Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον"

Transcript

1 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

2 Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Πέμπτη Σειρά Διαφανειών 1 Παρεμβολή 2 Πολυωνυμική Παρεμβολή Γενική μέθοδος Πολυώνυμο Taylor Πολυώνυμο Παρεμβολής Lagrange Πολυώνυμο Παρεμβολής Newton Παρεμβολή με τμηματικά Πολυώνυμα Γραμμικά Splines Κυβικά Splines Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

3 Εισαγωγή Ορισμός Παρεμβολή είναι το πρόβλημα προσαρμογής μιας κατάλληλης και εύχρηστης συνάρτησης f σε ένα σύνολο σημείων ή στις τιμές μιας συνάρτησης g, έτσι ώστε η συνάρτηση f να έχει τις ίδιες τιμές με τις αντίστοιχες τιμές των δεδομένων ή με τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης g. Δηλαδή, για τα σημεία (x i, y i ) με i = 0, 1,..., n να ισχύει f (x i ) = y i για κάθε i = 0, 1,..., n ή f (x i ) = g (x i ) για κάθε i = 0, 1,..., n. Εφαρμογή σε πολλά επιστημονικά πεδία Προβλήματα φυσικής Προβλήματα μηχανικής Οικονομικά προβλήματα Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

4 Εισαγωγή Μέθοδοι Παρεμβολής Πολυωνυμική Η παρεμβαλλόμενη συνάρτηση έχει μόνο πολυωνυμικούς όρους. Τριγωνομετρική Η παρεμβαλλόμενη συνάρτηση έχει μόνο τριγωνομετρικούς όρους. Εκθετική Η παρεμβαλλόμενη συνάρτηση έχει μόνο εκθετικούς όρους. Μεικτή Η παρεμβαλλόμενη συνάρτηση έχει οποιουδήποτε τύπου όρους. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

5 Πολυωνυμική Παρεμβολή Γενική μέθοδος. Πολυώνυμο Taylor. Παρεμβολή με πολυώνυμα Lagrange. Παρεμβολή με το πολυώνυμο Newton. Παρεμβολή με τμηματικά πολυώνυμα (Splines). Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

6 Πολυωνυμική Παρεμβολή - Γενική μέθοδος Εύρεση μιας πολυωνυμικής συνάρτησης (πολυώνυμο παρεμβολής) η οποία να διέρχεται από ένα σύνολο γνωστών σημείων (Σημεία παρεμβολής). Αν ο αριθμός των σημείων είναι n + 1 τότε το πολυώνυμο παρεμβολής θα είναι n βαθμού και το ζητούμενο πολυώνυμο είναι μοναδικό. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

7 Γενική μέθοδος Έστω το πολυώνυμο n βαθμού p n (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 το οποίο διέρχεται από τα σημεία (x i, y i ) με i = 0, 1, 2,... n. Επαληθεύουμε τα σημεία στο πολυώνυμο και έχουμε a n x n 0 + a n 1 x n a 1 x 0 + a 0 = y 0 a n x n 1 + a n 1 x n a 1 x 1 + a 0 = y 1. a n x n n + a n 1 x n 1 n + + a 1 x n + a 0 = y n. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

8 Γενική μέθοδος Δημιουργήσαμε ένα σύστημα με n + 1 εξισώσεις και n + 1 αγνώστους. Άγνωστοι του συστήματος είναι οι συντελεστές a i του πολυωνύμου. Ο πίνακας των συντελεστών του συστήματος είναι x n 0 x n x 0 1 x n 1 x n x 1 1 V = x n n x n 1 n... x n 1 ο οποίος ονομάζεται πίνακας Vandermonde. Το σύστημα έχει λύση a = V 1 y Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

9 Γενική μέθοδος Η ορίζουσα του συστήματος είναι x n 0 x n x 0 1 x n 1 x n x 1 1 V = x n n x n 1 n... x n 1 ή ισοδύναμα V = n (x i x j ) 0 i,j=0 i<j και ονομάζεται ορίζουσα Vandermonde. Το σύστημα έχει πάντα λύση. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

10 Γενική μέθοδος - Παράδειγμα Έστω τα σημεία A(1, 2), B(2, 3) και Γ (3, 6). Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής το οποίο διέρχεται από τα παραπάνω σημεία (με τη γενική μέθοδο). Έχουμε 3 σημεία αρά θα βρούμε πολυώνυμο δευτέρου βαθμού (n = 2). Υπολογισμός του πίνακα Vandermonde V = = Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

11 Γενική Μέθοδος - Παράδειγμα Υπολογισμός των συντελεστών του πολυωνύμου a = V 1 y = = τα οποία είναι οι συντελεστές του πολυωνύμου παρεμβολής, δηλαδή, p(x) = x 2 2x + 3 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

12 Γενική Μέθοδος - Παράδειγμα Σχήμα: Το πολυώνυμο παρεμβολής που διέρχεται από τα σημεία παρεμβολής. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

13 Πολυώνυμο Taylor Το πολυώνυμο Taylor είναι ένα πολυώνυμο το οποίο παρεμβάλλει μια συνάρτηση f γύρω από ένα σημείο x 0. Το πολυώνυμο Taylor δίνεται από τον τύπο T k (x) = + k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0) k k! ή ισοδύναμα T k (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 )+ + f (x 0 ) (x x 0) 2 2! f (k) (x 0 ) (x x 0) k k! +... Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

14 Πολυώνυμο Taylor - Σφάλμα Το πολυώνυμο Taylor T k (x) έχει ως ανώτατο σφάλμα την μέγιστη τιμή του όρου (k + 1). Δηλαδή, E k (x) = T k+1 (x) T k (x) = f (k+1) (x 0 ) (x x 0) k+1 (k + 1)! E k (x) = f (k+1) (ξ) (x x 0) k+1 (k + 1)! με ξ (x 0, x) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

