Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ψηφιακά Σ.Α.Ε: Περιγραφή στο Χώρο Κατάστασης Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας 1. Να κατανοήσετε το πώς περιγράφονται τα ψηφιακά ΣΑΕ στο Χώρο Κατάστασης 2. Να διαχωρίζετε τις μεθόδους διακριτοποίησης στο Χώρο Κατάστασης 4

Περιεχόμενα ενότητας (1) ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΔΙΑΚΡΙΤΟ ΧΡΟΝΟ ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤA ΛΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ (State space representation) ΕΥΘΕΙΑ ΜΟΡΦΗ (Direct form) 5

Περιεχόμενα ενότητας (2) ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ (Canonical form) ΕΛΕΓΞΙΜΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ (Controllable Canonical form) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΜΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ (Observable Canonical form) JORDAN KANONIKH ΜΟΡΦΗ (Jordan Canonical form) ΤΟ ΕΛΕΓΞΙΜΟ ΚΑΙ ΤΟ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΜΟ ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ 6

Περιεχόμενα ενότητας (3) ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΣΥΓΚΡΑΤΗΣΗΣ ΜΗΔΕΝΙΚΗΣ ΤΑΞΗΣ ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΣΥΓΚΡΑΤΗΣΗΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 7

Γενικές έννοιες (1) Μία μεγάλη κατηγορία συστημάτων (γραμμικά, μη γραμμικά, χρονικά μεταβαλλόμενα και μη κ.α.) αναλύονται με τη μεθοδολογία του χώρου κατάστασης (state space) όπου το σύστημα περιγράφεται από ένα σύνολο εξισώσεων διαφορών πρώτης τάξης, που περιγράφουν τις μεταβλητές κατάστασης. 8

Γενικές έννοιες (2) Οι μεταβλητές κατάστασης (state variables) είναι ο μικρότερος αριθμός των μεταβλητών που περιγράφουν τη μελλοντική απόκριση ενός συστήματος, όταν είναι γνωστές η παρούσα κατάσταση του συστήματος, οι είσοδοι του και οι εξισώσεις που περιγράφουν τη λειτουργία του. Οι μεταβλητές κατάστασης είναι αυτές που καθορίζουν τον τρόπο με τον οποίο εξελίσσεται το σύστημα και κατά κάποιο τρόπο "αποθηκεύουν" την προηγούμενη συμπεριφορά του. 9

Γενικές έννοιες (3) ΟΡΙΣΜΟΣ: Οι μεταβλητές κατάστασης x 1 (n),x 2 (n), x k (n) ορίζονται ως ένας (ελάχιστος) αριθμός μεταβλητών τέτοιων ώστε αν γνωρίζουμε Τις τιμές τους στη χρονική στιγμή n 0 Την είσοδο του συστήματος για n n 0 Το μαθηματικό μοντέλο, να καθίσταται δυνατός ο προσδιορισμός της κατάστασης του συστήματος για οποιαδήποτε χρονική στιγμή n n 0 10

Γενικές έννοιες (4) Πλεονεκτήματα της περιγραφής ενός συστήματος με τη μέθοδο των εξισώσεων κατάστασης ως προς τις κλασικές μεθόδους: Είναι εύκολη η προσομοίωση και ο προγραμματισμός τους σε ηλεκτρονικούς υπολογιστές αφού αποτελούν ένα γραμμικό σύστημα εξισώσεων διαφορών. Παρέχουν ευχέρεια στη λύση προβλημάτων ελέγχου όπως η ευστάθεια και ο βέλτιστος έλεγχος. Εκτός από τα γραμμικά συστήματα, παρέχουν τη δυνατότητα περιγραφής των μη γραμμικών, και των χρονικά μεταβαλλόμενων συστημάτων, κάτι το οποίο δεν μπορεί να γίνει με χρήση της συνάρτησης μεταφοράς. Δίνεται η δυνατότητα περιγραφής της κατάστασης του συνολικού συστήματος κάθε χρονική στιγμή, σε αντίθεση με τη συνάρτηση μεταφοράς όπου συνδέει την είσοδο με την έξοδο. 11

Εξισώσεις κατάστασης στο διακριτό χρόνο (1) 12

Εξισώσεις κατάστασης στο διακριτό χρόνο (2) Ο πίνακας Α είναι ένας τετραγωνικός πίνακας nxn διαστάσεων, ονομάζεται πίνακας του συστήματος (state matrix) και αντιπροσωπεύει το φυσικό σύστημα. Ο πίνακας Β είναι nxr διαστάσεων και ονομάζεται πίνακας εισόδων (input matrix). O πίνακας C είναι mxn διαστάσεων και ονομάζεται πίνακας εξόδων (output matrix). O πίνακας D είναι mxr διαστάσεων και ονομάζεται απευθείας πίνακας (feedforward matrix). 13

Εξισώσεις κατάστασης στο διακριτό χρόνο (3) Στην περίπτωση των συστημάτων μιας εισόδου-μιας εξόδου (SISO) όπου r=m=1, το σύστημα περιγράφεται από τις εξισώσεις κατάστασης: 14

