Κεφάλαιο 6. Αριθμητική παρεμβολή

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 6. Αριθμητική παρεμβολή"

Transcript

1 Κεφάλαιο 6. Αριθμητική παρεμβολή Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η μέθοδος της Αριθμητικής Παρεμβολής, δηλαδή η εύρεση της τιμής y k μιας συνάρτησης για ένα δεδομένο x k, όταν δεν γνωρίζουμε την αναλυτική μορφή (εξίσωση) της συνάρτηση, αλλά γνωρίζουμε τις τιμές της, y i,, σε κάποια δεδομένα x i, διαφορετικά του x k.παρουσιάζεται η ιδέα του πίνακα πεπερασμένων διαφορών και η αριθμητική παρεμβολή με τη μέθοδο Newton. Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι μέθοδοι της απλής και διπλής γραμμικής παρεμβολής στις περιπτώσεις που η συνάρτηση μας είναι συνάρτηση μιας ή αντίστοιχα δύο μεταβλητών. Τέλος παρουσιάζονται οι μέθοδοι Lagrange και Newton με διαιρεμένες διαφορές, στην περίπτωση που έχουμε παρεμβολή σε πίνακα μη ισαπεχόντων ορισμάτων. Προαπαιτούμενη γνώση Το κεφάλαιο προϋποθέτει ότι ο αναγνώστης έχει γνώσεις Μαθηματικών Ι του Α Εξαμήνου σπουδών και έχει μελετήσει το Κεφάλαιο 5 για το Συμπτωτικό Πολυώνυμο. Για την κατανόηση της υλοποίησης των μεθόδων σε MATLAB απαιτούνται βασικές γνώσεις προγραμματισμού και χρήσης του προγράμματος MATLAB Η έννοια της παρεμβολής Πολλές φορές συγχέουμε την έννοια της συνάρτησης με την ύπαρξη ενός Μαθηματικού τύπου, που να καθορίζει την τιμή της συνάρτησης σε κάθε σημείο του Πεδίου Ορισμού της. Συχνά όμως, στις πρακτικές εφαρμογές, μία συνάρτηση μπορεί να ορισθεί με έναν πίνακα τιμών ή τη γραφική της παράσταση. Αυτό συμβαίνει γιατί ο Μαθηματικός τύπος με τον οποίο ορίζεται η συνάρτηση είτε είναι πολύπλοκος, είτε δεν υπάρχει, όπως στην περίπτωση που η συνάρτηση περιγράφει κάποια πειραματικά αποτελέσματα. Στις περιπτώσεις αυτές η τιμή της συνάρτησης δεν ορίζεται με τρόπο συνεχή πάνω στο πεδίο ορισμού της, αλλά διαθέτουμε την τιμή της συνάρτησης, έστω της f (x), για κάποιες τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής x, όπως συμβαίνει στον επόμενο πίνακα: x y=f (x) Τίθεται λοιπόν το πρόβλημα του (προσεγγιστικού) υπολογισμού της τιμής της συνάρτησης f για κάποια τιμή της μεταβλητής x που δεν αναφέρεται στον πίνακα. Και αυτός ο υπολογισμός πρέπει να βασίζεται μόνο στις δοσμένες τιμές του πίνακα! Για παράδειγμα, θέλουμε να προσεγγίσουμε την τιμή της f(4.8), με μοναδικά δεδομένα τα 7 σημεία (x, y) του πίνακα. Η πράξη αυτή λέγεται παρεμβολή γιατί προσπαθεί να παρεμβάλει νέες τιμές, ανάμεσα στις ήδη υπάρχουσες. Το πρόβλημα της παρεμβολής έχει απασχολήσει από παλιά τους Μαθηματικούς, μια και οι τομείς στους οποίους μπορεί να εφαρμοσθεί είναι πάρα πολλοί. Στη σημερινή εποχή της τεράστιας τεχνολογικής προόδου και της ανάπτυξης της Πληροφορικής, με βάση τις μεθόδους που προέκυψαν από τη βασική και απλή ιδέα της παρεμβολής, επιλύνονται προβλήματα πολύπλοκα, όπως υπολογισμός πολύπλοκων ολοκληρωμάτων, ολοκληρώσεις συστημάτων Διαφορικών Εξισώσεων, διόρθωση και εμπλουτισμός δεδομένων κ.λ.π. Στη βάση των περισσότερων μεθόδων παρεμβολής υπάρχει η αντικατάσταση της άγνωστης ή πολύπλοκης συνάρτησης με μία πολυωνυμική συνάρτηση. Πρόκειται βέβαια για την πολυωνυμική συνάρτηση που παίρνει τις ίδιες τιμές με την f (x), σε κάποια ή σε όλα τα σημεία που αυτή είναι γνωστή και που την ονομάσαμε ήδη συμπτωτικό πολυώνυμο. 11

2 6.. Εκλογή του συμπτωτικού πολυωνύμου Παρ' όλον ότι οι πολυωνυμικές συναρτήσεις είναι σχετικά απλές, τα προβλήματα που συνοδεύουν την παρεμβολή είναι πολλά και σημαντικά. Έτσι πρέπει: 1. να αποφασίσουμε για τον βαθμό του πολυωνύμου με το οποίο θα παρεμβάλουμε (άρα για τον αριθμό των σημείων σύμπτωσης πολυωνύμου και συνάρτησης),. να εκτιμήσουμε το μέγιστο σφάλμα, στο τελικό αποτέλεσμα Υποθέτουμε λοιπόν πως η συνάρτηση f δίνεται με την παρακάτω γραφική παράσταση (Σχήμα 6.1) και ζητούμε την τιμή της σε κάποιο x k του διαστήματος (x, x 3). Προσπαθώντας να προσεγγίσουμε την τιμή της συνάρτησης f στο σημείο x k με παρεμβολή, έχουμε τη δυνατότητα να επιλέξουμε τον βαθμό του πολυώνυμου σύμπτωσης, άρα και τον αριθμό των σημείων σύμπτωσης, καθώς και τα συγκεκριμένα σημεία σύμπτωσης. Σχήμα 6.1 Τα σημεία (x 0, x 1,, x 5 ) στα οποία μας είναι γνωστή η τιμή της συνάρτησης και το σημείο x k στο οποίο θέλουμε να βρούμε την τιμή της. Αν επιλέξουμε να παρεμβάλουμε με πολυώνυμο 1 ου βαθμού (ευθεία), είναι σαν να αντικαθιστούμε, στο διάστημα (x, x 3 ), τη συνάρτηση f με το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα δύο σημεία. Από το τμήμα αυτό θα δανεισθούμε την τιμή του f(x k ). Εάν θελήσουμε να χρησιμοποιήσουμε και τα 7 σημεία που μας δίνονται, θα χρειαστούμε το συμπτωτικό τους πολυώνυμο, το οποίο θα είναι 6 ου βαθμού. Όμως οι πράξεις που απαιτούνται για τον καθορισμό των 7 παραμέτρων του πολυωνύμου αυτού είναι ασύγκριτα περισσότερες σε σύγκριση μ αυτές του πρωτοβαθμίου, ενώ η ακρίβεια του τελικού αποτελέσματος μπορεί να μην είναι αντίστοιχα σημαντικότερη. Χρειαζόμαστε λοιπόν κάποια ένδειξη που να μας βοηθάει στην εκλογή του βαθμού του συμπτωτικού πολυωνύμου, που αποτελεί τη χρυσή τομή ανάμεσα στην ακρίβεια του υπολογισμού και στην ποσότητα των πράξεων που πρέπει να γίνουν Παράδειγμα Στο παρακάτω πίνακα δίνονται τέσσερις τιμές μιας συνάρτησης y f ( x) και πρέπει να υπολογίσουμε, με πολυωνυμική παρεμβολή, κάποιες ενδιάμεσες τιμές. 113

