Keywords: Project Scheduling, Resource Constraints, Heuristic Methods.

Προβλήµατα ροµολόγησης Έργων µε Περιορισµούς Πόρων: Πρόσφατες Εξελίξεις & Αλγόριθµοι Resource Constrained Project Scheduling Problems: Recent Developments & Algorithms Α. Κάστωρ, Κ. Συρακούλης, Β. Χ. Γερογιάννης Τµήµα ιοίκησης και ιαχείρισης Έργων, ΤΕΙ Λάρισας e-mail: a.kastor.dde@sdo.teilar.gr, sirakoul@teilar.gr, gerogian@teilar.gr Περίληψη Στο πεδίο της διαχείρισης έργων σηµαντικό ρόλο για την επίτευξη των στόχων ενός έργου έχει η αποδοτική αξιοποίηση των διαθέσιµων πόρων. Η διαθεσιµότητα των πόρων δεν συµβαδίζει όµως πάντοτε µε τις πραγµατικές ανάγκες του έργου. Η περίπτωση αυτή είναι γνωστή ως πρόβληµα δροµολόγησης έργου µε περιορισµούς στη διαθεσιµότητα των πόρων (Resource Constraint Project Scheduling Problem-RCPSP). Για την αντιµετώπιση του προβλήµατος έχουν προταθεί, κατά περίπτωση, πολλές εναλλακτικές µέθοδοι. Στην εργασία αυτή γίνεται µια κριτική ανασκόπηση της υπάρχουσας βιβλιογραφίας πάνω στα RCPSPs, παρουσιάζονται και ταξινοµούνται σε κατηγορίες πρόσφατα προτεινόµενοι αλγόριθµοι που βασίζονται στη χρήση ευρετικών µεθόδων. Abstract In project management area, the effective utilization of all available resources is a very important factor to achieve the objectives of a project. However, availability of resources is not always adequate enough to satisfy the actual project requirements. This situation has been identified in the literature as the Resource Constraint Project Scheduling Problem-RCPSP. A variety of methods have been proposed to cope with different aspects of the general problem. This paper reviews some of the recent developments. Emphasis is given on the presentation and classification of several recently proposed heuristic methods for solving RCPSP. Keywords: Project Scheduling, Resource Constraints, Heuristic Methods. 1. Εισαγωγή Βασικές συνιστώσες στα προβλήµατα διαχείρισης έργων αποτελούν οι δραστηριότητες, οι εξαρτήσεις προήγησης µεταξύ τους και οι διαθέσιµοι πόροι [Herroelen, W., Reyck, B.D. and Demeulemeester, E. (1998)]. Πολλοί µπορούν να είναι οι στόχοι των προβληµάτων διαχείρισης έργων. Οι σπουδαιότεροι [Kolisch, R., Padman, R. (1997)] είναι η ελαχιστοποίηση της χρονικής διάρκειας και η µεγιστοποίηση της καθαρής παρούσας αξίας του έργου. Η αλληλοσυσχέτιση των στόχων αυτών είναι σαφής καθώς όσο αυξάνεται η συνολική διάρκεια εκτέλεσης του έργου, τόσο µειώνεται το συνολικό κόστος του, και αντιστρόφως [Anagnostopoulos, K.P. and Kotsikas L. (2002)]. Με τη µέθοδο PERT/CPM εξυπηρετείται ο στόχος της ελαχιστοποίησης της διάρκειας του έργου, µε την προϋπόθεση ότι είναι διαθέσιµοι όλοι οι αναγκαίοι πόροι. Σε πολλές περιπτώσεις όµως, οι περιορισµοί στη χρήση των πόρων, για διάφορους λόγους, µας οδηγούν στην ανάγκη εύρεσης µιας βέλτιστης λύσης µε τη χρήση διαφορετικών αλγορίθµων και τεχνικών. Στην εργασία αυτή παρουσιάζονται οι πιο πρόσφατες τεχνικές, όπως αυτές εµφανίζονται στη διεθνή βιβλιογραφία, για την επίλυση του προβλήµατος της δροµολόγησης έργων µε περιορισµούς στη διαθεσιµότητα των πόρων (Resource Constrained Project Scheduling Problem - RCPSP), µε ιδιαίτερη έµφαση σε ευρετικές µεθόδους που χρησιµοποιούνται για την αντιµετώπιση του Single Mode RCPSP. 1

Καταρχάς διατυπώνεται το πρόβληµα καθώς και οι βασικές κατηγορίες κατάταξης του. Γίνεται ταξινόµηση των αλγορίθµων µε βάση τον τύπο του προβλήµατος που αντιµετωπίζει ο κάθε αλγόριθµος και την τεχνική στην οποία βασίστηκε. Η εργασία κλείνει µε τα πρώτα συµπεράσµατα που προκύπτουν από τη µελέτη των αλγορίθµων. 