Εξισώσεις κατάστασης στο διακριτό Όπου: χρόνο (4) c είναι διάνυσμα στήλης με n στοιχεία. b είναι διάνυσμα στήλης με n στοιχεία d είναι βαθμωτό μέγεθος και x(0) = x 0 είναι διάνυσμα στήλης των αρχικών συνθηκών των μεταβλητών κατάστασης. 15

Ιδιοτιμές και χαρακτηριστικό πολυώνυμο Ο πίνακας (λi n A) ονομάζεται χαρακτηριστικός πίνακας (characteristic matrix) του συστήματος. Οι τιμές της παραμέτρου που ικανοποιούν την (λi n A) x =0 είναι ένα διάνυσμα στήλης και ονομάζονται ιδιοτιμές (eigenvalues) ή χαρακτηριστικές τιμές του συστήματος. Μηδενίζοντας την ορίζουσα του χαρακτηριστικού πίνακα προκύπτει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος δηλαδή: n P( ) det( I A) a... a a 0 (4) n 1 n 1 1 0 16

Χαρακτηριστική εξίσωση (Χ.Ε) Οι ρίζες του P(λ), δηλαδή οι ιδιοτιμές του, είναι οι πόλοι του κλειστού συστήματος. Η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος δίνεται από τη σχέση: zi A 0 (5) 17

Λύση των εξισώσεων κατάστασης στο πεδίο του χρόνου Ο μεταβατικός πίνακας κατάστασης (state transition matrix), παριστάνει την απόκριση του συστήματος μόνο από την επίδραση των αρχικών συνθηκών του (δηλαδή την ελεύθερη απόκριση του συστήματος). 18

Λύση των εξισώσεων κατάστασης στο πεδίο Z (1) 19

Λύση των εξισώσεων κατάστασης στο πεδίο Z (2) Η παλμική συνάρτηση μεταφοράς δίνεται από τη σχέση: Στο σχήμα απεικονίζονται οι μετασχηματισμοί μεταξύ του μοντέλου στο χώρο κατάστασης και της διακριτής συνάρτησης μεταφοράς. 20

Περιγραφή δυναμικών συστημάτων στο χώρο κατάστασης (State space representation) (1) 1. Ευθεία μορφή (Direct form) 21

Περιγραφή δυναμικών συστημάτων στο χώρο κατάστασης (State space representation) (2) 22

Περιγραφή δυναμικών συστημάτων στο χώρο κατάστασης (State space representation) (3) 2. Κανονική μορφή (Canonical form) 23

Περιγραφή δυναμικών συστημάτων στο χώρο κατάστασης (State space representation) (6) Οι εξισώσεις κατάστασης (Ε.Κ) και η έξοδος του συστήματος είναι σε κανονική μορφή: 26

Περιγραφή δυναμικών συστημάτων στο χώρο κατάστασης (State space representation) (7) 3. Ελέγξιμη κανονική μορφή (Controllable Canonical form) 27

Περιγραφή δυναμικών συστημάτων στο χώρο κατάστασης (State space representation) (9) 4. Παρατηρήσιμη κανονική μορφή (Observable Canonical form) 29

Περιγραφή δυναμικών συστημάτων στο χώρο κατάστασης (State space representation) (11) 4. Jordan κανονική μορφή (Jordan Canonical form) 31

: Περιγραφή δυναμικών συστημάτων στο χώρο κατάστασης (State space representation) (12) 32

: Ελεγξιμότητα (Controllability) (1) Το ελέγξιμο ενός συστήματος αναφέρεται στο κατά πόσο είναι δυνατό να μεταβεί ένα σύστημα από μια δεδομένη αρχική κατάσταση, σε μια οποιαδήποτε τελική κατάσταση σε πεπερασμένο χρόνο (Kalman, 1960). Ένα σύστημα θα είναι ελέγξιμο όταν η τάξη του πίνακα S=n Ο πίνακας S ονομάζεται πίνακας ελεγξιμότητας (controllability matrix) και δίνεται από τη σχέση (26). 2 n 1 S [B AB A B A B] (26) 33

: Ελεγξιμότητα (Controllability) (2) Ένα παράδειγμα μη ελέγξιμου συστήματος φαίνεται στο σχήμα όπου παρατηρούμε ότι όσο και αν προσπαθήσουμε να εκμεταλλευτούμε την είσοδο u1, δεν μπορούμε να επιδράσουμε στη μεταβλητή x2. 34

Παρατηρησιμότητα (Observabillity) T C T CA R (27) T n 1 CA (1) Το παρατηρήσιμο ενός συστήματος αναφέρεται στο κατά πόσο κάθε κατάσταση x(k) μπορεί να προσδιοριστεί από παρατήρηση της εξόδου y(k) σε πεπερασμένο χρονικό διάστημα. Ένα σύστημα θα είναι παρατηρήσιμο όταν η τάξη του πίνακα R=n. Ο πίνακας R ονομάζεται πίνακας παρατηρησιμότητας (observability matrix) και δίνεται από τη σχέση (27). 35

: Παρατηρησιμότητα (Observabillity) (2) Ένα παράδειγμα μη παρατηρήσιμου συστήματος φαίνεται στο σχήμα όπου δεν θα μάθουμε ποτέ τίποτα για τη μεταβλητή x1(k), άσχετα από το πόσο χρόνο παρατηρούμε την έξοδο y(k). 36

: Διακριτοποίηση συστημάτων στο χώρο κατάστασης (1) Ο μετασχηματισμός ενός συστήματος συνεχούς χρόνου στο χώρο των καταστάσεων σε ένα ισοδύναμο διακριτό επιτυγχάνεται με δύο μεθόδους. Η πρώτη βασίζεται στην χρήση αριθμητικών μεθόδων ολοκλήρωσης ή διαφόρισης για την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης x(t)= Ax(t) + Bu(t). Η δεύτερη μέθοδος βασίζεται στην δειγματοληψία του σήματος εισόδου u(t) και στην συγκράτηση των τιμών των δειγμάτων u(kt) για χρονικό διάστημα ίσο με την περίοδο δειγματοληψίας T ( Hold Equivalence). 37

: Διακριτοποίηση συστημάτων στο χώρο κατάστασης (2) Με χρήση αριθμητικών μεθόδων ολοκλήρωσης Έστω το σύστημα συνεχούς χρόνου. Μια μέθοδος για να υπολογίσουμε το ισοδύναμο διακριτό σύστημα ενός συνεχούς, είναι να ολοκληρώσουμε την διαφορική εξίσωση του χώρου των καταστάσεων και στη συνέχεια να προσεγγίσουμε τους παράγοντες που περιέχουν ολοκληρώματα χρησιμοποιώντας μεθόδους αριθμητικής ολοκλήρωσης. 38

Διακριτοποίηση συστημάτων στο Με χρήση αριθμητικών μεθόδων ολοκλήρωσης χώρο κατάστασης (3) 39

: Μέθοδος διαφοράς προς τα εμπρός (Euler s forward method) (1) Το σύστημα που προκύπτει εφαρμόζοντας διακριτοποίηση με την μέθοδο διαφοράς προς τα εμπρός δίνεται από τις σχέσεις: 40

: Μέθοδος διαφοράς προς τα πίσω (Euler s backward method) (1) Το σύστημα που προκύπτει εφαρμόζοντας διακριτοποίηση με την μέθοδο διαφοράς προς τα πίσω δίνεται από τις σχέσεις: 41

: Μέθοδος του τραπεζίου (Trapezoidal Method) (1) Το σύστημα που προκύπτει εφαρμόζοντας την μέθοδο του τραπεζίου δίνεται από τις σχέσεις: 42

: Διακριτοποίηση συστημάτων στο χώρο κατάστασης Με χρήση αριθμητικών μεθόδων παραγώγισης. Έστω το σύστημα συνεχούς χρόνου. x(t) Ax(t) Bu(t) (38) y(t) Cx(t) Du(t) (39) Μια μέθοδος για να υπολογίσουμε το ισοδύναμο διακριτό σύστημα ενός συνεχούς είναι να προσεγγίσουμε την παράγωγο του διανύσματος κατάστασης x(t). 43

: Μέθοδος διαφοράς προς τα εμπρός (Euler s forward method) (2) Το σύστημα που προκύπτει εφαρμόζοντας διακριτοποίηση με την μέθοδο διαφοράς προς τα εμπρός δίνεται από τις σχέσεις: 44

: Μέθοδος διαφοράς προς τα πίσω (Euler s backward method) (2) Το σύστημα που προκύπτει εφαρμόζοντας διακριτοποίηση με την μέθοδο διαφοράς προς τα πίσω δίνεται από τις σχέσεις: 45

: Μέθοδος του τραπεζίου (Trapezoidal Method) (2) Το σύστημα που προκύπτει εφαρμόζοντας την μέθοδο του τραπεζίου δίνεται από τις σχέσεις: 46

: Μέθοδος συγκράτησης μηδενικής τάξης Το σύστημα που προκύπτει εφαρμόζοντας την μέθοδο συγκράτησης μηδενικής τάξης δίνεται από τις σχέσεις: 47

: Μέθοδος συγκράτησης πρώτης τάξης Το σύστημα που προκύπτει εφαρμόζοντας την μέθοδο συγκράτησης πρώτης τάξης δίνεται από τις σχέσεις: 48

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΞΑΣΚΗΣΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΨΗΦΙΑΚΩΝ Σ.Α.Ε

Άσκηση 1 50

Λύση Άσκησης 1 (1) 51

Άσκηση 2 55

Άσκηση 3 60

Λύση Άσκησης 3 61

Άσκηση 4 62

Άσκηση 5 66

Άσκηση 6 72

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΨΗΦΙΑΚΩΝ Σ.Α.Ε

Ασκήσεις 1 και 2 82

Ασκήσεις 3 και 4 83

Άσκηση 5 84

Τέλος Ενότητας