˆn ( θ,φ ) φˆ Nως ( εξής: r + θ + φ θ,φ )] 4πr (1.33) όπου με Ν( θ,φ ) jkr'συνψ Ν( θ,φ ) = J( r' δηλώνεται,θ,φ' )e το dv' Διάνυσμα Ακτινοβολίας V (1.34) Σύμφωνα με την σχέση (1.9) η ένταση του Μαγνητικού Πεδίου εκφράζεται σαν συνάρτηση H = 1 1 rˆ Αθ Ατου = Διανυσματικού Δυναμικού A : + μ + 1 θˆ 1 Αr ( Αφημθ ) ( raφ ) 1 φˆ μ rημθ Α r θ φ μ r ημθ φ r + ( rαθ ) μ r r θ (1.35) 9
Τέλος, η ένταση του Ηλεκτρικού Πεδίου εκφράζεται, από την 3η από τις εξισώσεις (1.8), σαν συνάρτηση του H, εάν θεωρηθεί ότι στο μακρινό πεδίο δεν υπάρχουν E = 1 πηγές. Η jωε (1.36) Ο συνδυασμός των εξισώσεων (1.33) και (1.35), αποδεικνύει ότι η ακτινική συνιστώσα του H μεταβάλλεται ανάλογα του 1 r και επομένως μπορεί να θεωρηθεί αμελητέα. Μπορεί, επίσης, να δειχθεί ότι από τις θˆ και φˆ συνιστώσες, θˆ ( raοι όροι φˆ φ ) ( raθ ) r r και r r μεταβάλλονται ανάλογα του 1 r, ενώ οι υπόλοιποι ανάλογα του 1 r και επίσης μπορούν να αμεληθούν. Υπό αυτές τις προϋποθέσεις, οι μη αμελητέες συνιστώσες του H στο 1 jk jkr Μακρινό H θπεδίο ( r,θ,φ έχουν ) ως ( rα εξής: φ ) = e N φ( θ,φ ) 1μr r 4jk πr jkr H φ( r,θ,φ ) ( rαθ ) = e Nθ ( θ,φ ) (1.37) μr r 4πr jkr jkr (1.38) όπου e r = jke. Οι ομοιότητες των εξισώσεων (1.35) και (1.36), επιτρέπουν τον απευθείας υπολογισμό των συνιστωσών του E, από τις εξισώσεις (1.37) και (1.38), εάν Εφ/ζ=-Ηθ Ηφ φ Ηθ Η Ε/ζ Εθ/ζ=-Ηθ θ Σχήμα 1.3. Μακρινό Πεδίο Ακτινοβολίας Τυχαίας Κεραίας. 1 αντικατασταθούν τα μ, A jωμ με τα jωε και H jkr E θ ( r,θ,φ ) ( rη φ ) = e αντίστοιχα. N θ ( θ,φ ) = ζη 1 φ jωεr r jωμ 4πr jkr Εφ( r,θ,φ ) ( rη θ ) = e N φ( θ,φ ) = ζη θ (1.39) jωεr r 4πr (1.40) μ ε όπου ζ= είναι η αντίσταση του περιβάλλοντος χώρου. Οι απλές γραμμικές σχέσεις (1.39) και (1.40), μεταξύ των συνιστωσών του Ηλεκτρικού και του Μαγνητικού Πεδίου, επιβεβαιώνουν ότι τα διανύσματα του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου είναι σε κάθε περίπτωση κάθετα μεταξύ τους (Σχήμα 1.3). Ένα εξίσου σημαντικό μέγεθος για τις διατάξεις κεραιών, είναι η ακτινοβολούμενη ισχύς. Το μέτρο και η διεύθυνση της ροής ισχύος ανά μονάδα επιφανείας (Watt/m) δίνεται από το Διάνυσμα Poynting S = E H (1.41) Εφόσον, τα πεδιακά μεγέθη E, H μεταβάλλονται αρμονικά με το χρόνο jωt ( e ), το ίδιο θα συμβαίνει και με το Διάνυσμα Poynting. Επομένως, η σχέση 10
(1.41) εκφράζει τη ροή της ισχύος σε μία δεδομένη χρονική στιγμή και δεν είναι ιδιαίτερα χρήσιμη από πρακτική άποψη. Για πρακτικούς υπολογισμούς χρησιμοποιείται η Μέση Ροή Ισχύος S av, η οποία δίνεται από την ακόλουθη σχέση: E H S av = (1.4) E όπου τα και H, είναι μέγιστες τιμές αρμονικά μεταβαλλόμενων E μεγεθών H και κατ επέκταση οι ενεργές τιμές (rms) τους είναι και, αντίστοιχα. Η Μέση Ακτινοβολούμενη Ισχύς P av, δίνεται από το πραγματικό μέρος (Re) E H P av = Re του μιγαδικού διανύσματος Poynting (1.43) Σημείωση: Το φανταστικό μέρος του διανύσματος Poynting αντιπροσωπεύει άεργο ισχύ δηλ. ισχύ που παραμένει «στάσιμη» και υπό αυτή την έννοια αποθηκεύεται στο χώρο. Η ενέργεια αυτή ταλαντώνεται από ηλεκτρική σε μαγνητική και αντίστροφα, χωρίς να ακτινοβολείται. Στο μακρινό πεδίο, η άεργος ισχύς είναι μηδενική και το διάνυσμα Poynting έχει μόνο πραγματικό μέρος. Αντίθετα, κοντά και γύρω από την κεραία, παρατηρούνται φαινόμενα αποθήκευσης ενέργειας και το διάνυσμα Poynting παρουσιάζει φανταστικό μέρος. Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις (1.37-1.40) στην (1.43), προκύπτει η έκφραση της Μέσης Ακτινοβολούμενης Ισχύος, στο Mακρινό Πεδίο της κεραίας. 1 * * rˆ * P av = Re[ ( Eθ θˆ + Εφφˆ ) ( Η θ θˆ + Η φˆ )] = Re[ E θ Η φ Ε φ Η θ ] = φ ζ ζ Ε * ζk = [ Η φη φ + Η θ Η θ ] rˆ = Η rˆ = rˆ = Nθ Ν φ rˆ ζ + 3π r (1.44) Όπως είναι προφανές, από την παραπάνω εξίσωση, η ακτινοβολούμενη ισχύς διαδίδεται ακτινικά, είναι αντίστροφα ανάλογη του τετραγώνου της αποστάσεως και γενικά εξαρτάται από την κατεύθυνση (θ,φ) υπολογισμού. Η τελευταία επισήμανση επιβεβαιώνει την ανεξαρτησία της γωνιακή κατανομή των πεδιακών μεγεθών -στη ζώνη του Μακρινού Πεδίου- από την απόσταση r. Εφόσον, για οποιοδήποτε σύστημα κεραιών, η εξάρτηση από την απόσταση r είναι σταθερά ανάλογη του 1 r, η σύγκριση και η αποτίμηση διαφορετικών συστημάτων διευκολύνεται από την εισαγωγή ενός μεγέθους, που δεν θα περιλαμβάνει την απόσταση r ή ισοδύναμα θα αναπαριστά την ακτινοβολούμενη ισχύ για σταθερή απόσταση r. Το μέγεθος που περιγράφει τη ροή ισχύος ανά μονάδα στερεάς γωνίας (στερακτίνιο (sr) ή rad) ζk ζ ονομάζεται U( θ,φ ) = Ένταση r Pav = Ακτινοβολίας N + U(θ) = + θ Ν φ N θ Ν φ 3π 8λ (Watt/rad)(1.45) Η συνολικά π π ακτινοβολούμενη π π π πισχύς μιας πκεραίας, π δίνεται από την ακόλουθη σχέση Wακ = PavdS = Pavr dω = U( θ,φ )dω = U( θ,φ )ημθdθdφ 0 0 0 0 0 0 0 0 (1.46) όπου το στοιχειώδες εμβαδό σφαιρικής επιφάνειας ds και η στερεά γωνία dω, που του αντιστοιχεί είναι: ds=rημθdθdφ=rdω (m) (1.47) dω=ημθdθdφ (sr) (1.48) Σημείωση: Το ακτίνιο (rad) είναι η επίπεδη γωνία με κορυφή το κέντρο ενός κύκλου ακτίνας r, η οποία αντιστοιχεί σε τόξο μήκους r. Εφόσον, η περιφέρεια 11