15 Πολυώνυμο Taylor - Παράδειγμα Να υπολογιστεί το πολυώνυμο Taylor T 3 (x) για την συνάρτηση f(x) = (1 + x) 1 2 = 1 + x στο σημείο x 0 = 0. Να προσεγγίσετε την ποσότητα 1.1 με τη βοήθεια του πολυωνύμου T 3 (x) και να υπολογίσετε το άνω φράγμα του σφάλματος E 3 (x). Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

16 Πολυώνυμο Taylor - Παράδειγμα Υπολογίζουμε τις παραγώγους και τις αντίστοιχες τιμές τους στο x 0 f(x) = 1 2 (1 + x) 1 2 f(0) = 1 f (x) = 1 2 (1 + x) 1 2 f (0) = 1 2 f (x) = 1 4 (1 + x) 3 2 f (0) = 1 4 f (3) (x) = 3 8 (1 + x) 5 2 f (3) (0) = 3 8 f (4) (x) = (1 + x) 7 2 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

17 Πολυώνυμο Taylor - Παράδειγμα Το πολυώνυμο Taylor T 3 (x) δίνεται από τον τύπο T 3 (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0) 2 + f (3) (x 0 ) (x x 0) 3 2! 3! T 3 (x) = f(0) + f (0)(x 0) + f (x 0)2 (0) + f (3) (x 0)3 (0) 2! 3! T 3 (x) = x 1 8 x x3 Επομένως, η τιμή 1.1 θα ισούται 1.1 = f(0.1) T3 (0.1) = Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

18 Πολυώνυμο Taylor - Παράδειγμα Το πολυώνυμο Taylor T 3 (x) έχει ως ανώτατο σφάλμα E 3 (x) = f (4) (ξ) (x x 0) 4 4! = f (4) (x 0)4 (ξ) 24 = f (4) (ξ) x4 24 με ξ (0, x). Επομένως, για τον υπολογισμό της τιμής 1.1 το σφάλμα θα ισούται E 3 (0.1) = f (4) (ξ) διότι, με f (4) (x) = (1 + x) 2 = x 7 f (4) (ξ) = max x [0,0.1] f (4) (x) x=0 = Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

19 Πολυώνυμο Taylor - Παράδειγμα Αν με το πολυώνυμο Taylor T 3 (x) υπολογίσουμε τιμές οι οποίες απομακρύνονται από το x 0 έχουμε 2 = f(1) T3 (1) = με 2 = και 3 = f(2) T3 (2) = 2 με 3 = και αντίστοιχα και E 3 (1) = f (4) (ξ) E 3 (2) = f (4) (ξ) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

20 Πολυώνυμο Taylor - Παράδειγμα Σχήμα: Γραφική παράσταση του πολυωνύμου Taylor και της συνάρτησης γύρω από το σημείο x 0 = 0. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

21 Πολυώνυμο Taylor - Παράδειγμα Σχήμα: Σφάλμα μεταξύ των τιμών f(1) με T 3 (1) και f(2) με T 3 (2). Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

22 Πολυώνυμο Taylor - Παράδειγμα Ενώ, αν υπολογίσουμε το πολυώνυμο Taylor T 3 (x) με x 0 = 3 έχουμε f(3) = 2, f (3) = 1 4, f (3) = 1 32, f (3) (3) = το πολυώνυμο θα γίνει Q 3 (x) = (x 3) 4 64 (x 3)2 + 1 (x 3)3 512 επομένως, 3 = f(2) Q3 (2) = με 3 = και E 3 (2) = f (4) (ξ) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

23 Πολυώνυμο Taylor - Εφαρμογές Τιμές εκθετικής συνάρτησης με x 0 = 0 e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! + x4 4! + x5 5! +... Τιμές τριγωνομετρικών συναρτήσεων με x 0 = 0 sin(x) = x x3 3! + x5 5! x7 7! +... cos(x) = 1 x2 2! + x4 4! x6 6! +... Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

24 Πολυώνυμο Παρεμβολής Lagrange Έστω τα σημεία (x i, y i ) με i = 0, 1, 2,... n. Τα πολυώνυμα Lagrange δίνονται από τον τύπο L i (x) = (x x 0)(x x 1 )(x x 2 ) (x x n ) (x i x 0 )(x i x 1 )(x i x 2 ) (x i x n ) n (x x j ) = (x i x j ) j=0 j i και το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange δίνεται από τον τύπο n n P L n(x) = y (x x j ) i (x i x j ) i=0 j=0 j i Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

25 Πολυώνυμο Παρεμβολής Lagrange ή ισοδύναμα P L n(x) = n [y i L i (x)] i=0 P L n(x) = y 0 L 0 (x) + y 1 L 1 (x) y n L n (x) με σφάλμα για την παρεμβαλλόμενη τιμή x E(x ) = f(x ) P L n(x ) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! n (x x i ) i=0 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

26 Πολυώνυμο Lagrange - Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 1 x να υπολογιστεί το πολυώνυμο P L 2(x) στα σημεία παρεμβολής x 0 = 2, x 1 = 2.5, x 2 = 4. Ο πίνακας τιμών της συνάρτησης f για τα παραπάνω σημεία είναι i x y f(2) = 1 2 f(2.5) = 2 5 f(4) = 1 4 Έχουμε 3 σημεία αρά θα βρούμε πολυώνυμο δευτέρου βαθμού (n = 2). Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

27 Πολυώνυμο Lagrange - Παράδειγμα Υπολογίζουμε τα πολυώνυμα L i L 0 (x) = (x x 1)(x x 2 ) (x 0 x 1 )(x 0 x 2 ) = 1 6 (2x2 13x + 20) L 1 (x) = (x x 0)(x x 2 ) (x 1 x 0 )(x 1 x 2 ) = 1 3 ( 4x2 + 24x 32) L 2 (x) = (x x 0)(x x 1 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) = 1 6 (2x2 9x + 10) = (x 2.5)(x 4) (2 2.5)(2 4) = (x 2)(x 4) (2.5 2)(2.5 4) = (x 2)(x 2.5) (4 2)(4 2.5) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

28 Πολυώνυμο Lagrange - Παράδειγμα Επομένως, το πολυώνυμο παρεμβολής θα είναι P L 2(x) = 2 [y i L i (x)] = y 0 L 0 (x) + y 1 L 1 (x) + y 2 L 2 (x) i=0 δηλαδή, P L 2(x) = (2x2 13x+20) ( 4x2 +24x 32) (2x2 9x+10) Άρα, P L 2(x) = 0.05x x Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

29 Πολυώνυμο Lagrange - Παράδειγμα Σχήμα: Γραφική παράσταση του πολυωνύμου Lagrange και της συνάρτησης f. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

30 Πολυώνυμο Lagrange - Εφαρμογές Αντικαθιστώντας τη συνάρτηση f με το πολυώνυμο παρεμβολής P L 2(x) στα σημεία παρεμβολής x 0 = 2, x 1 = 2.5, x 2 = 4 μπορούμε να υπολογίσουμε προσεγγιστικά παρεμβαλλόμενες τιμές της f παρεμβαλλόμενες τιμές της παραγώγου της f την τιμή ενός ορισμένου ολοκληρώματος Για παράδειγμα επίσης f(3) P L 2(3) = με f(3) = f (3) ( P L 2(3) ) = με f(3) = και 3 f(x)dx P L 2(x)dx = με f(x)dx = ln(2) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

31 Πολυώνυμο Lagrange - Παράδειγμα (2) Έστω τα σημεία A(1, 2), B(2, 3) και Γ (3, 6). Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange το οποίο διέρχεται από τα παραπάνω σημεία. Ο πίνακας τιμών των παραπάνω σημείων είναι i x y Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

32 Πολυώνυμο Lagrange - Παράδειγμα (2) Υπολογίζουμε τα πολυώνυμα L i L 0 (x) = (x x 1)(x x 2 ) (x 0 x 1 )(x 0 x 2 ) = x2 5x L 1 (x) = (x x 0)(x x 2 ) (x 1 x 0 )(x 1 x 2 ) = x2 4x L 2 (x) = (x x 0)(x x 1 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) = x2 3x = (x 2)(x 3) (1 2)(1 3) = (x 1)(x 3) (2 1)(2 3) = (x 1)(x 2) (3 1)(3 2) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

33 Πολυώνυμο Lagrange - Παράδειγμα (2) Επομένως, το πολυώνυμο παρεμβολής θα είναι P L 2(x) = 2 [y i L i (x)] = y 0 L 0 (x) + y 1 L 1 (x) + y 2 L 2 (x) i=0 δηλαδή, Άρα, P L 2(x) = 2 x2 5x x2 4x P L 2(x) = x 2 2x x2 3x Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

34 Πολυώνυμο Lagrange - Παράδειγμα (2) Στο Παράδειγμα (2) αντικαταστήσαμε τα διακριτά σημεία με μια πολυωνυμική συνάρτηση μέσω της οποίας μπορούμε να υπολογίσουμε Παρεμβαλλόμενες τιμές Την παράγωγο σε παρεμβαλλόμενες τιμές Το ορισμένο ολοκλήρωμα σε παρεμβαλλόμενο διάστημα Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

35 Πολυώνυμο Παρεμβολής Newton Έστω τα σημεία (x i, y i ) με i = 0, 1, 2,... n. Το πολυώνυμο Newton δίνεται από τον τύπο P N n (x) = f 0 + (x x 0 ) f [x 0, x 1 ] + (x x 0 ) (x x 1 ) f [x 0, x 1, x 2 ] (x x 0 ) (x x 1 ) (x x n 1 ) f [x 0, x 1, x 2,..., x n ] Οι διηρημένες διαφορές f [.] υπολογίζονται αναδρομικά από τους τύπους f [ x i, x j ] = f [ x j ] f [xi ] x j x i f [ x i, x j, x k ] = f [ x j, x k ] f [ xi, x j ] x k x i Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

36 Πολυώνυμο Παρεμβολής Newton ή ισοδύναμα δημιουργούμε πίνακα τιμών των διηρημένων διαφορών x 0 f 0 f [x 0, x 1 ] = f 1 f 0 x 1 x 0 x 1 f 1 f [x 0, x 1, x 2 ] = f[x 1,x 2 ] f[x 0,x 1 ] x 2 x 0 f [x 1, x 2 ] = f 2 f 1 x 2 x 1 f [x 0, x 1, x 2, x 3 ] x 2 f 2 f [x 1, x 2, x 3 ] = f[x 2,x 3 ] f[x 1,x 2 ] x 3 x 1 f [x 2, x 3 ] = f 3 f 2 x 3 x 2 x 3 f 3 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

37 Πολυώνυμο Παρεμβολής Newton Το πολυώνυμο παρεμβολής Newton έχει τα εξής χαρακτηριστικά: Οι διηρημένες διαφορές είναι ο πιο αποδοτικός τρόπος για να υπολογιστεί το πολυώνυμο παρεμβολής. Οι διηρημένες διαφορές είναι ανεξάρτητες από τα παρεμβαλλόμενα x, συνεπώς, οι υπολογισμοί πολλών παρεμβαλλόμενων τιμών είναι πιο εύκολη. Η προσθήκη νέων τιμών για των υπολογισμό των διηρημένων διαφορών δεν επηρεάζει τις ήδη υπολογισμένες τιμές. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

38 Πολυώνυμο Newton - Παράδειγμα Έστω τα σημεία A(1, 2), B(2, 3) και Γ (3, 6). Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Newton το οποίο διέρχεται από τα παραπάνω σημεία. Ο πίνακας τιμών των παραπάνω σημείων είναι i x y Έχουμε 3 σημεία αρά θα βρούμε πολυώνυμο δευτέρου βαθμού (n = 2). Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

39 Πολυώνυμο Newton - Παράδειγμα Δημιουργούμε τον πίνακα τιμών των διηρημένων διαφορών x 0 f 0 f [x 0, x 1 ] = f 1 f 0 x 1 x 0 x 1 f 1 f [x 0, x 1, x 2 ] = f[x 1,x 2 ] f[x 0,x 1 ] x 2 x 0 f [x 1, x 2 ] = f 2 f 1 x 2 x 1 x 2 f 2 δηλαδή, = = = Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

40 Πολυώνυμο Newton - Παράδειγμα Επομένως, το πολυώνυμο παρεμβολής θα είναι P N 2 (x) = f 0 + (x x 0 ) f [x 0, x 1 ] + (x x 0 ) (x x 1 ) f [x 0, x 1, x 2 ] δηλαδή, P N 2 (x) = 2 + (x 1) 1 + (x 1) (x 2) 1 Άρα, P N 2 (x) = x 2 2x + 3 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

41 Πολυώνυμο Newton - Παράδειγμα (2) Στο προηγούμενο παράδειγμα εισάγουμε ένα ακόμη σημείο παρεμβολής, (4, 17). Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Newton το οποίο διέρχεται από τα παραπάνω σημεία. Ο πίνακας τιμών των παραπάνω σημείων είναι i x y Έχουμε 4 σημεία αρά θα βρούμε πολυώνυμο τρίτου βαθμού (n = 3). Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

42 Πολυώνυμο Newton - Παράδειγμα (2) Δημιουργούμε τον πίνακα τιμών των διηρημένων διαφορών = = = = = = Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

43 Πολυώνυμο Newton - Παράδειγμα (2) Επομένως, το πολυώνυμο παρεμβολής θα είναι P N 3 (x) = f 0 + (x x 0 ) f [x 0, x 1 ] + (x x 0 ) (x x 1 ) f [x 0, x 1, x 2 ] + + (x x 0 ) (x x 1 ) (x x 2 ) f [x 0, x 1, x 2, x 3 ] δηλαδή, P N 3 (x) = 2+(x 1) 1+(x 1) (x 2) 1+(x 1) (x 2) (x 3) 1 Άρα, P N 3 (x) = x 3 5x 2 + 9x 3 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

44 Παρεμβολή με τμηματικά Πολυώνυμα Η παρεμβολή με τμηματικά πολυώνυμα (Splines) βασίζεται στην παρεμβολή ανά δύο διαδοχικών παρεμβαλλόμενων σημείων. Η παρεμβολή με τμηματικά πολυώνυμα υλοποιείται κυρίως με δυο τρόπους: Με τα γραμμικά τμηματικά πολυώνυμα (Γραμμικά Splines). Με τα κυβικά τμηματικά πολυώνυμα (Cubic Splines). Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

45 Γραμμικά Splines Έστω τα σημεία (x i, y i ) με i = 0, 1, 2,... n. Τα σημεία μπορεί να προέρχονται, είτε από μεμονωμένες δειγματοληπτικές τιμές, είτε από μια συνάρτηση f οπού θα ισχύει f(x i ) = y i. Τα γραμμικά Splines δίνονται από τον τύπο S k (x) = y k + d k (x x k ) με x [x k, x k+1 ] και k = 0, 1, 2,..., n 1. Όπου d k = y k+1 y k x k+1 x k Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

46 Γραμμικά Splines Πιο αναλυτικά τα γραμμικά Splines μπορούμε να τα γράψουμε y 0 + d 0 (x x 0 ) με x [x 0, x 1 ] y 1 + d 1 (x x 1 ) με x [x 1, x 2 ] S(x) =.. y n 1 + d n 1 (x x n 1 ) με x [x n 1, x n ] Για τα γραμμικά Splines ισχύουν οι παρακάτω συνθήκες S(x i ) = y i ή S(x i ) = f(x i ) S i (x i+1 ) = S i+1 (x i+1 ) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

47 Γραμμικά Splines - Παράδειγμα Έστω ο πίνακας τιμών x y Να βρεθεί το γραμμικό Spline το οποίο αντιστοιχεί στα παραπάνω σημεία. Αρχικά, υπολογίζουμε τα d k για k = 0, 1, 2 επομένως, και d 0 = y 1 y 0 x 1 x 0 = = 0.5, d 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 = = 1.5 d 2 = y 3 y 2 x 3 x 2 = = 0.5 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

48 Γραμμικά Splines - Παράδειγμα Έπειτα, υπολογίζουμε το S(x), επομένως y 0 + d 0 (x x 0 ) με x [x 0, x 1 ] S(x) = y 1 + d 1 (x x 1 ) με x [x 1, x 2 ] y 2 + d 2 (x x 2 ) με x [x 2, x 3 ] δηλαδή, άρα (x 0) με x [0, 1] S(x) = (x 1) με x [1, 2] (x 2) με x [2, 3] 0.5x με x [0, 1] S(x) = 1.5x 1 με x [1, 2] 0.5x + 3 με x [2, 3] Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

49 Γραμμικά Splines - Εφαρμογές Με τα γραμμικά Splines μπορούμε να υπολογίσουμε προσεγγιστικά παρεμβαλλόμενες τιμές της f, παρεμβαλλόμενες τιμές της παραγώγου της f εκτός από τα σημεία στα άκρα των διαστημάτων, την τιμή ενός ορισμένου ολοκληρώματος. Για παράδειγμα f(0.5) S 0 (0.5) = 0.25 επίσης f (1.5) S 1(1.5) = 1.5 και 1.5 f(x)dx 1 S 0 (x)dx S 1 (x)dx = Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

