Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Διοικητικής Επιστήμης και Τεχνολογίας Εργασία με χρήση του λογισμικού πακέτου MATLAB στο πλαίσιο του μαθήματος: Μαθηματικά Διοικητικής Επιστήμης Ι Διδάσκων: Εμμανουήλ Κρητικός kmn@aueb.gr Υπεύθυνος Εργ. Μαθήματος: Παντελής Λάππας pzlappas@aueb.gr Αθήνα, 2012
ΕΡΓΑΣΙΑ Μέρος Α: Βασικές Πράξεις και Ορισμός Μεταβλητών ΑΣΚΗΣΗ 1 Να υπολογίσετε τις ακόλουθες παραστάσεις. Η μορφή απεικόνισης του αποτελέσματος των παραστάσεων θα είναι με δυο δεκαδικά ψηφία για τις πρώτες δύο, με δεκαπέντε δεκαδικά ψηφία για την τρίτη και τέταρτη, με εκθετική μορφή με τέσσερα δεκαδικά ψηφία για την πέμπτη και έκτη και με τέσσερα δεκαδικά ψηφία για την έβδομη και όγδοη παράσταση. Υπενθυμίζεται πως η προεπιλεγμένη μορφή απεικόνισης των αριθμών είναι με τέσσερα δεκαδικά ψηφία. 2
ΑΣΚΗΣΗ 2 Να ορίσετε τις μεταβλητές r=2.34, t=6.8, x=8.3, y=2.4 υπολογίσετε τις ακόλουθες παραστάσεις: και στη συνέχεια να Μέρος Β: Διανύσματα, Πίνακες και Αρχεία SCRIPT ΑΣΚΗΣΗ 3 i. Να δημιουργήσετε ένα διάνυσμα γραμμής που θα έχει τα ακόλουθα στοιχεία: 3, 4/2.55, 110 1/3, cos25 o ii. iii. iv. Να δημιουργήσετε ένα διάνυσμα στήλης που θα έχει τα ακόλουθα στοιχεία: 25.5, (14tan58 o )/(2.1 2 +11), π/5, ln29 2 Να ορίσετε τις μεταβλητές x=0.85, y=12.5, a=3.5 και b=-6.4 και στη συνέχεια να δημιουργήσετε ένα διάνυσμα γραμμής, τα στοιχεία του οποίου θα είναι τα ακόλουθα: y, y x, ln(y/x), yx, x+y και ένα διάνυσμα στήλης, τα στοιχεία του οποίου θα είναι: a, a 2, a/b, ab, a 1/2 Να δημιουργήσετε ένα διάνυσμα γραμμής με πρώτο στοιχείο το 2 και τελευταίο το 37. Η απόσταση κάθε φορά του επόμενου στοιχείου του διανύσματος γραμμής από το προηγούμενό του θα είναι 5. v. Να δημιουργήσετε ένα διάνυσμα στήλης x το οποίο θα περιέχει 100 στοιχεία που ισαπέχουν μεταξύ τους, με πρώτο στοιχείο το 45 και τελευταίο το 67. vi. vii. Να δημιουργήσετε ένα διάνυσμα στήλης 10 στοιχείων που ισαπέχουν μεταξύ τους με πρώτο στοιχείο το 2 και τελευταίο το 8. Να δημιουργήσετε τους ακόλουθους πίνακες, τον ορθογώνιο πίνακα Α 3x2 και τον τετραγωνικό πίνακα Β 3x3 : 3
viii. ix. Να δημιουργήσετε έναν πίνακα C, ο οποίος θα περιέχει ακριβώς τα ίδια στοιχεία με τον Α μόνο που το στοιχείο που βρίσκεται στην 3 η γραμμή και 2 η στήλη, αντί για 65 θα έχει την τιμή 60. Σημείωση: Ο πίνακας C δεν θα δημιουργηθεί πληκτρολογώντας εκ νέου τα στοιχεία, αλλά αξιοποιώντας τον ήδη υπάρχοντα πίνακα Α. Να δημιουργήσετε τα διανύσματα στήλης: e1 (με στοιχεία, τα στοιχεία της πρώτης στήλης του Α), e2 (με στοιχεία, τα στοιχεία της δεύτερης στήλης του Α), e3 (με στοιχεία, τα στοιχεία της πρώτης στήλης του Β), e4 (με στοιχεία, τα στοιχεία της δεύτερης στήλης του Β) και e5 (με στοιχεία, τα στοιχεία της τρίτης στήλης του Β). Στη συνέχεια θα δημιουργήσετε τον ορθογώνιο πίνακα D 3x5, που θα έχει ως στήλη κάθε ένα από τα διανύσματα στήλης e1,e2,e3,e4 και e5. Σημείωση: Τόσο τα διανύσματα στήλης όσο και ο ορθογώνιος πίνακας δε θα δημιουργηθούν πληκτρολογώντας τα στοιχεία εκ νέου, αλλά αξιοποιώντας τους πίνακες Α και B. x. Σε όλα τα στοιχεία του πίνακα Α προσθέστε το 3, και το αποτέλεσμα αυτής της πράξης (που είναι πάλι πίνακας) πολλαπλασιάστε το με το 1/2. Αν S o τελικός πίνακας που προκύπτει, μπορεί να υπάρξει πολλαπλασιασμός μεταξύ του S και του Β, δηλαδή SB; Αιτιολογήστε. xi. xii. Να ορίσετε έναν πίνακα R που έχει 5 γραμμές και 3 στήλες, αλλά που όλα τα στοιχεία του είναι «1» (χρησιμοποιήστε έτοιμη συνάρτηση του MATLAB). Ο πολλαπλασιασμός του R με το B μπορεί να γίνει; Αιτιολογήστε. Να ορίσετε έναν πίνακα Τ ίδιας διάστασης με τον R, τα στοιχεία του οποίου είναι «0» (χρησιμοποιήστε έτοιμη συνάρτηση του MATLAB). Υπολογίστε το T+R. Η πράξη της πρόσθεσης μεταξύ A+R μπορεί να γίνει; Αιτιολογήστε. ΑΣΚΗΣΗ 4 i. Να δημιουργήσετε τα SCRIPTS (askisi1.m, askisi2.m, askisi3.m) που θα περιέχουν αντίστοιχα όσα ζητούνται στις ασκήσεις 1,2 και 3. ii. Να δημιουργήσετε ένα SCRIPT (askisi4.m) για τον υπολογισμό της μηνιαίας δόσης, Μ, για ένα δάνειο ύψους P, διάρκειας y ετών με επιτόκιο r. Όταν θα καλείται το SCRIPT προς εκτέλεση, θα εμφανίζεται ένα μήνυμα υποδοχής στο χρήστη «Πληκτρολογήστε οποιοδήποτε πλήκτρο για την εκτέλεση του 4
SCRIPT», και θα αναμένει μέχρις ότου ο χρήστης πληκτρολογήσει κάποιο πλήκτρο. Στη συνέχεια θα προτρέπει το χρήστη, εμφανίζοντας κατάλληλα μηνύματα, να δώσει τιμή για το P, το y και το r. Έπειτα, αφού υπολογιστεί το ποσό της μηνιαίας δόσης θα εμφανίζεται κατάλληλο μήνυμα που θα ενημερώνει για το ακριβές αποτέλεσμα. Ο τύπος για τον υπολογισμό της μηνιαίας δόσης είναι ο ακόλουθος: Μέρος Γ: Συναρτήσεις, Πολυώνυμα και Γραφικά ΑΣΚΗΣΗ 5 i. Να ορίσετε τη συνάρτηση y = f1(x) = -0.2x 4 +e -0.5x x 3 +7x 2 και στη συνέχεια από το command window του MATLAB θα καλείτε SCRIPT (askisi5a.m) το οποίο θα καλεί την συνάρτηση f1 (f1.m) υπολογίζοντας τα f1(-2.5) και f1(3). Σημείωση: Κάθε συνάρτηση που ορίζετε θα πρέπει να περιλαμβάνει τη γραμμή ορισμού της συνάρτησης, τη γραμμή Η1 και το κυρίως μέρος της συνάρτησης. ii. Να ορίσετε τη συνάρτηση M=MD(P,r,y) ως εναλλακτική επίλυση του υποερωτήματος ii) της άσκησης 4. Σημείωση: Τα P,r,y θα δίνονται σαν ορίσματα εισόδου στη συνάρτηση από το χρήστη, χωρίς να χρειάζονται το μήνυμα υποδοχής και τα αντίστοιχα μηνύματα για τα P,r,y και M. Η εκχώρηση τιμών στα P, r, y και η κλήση της συνάρτησης MD θα γίνεται με το SCRIPT askisi5b (askisi5b.m) iii. Να ορίσετε το διάνυσμα γραμμής x=[-3:3] και τη συνάρτηση y = f2(x) = (45x 3-10)/5x 2. Για κάθε τιμή του x να υπολογιστεί το αντίστοιχο y. Ο ορισμός του διανύσματος γραμμής και η κλήση της συνάρτησης f2 θα γίνεται εκτελώντας το SCRIPT askisi5c (askisi5c.m). iv. Να ορίσετε τα πολυώνυμα a(x)=x 4 +6x 3-12x 2-18, b(x)=23x 3 +7x+5 και καλώντας τη συνάρτηση για την πρόσθεση πολυωνύμων διαφορετικού βαθμού, το πολυώνυμο c(x)=a(x)+b(x). Ο ορισμός των πολυωνύμων θα γίνεται στο SCRIPT askisi5d (askisi5d.m). 5
v. Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή του πολυωνύμου P(x) για x=3, όπου P(x)=(c(x)+a(x))b(x)a(x). Ο ορισμός του πολυωνύμου και ο υπολογισμός της αριθμητικής τιμής του θα γίνεται στο SCRIPT askisi5e (askisi5e.m). vi. Να υπολογίσετε την παράγωγο του πολυωνύμου c(x) για x=2. (SCRIPT: askisi5f.m) ΑΣΚΗΣΗ 6 i. Στο ίδιο παράθυρο γραφικών, να σχεδιάσετε τα διαγράμματα των ακόλουθων συναρτήσεων: (SCRIPT: askisi6a.m) ii. Στο ίδιο παράθυρο γραφικών, να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις της ακόλουθης συνάρτησης: (SCRIPT: askisi6b.m) iii. iv. Να ορίσετε τη συνάρτηση z=f(x,y)=xcos(2x)sin(3y) ως ανώνυμη και στη συνέχεια να αναπαραστήσετε την τρισδιάστατη γραφική παράσταση (SCRIPT: askisi6c.m). Να ορίσετε την συνάρτηση z=f(x,y)=sin(x)e -2y όπου xε[-2,2] και yε[-4,3]. Στη συνέχεια να αναπαραστήσετε την τρισδιάστατη γραφική παράσταση (SCRIPT: askisi6d.m). 6
Μέρος Δ: Προγραμματισμός στο MATLAB ΑΣΚΗΣΗ 7 Προϋπολογισμός ή προγραμματισμός επενδύσεων κεφαλαίου (capital budgeting) ονομάζεται η διαδικασία κατά την οποία σχεδιάζονται οι δαπάνες μιας επιχείρησης σε μακροπρόθεσμα περιουσιακά στοιχεία, δηλαδή σε στοιχεία με διάρκεια ζωής μεγαλύτερη του ενός έτους, τα οποία θα χρησιμοποιηθούν στην παραγωγή ενός αγαθού ή μιας υπηρεσίας. Ο προϋπολογισμός επενδύσεων κεφαλαίου αναφέρεται στην ανάλυση επενδυτικών σχεδίων από μια επιχείρηση και στην απόφαση αποδοχής ή απόρριψής τους. Οι πιο διαδεδομένες μέθοδοι αξιολόγησης επενδυτικών προτάσεων είναι οι εξής: Η Μέθοδος της Μέσης Απόδοσης (Average Rate of Return, ARR) Η Μέθοδος της Περιόδου Επανείσπαρξης ή Επανάκτησης (Payback Period) Η Μέθοδος της Καθαρής Παρούσας Αξίας (Net Present Value, NPV) Η Μέθοδος του Εσωτερικού Βαθμού Απόδοσης (Internal Rate of Return, IRR) Η Μέθοδος του Δείκτη Αποδοτικότητας (Profitability Index, PI) Στο πλαίσιο της άσκησης 7 θα δημιουργήσετε μια συνάρτηση (net_present_value.m) η οποία θα υλοποιεί τη μέθοδο της Καθαρής Παρούσας Αξίας (ΚΠΑ). Η μέθοδος της ΚΠΑ δείχνει τη συμβολή της επένδυσης στην αξία της επιχείρησης. Η ΚΠΑ ενός επενδυτικού προγράμματος ισούται με την παρούσα αξία των αναμενόμενων πρόσθετων ταμειακών ροών μετά από φόρους οι οποίες προέρχονται από το πρόγραμμα, προεξοφλημένων με ένα επιτόκιο το οποίο αντανακλά τον κίνδυνο των αναμενόμενων ταμειακών ροών. Η ΚΠΑ μιας επένδυσης υπολογίζεται ως εξής: όπου, CF t η ετήσια πρόσθετη ταμειακή ροή μετά από φόρους του έτους t, και t=0,1,2,, n (η ταμειακή ροή μπορεί να πάρει θετική ή αρνητική τιμή), και k η απαιτούμενη απόδοση. Αν ΚΠΑ>0, η πρόταση γίνεται αποδεκτή Αν η ΚΠΑ=0, τότε οι ταμειακές ροές του προγράμματος είναι αρκετές για να αποπληρώσουν το αρχικό επενδυμένο κεφάλαιο και να αποδώσουν στην επιχείρηση την απαιτούμενη απόδοση του επενδυμένου κεφαλαίου την οποία αναμένουν οι μέτοχοι να αποκομίσει η επιχείρηση από το πρόγραμμα. Αν η ΚΠΑ<0, η πρόταση απορρίπτεται 7
Για παράδειγμα, έστω η επιχείρηση Χ σχεδιάζει να επενδύσει σε ένα πρόγραμμα το αρχικό κόστος του οποίου είναι 100.000.000. Εκτιμάται ότι το πρόγραμμα θα αποφέρει τις ακόλουθες πρόσθετες ταμειακές ροές μετά από φόρους: Έτη Πρόσθετες Ταμειακές Ροές ( ) 1 50.000.000 2 22.500.000 3 90.000.000 4 95.000.000 Εάν το προεξοφλητικό επιτόκιο του προγράμματος είναι 10%, τότε ΚΠΑ 96.554.197. Επειδή ΚΠΑ>0 το πρόγραμμα θα γίνει αποδεκτό. Να δημιουργήσετε μια συνάρτηση που θα δέχεται σαν είσοδο τη συνολική διάρκεια του προγράμματος, τις αντίστοιχες πρόσθετες ταμειακές ροές, το αρχικό κόστος της επένδυσης, το προεξοφλητικό επιτόκιο και θα δίνει ως έξοδο την ΚΠΑ, ενημερώνοντας με μήνυμα το χρήστη πόσο είναι η ΚΠΑ και αν τελικά το πρόγραμμα γίνεται ή όχι αποδεκτό. Η εκχώρηση τιμών στα ορίσματα εισόδου, καθώς επίσης και η κλήση της συνάρτησης θα γίνονται με την εκτέλεση του SCRIPT askisi7 (askisi7.m) 8