ενός κύκλου ακτίνας r είναι ίση με πr, η γωνία που αντιστοιχεί σε ένα πλήρες κύκλο είναι ίση με π (=πr/r) ακτίνια (rad). Αντίστοιχα, τo στερακτίνιο (sr ή rad) είναι η στερεά γωνία με κορυφή το κέντρο σφαίρας ακτίνας r, η οποία αντιστοιχεί σε σφαιρική επιφάνεια ίση με r. Εφόσον, η επιφάνεια μιας σφαίρας ακτίνας r είναι ίση με 4πr, η στερεά γωνία που αντιστοιχεί σε μια σφαίρα είναι ίση με 4π (=4πr/r) στερακτίνια (sr ή rad). 1.4.1.1 Παράδειγμα Συνολική Ακτινοβολούμενη Ισχύς Έστω κεραία με Μέση Ακτινοβολούμενη Ισχύ, η οποία περιγράφεται από την ακόλουθη σχέση: ημθ Pav = Po rˆ r (Watt/m) όπου Po είναι το πλάτος της ακτινοβολούμενης ισχύος, (r,θ) είναι οι συνήθεις μεταβλητές του σφαιρικού συστήματος συντεταγμένων και τέλος rˆ το αντίστοιχο μοναδιαίο ακτινικό διάνυσμα. Συνοψίζοντας τα χαρακτηριστικά της κεραίας του παραδείγματος προκύπτει ότι η ακτινοβολούμενη ισχύς: α) διαδίδεται ακτινικά ( rˆ ). β) εξασθενεί με ρυθμό 1/r καθώς το κύμα οδεύει απομακρυνόμενο από την κεραία. γ) είναι ομοιόμορφη για διευθύνσεις (θ=σταθερό, φ=μεταβλητό). δ) είναι ανομοιόμορφη (ημθ) για διευθύνσεις (θ=μεταβλητό, φ=σταθερό) Η Ένταση Ακτινοβολίας U(θ,φ) της κεραίας υπολογίζεται από τη σχέση (1.45) ημθ U( θ,φ ) = r Pav = r Po = Po ημθ r (Watt/sr) Η συνολικά Ακτινοβολούμενη ισχύς δίνεται από τη σχέση (1.46) π π Wακ = 0 0 π π π π ημθ 0 0 0 0 r π π π Po dφ ημ θdθ = Po π = π Po 0 0 PavdS = Pavr ημθdθdφ= Po r ημθdθdφ= = (Watt) π π Po ημ θdθdφ 0 0 Προφανώς το αποτέλεσμα θα ήταν ταυτόσημο εάν η προς ολοκλήρωση ποσότητα αφορούσε στην Ένταση Ακτινοβολίας U(θ,φ) Wακ π π = U( θ,φ )dω = 0 0 Σημείωση: Το αποτέλεσμα της ολοκλήρωσης I = π π U( θ,φ )ημθdθdφ 0 0 π ημ θdθ 0 βασίζεται στην γνωστή τριγωνομετρική σχέση 1 συνθ ημ θ = που τροποποιεί την ολοκληρωτέα παράσταση ως εξής 1
π π π π π π 1 συνθ 1 1 συνθ 1 1 συνθ I = ημ θdθ = dθ = dθ d( θ ) = dθ dθ 0 0 0 0 0 0 1 π 1 [ θ] [ ημθ ] 0 = π π 0 = 4 1.4.1.. Παράδειγμα Ισοτροπικός Ακτινοβολητής Ο ισοτροπικός ακτινοβολητής αποτελεί μια ιδεατή κεραία (ανέφικτη πρακτικά) που ακτινοβολεί ομοιόμορφα στον χώρο. Επομένως, για τον ισοτροπικό ακτινοβολητή το Διάνυσμα Poynting δεν θα εξαρτάται από τις μεταβλητές (θ,φ) παρά μόνο από την ακτινική απόσταση r i Pav = Po ( r )rˆ Συνεπώς, η συνολική ακτινοβολούμενη ισχύς υπολογίζεται από τη σχέση (1.46) π π π π π π W P ds P io i i π ακ = av = r ημθdθdφ= Po r ημθdθ dφ= Po r [ συνθ] ο π 0 0 0 0 0 0 i i = Po r π = 4πr Po Ισοδύναμα, η προηγούμενη σχέση μπορεί να επαναδιατυπωθεί έτσι ώστε να εκφραστεί το Διάνυσμα Poynting σαν συνάρτηση της συνολικής ακτινοβολούμενης ισχύος i Wακ Pav = Po ( r )rˆ = rˆ 4πr 1.4. Διάγραμμα Έντασης Πεδίου Όπως είναι φανερό, από τη μελέτη που προηγήθηκε, το πεδίο ακτινοβολίας μιας τυχαίας κεραίας διαφοροποιείται σημαντικά ανάλογα με την κατεύθυνση ακτινοβολίας (θ,φ). Ο τρόπος με τον οποίο ακτινοβολεί μια κεραία στο χώρο, περιγράφεται από τα λεγόμενα διαγράμματα ακτινοβολίας. Ανάλογα με το πεδιακό μέγεθος, που κάθε φορά αναπαρίσταται, τα διαγράμματα ακτινοβολίας διακρίνονται σε Διαγράμματα Πεδίου (εξετάζεται στην παρούσα ενότητα) και Ισχύος (εξετάζεται στην ενότητα 1.4.4.). Σύμφωνα με τις σχέσεις (1.37-1.40), η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου E, συνδέεται με μια απλή γραμμική σχέση με την ένταση του μαγνητικού πεδίου H. Επομένως, ο πλήρης καθορισμός του ΗΜ πεδίου είναι εφικτός, εφόσον ένα από τα δύο πεδιακά μεγέθη υπολογιστεί. Στην πράξη, έχει επικρατήσει να υπολογίζεται το Ηλεκτρικό Πεδίο E και σε αυτό αναφέρονται τα διαγράμματα πεδίου. Η μεταβολή της έντασης του Ηλεκτρικού Πεδίου E είναι αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης r για όλους τους τύπους κεραιών. Εύλογα, λοιπόν, το ενδιαφέρον περιορίζεται στη μελέτη της γωνιακής μεταβολής (θ,φ) της έντασης του Ηλεκτρικού Πεδίου E. Συνεπώς, ως Διάγραμμα Πεδίου, καλείται η αναπαράσταση της μεταβολής της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου σε μια σταθερή ακτίνα r σαν συνάρτηση της διεύθυνσης (θ,φ). 13
Στην πλέον γενική περίπτωση, το Ηλεκτρικό Πεδίο έχει δύο συνιστώσες (Εθ, Εφ) και διαδίδεται ακτινικά, δηλ. κάθετα πρός το επίπεδο που ορίζουν οι συνιστώσες Εθ και Εφ. Παρουσιάζοντας πληροφορίες που αφορούν το μακρινό πεδίο μιας κεραίας, έχει επικρατήσει να δίνονται τα Διαγράμματα Πεδίου, ξεχωριστά για τις δύο συνιστώσες Εθ και Εφ. Με τη γνώση των επιμέρους συνιστωσών, μπορεί να υπολογισθεί εύκολα το συνολικό Ηλεκτρικό Πεδίο E όπου E = E θ ( 1 r) F (θ,φ ), Ε = ( r) + Ε φ 1 = F( θ,φ ) r Eθ = 1 φ 1 F(θ,φ ), F( θ,φ) = F 1(θ,φ) + F(θ,φ ) (1.49). Σύμφωνα με τα προαναφερθέντα, τα Διαγράμματα Πεδίου αφορούν στην F ( θ,φ ) re ( θ,φ ) αναπαράσταση της μεταβολής των συναρτήσεων 1 = θ και F ( θ,φ ) = reφ ( θ,φ ). Όταν η ένταση του πεδίου υπολογίζεται σε απόλυτες τιμές και εκφράζεται σε Volts/m, τότε προκύπτει το λεγόμενο Απόλυτο Διάγραμμα Πεδίου. Όταν η ένταση του πεδίου εκφράζεται συγκριτικά με κάποια διεύθυνση (συνήθως τη διεύθυνση μέγιστης έντασης), τότε προκύπτει το Σχετικό ή Ανηγμένο Διάγραμμα Πεδίου Eθ Eφ Εθmax Εφmax, Ο πλήρης καθορισμός του πεδίου προϋποθέτει εκτός από τον προσδιορισμό του μέτρου του και τη γνώση της διεύθυνσης του (δηλ. της πόλωσης, η οποία εξετάζεται στην ενότητα 1.4.3.). Υπενθυμίζεται, επίσης, ότι σύμφωνα και με τα λεγόμενα της ενότητας 1. τα προαναφερόμενα πεδιακά μεγέθη είναι μιγαδικές συναρτήσεις με πλάτος και φάση. Εφόσον υπολογιστούν τα πλάτη και οι φάσεις των πεδίων, σαν συνάρτηση των (θ,φ), ή η διαφορά φάσης μεταξύ των δύο συνιστωσών Εθ και Εφ, τότε είναι δυνατή η αναπαράσταση τόσο του μέτρου όσο και της διεύθυνσης του Ηλεκτρικού Πεδίου. 14
