Βιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 06 lika@biology.uo.gr
Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολο υποθέσεων και του οποίου το αποτέλεσμα είναι αβέβαιο Απλό γεγονός ω: κάθε δυνατό αποτέλεσμα ενός πειράματος Δειγματικός χώρος Ω: το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων ενός τυχαίου πειράματος Γεγονός : κάθε υποσύνολο του δειγματικού χώρου
Παράδειγμα Ρίχνουμε δύο διαφορετικά ζάρια μια φορά Δειγματικός χώρος,,,,,3,,4,,5,,6,,,,,3,,4,,5,,6 Ω 3,,3,,3,3,3,4,3,5,3,6 4,,4,,4,3,4,4,4,5,4,6 5,,5,,5,3,5,4,5,5,5,6 6,,6,,6,3,6,4,6,5,6,6 Το γεγονός τα ζάρια έχουν άθροισμα 6 : ={,5,,4,3,3,4,,5,} Το γεγονός Διπλές : Β={,,,,3,3,4,4,5,5,6,6} Το γεγονός Διπλές και άθροισμα 6 : Γ={3,3}
Πράξεις με γεγονότα Α και Β γεγονότα του δειγματικού χώρου Ω Η ένωση του Α και Β Α Β Η τομή του Α και Β Α Β Το συμπλήρωμα του Α Α C ή Α Α Β C = C C Α Β C = C C Νόμοι του De Morgan
Ένα γεγονός πραγματοποιείται όταν το αποτέλεσμα του πειράματος είναι στοιχείο του γεγονότος Γεγονός Συμβολισμός Πραγματοποίηση Δειγματοχώρος βέβαιο γεγονός Ω Πάντα Κενό αδύνατο γεγονός Ø Ποτέ Α ή Β Α Β Όταν τουλάχιστον ένα συμβαίνει Α και Β Α Β Όταν και τα δύο συμβαίνουν Όχι Α Α C Όταν το Α δεν συμβαίνει Αν, τότε αν το Α πραγματοποιείται τότε και το Β πραγματοποιείται
Ασυμβίβαστα γεγονότα Δύο γεγονότα Α και Β ονομάζονται ασυμβίβαστα ή ξένα όταν η πραγματοποίηση του ενός γεγονότος αποκλείει την πραγματοποίηση του άλλου Α, Β ασυμβίβαστα Α Β= Ø Τα γεγονότα Α,Α,,Α n είναι ανά δύο ξένα μεταξύ τους αν Α i j = Ø, για i j
Ορισμός της πιθανότητας Η πιθανότητα σαν όριο σχετικής συχνότητας στατιστικός n: αριθμός επαναλήψεων ενός τυχαίου πειράματος f n : συχνότητα εμφάνισης του γεγονότος Α f n / n: σχετική συχνότητα εμφάνισης του γεγονότος Α Η πιθανότητα πραγματοποίησης του γεγονότος Α: lim n f n n
Ορισμός της πιθανότητας Αξιωματικός ορισμός της πιθανότητας Η πιθανότητα είναι μια πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω και πεδίο τιμών το διάστημα [0,], για την οποία ισχύουν τα αξιώματα. Ω=. 0, Ω 3. n = + + n i Ω και Α i j = Ø, για i j Α,Α,,Α n είναι ανά δύο ασυμβίβαστα
Ορισμός της πιθανότητας 3 Κλασικός ορισμός της πιθανότητας Αν ο δειγματικός χώρος είναι πεπερασμένος και αποτελείται από n ισοπίθανα απλά γεγονότα, δηλαδή Ω={ω,ω,...,ω n } και ω = ω =...= ω n =/n, τότε αν Α είναι ένα γεγονός του Ω και Α={ω,ω,...,ω k } =k/n
Ιδιότητες πιθανοτήτων. C =- Τα γεγονότα Α και Α C είναι ασυμβίβαστα Α Α C = Ø και Α Α C = Ω. Επομένως, =Ω=Α Α C = Α + Α C. Άρα, C =-. Ø=0 Ø Ω = Ø και Ø Ω = Ω. Επομένως, =Ω=Ø Ω = Ø + Ω. Άρα, Ø=0
Ιδιότητες πιθανοτήτων 3. Αν, τότε = C και C =Ø Επομένως, Β=Α + C Α 4. Α Β C =-Α Β = C και C =Ø Επομένως, = + C C = -
Ιδιότητες πιθανοτήτων 3 5. Α Β=+-Α Β Όταν τα γεγονότα Α και Β δεν είναι κατ ανάγκη ασυμβίβαστα Β = C και C =Ø Επομένως, Β = C + = - + Για 3 γεγονότα Α, Β, Γ Α Β Γ=++Γ-Α Β- Α Γ- Β Γ+ Α Β Γ
Στοιχεία από τη συνδυαστική - Αρχές απαρίθμησης Πολλαπλασιαστική αρχή Αν για μια διατεταγμένη ν-αδα υπάρχουν m δυνατότητες συμπλήρωσης της πρώτης θέσης, m δυνατότητες συμπλήρωσης της δεύτερης θέσης,, m ν δυνατότητες συμπλήρωσης της ν-οστής θέσης, τότε υπάρχουν m m m ν διαφορετικές ν-αδες.