2. Ορισµός του Προβλήµατος Το πρόβληµα της διαχείρισης έργων µε περιορισµούς διαθεσιµότητας σε πόρους µπορεί να διατυπωθεί ως εξής [Hartmann, S. (1998)] έστω ένα έργο που αποτελείται από n+1 δραστηριότητες. Οι µη πραγµατικές δραστηριότητες 0 και n+1 προσδιορίζουν αντίστοιχα την έναρξη και τη λήξη του έργου. Οι δραστηριότητες σχετίζονται µε δύο είδη περιορισµών: τις εξαρτήσεις προήγησης (precedence relations) που περιορίζουν τη δραστηριότητα j να µη µπορεί να ξεκινήσει πριν τελειώσουν όλες οι προαπαιτούµενές της, και το πλήθος των πόρων που απαιτείται για την εκτέλεση της κάθε δραστηριότητας, το οποίο δύναται να είναι περιορισµένο. ιαθέτουµε το σύνολο K των πόρων. Η δραστηριότητα j για να εκτελεστεί απαιτεί r jk µονάδες ενός πόρου κ Κ, καθ όλη τη χρονική της διάρκεια p j. Ο πόρος τύπου κ παρουσιάζει περιορισµένη διαθεσιµότητα-µονάδες (R κ ), για κάθε χρονική στιγµή της εκτέλεσης του έργου. Οι παράµετροι p j, r jk και R κ θεωρούνται ως µη αρνητικοί ακέραιοι αριθµοί. Η αρχική και η τελική δραστηριότητα έχουν p j = 0 και r jk = 0, για κάθε κ Κ [Herroelen, W., Reyck, B.D. and Demeulemeester, E. (1998)]. Μια δραστηριότητα µπορεί να εκτελείται εξ ολοκλήρου (όταν αρχίσει να εκτελείται πρέπει να τελειώσει) ή µπορεί η εκτέλεσή της να διακοπεί και να συνεχιστεί αργότερα. Η ανάθεση των δραστηριοτήτων στους διαθέσιµους πόρους πραγµατοποιείται µε σκοπό την εύρεση βέλτιστης λύσης, έχοντας συνήθως ως βάση δύο κριτήρια: το µέτρο απόδοσης της ελαχιστοποίησης της χρονικής διάρκειας του έργου [Sprecher, A., Kolisch, R. and Drexl, A. (1995)], που είναι και ο πιο συνήθης στόχος [Kolisch, R. (1996a)], και το κριτήριο της µεγιστοποίησης της καθαρής παρούσας αξίας του έργου [Bey, R.B., Doersch, R.H., and Patterson, J.H. (1981)], που οδηγεί στην εύρεση του κρίσιµου µονοπατιού µε βάση το κόστος (σε αντίθεση µε το χρονικά κρίσιµο µονοπάτι). Οι χρησιµοποιούµενοι πόροι διακρίνονται ανάλογα τον τύπο (ανθρώπινοι ή υλικοί), την κατηγορία και την αξία τους. Ως προς την κατηγορία, εµφανίζονται ανανεώσιµοι, µη ανανεώσιµοι, µερικώς ανανεώσιµοι και διπλά περιορισµένοι πόροι [Botcher, J., Drexl, A., Kolisch, R. and Salewski, F. (1996), Talbot, F.B. (1982)]. Οι ανανεώσιµοι πόροι είναι περιορισµένοι σε περιοδική βάση. Ανεξάρτητα από τη διάρκεια του έργου, κάθε ανανεώσιµος πόρος είναι διαθέσιµος για κάθε περίοδο του έργου. Οι διπλά περιορισµένοι πόροι περιορίζονται τόσο σε κάθε περίοδο, όσο και στο σύνολο του έργου. Χαρακτηριστικό παράδειγµα αποτελεί η περίπτωση που έχουµε ένα συγκεκριµένο χρηµατικό ποσό διαθέσιµο και για όλο το έργο αλλά και για κάθε συγκεκριµένη δραστηριότητα ή περίοδο. Τέλος εµφανίζονται οι µερικώς ανανεώσιµοι πόροι. Παράδειγµα µερικώς ανανεώσιµων πόρων είναι όταν, στην περίοδο ενός µήνα, οι εργαζόµενοι περιορίζονται από το συµβόλαιο εργασίας για τον εβδοµαδιαίο χρόνο εργασίας και όχι για τον ηµερήσιο. Κάθε κατηγορία πόρων συνδέεται µε µια αξία η οποία αναφέρεται και ως διαθέσιµη ποσότητα. Όταν εµφανίζεται έστω και µια κατηγορία περιορισµένων πόρων, τότε έχουµε ένα πρόβληµα δροµολόγησης έργων µε περιορισµούς πόρων. ιακρίνονται έξι (6) βασικές κατηγορίες του βασικού προβλήµατος [Yang, B., Geunes, J. and O Brien, W.J. (2001)]: 1. Single-Mode RCPSP (SMRCPSP). Η διάρκεια και οι απαιτήσεις σε πόρους για κάθε δραστηριότητα είναι σταθερές. Οι χρησιµοποιούµενοι πόροι θεωρούνται ανανεώσιµοι, δηλαδή ο αριθµός των µονάδων κάθε τύπου πόρου είναι πάντοτε διαθέσιµος, σε κάθε φάση του έργου (παραδείγµατα τέτοιων πόρων είναι οι άνθρωποι, οι µηχανές και ο εξοπλισµός). 2. Multi-Mode RCPSP (MMRCPSP). Κάθε δραστηριότητα εµφανίζει κάθε φορά διαφορετικά χαρακτηριστικά, δηλαδή µπορεί να εκτελεστεί µε ένα διαφορετικό τρόπο (mode) από ένα σύνολο εναλλακτικών επιλογών. Κάθε σύνολο επιλογών M j ουσιαστικά ταυτίζεται µε το σύνολο παραµέτρων για τη χρονική διάρκεια και τους πόρους που θα απασχοληθούν από τη 2