3 x y=f (x) Θα δοθούν δύο λύσεις. Στην πρώτη θα διαλέξουμε πρωτοβάθμια πολυώνυμα (ευθείες), ενώ στη δεύτερη θα υπολογίσουμε το τριτοβάθμιο συμπτωτικό πολυώνυμο, που ορίζεται από τα τέσσερα σημεία του πίνακα. i) Πρωτοβάθμια πολυώνυμα p 1 (x). (α) Για το διάστημα [0,1] τα σημεία (0,0) και (1,1) ορίζουν το σύστημα: 0a b 0 a 1 1a b 1 b 0 Άρα η ευθεία είναι η y x (β) Για το διάστημα [1,4] τα σημεία (1,1) και (4,) ορίζουν το σύστημα: 1 1ab1 a 3 4ab b 3 Άρα η ευθεία είναι η 1 y x 3 3 (γ) Για το διάστημα [4,9] τα σημεία (4,) και (9,3) ορίζουν το σύστημα: 1 4ab a 5 9ab3 b 6 5 Άρα η ευθεία είναι η 1 6 y x 5 5 Επομένως η συνάρτηση του πολυωνύμου παρεμβολής που δίνει την τιμή της συνάρτησης του πίνακα στην τυχαία τιμή x k της μεταβλητής, είναι η συνάρτηση x 0 xk 1 1 yk p1 ( xk ) x 1 xk x 4 xk ii) Τριτοβάθμιο πολυώνυμο p 3 (x). Ακολουθώντας τη μέθοδο της παραγράφου 5.3, ορίζουμε το πολυώνυμο: p ( x) a a ( x x ) a ( x x )( x x ) a ( x x )( x x )( x x ) υιοθετώντας τα εξής x: x0 1, x1 1 και x 4. Έτσι το προηγούμενο πολυώνυμο παίρνει τη μορφή: p ( x) a a x a x( x 1) a x( x 1)( x 4) οπότε αντικαθιστώντας τα 4 σημεία του πίνακα, υπολογίζουμε τις τιμές των αγνώστων παραμέτρων: 114

4 p (0) 0 a a p (1) 1 a a p3(4 ) 4 1 a 1 a 6 p 8 1 3(9) a 6 3 a3 0 Αντικαθιστώντας τις τιμές των παραμέτρων a 0, a 1, a και a 3 στη σχέση του πολυωνύμου και κάνοντας τις πράξεις, βρίσκουμε: p3 ( x) x 15x 74x Ας υπολογίσουμε στη συνέχεια την τιμή f() με τα δύο είδη παρεμβολής: Με την πρωτοβάθμια (γραμμική παρεμβολή). 1 4 f() x x Με την τριτοβάθμια (πλήρη παρεμβολή) f x x x () x Παρατήρηση: Παρατηρώντας τον πίνακα τιμών της f(x), υποπτευόμαστε πως η συνάρτηση που δίνει τις τιμές αυτές είναι η: f ( x) x Στο επόμενο γράφημα έχουμε τη γραφική παράσταση των συμπτωτικών πολυωνύμων p 1 (x), p 3 (x) και της συνάρτησης f(x). Το πιο πάνω γράφημα δείχνει πως στην ιδιαίτερη αυτή περίπτωση, όπου τα σημεία του πίνακα τιμών απέχουν πολύ, η προσέγγιση της συνάρτησης f(x) με πρωτοβάθμια πολυώνυμα είναι κάποιες φορές ακριβέστερη της προσέγγισης με τριτοβάθμιες πολυωνυμικές συναρτήσεις. Όμως θα επανέλθουμε στο παράδειγμα αυτό, στο Παράδειγμα 1 της παραγράφου

5 6.3. Οι πεπερασμένες διαφορές Υποθέτουμε πως γνωρίζουμε τη συνάρτηση f( x ) με τη βοήθεια ενός πίνακα τιμών, στον οποίο οι τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής ισαπέχουν (ισχύει δηλαδή xi 1 x hσταθ. ). i x x 0 x 1 x x 3 x 4 x v 1 x v y y 0 y 1 y y 3 y 4 y v 1 y v Ένας τέτοιος πίνακας καλείται πίνακας ισαπεχόντων ορισμάτων. Προσπαθώντας να κατανοήσουμε τη φύση, τη συμπεριφορά και τις ιδιότητες αυτής της συνάρτησης, ορίζουμε τις διαφορές των τιμών της. Αφαιρούμε λοιπόν από κάθε επόμενη τιμή την αμέσως προηγούμενη και τη γράφουμε από κάτω τους και ανάμεσά τους. Τις διαφορές αυτές τις ονομάζουμε διαφορές πρώτης τάξης. Στη συνέχεια, με όμοιο τρόπο, ορίζουμε τις διαφορές των διαφορών (τις οποίες ονομάζουμε διαφορές δεύτερης τάξης). Με τον ίδιο τρόπο ορίζονται οι διαφορές μεγαλύτερης τάξης. Πίνακας πεπερασμένων διαφορών της συνάρτησης y=f(x) x x 0 x 1 x x 3 x 4 y y 0 y 1 y y 3 y 4 Δy Δy 0 Δy 1 Δy 1 Δy 3 Δ y Δ y 0 Δ y 1 Δ y 1 Δ 3 y Δ 3 y 0 Δ 3 y 1 Δ 4 y Δ 4 y 0 όπου έχουμε τις σχέσεις y i yi 1 yi y y y y y y y y y y i i1 i i i1 i1 i i i1 i y y y y y y y y y y 3y 3y y 3 i i1 i i3 i i1 i i1 i i3 i i1 i y 3y 3y y 3y 3y y y y y y i i1 i i4 i3 i i1 i3 i i1 i y 4y 6y 4y y i4 i3 i i1 i y y y... y 5y 10y 10y 5y y i i1 i i5 i4 i3 i i1 i κ.ο.κ. Σημείωση: Στο σημείο αυτό απλώς παρατηρήστε ότι οι συντελεστές των τους συντελεστές των a και b στο ανάπτυγμα του a b n. y, yi 1, yi κ.λ.π. στα i n y i είναι οι ίδιοι με 116

6 Παράδειγμα: Στον επόμενο πίνακα δίνονται οι τιμές μιας συνάρτησης f( x ), για 9 τιμές του ορίσματος x. Από κάτω έχουμε υπολογίσει τον πίνακα των πεπερασμένων διαφορών. x y Δy Δ y Δ 3 y Δ 4 y Δ 5 y Ιδιότητες των πεπερασμένων διαφορών. Οι πεπερασμένες διαφορές έχουν κάποιες σημαντικές ομοιότητες με τις παραγώγους. Αναφέρουμε στη συνέχεια κάποιες ιδιότητες,, τις οποίες αναλύουμε χωρίς όμως να τις αποδεικνύουμε: 1. Όταν οι διαφορές πρώτης τάξης (Δy i ) είναι μεγαλύτερες του μηδενός, τότε οι τιμές της συνάρτησης y i είναι αύξουσες (να θυμηθούμε πως ακριβώς το ίδιο συμβαίνει και με την πρώτη παράγωγο). Άλλωστε δεν θα πρέπει να ξεχνούμε πως το κλάσμα Δy i /h, είναι μια πρώτη προσέγγιση της τιμής της παραγώγου της f στο σημείο x i.. Αντίστοιχα, εάν οι δεύτερης τάξης διαφορές είναι θετικές (αρνητικές), τότε οι τιμές y k δημιουργούν ένα γράφημα που στρέφει τα κοίλα άνω (κάτω). 3. Εάν οι τιμές y i δίνονται από μία πολυωνυμική συνάρτηση ν οστού βαθμού, τότε οι διαφορές πρώτης τάξης δίνονται από κάποια πολυωνυμική συνάρτηση ν 1 βαθμού, οι διαφορές δεύτερης τάξης δίνονται από κάποια πολυωνυμική συνάρτηση ν βαθμού, κ.ο.κ.. (Η 4 3 ιδιότητα αυτή ισχύει για τις παραγώγους: y x y 4x y 1x y 4x...) 4. Πόρισμα της προηγούμενης είναι ότι: Εάν οι τιμές y i δίνονται από μία πολυωνυμική συνάρτηση ν οστού βαθμού, τότε οι διαφορές ν οστής τάξης δίνονται από κάποια πολυωνυμική συνάρτηση μηδενικού βαθμού, δηλαδή είναι σταθερές. Μάλιστα, η τιμή των σταθερών διαφορών ν τάξης, διηρημένη με το βήμα h του πίνακα υψωμένο εις τη ν, v y i h v είναι ακριβώς ίση με την τιμή της παραγώγου ν οστής τάξης, η οποία είναι επίσης σταθερή. 5. Εάν οι τιμές y i δίνονται από μία μη πολυωνυμική συνάρτηση ν οστού βαθμού, τότε δεν καταλήγουμε ποτέ σε σταθερές διαφορές (αντίστοιχα μία μη πολυωνυμική συνάρτηση έχει άπειρες, μη μηδενικές, παραγώγους). 117

