Τίτλος : Mέθοδος συµπίεσης σηµάτων χρησιµοποιώντας τον διακριτό ορθογώνιο µετασχηµατισµό Gauss-Hermite

Τίτλος : Mέθοδος συµπίεσης σηµάτων χρησιµοποιώντας τον διακριτό ορθογώνιο µετασχηµατισµό Gauss-Hermite Περίληψη : Μέθοδος συµπίεσης σηµάτων ήχου, εικόνας, κινούµενης εικόνας, βιοιατρικών κτλ., η οποία χρησιµοποιεί αντί του διακριτού µετασχηµατισµού συνηµιτόνου (DCT) τον διακριτό ορθογώνιο µετασχηµατισµό Gauss-Hermite (DOGHT). Ο τελευταίος αναπτύσει τα σήµατα σε βάση συναρτήσεων Gauss-Hermite αντί για συναρτήσεις συνηµιτόνου και επιτυγχάνει σε πολλές πρακτικές περιπτώσεις 2-3 φορές µεγαλύτερη συµπίεση για το ίδιο σφάλµα αναπαραγωγής από τον µετασχηµατισµό DCT. Αυτό επιτυγχάνεται διότι ο µετασχηµατισµός DOGHT της παρούσας εφεύρεσης συνδιάζει τα πλεονεκτήµατα του µετασχηµατισµού DCT και των µετασχηµατισµών που βασίζονται σε wavelets. Eισαγωγή Η ανάγκη για συµπίεση ψηφιακών σηµάτων ήχου, εικόνας, κινούµενης εικόνας (video), βιοιατρικών, κτλ. είναι σήµερα πολύ µεγάλη τόσο για να διευκολυνθεί η αποθήκευση τους πχ. σε CD-ROM ή σε σκληρούς δίσκους λογικής χωρητικότητας, αλλά κυριότερα για να γίνει η ασύρµατη/ενσύρµατη µετάδοσή τους µέσω καναλιών περιορισµένου εύρους ζώνης. Έτσι, µια τυπική σύνδεση Internet µέσω απλής τηλεφωνικής γραµµής και modem προσφέρει ρυθµό µετάδοσης το πολύ 56 Kbits/sec = 7 Kbytes/sec ενώ µια ασύρµατη σύνδεση µέσω GSM/GPRS προσφέρει ρυθµό µετάδοσης της τάξης των 40 Kbits/sec = 5 Kbytes/sec. Από την άλλη πλευρά, τό µέγεθος ενός ασυµπίεστου αρχείου µουσικής (.wav) είναι 44.1 KHz (ρυθµός δειγµατοληψίας σε χιλιάδες δείγµατα το δευτερόλεπτο)* 16 bits 16 (κβάντιση του κάθε δείγµατος σε 2 = 65 536 επίπεδα)*2 (stereo = 2 κανάλια) = 1.4 Mbits/sec. ηλαδή για ένα τραγούδι διάρκειας 4 λεπτών χρειαζόµαστε 4x60secsx1.4 Mbits/sec = 336 Mbits = 42 Mbytes. Για ένα ασυµπίεστο αρχείο φωτογραφίας τύπου bitmap (.bmp) ανάλυσης VGA 640x480 pixels, όπως αυτά πχ. που προέρχονται από ψηφιακές φωτογραφικές µηχανές ενσωµατοµένες σε κάποια κινητά τηλέφωνα, χρειαζόµαστε 640x480 pixels x 24 1

bits/pixel (true color δηλαδή κβάντιση σε 224 = 16.7 εκατοµµύρια χρώµατα) = 7.4 Mbits δηλαδή περίπου 900 Kbytes. Επιπλέον τα σήµατα video αποτελούνται από τυπικά 25 εικόνες ανά δευτερόλεπτο πράγµα που κάνει ακόµη και την αποθήκευση λίγων λεπτών ασυµπίεστου σήµατος video πολύ δύσκολη. Έτσι για την µετάδοση του παραπάνω ασυµπίεστου αρχείου µουσικής.wav µέσω Internet απαιτούνται 42000 Kbytes/(7 Kytes/sec) = 1h40mins ενώ για το παραπάνω ασυµπίεστο αρχείο εικόνας.bmp απαιτούνται 900 Kbytes/(7 Kbytes/sec) = 2 min 10 secs. Είναι φανερό ότι οι παραπάνω χρόνοι µετάδοσης ήχου και εικόνας είναι πολύ µεγάλοι και βέβαια στην περίπτωση της κινούµενης εικόνας video απαγορευτικοί. Τα τελευταία 12 χρόνια λοιπόν προτάθηκαν διάφοροι αλγόριθµοι συµπίεσης σηµάτων, εκ των οποίων οι πλέον διαδεδοµένοι και κανονικοποιηµένοι ώστε να αποτελούν διεθνή στάνταρτ είναι οι : JPEG (Joint Photographic Expert Group) για συµπίεση ακίνητης εικόνας από το 1991 και MPEG (Moving Picture Expert Group) για συµπίεση κινούµενης εικόνας (video) και ήχου από το 1992. Πιο συγκεκριµένα, η απλούστερη συµπίεση MPEG-1 παρουσιάστηκε το 1992 ενώ οι πιο πολύπλοκες βελτιωµένες µεταγενέστερες εκδόσεις MPEG-2 το 1994 και MPEG-4 το 1996. Για τον ήχο εφαρµόζεται η συµπίεση MPEG Layer 3 ή εν συντοµία MP3 που εµπεριέχεται στο στάνταρτ του video. Ο αλγόριθµος JPEG είναι εξαιρετικά διαδεδοµένος για την αποθήκευση (πχ. ψηφιακές φωτογραφικές µηχανές) αλλά και την µετάδοση φωτογραφιών µέσω Internet, GPRS, κτλ. Επίσης, από το 1997 που εµφανίστηκαν δωρέαν codecs MP3 στο Internet υπήρξε εκρηκτική αύξηση της χρήσης της συµπίεσης κατά ΜΡ3 για ανταλλαγή µουσικών κοµµατιών. Το κοινό συστατικό όλων των παραπάνω µεθόδων είναι πως η καρδιά του αλγορίθµου συµπίεσης είναι ο διακριτός µετασχηµατισµός συνηµιτόνου (Discrete Cosine Transform DCT) βλέπε Discrete Cosine Transform, N. Ahmed, T. Natarajan, K.R. Rao, IEEE Transactions on Computers, No. 1, vol. C-23, pp. 90-93, Jan. 1974, για τον οποίο υπάρχουν εδώ και πολλά χρόνια εξειδικευµένα ολοκληρωµένα κυκλώµατα υπολογισµού του, βλέπε πχ. Image compression using DCT, Electronic Engineering, vol. 61, No. 751, July 1989. Οι αλγόριθµοι ΜΡ3 και JPEG χρησιµοποιούν αντίστοιχα τον µετασχηµατισµό DCT µε Ν = 18 σηµεία και διδιάστατο DCT 8x8 = 64 σηµείων. Οι αλγόριθµοι αυτοί 2

προσφέρουν συµπίεση περίπου 10 φορών χωρίς αισθητή µείωση ποιότητας. Έτσι το τραγούδι 4 λεπτών του παραπάνω παραδείγµατος συµπιέζεται µε ρυθµό 128 Kbits/sec (11 φορές συµπίεση) και αποθηκεύεται σε περίπου 4 Mbytes µνήµης. Μέσω Internet αποστέλεται δε σε περίπου 9 λεπτά. Η εικόνα VGA του παραπάνω παραδείγµατος αποθηκεύεται σε περίπου 90 Kbytes µνήµης χωρίς αισθητή παραµόρφωση (συµπίεση 10 φορών) και αποστέλεται µέσω Internet σε 13 δευτερόλεπτα. Σε αυτή βέβαια την περίπτωση, δεδοµένου και ότι η αρχική εικόνα δεν είναι ιδιαίτερα υψηλής ποιότητας, µπορούµε να επιτύχουµε και µεγαλύτερη συµπίεση, τα φαινόµενα όµως παραµόρφωσης αρχίζουν να γίνονται ορατά. Οι παρατηρήσεις και τα πειράµατα που έγιναν την τελευταία δεκαετία µε τις µεθόδους συµπίεσης εικόνας και ήχου JPEG και MP3 έδειξαν ότι το όριο συµπίεσης χωρίς παραµόρφωση των 10 φορών οφείλεται κατά κύριο λόγο στον µετασχηµατισµό DCT που είναι κοινός στις δύο µεθόδους. Έτσι, αναζητώντας ακόµη µεγαλύτερους λόγους συµπίεσης από το 1 :10 και ειδικά αναζητώντας µια λιγότερο απότοµη αύξηση της παραµόρφωσης για τους υψηλούς λόγους συµπίεσης (πχ. 1 :100) εικόνας προτάθηκε η αντικατάσταση του µετασχηµατισµού DCT από τον µετασχηµατισµό DWT (Discrete Wavelet Transform) ο οποίος χρησιµοποιεί συναρτήσεις βάσης τύπου wavelets αντί για συναρτήσεις τύπου συνηµιτόνου, βλέπε Image coding using the wavelet transform, M. Antonini, M. Barlaud, P. Mathieu, I. Daubechies, IEEE Trans. On Image Processing, vol. 1, pp. 205-220, April 1992. Κατά τον τρόπο αυτό προέκυψε το πιο πρόσφατο στάνταρτ συµπίεσης εικόνας γνωστό ως JPEG2000 (.jp2) από το έτος 2000, JPEG2000 : The new still picture compression standard, C.A. Christopoulos, T. Ebrahimi, A.N. Skodras, pp. 45-49, ACM Multimedia Workshop, Marina del Rey CA, USA, 2000. Ο αλγόριθµος αυτός συµπίεσης επιτυγχάνει κατά µέσο όρο 30 % καλύτερη συµπίεση από τον αλγόριθµο JPEG κάτι που γίνεται αισθητό κυρίως στους υψηλούς λόγους συµπίεσης. Η ανάγκη για ακόµη µεγαλύτερους λόγους συµπίεσης σε όλες τις παραπάνω εφαρµογές ήχου, εικόνας, video, παραµένει µεγάλη και ειδικά για αλγορίθµους σχετικά απλούς και όσο το δυνατόν χαµηλότερης υπολογιστικής πολυπλοκότητας. Ο αλγόριθµος DOGHT που προτείνεται στην παρούσα εφεύρεση µπορεί να αντικαταστήσει τους παραπάνω αλγορίθµους DCT και DWT, υπερέχει στις 3

περισσότερες πρακτικές περιπτώσεις και των δύο ενώ δίνεται σε απλή αναλυτική µορφή παρόµοια µε αυτή του DCT. Επιπλέον για τον αλγόριθµο DOGHT ισχύουν µαθηµατικές ιδιότητες (ορθογωνιότητα, σχέση Parseval, κτλ.) παρόµοιες µε αυτές του DCT πράγµα που διευκολύνει την εφαρµογή του. Περιγραφή Ο διακριτός ορθογώνιος µετασχηµατισµός Gauss-Hermite (Discrete Orthogonal Gauss- Hermite Transform - DOGHT) ορίζεται από τις σχέσεις : N n = 1 wi i= 0 c i ( ) hn() ti f T t N i ( ) cn hn() ti ~ f T t = = 1 n 0 (1) (2) όπου Τ είναι ένας συντελεστής κλιµάκωσης του χρόνου και h () t n t 2 = 1 exp H 1 2 2 n ( 2 n! π ) () t n (3) είναι οι κανονικοποιηµένες συναρτήσεις Gauss-Hermite. Επιπλέον, + () t hn() t hm dt= δ mn (4) είναι η σχέση ορθογώνιοτητας συνεχούς χρόνου των κανονικοποιηµένων συναρτήσεων Gauss-Hermite τάξης n : h n και H n είναι τα κλασικά πολυώνυµα Hermite τάξης n. Τα 4

σηµεία δειγµατοληψίας : t0< t1< t2< Κ tn 1 είναι τα µηδενικά του πολυώνυµου Hermite τάξης Ν, γνωστά και από την θεωρία προσεγγιστικής ολοκλήρωσης κατά Gauss. Τα βάρη w i δίνονται από την σχέση : w = 2 i (5) [ h ()] 2 N ti Οι κανονικοποιηµένες συναρτήσεις Gauss-Hermite ικανοποιούν τις παρακάτω πολύ σηµαντικές σχέσεις διακριτής ορθογωνιότητας (ορθογωνιότητας διακριτού χρόνου) : N 1 i= 0 wi h m () ti hn () ti = δ mn (6) N 1 n= 0 wjh () ti hn( t j ) = δij n (7) Λόγω της εξίσωσης (6) οι συντελεστές του µετασχηµατισµού c n υπολογίζονται βάσει της εξίσωσης (1). Επιπλέον η εξίσωση (7) οδηγεί στην σχέση : i i ( ) = f ( ) ~ f T t T t (8) η οποία είναι βασική και πολύ σηµαντική ιδιότητα του µετασχηµατισµού DOGHT (collocation property). Οι παραπάνω ιδιότητες είναι παρόµοιες µε τις ιδιότητες του διακριτού µετασχηµατισµού συνηµιτόνου (Discrete Cosine Transform DCT) και 5

αποτέλεσµα αυτών είναι η ύπαρξη του ακριβούς αντίστροφου µετασχηµατισµού DOGHT στά σηµεία ti της δειγµατοληψείας κατά Gauss-Hermite. Για να διευκολύνουµε την σύγκριση αναφέρουµε ότι ο διακριτός µετασχηµατισµός συνηµιτόνου (DCT) ορίζεται από τις σχέσεις : c n ( k 12) N ( ) + = Ν 1 2α nπ f tk cos k = 0 N (9) N ~ f ( t ) = 1 k n= 0 ( k 1 2) nπ + α cn cos (10) N α = 1 2, n = 0 α = 1, n> 0 H δειγµατοληψία είναι οµοιόµορφη και δίνεται στο συµµετρικό διάστηµα [ t max, + tmax] από την σχέση : tk = t max + k t, 2tmax t = N 1 Για τον µετασχηµατισµό DCT ισχύει επίσης η ιδιότητα του ακριβούς αντίστροφου ~ f tk = f tk στα σηµεία t k της οµοιόµορφης δειγµατοληψείας. µετασχηµατισµού ( ) ( ) Η σχέση Parseval για τον µετασχηµατισµό DOGHT είναι : n= 0 i= 0 ( ) 2 i N 1 N ~ 1 2 E = c 1 1 w f T T T t n = i (11) όπου E ~ είναι η κατά προσέγγιση ενέργεια του σήµατος. Η ακριβής ενέργεια είναι : 6

E= + 2 f () t dt (12) Η σχέση Parseval (11) είναι ιδιαίτερα χρήσιµη γιά τον προσδιορισµό τού αριθµού των σηµείων δειγµατοληψείας που απαιτούνται για την καλή προσέγγιση της ενέργειας του σήµατος, για την σωστή επιλογή του συντελεστή κλιµάκωσης του χρόνου Τ, όπως επίσης και γενικότερα για την εκτίµηση του ρυθµού σύγκλισης του µετασχηµατισµού. Η σχέση Parseval (11) φανερώνει ότι στην περιπτώση του µετασχηµατισµού DOGHT η ενέργεια του σήµατος προσεγγίζεται από ένα αριθµητικό ολοκλήρωµα του τύπου Gauss-Hermite ενώ στην περιπτώση του µετασχηµατισµού DCT, όπως είναι γνωστό από την σχέση Parseval του DCT, η ενέργεια του σήµατος προσεγγίζεται από ένα αριθµητικό ολοκλήρωµα του τύπου παραλληλόγραµµου (rectangle rule) : N 1 N 1 ~ N t 2 E = c ( ) 2 n t f tk 2 = (13) n= 0 k = 0 Είναι επίσης γνωστό ότι το αριθµητικό ολοκλήρωµα του τύπου Gauss-Hermite συγκλίνει πολύ ταχύτερα από τον απλό κανόνα του παραλληλογράµµου στην µεγάλη πλειοψηφία των περιπτώσεων. Όσον αφορά την επιλογή του συντελεστή κλιµάκωσης του χρόνου Τ για τον µετασχηµατισµό DOGHT, και σε αναλογία και µε τον µετασχηµατισµό DCT, επιλέγουµε πρώτα ένα χρονικό παράθυρο [ tmax, tmax] σύµφωνα πάντα µε την χρονική διάρκεια των σηµάτων που µας αφορούν. Για τον συντελεστή κλιµάκωσης του χρόνου Τ προτείνουµε την σχέση : T t t = N 1 (14) max 7

όπου t N 1 είναι το µεγαλύτερο µηδενικό του πολυωνύµου Hermite σύµφωνα µε την θεωρία ολοκλήρωσης κατά Gauss-Hermite. Έτσι, µε την επιλογή αυτή το πρώτο σηµείο δειγµατοληψείας 0 t max T t = και το τελευταίο σηµείο δειγµατοληψείας tn 1 = + tmax t max, + tmax. Στην T συνέχεια και για όλες τις υλοποιήσεις της µεθόδου της εφεύρεσης θα χρησιµοποιήσουµε αποκλειστικά αυτή την επιλογή για τον συντελεστή κλιµάκωσης χρόνου. συµπίπτουν µε τα άκρα του υπολογιστικού παραθύρου [ ] Παράδειγµα 1 Ώς παράδειγµα θα υπολογίσουµε τον µετασχηµατισµό DOGHT της συνάρτησης f () t = sech() t στο χρονικό παράθυρο [ 5, + 5] t µε Ν = 8 σηµεία. Τα αποτελέσµατα παρουσιάζονται στον Πίνακα 1. Η αντίστροφα µετασχηµατισµένη κατά DOGHT συνάρτηση στο πέδιο του χρόνου δίνεται από την σχέση : ~ f N () t cn hn ( ti T ) i = 1 n= 0 (15) Ο συντελεστής κλιµάκωσης του χρόνου είναι Τ = 0.586 σε αυτή την περίπτωση και η κατά προσέγγιση ενέργεια του σήµατος όπως υπολογίζεται από τους συντελεστές του DOGHT c n και την σχέση Parseval (εξίσωση 11) είναι : 97069 ~ E =1. ενώ η ακριβής ενέργεια του σήµατος όπως υπολογίζεται από την εξίσωση (12) είναι : E = 2. Από τον Πίνακα 1 γίνεται φανερό πως ο αντίστροφος µετασχηµατισµός DOGHT είναι ακριβής και πως οι περιττοί συντελεστές του DOGHT είναι µηδενικοί λόγω της άρτιας συµµετρίας της συνάρτησης υπερβολικής συντέµνουσας. Στον Πίνακα 2 παρουσιάζονται τα αντίστοιχα αποτελέσµατα για τον µετασχηµατισµό DCT. Παρατηρούµε ότι ο DCT προσεγγίζει λιγότερα καλά την ενέργεια του σήµατος. Το σηµαντικότερο όµως γεγονός είναι ότι ο DOGHT επιτυγχάνει µεγαλύτερη συγκέντρωση της ενέργειας του σήµατος στούς συντελεστές χαµηλότερης τάξης 8

(χαµηλότερες «συχνότητες») και εποµένως µπόρει να οδηγήσει σε καλύτερη συµπίεση. Χαρακτηριστική είναι η περίπτωση των συντελεστών µηδενικής τάξης όπου έχουµε c 0 = 0.39 για τον DCT (συντελεστής DC) και c 0 =1. 06 για τον DOGHT (συντελεστής προσοµοίωσης µε Γκαουσιανή). i ~ Πίνακας 1. DOGHT secht. E =1. 97069 ( ) T ti f T t i c ~ ( ) i f T t i 0-5.00 0.01 1.06 0.01 1-3.38 0.07 0.00 0.07 2-1.97 0.27-0.18 0.27 3-0.65 0.82 0.00 0.82 4 0.65 0.82 0.10 0.82 5 1.97 0.27 0.00 0.27 6 3.38 0.07-0.03 0.07 7 5.00 0.01 0.00 0.01 i ~ Πίνακας 2. DCT secht. E =1. 94486 ( ) T ti f T t i c ~ ( ) i f T t i 0-5.00 0.01 0.39 0.01 1-3.38 0.06 0.00 0.06 2-1.97 0.23-0.39 0.23 3-0.65 0.79 0.00 0.79 4 0.65 0.79 0.18 0.79 5 1.97 0.23 0.00 0.23 6 3.38 0.06-0.07 0.06 7 5.00 0.01 0.00 0.01 9

Βασικό µειονέκτηµα του µετασχηµατισµού DOGHT είναι ότι τα σηµεία δειγµατοληψίας που απαιτούνται για τον υπολογισµό του δεν είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένα ενώ σε όλες τις πρακτικές εφαρµογές έχουµε να κάνουµε µε σήµατα που προέρχονται από οµοιόµορφη δειγµατοληψία. Για να ξεπεράσουµε το εµπόδιο αυτό προτείνουµε την χρήση παρεµβολής, και κατά προτίµηση γραµµικής ή δευτεροβάθµιας παρεµβολής, ώστε από την οµοιόµορφη κατανοµή σηµείων να περάσουµε στην ανοµοιόµορφη κατανοµή που απαιτείται για τον υπολογισµό των συντελεστών του µετασχηµατισµού DOGHT. Η διαδικασία αυτή της παρεµβολής εισάγει βέβαια ένα επιπλέον σφάλµα το οποίο όµως στις περισσότερες πρακτικές περιπτώσεις συµπίεσης είναι αµεληταίο και αντισταθµίζεται γρήγορα από την ταχύτερη σύγκλιση του µετασχηµατισµού DOGHT. Η παρεµβολή που χρησιµοποιούµε είναι στην γενική περίπτωση παρεµβολή τύπου Lagrange, και πιο συγκεκριµένα για n = 2 σηµεία (γραµµική παρεµβολή) : 1 () t = L0() t f ( t0) L1 () t f ( t1), L0 () t =, L1 () t f + t t t0 t 1 t t0 = (16) t1 t0 και για n = 3 σηµεία (δευτεροβάθµια παρεµβολή) : () t = L0 () t f ( t0) + L1 () t f ( t1) L2() t f ( t2), () ( t t1)( t t2) L0 t =, L1 ( t0 t1)( t0 () t f + L 2 () t ( t t0)( t t1) ( t2 t0)( t2 ( t t0)( t t2) ( t1 t0)( t1 =, = (17) Λεπτοµερώς τα βήµατα της µεθόδου συµπίεσης της παρούσας εφεύρεσης έχουν ως εξής : 10

(a) Εισαγωγή Ν δεδοµένων στάθµης σήµατος από οµοιόµορφη δειγµατοληψία f ( tk ) στο διάστηµα [ tmax, tmax] (b) Υπολογισµός του συντελεστή κλιµάκωσης T = t t (c) Υπολογισµός στάθµης σήµατος f ( ) T t i ti στα Ν σηµεία (όπου t i είναι τα T µηδενικά του πολυωνύµου Hermite Ν τάξης) µέσω γραµµικής (16) ή δευτεροβάθµιας παρεµβολής (17) (d) Υπολογισµός των Ν συντελεστών c n του µετασχηµατισµού DOGHT µέσω της σχέσης (1) (e) Κατακράτηση των N1<N συντελεστών c n για να επιτύχουµε συµπίεση N/N1 φορών N 1 max Παράδειγµα 2 Ώς παράδειγµα θα συγκρίνουµε την συµπίεση του σήµατος f ( t) ( t ) χρονικό παράθυρο [ 5, + 5] = exp στο t µε Ν = 16 σηµεία από τον DCT και τον DOGHT µε δευτεροβάθµια παρεµβολή. Ώς µέτρο σύγκρισης των δύο µεθόδων θα χρησιµοποιήσουµε το κανονικοποιηµένο rms σφάλµα υπολογισµένο στα σηµεία της οµοιόµορφης δειγµατοληψίας (PRD Percent RMS Difference) : PRD = 100* N 1 ~ 2 [ f ( tk ) f ( tk )] k = 0 N 1 k = 0 [ f ( tk )] 2 1 2 όπου t k είναι τα σηµεία της οµοιόµορφης δειγµατοληψίας, και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα (PE Peak amplitude Error): 11

{ error} PE = max, error = f ~ ( tk ) f ( tk ) Ο Πίνακας 3 παριστάνει τα αποτελέσµατα της σύγκρισης των δύο µεθόδων για λόγους συµπίεσης N/N1 από 1 :1 µέχρι 4 :1. Παρατηρούµε λοιπόν ότι ο µετασχηµατισµός DOGHT επιτυγχάνει συµπίεση 4 :1 µε µικρότερο σφάλµα RMS (περίπου 13 %) από αυτό του µετασχηµατισµού DCT για συµπίεση 2 :1 (περίπου 14 %). Οι Πίνακες 4 και 5 παρουσιάζουν την αναλυτική σύγκριση των δύο µετασχηµατισµών. Με ff(tk) συµβολίζεται ο αντίστροφος µετασχηµατισµός των περιορισµένων συντελεστών cn, n = 0, Κ, N1 1, δηλαδή η αναπαραγωγή του σήµατος f(t) µετά την αποσυµπίεση. Παρατηρούµε επίσης ότι και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα PE είναι χαµηλότερο για τον µετασχηµατισµό DOGHT, PE = 0.07, αντί για PE = 0.08 του DCT. Πίνακας 3. Ποσοστιαίο RMS σφάλµα (PRD) N1 DCT DOGHT 16 0.0 % 1.22 % 12 4.40 % 1.47 % 8 14.29 % 3.80 % 4 43.37 % 12.91 % 12

Πίνακας 4. H µέθοδος DCT µε συµπίεση 2 :1 ----- DCT METHOD ----- ------- NDCT = 16, NDCT1 = 8, TMAX = 5.00 --------- k tk f(tk) cn ff(tk) error 1-5.000 0.007 0.259-0.016 0.02 2-4.333 0.013 0.000 0.030 0.02 3-3.667 0.026-0.273 0.057 0.03 4-3.000 0.050 0.000 0.039 0.01 5-2.333 0.097 0.149 0.052 0.04 6-1.667 0.189 0.000 0.196 0.01 7-1.000 0.368-0.084 0.451 0.08 8-0.333 0.717 0.000 0.658 0.06 9 0.333 0.717 0.049 0.658 0.06 10 1.000 0.368 0.000 0.451 0.08 11 1.667 0.189-0.029 0.196 0.01 12 2.333 0.097 0.000 0.052 0.04 13 3.000 0.050 0.017 0.039 0.01 14 3.667 0.026 0.000 0.057 0.03 15 4.333 0.013-0.008 0.030 0.02 16 5.000 0.007 0.000-0.016 0.02 PRD = 14.29 PE = 0.08 Πίνακας 5. H µέθοδος DOGHT µε συµπίεση 4 :1 ----- DOGHT METHOD, TMAX = 5.00, T = 0.938 ----- i,k tk f(tk) ti/t f(ti/t) cn ff(ti/t) 1-5.000 0.007-5.000 0.007 0.918 0.007 2-4.333 0.013-4.126 0.016 0.000 0.016 3-3.667 0.026-3.388 0.034-0.033 0.034 4-3.000 0.050-2.715 0.067 0.000 0.067 5-2.333 0.097-2.081 0.126 0.112 0.126 6-1.667 0.189-1.472 0.232 0.000 0.232 7-1.000 0.368-0.878 0.419-0.019 0.419 8-0.333 0.717-0.292 0.727 0.000 0.727 9 0.333 0.717 0.292 0.727 0.036 0.727 10 1.000 0.368 0.878 0.419 0.000 0.419 11 1.667 0.189 1.472 0.232-0.009 0.232 12 2.333 0.097 2.081 0.126 0.000 0.126 13 3.000 0.050 2.715 0.067 0.013 0.067 14 3.667 0.026 3.388 0.034 0.000 0.034 15 4.333 0.013 4.126 0.016-0.002 0.016 16 5.000 0.007 5.000 0.007 0.000 0.007 13

N1 = 4 k tk ff(tk) error 1-5.000 0.000 0.01 2-4.333 0.000 0.01 3-3.667 0.001 0.02 4-3.000 0.008 0.04 5-2.333 0.049 0.05 6-1.667 0.183 0.01 7-1.000 0.436 0.07 8-0.333 0.670 0.05 9 0.333 0.670 0.05 10 1.000 0.436 0.07 11 1.667 0.183 0.01 12 2.333 0.049 0.05 13 3.000 0.008 0.04 14 3.667 0.001 0.02 15 4.333 0.000 0.01 16 5.000 0.000 0.01 PRD = 12.91 PE = 0.07 Παράδειγµα 3 Ώς παράδειγµα 3 θα συγκρίνουµε την συµπίεση του σήµατος f () t = exp ( t ) + 0.1 ( random 0.5) στο χρονικό παράθυρο t [ 5, + 5] µε Ν = 16 σηµεία από τον DCT και τον DOGHT µε δευτεροβάθµια παρεµβολή. Όπου random είναι τυχαίοι αριθµοί t 0,1. στο διάστηµα [ ] Ο Πίνακας 6 παριστάνει τα αποτελέσµατα της σύγκρισης των δύο µεθόδων για λόγους συµπίεσης N/N1 από 1 :1 µέχρι 4 :1. Παρατηρούµε λοιπόν και σε αυτή την περίπτωση του τυχαίου σήµατος ότι ο µετασχηµατισµός DOGHT επιτυγχάνει συµπίεση 4 :1 µε µικρότερο σφάλµα RMS (περίπου 17 %) από αυτό του µετασχηµατισµού DCT για συµπίεση 2 :1 (περίπου 18 %). Οι Πίνακες 7 και 8 παρουσιάζουν την αναλυτική σύγκριση των δύο µετασχηµατισµών. Παρατηρούµε και πάλι ότι και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα PE είναι χαµηλότερο για τον µετασχηµατισµό DOGHT, PE = 0.09, αντί για PE = 0.10 του DCT. Πίνακας 6. Ποσοστιαίο RMS σφάλµα (PRD) N1 DCT DOGHT 16 0.0 % 3.57 % 12 7.73 % 7.54 % 8 17.72 % 10.54 % 4 44.51 % 16.75 % 14

Πίνακας 7. H µέθοδος DCT µε συµπίεση 2 :1 ----- DCT METHOD ----- ------- NDCT = 16, NDCT1 = 8, TMAX = 5.00 --------- k tk f(tk) cn ff(tk) error 1-5.000 0.038 0.260-0.006 0.04 2-4.333-0.021-0.005 0.030 0.05 3-3.667 0.016-0.259 0.047 0.03 4-3.000 0.080-0.011 0.030 0.05 5-2.333 0.057 0.150 0.056 0.00 6-1.667 0.232 0.007 0.210 0.02 7-1.000 0.358-0.073 0.460 0.10 8-0.333 0.719-0.004 0.646 0.07 9 0.333 0.685 0.052 0.630 0.06 10 1.000 0.340 0.014 0.425 0.09 11 1.667 0.168-0.029 0.186 0.02 12 2.333 0.128 0.023 0.053 0.07 13 3.000 0.027 0.022 0.040 0.01 14 3.667 0.023 0.001 0.061 0.04 15 4.333 0.061-0.015 0.049 0.01 16 5.000 0.027-0.017 0.020 0.01 PRD = 17.72 PE = 0.10 Πίνακας 8. H µέθοδος DOGHT µε συµπίεση 4 :1 ----- DOGHT METHOD, TMAX = 5.00, T = 0.938 ----- i,k tk f(tk) ti/t f(ti/t) cn ff(ti/t) 1-5.000 0.038-5.000 0.038 0.897 0.038 2-4.333-0.021-4.126-0.020 0.025-0.020 3-3.667 0.016-3.388 0.039-0.025 0.039 4-3.000 0.080-2.715 0.080-0.013 0.080 5-2.333 0.057-2.081 0.100 0.112 0.100 6-1.667 0.232-1.472 0.274-0.001 0.274 7-1.000 0.358-0.878 0.406-0.026 0.406 8-0.333 0.719-0.292 0.729 0.003 0.729 9 0.333 0.685 0.292 0.696 0.049 0.696 10 1.000 0.340 0.878 0.390-0.045 0.390 11 1.667 0.168 1.472 0.205 0.000 0.205 12 2.333 0.128 2.081 0.150-0.016 0.150 13 3.000 0.027 2.715 0.058 0.046 0.058 14 3.667 0.023 3.388 0.019 0.043 0.019 15 4.333 0.061 4.126 0.057 0.011 0.057 16 5.000 0.027 5.000 0.027-0.007 0.027 15

N1 = 4 k tk ff(tk) error 1-5.000 0.000 0.04 2-4.333 0.000 0.02 3-3.667 0.000 0.02 4-3.000 0.007 0.07 5-2.333 0.049 0.01 6-1.667 0.191 0.04 7-1.000 0.448 0.09 8-0.333 0.664 0.05 9 0.333 0.639 0.05 10 1.000 0.407 0.07 11 1.667 0.176 0.01 12 2.333 0.053 0.07 13 3.000 0.011 0.02 14 3.667 0.002 0.02 15 4.333 0.000 0.06 16 5.000 0.000 0.03 PRD = 16.75 PE = 0.09 Προκύπτει λοιπόν ώς συµπέρασµα και από τα παραπάνω απλά παραδείγµατα ότι οι ιδιότητες συµπίεσης του µετασχηµατισµού DOGHT είναι καλύτερες από αυτές του µετασχηµατισµού DCT για µια µεγάλη κατηγορία σηµάτων που περιλαµβάνει τόσο ντετερµινιστικά όσο και τυχαία σήµατα. Κατά τον τρόπο αυτό, προβλέπεται ότι η χρήση του µετασχηµατισµού DOGHT θα οδηγήσει σε σηµαντική αύξηση των λόγων συµπίεσης των σηµάτων ήχου, εικόνας, κινούµενης εικόνας και βιοιατρικών σηµάτων και µάλιστα µε υπολογιστική πολυπλοκότητα παρόµοια µε αυτή του του µετασχηµατισµού DCT. 16

ΑΞΙΩΣΕΙΣ 1. Μέθοδος συµπίεσης σηµάτων η οποία χρησιµοποιεί τον διακριτό ορθογώνιο µετασχηµατισµό Gauss-Hermite (Discrete Orthogonal Gauss-Hermite Transform DOGHT) και ακολουθεί τα εξής βήµατα : (a) Εισαγωγή Ν δεδοµένων στάθµης σήµατος από οµοιόµορφη δειγµατοληψία f ( tk ) διάστηµα [ tmax, tmax] (b) Υπολογισµός του συντελεστή κλιµάκωσης T = t t (c) Υπολογισµός στάθµης σήµατος f ( ) T t i ti στα Ν σηµεία (όπου t i είναι τα µηδενικά του T πολυωνύµου Hermite Ν τάξης) µέσω γραµµικής ή δευτεροβάθµιας παρεµβολής (διγραµµική ή διδευτεροβάθµια σε περίπτωση διδιάστατου µετασχηµατισµού εικόνας) N 1 max στο (d) Υπολογισµός των Ν συντελεστών c n του µετασχηµατισµού DOGHT (e) Κατακράτηση των N1<N συντελεστών c n για να επιτύχουµε συµπίεση N/N1 φορών 2. Ολοκληρωµένο ηλεκτρονικό κύκλωµα που εφαρµόζει την µέθοδο συµπίεσης/αποσυµπίεσης της αξίωσης 1. 3. Η µέθοδος συµπίεσης της αξίωσης 1 χρησιµοποιούµενη προς αντικατάσταση του διακριτού µετασχηµατισµού συνηµιτόνου (Discrete Cosine Transform DCT). 4. Η µέθοδος συµπίεσης της αξίωσης 1 χρησιµοποιούµενη προς αντικατάσταση του διακριτού µετασχηµατισµού wavelet (Discrete Wavelet Transform DWT). 5. Μέθοδος συµπίεσης σηµάτων σύµφωνα µε την αξίωση 1 χρησιµοποιούµενη για την συµπίεση σηµάτων ήχου. 6. Μέθοδος συµπίεσης σηµάτων σύµφωνα µε την αξίωση 1 χρησιµοποιούµενη για την συµπίεση σηµάτων σταθερής εικόνας 7. Μέθοδος συµπίεσης σηµάτων σύµφωνα µε την αξίωση 1 χρησιµοποιούµενη για την συµπίεση σηµάτων κινούµενης εικόνας 17

8. Μέθοδος συµπίεσης σηµάτων σύµφωνα µε την αξίωση 1 χρησιµοποιούµενη για την συµπίεση βιοιατρικών σηµάτων και πιο συγκεκριµένα ηλεκτροκαρδιογραφήµατος (Electrocardiogram ECG) 9. Μέθοδος συµπίεσης σηµάτων σύµφωνα µε την αξίωση 1 χρησιµοποιούµενη για την συµπίεση σηµάτων κινούµενης εικόνας και ήχου ακολουθώντας την νόρµα MPEG (Moving Pictures Experts Group)/MP3 και αντικαθιστώντας τον µετασχηµατισµό DCT από τον DOGHT 10. Μέθοδος συµπίεσης σηµάτων σύµφωνα µε την αξίωση 1 χρησιµοποιούµενη για την συµπίεση σταθερών εικόνων ακολουθώντας την νόρµα JPEG (Joint Photographic Experts Group) ή JPEG2000 και αντικαθιστώντας τον µετασχηµατισµό DCT/DWT από τον DOGHT. 18