δραστηριότητα j. Οι χρησιµοποιούµενοι πόροι µπορεί να είναι είτε ανανεώσιµοι είτε µη ανανεώσιµοι, δηλαδή ο αριθµός των µονάδων κάθε τύπου πόρου είναι διαθέσιµος για το έργο συνολικά (παράδειγµα µη ανανεώσιµου πόρου είναι ο χρηµατικός προϋπολογισµός του έργου). 3. Προβλήµατα µε µη κανονικές αντικειµενικές συναρτήσεις. Ως κανονική αντικειµενική συνάρτηση θεωρούµε εκείνη που η τιµή της δεν καθίσταται ποτέ χειρότερη µε τη µείωση του χρόνου περάτωσης µιας δραστηριότητας, χωρίς ταυτόχρονα να επηρεάζεται ο χρόνος λήξης οποιασδήποτε άλλης δραστηριότητας. Μη κανονικές αντικειµενικές συναρτήσεις είναι εκείνες που παραβιάζουν αυτόν τον κανόνα. 4. Στοχαστικά RCPSPs. O χρόνος εκτέλεσης των δραστηριοτήτων είναι µια τυχαία µεταβλητή που ακολουθεί κάποια κατανοµή πιθανοτήτων. Αυτή η κατηγορία προβληµάτων, αν και είναι η πιο ρεαλιστική, οδηγεί σε µεγάλη υπολογιστική πολυπλοκότητα. 5. RCPSPs που ανάγονται σε προβλήµατα γεµίσµατος κουτιών µε αντικείµενα (Bin packing related RCPSPs). Στα προβλήµατα αυτά έχουµε ένα συγκεκριµένο µέγεθος κουτιών και αντικείµενα µε διαφορετικά µεγέθη. Ο στόχος είναι να τοποθετήσουµε όλα τα αντικείµενα σε όσο το δυνατό λιγότερα κουτιά. Η ποσότητα των διαθέσιµων µονάδων κάθε πόρου αντιστοιχεί σε ένα κουτί και οι απαιτήσεις κάθε δραστηριότητας αντιστοιχούν στο µέγεθος ενός αντικειµένου. 6. RCPSPs µε πολλούς τύπους πόρων (MRCPSPs). Στις προηγούµενες κατηγορίες προβληµάτων κάθε δραστηριότητα απαιτεί ένα συγκεκριµένο τύπο πόρου. Στα MRCPSPs µια δραστηριότητα µπορεί να απαιτεί πόρους διαφορετικού τύπου. Οι δραστηριότητες µπορούν να εκτελεστούν είτε παράλληλα είτε σε σειρά. Τέτοια προβλήµατα αντιµετωπίζονται συχνά στη διαχείριση παραγωγικών διαδικασιών. Κάποιες περιπτώσεις προβληµάτων δεν ταξινοµούνται ευθέως σε µια από τις παραπάνω κατηγορίες. Για παράδειγµα, η ανάγκη της ταυτοποίησης του τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων (mode identity) - όταν οι δραστηριότητες διαχωρίζονται σε ξεχωριστά σύνολα και δραστηριότητες που ανήκουν στο ίδιο σύνολο εκτελούνται µε τον ίδιο τρόπο - δηµιουργεί το πρόβληµα που είναι γνωστό ως Mode Identity Resource Constrained Project Scheduling Problem (MIRSPSP) [Salewski, F., Schirmer, A., and Drexl, A. (1997)]. Παραλλαγή του προβλήµατος αποτελεί το Modified Multi-Mode Project Scheduling Problem (MMMPSP) [Schirmer, A. (1996)]. Τα MMMPSPs διαφέρουν από το κλασικό MRCPSP κυρίως στο εξής: στο MRCPSP οι ανανεώσιµοι πόροι έχουν σταθερή διαθεσιµότητα (αξία), ενώ στο MMMPSP όχι. Τέλος, ο τρόπος εκτέλεσης των δραστηριοτήτων επηρεάζει το άµεσο κόστος ενός έργου, το οποίο και προσπαθούµε να ελαχιστοποιήσουµε. Τέτοια παραδείγµατα είναι τα time/cost trade-off προβλήµατα και οι επεκτάσεις τους. Ο συνδυασµός των MMRCPSPs και των time/cost trade-off προβληµάτων δηµιουργούν τα προβλήµατα µε crashable modes [Ahn, T. and Erenguc, S.S (1998). Σε αυτά στόχος είναι η βελτιστοποίηση του κόστους ενός έργου, η οποία συµβαίνει όταν ελαχιστοποιηθεί το συνολικό κόστος των δραστηριοτήτων και το κόστος για κάθε πιθανή χρονική καθυστέρηση. 3. Η αντιµετώπιση Οι τεχνικές επίλυσης των RCPSPs κατατάσσονται σε δύο κύριες κατηγορίες: τις βέλτιστες προσεγγίσεις (optimal procedures) και τις ευρετικές µεθόδους (heuristics). Η χρήση των βέλτιστων µεθόδων οδηγεί θεωρητικά στη βέλτιστη λύση. Παρουσιάζει όµως το µειονέκτηµα των µεγάλων υπολογιστικών χρόνων, κυρίως σε προβλήµατα µε µεγάλο αριθµό δραστηριοτήτων. Για το λόγο αυτό οι βέλτιστες µέθοδοι που έχουν χρησιµοποιηθεί για την επίλυση των RCPSPs κυρίως περιορίζονται στην περίπτωση του SMRCPSP και είναι [Kolisch, R., Padman, R. (1997)] ο δυναµικός προγραµµατισµός ο ακέραιος 0-1 προγραµµατισµός και οι τεχνικές διακλάδωσης και φράγµατος (branch and bound techniques). Οι ευρετικές µέθοδοι αν και είναι υπολογιστικά πολύ ταχύτερες, σε σχέση µε τις βέλτιστες προσεγγίσεις, δεν παρέχουν πάντοτε τη βέλτιστη λύση. Ευρετικές µέθοδοι που έχουν χρησιµοποιηθεί για την επίλυση των RCPSP είναι [Kolisch, R. and Hartmann, S. (1999)]: η δροµολόγηση µε βάση κανόνες-τιµές προτεραιότητας (priority-based scheduling) 3