Όπως είναι προφανές το πλήρες διάγραμμα πεδίου, είναι ένα τρισδιάστατο διάγραμμα (Σχήμα 1.4.(α)). Παρόλο, που μερικές φορές είναι αναγκαία τα λεπτομερή τρισδιάστατα διαγράμματα, στην πράξη χρησιμοποιούνται λιγότερα. Για παράδειγμα, αν θεωρήσουμε μια κατευθυντική κεραία, η οποία συγκεντρώνει τον κύριο όγκο της ακτινοβολίας σε μια διεύθυνση, τότε ένα ή δύο διαγράμματα για κάθε συνιστώσα (Εθ ή Εφ) μπορούν να είναι αρκετά, όπως φαίνεται και στο Σχήμα 1.4 (β). Ο γενικός κανόνας είναι να αναπαρίστανται, τα διαγράμματα σε τουλάχιστον δύο επίπεδα, τα οποία διχοτομούν την κύρια δέσμη. Τα επίπεδα αυτά διαγράμματα πεδίου ονομάζονται Διαγράμματα Πρωτευόντων Επιπέδων. Τα Διαγράμματα Πρωτευόντων Επιπέδων συνήθως αναφέρονται σαν διαγράμματα του Ε- και Η- επίπεδου. Το Ε (Η)-επίπεδο ορίζεται έτσι ώστε να περιέχει το διάνυσμα του Ηλεκτρικού (Μαγνητικού) Πεδίου και την κατεύθυνση της μέγιστης ακτινοβολίας. Από τη σκοπιά της γεωμετρίας τα Ε- και Η- επίπεδα αφορούν σημεία με φ=σταθερό και 0 θ π είτε σημεία με θ=σταθερό και 0 φ π. Το επίπεδο όπου το φ=σταθερό συνηθίζεται να καλείται κατακόρυφο επίπεδο (elevation plane) ενώ το επίπεδο θ=σταθερό οριζόντιο ή αζιμουθιακό (azimuth plane). Για παράδειγμα, στην περίπτωση του Σχήματος 1.4. (β) η ακτινοβολία της κεραίας είναι ομοιόμορφη ως προς τη μεταβλητή φ και ανομοιόμορφη ως προς τη μεταβλητή θ. Η διεύθυνση μέγιστης ακτινοβολίας είναι η θ=π/, εώ η ελάχιστη η θ=0, π. Σε αυτή την περίπτωση δύο μόνο Διαγράμματα Πεδίου περιγράφουν επαρκώς την ακτινοβολία της κεραίας. Συγκεκριμένα, το Ε- επίπεδο ταυτίζεται με το κατακόρυφο επίπεδο (elevation plane) για φ=π/ περιλαμβάνοντας το διάνυσμα του Ηλεκτρικού Πεδίου (προφανώς Εθ) και την κατεύθυνση μέγιστης ακτινοβολίας. Το Η-επίπεδο ταυτίζεται με το αζιμουθιακό επίπεδο (azimuth plane) για θ=π/ περιλαμβάνοντας το διάνυσμα του Μαγνητικού Πεδίου (προφανώς Ηφ) και την κατεύθυνση μέγιστης ακτινοβολίας. 15
1.4.3 Πόλωση Πεδίου Μια σημαντική ιδιότητα του ΗΜ πεδίου που ακτινοβολείται από μια κεραία είναι η πόλωση του δηλ. ο προσανατολισμός του διανύσματος της έντασης των πεδιακών μεγεθών E, H. Όπως είναι γνωστό, τα προαναφερόμενα διανύσματα είναι κάθετα μεταξύ τους. Επομένως, η γνώση του προσανατολισμού ενός, αρκεί για να καθοριστεί ο προσανατολισμός του άλλου. Στην πράξη, όταν μιλάμε για την πόλωση του ΗΜ κύματος που ακτινοβολεί η κεραία ή ισοδύναμα για πόλωση της κεραίας, έχει επικρατήσει να αναφερόμαστε στον προσανατολισμό του διανύσματος της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου E. Ο προσανατολισμός E μεταβάλλεται για διαφορετικές κατευθύνσεις ακτινοβολίας. Για παράδειγμα, εάν το πεδίο ακτινοβολίας περιέχει μια συνιστώσα π.χ. Εθ, τότε ο προσανατολισμός του διανύσματος της ένασης του Ηλεκτρικού Πεδίου μεταβάλλεται για διευθύνσεις με διαφορετικό θ, ακολουθώντας, προφανώς, την διεύθυνση του μοναδιαίου διανύσματος θˆ των σφαιρικών συντεταγμένων. Συνήθως, εκτος και αν δηλώνεται διαφορετικα, η πόλωση αναφέρεται στην διευθυνσης του διανύσματος του Ηλεκτρικού Πεδίου E στην κατεύθυνση της μέγιστης ακτινοβολίας. Ο προσανατολισμός του E, για ένα σταθερό σημείο στην οδό διάδοσης του κύματος, μπορεί να είναι σταθερός ή μεταβαλλόμενος σαν συνάρτηση του χρόνου. Ανάλογα, ο προσανατολισμός του E, μπορεί να είναι σταθερός ή μεταβλητός καθώς το κύμα οδεύει στον χώρο. Υπό αυτή την έννοια, όταν μιλάμε για την περιγραφή της διεύθυνσης ουσιαστικά αναφερόμαστε στο ίχνος που «γράφει» το άκρο του διανύσματος της έντασης του Ηλεκτρικού Πεδίου σαν συνάρτηση του χρόνου ή του χώρου. Στην πιο απλή περίπτωση, όπου η διευθυνση του E είναι σταθερή, το ίχνος του διανύσματος «γράφει» μια ευθεία. Όπως θα αποδειχθεί αργότερα, στην πιο γενική περίπτωση, όπου η διεύθυνση του E είναι μεταβαλλόμενη, το ίχνος του διανύσματος «γράφει» μία έλλειψη ή ένα κύκλο. Γενικά, το Μακρινό Ηλεκτρικό Πεδίο περιλαμβάνει δύο συνιστώσες (Εθ και Εφ). Επίσης, στο Μακρινό Πεδίο, το ΗΜ κύμα χάνει τα «σφαιρικά» του χαρακτηριστικά και τοπικά συμπεριφέρεται σαν επίπεδο κύμα. Για να απλοποιηθεί η συζήτηση, σχετικά με το ζήτημα της πόλωσης, θα οριστεί το επίπεδο αυτό σαν το xy επίπεδο των καρτεσιανών συντεταγμένων (x,y,z) 16