Πολλαπλασιαστική αρχήπαράδειγμα Ένα δοχείο περιέχει 3 αριθμημένες μπάλες. Παίρνουμε διαδοχικά μπάλες χωρίς επανατοποθέτηση κι σημειώνουμε τον αριθμό. Πόσα διατεταγμένα ζεύγη μπορούμε να γράψουμε; Απ. 3x=6
Διατάξεις χωρίς επανάληψη Αν από ένα σύνολο n διαφορετικών αντικειμένων πάρουμε k αντικείμενα και τα τοποθετήσουμε σε σειρά, τότε έχουμε μία διάταξη των k αντικειμένων. Το πλήθος όλων των διαφορετικών διατάξεων k αντικειμένων από τα n n k n n... n k Αν k=n τότε έχουμε τις μεταθέσεις των n αντικειμένων. Το πλήθος των διαφορετικών μεταθέσεων είναι n n... n! n n Σημείωση: 0!= και n! n k! n! 3... n n n! n n! n n
Διατάξεις με επανάληψη Από ένα σύνολο n διαφορετικών αντικειμένων επιλέγονται k ένα ένα με επανάθεση αντικείμενα και παρατάσσονται σε σειρά με τη δυνατότητα επιλογής του ίδιου στοιχείου μέχρι και k φορές k <, = ή > n. Τότε έχουμε διατάξεις με επανάληψη k αντικειμένων από τα n. Tο πλήθος των διατάξεων με επανάληψη k αντικειμένων από τα n είναι n n... n k n
Συνδυασμοί Αν από n διαφορετικά αντικείμενα πάρουμε k χωρίς να μας ενδιαφέρει η διάταξή τους αλλά μόνο ποια αντικείμενα πήραμε, τότε έχουμε τους συνδυασμούς των n ανά k αντικειμένων. Το πλήθος των συνδυασμών είναι n k n n... n k! k n! k! n k!
Δεσμευμένη Πιθανότητα Ορισμός: Έστω και δύο γεγονότα του ίδιου δειγματικού χώρου με 0. Η πιθανότητα να συμβεί το γεγονός δοθέντος ότι έχει συμβεί το Β ονομάζεται δεσμευμένη πιθανότητα του και ορίζεται από τον τύπο Πολλαπλασιαστικός νόμος των πιθανοτήτων άμεση συνέπεια του ορισμού
Ειδικές περιπτώσεις Γ Β Α Β και Γ δύο ξένα γεγονότα Β Γ= Ø. Επομένως, Β Γ=0 και Γ= Β Γ/ Γ=0 Γ= Β Γ/ Β=0 Α και Γ δύο γεγονότα με Γ. Τότε, Α Γ=Α και Α Γ=Α Από τον ορισμό της δεσμευμένης πιθανότητας, όταν
Ιδιότητες Η Δεσμευμένη πιθανότητα ικανοποιεί τις ιδιότητες των πιθανοτήτων. Π.χ., για δοσμένο Β, για την πιθανότητα. ισχύουν:. ΩΒ=. 0 Β, Ω 3. Αν Α και Α είναι ασυμβίβαστα τότε = + 4. Α C Β=- 5. Α C Β= -Α Β 6. Α Β= + - Β Όταν τα γεγονότα Α και δεν είναι κατ ανάγκη ασυμβίβαστα
Ανεξάρτητα γεγονότα Ορισμός: Έστω και δύο γεγονότα με 0 και 0. Τα γεγονότα Α και Β είναι στοχαστικά ανεξάρτητα αν = και = Αν τα γεγονότα Α και Β είναι ανεξάρτητα τότε Α =
Διαδοχικά πειράματα Παράδειγμα. Π Π Π 3 Π : Μια μπάλα μεταφέρεται από το ο στο ο κουτί. Π : Μια μπάλα μεταφέρεται από το ο στο 3 ο κουτί. Π 3 : Τραβάμε μια μπάλα από το 3 ο κουτί. Ποια είναι η πιθανότητα η τελική μπάλα να είναι μαύρη?
