Kεφ. 6 ΔΙΑMOΡΦΩΣΗ ΚΥΜΑΤΟΣ, ΚΥΜΑΤΟΠΑΚΕΤΑ,

Kεφ. 6 ΔΙΑMOΡΦΩΣΗ ΚΥΜΑΤΟΣ, ΚΥΜΑΤΟΠΑΚΕΤΑ, (part, pages -) Η μέχρι τώρα μελέτη μας αφορούσε κύματα ή ταλαντώσεις με μία μόνο συχνότητα. Στη συνέχεια θα μελετήσουμε την υπέρθεση πολλών κυμάτν που συνίστανται από πολλές συχνότητες. Το συνιστάμενο κύμα είναι ένα οδεύον κύμα που θα αναφέρεται σαν κυματοπακέτο ή κυματοομάδα (wave packet) (το κύμα αυτό, αν και μεταφέρει ενέργεια και ορμή, δεν διατηρεί το σχήμα του καθώς διαδίδεται). Παράδειγμα, 5-μελής ομάδα μπάσκετ που κινείται (παίζοντας) κατά μήκος ενός δρόμου. Φασική ταχύτητα: η ταχύτητα με την οποία κινούνται οι διάφοροι διακυμάνσεις μέσα στην ομάδα (δεν μεταφέρεται ενέργεια ή πληροφορία και μπορεί να είναι μεγαλύτερη του c). Ταχύτητα ομάδος (group velocity): η ταχύτητα με τη οποία κινείται η ομάδα σαν σύνολο. Διαμόρφση σήματος: Το αρμονικό (οδεύον) κύμα δεν μεταφέρει πληροφορία, ενώ το διαμορφμένο κύμα μεταφέρει (Διαμόρφση πλάτους ή διαμόρφση συχνότητος). Το διαμορφμένο (οδεύον) κύμα γενικά αναπαρίσταται από μιά πολύπλοκη κυματοσυνάρτηση ψ(t). Για παράδειγμα, η ψ(t) μπορεί να σχηματιστεί από

υπέρθεση (άθροισμα) αρμονικών συναρτήσεν της μορφής Α()cos(t+φ()) Για παράδειγμα, η υπέρθεση τν 7 αρμονικών κυμάτν της επόμενης εικόνας, έχει παράγει το κυματοπακέτο που είδαμε προηγουμένς. Πράγματι, δεδομένης της συνάρτησης ψ(t), μπορούμε να υπολογίσουμε τα πλάτη Α() και τις σταθερές φάσης φ() με μεθόδους της ανάλυσης Fourier. Παράδειγμα: Υπέρθεση αρμονικών ταλαντώσεν Eχουμε δει από το Κεφ. ότι η υπέρθεση τν αρμονικών ταλαντώσεν με συχνότητες και, αντίστοιχα, ψ(t) A cos( t+φ ) + A cos( t+φ ) () (για ευκολία μας πήραμε A A A) δίδει την συνιστάμενη διαταραχή, ψ(t) A mod (t) cos(t+φ) ()

3 όπου ( + )/ είναι η μέση συχνότητα (καλείται φέρουσα συχνότητα), φ(φ +φ )/ και Α mod (t) είναι το διαμορφμένο πλάτος, Α mod (t)αcos( mod t+δ) (3) Με mod ( - )/ (καλείται συχνότητα διαμόρφσης) και δ(φ -φ )/. Η ταλάντση () παριστάνει μια σχεδόν αρμονική ταλάντση με (αρμονικά) διαμορφμένο πλάτος με συχνότητα mod. Γενικά, τα πλάτος (3) θα μπορούσε να έχει πιό σύνθετη μορφή. Παράδειγμα: Υπέρθεση οδευόντν κυμάτν Εστ ότι ένας πομπός παράγει κύματα της μορφής () στη θέση x0, δηλ. A cos( t+φ ), A cos( t+φ ) Επειδή καθένα κύμα δίδει ένα οδεύον κύμα στη θέση x, της μορφής A cos(k x- t+φ ), A cos(k x- t+φ ) η υπέρθεση τν κυμάτν στη θέση x δίδει το συνιστάμενο κύμα, ψ(x,t) A cos(k x- t+φ ) + A cos(k x- t+φ ) (4)

