Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας. Ακαδημαϊκό Έτος Παρουσίαση Νο. 2. Δισδιάστατα Σήματα και Συστήματα #1

Transcript

1 Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ακαδημαϊκό Έτος 06-7 Παρουσίαση Νο. Δισδιάστατα Σήματα και Συστήματα #

2 Βασικοί ορισμοί () Κάθε εικόνα είναι ένα δισδιάστατο (-D) σήμα. Αναλογική εικόνα: x t, t, t t, Eικόνα διακριτού χώρου: x n, n S[ x nt, n T ], n, n Z T, T R n, n, T, T ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

3 Βασικοί ορισμοί () Ένα διακριτό δισδιάστατο σήμα έχει την μορφή πίνακα και στην γενική του μορφή δηλώνεται ως: x n, n, n n, Συνήθως όμως το πεδίο ορισμού είναι πεπερασμένο: x n, n, 0 n N, 0 n N Γραφική απεικόνιση δισδιάστατου σήματος ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 3

4 Σημαντικές ακολουθίες () Μοναδιαίος (κρουστικός) παλμός: n, n, 0, n, n αλλού 0 Μοναδιαίο βήμα: u n, n, 0, n, n αλλού 0 Εκθετική ακολουθία: x n n n, n a b, n n, ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 4

5 Σημαντικές ακολουθίες () n δ(n,n) μοναδιαίος παλμός u(n,n) n n μοναδιαίο βήμα n n δ(n) παλμός στήλης n δ(n) n παλμός γραμμής n ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 5

6 Ειδικές περιπτώσεις () Διαχωρίσιμες ακολουθίες: μία -D ακολουθία ονομάζεται διαχωρίσιμη εάν μπορεί να γραφεί ως x n n f n g, n Προφανώς έχει λιγότερους βαθμούς ελευθερίας Ο μοναδιαίος παλμός και το μοναδιαίο βήμα είναι διαχωρίσιμες ακολουθίες; ΝΑΙ n n n un n un u, n, n ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 6

7 Ειδικές περιπτώσεις () Περιοδικά σήματα: Μία -D ακολουθία ονομάζεται ορθογώνια περιοδική με περίοδο Ν xν εάν ισχύει x n, n xn N, n xn n N, Η στοιχειώδης περίοδος είναι το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο [0,Ν )x[0,n ). Η ορθογώνια περιοδικότητα είναι απλή, αλλά δυστυχώς δεν μπορεί να καλύψει όλες τις περιπτώσεις περιοδικών -D σημάτων. ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 7

8 Ειδικές περιπτώσεις (3) Γενικός ορισμός περιοδικών σημάτων: Μία -D ακολουθία ονομάζεται περιοδική εάν ισχύει:,, x n n x n kn mn n kn mn Έτσι ορίζεται περιοδική επέκταση σε οποιεσδήποτε κατευθύνσεις, όχι κατ ανάγκην ορθογώνιες. Η βασική περίοδος είναι το παραλληλόγραμμο που ορίζεται από τα διανύσματα N [ ] T i N i N i ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 8

9 Μετασχηματισμοί στο πεδίο των συχνοτήτων Συνήθεις μετασχηματισμοί: DFT, DCT, Wavelet Γιατί οι μετασχηματισμοί είναι χρήσιμοι στην επεξεργασία εικόνας; Επεξεργασία στο πεδίο των συχνοτήτων. Φιλτράρισμα, αφαίρεση θορύβου, κυκλική μετατόπιση, συμπίεση, περιγραφή σχήματος Πλεονεκτήματα: - μικρότερη υπολογιστική πολυπλοκότητα - εναλλακτική ερμηνεία ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 9

10 Δισδιάστατος Μετασχηματισμός Fourier () Ο μετασχηματισμός Fourier δισδιάστατων σημάτων υπάρχει όταν η συνάρτηση είναι απόλυτα ολοκληρώσιμη και ορίζεται ως: FT : òò F( W, W ) = f ( t, t )exp(-i W t -iw t ) dt dt - - IFT : f( t, t ) = F( W, W )exp( iw t + iw t ) dw dw 4p òò - - ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 0

11 Δισδιάστατος Μετασχηματισμός Fourier () Στην περίπτωση διακριτών σημάτων χρησιμοποιείται ο διακριτός FT (DSFT Discrete Space Fourier Transform) FT διακριτού σήματος: å å F( w, w ) = f( n, n )exp(-iw n -iw n ) n =- n =- IFT διακριτού σήματος: p p f( n, n ) = F( w, w )exp( iw n + iw n ) dw dw 4 òò p - p - p ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

12 Δισδιάστατος Μετασχηματισμός Fourier (3) Έστω μία ακολουθία x(n, n ) πεπερασμένης χωρικής επέκτασης. Τότε ο -D DFT αυτής δίνεται από τις σχέσεις: pnk pnk X k k x n n i i N- N- (, ) = åå (, )exp( - - ) n = 0 n = 0 N N pnk pnk xn n Xk k i i N- N- (, ) = åå (, )exp( + ) NN k = 0 k = 0 N N ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

13 Δισδιάστατος Μετ/σμός Fourier (4) Η σχέση του DFT με τον DSFT είναι η εξής: (, ) = ( w, w ) k k X k k X p p w =, w = N N Γρήγορος υπολογισμός του D-DFT: δηλαδή ο DFT είναι μία δειγματοληψία του DSFT πάνω στον διπλό μοναδιαίο κύκλο. μπορεί να γίνει γρήγορα (μέσω D-FFT) με την μέθοδο των γραμμών-στηλών. N,,,, G n k x n n W n 0 N X k k G n k W n 0 nk N nk N W N i expi N i ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 3

14 Δισδιάστατος Μετασχηματισμός Fourier (5) Σημαντικές ιδιότητες του -D DFT. Γραμμικότητα (, ) = (, ) + (, )«(, ) = (, ) + (, ) x n n a v n n b w n n X k k a V k k b W k k. Κυκλική μετατόπιση (, ) = ( +, + )«(, ) = exp ( + ) (, ) x n n v n m n m X k k ik m ik m V k k 3. Διαχωρίσιμη ακολουθία (, ) = ( ) ( )«(, ) = ( ) ( ) x n n x n x n X k k X k X k 4. Θεώρημα Parseval x n n y n n ååx k k Y k k NN N - N - N - N - åå * * (, ) (, ) = (, ) (, ) n = 0 n = 0 n = 0 n = 0 5. Ετερο-συσχέτιση xy * (, ) = (, ) (, ) C k k X k k Y k k ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 4

15 Δισδιάστατος Μετασχηματισμός Συνημίτονου () DCT διακριτού σήματος: IDCT διακριτού σήματος: με ( + ) p ( + ) n k n k Ck (, k) 4 xn (, n)cos cos N- N- = åå n = 0 n = 0 N N ( + ) p ( + ) n k n k p xn (, n) w( n) w( n) Ck (, k)cos cos N- N- = åå NN k = 0 k = 0 N N w i /, ki 0, ki N Ο μετασχηματισμός DCT είναι διαχωρίσιμος. p ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 5

16 Δισδιάστατος Μετασχηματισμός Συνημίτονου () Υπολογισμός κατά γραμμές και στήλες ( n + ) N- = å n = 0 N Gn (, k) xn (, n)cos ( n + ) N - = å n = 0 N Ck (, k) Gn (, k)cos Υπολογισμός μέσω του DFT της y(n,n ) η οποία προκύπτει από κατοπτρική επέκταση της x(n,n ) σε περιοχή Ν xn k k p p Ck k W W Yk k k k (, ) = N N (, ) όπου WN i exp i Ni ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 6

17 Η μορφή της εικόνας στο πεδίο των συχνοτήτων () Συχνοτικό περιεχόμενο του DFT (συγκέντρωση ενέργειας γύρω από το (0,0)) lenna Λογαριθμική απεικόνιση του πλάτους του DFT ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 7

18 Η μορφή της εικόνας στο πεδίο των συχνοτήτων () Παραδείγματα συγκέντρωσης της ενέργειας πάνω σε συγκεκριμένες διευθύνσεις ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 8

19 Η μορφή της εικόνας στο πεδίο των συχνοτήτων (3) Συχνοτικό περιεχόμενο του DCT (συγκέντρωση ενέργειας στην πάνω αριστερή γωνία) lenna Γραμμική απεικόνιση του πλάτους του DCT ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 9

20 Η εικόνα στο πεδίο των συχνοτήτων (4) 0

21 Η εικόνα στο πεδίο των συχνοτήτων (5) Λάθος συμπέρασμα: Ο άνθρωπος μοιάζει πολύ με τον πίθηκο στο πεδίο συχνοτήτων Σωστό συμπέρασμα: Υπάρχει σημαντική πληροφορία που δεν είναι εύκολα απεικονίσιμη Δίδαγμα: Μην κάνεις πότε γνωριμίες στη βάση του πεδίου συχνοτήτων και μόνο ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

22 Δισδιάστατα Συστήματα () Ένα δισδιάστατο διακριτό σύστημα T μετασχηματίζει ένα -D διακριτό σήμα εισόδου σε ένα -D διακριτό σήμα εξόδου y Γραμμικό σύστημα: n, n Txn n, Χωρικά αμετάβλητο σύστημα: y T y ax bx atx bt x n,n n m, n m Txn m n m, Επίσης, συνήθως τα -D συστήματα είναι μη-αιτιατά. x n,n Θα μας απασχολήσουν κυρίως γραμμικά και χωρικά αμετάβλητα συστήματα ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

23 Δισδιάστατα Συστήματα () Τα συστήματα ορίζονται από την κρουστική τους απόκριση. Η σχέση εισόδου-εξόδου είναι FIR σύστημα: η περιοχή υποστήριξης IIR σύστημα: η υποστήριξης. y n, n xn, n hn n, Διαχωριζόμενο σύστημα: έχει περιορισμένη h n,n 0 n N, 0 n N h n,n έχει άπειρη περιοχή h n n h n h, n ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 3

24 Δισδιάστατα Συστήματα (3) Συστήματα BIBO (Bounded Input Bounded Output) : n, n, xn, n B B: yn n B, Ευσταθή συστήματα: hn n S n n, Τα FIR είναι εξ ορισμού ευσταθή συστήματα. ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 4

25 Συνέλιξη στις δύο διαστάσεις () Η συνέλιξη είναι ιδιαίτερα χρήσιμη στην επεξεργασία εικόνας (π.χ. φιλτράρισμα). Κυκλική συνέλιξη: Γραμμική συνέλιξη: xn,n με περιοχή υποστήριξης R 0 P 0,, P P P yn,n με περιοχή υποστήριξης 0, Q 0 C (, ) = (, )** (, ) «(, ) (, ) w n n x n n y n n X k k Y k k R Q, Q Q Η γραμμική συνέλιξη είναι: w L n, n ym, m xn m, n m Q Q m 0m 0 Η έξοδος έχει περιοχή υποστήριξης την 0, 0, R L L LL L i P i Q i, i, ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 5

26 Συνέλιξη στις δύο διαστάσεις () Έστω ότι επιλέγουμε περιοχή υποστήριξης με επέκταση N xn, όπου N i L i, και επεκτείνουμε με μηδενικά τις ακολουθίες x(n,n ) και y(n,n ) ώστε να ορίζονται σε όλη την περιοχή με διαστάσεις N xn. Τότε μπορεί εύκολα να δειχθεί ότι η κυκλική συνέλιξη και η γραμμική συνέλιξη των x και y, ταυτίζονται. Όταν έχουμε συνέλιξη ακολουθίας x(n,n ) με κρουστική απόκριση h(n,n ) που είναι διαχωρίσιμη τότε η συνέλιξη αυτή μπορεί να πραγματοποιηθεί με τη μέθοδο γραμμών-στηλών. ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 6