7 Σχήμα 6. Σχηματική παράσταση των πεπερασμένων διαφορών όταν οι διαφορές 1 ης και ης τάξης είναι θετικές. Στη παραπάνω γραφική παράσταση (Σχήμα 6.) έχουμε: Οι διαφορές 1 ης τάξης είναι θετικές, με αποτέλεσμα οι τιμές y j =f(x j ) να είναι αύξουσες. Οι διαφορές ης τάξης είναι θετικές, με αποτέλεσμα οι τιμές των διαφορών 1 ης τάξης να είναι αύξουσες. Παρατηρούμε λοιπόν πως η συνάρτηση f είναι: αύξουσα και στρέφει τα κοίλα προς τα άνω. Παρατήρηση: Επειδή ο πίνακας μιας συνάρτησης έχει πεπερασμένου πλήθους σημεία (έστω ν), ο πίνακας διαφορών μπορεί να φθάσει μέχρι τις διαφορές ν 1 τάξης. Εάν λοιπόν οι αρχικές τιμές y i δίνονται από πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού μεγαλύτερου του ν, τότε δεν θα συναντήσουμε πουθενά τις σταθερές διαφορές. Επομένως δεν θα μπορούμε να αποφανθούμε για το εάν οι τιμές y i προέρχονται από πολυωνυμική ή μη πολυωνυμική συνάρτηση. Παράδειγμα. Δίνεται ο πίνακας τιμών της συνάρτησης: x y Να γίνει ο πίνακας πεπερασμένων διαφορών και να απαντηθούν τα παρακάτω: 118

8 1. Είναι πολυωνυμική; Εάν είναι πολυωνυμική, τότε ποιος είναι ο βαθμός της και ποιος είναι ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου της;. Να υπολογισθεί το εν λόγω πολυώνυμο. Λύση: Κάνουμε τον πίνακα διαφορών. x y Δy Δ y Δ 3 y Δ 4 y Παρατηρούμε ότι οι τέταρτης τάξης διαφορές είναι σταθερές, άρα οι τιμές y i προέρχονται από μία πολυωνυμική συνάρτηση 4ου βαθμού Η τέταρτη παράγωγος της πολυωνυμικής συνάρτησης του πίνακα είναι σταθερή και η τιμή της δίνεται από τη σχέση Δ 4 y i /h 4 και είναι ίση με το 4. Υπολογίζοντάς τη θεωρητικά και ορίζοντας τον 4 τεταρτοβάθμιο όρο σαν: a4x, και ενθυμούμενοι πως οι όροι μικρότερης τάξης θα χαθούν κατά την παραγώγιση, έχουμε: y a x a x a x a x a y 4a x 3a x a x a y 1a x 6a x a 4 3 y 4a x 6a y 4a Εξισώνοντας τη σταθερή 4η παράγωγο με τη σταθερή 4η διαφορά Δ 4 y i /h 4 έχουμε: 4a 4 a Για να ορίσουμε ένα πολυώνυμο 4ου βαθμού χρειαζόμαστε 5 σημεία. Διαλέγουμε λοιπόν 5 (οποιαδήποτε) από τα σημεία του πίνακα (τα οποία ονομάζουμε x 0, x 1, x, x 3 και x 4 ), μ όποια σειρά θέλουμε. Επιλέγουμε συνήθως σημεία τα οποία έχουν x (κατ απόλυτη τιμή) μικρό έτσι ώστε να γίνουν ευκολότερες οι πράξεις. Όπως κάναμε σε ανάλογο πρόβλημα του προηγουμένου κεφαλαίου, ορίζουμε το συμπτωτικό πολυώνυμο με τη βοήθεια των τεσσάρων, εκ των πέντε, τιμών (των x 0, x 1, x και x 3 ). p( x) a a ( x x ) a ( x x )( x x ) a ( x x )( x x )( x x ) a ( x x )( x x )( x x )( x x ) Επιλέγοντας ως σημεία τα x0 0, x1 1, x 1, x3 και x4 3, έχουμε p( x) a a x a x ( x 1) a x ( x 1)( x 1) a x ( x 1)( x 1 )( x ) Τοποθετούμε τις 5 τιμές ( xi, yi) στο παραπάνω συμπτωτικό πολυώνυμο και υπολογίζουμε τις τιμές των συντελεστών του: 119

9 p(0) 10 a a p(1) 5 10 a a p( 1) a a 1 p() a a 1 p(3) a a x x( x 1) x( x 1) x( x 1)( x ) x ( x x) ( x x) ( x x)( x ) x x x x x x x x x 4 3 x x x x 4 Αντικαθιστώντας τις τιμές αυτές στο συμπτωτικό πολυώνυμο και κάνοντας τις πράξεις έχουμε p( x) 10 5 x x( x 1) x( x 1)( x 1) x( x 1)( x 1)( x ) To συμπτωτικό πολυώνυμο του Newton Ο προηγούμενος προσδιορισμός του συμπτωτικού πολυωνύμου είναι επίπονος και αρκετά δύσκολος στο να προγραμματισθεί. Για τον λόγο αυτό πιο βολικός είναι ο προσδιορισμός του με τη βοήθεια των πεπερασμένων διαφορών. Ας υποθέσουμε πως το συμπτωτικό πολυώνυμο γράφεται υπό τη μορφή: y k px ( ) k όπου με το x k συμβολίζουμε την ανεξάρτητη μεταβλητή του, αλλά και της συνάρτησης. Κατά τον υπολογισμό του συμπτωτικού πολυωνύμου εμφανίζεται η παράσταση ( xk x)/ h, οπότε εκτελούμε την αλλαγή μεταβλητής: xk h x 0 k όπου h είναι το σταθερό βήμα του πίνακα τιμών. Λύνοντας τη σχέση αυτή ως προς x k έχουμε: x x kh k 0 Για ακέραιες τιμές του k το x k συμπίπτει με τα σημεία x του πίνακα πεπερασμένων διαφορών (π.χ. x3 x0 3h). Έτσι, εφόσον το πολυώνυμο px ( k ) είναι συνάρτηση του x k και το x k είναι συνάρτηση του k, συμπεραίνουμε ότι το πολυώνυμο p είναι συνάρτηση του k, δηλαδή p( k ). Επομένως, γίνεται φανερό το γιατί αντικαθιστούμε την κανονική μεταβλητή x k με το δείκτη της k. Ο βαθμός του συμπτωτικού πολυωνύμου του Newton μπορεί να επιλεγεί από το χρήστη. Το σκεπτικό σύμφωνα με το οποίο επιλέγεται θα παρουσιαστεί στο παράδειγμα της παραγράφου 6.5. Η τελική μορφή του πολυωνύμου δίνεται από τη σχέση: 1 1 k k k k k 3 yk pxk pk y0 ky0 y0 y0...! 3! Το πολυώνυμο αυτό του Newton είναι όντως το συμπτωτικό, μια και παίρνει τις ίδιες τιμές με τη συνάρτηση του πίνακα: y f ( x ) p( x ) pk ( ). Πράγματι: p(0) y 0 k k k 10

10 p(1) y y y ( y y ) y p( ) y y y y ( y y ) ( y y ) κ.λ.π y y y y y y y y ( y y ) ( y y ) ( y y ) 1 0 y Ένας άλλος τρόπος υπολογισμού του συμπτωτικού πολυωνύμου του Newton Αρχικά να ορίσουμε την έννοια των Συνδυασμών και τον τύπο που υπολογίζει το πλήθος τους: Ονομάζουμε «συνδυασμούς των ν στοιχείων ανά μ» το πλήθος όλων των διαφορετικών ομάδων από μ στοιχεία, που δημιουργούνται από ν στοιχεία. Για κάθε ομάδα δεν ενδιαφερόμαστε για τη σειρά με την οποία επιλέγονται τα στοιχεία της μ άδας, δηλαδή η ομάδα με στοιχεία π.χ. τα (1,3,4) είναι η ίδια με την (3,1,4). Το πλήθος των συνδυασμών των ν στοιχείων ανά μ δίνεται από τον τύπο:!!! όπου, φυσικά. Θυμίζουμε ότι εξ ορισμού ισχύει 0!=1. Έτσι ισχύει και η προφανής ισότητα: 1 0 Ο τύπος των συνδυασμών δίνει την πολύ ενδιαφέρουσα σχέση του διωνύμου του Newton: όπου, με τη βοήθεια των συνδυασμών δίνονται οι διωνυμικοί συντελεστές. Π.χ. Δηλαδή: ! 4! 4! 4! 4! 0! 4! 1! 3!!! 3! 1! 4! 0! Βέβαια αυτοί δίνονται και από το γνωστό τρίγωνο του Pascal: 11