Διαδοχικά πειράματα Παράδειγμα. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται ένα γενεαλογικό δένδρο για τον αλφισμό. Αα Αα Ελένη Γιώργος ΑΑ? αα? Ποια είναι η πιθανότητα το παιδί της Ελένης και του Γιώργου να είναι φορέας;
Συμβολισμός θηλυκά αρσενικά άγνωστο φύλλο Άτομα που έχουν κάποιο γενετικό χαρακτηριστικό φορείς ζευγάρωμα αδέλφια
Διαμέριση του δειγματικού χώρου Τα γεγονότα Β, Β,,Β n ενός δειγματικού χώρου Ω αποτελούν μια διαμέρισή του σχήμα, όταν ισχύουν: α i i,,..., n β i j i j γ... n 3 n
Θεώρημα ολικής πιθανότητας Αν τα γεγονότα Β, Β,,Β n αποτελούν μια διαμέριση του δειγματικού χώρου Ω, τότε η πιθανότητα πραγματοποίησης του γεγονότος Α Ω είναι... n n 3 n 3 n 3 n 3 n 3 3 n n Γεγονός Πιθανότητα + + + +............
Παράδειγμα 3 Ένα τεστ για τον ιό HIV δείχνει θετικό αποτέλεσμα στο 99% των περιπτώσεων όταν ο ιός υπάρχει και στο 5% των περιπτώσεων όταν δεν υπάρχει θετικό λάθος. Αν το τεστ γίνει σε ένα τυχαίο άτομο ενός πληθυσμού, ποια είναι η πιθανότητα το τεστ να είναι θετικό; Υπόθεση: η πιθανότητα παρουσίας του ιού σε αυτόν τον πληθυσμό είναι /00. Α: τεστ θετικό : άτομο έχει τον ιό C C 0,0547 με Β=/00, Α C =0,99 και Α C =0,05 Ποια είναι η πιθανότητα το άτομο να έχει τον ιό δοθέντος ότι το τεστ είναι θετικό;
Θεώρημα του ayes Αν τα γεγονότα Β, Β,,Β n αποτελούν μια διαμέριση του δειγματικού χώρου Ω, τότε όπου k k k... n n Η πιθανότητα το άτομο να έχει τον ιό δοθέντος ότι το τεστ είναι θετικό είναι: 0,09049 0,0547 00 0,99/ Η πιθανότητα το άτομο να μην έχει τον ιό δοθέντος ότι το τεστ είναι αρνητικό είναι: 0,99995 0,9453 00 0,9599/ C C C C C C Παράδειγμα 3 συνεχ.
Παράδειγμα. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται ένα γενεαλογικό δένδρο για τον αλφισμό. Αα Αα Ελένη Γιώργος ΑΑ? αα? Ποια είναι η πιθανότητα το παιδί της Ελένης και του Γιώργου να είναι φορέας;
Α: ο Γιώργος είναι φυσιολογικός. Πιθανοί γονότυποι: Αα ή ΑΑ. Η Ελένη είναι φυσιολογική και έχουμε ως δεδομένο ότι έχει γονότυπο ΑΑ. Έστω : ο Γιώργος έχει γονότυπο Α C : ο Γιώργος έχει γονότυπο Αα Γ : η Ελένη έχει γονότυπο ΑΑ Δ : το παιδί τους έχει γονότυπο Αα Από τα δεδομένα του γενεαλογικού δένδρου έχουμε: Β Α=/3 και C Α=/3 και Γ =
Πιθανότητα / 3 Γιώργος Ελένη 0 παιδί 0 3 + / 3 / 3 3 Άρα, η πιθανότητα το παιδί του Γιώργου και της Ελένης να είναι φορέας είναι /3. Η πιθανότητα να είναι φορέας και κορίτσι είναι /6=/3/.
Παράδειγμα συνέχεια Υποθέσαμε ότι η Ελένη έχει γονότυπο ΑΑ. Υπάρχει μια μικρή πιθανότητα η Ελένη να είναι φορέας. Έστω το γεγονός η Ελένη έχει γονότυπο Αα και έστω ότι η πιθανότητα να είναι φορέας είναι 0.0. Άρα, η πιθανότητα η Ελένη να είναι ΑΑ είναι 0.98. Δ : το παιδί τους έχει γονότυπο ΑΑ Δ : το παιδί τους έχει γονότυπο Αα Δ 3 : το παιδί τους έχει γονότυπο αα
Για τα νέα δεδομένα το δενδροδιάγραμμα έχει τη μορφή
Από τα νέα δεδομένα προκύπτουν οι πιθανότητες: 0.98 0.37 0.0 0. 007 3 3 0.98 0.653 0.0 0. 03 3 3 4 3 4
Άρα Η πιθανότητα το παιδί τους να έχει γονότυπο ΑΑ είναι Η πιθανότητα το παιδί τους να έχει γονότυπο Αα είναι Η πιθανότητα το παιδί τους να έχει γονότυπο αα είναι 0.658 0.003 0.365 0.0035 0.37 0.335 0.007 0.37 0.003 0.003 3 3
Προτεινόμενη Βιβλιογραφία C. Neuhauser Calulus for biology and mediine earson/rentie Hall, 004 Chapter :. -.3 F. R. dler. Modeling the dynamis of life: alulus and probability for life sientists. rooks/cole, 998. Chapter 6: 6.4-6.5 M. R. Cullen Mathematis for the biosienes. Tehbooks, 983 Setions: 57-60