50 Κυβικά Splines Έστω τα σημεία (x i, y i ) με i = 0, 1, 2,... n. Τα σημεία μπορεί να προέρχονται, είτε από μεμονωμένες δειγματοληπτικές τιμές, είτε από μια συνάρτηση f οπού θα ισχύει f(x i ) = y i. Τα κυβικά Splines δίνονται από τον τύπο S 0 (x) με x [x 0, x 1 ] S 1 (x) με x [x 1, x 2 ] S(x) =.. S n 1 (x) με x [x n 1, x n ] με S i (x) πολυώνυμα τρίτου βαθμού. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

51 Κυβικά Splines Για τα κυβικά Splines ισχύουν οι παρακάτω συνθήκες S(x i ) = f(x i ) S i (x i+1 ) = S i+1 (x i+1 ) S i (x i+1) = S i+1 (x i+1) S i (x i+1) = S i+1 (x i+1) και στα άκρα του διαστήματος μια από τις δυο συνοριακές συνθήκες S (x 0 ) = S (x n ) = 0 ή S (x 0 ) = f (x 0 ) S (x n ) = f (x n ) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

52 Παρεμβολή x = [ ] y = [ ] Παρεμβολή με πολυώνυμο τρίτου βαθμού Παρεμβολή με γραμμικά spline Παρεμβολή με κυβικά spline Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

53 Παρεμβολή Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

54 Παρεμβολή Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

55 Παρεμβολή Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

56 Παρεμβολή Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

57 Παρεμβολή x = [ ] x = [ ] Παρεμβολή με πολυώνυμο έβδομου βαθμού Παρεμβολή με γραμμικά spline Παρεμβολή με κυβικά spline Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

58 Παρεμβολή Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

59 Παρεμβολή Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

60 Παρεμβολή Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

61 Παρεμβολή Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

62 Παρεμβολή Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

63 Παρεμβολή Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 63

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 37 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 68 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 7)

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 7) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 7) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 7) Δεκέμβριος 2014

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 7)

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 7) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 7) Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 7) Δεκέμβριος 2014 1

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 10, 12 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Παρεμβολή 2. Παράσταση και υπολογισμός του πολυωνύμου παρεμβολής

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 8)

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 8) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 8) Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος 2017 1

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 3η εργαστηριακή άσκηση

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 3η εργαστηριακή άσκηση ΤΕΙ ΑΘΗΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΠΗΓΙΚΗΣ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 3η εργαστηριακή άσκηση ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΣ: ΧΑΤΖΗΓΕΩΡΓΙΟΥ ΑΝΤΩΝΗΣ Α.Μ. 09036 Εξάμηνο ΠΤΧ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΔΡ. ΜΠΡΑΤΣΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Περιεχόμενα 3.1 Πολυωνυμική παρεμβολή...

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 1 / 55 Παρεµβολή Ας υποθέσουµε ότι δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

2.Τι εννοούμε με βαθμό συνέχειας μιας συνάρτησης; Ποια είναι η χρησιμότητα της από πλευράς εφαρμογών;

2.Τι εννοούμε με βαθμό συνέχειας μιας συνάρτησης; Ποια είναι η χρησιμότητα της από πλευράς εφαρμογών; ΗΥ1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5 1.Tι είναι συνάρτηση; Περιγράψτε τα στοιχεία που την ορίζουν..τι εννοούμε με βαθμό συνέχειας μιας συνάρτησης; Ποια είναι η χρησιμότητα της από πλευράς εφαρμογών;.να

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. 14 εκεµβρίου Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 6. Παρεµβολή 14 εκεµβρίου / 28

Αριθµητική Ανάλυση. 14 εκεµβρίου Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 6. Παρεµβολή 14 εκεµβρίου / 28 Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 6 Παρεµβολή 14 εκεµβρίου 2016 Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 6 Παρεµβολή 14 εκεµβρίου 2016 1 / 28 Τα πολυώνυµα Chebyshev Αν η f (n+1) (x) είναι συνεχής, τότε υπάρχει ένας αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας Περιεχομένων

Πίνακας Περιεχομένων Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος... 13 Πρώτο Μέρος: Γενικές Έννοιες Κεφάλαιο 1 ο : Αλγοριθμική... 19 1.1 Περιγραφή Αλγορίθμου... 19 1.2. Παράσταση Αλγορίθμων... 21 1.2.1 Διαγράμματα Ροής... 22 1.2.2 Ψευδογλώσσα

Διαβάστε περισσότερα

Interpolation (1) Τρίτη, 3 Μαρτίου Σελίδα 1

Interpolation (1) Τρίτη, 3 Μαρτίου Σελίδα 1 Iterpolatio () Τρίτη, 3 Μαρτίου 05 9:46 πμ 05.03.03 Σελίδα 05.03.03 Σελίδα 05.03.03 Σελίδα 3 05.03.03 Σελίδα 4 05.03.03 Σελίδα 5 05.03.03 Σελίδα 6 05.03.03 Σελίδα 7 05.03.03 Σελίδα 8 05.03.03 Σελίδα 9

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2014 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2014 1 / 42 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64 15 εκεµβρίου 016 15 εκεµβρίου 016 1 / 64 Αριθµητική Ολοκλήρωση Κλειστοί τύποι αριθµητικής ολοκλήρωσης Εστω I(f) = b µε f(x) C[a, b], τότε I(f) = F(b) F(a), όπου F(x) είναι το αόριστο ολοκλήρωµα της f(x).

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ) ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ) A. Εύρεση Πεδίου Τιµών Συναρτήσεων ίνεται η συνάρτηση h, h ( ) = 4+, [ 1,4] Να βρεθεί το πεδίο τιµών της συνάρτησης. Η λογική για

Διαβάστε περισσότερα

την αρχή των αξόνων και ύστερα να υπολογίσετε το εμβαδόν του

την αρχή των αξόνων και ύστερα να υπολογίσετε το εμβαδόν του ΑΣΚΗΣΗ 47 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = και οι ευθείες (ε ): y = x και (ε ): y = x +. Να αποδείξετε ότι:. Η (ε ) είναι ασύμπτωτη της C f στο, ενώ η (ε ) είναι ασύμπτωτη της C f στο +. Για κάθε x R ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx,

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx, Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 07/1/017 Μέρος 1ο: Μη Ομογενείς Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης Θεωρούμε τη γραμμική μή-ομογενή διαφορική εξίσωση y + p(x) y + q(x) y = f(x), x

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς. Ολοκληρώματα.

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς. Ολοκληρώματα. 69: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Ολοκληρώματα ttp://ecourses.cemeng.ntu.gr/courses/computtionl_metods_or_engineers/ Αριθμητική Ολοκλήρωση συναρτήσεων Χρησιμοποιούμε αριθμητικές μεθόδους για τον

Διαβάστε περισσότερα

Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου

Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Άνοιξη 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Τι σημαίνει f ; f 2 ; f 1 ; Να υπολογισθούν αυτές οι ποσότητες για f(x)=(x-α) 3 (β-x) 3, α

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 9. Αριθµητική Ολοκλήρωση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 5 Μαΐου 010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι)

Διαβάστε περισσότερα

1 Πολυωνυµική Παρεµβολή

1 Πολυωνυµική Παρεµβολή 1 Πολυωνυµική Παρεµβολή εδοµένων n + 1 ανά δύο διαφορετικών σηµείων x o, x 1, x,..., x n και των αντίστοιχων συναρτησιακών τιµών y o = f(x o ), y 1 = f(x 1 ), y = f(x ),...,y n (x n ) επιθυµούµε να προσεγγίσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, , 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #4: ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Μισδανίτης. με το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange 2 ης τάξης

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, , 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #4: ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Μισδανίτης. με το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange 2 ης τάξης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 6-7, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #: ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Μισδανίτης. Διατυπώστε τον 1 ο κανόνα ολοκλήρωσης Smpson b f ( xdx ) ( 1 3 f f f ) a, αντικαθιστώντας τη συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς.

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς. 569: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Παρεμβολή ttp://ecourses.cemeng.ntu.gr/courses/computtionl_metods_or_engineers/ Παρεµβολή Παρεµβολή interpoltion είναι η διαδικασία µε την οποία βρίσκεται µία

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 47 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α. Πρόλογος...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Σφάλματα

Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α. Πρόλογος...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Σφάλματα Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Πρόλογος...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Σφάλματα 1.1 Εισαγωγή...17 1.2 Αρχικά Σφάλματα (σφάλματα μετρήσεων)...18 1.2.1 Απλές μετρήσεις...18 1.2.2 Σύνθετες μετρήσεις...19 1.2.3 Σημαντικά ψηφία και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Να βρείτε την παράγουσα της συνάρτησης f() =,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Αριθμητική παρεμβολή

Κεφάλαιο 6. Αριθμητική παρεμβολή Κεφάλαιο 6. Αριθμητική παρεμβολή Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η μέθοδος της Αριθμητικής Παρεμβολής, δηλαδή η εύρεση της τιμής y k μιας συνάρτησης για ένα δεδομένο x k, όταν δεν γνωρίζουμε την

Διαβάστε περισσότερα

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς. Ολοκληρώματα.

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς. Ολοκληρώματα. 69: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Ολοκληρώματα ttp://ecourses.cemeng.ntu.gr/courses/computtionl_metods_or_engineers/ Αριθμητική Ολοκλήρωση συναρτήσεων Χρησιμοποιούμε αριθμητικές μεθόδους για τον

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ α φάση

Άλγεβρα Β Λυκείου Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ α φάση Άλγεβρα Β Λυκείου Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ 00-08 α φάση Συναρτήσεις Θεωρούμε τη συνάρτηση Α, 6 wwwaskisopolisgr f κ, με 4,4 και κ η οποία διέρχεται από το σημείο και τμήμα της γραφικής της παράστασης φαίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της?

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της? ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ 4-5 Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της? Απάντηση: Mια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της όταν

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήρια Αριθμητικής Ανάλυσης Ι. 9 ο Εργαστήριο. Απαλοιφή Gauss με μερική οδήγηση - Παρεμβολη

Εργαστήρια Αριθμητικής Ανάλυσης Ι. 9 ο Εργαστήριο. Απαλοιφή Gauss με μερική οδήγηση - Παρεμβολη Εργαστήρια Αριθμητικής Ανάλυσης Ι 9 ο Εργαστήριο Απαλοιφή Gauss με μερική οδήγηση - Παρεμβολη 2018 Απαλοιφή Gauss Με Μερική Οδήγηση Για την εύρεση του οδηγού στοιχείου στο k ο βήμα, αναζητούμε το μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

1 GRAMMIKES DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERAS TAXHS

1 GRAMMIKES DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERAS TAXHS 1 GRAMMIKES DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERAS TAXHS Γραμμικές μη ομογενείς διαφορικές εξισώσεις δευτέρας τάξης λέγονται οι εξισώσεις τύπου y + p(x)y + g(x)y = f(x) (1.1) Οταν f(x) = 0 η εξίσωση y + p(x)y +

Διαβάστε περισσότερα

Σειρές Taylor και MacLaurin

Σειρές Taylor και MacLaurin Σειρές Taylor και MacLaurin Πολυωνυμική προσέγγιση: Υποθέτουμε ότι για μια συνάρτηση f γνωρίζουμε την τιμή της f(α) αλλά δεν γνωρίζουμε πώς να βρούμε την τιμή f(x) σε άλλα σημεία x κοντά στο α. Για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών

Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ 5 Πολυωνυµική παρεµβολή Εστω f πραγµατική συνάρτηση της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x ) σε + σηµεία x = του πεδίου ορισµού της Το πρόβληµα εύρεσης µιας συνάρτησης φ (από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines

Κεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines Κεφ. 3: Παρεμβολή 3. Εισαγωγή 3. Πολυωνυμική παρεμβολή 3.. Παρεμβολή Lagrage 3.. Παρεμβολή Newto 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splies 3.4 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων 3.5 Παρεμβολή με ορθογώνια πολυώνυμα 3.

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ /4/7 έως τις /4/7 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη Απριλίου 7 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να αναγνωρίζει πότε μια αλγεβρική παράσταση της πραγματικής μεταβλητής x, είναι πολυώνυμο και να διακρίνει τα στοιχεία του: όροι, συντελεστές, σταθερός

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ 1. ημ x. 1 σφx 1 σφx 4 ΘΕΜΑ γ ε. 2 δ. 1

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ 1. ημ x. 1 σφx 1 σφx 4 ΘΕΜΑ γ ε. 2 δ. 1 1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 1. Να αποδείξετε ότι: 1 σφ 1 σφ ΘΕΜΑ 1. Nα λύσετε την εξίσωση: ημ 1 σφ 1σφ 4 ΘΕΜΑ Α. Να βρεθούν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί αριθμοί: α. συν330 ο = β. συν (-300 ο ) = γ. συν (-10 ο ) = δ.

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΔΩΔΕΚΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Έστω συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα I. Λέμε ότι η F είναι αντιπαράγωγος της f στο I αν ισχύει F = f στο I. ΠΡΟΤΑΣΗ. Αν η F είναι αντιπαράγωγος της f στο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 8)

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 8) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 8) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Σεπτέμβριος 2015

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ln 4 i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να δείξετε ότι η παραπάνω συνάρτηση γράφεται: ln iii Να λύσετε την εξίσωση ln 5 ln 3 4 a a1 4,, a i Να βρείτε τον αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

a n = 3 n a n+1 = 3 a n, a 0 = 1

a n = 3 n a n+1 = 3 a n, a 0 = 1 Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

1.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : π α) f() = + ηµ β) g() = + συν( ) 6 π π γ) f() = ηµ( ) δ) g() = συν( ) Να γίνει η µελέτη και η γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 6)

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 6) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 6) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 6) Σεπτέμβριος 2015

Διαβάστε περισσότερα

Ημερομηνία: Πέμπτη 5 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Ημερομηνία: Πέμπτη 5 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 18/1/016 ΕΩΣ 05/01/017 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Ημερομηνία: Πέμπτη 5 Ιανουαρίου 017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Θερμοδυναμική - Εργαστήριο

Θερμοδυναμική - Εργαστήριο Θερμοδυναμική - Εργαστήριο Ενότητα 4: Σφάλματα περικοπής (truncation) και η σειρά Taylor Κυρατζής Νικόλαος Τμήμα Μηχανικών Περιβάλλοντος και Μηχανικών Αντιρρύπανσης ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 014 015, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ Ημερομηνία ανάρτησης εργασίας στην ιστοσελίδα του μαθήματος: 1 11 014 Ημερομηνία παράδοσης εργασίας: 18 11 014 Επιμέλεια απαντήσεων:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2019 ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2019 ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΟ ο ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 9 ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 5/4/9 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία-Ορισμός,σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας Περιεχομένων

Πίνακας Περιεχομένων Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος... 11 Κεφάλαιο 1o: Εισαγωγικά... 15 1.1 Με τι ασχολείται η Αριθμητική Ανάλυση... 15 1.2 Πηγές Σφαλμάτων... 17 1.2.1 Εισόδου... 17 1.2.2 Αριθμητικής Υπολογιστών... 18 1.2.3

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle. Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 5)

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 5) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 5) Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 5) Σεπτέμβριος 2015 1

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ Γραπτών προαγωγικών εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου 0 στην ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Πέμπτη 0 Μαΐου 0 (Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα) Όνομα:.. Θέμα Α ν ν

Διαβάστε περισσότερα

1, x > 0 η οποία είναι συνεχής και παραγωγίσιμη σε κάθε ένα από τα διαστήματα (, 0) και (0, + ) του πεδίου ορισμού της D f = R.

1, x > 0 η οποία είναι συνεχής και παραγωγίσιμη σε κάθε ένα από τα διαστήματα (, 0) και (0, + ) του πεδίου ορισμού της D f = R. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ: Όρια Συνέχεια Διαφορικός Λογισμός Ορισμένο Ολοκλήρωμα ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Μαρτίου 8 Θερινά Τμήματα Απαντήσεις ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό Βιβλίο Σελίδα 33. (Μονάδες 5) Α. Σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Μπαρακλιανός τηλ ( ) Κώστας Τζάλλας τηλ ( ) Παραγγελίες : τηλ.

Γιώργος Μπαρακλιανός τηλ ( ) Κώστας Τζάλλας τηλ ( ) Παραγγελίες : τηλ. Γιώργος Μπαρακλιανός τηλ. 69377886 ( mparakgeo@gmail.com ) Κώστας Τζάλλας τηλ. 69733004 ( tzallask@gmail.com ) Παραγγελίες : τηλ. 5407604 Email : mparakgeo@gmail.com Messenger : Giorgos Mparaklianos Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου 4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή). 2. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες ( ) Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ 1. x x. x x x ( ) + ( 20) + ( + 4) = ( + ) + ( 10 + ) + ( )

Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες ( ) Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ 1. x x. x x x ( ) + ( 20) + ( + 4) = ( + ) + ( 10 + ) + ( ) Ονοματεπώνυμο Τμήμα ο Ερώτημα Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώματα α) ( + + ) e d β) + ( + 4)( 5) 5 89 ΘΕΜΑ d Απάντηση α) θέτω u = + +και υ = e, επομένως dυ = e και du = ( + ) d. ( + + ) e d= u dυ =