11 1 (α+β) 0 =1 1 1 (α+β) 1 =α+β 1 1 (α+β) =α +αβ+β (α+β) 3 =α 3 +3α β+3αβ +β (α+β) 4 =α 4 +4α 3 β+6α β +4αβ 3 +β (α+β) 5 =α 5 +5α 4 β+10α 3 β +10α β 3 +5αβ 4 +β 5 Στο τρίγωνο αυτό, από την τρίτη σειρά και κάτω, ξεκινούμε με μονάδα, συνεχίζουμε με το άθροισμα των δύο συντελεστών που βρίσκονται από πάνω και τελειώνουμε με μονάδα. Τα παραπάνω σχετίζονται με το πώς μπορεί να γραφεί το y k, συναρτήσει των διαφορών Δ j y k. y y y y y y ( y y ) ( y y ) y y y y y y y 3y 3 y y y y y y 4y 6 y 4 y y κ.ο.κ. Παρατηρούμε πως εμφανίζονται οι διωνυμικοί συντελεστές, οι συντελεστές δηλαδή του αναπτύγματος (. Έτσι λοιπόν γράφουμε: ) k k k k k 3 yk yk 1 yk 1... y0 y0 y0 y k k1 k k y0 y0 k 1 k 1 1 k k k k k yk y ky y y... k y y! 3! 3 k 1 k Εάν στον παραπάνω τύπο θέσουμε στον δείκτη k μια ενδιάμεση τιμή, δηλαδή μια μη ακέραια τιμή (άρα ο k πάψει να αντιστοιχεί σε κάποιο από τα x του πίνακα), τότε ο προηγούμενος τύπος γίνεται το συμπτωτικό πολυώνυμο του Newton Παρεμβολή με το συμπτωτικό πολυώνυμο του Newton. Με τη χρήση του συμπτωτικού πολυωνύμου του Newton, η πλήρης παρεμβολή γίνεται απλούστερη. Ας υποθέσουμε λοιπόν πως έχουμε ένα πίνακα τιμών της συνάρτησης f και ζητούμε την τιμή της συνάρτησης σε κάποιο ενδιάμεσο σημείο του πίνακα x k. Εργαζόμαστε λοιπόν ως εξής: Επιλέγουμε το βαθμό του συμπτωτικού πολυωνύμου που θα χρησιμοποιήσουμε για παρεμβολή, σύμφωνα με τη λογική που περιγράφεται στο παράδειγμα της παραγράφου 6.5. Ο βαθμός του πολυωνύμου μας επιβάλλει και το πλήθος των σημείων σύμπτωσης (τα οποία, συνήθως, είναι πολύ λιγότερα από το σύνολο των σημείων του πίνακα). Επιλέγουμε τα σημεία σύμπτωσης από τον πίνακα έτσι ώστε: (α) να είναι διαδοχικά και (β) το σημείο παρεμβολής (x k ) να βρίσκεται όσο πιο κεντρικότερα γίνεται, ανάμεσα στα σημεία αυτά. 1

12 Ονομάζουμε το πρώτο από τα επιλεγμένα σημεία x 0 (το οποίο προφανώς δεν είναι αναγκαίο να ταυτίζεται με το πρώτο σημείο του πίνακα), και ορίζουμε την τιμή του δείκτη k του σημείου παρεμβολής από τη σχέση: ( x k x0 ) k h Υπολογίζω την τιμή y k, από τον τύπο του Newton Γραμμική παρεμβολή Η γραμμική παρεμβολή είναι μία μερική περίπτωση της πλήρους παρεμβολής. Χρησιμοποιεί τους δύο πρώτους όρους του συμπτωτικού πολυωνύμου του Newton. όπου και πάλι: k k 0 0 y p x p k y k y ( x k x0 ) k h Ο τύπος της γραμμικής παρεμβολής προκύπτει πολύ εύκολα και με απλές πράξεις (απλή μέθοδος των τριών). Έστω πως γνωρίζουμε τις τιμές της συνάρτησης στα σημεία : Σ 0 (x 0, y 0 ) και Σ 1 (x 1, y 1 ) και ζητούμε την τιμή της συνάρτησης y k στο σημείο x k. Ενώνουμε (Σχήμα 6.3) τα δύο γνωστά σημεία με ένα ευθύγραμμο τμήμα (το Σ 0 Σ 1 ) και υπολογίζουμε, με τη βοήθειά του, το y k του σημείου της ευθείας Σ k (x k, y k ). Επομένως στη γραμμική παρεμβολή αντικαθιστούμε τη συνάρτηση του πίνακα τιμών, με μία ευθεία (ένα πρωτοβάθμιο πολυώνυμο). Έχουμε λοιπόν: Για x x1 x0 έχουμε y y0 y1 y0 Για x xk x0 έχουμε y yk yk y0? x x x x y y y y k k οπότε: yk y k y k 0 k x1 x0 h

13 Σχήμα 6.3 Η μέθοδος της γραμμικής παρεμβολής. Παράδειγμα: Η συνάρτηση f ορίζεται με τον παρακάτω πίνακα: x y Δy Δ y Δ 3 y Δ 4 y

14 όπου οι διαφορές έχουν γραφεί σαν ακέραιες για ευκολία (έχουν πολλαπλασιαστεί με το 10 5 ). Επομένως, η διαφορά 94 είναι στην πραγματικότητα = 0, Τι βαθμού είναι το πολυώνυμο με το οποίο θα παρεμβάλετε ανάμεσα στις τιμές του πίνακα;. Να υπολογίσετε την τιμή f (0.43) χρησιμοποιώντας την πλήρη παρεμβολή. 3. Να υπολογίσετε την τιμή f (0.43) χρησιμοποιώντας τη γραμμική παρεμβολή. 4. Εάν η συνάρτηση του πίνακα είναι η f ( x) xcos( x), να υπολογίσετε το σχετικό σφάλμα των δύο προσεγγιστικών υπολογισμών του f (0.43). Λύση: 1) Στο ερώτημα αυτό υπάρχουν δύο απαντήσεις: Εάν γράψουμε τις διαφορές τρίτης τάξης με τρία δεκαδικά ψηφία διαπιστώνουμε πως είναι σχεδόν ίσες (κυμαίνονται από 0,003 έως το 0,00). Εάν τις θεωρήσουμε λοιπόν σταθερές, είναι σαν να δεχόμαστε πως η εν λόγω συνάρτηση προσεγγίζεται από ένα τριτοβάθμιο πολυώνυμο (μια και το τριτοβάθμιο πολυώνυμο παρουσιάζει σταθερές τις διαφορές τρίτης τάξης). Μπορούμε όμως να θεωρήσουμε σαν σταθερές τις διαφορές 4ης τάξης, των οποίων οι τιμές (με 4 δεκαδικά) κυμαίνονται από το 0,0001 έως το 0,0003, οπότε θα υιοθετήσουμε τεταρτοβάθμιο πολυώνυμο για να παρεμβάλουμε στο εσωτερικό του πίνακα. ) Επιλέγουμε να παρεμβάλουμε με τη βοήθεια του τριτοβάθμιου συμπτωτικού πολυωνύμου, οπότε θα χρειασθούμε 4 σημεία, το οποία θα είναι διαδοχικά και θα έχουν στο κέντρο τους το σημείο παρεμβολής (0.43). Προφανώς, θα επιλέξουμε δύο σημεία αριστερά και δύο δεξιά του σημείου παρεμβολής. οπότε και x0 0.3, x1 0.4, x 0.5 και x3 0.6 x k x k 1.3 h k k k k k 3 yk pk 1.3 y0 ky0 y0 y0! 3! ! 3! ) Για τη γραμμική παρεμβολή έχουμε: οπότε x0 0.4 και x1 0.5 x k x k 0.3 h

15 Άρα: k y p k y ky ) Η ακριβής τιμή δίνεται από τη σχέση: y k x 0.43 f (0.43) x cos x οπότε το σχετικό σφάλμα των προηγουμένων υπολογισμών για την πλήρη παρεμβολή: % και για τη γραμμική: % Είναι φανερό πως η γραμμική παρεμβολή είναι πράξη λιγότερο ακριβής απ ότι η πλήρης παρεμβολή. Ήταν κάτι που το περιμέναμε, μια και δεν είναι δυνατό ένα ευθύγραμμο τμήμα να ακολουθεί την καμπύλη μιας συνάρτησης με την ίδια ακρίβεια που την ακολουθεί η καμπύλη ενός τριτοβάθμιου πολυωνύμου Η παρεμβολή στο Excel. Οι υπολογισμοί που απαιτούνται για την παρεμβολή, προγραμματίζονται ιδιαίτερα εύκολα με το Excel. Ας υποθέσουμε λοιπόν πως έχουμε τον πίνακα τιμών μιας συνάρτησης f, στο εσωτερικό του οποίου θέλουμε να παρεμβάλουμε, σε κάποιο σημείο x k. Στο παράδειγμα που ακολουθεί παρουσιάζεται ένα φύλλο του Excel, όπου: Υπάρχουν 6 τιμές από τον πίνακα τιμών της συνάρτησης f (προφανώς περιέχονται σημεία γύρω από το σημείο παρεμβολής). Υπολογίζεται ο πίνακας διαφορών της συνάρτησης f, ο οποίος φθάνει μέχρι και τη διαφορά πέμπτης τάξης. Δίνεται το σημείο παρεμβολής x k (στο παράδειγμα το 0.485). Υπολογίζεται ο δείκτης k του σημείου παρεμβολής (k=.45). Υπολογίζεται η τιμή f( x k ), με τη βοήθεια του πολυωνύμου του Newton, πέμπτου βαθμού (αφού έχουμε 6 σημεία). Έχοντας το παρακάτω φύλλο σε κάποιο αρχείο του Excel, μπορούμε να παρεμβάλλουμε σε οποιοδήποτε άλλο πίνακα. Απλώς, πληκτρολογούμε τις νέες τιμές του πίνακα, καθώς και το νέο x k. Αυτόματα, στη θέση του y k εμφανίζεται το νέο αποτέλεσμα. 16

16 A B C D E F G H 1 Παρεμβολή 3 Πίνακας Διαφορών της πινακοποιημένης συνάρτησης 4 5 x f(x) Δy Δ y Δ 3 y Δ 4 y Δ 5 y X k = k= Y k = Διπλή γραμμική παρεμβολή Έστω η συνάρτηση δύο μεταβλητών z g( x, y), η οποία ορίζεται με έναν πίνακα τιμών, σαν τον παρακάτω. x 0 x 1 x x v y 0 g(x 0, y 0 ) g(x 1, y 0 ) g(x, y 0 ) g(x v, y 0 ) y 1 g(x 0, y 1 ) g(x 1, y 1 ) g(x, y 1 ) g(x v, y 1 ) y g(x 0, y ) g(x 1, y ) g(x, y ) g(x v, y ) y v g(x 0, y v ) g(x 1, y v ) g(x, y v ) g(x v, y v ) Η διπλή γραμμική παρεμβολή χρησιμοποιείται για να παρεμβάλουμε ανάμεσα στις τιμές του πίνακα αυτού. Ας υποθέσουμε πως ζητούμε την τιμή της g στο σημείο (x k,y λ ). 17

17 Αρχικά επιλέγουμε την τετράδα των σημείων του πίνακα που βρίσκονται πλησιέστερα στο σημείο παρεμβολής. Προφανώς, από τις τιμές x i του πίνακα, θα διαλέξουμε σαν x 0 και x 1, το προηγούμενο και το επόμενο σημείο του x k, ενώ σαν y 0 και y 1, το προηγούμενο και το επόμενο σημείο του y λ. x 0 x 1 y 0 g(x 0, y 0 ) g(x 1, y 0 ) y 1 g(x 0, y 1 ) g(x 1, y 1 ) Ο υπολογισμός του g( xk, y ) γίνεται με τη βοήθεια τριών γραμμικών παρεμβολών, δύο ως προς x και μιας ως προς y (βλέπε και Σχήμα 6.4), ή δύο ως προς y και μιας ως προς x. Αρχικά υπολογίζουμε την τιμή των δεικτών του σημείου παρεμβολής: xk x k h x 0 y y h y 0 όπου h x και h y είναι το βήμα του πίνακα στο x και στο y αντίστοιχα (δηλαδή hx x1 x0 και hy y1 y0). Σχήμα 6.4 Η μέθοδος της διπλής γραμμικής παρεμβολής. Εκτελώντας δύο παρεμβολές ως προς x και μία ως προς y, καταλήγουμε εύκολα στις σχέσεις:,,,, g xk y0 g x0 y0 k g x1 y0 g x0 y0,,,, g xk y1 g x0 y1 k g x1 y1 g x0 y1 g x,,, y g, y k y g xk y0 g xk 1 xk 0 18

18 Παράδειγμα. Η συνάρτηση z f ( x, y) δίνεται από τον παρακάτω πίνακα. x y Να υπολογισθεί η τιμή της f (1.13,.44).. Με δεδομένο πως η έκφραση της συνάρτησης του πίνακα είναι υπολογισθεί το σχετικό σφάλμα της παρεμβολής. f ( x y xy y xy να, ) ln( ) Λύση. 1. Ξεκινούμε διαλέγοντας την τετράδα των σημείων πάνω στα οποία θα στηριχθεί η διπλή παρεμβολή: x 0 =1.1 x 1 =1. y 0 = y 1 = Υπολογίζουμε τους δείκτες k και λ: xk x k 0.3 h 0.1 x y y h 0. y και στη συνέχεια εφαρμόζουμε τους τύπους της διπλής παρεμβολής:,,,, f xk y0 f x0 y0 k f x1 y0 f x0 y0 1.13,. 4 f 1. 1, ,.4 1.1, f f f,,,, f xk y1 f x0 y1 k f x1 y1 f x0 y1 19

19 1.13,. 6 f 1. 1, ,.6 1.1, f f f f x,,, y f, y k y f xk y0 f xk 1 xk , , , , f f f f Καταλήγουμε λοιπόν, με τη διπλή γραμμική παρεμβολή, ότι η τιμή της f (1.13,.44) Η ακριβής τιμή της f: f xy y (1.13,.44) y ln( x ) x1.13, y.44 οπότε το σχετικό σφάλμα της παρεμβολής είναι ίσο με: % Παρεμβολή σε πίνακα μη ισαπεχόντων ορισμάτων. Συχνά αναγκαζόμαστε να παρεμβάλλουμε σε πίνακες με μεταβλητό βήμα (όπου δηλαδή το βήμα h δεν είναι σταθερό). Στην περίπτωση αυτή είναι δυνατή η γραμμική παρεμβολή, όπως τη γνωρίσαμε στην περίπτωση των ισαπεχόντων ορισμάτων! Πολλές φορές όμως η απαιτούμενη ακρίβεια της παρεμβολής μας επιβάλλει τη χρήση πολυωνύμων με βαθμό μεγαλύτερο του 1 (ακρίβεια βέβαια που δεν είναι σίγουρο πως θα επιτευχθεί). Την περίπτωση αυτή καλύπτει η μέθοδος του Lagrange και η μέθοδος του Newton με διαιρεμένες διαφορές. Έστω ο παρακάτω πίνακας τιμών μιας συνάρτησης f(x), όπου τα ορίσματα x j δεν ισαπέχουν: x x 0 x 1 x x 3 x 4 x v 1 x v y y 0 y 1 y y 3 y 4 y v 1 y v Τα ν+1 σημεία του πίνακα ορίζουν, στη γενική περίπτωση, μία πολυωνυμική συνάρτηση ν οστού βαθμού Μέθοδος Lagrange Το συμπτωτικό αυτό πολυώνυμο δίνεται από την επόμενη σχέση του Lagrange: p ( x) L ( x) y L ( x) y L ( x) y... L ( x) y L ( x) y L j Lj( x) y j όπου οι ν+1 συντελεστές L j (x) είναι πολυώνυμα ν οστού βαθμού, με μεταβλητή το x. Το καθένα από αυτά αντιστοιχεί στην τιμή x j, που δίνει την τιμή y j του πίνακα. Δηλαδή το L 0 (x), που είναι συντελεστής του y 0, αντιστοιχεί στο x 0 που είναι το όρισμα της τιμής y 0. Οι συντελεστές L j (x) ορίζονται από τη γενική σχέση: 130

20 L ( x) j x x0 x x1... x x j1 x x j1... x x 1 x x x j x0 x j x1... x j x j1 x j x j1... x j x 1 x j x v i1 i j x xi x x j i όπου με το σύμβολο n Ai εννοούμε το γινόμενο των όρων i i1 4 A (π.χ. Ai A1 A A3 A4 ) i1 Παρατηρήσεις: 1 η ) Ο συντελεστής L ( x ) που πολλαπλασιάζει το y j και αντιστοιχεί στο x j είναι ένα κλάσμα όπου ο j αριθμητής είναι το γινόμενο των (ν 1) διαφορών της μεταβλητής x, με το κάθε x i του πίνακα τιμών, εκτός από το x j ( i j ). Όμοια, ο παρονομαστής είναι το γινόμενο των (ν 1) διαφορών της τιμής x j με το κάθε x i του πίνακα τιμών, εκτός (και πάλι) από το x j (αλλιώς θα μηδενίζονταν ο παρονομαστής). Σαν παράδειγμα ας γράψουμε το L ( x ): 3 L ( x) 3 x x0 x x1 x x x x4... x x 1x x x x x x x x x x... x x x x η ) Εάν οι τιμές y j του πίνακα τιμών προέρχονται από μία πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού μ μικρότερου του ν (μ<ν), τότε, παρ όλο που οι συντελεστές L ( x ) είναι ν οστού βαθμού, στην τελική έκφραση του πολυωνύμου θα γίνουν οι ανάλογες απλοποιήσεις, έτσι ώστε να καταλήξει σε ένα πολυώνυμο μ ου βαθμού. 3 η ) Θα θέλαμε να δείξουμε πως, πράγματι, το πολυώνυμο του Lagrange είναι συμπτωτικό. Θα το δείξουμε με ένα παράδειγμα. Έχουμε τη συνάρτηση y(x) που δίνεται με τον επόμενο πίνακα τιμών, όπου τα ορίσματα δεν ισαπέχουν υποχρεωτικά (προφανώς το πολυώνυμο Lagrange είναι το συμπτωτικό, ακόμη και στην ειδική περίπτωση των ισαπεχόντων ορισμάτων). Θα πρέπει να δείξουμε πως είναι το συμπτωτικό, δηλαδή πως ισχύουν οι ισότητες p ( x) y. L i i j x x 0 x 1 x y y 0 y 1 y Για τον πίνακα αυτό των τριών σημείων το πολυώνυμο Lagrange είναι το παρακάτω: p ( x) L ( x) y L ( x) y L ( x) y L ( x) y L j j j0 x x x x x x x x x x x x y y y x x x x x x x x x x x x Τώρα θα δείξουμε πως ισχύει ότι p ( L x1) y1. Πράγματι: 131

21 x x x x x x x x x x x x p ( x ) y y y L x0 x1 x0 x x1 x0 x1 x x x0 x x1 0 1y 0 y 1 1 Παρόμοια δείχνουμε πως ισχύουν και οι ισότητες: p ( L x ) y και p ( L x) y 0 0 οπότε γίνεται φανερό πως πρόκειται για το συμπτωτικό πολυώνυμο. Παράδειγμα 1 ο : Δίνεται ο επόμενος πίνακας τιμών μιας συνάρτησης f( x ). x y Να υπολογισθεί το πολυώνυμο Lagrange που αντιστοιχεί στον πίνακα αυτό. Λύση: Αρχικά υπολογίζουμε τους συντελεστές Lj ( x ): L 1 0 ( x) L ( x) L ( x) L ( x) 5 3 x 0 x x 5 x 7x 10x x x x x x x x 1 x 0 x 5 x 4x 5x x 1 x 0 x x x x Αντικαθιστώντας τους συντελεστές αυτούς στο πολυώνυμο του Lagrange έχουμε: p x 5 L L 1 L 11 L L x 7x 10x x 6x 3x 10 x 4x 5x x x x x x x x x x x x x x x x x 70x90 x x Εδώ βλέπουμε την επαλήθευση της ης παρατήρησης. Ενώ περιμέναμε ένα τριτοβάθμιο πολυώνυμο, τελικά αποδείχθηκε πως η συνάρτηση της οποίας οι τιμές αναγράφονταν στον πίνακα τιμών ήταν πολυωνυμική ου βαθμού, παρ όλον ότι τα πολυώνυμα L ( x ) ήταν τρίτου βαθμού. j 13

22 Παράδειγμα ο : Δίνεται ο επόμενος πίνακας τιμών μιας συνάρτησης f( x ). x y Να υπολογισθεί το πολυώνυμο Lagrange που αντιστοιχεί στον πίνακα αυτό.. Με γραμμική παρεμβολή να εκτιμηθεί η τιμή f (5). 3. Με το πολυώνυμο του Lagrange να εκτιμηθεί η τιμή f (5). 4. Εάν f ( x) x, να υπολογισθεί η ακριβής τιμή, καθώς και το σχετικό σφάλμα των δύο προσεγγιστικών τιμών. 5. Να γίνει η γραφική παράσταση που να αιτιολογεί τα προηγούμενα αποτελέσματα. Λύση: 1. Πολυώνυμο Lagrange. Αρχικά υπολογίζουμε τους συντελεστές Lj ( x ): L ( x) 0 L( x) 1 L ( x) 4 L ( x) 9 x x x x x x x 0 x 4 x 9 x 13x 36x x 0 x 1 x 9 x 10x 9x x 0 x 1 x 4 x 5x 4x Αντικαθιστώντας τους συντελεστές αυτούς στο πολυώνυμο του Lagrange έχουμε: p x 0 L L L 3 L L x 14x 49x 36 x 13x 36x x 10x 9x x 5x 4x x x x x x x x x x x 90x 444x x x x

23 . Γραμμική παρεμβολή. Εφόσον ζητούμε την τιμή f (5), θα επιλέξουμε τα δύο σημεία του πίνακα που βρίσκονται εκατέρωθεν του σημείου παρεμβολής: το (4,) και το (9,3). Έχουμε λοιπόν: οπότε Άρα x0 4, x1 9, h 5 και x 5 xk x k 0. h 5 5 y 5 p k L 0. y 0 k y k 0. k 3. Παρεμβολή με το πολυώνυμο του Lagrange y5 pl x 5 x x x x5 4. Σύγκριση των αποτελεσμάτων. Με δεδομένο πως η ακριβής τιμή της συνάρτησης f είναι η: y 5 f έχουμε τα σχετικά σφάλματα: α) Γραμμική παρεμβολή:. y(ακριβές) y(προσεγγιστικό) % % y(ακριβές).3607 β) Παρεμβολή με το πολυώνυμο Lagrange:. y(ακριβές) y(προσεγγιστικό).3607 % % y(ακριβές).3607 Παρατηρούμε με σχετική έκπληξη πως η τριτοβάθμια παρεμβολή πέτυχε πολύ χειρότερα αποτελέσματα από τη γραμμική (πρωτοβάθμια)! Το γεγονός αυτό θα γίνει πιο εμφανές με τη βοήθεια των γραφικών παραστάσεων. 134

24 5. Γραφική παράσταση. Σχήμα 6.5 Γραφική παράσταση της συνάρτησης f( x ) και του συμπτωτικού πολυωνύμου. Τα σημεία σύμπτωσης έχουν σημειωθεί με μικρούς κύκλους. Από τη γραφική παράσταση (Σχήμα 6.5) του τριτοβάθμιου συμπτωτικού πολυωνύμου γίνεται εμφανές πως το αποτέλεσμα της παρεμβολής μέσω αυτού έχει μεγάλο σφάλμα, πολύ μεγαλύτερο της γραμμικής παρεμβολής! Καταλήγουμε λοιπόν στο συμπέρασμα: Η παρεμβολή με πολυώνυμα μεγάλου βαθμού κρύβει κινδύνους, όταν το βήμα του πίνακα είναι ιδιαίτερα μεγάλο, ιδιαίτερα στην περίπτωση όπου, στο διάστημα όπου επιχειρείται η παρεμβολή, η «καμπυλότητα» της συνάρτησης του πίνακα μεταβάλλεται έντονα. Για τον λόγο αυτό, κάποιος που δημιουργεί έναν πίνακα τιμών φροντίζει οι αποστάσεις ανάμεσα στα ορίσματα του πίνακα να έχουν τέτοιες αποστάσεις μεταξύ τους, που να επιτρέπουν ικανοποιητική ακρίβεια σε παρεμβολές Μέθοδος Newton με διαιρεμένες διαφορές Η μέθοδος Newton με διαιρεμένες διαφορές για την εύρεση του συμπτωτικού πολυωνύμου στηρίζεται στη δημιουργία ενός πίνακα πεπερασμένων διαφορών, όπως αυτός που είδαμε στην παράγραφο 6.3, με τη διαφορά ότι στην περίπτωση αυτή οι διαφορές στα y διαιρούνται με τις αντίστοιχες διαφορές στα x. Έτσι οι διαφορές του πρώτου επιπέδου Δy που είναι οι διαφορές δύο διαδοχικών y διαιρούνται με τις διαφορές των δύο αντίστοιχων διαδοχικών x. Έστω, δηλαδή, Δy η διαφορά του y i και του y i+1, Δy= y i+1 y i, η διαφορά αυτή θα διαιρεθεί με την αντίστοιχη των x i και x i+1, Δx= x i+1 x i. Στο δεύτερο επίπεδο έχουμε τη διαφορά δύο διαδοχικών διαφορών πρώτου επιπέδου που είναι οι διαφορές των y i+1 y i και των y i+ y i+1. Άρα η διαφορά θα διαιρεθεί με τη διαφορά x i+ x i. Αντίστοιχα οι διαφορές του τρίτου επιπέδου θα διαιρεθούν με τη διαφορά των x i+3 x i κ.ο.κ. Ένας καλός τρόπος για να βρίσκουμε εύκολα με ποια διαφορά των x θα διαιρέσουμε κάθε επίπεδο είναι: Για το πρώτο επίπεδο παίρνουμε τα x ανά δύο και βρίσκουμε τις διαφορές του, δηλαδή x 1 x 0, x x 1, x 3 x κ.λ.π. Για το δεύτερο επίπεδο παίρνουμε τα x ανά τρία και βρίσκουμε τη διαφορά του τελευταίου (του τρίτου δηλαδή) από το πρώτο, δηλαδή x x 0, x 3 x 1, x 4 x κ.λ.π. Για το τρίτο επίπεδο παίρνουμε τα x ανά 135

25 τέσσερα και βρίσκουμε τη διαφορά του τελευταίου από το πρώτο, δηλαδή x 3 x 0, x 4 x 1, x 5 x κ.λ.π. Αντίστοιχα βρίσκουμε τις διαφορές και για τα υπόλοιπα επίπεδα. Έτσι δημιουργούμε τον παρακάτω πίνακα (στον οποίο υποθέσαμε ότι έχουμε πέντε ζεύγη x και y). x y Dy D y D 3 y D 4 y x 0 y 0 Dy 0 =(y 1 y 0 )/(x 1 x 0 ) x 1 y 1 D y 0 =(Dy 1 Dy 0 )/(x x 0 ) Dy 1 =(y y 1 )/(x x 1 ) D 3 y 0 =( D y 1 D y 0 )/(x 3 x 0 ) x y D y 1 =(Dy Dy 1 )/(x 3 x 1 ) D 4 y 0 =( D 3 y 1 D 3 y 0 )/(x 4 x 0 ) Dy =(y 3 y )/(x 3 x ) D 3 y 1 =( D y D y 1 )/(x 4 x 1 ) x 3 y 3 D y =(Dy 3 Dy )/(x 4 x ) x 4 y 4 Dy 3 =(y 4 y 3 )/(x 4 x 3 ) Αφού υπολογίσουμε τις διαιρεμένες διαφορές και κατασκευάσουμε τον παραπάνω πίνακα, το πολυώνυμο Newton υπολογίζεται από την εξίσωση 3 y y x x x x x x x x p ( x) y D y x x D x x x x D x x x x x x N D y Υλοποίηση μεθόδων με το MATLAB Μέθοδος Lagrange Η συνάρτηση sp_lagrange, που ακολουθεί, έχει παραμέτρους H έξοδος της xp = τον πίνακα τιμών του x yp = τον πίνακα τιμών του y p = το πολυώνυμο παρεμβολής σε συμβολική μορφή Η μέθοδος χρησιμοποιεί το συμβολικό πακέτο του MATLAB για τον υπολογισμό των συντελεστών Lagrange και του συμπτωτικού πολυωνύμου. function p=sp_lagrange(xp,yp) N=length(xp); M=length(yp); 136

26 if N~=M error('myapp:argchk', 'Οι πίνακες x και y δεν έχουν ίδια διάσταση') end syms x for i=1:n L(i)=1+0*x; for j=1:n if i~=j L(i)=L(i)*(x xp(j))/(xp(i) xp(j)); end end disp(sprintf('l(%d) = %s',i 1,char(expand(L(i))))) end p=0*x; for i=1:n p=p+l(i)*yp(i); end p=expand(p); Μέθοδος Newton με διαιρεμένες διαφορές Η συνάρτηση sp_newton, που ακολουθεί, έχει παραμέτρους H έξοδος της xp = τον πίνακα τιμών του x yp = τον πίνακα τιμών του y p = το πολυώνυμο παρεμβολής σε συμβολική μορφή Η μέθοδος χρησιμοποιεί το συμβολικό πακέτο του MATLAB για τον υπολογισμό του συμπτωτικού πολυωνύμου. function p=sp_newton(xp,yp) N=length(xp); M=length(yp); if N~=M error('myapp:argchk', 'Οι πίνακες x και y δεν έχουν ίδια διάσταση') 137

27 end syms x for i=1:n end dy(i,1)=yp(i); for j=:n for i=1:n j+1 dy(i,j)=(dy(i+1,j 1) dy(i,j 1))/(xp(i+j 1) xp(i)); end end L=1; p=dy(1,1); for j=:n L=L*(x xp(j 1)); p=p+dy(1,j)*l; end p=expand(p); 138

28 Κριτήρια αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης 1 Η συνάρτηση f ορίζεται με τον παρακάτω πίνακα: x y Δy Δ y Δ 3 y Δ 4 y Τι βαθμού είναι το πολυώνυμο με το οποίο θα παρεμβάλετε ανάμεσα στις τιμές του πίνακα;. Να υπολογίσετε την τιμή f (5.68) χρησιμοποιώντας την πλήρη παρεμβολή. 3. Να υπολογίσετε την τιμή f (5.68) χρησιμοποιώντας τη γραμμική παρεμβολή. 4. Εάν η συνάρτηση του πίνακα είναι η f ( x) xln x, να υπολογίσετε το σχετικό σφάλμα των δύο προσεγγιστικών υπολογισμών του f (5,68). 139

29 Κριτήριο αξιολόγησης Δίνεται ο επόμενος πίνακας τιμών μιας συνάρτησης f. x y Να υπολογισθεί το πολυώνυμο Lagrange που αντιστοιχεί στον πίνακα αυτό.. Με γραμμική παρεμβολή να εκτιμηθεί η τιμή f (4). 3. Με το πολυώνυμο του Lagrange να εκτιμηθεί η τιμή f (4). 4. Να γίνει η γραφική παράσταση του πολυωνύμου παρεμβολής. Πιστεύετε πως θα δώσει ικανοποιητικά αποτελέσματα κατά την παρεμβολή;. Κριτήριο αξιολόγησης 3 Να λυθεί το προηγούμενο κριτήριο αξιολόγησης με τη μέθοδο Newton με διαιρεμένες διαφορές. Καταλήγουμε στο ίδιο πολυώνυμο ; Κριτήριο αξιολόγησης 4 Να βρεθεί ένα συμπτωτικό πολυώνυμο δευτέρου βαθμού, που, για x = 0, 1,, να παίρνει τις ίδιες τιμές με την y (x) = x 3. Κριτήριο αξιολόγησης 5 Στην περίπτωση που έχουμε πίνακα ισαπεχόντων ορισμάτων, ξεκινώντας από τον τύπο του συμπτωτικού πολυωνύμου του Newton με διαιρεμένες διαφορές (παράγραφος 6.8.) καταλήξτε στον τύπο του συμπτωτικού πολυωνύμου του Newton (παράγραφος 6.4). 140

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Αριθμητικός υπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος

Κεφάλαιο 8. Αριθμητικός υπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος Κεφάλαιο 8. Αριθμητικός υπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται οι αριθμητικές μέθοδοι τον υπολογισμό των ορισμένων ολοκληρωμάτων. Παρουσιάζονται οι μέθοδοι του παραλληλογράμμου,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 10, 12 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Παρεμβολή 2. Παράσταση και υπολογισμός του πολυωνύμου παρεμβολής

