0.3 Όρια, Συνέχεια συναρτήσεων

Transcript

1 . Όρια, Συνέχεια συναρτήσεων Μπορείτε να «σχεδιάσετε» τις γραφικές παραστάσεις και να τις περιεργαστείτε πληκτρολογώντας στο Matlab το κοµµάτι κώδικα που βρίσκεται µετά τις ασκήσεις. Άσκηση.1 Υπολογίστε το όριο (αν υπάρχει) ή αποδείξτε ότι το όριο δεν υπάρχει (, ) (,) i. ii. x (, ) (,) iii. (, ) (,) x + + y x y iv. (, ) ( ππ, ) x ηµ 4

2 v. (, ) (,) ηµ ( ) vi. x (, ) (,) vii. (, ) (,) x y 1 viii. (, ) (,) x y ix. (, ) (,) 4

3 x. xi. xii. ( z,, ) (,,) x y z + z z ( z,, ) (,,) + z ( z,, ) (,,) 1 ηµ ( + z ) (1 + + z ) Λύση i. Παράδειγµα 7.7, σελ. 64, ιδακτικό βιβλίο ix. Παράδειγµα 7.8, σελ. 65, ιδακτικό βιβλίο xii. Θέτουµε t = + z Να λυθούν οι υπόλοιπες. Άσκηση. i. Έστω f : A R, A R και ( α, β ) σηµείο συσσώρευσης του Α. Αποδείξτε ότι αν υπάρχουν τα f (, ) και f (, ), τότε υπάρχει το διαδοχικό y β x α (, ) ( αβ, ) x α όριο ( f (, )) και ( f (, )) = f(, ). y β x α ( x, y) ( α, β) + ( x y) ii. Έστω f( x, y) =, ( x, y) \{(,)} R.

4 Αποδείξτε ότι ( f( x, y)) = ( f( x, y)) =, αλλά ότι το f (, ) x y y x (, ) (,) υπάρχει. δεν iii. Έστω (, ) x y f x y =, x+ y.αποδείξτε ότι x+ y και ότι το f (, ) δεν υπάρχει. (, ) (,) ( f (, )) ( f(, )) x y y x Λύση i. Έστω = f (, ) και ε >. Τότε δ = δε ( ) > τέτοιο ώστε (, ) ( αβ, ) ε ε l f( x, y) l < < + για (, ) ( ( α δ, α δ) ( β δ, β δ) ) Έστω y ( β δ, β δ) + + Α. + για το οποίο ορίζεται το f (, ). Τότε x a ε ε l f ( x, y) l + ή (, ) x a f x y l ε < ε. x a Άρα υπάρχει το ( f (, )) και µάλιστα ( f (, )) = l. ii. - iii. Να λυθούν y β x α y β x α Άσκηση. Εξετάστε ως προς την συνέχεια τις συναρτήσεις i.,(, ) (,) f( x, y) = (, ) R, (, ) = (,) ii. ηµ ( x + y ), (, ) (,) f( x, y) = (, ) R 1, (, ) = (,) iii. ηµ ( ) 1 + zηµ, x f( x, y, z) = x x ( z,, ) R, x = iv. e 1 1 συν x 1 y,, e, x f( x, y) = x x + 1 x ( y,1,), x= (, ) R v. z,,, (,, ) (,,) z f( x, y, z) = + z + z ( z,, ) R (1,), ( z,, ) = (,,)

5 Λύση i. Χρησιµοποιείστε τον ορισµό της συνέχειας µε δ=ε. ii. Για y = x έχουµε ηµ ( x + x ) ηµ ( x ) ηµ ( x ) = = = ( xx, ) (,) x x + x x x x = 1 = f (,). Άρα η f είναι ασυνεχής στο (, ). Για ( αβ, ) (,) η f είναι συνεχής. iv. e 1, x f = ( f1, f, f) όπου f1( x, y) = x, y, x= συν x 1 y 1 e, x f( x, y) =, ( x, y) R και f ( x, y) = x x + 1, x =. Για την e 1 e 1 1 = y = β = f1(, β ). (, ) (, β) x (, ) (, β) συν x 1 y Για την f έχουµε : e = = f(, β ) (, ) (, β ) x Συµπεραίνουµε (εύκολα) ότι οι f, 1 f f είναι συνεχείς για κάθε άρα και η f είναι συνεχείς σε κάθε ( αβ R, ). iii,v Nα λυθούν. ( αβ R, ) Άσκηση.4 Εξετάστε αν υπάρχει λ R (και αν υπάρχει να υπολογιστεί), ώστε κάθε µία από τις συναρτήσεις να είναι συνεχής στο (,). i.,(, ) (,) 4 f( x, y) = λ,(, ) = (,) ii. y,(, x y) (,) f( x, y) = λ,(, ) = (,) iii. Oι συναρτήσεις της άσκησης.1

6 Λύση i. Όπως το Παρ. 8.8, σελ. 9, ιδακτικό βιβλίο ii. 1 Ισχύει και y =. Άρα f( x, y) (, ) (,) (, ) (,) Για να είναι η f συνεχής στο (,) πρέπει λ = f (,) =. iii. Να λυθούν. =.

7 Κώδικας σε MATLAB για γραφικές παραστάσεις clear all; clc; [X,Y] = meshgrid(-5:.5:5); figure(1) R1=X.*Y; R=X.^ +Y.^; Z=R1./R; figure (); R1=X.^; R=X.^ +Y.^; Z=R1./R; figure (); R=X.^ + X.*Y + Y.^; R=X.^ - Y.^; Z=R./R; figure (4); R1=X + Y; R=sin(R1/4); Z=X.*R; figure (5); R1=X + Y; R=sin(R1); Z=R./R1; figure (6); R1=X

8 R=X.^ +Y.^; Z=X./(X.^ +Y.^); figure (7); R1=X.*Y R=X.^ + Y.^-1; Z=R1./R; figure (8); R1=X + Y; R=X.^ - Y.^; Z=R./R1;