4 απ όπου λαμβάνουμε το διαμορφμένο (κατά πλάτος) οδεύον κύμα ψ(t) A mod (x,t) cos(kx-t+φ) (5) όπου ( + )/, k(k +k )/, φ(φ +φ )/ και Α mod (x,t) είναι το διαμορφμένο πλάτος, Α mod (x,t)αcos(k mod x- mod t+δ) (6) με mod ( - )/, k mod (k -k )/ και δ(φ -φ )/. Ταχύτητα διαμόρφσης Από την (6), για να παρακολουθήσουμε μια συγκεκριμένη τιμή του πλάτους διαμόρφσης, θα πρέπει η φάση της συνάρτησης να είναι σταθερή, (k mod x- mod t+δ)σταθ. την οποίαν διαφορίζοντας έχουμε, k mod dx- mod dt 0, απ όπου έπεται η ταχύτητα διαμόρφσης, υ mod dx mod (7) dt kmod k k Είναι η ταχύτητα μιας συγκεκριμένης τιμής του πλάτους διαμόρφσης. Λόγ όμς τν σχέσεν διασποράς, (k ) και (k ), οι οποίες μπορούν να αναπτυχθούν κατά Taylor γύρ από τη μέση τιμή k όπου k(k +k )/, ή

5 συνεπώς, d ( k) + (k d ( k) + (k + d (k k) + d (k k) + k) + d (k k )... + k) d Αντικαθιστώντας στην (7) προκύπτει, υ mod +.....,... d Ταχύτητα ομάδας: υ g δηλ. η ομάδα δεν διαδίδεται με τη μέση ταχύτητα υ( + )/(k +k ), όπς θα περίμενε κανείς, αλλά με τη ταχύτητα υ g d/. (Εχομε δεί στο Κεφ.4 ότι η ταχύτητα υ/k καλείται φασική ταχύτητα). Παράδειγμα: Ραδιοφνικά κύματα ΑΜ H φέρουσα συχνότης [500-600]KHz H διεγείρουσα τάση που εφαρμόζεται στη κεραία του στο πομπό έχει διαμορφμένο πλάτος της μορφής, Α mod (t)α ο + mod Α( mod ) cos( mod t+δ) όπου η διαφορά (Α mod (t)-α ο ) είναι ανάλογη της πίεσης ενός ηχητικού κύματος (λειτουργία μικροφώνου). Οι συχνότητες διαμόρφσης mod για ηχητικά κύματα βρίσκονται μέσα στην ακουστική περιοχή, [0-0000]Ηz.

6 Εύρος ζώνης Αν είναι η φέρουσα συχνότητα, τότε οι συχνότητες που ακτινοβολούνται ανήκουν στη ζώνη συχνοτήτν, [- mod, + mod ] ή [ν -ν mod, ν +ν mod ] Η διαφορά της ελαχίστης συχνότητος από την μεγίστη συχνότητα καλείται εύρος ζώνης. Το εύρος ζώνης για τους εμπορικούς ραδιοφνικούς σταθμούς ΑΜ είναι ίσο με 0ΚΗz. Παλμοί Παλμός είναι η υπέρθεση πολλών αρμονικών ταλαντώσεν με ίδιο πλάτος και με γειτονικές συχνότητες στη ζώνη [, ]. Εστ ότι οι συχνότητες ισοκατανέμονται στη ζώνη [, ] εύρους Δ( - ). Αν ( - )/(Ν-), η υπέρθεση γράφεται ψ(t) A cos t + A cos ( +)t + A cos ( +)t + + A cos t sin[n t] Αcos[ t + (Ν ) t] sin( t) Αcos( + sin(n t) t) sin( t)