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 3η εργαστηριακή άσκηση

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 3η εργαστηριακή άσκηση ΤΕΙ ΑΘΗΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΠΗΓΙΚΗΣ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 3η εργαστηριακή άσκηση ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΣ: ΧΑΤΖΗΓΕΩΡΓΙΟΥ ΑΝΤΩΝΗΣ Α.Μ. 09036 Εξάμηνο ΠΤΧ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΔΡ. ΜΠΡΑΤΣΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Περιεχόμενα 3.1 Πολυωνυμική παρεμβολή...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος

Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος. Πως ορίζεται η έννοια. Το όριο. To f() f() ; f() εφόσον υπάρχει είναι μονοσήμαντα ορισμένο; εξαρτιέται από τα άκρα α, β των ( α, ) και (, β ) ;. Πως ορίζονται τα πλευρικά

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 68 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών

Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συνοπτική Θεωρία Ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Συντακτική ομάδα mathp.gr Συντονισμός

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 63 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2 Άσκηση 75 Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 04800 βακτήρια. Μετά από 1 ώρα υπάρχουν 10400 βακτήρια, μετά από ώρες 5100 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα. α) Πόσα

Διαβάστε περισσότερα

Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 1 / 55 Παρεµβολή Ας υποθέσουµε ότι δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αν α +β +γ = αβγ και α + β + γ, να δείξετε ότι το πολυώνυμο P()=(α β) +(β γ) + γ α είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Από την ταυτότητα του Euler α +β +γ -αβγ = (α + β + γ)[(α-β)

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z.

x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. ο A. Ταυτότητες, ιδιότητες δυνάμεων, διάταξη.1 Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 1. 15a x 15a y 5a x 5a y. a x a x a x a x 3 3 4 3 3 3 3. x 4xy 16 4 y

Διαβάστε περισσότερα

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 014 015, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ Ημερομηνία ανάρτησης εργασίας στην ιστοσελίδα του μαθήματος: 1 11 014 Ημερομηνία παράδοσης εργασίας: 18 11 014 Επιμέλεια απαντήσεων:

Διαβάστε περισσότερα

Σχόλια στα όρια. Γενικά

Σχόλια στα όρια. Γενικά Σχόλια στα όρια. Γενικά Η αναζήτηση του ορίου έχει νόημα όταν η συνάρτηση ορίζεται κοντά στο x, δηλαδή σε διάστημα (α,x ) (x,β) ή φυσικά σε (α,β) με x (α,β) και όχι κατ ανάγκη στο ίδιο το x. Για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Φίλη μαθήτρια φίλε μαθητή Η εργασία αυτή έγινε με σκοπό να συμβάλει στην κατανόηση στην εμπέδωση και στην εμβάθυνση των μαθηματικών εννοιών που αναπτύσσονται στην Άλγεβρα της Β Λυκείου. Η ύλη είναι γραμμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4_095. Δίνονται οι ευθείες ε 1: λx + y = 1 και ε : x + λy = λ α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι δύο ευθείες τέμνονται και να γράψετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου συναρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not deined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Interpolation (1) Τρίτη, 3 Μαρτίου Σελίδα 1

Interpolation (1) Τρίτη, 3 Μαρτίου Σελίδα 1 Iterpolatio () Τρίτη, 3 Μαρτίου 05 9:46 πμ 05.03.03 Σελίδα 05.03.03 Σελίδα 05.03.03 Σελίδα 3 05.03.03 Σελίδα 4 05.03.03 Σελίδα 5 05.03.03 Σελίδα 6 05.03.03 Σελίδα 7 05.03.03 Σελίδα 8 05.03.03 Σελίδα 9

Διαβάστε περισσότερα

4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή

4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή . Παραγώγιση Η διαδικασία της υπολογιστικής επίλυσης συνήθων και μερικών διαφορικών εξισώσεων προϋποθέτει την προσέγγιση της εξαρτημένης μεταβλητής και των παραγώγων της στους κόμβους του πλέγματος. Ειδικά,

Διαβάστε περισσότερα

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr III Όριο Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Πεπερασμένο Όριο στο Α Ορισμός Όριο στο : Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό,

Διαβάστε περισσότερα

f f 2 0 B f f 0 1 B 10.3 Ακρότατα υπό συνθήκες Πολλαπλασιαστές του Lagrange

f f 2 0 B f f 0 1 B 10.3 Ακρότατα υπό συνθήκες Πολλαπλασιαστές του Lagrange Μέγιστα και ελάχιστα 39 f f B f f yx y x xy Οι ιδιοτιμές του πίνακα Β είναι λ =-, λ =- και οι δυο αρνητικές, άρα το κρίσιμο σημείο (,) είναι σημείο τοπικού μεγίστου. Εφαρμογή 6: Στο παράδειγμα 3 ο αντίστοιχος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή, ακρίβεια και σφάλματα υπολογισμών

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή, ακρίβεια και σφάλματα υπολογισμών Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή, ακρίβεια και σφάλματα υπολογισμών Σύνοψη Στο πρώτο αυτό κεφάλαιο γίνεται μια εισαγωγή στο αντικείμενο της Αριθμητικής Ανάλυσης και εξετάζεται το θέμα της ακρίβειας και των σφαλμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Αριθμητική επίλυση Διαφορικών Εξισώσεων

Κεφάλαιο 9. Αριθμητική επίλυση Διαφορικών Εξισώσεων Κεφάλαιο 9. Αριθμητική επίλυση Διαφορικών Εξισώσεων Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται οι πιο συνηθισμένες μέθοδοι αριθμητικής επίλυσης διαφορικών εξισώσεων. Ξεκινώντας από τις διαφορικές εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 05 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις . Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (

Διαβάστε περισσότερα

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης; 10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η έννοια του ορίου στο x ο Υπάρχουν συναρτήσεις οι τιμές των οποίων πλησιάζουν ένα πραγματικό αριθμό L, όταν η ανεξάρτητη μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να αναγνωρίζει πότε μια αλγεβρική παράσταση της πραγματικής μεταβλητής x, είναι πολυώνυμο και να διακρίνει τα στοιχεία του: όροι, συντελεστές, σταθερός

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή

4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή 4. Παραγώγιση Η διαδικασία της υπολογιστικής επίλυσης συνήθων και μερικών διαφορικών εξισώσεων προϋποθέτει την προσέγγιση της εξαρτημένης μεταβλητής και των παραγώγων της στους κόμβους του πλέγματος. Ειδικά,

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης

Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης Αγνοώ το πώς με βλέπει ο κόσμος αλλά στον εαυτό μου, φαίνομαι σαν να μην ήμουν τίποτα άλλο από ένα αγοράκι που παίζει στην ακρογιαλιά και κατά καιρούς

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx,

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx, Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 07/1/017 Μέρος 1ο: Μη Ομογενείς Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης Θεωρούμε τη γραμμική μή-ομογενή διαφορική εξίσωση y + p(x) y + q(x) y = f(x), x

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defned. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων 4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

1 of 79 ΘΕΜΑ 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R

1 of 79 ΘΕΜΑ 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R 1 of 79 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R α) Να αποδείξετε ότι η f γράφεται στη μορφή f(x) = (x- 2) 2 + 1. (Μονάδες 12) β) Στο σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί, να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

O1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f x

O1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f x O ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f ) Εντοπίζω τα σημεία που συναντώνται οι δύο καμπύλες ) Η τεταγμένη y αυτού του σημείου είναι το όριο της f και η τετμημένη η θέση y lim f Πλευρικά όρια lim f λ lim

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 016-17 1. Τι ονομάζεται αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται κάθε έκφραση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών και μεταβλητών.. Τι ονομάζεται αριθμητική τιμή αλγεβρικής

Διαβάστε περισσότερα

Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για τον «Επιστηµονικό Υπολογισµό» Χειµερινό εξάµηνο Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Αιγαίου

Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για τον «Επιστηµονικό Υπολογισµό» Χειµερινό εξάµηνο Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Αιγαίου Τελευταία ενηµέρωση: 4 Ιανουαρίου 8 Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για τον «Επιστηµονικό Υπολογισµό» Χειµερινό εξάµηνο 6-7 -- Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Αιγαίου Οδηγίες για την 6 η άσκηση της 6 ης εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Μάθημα: Μαθηματικά Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών (1 ο, 2 ο, 3 ο Κεφάλαιο) 11-10-2017, 18-10-2017 Διδάσκουσα: Αριστούλα Κοντογιάννη ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος)

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) 1. Πως προσθέτουμε δυο πραγματικούς αριθμούς; Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα