Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας. Ακαδημαϊκό Έτος Παρουσίαση Νο. 2. Δισδιάστατα Σήματα και Συστήματα #1

Transcript

1 Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ακαδημαϊκό Έτος Παρουσίαση Νο. Δισδιάστατα Σήματα και Συστήματα #

2 Βασικοί ορισμοί () Κάθε εικόνα είναι ένα δισδιάστατο (-D) σήμα. Αναλογική εικόνα: x α Ψηφιακή εικόνα: ( t, t ), < t t <, ( ) = ( ) x n, n Q[ x nt, nt ], α n, n Z T, T R < n, n, T, T < ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

3 Βασικοί ορισμοί () Ένα διακριτό δισδιάστατο σήμα έχει την μορφή πίνακα και στην γενική του μορφή δηλώνεται ως: x ( n, n ), < n n <, Συνήθως όμως το πεδίο ορισμού είναι πεπερασμένο: ( n, n ), 0 < n < N, 0 < n N x < Γραφική απεικόνιση δισδιάστατου σήματος ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 3

4 Σημαντικές ακολουθίες () Μοναδιαίος (κρουστικός) παλμός: δ ( n, n ) =, n, n = 0, αλλού 0 Μοναδιαίο βήμα: u ( n, n ) =, 0, n, n αλλού 0 Εκθετική ακολουθία: x n n ( n, n ) a b, < n n < =, ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 4

5 Σημαντικές ακολουθίες () n δ(n,n) μοναδιαίος παλμός u(n,n) n n μοναδιαίο βήμα n n δ(n) παλμός στήλης n δ(n) n παλμός γραμμής n ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 5

6 Ειδικές περιπτώσεις () Διαχωρίσιμες ακολουθίες: μία -D ακολουθία ονομάζεται διαχωρίσιμη εάν μπορεί να γραφεί ως ( n n ) f ( n ) g ( ) x =, n Προφανώς έχει λιγότερους βαθμούς ελευθερίας Ο μοναδιαίος παλμός και το μοναδιαίο βήμα είναι διαχωρίσιμες ακολουθίες. ( n n ) δ ( n ) δ ( ) δ = u ( n n ) = u( n ) u( ), n, n ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 6

7 Ειδικές περιπτώσεις () Περιοδικά σήματα: Μία -D ακολουθία ονομάζεται ορθογώνια περιοδική με περίοδο Ν xν εάν ισχύει ( n, n ) = x( n + N, n ) = x( n n N ) x +, Η στοιχειώδης περίοδος είναι το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο [0,Ν )x[0,n ). Η ορθογώνια περιοδικότητα είναι απλή αλλά δυστυχώς δεν μπορεί να καλύψει όλες τις περιπτώσεις περιοδικών -D σημάτων. ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 7

8 Ειδικές περιπτώσεις (3) Γενικός ορισμός περιοδικών σημάτων: Μία -D ακολουθία ονομάζεται περιοδική εάν ισχύει: (, ) = ( + +, + + ) x n n x n kn mn n kn mn Έτσι ορίζεται περιοδική επέκταση σε οποιεσδήποτε κατευθύνσεις, όχι κατ ανάγκην ορθογώνιες. Η βασική περίοδος είναι το παραλληλόγραμμο που ορίζεται από τα διανύσματα N [ ] T i = N i N i ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 8

9 Μετασχηματισμοί στο πεδίο των συχνοτήτων Συνήθεις μετασχηματισμοί: DFT, DCT, Wavelet Γιατί οι μετασχηματισμοί είναι χρήσιμοι στην επεξεργασία εικόνας; Επεξεργασία στο πεδίο των συχνοτήτων. Φιλτράρισμα, αφαίρεση θορύβου, κυκλική μετατόπιση, συμπίεση, περιγραφή σχήματος Πλεονεκτήματα: μικρότερη υπολογιστική πολυπλοκότητα / εναλλακτική ερμηνεία ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 9

10 Δισδιάστατος Μετασχηματισμός Fourier () Ο μετασχηματισμός Fourier δισδιάστατων σημάτων υπάρχει όταν η συνάρτηση είναι απόλυτα ολοκληρώσιμη και ορίζεται ως: FT : F(, ) f( t, t )exp( i t i t ) dt dt IFT : f( t, t ) F(, )exp( i t i t ) d d 4p ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 0

11 Δισδιάστατος Μετασχηματισμός Fourier () Στην περίπτωση διακριτών σημάτων χρησιμοποιείται ο διακριτός FT. FT διακριτού σήματος: F( w, w ) f( n, n )exp( iw n iw n ) n n IFT διακριτού σήματος: p p f( n, n ) F( w, w )exp( iw n iw n ) dw dw 4 p p p ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

12 Δισδιάστατος Μετασχηματισμός Fourier (3) Έστω μία ακολουθία x(n, n ) πεπερασμένης χωρικής επέκτασης. Τότε ο -D DFT αυτής δίνεται από τις σχέσεις: pnk pnk Xk k xn n i i N N (, ) (, )exp( ) n 0 n 0 N N pnk pnk xn n Xk k i i N N (, ) (, )exp( ) NN k 0 k 0 N N ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

13 Δισδιάστατος Μετασχηματισμός Fourier (4) Η σχέση του DFT με τον FT είναι η εξής:, w, w k k X k k X p p w, w N N Ο υπολογισμός του DFT μπορεί να γίνει γρήγορα (FFT) με την μέθοδο των γραμμώνστηλών. N (, ) = (, ) (, ) = (, ) G n k x n n W n = 0 N X k k G n k W n = 0 nk N nk N όπου δηλαδή ο DFT είναι μία δειγματοληψία του FT πάνω στον διπλό μοναδιαίο κύκλο. WN i exp i π N = i ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 3

14 Δισδιάστατος Μετασχηματισμός Fourier (5) Σημαντικές ιδιότητες του -D DFT. Γραμμικότητα,,,,,, x n n a v n n b w n n X k k a V k k b W k k. Κυκλική μετατόπιση,,, exp, x n n v n m n m X k k ik m ik m V k k 3. Διαχωρίσιμη ακολουθία,, x n n x n x n X k k X k X k 4. Θεώρημα Parseval x n n y n n X k k Y k k NN N N N N,,,, n 0 n 0 n 0 n 0 5. Ετερο-συσχέτιση xy,,, C k k X k k Y k k ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 4

15 Δισδιάστατος Μετασχηματισμός Συνημίτονου () DCT διακριτού σήματος: IDCT διακριτού σήματος: p n k n k p Ck (, k) 4 xn (, n)cos cos N N n 0 n 0 N N p n k n k p xn (, n) w( n) w( n) Ck (, k)cos cos N N NN k 0 k 0 N N με w i = /, ki = 0, ki N Ο μετασχηματισμός DCT είναι διαχωρίσιμος. ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 5

16 Δισδιάστατος Μετασχηματισμός Συνημίτονου () Υπολογισμός κατά γραμμές και στήλες N n 0 N G( n, k ) x( n, n )cos n N n 0 N Ck (, k) Gn (, k)cos Υπολογισμός μέσω του DFT της y(n,n ) η οποία προκύπτει από κατοπτρική επέκταση της x(n,n ) σε περιοχή Ν xn n k p k p k k (, ) N N (, ) C k k W W Y k k όπου WN i exp π N = i i ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 6

17 Η μορφή της εικόνας στο πεδίο των συχνοτήτων () Συχνοτικό περιεχόμενο του DFT (συγκέντρωση ενέργειας γύρω από το (0,0)) lenna Λογαριθμική απεικόνιση του πλάτους του DFT ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 7

18 Η μορφή της εικόνας στο πεδίο των συχνοτήτων () Παραδείγματα συγκέντρωσης της ενέργειας πάνω σε συγκεκριμένες διευθύνσεις ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 8

19 Η μορφή της εικόνας στο πεδίο των συχνοτήτων (3) Συχνοτικό περιεχόμενο του DCT (συγκέντρωση ενέργειας στη μία γωνία) lenna Γραμμική απεικόνιση του πλάτους του DCT ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 9

20 Δισδιάστατα Συστήματα () Ένα δισδιάστατο διακριτό σύστημα T μετασχηματίζει ένα -D διακριτό σήμα εισόδου σε ένα -D διακριτό σήμα εξόδου y ( ). x( n,n ) Γραμμικό σύστημα: ( n, n ) T[ x( n n )] y =, [ ax + bx ] = at[ x ] bt[ ] T + x Χωρικά αμετάβλητο σύστημα: y ( ) ( n m, n m ) = T[ x( n m n m )], n,n Θα μας απασχολήσουν κυρίως γραμμικά και χωρικά αμετάβλητα συστήματα ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 0

21 Δισδιάστατα Συστήματα () Τα συστήματα ορίζονται από την κρουστική τους απόκριση. Η σχέση εισόδου-εξόδου είναι y ( n, n ) = x( n, n ) h( n, n ) ( ) FIR σύστημα: η h n,n έχει περιορισμένη περιοχή υποστήριξης 0 n N, 0 n N IIR σύστημα: η h( n,n ) έχει άπειρη περιοχή υποστήριξης. Διαχωριζόμενο σύστημα: h n n = h n h ( ) ( ) ( ), n ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

22 Δισδιάστατα Συστήματα (3) BIBO (Bounded Input Bounded Output) συστήματα: ( n, n ), x( n, n ) B B : y( n n ) B, Ευσταθή συστήματα: n = n = h ( n n ) = S <, Τα FIR είναι εξ ορισμού ευσταθή συστήματα. ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

23 Συνέλιξη στις δύο διαστάσεις () Η συνέλιξη είναι ιδιαίτερα χρήσιμη στην επεξεργασία εικόνας (πχ φιλτράρισμα). Κυκλική συνέλιξη: Γραμμική συνέλιξη: ( n,n ) y ( n,n ) R Q Q [ ) [, ) x με περιοχή υποστήριξης R P [ 0, ) [ 0, ) P = P P με περιοχή υποστήριξης = 0, Q 0 Η γραμμική συνέλιξη είναι: w C,,,,, w n n x n n y n n X k k Y k k L Q Q Q ( n, n ) = y( m, m ) x( n m, n m ) m = 0m = 0 [ ) [ ) Η έξοδος έχει περιοχή υποστήριξης την R = 0, L 0, L L = P + Q, i =, LL i i i ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 3

24 Συνέλιξη στις δύο διαστάσεις () Έστω ότι επιλέγουμε περιοχή υποστήριξης με επέκταση N xn, όπου Ni Li, και επεκτείνουμε με μηδενικά τις ακολουθίες x(n,n ) και y(n,n ) ώστε να ορίζονται σε όλη την περιοχή με διαστάσεις N xn. Τότε μπορεί εύκολα να δειχθεί ότι η κυκλική συνέλιξη και η γραμμική συνέλιξη των x και y, ταυτίζονται. Όταν έχουμε συνέλιξη ακολουθίας x(n,n ) με κρουστική απόκριση h(n,n ) που είναι διαχωρίσιμη τότε η συνέλιξη αυτή μπορεί να πραγματοποιηθεί με τη μέθοδο γραμμώνστηλών. Συνήθως τα -D συστήματα είναι μη-αιτιατά. ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 4