ευρετικές µέθοδοι που βασίζονται σε τεχνικές διακλάδωσης και φράγµατος η µέθοδος διαζευκτικών τόξων (disjunctive arc concepts) ευρετικές µέθοδοι µε βάση τον ακέραιο προγραµµατισµό (integer programming based heuristics) µετα-ευρετικές τεχνικές (metaheuristic techniques), όπως η µέθοδος προσοµοιωµένης ανώπτυσης (simulated annealing) και γενετικοί αλγόριθµοι. 3.1 Σχήµατα ροµολόγησης Πυρήνας των περισσότερων ευρετικών µεθόδων αποτελεί η δηµιουργία κατάλληλων Σχηµάτων ροµολόγησης (Schedule Generation Schemes - SGS) [Hartmann, S., Kolisch, R. (2000)]. Πρόκειται για τη δηµιουργία ενός µερικού χρονοπρογράµµατος της εκτέλεσης των δραστηριοτήτων ενός έργου (partial schedule) και τη σταδιακή επέκτασή του ώστε να προκύψει ένα εφικτό χρονοπρόγραµµα (feasible schedule), δηλαδή ένα χρονοπρόγραµµα που ικανοποιεί όλους τους περιορισµούς πόρων. Μερικό χρονοπρόγραµµα είναι εκείνο κατά το οποίο ένα υποσύνολο όλων των δραστηριοτήτων του έργου έχει δροµολογηθεί. Εµφανίζεται διάκριση µεταξύ των ακολουθιακών και των παράλληλων SGS. Ένα ακολουθιακό SGS περιλαµβάνει g = 1,.n στάδια, στο καθένα από τα οποία υπολογίζεται το υποσύνολο των δραστηριοτήτων που είναι υποψήφιες να επιλεγούν προς δροµολόγηση (το σύνολο επιλογής). Από το σύνολο επιλογής επιλέγεται µια δραστηριότητα η οποία και δροµολογείται. Το κριτήριο επιλογής είναι συνήθως ο νωρίτερος εφικτός χρόνος περάτωσης, χωρίς παράλληλα να παραβιάζονται οι εξαρτήσεις προήγησης και οι περιορισµοί των πόρων. Το σύνολο επιλογής εποµένως περιλαµβάνει εκείνες τις δραστηριότητες που οι προαπαιτούµενες τους έχουν ήδη δροµολογηθεί. Τα ακολουθιακά SGS δηµιουργούν ενεργά χρονοπρογράµµατα εκτέλεσης δραστηριοτήτων (εποµένως και εφικτά) τα οποία είναι βέλτιστα στην περίπτωση που δεν έχουµε περιορισµούς πόρων [Kolisch, R. (1996a)]. Τα ενεργά χρονοπρογράµµατα (active schedules) έχουν την εξής ιδιότητα: καµία δραστηριότητα δεν µπορεί να αρχίσει νωρίτερα χωρίς να καθυστερήσει κάποια άλλη [Sprecher, A., Kolisch, R. and Drexl, A. (1995)]. Σε προβλήµατα µε κανονικά µέτρα απόδοσης, όπως η ελαχιστοποίηση της χρονικής διάρκειας εκτέλεσης ενός έργου, η βέλτιστη λύση βρίσκεται µέσα από το σύνολο των ενεργών χρονοπρογραµµάτων. Παραλλαγή των ακολουθιακών SGS αποτελεί είναι η λίστα δροµολόγησης (list scheduling) [Hartmann, S., Kolisch, R. (2000)]. Οι δραστηριότητες του έργου ταξινοµούνται σε µια λίστα, µε τέτοιο τρόπο, ώστε κάθε δραστηριότητα να βρίσκεται µετά από όλες τις προαπαιτούµενές της. Σε ένα παράλληλο SGS κάθε επανάληψη-στάδιο g συνδέεται µε µια χρονική στιγµή δροµολόγησης t g και ένα σύνολο επιλέξιµων δραστηριοτήτων. Μια δραστηριότητα θεωρείται επιλέξιµη όταν η επιλογή της δεν παραβιάζει τις εξαρτήσεις προήγησης και τους περιορισµούς των πόρων. Οι δραστηριότητες επιλέγονται από το σύνολο επιλογής και ξεκινούν κατά τη χρονική στιγµή t g, µέχρι να µην υπάρχουν άλλες επιλέξιµες δραστηριότητες. Στη συνέχεια, το SGS προχωρεί στην επόµενη χρονική στιγµή δροµολόγησης, που είναι ο νωρίτερος χρόνος περάτωσης κάθε δραστηριότητας που είναι σε εξέλιξη. Τα παράλληλα SGS δηµιουργούν χρονοπρογράµµατα µη-καθυστέρησης (non-delay schedules), τα οποία είναι βέλτιστα στην περίπτωση που δεν έχουµε περιορισµούς πόρων [Kolisch, R. (1996a)]. Ως χρονοπρόγραµµα µη-καθυστέρησης θεωρείται εκείνο στο οποίο, ακόµη και αν επιτρέπεται η διακοπή της εργασίας που εκτελείται, για να αρχίσει µια άλλη και να συνεχιστεί αργότερα η αρχική (preemption), καµία δραστηριότητα δεν µπορεί να αρχίσει νωρίτερα χωρίς να καθυστερήσει κάποια άλλη [Sprecher, A., Kolisch, R. and Drexl, A. (1995)]. Το σύνολο των χρονοπρογραµµάτων µηκαθυστέρησης είναι ένα υποσύνολο των ενεργών χρονοπρογραµµάτων. Έχει όµως το µειονέκτηµα να µην περιέχει το βέλτιστο χρονοπρόγραµµα, για προβλήµατα µε κανονικά µέτρα απόδοσης. 3.2 ροµολόγηση µε βάση τους κανόνες-τιµές προτεραιότητας Η χρήση ακολουθιακών και παράλληλων SGS εφαρµόζεται σε ευρετικές µεθόδους που βασίζονται σε κανόνες προτεραιότητας. Ένας κανόνας προτεραιότητας αντιστοιχεί µια αξία-value (v j ) σε κάθε δραστηριότητα και δηλώνει εάν θα επιλεγεί η δραστηριότητα µε την µεγαλύτερη ή τη µικρότερη αξία. Στην περίπτωση που δυο ή περισσότερες δραστηριότητες έχουν την ίδια αξία συνήθως επιλέγεται η δραστηριότητα µε τον µικρότερο αύξοντα αριθµό. Στον Πίνακα 1 φαίνονται οι πιο γνωστοί κανόνεςκριτήρια απόδοσης προτεραιοτήτων [Kolisch, R. and Hartmann, S. (1999)]. 4

Οι ευρετικές µέθοδοι που βασίζονται σε κανόνες-τιµές προτεραιότητας συνδυάζουν τους κανόνες προτεραιότητας και τα SGS και καταλήγουν σε ένα ή περισσότερα εφικτά χρονοπρογράµµατα εκτέλεσης των δραστηριοτήτων ενός έργου. Αν η µέθοδος δηµιουργεί ένα εφικτό χρονοπρόγραµµα τότε ονοµάζεται Single Pass method, ενώ αν δηµιουργεί παραπάνω από ένα ονοµάζεται Multi Pass method. Ο Kolisch [Kolisch, R. (1995)] έδειξε ότι όταν έχουµε κανονικό µέτρο απόδοσης τα παράλληλα SGS είναι αποδοτικότερα από τα σειριακά SGS για τις Single Pass µεθόδους. Οι Ozdamar και Ulusoy [Ozdamar, L., and Ulusoy, G. (1996)] εισήγαγαν την Local Constrained Based Analysis (LCBA), µια µέθοδο που βασίζεται σε παράλληλα SGS και αποφασίζει, ελέγχοντας την εφικτότητα των περιορισµών των πόρων, για το ποιες δραστηριότητες θα επιλεγούν και ποιες θα πρέπει να καθυστερήσουν. Πίνακας 1: Κανόνες προτεραιότητας Κανόνας 5 Αναφορά από GRPW (greatest rank positional weight) [Alvarez Valdes, R. and Tamarit J.M. (1989). ] LFT (latest finish time) [Davis, E.W. and Patterson, J.H. (1975)] LST (latest start time) [Kolisch, R. (1995)] MSLK (minimum slack) [Davis, E.W. and Patterson, J.H. (1975)] MTS (most total successors) [Alvarez Valdes, R. and Tamarit J.M. (1989). ] RSM (resource scheduling method) [Shaffer, L., Ritter, J. and Meyer W. (1965)] SPT (shortest processing time) [Alvarez Valdes, R. and Tamarit J.M. (1989). ] WCS (worst case slack) [Kolisch, R. (1996b)] Στις µεθόδους Multi Pass υπάρχουν πολλές δυνατότητες να συνδυαστούν τα SGS και οι κανόνες προτεραιότητας. Οι πιο κοινές µέθοδοι είναι: Μέθοδοι κανόνων πολλαπλής προτεραιότητας (Multi priority rule methods) Χρησιµοποιούν ένα SGS πολλές φορές και κάθε φορά χρησιµοποιείται και διαφορετικός κανόνας προτεραιότητας [Thomas, P. and Salhi S. (1997)] Μέθοδοι µε δροµολόγησης µε κατεύθυνση προς τα εµπρός και προς τα πίσω (Forward Backward Scheduling Methods) Χρησιµοποιούν ένα SGS ώστε να δηµιουργήσουν ένα χρονοπρόγραµµα εναλλάσσοντας µεταξύ τους την προς τα εµπρός και την προς τα πίσω διαπέραση του δένδρου που αναπαριστά τις εξαρτήσεις προήγησης των δραστηριοτήτων (precedence tree) [Li, R.-Y. and Willis J. (1992)]. ειγµατοληπτικές µέθοδοι (Sampling Methods) Χρησιµοποιούν µία µέθοδο SGS και ένα κανόνα προτεραιότητας. Τα διαφορετικά προγράµµατα λαµβάνονται µε την τυχαία επιλογή ενός κανόνα προτεραιότητας Αντί για την αξία (v j ) υπολογίζεται η πιθανότητα επιλογής µιας δραστηριότητας (p j ) από το σύνολο επιλογής Dg. Αναλόγως µε το πως υπολογίζονται οι πιθανότητες επιλογής, οι σχετικές τεχνικές διακρίνονται σε µεθόδους τυχαίας δειγµατοληψίας (Random Sampling - RS), όταν ορίζονται όλες οι δραστηριότητες του συνόλου ως ισοπίθανες (p j = 1 Dg ), και σε µεθόδους τυχαίας δειγµατοληψίας µε µεροληψία (Biased Random Sampling - BRS), όταν χρησιµοποιούνται οι αξίες των δραστηριοτήτων για τον υπολογισµό των πιθανοτήτων επιλογής [Kolisch, R. (1996a)]. Στη δεύτερη περίπτωση, ο κανόνας προτεραιότητας επιλέγει τη δραστηριότητα µε την µεγαλύτερη αξία και η πιθανότητα επιλογής µιας δραστηριότητας είναι ίση µε p j = v j ( i Dg vi ). Οι Schirmer and Riesenberg [Schirmer, A. and Riesenberg, S (1997)] προτείνουν την κανονικοποιηµένη παραλλαγή της µεθόδου (Normalized Biased Random Sampling - NBRS), η οποία εξασφαλίζει το ότι η πιθανότητα επιλογής της δραστηριότητας µε τη µικρότερη (µεγαλύτερη) αξία είναι η ίδια όταν αναζητούµε τη δραστηριότητα µε τη µεγαλύτερη (µικρότερη) αξία. Τέλος, έχει προταθεί µια παραλλαγή της µεθόδου που υπολογίζει το κόστος των αποτυχηµένων ευκαιριών σε επιλογές δραστηριοτήτων (Regret Biased Random Sampling RBRS) [Drexl, A. (1991)].

Η τεχνική χρησιµοποιεί έµµεσα την αξία κάθε δραστηριότητας µέσω του κόστους µιας χαµένης ευκαιρίας-επιλογής. Αν και πάλι σκοπός του κανόνα προτεραιότητας είναι να επιλεγεί η δραστηριότητα µε την µεγαλύτερη αξία, το κόστος r j µιας χαµένης ευκαιρίας-επιλογής είναι η απόλυτη διαφορά µεταξύ της αξίας της δραστηριότητας και της µικρότερης αξίας των δραστηριοτήτων του συνόλου D g, δηλαδή, r = v min v. Πριν από τον υπολογισµό των j r' j = r j + ε. Προσθέτοντας την σταθερά ε > 0 εξασφαλίζουµε ότι η πιθανότητα για κάθε δραστηριότητα θα είναι µεγαλύτερη του 0 και εποµένως κάθε χρονοπρόγραµµα του πληθυσµού µπορεί να δηµιουργηθεί. Με την επιλογή της παραµέτρου α ελέγχεται η ποσότητα της «προκατάληψης». Υψηλό α δεν θα προκαλέσει καµία προκατάληψη και εποµένως ακριβή επιλογή δραστηριότητας, ενώ ένα α κοντά στο 0 θα προκαλέσει τη µέγιστη προκατάληψη και ως εκ τούτου τυχαία επιλογή δραστηριότητας. Ο Kolisch [Kolisch, R. (1995)] έδειξε ότι µπορούµε να επιτύχουµε καλύτερα αποτελέσµατα όταν ε = α = 1. Ο Drexl [Drexl, A. (1991)] χρησιµοποίησε ε = min i Dg vi. Οι Schirmer και Riesenberg [Schirmer, A. and Riesenberg, S (1997)] πρότειναν µια τροποποίηση της µεθόδου, την τεχνική Modified Regret Biased Random Sampling (MRBRS), στην οποία το ε καθορίζεται δυναµικά. Πειραµατικές συγκρίσεις [Kolisch, R. (1995)], Schirmer, A. and Riesenberg, S (1997)] απέδειξαν ότι η MRBRS αποτελεί την πιο αποδοτική διαδικασία. j 6 i Dg πιθανοτήτων, το κόστος χαµένης ευκαιρίας µπορεί να τροποποιηθεί σε ( ) α 3.3 Ευρετικές Μέθοδοι µε βάση τεχνικές διακλάδωσης και φράγµατος Μια τεχνική διακλάδωσης και φράγµατος εφαρµόζει depth-first, jump-trucking branch and bound search στο δένδρο των εξαρτήσεων προήγησης των δραστηριοτήτων [Pollack Johnson, B. (1995)]. Αντί για τη δροµολόγηση της δραστηριότητας µε τη µεγαλύτερη αξία προτεραιότητας, σε ορισµένες περιπτώσεις, το δένδρο της λύσης του προβλήµατος διακλαδίζεται έτσι ώστε ένας κλάδος να αναπτύσσει αναζητώντας πρώτα σε βάθος (depth-first) τη δραστηριότητα µε την πιο υψηλή αξία προτεραιότητας και ο άλλος κλάδος αναπτύσσει τη δραστηριότητα µε την δεύτερη πιο υψηλή αξία προτεραιότητας, η οποία και δροµολογείται αµέσως µετά. Αν εξεταστούν όλες οι προς επιλογή δραστηριότητες, πραγµατοποιείται επιστροφή στο προηγούµενο επίπεδο του δένδρου (jump-trucking), Το µειονέκτηµά της µεθόδου είναι ότι, εξ αιτίας της χρησιµοποίησης του παράλληλου SGS, η βέλτιστη λύση πιθανώς να αποκλειστεί από την αναζήτηση. Ο Sprecher [Sprecher, A. (1996)] χρησιµοποιεί µια ανάλογη ευρετική διαδικασία θέτωντας όµως χρονικά όρια. Η διαδικασία της δροµολόγησης κατευθύνεται από το δένδρο εξαρτήσεων προήγησης των δραστηριοτήτων, το οποίο ουσιαστικά περιλαµβάνει τις δραστηριότητες του συνόλου απόφασης του σειριακού SGS. Προκειµένου να ληφθούν οι καλές λύσεις νωρίς στη διαδικασία αναζήτησης (µέσα στα χρονικά πλαίσια), εφαρµόζονται κανόνες προτεραιότητας για να επιλεγούν, ώστε να διακλαδιστούν πρώτα, οι επιλέξιµες δραστηριότητες από το σύνολο απόφασης. 3.4 Μέθοδοι διαζευκτικών τόξων (Disjunctive arc based methods) Η βασική ιδέα των µεθόδων αυτών είναι η επέκταση των σχέσεων προήγησης (το σύνολο των συζευκτικών τόξων - conjunctive arcs) προσθέτοντας διαζευκτικά βέλη (disjunctive arcs) [Kolisch, R. and Hartmann, S. (1999)]. Ο στόχος είναι να εξαλειφτούν τα «απαγορευµένα» σύνολα δραστηριοτήτων, δηλαδή τα σύνολα των ανεξάρτητων δραστηριοτήτων οι οποίες δεν µπορούν να δροµολογηθούν ταυτόχρονα λόγω περιορισµένων πόρων. Έτσι προκύπτει το συντοµότερο εφικτό χρονοπρόγραµµα και από την άποψη περιορισµών πόρων και από την άποψη των σχέσεων προήγησης. Οι Shaffer, Ritter και Meyer [Shaffer, L., Ritter, J. and Meyer W. (1965)] περιορίζονται µόνο στις δραστηριότητες που εκτελούνται ταυτόχρονα στο χρονοπρόγραµµα που εµφανίζει τη νωρίτερη περάτωση. Εισάγοντας εκείνο το βέλος που προκαλεί τη µικρότερη αύξηση στον ελάχιστο χρόνο λήξης, αυτός υπολογίζεται ξανά. Ο αλγόριθµος τελειώνει µόλις βρεθεί ένα εφικτό χρονοπρόγραµµα. Αυτή η προσέγγιση µπορεί να µετατραπεί σε µια single pass µέθοδο που βασίζεται σε παράλληλο SGS [Kolisch, R. and Hartmann, S. (1999)]. Οι Bell και Han [Bell, C., and Han J. (1991)] παρουσιάζουν έναν αλγόριθµο δύο φάσεων. Η πρώτη φάση είναι παρόµοια µε την προσέγγιση των Shaffer, Ritter και Meyer. Στη δεύτερη φάση γίνεται προσπάθεια να βελτιωθεί η εφικτή λύση της πρώτης φάσης. Αυτό γίνεται ως ακολούθως: αφού καταργηθούν τα περιττά βέλη, κάθε διαζευκτικό i

βέλος που είναι µέρος της κρίσιµης διαδροµής ακυρώνεται προσωρινά και εφαρµόζεται ξανά η πρώτη φάση. 3.5 Ευρετικές µέθοδοι βασισµένες στον ακέραιο προγραµµατισµό Οι ευρετικές που βασίζονται στο ακέραιο προγραµµατισµό χρησιµοποιήθηκαν από τους Oguz και Bala [Oguz, O., and Bala, H. (1994)]. Η µέθοδος τους χρησιµοποιεί τη δοµή του ακέραιου προγραµµατισµού που προτείνεται στην εργασία [Pritsker, A., Watters, L. and Wolfe P. (1969)]. Ο ορίζοντας του χρονοπρογραµµατισµού διαιρείται σε Τ περιόδους ίσης διάρκειας, όπου οι χρόνοι επεξεργασίας των εργασιών πρέπει να είναι πολλαπλάσιοι της µιας περιόδου. Η δυαδική µεταβλητή απόφασης τίθεται ίση µε τη µονάδα όταν η δραστηριότητα j έχει τελειώσει µε το πέρασµα της αντίστοιχης περιόδου. Οι Mausser και Lawrence [Mausser, H. and Lawrence, S. (1995)] χρησιµοποιούν τµηµατικές δοµές για να βελτιώσουν τη διάρκεια ενός έργου. Ξεκινούν δηµιουργώντας µια εφικτή λύση και χρησιµοποιώντας το παράλληλο SGS. Ακολούθως, βρίσκουν τµήµατα τα οποία αποτελούν γειτονικά χρονικά διαστήµατα που περιέχουν όλες τις δραστηριότητες που εκτελούνται τότε. Κάθε τµήµα µπορεί να θεωρηθεί ανεξάρτητο από τα άλλα. Ουσιαστικά, η µέθοδος σχεδιάζει ξανά κάθε τµήµα µε σκοπό να ελαττώσει τη συνολική διάρκεια του έργου. 4. Κατάταξη Με βάση τα προηγούµενα µπορούµε να προχωρήσουµε σε ταξινόµηση των αλγορίθµων µε βάση τον τύπο προβλήµατος που αντιµετωπίζει κάθε αλγόριθµος και την τεχνική µε την οποία αναπτύχθηκε. Πίνακας 2: Κατάταξη Τεχνικών Πρόβληµα Στόχος Βέλτιστες προσεγγίσεις Ευρετικές προσεγγίσεις SMRCPSP SMRCPSP MMRCPSP Ελαχιστοποίηση διάρκειας Μεγιστοποίηση της καθαρής παρούσας αξίας Ελαχιστοποίηση διάρκειας Dynamic programming Zero - one programming Implicit enumeration with branch and bound Binary integer programming Dynamic programming Zero - one programming, backtracking algorithm Branch and bound algorithm Branch and bound algorithm 7 Priority-rule-based scheduling Truncated branch and bound Disjunctive arc concepts Meta-heuristic techniques Integer programming based heuristics Optimization-guided Parameter based Meta-heuristics approaches Priority-rule-based scheduling Simulated annealing Genetic algorithms Ανεξάρτητα από το στόχο που επιδιώκουµε στα SMRCPSP παρατηρούµε ότι οι µέθοδοι που βασίζονται σε τεχνικές γραµµικού και ακέραιου προγραµµατισµού είναι οι επικρατούσες όσον αφορά στις βέλτιστες προσεγγίσεις. Αυτό είναι µάλλον φυσιολογικό, υπό την έννοια ότι αποτελούν τεχνικές ευρύτατα διαδεδοµένες εδώ και πολλές δεκαετίες. Ευρύτατα διαδεδοµένη και µε εφαρµογή σχεδόν σε

κάθε τύπο προβλήµατος είναι η τεχνική διακλάδωσης και φράγµατος. Χρησιµοποιείται ανεξάρτητα από το αν επιθυµούµε τη βελτιστοποίηση της διάρκειας ή της καθαράς παρούσας αξίας στο SMRCPSP και µε διάφορες τροποποιήσεις αποτελεί ισχυρό εργαλείο και για τις ευρετικές προσεγγίσεις. 5. Συµπεράσµατα Στη βιβλιογραφία εµφανίζονται ειδικά την τελευταία δεκαετία πολλά άρθρα στα οποία γίνεται υπολογιστική σύγκριση των διάφορων προτεινόµενων αλγορίθµων. εδοµένης της αδυναµίας χρήσης (για λόγους χρονικού κόστους) αναλυτικών βέλτιστων µεθόδων, έµφαση δίνεται στην εφαρµογή ευρετικών µεθόδων. Πάρα πολλά έχουν γραφεί κυρίως για τους αλγορίθµους που στηρίζονται σε κανόνες προτεραιότητας. Για αλγορίθµους τέτοιου τύπου πειραµατικές συγκρίσεις [Kolisch, R. (1995), Schirmer, A. and Riesenberg, S (1997)] δείχνουν την τροποποιηµένη regret biased random sampling ως την καλύτερη διαδικασία για τους αλγορίθµους αυτούς. Συνολικά όµως τα υπολογιστικά παραδείγµατα αναφέρουν ότι, η ποιότητα των λύσεων που προκύπτουν µε τη χρήση ευρετικών που βασίζονται σε κανόνες προτεραιότητας δεν είναι ικανοποιητικές. Αντίθετα οι ευρετικοί αλγόριθµοι που βασίζονται σε τεχνικές διακλάδωσης και φράγµατος παρουσιάζουν µια δυνητική υπεροχή έναντι των αλγορίθµων που στηρίζονται στους κανόνες προτεραιότητας. Αν και το µειονέκτηµά της µεθόδου είναι ότι εξ αιτίας της χρησιµοποίησης του παράλληλου SGS η βέλτιστη λύση είναι πιθανό να αποκλειστεί από την αναζήτηση, παρ όλα αυτά οι λύσεις που δίνουν δείχνουν να είναι κοντά στη βέλτιστη. Η χρήση δε του παράλληλου SGS, έχει το πλεονέκτηµα οι λύσεις να δίνονται σε σχετικά γρήγορο χρόνο, ακόµα και για προβλήµατα µεγάλου µεγέθους. Αναφορές Ahn, T. and Erenguc, S.S (1998). The Resource constrained project scheduling problem with multiple crashable modes: A heuristic procedure. European Journal of Operational Research 107, 250-259. Alvarez Valdes, R. and Tamarit J.M. (1989). Heuristic algorithms for resource constrained project scheduling: A review and an empirical analysis, In Slowinski R., Weglarz J. (Eds.), Advances in Project Scheduling, Elsevier Press, Amsterdam, 113 134. Anagnostopoulos, K.P. and Kotsikas L. (2002). Time-cost trade off in CPM networks by simulated annealing, Operational Research. An International Journal 1(3), 315-329. Bell, C., and Han J. (1991). A new heuristic solution method in resource constrained project scheduling. Naval Research Logistics, 38, 315 331. Bey, R.B., Doersch, R.H., and Patterson, J.H. (1981). The net present value criterion: Its impact on project scheduling. Project management Quarterly 12(2), 35-45. Botcher, J., Drexl, A., Kolisch, R. and Salewski, F. (1996). Project scheduling under partially renewable resource constraints. Technical report, Manuskrausipte den Instituten für Betriebswirtschaftslehre der Universität Kiel, No. 398. Davis, E.W. and Patterson, J.H. (1975). A comparison of heuristic and optimum solutions in resourceconstrained project scheduling. Management Science 21, 944-955. Drexl, A. (1991). Scheduling of project networks by job assignment. Management Science 37, 1590 1602. Hartmann, S. (1998). A competitive genetic algorithm for resource-constrained project scheduling. Techical Report 45, Manuskripte aus den Instituten f ur Betriebswirtschaftslehre der Universit at Kiel. Naval Research Logistics, 45 (7), 733-750 Hartmann, S., Kolisch, R. (2000). Experimental evaluation of state-of-the-art heuristics for the resource-constrained project scheduling problem. European Journal of Operational Research 127, 394-407. Herroelen, W., Reyck, B.D. and Demeulemeester, E. (1998). Resource-constrained project scheduling: a survey of recent developments, Computers & Operations. Research 25(4), 279-302. Kolisch, R. (1995). Project scheduling under resource constraints-efficient heuristics for several problem classes. Physica, Heidelberg. Kolisch, R. (1996a). Serial and parallel resource-constrained project scheduling methods revisited: Theory and computation. European Journal of Operational Research 90, 320-333. 8

Kolisch, R. (1996b). Efficient priority rules for the resource constrained project scheduling problem. Journal of Operations Management 14, 179-192. Kolisch, R. and Hartmann, S. (1999). Heuristic Algorithms for Solving the Resource-Constrained Project Scheduling Problem: Classification and Computational Analysis. In Project scheduling: Recent models, algorithms and applications, Weglarz (ed.), Kluwer, Amsterdam, 147-178. Kolisch, R., Padman, R. (1997). An integrated survey of project scheduling. Manuskripte aus den Instituten für Betriebswirtschaftslehre der Universität Kiel, No. 463. Li, R.-Y. and Willis J. (1992). An iterative scheduling technique for resource constrained project scheduling. European Journal of Operational Research 56, 370 379. Mausser, H. and Lawrence, S. (1995). Exploiting block structure to improve resource constrained project schedules. Metaheuristics: State of the Art, F. Glover, I. Osman, and J. Kelley (editors), Kluwer, Maryland, 1995. Oguz, O., and Bala, H. (1994). A comparative study of computational procedures for the resource constrained project scheduling problem. European Journal of Operational Research 72, 406 416. Ozdamar, L., and Ulusoy, G. (1996). An iterative local constraint based analysis for solving the resource constrained project scheduling problem. Journal of Operations Management 14, 3, 193 208. Pollack Johnson, B. (1995). Hybrid structures and improving forecasting and scheduling in project management. Journal of Operations Management 12, 101 117. Pritsker, A., Watters, L. and Wolfe P. (1969). Multi-project scheduling with limited resources: a zero one programming approach. Management Science 16, 93 107. Salewski, F., Schirmer, A., and Drexl, A. (1997). Project scheduling under resource and mode identity constraints: model, complexity, methods and application. European Journal of Operations Research 102, 88-110. Schirmer, A. (1996). New Insights on the Complexity of Resource-Constrained Project Scheduling - Two Cases of Multi-Mode Scheduling. Manuskripte aus den Instituten für Betriebswirtschaftslehre der Universität Kiel. Schirmer, A. and Riesenberg, S (1997). Parameterized heuristics for project scheduling - Biased random sampling methods. Manuskripte aus den Instituten für Betriebswirtschaftslehre der Universität Kiel, No. 456. Shaffer, L., Ritter, J. and Meyer W. (1965). The critical path method. McGraw Hill, New York. Sprecher, A. (1996). Solving the RCPSP efficiently at modest memory requirements. Manuskripte aus den Instituten für Betriebswirtschaftslehre der Universität Kiel, No. 426. Sprecher, A., Kolisch, R. and Drexl, A. (1995). Semi-active, active and non-delay schedules for the resource constrained project scheduling problem. European Journal of Operational Research 80, 94-102. Talbot, F.B. (1982). Resource-constrained project scheduling with time-resource tradeoffs: the nonpreemptive case. Management Science, 28 (10), 1197-1210. Thomas, P. and Salhi S. (1997). An investigation into the relationship of heuristic performance with network resource characteristics. Journal of the Operational Research Society 48, 1, 34 43. Yang, B., Geunes, J. and O Brien, W.J. (2001). Resource-constrained project scheduling: past work and new directions. Research report, Department of Industrial and Systems Engineering, University of Florida. 9