y E E E1 x z Σχήμα 1.5 Επίπεδο Κύμα Έστω, λοιπόν, ένα κύμα που οδεύει στον άξονα ẑ, έχοντας δύο συνιστώσες Εx και Εy (Σχήμα 1.5): Ex = E1 ημ( ωt kz ), E y = Eημ( ωt kz+ δ ) (1.50) Το συνολικό στιγμιαίο διάνυσμα E, δίνεται από την ακόλουθη σχέση E = xˆe 1 ημ( ωt kz ) + ŷeημ( ωt kz+ δ ) (1.51) Για z=0 οι παραπάνω εκφράσεις τροποποιούνται ως εξής: Ex = ημωt, E y = E ημ( ωt + δ ) = Ε[ ημ( ωt )συνδ+ συν( ωt )ημδ] (1.5) Απαλείφοντας τα ημωt και συνωt από την (1.5), σύμφωνα με τις ακόλουθες σχέσεις Ex ημω t =, συνωt = E1 Ex 1- E1 (1.53) το Ey γράφεται ως εξής E Ε x x E y = E συνδ+ ημδ 1 E 1 E 1 (1.54) Υψώνοντας την (1.54) στο τετράγωνο και αναδιατάσσοντας τους όρους της εξίσωσης προκύπτει η ακόλουθη έκφραση E ExE yσυνδ Ε x y + = ημ δ aε + = 1 x bexe y ce y E Ε 1 1Ε E (1.55) Η εξίσωση (1.55) περιγράφει μια έλλειψη με κλίση, όπως φαίνεται και στο Σχήμα 1.6. Αυτό σημαίνει ότι το διάνυσμα E, αλλάζοντας διεύθυνση συναρτήσει του χρόνου, κινείται πάντα στην περιφέρεια μιας νοητής έλλειψης. Σε αυτή την περίπτωση το κύμα χαρακτηρίζεται Ελλειπτικά Πολωμένο. 17
y E y Β τ E Α E x x z Σχήμα 1.6. Ελλειπτικά Πολωμένο Κύμα. Ο πλήρης προσδιορισμός της έλλειψης στο χώρο επιτυγχάνεται από τη γνώση των ημιαξόνών της καθώς και της κλίσης τ (Σχήμα 1.6). Ο λόγος του μεγάλου πρός τον μικρό ημιάξονα της έλλειψης δίνεται από την ακόλουθη σχέση OA AR=, 1 AR OB (1.56) όπου OA= 1 4 4 E1 + E + E1 + E + E1 E συν δ ( ) (1.57) OΒ = 1 4 4 E + E E + E + E E συν( δ) 1 1 1 (1.58) Η κλίση τ του μεγάλου ημιάξονα ως πρός τον άξονα x περιγράφεται από την ακόλουθη σχέση: 1 1 Ε 1Ε τ = εφ συν( δ) Ε1 Ε (1.59) Στην περίπτωση, όπου η διεύθυνση του Ηλεκτρικού Πεδίου παραμένει σταθερή, δηλ. όταν το μέτρο του μεταβάλλεται αλλά η διεύθυνση του ορίζεται πάνω σε μια σταθερή ευθεία, τότε το κύμα χαρακτηρίζεται σαν Γραμμικά Πολωμένο (Σχήμα 1.7(α)). Ουσιαστικά, η Γραμμική Πόλωση αποτελεί ειδική περίπτωση της ελλειπτικής πόλωσης. Σύμφωνα με το Σχήμα 1.6 και την εξίσωση (1.55), όταν το Ε1=0 (Ε=0) το κύμα έχει σταθερή διεύθυνση στον χρόνο, που ταυτίζεται με τον άξονα ŷ (xˆ). Επίσης, όταν η διαφορά φάσης είναι δ=0, ± π, το κύμα θεωρείται, επίσης, Γραμμικά Πολωμένο έχοντας κλίση ως προς τους άξονες xˆ, ŷ, που εξαρτάται από το λόγο Ε/Ε1. 18
Τέλος, όταν το διάνυσμα του Ηλεκτρικού Πεδίου μεταβάλλει τη διεύθυνση του, σε συνάρτηση με το χρόνο, διαγράφοντας την περιφέρεια ενός νοητού κύκλου, τότε χαρακτηρίζεται Κυκλικά Πολωμένο (Σχήμα 1.7 (β)). Η Κυκλική Πόλωση αποτελεί εξειδίκευση της Ελλειπτικής, όταν στην τελευταία ισχύουν οι συνθήκες: Ε1=Ε και δ= ± π /. Τόσο στην περίπτωση της Ελλειπτικής, όσο της Κυκλικής Πόλωσης, ο πλήρης προσδιορισμός της πόλωσης απαιτεί τη γνώση της φοράς, με την οποία κινείται το διάνυσμα του ηλεκτρικού πεδίου. Όταν βλέποντας το κύμα να πλησιάζει (όπως δείχνει το Σχήμα 1.7, με φορά από το επίπεδο του χαρτιού προς τον αναγνώστη), το διάνυσμα E κινείται με τη φορά των δεικτών του ρολογιού, τότε η πόλωση ονομάζεται Αριστερόστροφη. Η αντίθετη φορά περιστροφής ονομάζεται Δεξιόστροφη. Ένας απλός τρόπος για να προσδιοριστεί η φορά της πόλωσης είναι «ο κανόνας του χεριού». Για παράδειγμα, εάν ο δείκτης του δεξιού χεριού δείχνει προς την κατεύθυνση διάδοσης του κύματος τότε η φορά των δακτύλων υποδεικνύει την φορά της δεξιόστροφης πόλωσης. Ανάλογη αναγκαιότητα, για περαιτέρω προσδιορισμό της πόλωσης, υπάρχει και στην περίπτωση της Γραμμικής Πόλωσης. Η Γραμμική Πόλωση διακρίνεται σε Κατακόρυφη Πόλωση (Vertical Polarization) ή Οριζόντια Πόλωση (Horizontal Polarization) ανάλογα με το αν το διάνυσμα της έντασης του Ηλεκτρικού Πεδίου είναι κατακόρυφο ή οριζόντιο ως προς το επίπεδο της γης. Η γνώση της πόλωσης μιας κεραίας είναι κρίσιμη διότι σε μια ασύρματη ζεύξη οι κεραίες του πομπού και του δέκτη πρέπει να έχουν ταυτόσημες ή εν μέρει συμβατές πολώσεις. Η ταυτόσημη πόλωση εγγυάται την μέγιστη απόδοση ισχύος στο δέκτη. Εάν οι πολώσεις είναι εν μέρει συμβατές, τότε μόνο τμήμα της λαμβανόμενης ισχύος θα αποδοθεί. Τέλος, σε περίπτωση ασυμβατότητας δεν αποδίδεται καθόλου ισχύς στο δέκτη και η ζεύξη δεν μπορεί να αποκατασταθεί. Ο Συντελεστής Απωλειών Πόλωσης PLF (Polarization Loss Factor) είναι ένα μέγεθος που καταδεικνύει το ποσοστό των απωλειών που οφείλεται στην ασυμβατότητα ως προς την πόλωση. Εάν η ένταση του ακτινοβολούμενου Ηλεκτρικού πεδίου από μια κεραία πομπό είναι E T = ET ρˆ Τ (1.60) και αντίστοιχα του δέκτη είναι 19
E R = ER ρˆ R (1.61) τότε ο Συντελεστής Απωλειών Πόλωσης PLF, αναπαριστά το λόγο της προς απόδοση ισχύος, για ένα δεδομένο συνδυασμό πολώσεων, προς την ισχύ, που αποδίδεται εάν οι πολώσεις είναι ταυτόσημες. Ο συντελεστής PLF αναπαρίσταται αλγεβρικά με τον ακόλουθο τρόπο: PLF = ρˆ Τ ρˆ R = συνψ p ή PLF(dB) = 0log( συνψ p ) (1.6) όπου ψp είναι η γωνία μεταξύ των μοναδιαίων διανυσμάτων ρˆ Τ και ρˆ R ή ισοδύναμα μεταξύ των διανυσμάτων E T και E R. Είναι προφανές ότι το εύρος τιμών του συντελεστή PLF είναι 0 PLF 1. Ο συνδυασμός ταυτόσημων πολώσεων (ψp=0) αντιστοιχεί σε συντελεστή PLF=1. Ο εν μέρει συμβατός συνδυασμός πολώσεων (0<ψp<π/) αντιστοιχεί σε τιμές του συντελεστή 0<PLF<1. Τέλος, οι ασύμβατες πολώσεις (ορθογωνικές, ψp=π/) αντιστοιχούν στην τιμη PLF=0. Σύμφωνα με τη σχέση (1.6) οι πολώσεις που είναι μεταξύ τους ασύμβατες (PLF=0) είναι οι ακόλουθες: Η κατακόρυφη με την οριζόντια Γραμμική Πόλωση. Η Αριστερόστροφη με την Δεξιόστροφη Κυκλική Πόλωση Η Αριστερόστροφη με την Δεξιόστροφη Ελλειπτική Πόλωση 1.4.3.1 Παράδειγμα Συντελεστής Απωλειών Πόλωσης Γραμμικά Πολωμένων Κεραιών Υπόθεση 1 Έστω Γραμμικά Πολωμένη κεραία-πομπός με το διάνυσμα του Ηλεκτρικού Πεδίου E T να είναι προσανατολισμένο κατά μήκος του άξονα x του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων (x,y,z): ET = ET ( x, y, z )xˆ και επίσης Γραμμικά Πολωμένη κεραία-δέκτης με διάνυσμα Ηλεκτρικού πεδίου E R προσανατολισμένο κατά μια διεύθυνση που σχηματίζει γωνία π/4 με τον άξονα x του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων. ER = ER ( x, y, z )( xˆ + ŷ ) Τα μοναδιαία διανύσματα που αναπαριστούν την πόλωση των πεδίων E T, E R είναι τα ρˆ T = xˆ και ρˆ R = ( 1 / )( xˆ + ŷ ), αντίστοιχα. Σύμφωνα με την σχέση (1.6), ο συντελεστής PLF λαμβάνει την ακόλουθη τιμή: PLF = ρˆ Τ 1 1 ρˆ R = xˆ ( xˆ + ŷ ) = ή ισοδύναμα (σε db) PLF( db ) = 10 log( PLF ) = 10 log( 1 / ) = 3 db Σύμφωνα με το παραπάνω αποτέλεσμα, οι απώλειες ανέρχονται στο ήμισυ (0,5 ή 3 db) της δυνητικά μέγιστης αποδιδόμενης ισχύος δηλ. αυτής η οποία θα αποδιδόταν εάν υπήρχε τέλεια προσαρμογή μεταξύ των δύο πολώσεων. Υπόθεση 0
Εάν αλλάξει ο προσανατολισμός της κεραίας-δέκτη κατά π/4, έτσι ώστε η πόλωση να αναπαρίσταται από το μοναδιαίο διάνυσμα ρˆ R = xˆ, τότε ο συντελεστής PLF λαμβάνει την ακόλουθη τιμή: PLF ρˆ Τ ρˆ R = xˆ xˆ = = 1 ή ισοδύναμα (σε db) PLF( db ) = 10 log( PLF ) = 10 log( 1) = 0 db Σε αυτή την περίπτωση δεν υπάρχουν απώλειες λόγω πόλωσης (0 db) και το σύνολο (PLF=1) της προσπίπτουσας ισχύος διατίθεται προς απόδοση στον δέκτη. Υπόθεση 3 Τέλος, εάν η κεραία του δέκτη στραφεί κατά π/4 αλλά προς την αντίθετη κατεύθυνση, έτσι ώστε η πόλωση να αναπαρίσταται από το διάνυσμα ρˆ R = ŷ τότε ο συντελεστής PLF λαμβάνει την τιμή PLF = ρˆ Τ ρˆ R = xˆ ŷ = 0 ή ισοδύναμα (σε db) PLF( db ) = 10 log( PLF ) = 10 log( 0 ) = db Προφανώς, η αμέσως προηγούμενη περίπτωση είναι η δυσμενέστερη εφόσον είναι μηδενική η προς απόδοση ισχύς (PLF=0) ή ισοδύναμα οι απώλειες είναι άπειρες (- db). 1.4.3. Παράδειγμα Συντελεστής Απωλειών Πόλωσης Κυκλικά Πολωμένων Κεραιών Υπόθεση 1 Έστω κεραία-πομπός, με Δεξιόστροφο Κυκλικά Πολωμένο Ηλεκτρικό Πεδίο E T, το οποίο οδεύει κατά μήκος του θετικού ημιάξονα z : ET = ET ( r,θ,φ )( θˆ + jφˆ ) και κεραία-δέκτης με επίσης Δεξιόστροφα Κυκλικά Πολωμένο διάνυσμα Ηλεκτρικού πεδίου E R. ER = ER ( r,θ,φ )( θˆ jφˆ ) Τα μοναδιαία διανύσματα που αναπαριστούν την πόλωση των πεδίων E T, E R είναι τα ρˆ T = ( θˆ + jφˆ )/ και ρˆ R = ( θˆ jφˆ )/, αντίστοιχα. Σύμφωνα με την σχέση (1.6), ο συντελεστής PLF λαμβάνει την ακόλουθη τιμή: ( θˆ + jφˆ ) ( θˆ jφˆ ) 1 PLF = ρˆ Τ ρˆ R = = 1+ 1 = 1 4 ή ισοδύναμα (σε db) PLF( db ) = 10 log( PLF ) = 10log( 1) = 0 db Συνεπώς, οι απώλειες λόγω πόλωσης είναι μηδενικές εφόσον οι κεραίες πομπού και δέκτη χαρακτηρλιζονται από ταυτόσημη πόλωσεις. Υπόθεση 1
Εάν η κεραία-δέκτης αντικατασταθεί με μια Αριστερόστροφα Κυκλικά Πολωμένη κεραία τότε το διάνυσμα του Αριστερόστροφου Κυκλικά Πολωμένου Ηλεκτρικού Πεδίου δίνεται από την ακόλουθη σχέση ER = ER ( r,θ,φ )( θˆ + jφˆ ) ενώ το μοναδιαίο διάνυσμα που αναπαριστά την πόλωση είναι αντίστοιχα το ρˆ R = ( θˆ + jφˆ )/ Σύμφωνα με τις παραπάνω επισημάνσεις, ο συντελεστής PLF λαμβάνει την ακόλουθη τιμή: ( θˆ + jφˆ ) ( θˆ + jφˆ ) 1 PLF = ρˆ Τ ρˆ R = = 1 1 = 0 4 ή ισοδύναμα (σε db) PLF( db ) = 10 log( PLF ) = 10 log( 0 ) = db Προφανώς, η Αριστερόστροφη Κυκλική Πόλωση είναι ορθογωνική ως προς την Δεξιόστροφη Κυκλική Πόλωση και ως εκ τούτου ο συνδυασμός τους οδηγεί σε μηδενική απόδοση ισχύος στον δέκτη (PLF=0) ή ισοδύναμα σε άπειρες απώλειες (- db). 1.4.4 Διάγραμμα Ισχύος Μια από τις πλέον σημαντικές πληροφορίες, για τα χαρακτηριστικά ενός ακτινοβολητή, είναι ο τρόπος με τον οποίο ακτινοβολεί την ισχύ του. Τα διαγράμματα που αναπαριστούν την ακτινοβολούμενη ισχύ συναρτήσει της διεύθυνσης ακτινοβολίας ονομάζονται Διαγράμματα Ισχύος. Εφόσον, η εξάρτηση της ροής της ισχύος από την απόσταση r, είναι γνωστή (ανάλογη του 1/r) και σταθερή, το ενδιαφέρον περιορίζεται στη μεταβολή της ισχύος συναρτήσει της διεύθυνσης ακτινοβολίας (θ,φ). Υπό αυτή την έννοια, το Διάγραμμα Ισχύος αφορά τη μεταβολή της έντασης ακτινοβολίας U(θ,φ)=rPr. Όταν το διάγραμμα ισχύος κανονικοποιείται, ως προς τη μέγιστη τιμή του, τότε μιλάμε για το Σχετικό (ή Ανηγμένο) Διάγραμμα Ισχύος, με υπολογισμό του αδιάστατου μεγέθους Pav( θ,φ ) P( θ,φ ) = = Pav( θ,φ )max U( θ,φ ) U( θ,φ )max (1.6) Όπως είναι προφανές, ένα πλήρες διάγραμμα ισχύος αναπαρίσταται σε τρισδιάστατες σφαιρικές συντεταγμένες. Στην πράξη όμως, και σε αναλογία με τα διαγράμματα πεδίου, είναι αρκετός ο υπολογισμός του διαγράμματος σε δύο επίπεδα, που τέμνουν τον κύριο λοβό και είναι κάθετα μεταξύ τους. Τα επίπεδα αυτά διαγράμματα καλούνται Διαγράμματα Πρωτευόντων Επιπέδων.
Σχήμα 1.8. Πολικό Διάγραμμα ισχύος Τα διαγράμματα ισχύος σχεδιάζονται τόσο σε γραμμική όσο και σε λογαριθμική κλίμακα (10logU(θ,φ) σε db). Ορισμένα από τα πλέον ενδιαφέροντα μεγέθη, που αναπαρίστανται σε αυτά τα διαγράμματα (Σχήμα 1.8) είναι: Οι λοβοί ακτινοβολίας, οι οποίοι ορίζονται μεταξύ διαδοχικών μηδενισμών (ελάχιστων) του διαγράμματος ακτινοβολίας. Οι λοβοί διακρίνονται σε: Κύριους (Major, Main), Δευτερεύοντες (Minor), Πλευρικούς (Side), και Πίσω Λοβούς (back lobes). Ο Κύριος Λοβός συγκεντρώνει το μεγαλύτερο τμήμα της ακτινοβολούμενης ισχύος, συγκριτικά με τους υπόλοιπους, και περιλαμβάνει τη διεύθυνση μέγιστης ακτινοβολίας. Ως Δευτερεύοντες λοβοί χαρακτηρίζονται όλοι οι λοβοί του διαγράμματος ακτινοβολίας εκτός από τον Κύριο λοβό. Πλευρικοί Λοβοί συνήθως καλούνται οι δύο λοβοί εκατέρωθεν του Κύριου Λοβού. Τέλος, ο Πίσω Λοβός είναι αυτός που ακτινοβολεί αντιδιαμετρικά του Κύριου Λοβού. Οι γωνίες μηδενισμού οι οποίες αντιστοιχούν σε σημεία μηδενικής ακτινοβολίας. Η γωνία μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών του διαγράμματος ακτινοβολίας η οποία χαρακτηρίζει το εύρος του λοβού. Οι γωνίες ημίσειας ισχύος, οι οποίες ορίζονται εκατέρωθεν του μέγιστου και αντιστοιχούν στις διευθύνσεις όπου η κεραία ακτινοβολεί το μισό της μέγιστης ισχύος. Η γωνία που ορίζεται μεταξύ των σημείων ημίσειας ισχύος, ονομάζεται Εύρος Δέσμης Ημίσειας Ισχύος (Half Power Beamwidth). 1.4.5 Εμβαδόν Δέσμης Ένας ισοτροπικός ακτινοβολητής (πρακτικά μη εφικτός) ακτινοβολεί ομοιόμορφα προς όλες τις κατευθύνσεις του τρισδιάστατου χώρου ή ισοδύναμα σε όλο το εύρος της στερεάς γωνίας 4π. Αν φανταστεί κανείς μια ασύρματη ζεύξη σημείο προς σημείο είναι προφανές ότι το μεγαλύτερο μέρος από την καταναλισκόμενη ισχύ του ισοτροπικού ακτινοβολήτή ή «χάνεται» 3
μεταφερόμενη σε κατευθύνσεις όπου δεν υπάρχει αποδέκτης ή δημιουργεί παρεμβολές όταν λαμβάνεται από «λάθος» αποδέκτες. Γενικά, οι κεραίες που χρησιμοποιούμε στην πράξη ακτινοβολούν περισσότερη ισχύ προς κάποιες κατευθύνσεις από ότι σε άλλες. Αυτή η «επιλεκτικότητα» των κεραιών ή με άλλα λόγια η απόκλιση της συμπεριφοράς τους από την ισοτροπική κεραία αποτελεί ένα από τα πλέον σημαντικά χαρακτηριστικά τους. Δείκτης αυτής της συμπεριφοράς αποτελούν μια σειρά από απλές μονόμετρες αριθμητικές ποσότητες, όπως το Εμβαδόν Δέσμης ΩA (ή Στερεά Γωνία Δέσμης) που θα εξετασθεί στην παρούσα ενότητα), η Κατευθυντικότητα (θα εξεταστεί στην ενότητα 1.4.6.) και το Κέρδος (θα εξεταστεί στην ενότητα 1.4.7.). Έστω μια υπό εξέταση κεραία, που εκπέμπει μέγιστη ισχύ σε μια συγκεκριμένη διεύθυνση U(θ,φ)max. Σύμφωνα με τη σχέση (1.46), η συνολική ισχύς ακτινοβολίας της υπό εξέταση κεραίας είναι π π π π Wακ = U( θ,φ )dω = U( θ,φ )ημθdθdφ 0 0 0 0 (1.63) Προκειμένου να αξιολογηθεί η προαναφερόμενη κεράια θεωρούμε μια κεραία αναφοράς η οποία λειτουργεί σαν ισοτροπικός ακτινοβολητής με ένταση ακτινοβολίας U(θ,φ)max. Η συνολική ισχύς ακτινοβολίας της κεραίας W αναφοράς θα είναι ακ,ισ = 4πU( θ,φ ) max. Σύμφωνα με τις εως τώρα παραδοχές η Wακ αποτελεί κλάσμα της Wακ,ισ. Εάν λοιπόν, αντί της υπό εξέταση κεραίας χρησιμοποιηθεί ο ισοτροπικός ακτινοβολητής, τότε η Wακ θα μεταδιδόταν από μια στερεά γωνία δέσμης ΩΑ μικρότερης της στερεάς γωνίας 4π, μέσα από την οποία ακτινοβολείται ομοιόμορφα η Wακ,ισ. Συνοψίζοτας, η στερεά γωνία ΩΑ, μέσα από την οποία ακτινοβολείται η ισχύς μιας κεραίας από ένα ισοτροπικό ακτινοβολητή με ισχύ τη μέγιστη ισχύ της υπό εξέτασης κεραίας, ονομάζεται Στερεά Γωνία Δέσμης (Beam Solid Angle) ή Εμβαδό Δέσμης. Η μαθηματική έκφραση της στερεάς γωνίας ΩΑ μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Ω Α W = 4π W π π ακ ακ,ισ Ω Α π π U( θ,φ )dω 0 0 = 4π 4πU( θ,φ )max U( θ,φ ) ΩΑ = dω= P( θ,φ )dω U( θ,φ )max 0 0 0 0 (1.64) Είναι προφανές ότι για τον ισοτροπικό ακτινοβολητή η ΩA μεγιστοποιείται και λαμβάνει την τιμή 4π. Τέλος, όσο πιο κατευθυντική είναι μια κεραία, τόσο μικρότερες του 4π είναι οι τιμές που λαμβάνει η στερεά γωνία δέσμης ΩA. Η στερεά γωνία ΩΑ μπορεί να υπολογιστεί προσεγγιστικά αν είναι γνωστό το Εύρος Δέσμης Ημίσειας Ισχύος στα δύο πρωτεύοντα επίπεδα που διχοτομούν τον κύριο λοβό ακτινοβολίας Ω Α θ1, 3dbθ, 3db (1.65) Η προσεγγιστική σχέση (1.65) υποκαθιστά την σχέση (1.64), με ικανοποιητική ακρίβεια, μόνο εάν η υπό εξέταση κεραία έχει έναν Κύριο και αμελητέους Δευτερεύοντες Λοβούς ακτινοβολίας. π π 4
1.4.6 Κατευθυντικότητα Όπως ήδη έχει επισημανθεί η Κατευθυντικότητα αποτελεί μια ένδειξη για την συγκέντρωση της ακτινοβολούμενης ισχύος προς ορισμένες κατευθύνσεις. Η Κατευθυντικότητα αποτελεί πλεονέκτημα για τις κεραίες, διότι απαιτείται μικρότερη ισχύς τροφοδοσίας συγκριτικά με τον αντίστοιχο ισοτροπικό ακτινοβολητή, για τη εκπομπή σε μια συγκεκριμένη κατεύθυνση. Επίσης, εκτός από την οικονομία σε επίπεδο ενέργειας, μια κατευθυντική κεραία συμβάλλει στη μείωση των παρεμβολών, εφόσον μέσω κατάλληλου προσανατολισμού της μειώνεται η πιθανότητα να στείλει ή να λάβει σήματα από μή επιθυμητά συστήματα κεραιών. Με ένα πιο αυστηρό ορισμό η Κατευθυντικότητα d(θ,φ) μιας κεραίας ορίζεται ως ο λόγος της έντασης ακτινοβολίας σε μια κατεύθυνση πρός τη μέση ένταση ακτινοβολίας. U( θ,φ ) d ( θ,φ ) = U o (1.66) Εκφράζοντας την (1.66) σαν συνάρτηση του διανύσματος Poynting προκύπτει η ισοδύναμη σχέση P( θ,φ ) d ( θ,φ ) = P o (1.67) Η Κατευθυντικότητα συνηθίζεται να υπολογίζεται μόνο στην κατεύθυνση της μέγιστης έντασης ακτινοβολίας, διότι αυτή η κατεύθυνση συγκεντρώνει το πρακτικό ενδιαφέρον. Σε αυτή την περίπτωση και σε αναλογία με τις σχέσεις (1.66)-(1.67) θα ισχύει η ακόλουθη έκφραση: U( θ,φ ) max P( θ,φ ) max D = d( θ,φ ) max = = U o Po (1.68) Σε ότι αφορά στο παρόν κείμενο, η οποιαδήποτε αναφορά στην Κατευθυντικότητα θα σχετίζεται αποκλειστικά με την κατεύθυνση της μέγιστης ακτινοβολίας και στο μέγεθος D (σχέση (1.68)). Εκφράζοντας τη μέση τιμή του διανύσματος Poynting και αναδιατάσσοντας τους όρους κατάλληλα, προκύπτει η σχέση της Κατευθυντικότητας D με τη στερεά γωνία δέσμης ΩΑ P( θ,φ )max 4πr P( θ,φ )max Wακ,ισ 4π D= = = D= W W ακ / 4πr ακ Wακ Ω Α (1.69) Είναι προφανές, ότι ένας ισοτροπικός ακτινοβολητής με ΩΑ=4π θα έχει κατευθυντικότητα ίση με τη μονάδα. Όσο πιο κατευθυντική είναι η κεραία, τόσο η στερεά γωνία ΩΑ θα είναι μικρότερη του 4π, και συνολικά η κατευθυντικότητα D θα παίρνει τιμές μεγαλύτερες της μονάδας. Όσο πιο μεγάλη είναι η τιμή του D, τόσο πιο πολύ συγκεντρώνεται η ισχύς ακτινοβολία της κεραίας στην κατεύθυνση της μέγιστης ακτινοβολίας. Μια εναλλακτική ποιοτική περιγραφή της Κατευθυντικότητας D είναι η εξής: έστω ότι έχουμε (α) την υπό εξέταση κεραία προσανατολισμένη να εκπέμπει προς τη διεύθυνση μέγιστης ακτινοβολίας και (β) ένα ισοτροπικό ακτινοβολητή 5
που εκπέμπει συνολικά την ίδια ισχύ με την υπό εξέταση κεραία. Το D δείχνει πόσες φορές περισσότερη ισχύ μεταδίδεται από την υπό εξέταση κεραία σε σχέση με τον ισοτροπικό ακτινοβολητή. Σύμφωνα με τη εξίσωση (1.69), η γνώση της Κατευθυντικότητας D δίνει τη δυνατότητα υπολογισμού της ισχύος ακτινοβολίας P(θ,φ)max, εάν είναι επίσης γνωστή η συνολικά ακτινοβολούμενη ισχύ Wακ ή εάν είναι γνωστη η ισχύς τροφοδοσίας Wt της κεραίας και η τελευταία δεν παρουσιάζει απώλειες. 1.4.6.1 Παράδειγμα Κατευθυντικότητα Κεραίας και Ακτινοβολούμενη Ισχύς. Έστω κεραία, η οποία χαρακτηρίζεται από κατευθυντικότητα,15 db, δεν παρουσιάζει απώλειες και τροφοδοτείται με ισχύ ίση με (4π) Watt. Η λογαριθμική έκφραση της κατευθυντικότητας D(db) συνδέεται με την έκφραση της σε απόλυτα μεγέθη ως εξής: D( db )/ 10 0, 15 D( db ) = 10log10 D D = 10 = 10 1, 64 Επομένως η κεραία ακτινοβολεί 1,64 φορές περισσότερο από τον αντίστοιχο ισοτροπικό ακτινοβολητή P W D D max P D P ακτ = max = o = P o ( 4πr ) Συνεπώς σε απόσταση 1 Km και στην κατεύθυνση μέγιστης ακτινοβολίας της κεραίας το διάνυσμα Poynting θα είναι ίσο με 4π 1, 64 6 P max = = 1, 64 10 W / m 6 4π 10 Με άλλα λόγια εάν στη θέση αυτή τοποθετηθεί ένας δέκτης θα συλλέξει ένα τμήμα (όπως θα αποδειχθεί αργότερα) από τα 1,64 10-6 Watt/m. Σε αυτό το σημείο αξίζει να σημειωθεί ότι εφόσον η κεραία δεν παρουσιάζει απώλειες η τροφοδοτούμενη ισχύς ταυτίζεται πλήρως με την ακτινοβολούμενη. Σε αντίθετη περίπτωση η ακτινοβολούμενη ισχύς είναι μικρότερη της τροφοδοτούμενης. 1.4.6. Παράδειγμα Κατευθυντικότητα Κεραίας και Ακτινοβολούμενη Ισχύς. Εάν η κεραία, του προηγούμενου παραδείγματος, αντικατασταθεί με μία άλλη διπλάσιας κατευθυντικότητας (D (db)=4,30 db) και όλα τα υπόλοιπα δεδομένα μείνουν ως είχαν, τότε ( 0, 15 10 ) 1 D 10 10 D ( db )/ D( db )/ ( db ) = 10 log10 D D = 10 = 10 = D =, 64 Επομένως η κεραία ακτινοβολεί 1,64 φορές περισσότερο από τον αντίστοιχο ισοτροπικό ακτινοβολητή P D max Pmax = = D Po = D Po = Pmax D P o όπου με Pmax συμβολίζεται το διάνυσμα Poynting του προηγούμενου παραδείγματος (Παράδειγμα 1.4.6.1) Σε απόσταση 1 Km και στην κατεύθυνση μέγιστης ακτινοβολίας της κεραίας το διάνυσμα Poynting θα είναι ίσο με 6 6 P = P D = 1, 64 1, 64 10 =, 69 10 Watt / m max max 6
Με άλλα λόγια ο διπλασιασμός της κατευθυντικότητας D ενίσχυσε κατά D την ακτινοβολούμενη ισχύ συγκριτικά με το παράδειγμα 1.4.6.1. Σημείωση: Τα μη τονούμενα μεγέθη αναφέρονται στην κεραία του παραδείγματος 1.4.6.1. έτσι ώστε να διευκολύνεται η σύγκριση μεταξύ των δύο κεραιών. 1.4.7 Κέρδος Η σύγκριση μιας κεραίας με τον ισοτροπικό ακτινοβολητή, μέσω του μεγέθους της Κατευθυντικότητας D, δεν περιλαμβάνει τις πιθανές απώλειες στη διάταξη μιας πραγματικής κεραίας. Εάν λοιπόν η σύγκριση γίνει μεταξύ ενός ισοτροπικού ακτινοβολητή χωρίς απώλειες, που τροφοδοτείται με ισχύ Win και μιας κεραίας που τροφοδοτείται με Win αλλά παρουσιάζει ωμικές απώλειες Wαπ (Win=Wακ+Wαπ) τότε προκύπτει ένα νέο μέγεθος που ονομάζεται Κέρδος g. Το κέρδος g, για μια συγκεκριμένη κατεύθυνση ακτινοβολίας, δείχνει πόσες φορές περισσότερη ισχύς ακτινοβολείται από την υπό εξέταση κεραία, σε σχέση με τον χωρίς απώλειες ισοτροπικό ακτινοβολητή που τροφοδοτείται με την ίδια ισχύ Win. Συνοψίζοντας, η έννοια του Κέρδους περιγράφει τις κατευθυντικές ιδιότητες της κεραίας, όπως ακριβώς και η Κατευθυντικότητα, αλλά αποτελεί και ένα μέτρο σύγκρισης της αποδοτικότητας της κεραίας, εφόσον λαμβάνει υπόψη τις παντός είδους ωμικές απώλειές της. Σε αναλογία με τον ορισμό της Κατευθυντικότητας το Κέρδος μπορεί να οριστεί για οποιαδήποτε κατεύθυνση ακτινοβολίας αλλά συνήθως χρησιμοποιείται η κατεύθυνση μέγιστης ακτινοβολίας. Στα πλαίσια των σημειώσεων, η οποιαδήποτε αναφορά στο Κέρδος, θα σχετίζεται αποκλειστικά με την κατεύθυνση της μέγιστης ακτινοβολίας και αντί του συμβολισμού g θα χρησιμοποιείται το G=g(θ,φ)max. Σύμφωνα με τις παραπάνω επισημάνσεις, με την αντικατάσταση του Wακ από το Win στη σχέση (1.69), προκύπτει ο μαθηματικός ορισμός του κέρδος G P( θ,φ )max 4πr P( θ,φ )max 4πr P( θ,φ )max G= = = W W in / 4πr in Wακ + Wαπ (1.70) Μάλιστα, διαιρώντας την (1.70) με την (1.69) προκύπτει και η σχέση μεταξύ κέρδους G και κατευθυντικότητας D Wακ G = D = ηd Wακ + Wαπ (1.71) όπου η ο βαθμός απόδοσης της κεραίας G W η= = ακ D Wακ + Wαπ (1.7) 1.4.7.1 Παράδειγμα Κέρδος Κεραίας και Ακτινοβολούμενη Ισχύς. Εάν η κεραία, του παραδείγματος 1.4.6.1, αντικατασταθεί με μία άλλη κεραία, η οποία χαρακτηρίζεται από μια αυξημένη κατευθυντικότητα και ταυτόχρονα απώλειες που συνοψίζονται στο κέρδος G (db)=d(db)+3db, ενώ όλα τα υπόλοιπα δεδομένα μείνουν ως είχαν, τότε 7
G( db ) = 10log10 1, 64 ( D+ 3) D( db ) + 3/ 10 D( db )/ 10 3/ 10 0, 3 G = 10 = 10 10 = D 10 Επομένως, η κεραία ακτινοβολεί 1,64=3,8 φορές περισσότερο από τον P αντίστοιχο ισοτροπικό max G = Pmax = ακτινοβολητή D Po = Pmax P o Συνεπώς σε απόσταση 1 Km και στην κατεύθυνση μέγιστης ακτινοβολίας της κεραίας το διάνυσμα Poynting θα είναι διπλάσιο από αυτό του παραδείγματος 1.4.6.1. 6 6 Pmax = Pmax = 1,64 10 = 3,8 10 Watt / m Σημείωση: Τα μη τονούμενα μεγέθη αναφέρονται στην κεραία του παραδείγματος 1.4.6.1. έτσι ώστε να διευκολύνεται η σύγκριση μεταξύ των δύο κεραιών. 1.4.8 Η Κεραία ως Κυκλωματικό Στοιχείο 1.4.8.1 Κεραία Πομπός Έστω κεραία πομπός, η οποία τροφοδοτείται μέσω μιας γραμμής μεταφοράς (Σχήμα 1.9). Εάν η κεραία τροφοδοτηθεί για ένα σύντομο χρονικό διάστημα (πχ για τη διάρκεια μερικών παλμών), η διέγερσή της θα αρχίσει φθίνει μέχρι να σταματήσει εντελώς η εκπομπή ακτινοβολίας. Η συμπεριφορά της κεραίας, σε αυτή την περίπτωση, ομοιάζει με ωμικό φορτίο που καταναλώνει την τροφοδοτούμενη ενέργεια. Οι εν λόγω «απώλειες» μπορούν να ερμηνευθούν με τον ακόλουθο τρόπο: ένα μέρος της τροφοδοτούμενης ισχύος «καταναλώνεται» στον περιβάλλοντα χώρο, με τη μορφή ακτινοβολίας, και τμήμα της πιθανά αποδίδεται σε κάποιο δέκτη. ένα άλλο μέρος μπορεί να καταναλωθεί με τη μορφή θερμικών απωλειών πάνω στα αγώγιμα μέρη της κεραίας. Συνεπώς, στο επίπεδο της αναπαράστασης, οι προαναφερόμενες «απώλειες» της κεραίας θα μπορούσαν να εκπροσωπηθούν από μια καθαρά ωμική αντίσταση. ZL Σχήμα 1.9. Γραμμή μεταφοράς με κεραία και ισοδύναμη εμπέδηση Η προηγούμενη διαπίστωση μπορεί να επιβεβαιωθεί και από τον τρόπο με τον οποίο «συνεργάζεται» η γραμμή μεταφοράς με την κεραία. Για παράδειγμα, εάν στην ίδια γραμμή μεταφοράς συνδεθούν διαφορετικού τύπου κεραίες και διεξαχθούν μετρήσεις στάσιμων κυμάτων, θα διαπιστωθεί ότι η αλλαγή των κεραιών ομοιάζει με την αλλαγή τερματικών φορτίων και τελικά με 8