7 Bλέπουμε λοιπόν ότι ο παλμός διατηρεί την αρχική μορφή της απλής ταλάντσης, ψ(t)a(t) cos(t) όπου ( + )/ είναι η μέση συχνότητα, όμς το πλάτος της συνισταμένης ταλάντσης Α (t) sin(n t) Α sin( t) έχει τη σύνθετη διαμόρφση τν διακροτημάτν. Για Ν, το πλάτος τείνει στο όριο: Α(t) NΑ (την οποία θα καλέσουμε Α(0), ς η τιμή για t0). Στο όριο Ν, με τη προϋπόθεση ότι το γινόμενο Ν Δ παραμένει σταθερό (που σημαίνει ότι 0), το πλάτος γράφεται Α(t) sin(n t) Α sin( t) sin(n t) Α(0) (Ν t) t Α(0) 0 Θα μελετήσουμε τη κυματοσυνάρτηση ψ(t) στο όριο Α(0) Α(0) 0. Αν λάβουμε υπόψιν ότι Α, Ν Δ η αρχική υπέρθεση γράφεται, ψ(t) Acos t+acos ( +)t +Acos ( +)t +

8 Α(0) [cos t + cos( + )t + cos( + )t +...] Δ ή Α(0) Δ cost d, ψ(t) Α(0) Δ cost d Η μορφή αυτή αποτελεί μιά συνεχή αναπαράσταση κατά Fourier της κυματοσυνάρτησης ψ(t). Γενικά, κάθε συνεχής περιοδική συνάρτηση ψ(t) μπορεί να αναπαρασταθεί κατά Fourier ς εξής, ψ(t) Α()sin t d + Β() cost d 0 όπου οι συναρτήσεις Α() και Β() καλούνται συνεχείς συντελεστές Fourier (ή μετασχηματισμοί Fourier) και προκύπτει από τον παραπάν ορισμό ότι Α() Β() π π + 0 ψ(t)sin t dt + ψ(t)cost dt Η κυματοσυνάρτηση ψ(t) είναι σημαντική μόνο μέσα στο χρονικό διάστημα Δt (λέγεται διάρκεια του παλμού), που ορίζεται από τη σχέση ΔΔtπ ή ΔνΔt

9 Στο παρακάτ σχήμα φαίνεται ένας παλμός ψ(t) Στο επόμενο σχήμα φαίνεται ο συντελεστής Fourier Β(). Παρατηρούμε ότι ο συντελεστής Β()Α(0)/Δ για [, ] και είναι μηδέν εκτός του διάστηματος.

0 Οδεύον κυματοπακέτο Εστ ότι ένας πομπός (στη θέση x0) εκπέμπει ένα παλμό ψ(t) της μορφής του παραπάν σχήματος. Το σήμα αυτό διαδίδεται στο χώρο σαν οδεύον κύμα, περιορισμένο σε έκταση στο χώρο (είναι δηλ. εντοπισμένο) και καλείται οδεύον κυματοπακέτο. Η ταχύτητα διάδοσης του είναι ίση με τη ταχύτητα της ομάδος υ g. Εφόσον μεταξύ -k υφίσταται η σχέση διασποράς, (k) ή kk(), η ύπαρξη ζώνης Δ στις συχνότητες συνεπάγεται την ύπαρξη αντίστοιχης ζώνης Δk και στους κυματαριθμούς, δηλ. Δ k k k k( ) k( ) ( ) d (ενδιάμεσα έχει γίνει ανάπτυξη κατά Taylor). ο Δ υ Από το παραπάν σχήμα παρατηρούμε ότι το μήκος του παλμού (ή το ανάπτυγμα του παλμού στο χώρο) ισούται χονδρικά με Δxυ g Δt, όπου Δt η διάρκειά του. Έπεται επομένς ΔxΔkΔΔtπ (στη πραγματικότητα το γινόμενο τν αβεβαιοτήτν είναι π, κατά την αρχή του Heisenberg). Το μήκος Δx του κυματοπακέτου μεγαλώνει (λέμε ότι απλώνει) καθώς διαδίδεται στο χώρο. g

Αυτό αιτιολογείται ς εξής: η ταχύτητα ομάδος υ g d/ εξαρτάται από το k, και για κάθε k που ανήκει στη ζώνη [k,k ] αντιστοιχεί και μια τιμή της ταχύτητας υ g, επομένς προκύπτει και μιά αντίστοιχη ζώνη Δυ g για τις ταχύτητες, Δυ g dυ g ο Δk d ο Δk Οπότε το μήκος (Δx) o του κυματοπακέτου μετά από χρόνο t θα έχει γίνει, (Δx)(Δx) o +(Δυ g )t