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος

Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος. Πως ορίζεται η έννοια. Το όριο. To f() f() ; f() εφόσον υπάρχει είναι μονοσήμαντα ορισμένο; εξαρτιέται από τα άκρα α, β των ( α, ) και (, β ) ;. Πως ορίζονται τα πλευρικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η έννοια του ορίου στο x ο Υπάρχουν συναρτήσεις οι τιμές των οποίων πλησιάζουν ένα πραγματικό αριθμό L, όταν η ανεξάρτητη μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω συνάρτηση : R, όπου Δ διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

x + ax x x 4 να είναι παραγωγίσιμη στο x Υπόδειξη: Μπορείτε να εφαρμόσετε κανόνα L Hospital ή μπορεί σας χρειαστεί η sin sin = 2sin cos

x + ax x x 4 να είναι παραγωγίσιμη στο x Υπόδειξη: Μπορείτε να εφαρμόσετε κανόνα L Hospital ή μπορεί σας χρειαστεί η sin sin = 2sin cos http://lar.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 69795 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Άσκηση. (5 μονάδες) i) ( μονάδες) Υπολογίστε την παράγωγο για κάθε μία από τις επόμενες συναρτήσεις: a)

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 3 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Συνέχεια Συναρτήσεων 3.1 Όρισμός Συνεχούς Συνάρτησης Ορισμός Μια συνάρτηση f ονομάζεται συνεχής στο x 0 Df αν υπάρχει το πραγματικός

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Αόριστο Ολοκλήρωμα Μέθοδοι Ολοκλήρωσης

Αόριστο Ολοκλήρωμα Μέθοδοι Ολοκλήρωσης 8 Αόριστο Ολοκλήρωμα Μέθοδοι Ολοκλήρωσης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα Δ. Ονομάζουμε αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ, μια συνάρτηση F παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

Είναι γνωστό ότι η δύναμη που ασκείται σε ένα ελατήριο και ονομάζεται δύναμη επαναφοράς δίνεται από τη σχέση : F = kx (3.1)

Είναι γνωστό ότι η δύναμη που ασκείται σε ένα ελατήριο και ονομάζεται δύναμη επαναφοράς δίνεται από τη σχέση : F = kx (3.1) 3.1. Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι η δύναμη που ασκείται σε ένα ελατήριο και ονομάζεται δύναμη επαναφοράς δίνεται από τη σχέση : F = kx (3.1) Αν ϑελήσουμε να υπολογίσουμε το έργο της δύναμης αυτής μεταξύ δύο

Διαβάστε περισσότερα

Γεωγραφικά Συστήµατα Πληροφοριών και Αρχές Τηλεπισκόπησης

Γεωγραφικά Συστήµατα Πληροφοριών και Αρχές Τηλεπισκόπησης Γεωγραφικά Συστήµατα Πληροφοριών και Αρχές Τηλεπισκόπησης Ενότητα: Αριθµητικές Μέθοδοι Επίλυσης Εξισώσεων, Αριθµητική Ολοκλήρωση Γεώργιος Σκιάνης Γεωλογίας και Γεωπεριβάλλοντος Σελίδα 2 1. Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Bolzano. Γεωμετρική Ερμηνεία του θ.bolzano. Θ. Bolzano και ύπαρξη ρίζας

Θεώρημα Bolzano. Γεωμετρική Ερμηνεία του θ.bolzano. Θ. Bolzano και ύπαρξη ρίζας Θεώρημα Bolzano Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Αν: Η f είναι συνεχής στο [α, β] και Ισχύει f(a)f(β) < 0, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 (α, β) τέτοιο ώστε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α. ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ. f(x) lim με g(x ) 0 Γ. ΜΟΡΦΗ Ι. ΟΡΙΟ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. x α. x α.

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α. ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ. f(x) lim με g(x ) 0 Γ. ΜΟΡΦΗ Ι. ΟΡΙΟ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. x α. x α. Α. ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ. Η γραφική παράσταση της συνάρ τησης f είναι αυτή που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Να βρεθούν τα παρακάτω όρια: α) γ) ε) ζ) + - + f () β) f () - - - f () δ) f () f () στ) f () f () +

Διαβάστε περισσότερα

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet:

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet: Κεφάλαιο: Συναρτήσεις Γραφική παράσταση συνάρτησης Γράφημα μιας συνάρτησης ( ) ονομάζουμε το σύνολο των σημείων G( ) (, ( ) ) / A που είναι υποσύνολο του. Το γράφημα αυτό { } συνήθως παριστάνεται πάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ»

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Α. Αν α > 0 µε α 1 τότε για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς θ 1, θ 2 > 0 να αποδείξετε ότι log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 Β. Έστω το σύστηµα Σ : α1x +

Διαβάστε περισσότερα

f '(x 0) lim lim x x x x

f '(x 0) lim lim x x x x Α Θ Ε Μ Α A Θ Ε Ω Ρ Η Μ Α ( F e r m a t ) Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε:

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Με τι ασχολείται η Αριθμητική Ανάλυση

1.1. Με τι ασχολείται η Αριθμητική Ανάλυση Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά 1.1. Με τι ασχολείται η Αριθμητική Ανάλυση Πολλοί επιστημονικοί κλάδοι, στην προσπάθειά τους να επιλύσουν πρακτικά προβλήματα κάνουν χρήση μεθόδων Αριθμητικής Ανάλυσης. Οι μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ [ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗ]

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ [ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗ] ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ [ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗ] Συγγραφείς ΝΤΑΟΥΤΙΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ Πανεπιστήμιο Minnesota, USA ΜΑΣΤΡΟΓΕΩΡΓΟΠΟΥΛΟΣ ΣΠΥΡΟΣ Αριστοτέλειο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα