ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕ ΘΕΜΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕ ΘΕΜΑ ΚΙΝΔΥΝΟΣ ΜΑΚΡΟΖΩΙΑΣ ΑΚΡΙΒΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 331/ 2009 127 ΕΠΙΒΛΕΠΟΝ : Π. Χατζόπουλος ΜΕΛΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ : Τ. Τσιμήκας, Χ. Κουντζάκης ΣΑΜΟΣ 2013 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΛΗΨΗ..3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 : ΙΣΟΒΙΕΣ ΡΑΝΤΕΣ 4 1.1 Εισαγωγή.4 1.2 Απόσυρση από το κεφάλαιο... 4 1.3 Αποτρέποντας την πρόωρη εξάντληση του ταμείου...8 1.4 Κίνδυνοι στις ισόβιες ράντες..10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 : ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΙΣΟΒΙΩΝ ΡΑΝΤΩΝ 11 (ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) 2.1 Η ισόβια ράντα ως χρηματοοικονομική συναλλαγή...11 2.2 Αναλογιστικές αξίες 12 2.3 Τεχνικές Βάσεις...18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 : ΣΤΑΥΡΟΕΙΔΗΣ ΕΠΙΔΟΤΗΣΗ 20 3.1 Εισαγωγή...20 3.2 Αμοιβαιότητα.20 3.3 Αλληλεγγύη 23 3.4 Πρόσοδοι Τοντίνας.24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 : ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΙΣΟΒΙΩΝ ΡΑΝΤΩΝ 26 (ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) 4.1 Τυχαία παρούσα αξία μίας ισόβιας προσόδου... 26 4.2 Εστιάζοντας στα αποτελέσματα του χαρτοφυλακίου 27 4.3 Μία πρώτη ματιά στον κίνδυνο και την φερεγγυότητα.34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 : ΕΠΙΛΟΓΟΣ 36 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 38 2

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η διαχείριση των χαρτοφυλακίων στις ισόβιες ράντες απαιτεί μεγάλη προσοχή εξαιτίας της αυξανόμενης σημασίας των παροχών προσόδου που καταβάλλονται από ιδιωτικά συνταξιοδοτικά συστήματα. Ειδικότερα, η μετάβαση από συνταξιοδοτικά προγράμματα καθορισμένων παροχών σε αυτά των καθορισμένων εισφορών έχει αυξήσει το ενδιαφέρον για τις ισόβιες ράντες που είναι ο κύριος μηχανισμός παροχής προγραμμάτων καθορισμένων εισφορών. Μεταξύ των κινδύνων που επηρεάζουν την ασφάλεια ζωής και τα χαρτοφυλάκια ισόβιας προσόδου, μια βαθιά και λεπτομερή έρευνα αξίζει ο κίνδυνος μακροζωίας και απαιτεί την υιοθέτηση των κατάλληλων λύσεων διαχείρισης. Ο κίνδυνος μακροζωίας που προκύπτει από την τυχαία μελλοντική τάση της θνησιμότητας σε μεγάλες ηλικίες είναι μάλλον μύθος, αφού με προσεκτικές έρευνες μπορεί να μετρηθεί και να μελετήσει τις επιπτώσεις στα οικονομικά αποτελέσματα του χαρτοφυλακίου της ισόβιας προσόδου και των συνταξιοδοτικών προγραμμάτων. Σ αυτή την εργασία στόχος είναι αρχικά η κατανόηση του κινδύνου μακροζωίας και στην συνέχεια μέσω έρευνας η εύρεση κατάλληλων μεθόδων αντιμετώπισης του. Παρουσιάζονται οι ισόβιες ράντες με τους όρους τους, παραδείγματα που εξηγούν την κίνηση των χρηματοροών, τεχνικές βάσεις που προσφέρουν ασφάλεια στην ασφαλίστρια εταιρία, η έννοια της σταυροειδούς επιδότησης, οι πρόσοδοι τοντίνας, καθώς και μία σειρά αξιολογήσεων των ισόβιων ραντών και των χαρτοφυλακίων τους. Τέλος προτείνονται οι κατάλληλες μέθοδοι για την εξάλειψη του κινδύνου μακροζωίας. 3

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΙΣΟΒΙΕΣ ΡΑΝΤΕΣ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ράντα ονομάζουμε μία σειρά πληρωμών που γίνεται σε ισαπέχουσες χρονικές στιγμές. Η ορολογία αυτή προέρχεται από την αγγλική λέξη rent που σημαίνει ενοίκιο. Κάθε πληρωμή που υπεισέρχεται στη ράντα αναφέρεται ως όρος της. Αν οι όροι μιας ράντας είναι εξ αρχής προσδιορισμένοι με βεβαιότητα τότε έχουμε μία βέβαια ράντα. Όταν οι πληρωμές δεν είναι γνωστές με βεβαιότητα και εξαρτώνται από την επιβίωση ή όχι ενός ατόμου ή πολλών τότε έχουμε ισόβια ράντα. Η ισόβια ράντα είναι μία σειρά πληρωμών, που λαμβάνει χώρα σε ίσα τακτά χρονικά διαστήματα για όλη τη διάρκεια ζωής ενός ατόμου. Τη στιγμή της συνταξιοδότησης του ο ασφαλισμένος καταβάλλει ένα ποσό εφάπαξ S στην ασφαλίστρια εταιρία, η οποία αναλαμβάνει να του καταβάλλει ετήσιες πληρωμές κάθε έτος (στην πράξη συχνά κάθε μήνα ή κάθε δίμηνο). Έτσι δημιουργείται στην ασφαλίστρια εταιρία ένα αρχικό κεφάλαιο, το οποίο κάθε χρόνο λαμβάνει ένα σταθερό επιτόκιο επενδύσεων και από το οποίο γίνονται οι ετήσιες πληρωμές στον ασφαλισμένο. Το πρώτο κεφάλαιο έχει κυρίως έναν εισαγωγικό ρόλο, με στόχο την παρουσίαση της βασικής δομής των ισόβιων ραντών. 1.2 ΑΠΟΣΥΡΣΗ ΑΠΟ ΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τη στιγμή της συνταξιοδότησης (t = 0), ο συνταξιούχος καταβάλει στην ασφαλίστρια εταιρία ποσό εφάπαξ S και δημιουργείται ταμείο F 0. Ο συνταξιούχος αποσύρει την χρονική στιγμή t το ποσό b t. (t = 1, 2, ) Έχουμε: S : Εφάπαξ ποσό b t : Ετήσια απόσυρση i : σταθερό ετήσιο επιτόκιο F t : το ταμείο (κεφάλαιο) την χρονική στιγμή t αμέσως μετά την πληρωμή του ετήσιου ποσού b t 4

Για t = 0 F 0 = S Για t = 1,2, F t = F t-1 ( 1+ i ) b t (1.1) Ετήσια διακύμανση του κεφαλαίου F: F t F t-1 = F t-1 i b t t = 1,2, (1.2) Σχήμα 1.1 Η εικόνα 1.1 απεικονίζει τις αιτίες που εξηγούν τη συμπεριφορά του ταμείου σε όλο το χρόνο και εκφράζονται από την (1.2) Η συμπεριφορά του κεφαλαίου σε όλο το χρόνο εξαρτάται από την ακολουθία αποσύρσεων b 1, b 2, Aν b t = F t-1 i (1.3) δηλαδή αν για όλα τα t η ετήσια απόσυρση b t είναι ίση με το ετήσιο επιτόκιο που πιστώθηκε από τον διαχειριστή του κεφαλαίου, τότε: F t = F t-1 = F t-2 = = S (1.4) 5

δηλαδή το κεφάλαιο παραμένει σταθερό και ίσο με το εφάπαξ ποσό για όλη τη διάρκεια της ράντας και η σταθερή απόσυρση για όλα τα t είναι : b = S i (1.5) Αν b t > F t-1 i (1.6) κάτι το οποίο χρειάζεται συνήθως για να επιτευχθεί ένα λογικό εισόδημα μετά την συνταξιοδότηση, τότε το ταμείο αργά ή γρήγορα θα εξαντληθεί αφού F t = F t-1 ( 1+ i ) b t < F t-1 ( 1+ i ) - F t-1 i = F t-1 F 0 > F 1 > F 2 > > F t > (1.7) και υπάρχει χρόνος εξάντλησης m του ταμείου: F m 0 και F m+1 < 0 (1.8) O χρόνος εξάντλησης m εξαρτάται από την ετήσια απόσυρση b (και το επιτόκιο i). Παράδειγμα 1.1 Έστω S = 1000 το εφάπαξ ποσό. Το σχήμα 1.2 απεικονίζει τη συμπεριφορά του ταμείου όταν i = 0.03 και για διαφορετικές ετήσιες αποσύρσεις b, ενώ το σχήμα 1.3 για διάφορα επιτόκια i υποθέτοντας σταθερή ετήσια απόσυρση b = 100. Σχήμα 1.2 6

Σχήμα 1.3 Είναι ενδιαφέρον να συγκρίνουμε το χρόνο εξάντλησης m με τον υπολειπόμενο χρόνο ζωής του συνταξιούχου. Υποθέτουμε ηλικία συνταξιοδότησης x (συνήθως x=65). Με T x συμβολίζουμε τον τυχαίο υπολειπόμενο χρόνο ζωής για ένα άτομο ηλικίας χ, και έστω ω η μέγιστη προσδοκώμενη ηλικία (συνήθως ω=110). 0 T x ω-x Αν T x m δηλαδή το άτομο πεθάνει πριν το χρόνο εξάντλησης του κεφαλαίου m τότε το ποσό F m που μένει είναι διαθέσιμο ως κληροδότημα. Αν T x > m δηλαδή το άτομο ζει στο χρόνο εξάντλησης m τότε υπάρχουν ω x m χρόνια χωρίς δυνατότητα απόσυρσης. 7

Ε [ Τ x ] : αναμενόμενη εναπομένουσα διάρκεια ζωής Mod [ T x ] : εναπομένουσα διάρκεια ζωής με τη μέγιστη πιθανότητα Στην πράξη η ετήσια απόσυρση b (για δοθέν επιτόκιο i) μπορεί να επιλεγεί έτσι ώστε: m = Mod [ T x ] (1.9) και έτσι με μεγάλη πιθανότητα ο χρόνος εξάντλησης m να συμπέσει με την υπολειπόμενη διάρκεια ζωής Τ x. Aν m=ω-x τότε απομακρύνεται ο κίνδυνος να μείνουν ζωντανοί συνταξιούχοι χωρίς δυνατότητα απόσυρσης, αλλά έτσι οδηγούμαστε σε χαμηλή ετήσια απόσυρση. 1.3 ΑΠΟΤΡΕΠΟΝΤΑΣ ΤΗΝ ΠΡΟΩΡΗ ΕΞΑΝΤΛΗΣΗ ΤΟΥ ΤΑΜΕΙΟΥ l x : αριθμός ατόμων ηλικίας x l x+t : εκτιμώμενος αριθμός ατόμων που είναι ζωντανοί στην ηλικία x + t (t = 1,2,,ω-x) (η εκτίμηση γίνεται τη χρονική στιγμή 0) l ω > 0 και l ω+1 = 0 Οι ροές του ρευστού του παρόχου της προσόδου είναι: a) Εισόδημα l x S τη στιγμή 0 b) Μία σειρά πληρωμών l x+t b t τις στιγμές t = 1,2,,ω-x V t : περιουσία του παρόχου για κάθε συνταξιοδοτούμενο (ατομικό κεφάλαιο) την χρονική στιγμή t. Στις ισόβιες ράντες το ατομικό κεφάλαιο ονομάζεται αποθεματικό. l x+t V t : Συνολικό κεφάλαιο του παρόχου την χρονική στιγμή t l x+t V t = l x+t-1 V t-1 (1 + i ) l x+t b t (1.10) 8

όπου l x+t-1 V t-1 είναι το συνολικό κεφάλαιο του παρόχου την χρονική στιγμή t-1, (1+i) είναι η απόδοση των επενδύσεων και l x+t b t είναι οι ετήσιες αποσύρσεις για τους l x+t ζωντανούς την στιγμή t. Από την (1.10) διαιρώντας με l x+t βρίσκουμε την αναδρομική σχέση που περιγράφει την εξέλιξη του ατομικού ταμείου για κάθε συνταξιοδοτούμενο : lx+ t 1 V t = V t-1 (1 + i ) b t (1.11) l x+ t με V 0 = S H (1.11) μπορεί να γραφτεί: lx t 1 l V t = V t-1 ( 1 + i ) + l + x+ t x+ t V t-1 (1 + i ) - b t (1.12) Έτσι η ετήσια διακύμανση του ατομικού κεφαλαίου είναι: lx+ t 1 lx+ t V t V t-1 = V t-1 i + V t-1 (1 + i ) b t (1.13) l x+ t Η ετήσια μείωση του ατομικού κεφαλαίου V t χωρίζεται σε 3 εισφορές: a. Μία θετική συνεισφορά από το επιτόκιο ( V t-1 i ) b. Μία θετική συνεισφορά που παρέχεται από το μερίδιο των κεφαλαίων που θα διατεθούν εξαιτίας του θανάτου των l x+t-1 l x+t ατόμων στον t-οστό χρόνο, δηλαδή το μερίδιο που πληρώνεται στους l x+t συνταξιούχους που είναι lx+ t 1 lx+ t ζωντανοί την χρονική στιγμή t. ( V t-1 (1 + i ) ) lx+ t c. Μία αρνητική συνεισφορά λόγω της απόσυρσης b t ( - b t ) Στο σχήμα 1.4 που ακολουθεί βλέπουμε την ετήσια διακύμανση του ατομικού κεφαλαίου μίας ισόβιας ράντας. 9

Σχήμα 1.4 1.4 ΚΙΝΔΥΝΟΙ ΣΤΙΣ ΙΣΟΒΙΕΣ ΡΑΝΤΕΣ Ο πάροχος της προσόδου φέρει χρηματοοικονομικούς κινδύνους: Κίνδυνος αγοράς ( Market Risk ) Έχει να κάνει με το εγγυημένο επιτόκιο που πρέπει να πιστωθεί ανεξάρτητα από την απόδοση της επένδυσης του κεφαλαίου τελικά. Αν στην πράξη η απόδοση των επενδύσεων του κεφαλαίου είναι χαμηλότερη από το εγγυημένο επιτόκιο της ράντας, τότε ο πάροχος της προσόδου οδηγείται σε ζημία. Κίνδυνος ρευστότητας ( Liquidity Risk ) Η ετήσια πληρωμή απαιτεί τη διαθεσιμότητα μετρητών, που σημαίνει ότι ο πάροχος πρέπει να έχει κάθε στιγμή το απαραίτητο κεφάλαιο σε ρευστό προς πληρωμή. 10

Ο συνταξιοδοτούμενος φέρει μόνο τον κίνδυνο που σχετίζεται με την τυχαιότητα της ζωής του, δηλαδή δεν φέρει κανέναν χρηματοοικονομικό κίνδυνο παρά μόνο τον κίνδυνο για την υπολειπόμενη διάρκεια της ζωής του. Αν η πραγματική διάρκεια ζωής των συνταξιοδοτούμενων είναι μεγαλύτερη από την εκτιμώμενη τότε ο πάροχος της προσόδου δε μπορεί να χρηματοδοτήσει τις πληρωμές στους εν ζωή συνταξιούχους και οδηγείται σε ζημία. Ενώ αν ο αριθμός επιζώντων είναι μικρότερος του εκτιμώμενου τότε ο πάροχος της προσόδου οδηγείται σε κέρδος. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΙΣΟΒΙΩΝ ΡΑΝΤΩΝ (ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) 2.1 Η ΙΣΟΒΙΑ ΡΑΝΤΑ ΩΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΥΝΑΛΛΑΓΗ Η αγορά μίας ισόβιας προσόδου αποτελεί μία οικονομική συναλλαγή της οποίας οι ροές του ταμείου είναι: Το ασφάλιστρο (S) που καταβάλλεται από τον συνταξιοδοτούμενο προς τον πάροχο της προσόδου Μία σειρά πληρωμών (bt) που καταβάλλεται από τον πάροχο της προσόδου στον συνταξιοδοτούμενο όσο αυτός είναι εν ζωή, και η συχνότητα πληρωμής μπορεί να είναι μηνιαία, τριμηνιαία, εξαμηνιαία ή ετήσια. Εδώ θα αναφερθούμε μόνο σε ετήσιες πληρωμές και υποθέτοντας ότι οι πληρωμές γίνονται στο τέλος κάθε έτους (ληξηπρόθεσμες). 11

Η σχέση του εφάπαξ ποσού S και της σειράς πληρωμών b t ορίζεται από την σχέση l x+t V t = l x+t-1 V t-1 (1 + i ) l x+t b t (1.10) Λύνοντας ως προς S (b) όταν το b (S) έχει ανατεθεί οδηγούμαστε σε μία ρητή σχέση μεταξύ των δύο ποσών. Συγκεκριμένα S είναι η αναμενόμενη παρούσα αξία της προσόδου. Πράγματι, ένα λογικό σημείο εκκίνησης για τον καθορισμό του ενιαίου ασφαλίστρου δίνεται από τον υπολογισμό της αναμενόμενης αξίας της ισόβιας ράντας. Έτσι, το ενιαίο ασφάλιστρο καθορίζεται ίσο με την αναμενόμενη παρούσα αξία της ισόβιας προσόδου. 2.2 ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΑΞΙΕΣ Για δοθέν επιτόκιο i και ακολουθία l x,l x+1,,l ω από την (1.10) με l x V 0 = l x S βρίσκουμε: l x S = ω x t b lx+ t (1 + i) (2.1) t= 1 και συγκεκριμένα για έναν απλό συνταξιοδοτούμενο : S = ω x lx+ t t b (1 + i) (2.2) l t= 1 x Έτσι αποδεικνύεται ότι S είναι η παρούσα αξία της σειράς πληρωμών του b lx t ισοσταθμισμένο με τις αναλογίες +. l x x lx + t= tp x : η πιθανότητα άτομο ηλικίας x να επιβιώσει στην ηλικία x+t l lx + t= tp x = P(T x > t) (2.3) l x 12

Έτσι η (1.15) γίνεται: S = b ω x t tpx (1 + i) (2.4) t= 1 ω x Ή εναλλακτικά : S = b a hp h xqx+ h (2.5) h= 1 Όπου a = 1 (1 + i ) h : παρούσα αξία της προσωρινής προσόδου αποτελούμενη h i από h ετήσιες πληρωμές με καθυστέρηση 1 (1 + i ) h i q x+h : πιθανότητα (αποβίωσης) άτομο ηλικίας x+h να αποβιώσει εντός ενός έτους q x+h = P(T x+h <1) (2.6) προφανώς q ω = 1 hp x q x+h : πιθανότητα άτομο ηλικίας x να αποβιώσει μεταξύ των ηλικιών x+h και x+h+1 hp x q x+h = P[ h T x h+1] (2.7) hp x = (1-q x ) (1-q x+1 ) (1-q x+h-1 ) (2.8) αφού (1-q x ) είναι η πιθανότητα να μην αποβιώσει μέχρι την ηλικία x+1 και (1-q x+h-1 ) είναι η πιθανότητα να μην αποβιώσει μέχρι την ηλικία x+h. tp x = 1- t 1 hpxq x+ h (2.9) h= 0 αφού t 1 hpxq x+ h είναι η πιθανότητα να αποβιώσει πριν την ηλικία x+t. h= 0 Το ω x a hp h xqx+ h αντιπροσωπεύει τη αναμενόμενη παρούσα αξία ή αναλογιστική h= 1 αξία της ισόβιας προσόδου. Έτσι : S = E[ a ] (2.10) k x Όπου K x : τυχαία υπολειπόμενη διάρκεια ζωής ενός ατόμου ηλικίας χ, δηλαδή το ακέραιο μέρος της T x. Oι hp x q x+h, h=0,1,,ω-x αποτελούν την κατανομή πιθανότητας της τ.μ. K x. 13

Με το σύμβολο που χρησιμοποιείται για να υποδηλώσει την αναλογιστική αξία της προσόδου έχουμε: S = b α x (2.11) Όπου σύμφωνα με την (2.4) S = b ω x t= 1 tp (1 + i) x t α x = ω x t tpx (1 + i) (2.12) t= 1 V t : μαθηματικό απόθεμα της ισόβιας προσόδου lx+ t 1 V t = V t-1 (1+i) b t (2.13) l x+ t και σε όρους πιθανοτήτων : V t = διότι l l x+ t x+ t 1 = 1P x+t-1 1 V t-1 b (2.14) P + 1 x t 1 Το μαθηματικό απόθεμα V t εξαντλείται μόνο στη μέγιστη ηλικία ω. Παράδειγμα 2.1 Υποθέτουμε ποσό εφάπαξ S=1000, επιτόκιο i = 3%, ηλικία συνταξιοδότησης x=65 και ως μέγιστη ηλικία ω θεωρούμε την ηλικία λήξης της ράντας, που είναι 84. Θεωρούμε επίσης l x =1000 ο αριθμός των συνταξιοδοτούμενων που εισέρχονται στην ισόβια ράντα. Οι εκτιμώμενοι αριθμοί επιζώντων στις επόμενες ηλικίες εξάγονται από ένα set δεδομένων όπου δίνονται οι αναμενόμενοι θάνατοι και η κεντρική έκθεση στον κίνδυνο για άντρες στην Ελλάδα το έτος 2004, και βρίσκουμε τον κεντρικό ρυθμό θνησιμότητας m x =D x /R x (πίνακας 2.1). 14

Πίνακας 2.1 Κεντρική Έκθεση στον Αναμενόμενοι Κεντρικός ρυθμός κίνδυνο θάνατοι θνησιμότητας R65 46151,6 D65 861 m65 0,0186559 R66 46469,35 D66 967 m66 0,0208094 R67 46972,93 D67 1071 m67 0,0228004 R68 47154,22 D68 1171 m68 0,0248334 R69 45798,11 D69 1269 m69 0,0277086 R70 46565,29 D70 1364 m70 0,0292922 R71 44778,56 D71 1459 m71 0,0325826 R72 43273,53 D72 1556 m72 0,0359573 R73 41329,01 D73 1654 m73 0,0400203 R74 39777,1 D74 1753 m74 0,0440706 R75 37125,52 D75 1848 m75 0,0497771 R76 34650,29 D76 1919 m76 0,0553819 R77 31654,66 D77 1959 m77 0,0618866 R78 28573,4 D78 1970 m78 0,0689452 R79 25666,27 D79 1950 m79 0,0759752 R80 23457,43 D80 1901 m80 0,0810404 R81 20018,95 D81 1822 m81 0,0910138 R82 16936,5 D82 1713 m82 0,1011425 R83 14091,05 D83 1574 m83 0,1117021 R84 10963,09 D84 1405 m84 0,1281573 mx+ h Χρησιμοποιώντας το log(m x ) βρίσκουμε τις πιθανότητες q x+h = 1- e και P x+h = 1- q x+h, h=0,1,,ω-x και ο εκτιμώμενος αριθμός επιζώντων προέρχεται από την ακόλουθη αναδρομική σχέση: l x+h+1 = l x+h P x+h. (πίνακας 2.2) Πίνακας 2.2 h q x+h P x+h l x+h 0 0,018482964 0,981517036 1000 1 0,020594393 0,979405607 981,5170364 2 0,022542402 0,977457598 961,3032884 3 0,024527596 0,975472404 939,6332032 4 0,027328206 0,972671794 916,5862597 5 0,028867346 0,971132654 891,5376017 6 0,032057464 0,967942536 865,8012769 7 0,035318531 0,964681469 838,0458834 8 0,039230079 0,960769921 808,4473338 9 0,043113585 0,956886415 776,731881 10 0,048558504 0,951441496 743,2441849 15

11 0,053876276 0,946123724 707,1533589 12 0,060010546 0,939989454 669,0545695 13 0,066622212 0,933377788 628,9042396 14 0,073160808 0,926839192 587,0052479 15 0,077843584 0,922156416 544,0594695 16 0,086994856 0,913005144 501,7079307 17 0,096195771 0,903804229 458,0619214 18 0,105689375 0,894310625 413,9983017 19 0,12028501 0,87971499 370,24308 Βρίσκοντας τον εκτιμώμενο αριθμό επιζώντων μπορούμε να υπολογίσουμε τις lx+ t lx t πιθανότητες επιβίωσης tp x = +, τα καθώς και τα (1+i) -t και στην συνέχεια την l l αναλογιστική αξία της ράντας α x =α 65 = =10.68519 x x ω x t tpx (1 + i) = t= 1 84 65 και επίσης έχουμε ότι S =1000 άρα η ετήσια πληρωμή b=s/α x = 93.58749 t= 1 tp 65 (1.03) t Αποθεματικό: την t =0 : V 0 = S = 1000 τις t = 1,2,,19 το V t προκύπτει από τον αναδρομικό τύπο (2.13) lx+ t 1 V t = V t-1 (1+i) b t και δίνεται στον πίνακα 2.3 l x+ t Πίνακας 2.3 t V t 0 1000 1 955,8085 2 911,5964 3 867,011 4 821,8882 5 776,7419 6 730,2383 7 683,4684 8 636,1586 9 588,4107 10 539,7823 11 490,7635 16

12 440,6835 13 389,2945 14 336,0063 15 279,8176 16 218,954 17 153,4239 18 81,25853 19 0 Στο σχήμα 2.1 που ακολουθεί το μαθηματικό απόθεμα V t είναι συνάρτηση του χρόνου t ( t=0,1,2, ) και φαίνεται ότι στη μέγιστη ηλικία ω (εδώ ω=84) (δηλαδή για t=19) εξαντλείται. Σχήμα 2.1 17

2.3 ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΒΑΣΕΙΣ Η σχέση του S και του b βασίζεται στην αρχή της ισοδυναμίας, καθώς η S είναι η αναμενόμενη παρούσα αξία της σειράς πληρωμών b. Όταν χρησιμοποιείται η αρχή της ισοδυναμίας για την τιμολόγηση ασφαλιστικών προϊόντων και συγκεκριμένα ισόβιων προσόδων, τότε επιλέγεται μία ασφαλής τεχνική βάση ή πρώτης τάξης βάση, με ονομαστικό επιτόκιο i χαμηλότερο από την εκτιμώμενη απόδοση των επενδύσεων, καθώς και μία σειρά από πιθανότητες που εκφράζουν το επίπεδο θνησιμότητας χαμηλότερο από ότι αναμενόταν στο χαρτοφυλάκιο της ισόβιας προσόδου. Υποθέτουμε μία σταθερή εκτιμώμενη απόδοση των επενδύσεων i * και q * x+h οι ρεαλιστικές πιθανότητες θανάτου. h = 0,1,,ω-x Tώρα οι πιθανότητες επιβίωσης tp * x μπορούν να υπολογιστούν από την q * x+h όπως στην (2.8) tp * x = (1-q * x) (1-q * x+1) (1-q * x+t-1) (2.15) Η αναλογιστική αξία α * x που προκύπτει από την ισόβια πρόσοδο δίνεται μέσω της (2.12) και είναι: α * x = ω x * * t tpx (1 + i ) (2.16) t= 1 α x α * x : η αναμενόμενη παρούσα αξία του κέρδους της ασφαλίστριας εταιρίας από την σύμβαση της ισόβιας προσόδου (τη χρονική στιγμή t = 0). Το αναμενόμενο κέρδος θα πρέπει να λαμβάνεται ως ακαθάριστο (μεικτό) της συμμετοχής στα κέρδη. Αν i * > i τότε η απόδοση των επενδύσεων οδηγεί σε κέρδος για την ασφαλίστρια εταιρία. 18

Παράδειγμα 2.2 Υποθέτουμε i = 0.03 και τις πιθανότητες q x+h και P x, h=0,1,,ω-x όπως έχουν ανατεθεί στο παράδειγμα 2.1 ως στοιχεία της ασφαλής τεχνικής βάσης, ενώ για το scenario basis υποθέτουμε i * = 0.05 ως εκτιμώμενη απόδοση των επενδύσεων και το επίπεδο θνησιμότητας περιγράφεται τώρα από τις q * x+h= q x+h +0.01 δηλαδή από τις q * mx h x+h = 1.01 -. e + Με αυτές τις υποθέσεις έχουμε ότι : i * = 0.05 > 0.03 = i και q * x+h > q x+h Tώρα οι πιθανότητες επιβίωσης tp * x μπορούν να υπολογιστούν από την q * x+h tp * x = (1-q * x) (1-q * x+1) (1-q * x+t-1) Βρίσκουμε ότι : α * x = α * 65 = ω x 19 * * t * tpx i tp65 t= 1 t= 1 t (1 + ) = (1.05) = 8.579001 Συνεπώς η αναμενόμενη παρούσα αξία του κέρδους της ασφαλίστριας εταιρίας από την σύμβαση της ισόβιας προσόδου (την χρονική στιγμή t=0) είναι: α x α * x = α 65 α * 65 = 10.68519 8.579001 = 2.106189 Η κατάλληλη επιλογή της βάσης πρώτης τάξης για δοσμένο scenario basis, δηλαδή ορισμός επιτοκίου χαμηλότερου της αναμενόμενης απόδοσης των επενδύσεων ( i < i * ) καθώς και πιθανότητες αποβίωσης χαμηλότερες από τις ρεαλιστικές (q x+h < q * x+h ), παρέχει στον ασφαλιστή μία ασφάλεια απέναντι σε αρνητικές εμπειρίες θνησιμότητας ή δυσμενείς αποδόσεις από τις επενδύσεις. 19

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΤΑΥΡΟΕΙΔΗΣ ΕΠΙΔΟΤΗΣΗ 3.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η σταυροειδής επιδότηση είναι η πρακτική της χρέωσης υψηλότερων τιμών σε μία ομάδα συνταξιοδοτούμενων, προκειμένου να επιδοτούν τις χαμηλότερες τιμές για μία άλλη ομάδα. Έτσι η μεταφορά χρημάτων μέσα στον ασφαλισμένο πληθυσμό δημιουργεί σταυροειδή επιδότηση μεταξύ των ασφαλισμένων. Για να λειτουργήσει ομαλά η σταυροειδής επιδότηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη αμοιβαιότητας και αλληλεγγύης μέσα στον ασφαλισμένο πληθυσμό. Η όροι αμοιβαιότητα και αλληλεγγύη παρουσιάζονται παρακάτω. 3.2 ΑΜΟΙΒΑΙΟΤΗΤΑ Σ ένα χαρτοφυλάκιο ισόβιας προσόδου είναι ενδιαφέρον να επικεντρωθούμε στην ετήσια ισορροπία μεταξύ των διαθέσιμων περιουσιακών στοιχείων και του παθητικού. Αυτή η ισορροπία στηρίζεται στη μεταφορά περιουσιακών στοιχείων μεταξύ των συνταξιοδοτούμενων, δηλαδή από τους συνταξιοδοτούμενους που πεθαίνουν μέσα στο έτος σ αυτούς που είναι εν ζωή στο τέλος του έτους. Αυτό φαίνεται καθαρά από την αναδρομική σχέση (1.10) l x+t V t = l x+t-1 V t-1 (1 + i ) l x+t b t όπου το συσσωρευμένο ταμείο των l x+t-1 εν ζωή συνταξιοδοτούμενων τη χρονική στιγμή t-1 που είναι l x+t-1 V t-1 (1 + i ) χρησιμοποιείται για την χρηματοδότηση των παροχών στους l x+t εν ζωή συνταξιοδοτούμενους τη στιγμή t, δηλαδή την καταβολή του ποσού l x+t b t και τη διατήρηση του ταμείου l x+t V t για μελλοντικές πληρωμές. Έτσι οι πόροι που απαιτούνται τη χρονική στιγμή t διατίθενται χάρη σ αυτή τη σταυροειδή επιδότηση, δηλαδή την επίδραση της αμοιβαιότητας μέσα στον ασφαλισμένο πληθυσμό. 20

Το ατομικό κεφάλαιο V t μπορεί από την (2.13) να γραφτεί στη μορφή: lx t 1 l V t = V t-1 (1 + i ) + l + x+ t x+ t V t-1 (1 + i ) b t (3.1) ή V t = V t-1 (1 + i ) (1+ θ x+t ) b t (3.2) lx t 1 l Όπου θ x+t = l έχουμε: θ x+t = + x+ t x+ t 1 x t 1 και με όρους πιθανοτήτων όπως προκύπτει από την (2.14) 1-1 (3.3) P + Στην (3.2) η θ x+t μπορεί να ερμηνευθεί ως extra απόδοση που απαιτείται για να διατηρηθεί η διαδικασία μη σώρευσης του ατομικού αποθεματικού V t, και έτσι μπορεί να ερμηνευθεί ως ένα μέτρο της επίδρασης της αμοιβαιότητας. Η επιπλέον απόδοση θ x+t καλείται επίσης έλξη της θνησιμότητας ή τόκοι αμοιβαιότητας. Το θ x+t καθορίζει το μερίδιο των κεφαλαίων που αποδεσμεύονται λόγω του θανάτου των l x+t-1 l x+t συνταξιοδοτούμενων στο t-οστό έτος και πιστώνεται στους l x+t εν ζωή συνταξιοδοτούμενους στο χρόνο t. Η επιπλέον απόδοση που προβλέπεται από την επίδραση της αμοιβαιότητας είναι σαφώς συνάρτηση της τρέχουσας ηλικίας x+t. Αναφερόμενη σ ένα δοσμένο ηλικιακό διάστημα (x, x+m ), η ακολουθία θ x, θ x+1,,θ x+m μπορεί να συνοψιστεί σ ένα ευρετήριο, ανάλογα με τα x, m και το επιτόκιο i, που καλείται σιωπηρή απόδοση μακροζωίας (implied longevity yield- ILY). Παράδειγμα 3.1 Στο σχήμα 3.1 η ποσότητα θ x+t (έξτρα απόδοση) παριστάνεται γραφικά συνάρτηση του χρόνου t της ράντας (t=0,1,,19). Υποθέτουμε τα ίδια στοιχεία με το παράδειγμα 2.1 (ποσό εφάπαξ S=1000, επιτόκιο i = 3%, ηλικία συνταξιοδότησης x=65 και μέγιστη ηλικία ω=84).οι εκτιμώμενοι αριθμοί επιζώντων προκύπτουν επίσης από το set δεδομένων του παραδείγματος 2.1. Επίσης χρησιμοποιούμε τις P x+t του παραδείγματος 2.1 (t=0,1,,19) για να βρούμε τις θ x+t μέσω της σχέσης (3.3). Οι θ x+t παρουσιάζονται στον πίνακα 2.4 21

Πίνακας 2.4 t 1Px +t-1 θ x+t 1 0,979406 0,018831 2 0,977458 0,021027 3 0,975472 0,023062 4 0,972672 0,025144 5 0,971133 0,028096 6 0,967943 0,029725 7 0,964681 0,033119 8 0,96077 0,036612 9 0,956886 0,040832 10 0,951441 0,045056 11 0,946124 0,051037 12 0,939989 0,056944 13 0,933378 0,063842 14 0,926839 0,071378 15 0,922156 0,078936 16 0,913005 0,084415 17 0,903804 0,095284 18 0,894311 0,106434 19 0,879715 0,11818 Σχήμα 3.1 22

Παρατηρούμε ότι στο χρονικό διάστημα 0-5 (από την έναρξη της προσόδου) οι τιμές της επιπλέον απόδοσης θ είναι σχετικά μικρές. Σ ένα τέτοιο χρονικό φάσμα θα μπορούσαν να αντικατασταθούν με υψηλότερη απόδοση από τις επενδύσεις και έτσι σ αυτό το χρονικό διάστημα μία διαδικασία απόσυρσης προτιμάται σε ισόβια πρόσοδο. Αντιστρόφως καθώς αυξάνεται ο χρόνος η θ φτάνει σε πολύ υψηλές τιμές, οι οποίες προφανώς δεν μπορούν να αντικατασταθούν από τις αποδόσεις των επενδύσεων. 3.3 ΑΛΛΗΛΕΓΓΥΗ Ένας πληθυσμός που αποτελείται από (πιθανούς ή πραγματικούς) ασφαλισμένους χωρίζεται σε κατηγορίες κινδύνου. Δύο ή περισσότερες κατηγορίες κινδύνου μπορούν να ομαδοποιηθούν οδηγώντας σε μία κατηγορία αξιολόγησης, η οποία αποσκοπεί στη χρέωση όλων των ατόμων που ανήκουν σ αυτή με το ίδιο ασφάλιστρο. Το ασφάλιστρο που αποδίδεται σε μία κατηγορία αξιολόγησης θα πρέπει να είναι ο κατάλληλος σταθμισμένος μέσος όρος των ασφαλίστρων των ομαδοποιημένων κατηγοριών κινδύνου. Η στάθμιση θα πρέπει να αντανακλά τον αναμενόμενο αριθμό των (μελλοντικών) ασφαλισμένων που ανήκουν στις διάφορες κατηγορίες κινδύνου. Όταν δύο ή περισσότερες τάξεις κινδύνου συγκεντρώνονται σε μία κατηγορία αξιολόγησης, ορισμένοι ασφαλισμένοι πληρώνουν ασφάλιστρο υψηλότερο από το πραγματικό (αυτό που θα έπρεπε να πληρώσουν), ενώ άλλοι πληρώνουν χαμηλότερο. Έτσι η ισορροπία στο εσωτερικό μίας κατηγορίας αξιολόγησης στηρίζεται στη μεταφορά χρημάτων μεταξύ ατόμων που ανήκουν σε διαφορετικές κατηγορίες κινδύνου. Η μεταφορά αυτή ονομάζεται αλληλεγγύη (μεταξύ των ασφαλισμένων). 23

3.4 ΠΡΟΣΟΔΟΙ ΤΟΝΤΙΝΑΣ Ας υποθέσουμε ότι ο καθένας από τους l x συνταξιοδοτούμενους όλοι ηλικίας x την χρονική στιγμή t = 0, πληρώνει εκείνη τη στιγμή το ποσό S σ ένα χρηματοπιστωτικό ίδρυμα. Έναντι του ποσού Š = l x S, το χρηματοπιστωτικό ίδρυμα θα πληρώσει στο τέλος κάθε έτους, δηλαδή σε χρόνους t = 1,2, το σταθερό ποσό B, ενώ τουλάχιστον ένα άτομο της ομάδας είναι εν ζωή. Κάθε χρόνο το ποσό B κατανέμεται ισόποσα μεταξύ των επιζώντων. Έτσι κάθε άτομο ζωντανό στο χρόνο t λαμβάνει παροχή b t η οποία εξαρτάται από τον πραγματικό αριθμό των επιζώντων εκείνη τη στιγμή. Συμβολίζοντας με l x+t τον εκτιμώμενο αριθμό επιζώντων την t, η εκτίμηση της b t B δίνεται ως: και επειδή ο αριθμός των επιζώντων μειώνεται με το χρόνο έχουμε ότι: l x + t B B B...... (3.4) l l l x+ 1 x+ 2 x+ t Ο μηχανισμός της διαίρεσης του Β μεταξύ των επιζώντων ονομάζεται σύστημα τοντίνας, ενώ η ακολουθία (3.4) πρόσοδος τοντίνας. Η σχέση μεταξύ του S και του Β δηλώνεται βάση της αρχής της ισοδυναμίας. Η διάρκεια Κ της προσόδου που καταβάλλεται από το χρηματοπιστωτικό ίδρυμα είναι τυχαία και ορίζεται ως εξής: Κ = max { K x (1), K x (2),, K x (lx) ) (3.5) όπου Κ x (j) είναι η τυχαία εναπομένουσα διάρκεια ζωής του j-ατόμου. Ως εκ τούτου η αρχή της ισοδυναμίας απαιτεί: S = B E[ α ] (3.6) κ Ο υπολογισμός του E[ α ] είναι πολύ δύσκολος όμως. Στη πράξη μία λογική κ προσέγγιση θα μπορούσε να παρέχεται από το α. Γενικά αω x ω x > E[ α ] και όσο μεγαλύτερο είναι το l κ x τόσο καλύτερη είναι αυτή η προσέγγιση, καθώς υπάρχει μεγαλύτερη πιθανότητα κάποιοι να φτάσουν ή τουλάχιστον να προσεγγίσουν τη μέγιστη ηλικία ω. Παράδειγμα 3.2 Το κράτος εισπράττει ποσό S από μία ομάδα ατόμων και πρέπει να καταβάλλει κάθε χρόνο το ενδιαφέρον για S σ ένα δοσμένο ετήσιο επιτόκιο i. Η συνεχής ετήσια καταβολή S i κατανέμεται ίσα μεταξύ των εν ζωή μελών της ομάδας και παύει να ισχύει με το θάνατο του τελευταίου επιζών. Έτσι η διάρκεια της προσόδου είναι Κ, όπου Κ = max { K x (1), K x (2),, K x (lx) ) και έχουμε B = S i 24

Επομένως B S = i = 1 (3.7) α Όπου α είναι η παρούσα αξία μιας επ αορίστου προσόδου S S S α < α < Ε [ α ] ω x κ (3.8) Στο σύστημα τοντίνας δύο σημεία πρέπει να τονιστούν: a) Το σύστημα τοντίνας συνεπάγεται σαφώς μία σταυροειδή επιδότηση μεταξύ των συνταξιοδοτούμενων και ιδίως ότι η επίδραση της αμοιβαιότητας προκύπτει καθώς κάθε συνταξιοδοτούμενος που πεθαίνει απελευθερώνει ένα μερίδιο του ποσού Β, το οποίο κατανέμεται μεταξύ των επιζώντων συνταξιοδοτούμενων. b) Υπάρχει μία βασική διαφορά μεταξύ των προσόδων τοντίνας και των απλών ισόβιων προσόδων. Σε μία συνηθισμένη ισόβια πρόσοδο, η ετήσια παροχή αναφέρεται και διασφαλίζεται, δηλαδή ο πάροχος οφείλει να καταβάλλει το ποσό b στον συνταξιοδοτούμενο για όλη την εναπομένουσα διάρκεια ζωής του ανεξάρτητα από την εμπειρία θνησιμότητας στο χαρτοφυλάκιο. Αντίθετα σ ένα σύστημα τοντίνας η ακολουθία των ποσών b 1,b 2, που καταβάλλεται σε κάθε συνταξιοδοτούμενο εξαρτάται από το πραγματικό αριθμό επιζώντων. Για μία δεδομένη τεχνική βάση και δεδομένο ποσό S το ετήσιο όφελος b είναι πιθανό να είναι πολύ υψηλότερο από τις αρχικές πληρωμές σ ένα σύστημα τοντίνας. Από την S = B E[ α ] χρησιμοποιώντας την προσέγγιση κ αω x έχουμε: lx S B = αω x (3.9) lx x Και παίρνουμε για μικρές τιμές του t : < l α x+ t α ω x Έτσι b t = l lx S S < = b (3.10) α α x+ t ω x x 25

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΙΣΟΒΙΩΝ ΡΑΝΤΩΝ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ 4.1 ΤΥΧΑΙΑ ΠΑΡΟΥΣΑ ΑΞΙΑ ΜΙΑΣ ΙΣΟΒΙΑΣ ΠΡΟΣΟΣΟΥ Αν και οι τύποι (2.4) και (2.5) περιλαμβάνουν πιθανότητες, το μοντέλο που έχει κατασκευαστεί μέχρι στιγμής είναι ένα ντετερμινιστικό μοντέλο, καθώς οι πιθανότητες μπορούν να χρησιμοποιηθούν μόνο για τον προσδιορισμό αναμενόμενων τιμών. Ένα πρώτο βήμα προς το στοχαστικό μοντέλο ακολουθεί: ω x S = b a hp h xqx+ h (2.5) h= 1 με a = 1 (1 + i ) h h i Η (2.5) περιλαμβάνει την τυχαία παρούσα αξία Υ, Υ = μίας ισόβιας προσόδου. a κ (4.1) x Τα πιθανά αποτελέσματα της τ.μ. Υ είναι ως εξής: Υ 0 = a = 0 0 Υ 1 = a = (1+ i ) -1 1 = Y ω-x = a ω = (1 + i ) -1 + (1+i) -2 + + (1+i) -(ω-x) x Και έχουμε : P[ a κ =Y h ] = P[K x = h] (4.2) x 26

Παράδειγμα 4.1 Το σχήμα 4.1 απεικονίζει την κατανομή πιθανότητας της παρούσας αξίας της προσόδου ( α Κ ) υπολογισμένη για τις πιθανότητες q * x+h και το επιτόκιο i * που 65 ορίστηκαν στο παράδειγμα 2.2. Σχήμα 4.1 Ο υπολογισμός της κατανομής πιθανότητας της Υ = τεχνικής βάσης π.χ. η scenario basis. a κ απαιτεί την επιλογή μιας x 4.2 ΕΣΤΙΑΖΟΝΤΑΣ ΣΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΤΟΥ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ Για συγκεκριμένο αριθμό συνταξιοδοτούμενων l x, όλοι ηλικίας x και όλοι με το ίδιο πρότυπο ηλικίας θνησιμότητας π.χ. εκφραζόμενο από το q * x+h, οι αριθμοί l x+t t = 1,2, μπορούν να ερμηνευθούν ως οι αναμενόμενοι αριθμοί των επιζώντων στην ηλικία x+t, έξω από την αρχική ομάδα. Οι αριθμοί των ζωντανών συνταξιοδοτούμενων στο χρόνο t = 1,2,, ω-x αποτελούν μία τυχαία ακολουθία 27

L x+1, L x+2,, L ω (4.3) Αν υποθέσουμε ότι οι διάρκειες ζωής των συνταξιοδοτούμενων είναι ανεξάρτητες (και ομοιόμορφα κατανεμημένες), τότε η κατανομή πιθανότητας του L x+t είναι διωνυμική με παραμέτρους l x και tp * x, δηλαδή P[ L x+t = k ] = l! x (tp * x) k (1-tP * x) lx-k k= 0,1,,l x (4.4) k!! ( l k) x Και συγκεκριμένα έχουμε: E [ L x+t ] = l x tp * x (4.5) Κάνουμε την ίδια ανάλυση με το παράδειγμα 2.1. Υποθέτουμε ποσό εφάπαξ S=1000, ονομαστικό επιτόκιο i = 3%, ηλικία συνταξιοδότησης x=65 και ως μέγιστη ηλικία ω θεωρούμε την ηλικία λήξης της ράντας, που είναι 84. Θεωρούμε επίσης εδώ l x =1000 ο αριθμός των συνταξιοδοτούμενων που εισέρχονται στην ισόβια ράντα. Οι εκτιμώμενοι αριθμοί επιζώντων στις επόμενες ηλικίες εξάγονται από ένα set δεδομένων όπου δίνονται οι αναμενόμενοι θάνατοι και η κεντρική έκθεση στον κίνδυνο για άντρες στην Ελλάδα για τα έτη 1956 ως 2004, και βρίσκουμε τον κεντρικό ρυθμό θνησιμότητας m x. Χρησιμοποιώντας το log(m x ) βρίσκουμε τις mx+ h πιθανότητες q x+h = 1- e και P x+h = 1- q x+h, h=0,1,,ω-x για κέθε έτος, και ο εκτιμώμενος αριθμός επιζώντων προέρχεται από την ακόλουθη αναδρομική σχέση: l x+h+1 = l x+h P x+h. Βρίσκοντας τον εκτιμώμενο αριθμό επιζώντων μπορούμε να lx+ t lx+ t υπολογίσουμε τις πιθανότητες επιβίωσης tp x = για κάθε έτος. l l x x Αποθεματικό: την t =0 : V 0 = S = 1000 τις t = 1,2,,19 το V t προκύπτει από τον αναδρομικό τύπο (2.13) lx+ t 1 V t = V t-1 (1+i) b t l x+ t Για το scenario basis υποθέτουμε i * = 0.05 ως εκτιμώμενη απόδοση των επενδύσεων και το επίπεδο θνησιμότητας περιγράφεται τώρα από τις q * x+h = 1.01 - mx+ h e. Με αυτές τις υποθέσεις έχουμε ότι : i * = 0.05 > 0.03 = i και q * x+h > q x+h 28

Tώρα οι πιθανότητες επιβίωσης tp * x, μπορούν να υπολογιστούν από την q * x+h tp * x = (1-q * x) (1-q * x+1) (1-q * x+t-1) Στα σχήματα 4.2 (α) και (β) που ακολουθούν έχουμε τις κατανομές πιθανότητας των L 70 και L 80 αντίστοιχα, υπό τις υποθέσεις x=65, l 65 =100. Για την κατανομή του L 70 χρησιμοποιούμε το 5 P * 65= 0,846849041 και το (1-5 P * 65)= 0,153151 και για την κατανομή του L 80 χρησιμοποιούμε το 15 P * 65= 0,464983784 και το (1-15 P * 65)= 0,535016 και για k= 0,1,,100 βρίσκουμε τις πιθανότητες P[L 70 =k] και P[L 80 =k]. Σχήμα 4.2 (α) 29

Σχήμα 4.2 (β) Έστω τώρα Z t το συνολικό ταμείο. Η τυχαία συμπεριφορά στο χρόνο του συνολικού ταμείου Z t ορισμένο για t = 1,2,,ω-x είναι: Z t = Z t-1 (1+i * ) - L x+t b (4.6) Με Z 0 = l x S Η σχέση μεταξύ b και S δίνεται από την σχέση: S = b α x (4.7) όπου η α x έχει υπολογιστεί με πρώτης τάξεως τεχνική βάση με i=0.03 και πιθανότητες αποβίωσης q x+h αυτές του παραδείγματος (2.1). Μία διαδρομή (μονοπάτι) του ταμείου Z t μπορεί να ληφθεί μέσω προσομοίωσης του τυχαίου αριθμού L x+t, το οποίο με τη σειρά του μπορεί να ληφθεί προσομοιώνοντας τις τυχαίες διάρκειες ζωής των συνταξιοδοτούμενων. Πράγματι, (j) δηλώνοντας με T x την υπολειπόμενη διάρκεια ζωής του j-οστού συνταξιοδοτούμενου, έχουμε l x L x+t = I ( j ) (4.8) ( T > t) j= 1 x Όπου I ε η δείκτρια συνάρτηση του γεγονότος Ε. 30

Η αναμενόμενη διαδρομή Ε [ Ζ t ], t=1,2,.,ω-x μπορεί άμεσα να διαμορφωθεί ως: Ε [ Ζ t ] = E [ Z t-1 ] (1+i * ) E [ L x+t ] b (4.9) Όπου E [ L x+t ] = l x tp * x Παράδειγμα 4.2 Τα σχήματα 4.2 (α) και (β) απεικονίζουν 10 μονοπάτια της Z t για t=0,1,,5 και t=14,15,,19 αντιστοίχως για το έτος 2004, το σχήμα 4.2 (γ) απεικονίζει όλα τα μονοπάτια της Z t μέχρι την εξάντληση του ταμείου για το έτος 2004, και το σχήμα 4.2 (δ) απεικονίζει την προσομοιωμένη στατιστική κατανομή του Z 5 βασισμένο σ ένα δείγμα 49 μονοπατιών ( από το 1956 ως το 2004) και υποδεικνύει μέτρα τα οποία μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εκτίμηση της επικινδυνότητας του χαρτοφυλακίου μίας ισόβιας προσόδου όσον αφορά τη διασπορά του ταμείου Z t. Ως δεδομένα έχουμε πάρει επιτόκιο i * = 0.05 (μεγαλύτερο από το ονομαστικό επιτόκιο i) και πιθανότητες αποβίωσης q * x+h αυτές του παραδείγματος 2.2 Σχήμα 4.2 (α) 31

Σχήμα 4.2 (β) Σχήμα 4.2 (γ) 32

Για κάθε έτος βρίσκουμε τα L x+t υπολογισμένα από τον τύπο L x+t = L x+t-1 1 P x+t-1. Στη συνέχεια με το τύπο (4.6) υπολογίζω Z t Z t = Z t-1 (1=i * ) - L x+t b Προσομοιώνω τα Z 5 κάθε έτους στο SPSS και κατηγοριοποιώντας τα βρίσκουμε την στατιστική κατανομή τους. Σχήμα 4.2 (δ) Ενδιαφέροντα στοιχεία μπορεί να προκύψουν συγκρίνοντας την συμπεριφορά του ταμείου Z t με το (τυχαίο) χαρτοφυλάκιο αποθεματικών, των οποίων το ποσό είναι L x+t V t με το V t να δίνεται από την σχέση V t = b α x+t. Δεδομένου ότι τα πραγματικά περιουσιακά στοιχεία δίνονται από την Z t, η τυχαία ποσότητα M t = Z t L x+t V t (4.10) αντιπροσωπεύει τα περιουσιακά στοιχεία που υπερβαίνουν το επίπεδο που απαιτείται για την κάλυψη των αναμενόμενων μελλοντικών υποχρεώσεων. Στο σχήμα 4.3 παρουσιάζεται η πορεία της M t. 33

Σχήμα 4.3 4.3 ΜΙΑ ΠΡΩΤΗ ΜΑΤΙΑ ΣΤΟΝ ΚΙΝΔΥΝΟ ΚΑΙ ΤΗΝ ΦΕΡΕΓΓΥΟΤΗΤΑ Τα σχήματα 4.4 (α) και (β) απεικονίζουν την προσομοιωμένη στατιστική κατανομή των M 5 και M 15 βασισμένα σ ένα δείγμα 49 χρόνων (από το 1956 ως το 2004) και υποδεικνύουν επίσης μέτρα τα οποία μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εκτίμηση της επικινδυνότητας του χαρτοφυλακίου μίας ισόβιας προσόδου όσον αφορά τη ποσότητα M t. Βρίσκουμε τα Μ 5 και Μ 15 για κάθε έτος, και τα εισάγουμε σε SPSS όπου κατηγοριοποιούνται και βρίσκουμε τις συχνότητες κάθε κατηγορίας. 34

Σχήμα 4.4 (α) Σχήμα 4.4 (β) 35

Αν στην στατιστική κατανομή των Μ t προκύπτει ότι με θετική πιθανότητα τα Μ t παίρνουν αρνητικές τιμές, αυτό υποδηλώνει μία κατάσταση αφερεγγυότητας. Στα σχήματα 4.4 (α) και (β) δεν έχουμε αρνητικές τιμές της Μ t οπότε δεν υπάρχει κατάσταση αφερεγγυότητας. Γίνεται φανερό ότι οι πιθανότητες γεγονότων όπως Μ t <0 για κάποιο t, θα πρέπει να διατηρούνται αρκετά μικρές. Μία αρχική κατανομή του κεφαλαίου που οδηγεί σε Z 0 > lx S, μειώνει σαφώς την πιθανότητα αφερεγγυότητας. Για παράδειγμα αν είχαμε μία κατάσταση αφερεγγυότητας, δηλαδή κάποιο ή κάποια Μ t να παίρνουν με θετική πιθανότητα αρνητικές τιμές, τότε αν κατανέμαμε την ποσότητα Μ 0 = 2000 αντί για Μ 0 = 0 που ισχύει γενικά (αφού Μ 0 = Ζ 0 L x V 0 = (L x V 0 ) (L x V 0 ) = 0), ώστε Ζ 0 = l x S + 2000, τότε προκύπτει μικρότερη πιθανότητα αφερεγγυότητας. Αίτια κινδύνου εκτός από τη θνησιμότητα μπορούν να εισαχθούν στο μοντέλο μας, και συνήθως ο επενδυτικός κίνδυνος, ιδίως αν προκύπτουν από τυχαίες διακυμάνσεις στην απόδοση των επενδύσεων. Γι αυτό η ακολουθία των ετήσιων αποδόσεων των επενδύσεων πρέπει να προσoμειώνεται βάση ενός κατάλληλου μοντέλου στοχαστικών επιτοκίων που χρησιμοποιείται στη θέση της εκτιμώμενης απόδοσης i *. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΠΙΛΟΓΟΣ Όπως έχουμε δει στις ισόβιες ράντες οι πληρωμές δεν είναι γνωστές με βεβαιότητα αφού εξαρτώνται από την επιβίωση ή όχι του ασφαλισμένου πληθυσμού. Η μελλοντική όμως τάση της θνησιμότητας είναι τυχαία και έτσι προκύπτει κίνδυνος αβεβαιότητας για την ασφαλίστρια εταιρία. Ο κίνδυνος αυτός ονομάζεται κίνδυνος μακροζωίας και ουσιαστικά απορρέει από την τυχαιότητα της διάρκειας ζωής των ανθρώπων. Αν δηλαδή ο ασφαλισμένος πληθυσμός επιβιώσει πολύ παραπάνω από το αναμενόμενο, αυτό οδηγεί σε πολύ μεγάλη διάρκεια της ισόβιας ράντας και εξάντληση του αποθεματικού ταμείου για κάθε ασφαλισμένο, καθώς και σε ζημία για την ασφαλίστρια εταιρία. Η ασφαλίστριες εταιρίες στόχο έχουν να καλυφθούν απέναντι στον κίνδυνο μακροζωίας πριν την σύναψη της προσόδου. Τη χρονική στιγμή t = 0 ο κάθε ένας από 36

τους lx συνταξιοδοτούμενους ηλικίας x που εισέρχεται στο πρόγραμμα καταβάλλει εφάπαξ ποσό S (το οποίο μπορεί και να συσσωρεύεται καθ όλη τη διάρκεια των ετών που εργάζεται) στην ασφαλίστρια εταιρία, η οποία έναντι αυτού του ποσού αναλαμβάνει την υποχρέωση να καταβάλλει στον καθένα ετήσιες πληρωμές b t. Η ασφαλίστρια εταιρία κάθε χρόνο πληρωμής πιστώνει ένα ονομαστικό επιτόκιο i, στο κεφάλαιο που έχει δημιουργηθεί από τις αρχικές εισπράξεις των εφάπαξ ποσών. Όπως έχουμε δει όταν χρησιμοποιείται η αρχή της ισοδυναμίας για την τιμολόγηση ισόβιων προσόδων, τότε καθορίζουμε αρχικά μία ασφαλή τεχνική βάση με στοιχεία το ονομαστικό επιτόκιο i και τις πιθανότητες q x+h και P x, h=0,1,,ω-x ως τις αναμενόμενες πιθανότητες αποβίωσης και επιβίωσης αντίστοιχα. Στην συνέχεια για το scenario basis υποθέτουμε i * = 0.05 (i * >i) ως εκτιμώμενη απόδοση των επενδύσεων και το επίπεδο θνησιμότητας περιγράφεται τώρα από τις q * x+h (>q x+h ) (ρεαλιστικές πιθανότητες θανάτου) Έτσι προκύπτει ότι η αναμενόμενη παρούσα αξία του κέρδους της ασφαλίστριας εταιρίας από την σύμβαση της ισόβιας προσόδου (τη χρονική στιγμή t = 0) (α x α * x) είναι θετική, άρα η εταιρία οδηγείται σε κέρδος. Η κατάλληλη επιλογή της βάσης πρώτης τάξης για δοσμένο scenario basis, δηλαδή ορισμός επιτοκίου χαμηλότερου της αναμενόμενης απόδοσης των επενδύσεων ( i < i * ) καθώς και πιθανότητες αποβίωσης χαμηλότερες από τις ρεαλιστικές (q x+h < q * x+h ), παρέχει στον ασφαλιστή μία ασφάλεια απέναντι σε αρνητικές εμπειρίες θνησιμότητας ή δυσμενείς αποδόσεις από τις επενδύσεις. Τέλος η ποσότητα Μ t που αντιπροσωπεύει τα περιουσιακά στοιχεία που υπερβαίνουν το επίπεδο που απαιτείται για την κάλυψη των αναμενόμενων μελλοντικών υποχρεώσεων και δίνεται από τον τύπο : M t = Z t L x+t V t (4.10) Πρέπει να είναι > 0 σε όλη τη διάρκεια της ισόβιας ράντας ώστε η ασφαλίστρια εταιρία να είναι καλυμμένη απέναντι στις μελλοντικές της υποχρεώσεις. Αν με θετική πιθανότητα η Μ t < 0, δηλαδή έχουμε μία κατάσταση αφερεγγυότητας, τότε για να προκύψει μικρότερη πιθανότητα αφερεγγυότητας ορίζουμε αρχικό κεφάλαιο Z 0 > lx S που οδηγεί σε Μ 0 > 0. Για να εξαλείψουμε εντελώς την πιθανότητα να βρεθούμε σε κατάσταση αφερεγγυότητας ορίζουμε το Μ 0 ίσο με την μικρότερη τιμή που αναμένουμε να πάρει η Μ t στη διάρκεια της ράντας (έστω ρ αυτή η τιμή), δηλαδή Ζ 0 = l x S + ρ έτσι ώστε για αυτό το t και για κάθε t, η Μ t 0. 37

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Modelling Longevity Dynamics for Pensions and Annuity Business (Ermanno Pitacco, Michel Denuit, Steven Haberman and Annamaria Olivieri) Μαθηματικά Ασφαλίσεων Ζωής (Πέτρος Φ. Χατζόπουλος) Σημειώσεις του μαθήματος Ανάλυση Θνησιμότητας του τμήματος Στατιστικής και Αναλογιστικών Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών της Σχολής Θετικών Επιστημών του Πανεπιστημίου Αιγαίου (Πέτρος Φ. Χατζόπουλος) el.wikipedia.org http://stat-athens.aueb.gr/~akostaki/gr/courses/kefalaio2.pdf http://www.demography-lab.prd.uth.gr/ddaog/edu/lessons/5.htm http://www.e-demography.gr/theory/files/edemography_theory_00003.pdf 38