1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου ΣΧΛΙ 1. Κυκλικό τµήµα Κυκλικό τµήµα λέγεται η περιοχή του κυκλικού δίσκου που περικλείεται µεταξύ ενός τόξου και της αντίστοιχης χορδής. Στο διπλανό σχήµα ένα κυκλικό τµήµα είναι η γκρίζα περιοχή και ένα άλλο είναι η λευκή περιοχή. Το εµβαδόν του γκρίζου κυκλικού τµήµατος το βρίσκουµε αν από το εµβαδόν του τοµέα αφαιρέσουµε το εµβαδόν του τριγώνου. Το εµβαδόν του λευκού κυκλικού τµήµατος το βρίσκουµε αν από το εµβαδόν του κυκλικού δίσκου αφαιρέσουµε το εµβαδόν του γκρίζου κυκλικού τµήµατος.. Εµβαδόν περιοχής όχι συγκεκριµένης µορφής ναλύω την περιοχή σε άθροισµα ή διαφορά άλλων περιοχών προσδιορίσιµου εµβαδού
ΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ένας κύκλος έχει εµβαδόν Ε = 1519,76 cm. Να υπολογίσετε το εµβαδόν ενός κυκλικού τοµέα του παραπάνω κύκλου γωνίας 7 ο Να υπολογίσετε το µήκος του τόξου του τοµέα Ε κύκλου = πρ άρα πρ = 1519,76 Ε κ. τ = πρ µ = 1519,76 7 = 303,95 cm φού πρ = 1519,76, είναι ρ = 1519,76 = 484 οπότε ρ = 484 = cm 3,14 l τόξου = πρ µ 7 = 3,14 = 7,63 cm.. Το µήκος lενός τόξου 30 ο είναι l = π 3. Nα υπολογίσετε Το εµβαδόν του κύκλου στον οποίο ανήκει το τόξο Το µήκος του παραπάνω κύκλου γ) Το εµβαδόν του τοµέα που αντιστοιχεί στο τόξο l τόξου = πρ µ άρα π 30 = πρ 3 Ε κύκλου = πρ = 3,14 4 = 50,4 L κύκλου = πρ = 3,14 4 = 5,1 γ) Ε κ.τ = πρ µ 30 = 50,4 = 4,18 περίπου από όπου ρ = 4
3 3. Ένας κυκλικός τοµέας έχει εµβαδόν ίσο µε το 1 του εµβαδού του κύκλου στον 10 οποίο ανήκει. Να υπολογίσετε Την γωνία του τοµέα Να βρείτε τον λόγο του µήκους του κύκλου προς το µήκος του τόξου του τοµέα Ε κ.τ = 1 10 Ε κύκλου άρα πρ µ = 1 10 πρ L l κύκλου τόξου πρ = µ πρ µ = 1 10 µ = 36 ο = 36 = 10 4. Ένας κυκλικός τοµέας γωνίας 10 ο ενός κύκλου ακτίνας ρ έχει εµβαδόν 84,78 cm Να υπολογίσετε Την ακτίνα του κύκλου Το µήκος του τόξου του τοµέα Ε κ.τ = πρ µ οπότε 84,78 = 10 3,14ρ απ όπου ρ = 81 άρα ρ = 9 cm l τόξου = πρ µ 10 = 3,14 9 = 18,84 cm
4 5. Στο διπλανό σχήµα να υπολογίσετε Το εµβαδόν του κυκλικού τοµέα Το εµβαδόν του τριγώνου γ) Το γραµµοσκιασµένο κυκλικό τµήµα Ε κ.τ = πρ µ = 60 3,14 1 = 75,36 1 60 ο Επειδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές µε = και = 60 ο θα είναι και κάθε µία από τις προσκείµενες στην βάση του γωνίες 60 ο. Συνεπώς το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. Φέρνοντας το ύψος ως γνωστό αυτό είναι και διάµεσος, εποµένως = 6. πό το Πυθαγόρειο θεώρηµα έχουµε ότι = = = 1 6 = = 144 36 = 108 Σχόλιο 1 οπότε = 108 10,39 Εποµένως το εµβαδόν του τριγώνου είναι () = = 1 10,39 = = 6,34 γ) Το εµβαδόν του κυκλικού τµήµατος είναι ίσο µε Ε κ.τµηµ.= Ε κ.τ () = = 75,36 6,34 = = 13,0
5 6. Στο διπλανό σχήµα, οι ακτίνες των κύκλων είναι ρ 1 = 1cm και ρ = 6 cm. Να υπολογίσετε το εµβαδόν και την περίµετρο της γραµµοσκιασµένης περιοχής. Το ζητούµενο εµβαδόν προκύπτει αν από το εµβαδόν του κυκλικού τοµέα αφαιρέσουµε το εµβαδόν του κυκλικού τοµέα. Ε κ τ. = πρ µ = 3,14 1 60 = 75,36 cm Ε κ τ. = πρ µ = 3,14 6 60 = 18,84 cm Ε ζ = 75,36 18,84 = 56,5 cm Η περίµετρος της ζητούµενης περιοχής είναι ίση µε το άθροισµα των µηκών των δύο τόξων και και το άθροισµα των µηκών των δύο ευθυγράµµων τµηµάτων και. l τόξου = πρ µ 60 = 3,14 6 = 6,8 cm l τόξου = 3,14 1 60 = 1,56 cm = = 1 6 = 6 cm Η ζητούµενη περίµετρος είναι Π = 6,8 + 1,56 + 6 = 30,84 cm 60 ο Σχόλιο 7. Το διπλανό τετράγωνο έχει πλευρά 5 cm. Να βρείτε το εµβαδόν της γκρίζας περιοχής Κ Το ζητούµενο εµβαδόν θα προκύψει αν από το εµβαδόν του τετραγώνου αφαιρέσουµε το άθροισµα των εµβαδών των δύο τεταρτοκυκλίων. Ε τετρ.= (5 ) = 50cm Η ακτίνα των τεταρτοκυκλίων είναι ίση µε το µισό της διαγωνίου του τετραγώνου πό το Πυθαγόρειο θεώρηµα έχουµε = + = (5 ) + (5 ) = 100 άρα = 100 = 10 cm Εποµένως ρ = 5cm και το εµβαδόν του κάθε τεταρτοκύκλιου είναι Ε = πρ µ = 3,14 5 90 = 19,65 cm οπότε Ε ζ = 50 19,65= 10,75 cm
6 8. Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο πλευράς α = 6 cm. Με κέντρα τις κορυφές και και ακτίνα 3cm γράφουµε τα τόξα Ε και που φαίνονται στο σχήµα. Να βρείτε την περίµετρο και το εµβαδόν της γκρίζας περιοχής. Η ζητούµενη περίµετρος είναι ίση µε Π = Ε + l τόξου Ε + l τόξου + Ε = = 3 cm και l τόξου Ε = l τόξου = 3,14 3 60 = 3,14 cm Εποµένως Π = 3 + 3,14 = 6 + 6,8 = 1,8 cm Το ζητούµενο εµβαδόν προκύπτει αν από το εµβαδόν του ισοπλεύρου τριγώνου αφαιρέσουµε το άθροισµα των εµβαδών των δύο κυκλικών τοµέων Όπως και στην άσκηση (5) βρίσκουµε ότι το εµβαδόν του ισοπλεύρου τριγώνου είναι ίσο µε Ε = 15,57 cm και το εµβαδόν του κάθε τοµέα Ε κ.τ = 3,14 3 60 = 4,71 cm Εποµένως Ε ζητ. = 15,57 4,71 = 6,15 cm Ε 9. Στο διπλανό σχήµα να υπολογίσετε Το µήκος του τόξου Το εµβαδόν του κυκλικού τοµέα γ) Το εµβαδόν του τριγώνου δ) Το εµβαδόν του κυκλικού τµήµατος Είναι = 90 ο ως αντίστοιχη επίκεντρη της εγγεγραµµένης των 45 ο εποµένως το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. πό το Πυθαγόρειο θεώρηµα έχουµε ότι + = άρα ρ + ρ = 5 ρ = 5 ρ = 1,5 συνεπώς ρ = 1,5 3,5cm l τόξου = 3,14 3,5 90 = 5,495 cm Ε κ.τ = 3,14 1,5 90 = 9,815 cm γ) ρ () = = = 1,5 = 6,5 cm δ) Ε κυκλ. τµ = Ε κ.τ () = 9,815 6,5 = 3,565 cm
7 10. Στο διπλανό σχήµα η είναι διάµετρος, = 5 cm και = 1 cm. Να υπολογίσετε Την ακτίνα του κύκλου Το εµβαδόν του κύκλου γ) Το εµβαδόν της περιοχής µεταξύ κύκλου και τριγώνου Επειδή η είναι διάµετρος, η γωνία = 90 ο (εγγεγραµµένη σε ηµικύκλιο) πό το Πυθαγόρειο θεώρηµα έχουµε = + = = 1 + 5 = = 169 άρα = 169 = 13 cm εποµένως ρ = 6,5 cm Ε κύκλου = 3,14 6,5 = 13,665 cm γ) Ε τριγώνου = = 1 5 = 30 cm Ε ζητ. = Ε κύκλου Ε τριγώνου = 10,665cm. 11. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο είναι ισόπλευρο µε πλευρά α = 6cm. Τα τόξα, και Ε Ε είναι τόξα των κύκλων που γράφονται µε κέντρα, και αντίστοιχα και ακτίνα ρ = α = 6 cm Να βρεθεί η περίµετρος και το εµβαδόν του καµπυλόγραµµου τριγώνου Ε φού το τρίγωνο είναι ισόπλευρο κάθε µία από τις γωνίες του είναι 60 ο Η περίµετρος του καµπυλογράµµου τριγώνου ισούται µε το άθροισµα των µηκών των τριών ίσων τόξων, και Ε των οποίων η γωνία είναι 60 ο και η ακτίνα των κύκλων στους οποίους βρίσκονται είναι α = 6cm. Το µήκος κάθε τόξου είναι l = 3,14 6 60 = 6,8 εποµένως η ζητούµενη περίµετρος είναι ίση µε Π = 3 6,8 = 18,84cm Το ζητούµενο εµβαδόν είναι ίσο µε το άθροισµα των εµβαδών του τριγώνου και των τριών ίσων κυκλικών τµηµάτων, και Ε. Το εµβαδόν κάθε κυκλικού τµήµατος προκύπτει αν από το εµβαδόν του αντίστοιχου κυκλικού τοµέα αν αφαιρέσουµε το εµβαδόν του τριγώνου. Ε κ.τ. = 3,14 6 60 = 18,84 cm και Το εµβαδόν του τριγώνου, όπως είδαµε στην άσκηση 8, είναι () = 15, 57 cm Εποµένως το εµβαδό κάθε κυκλικού τµήµατος είναι Ε κ. τµηµ. = 18,84 15,57 = 3,7 cm. Το εµβαδόν του καµπυλόγραµµου τριγώνου είναι ίσο µε
8 Ε = () + 3Ε κ. τµηµ. = 15,57 + 3 3,7 = 5,38 cm 1. Στο διπλανό σχήµα είναι = 140 ο, Ε = 84 ο και = 10cm. Να βρείτε Το µήκος του τόξου Το εµβαδόν του κυκλικού τοµέα Ε = ο 140 ο 84 ο = 136 ο l τόξου = 3,14 10 136 3,7 cm Η γωνία του τοµέα είναι ο 136 ο = 4 ο πότε Ε κ.τ =3,14 10 4 195,38 cm Ε 13. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο είναι ισόπλευρο µε πλευρά α = 6cm. Με κέντρα τις κορυφές του τριγώνου και ακτίνα ρ = 3cm γράφουµε στο εσωτερικό του τριγώνου τα τόξα Ε, και Ε. Να βρείτε την περίµετρο και το εµβαδόν του καµπυλόγραµµου τριγώνου Ε Ε. Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο άρα κάθε γωνία του είναι 60 ο Η περίµετρος του καµπυλόγραµµου τριγώνου είναι ίση µε το άθροισµα των µηκών των τριών ίσων τόξων Ε, και Ε. Κάθε ένα από αυτά έχει γωνία 60 ο και βρίσκεται σε τοµέα ακτίνας ρ = 3cm. Το µήκος κάθε τόξου είναι l τόξου = = 3,14 3 60 = 3,14 cm Συνεπώς η ζητούµενη περίµετρος είναι Π = 3 3,14 = 9,4 cm Το ζητούµενο εµβαδόν είναι ίσο µε το εµβαδόν του τριγώνου µείον το άθροισµα των εµβαδών των τριών ίσων κυκλικών τοµέων. Όµως, όπως είδαµε στην άσκηση 11, () = 15,57 cm και το εµβαδό του κάθε τοµέα είναι Ε κ.τ. = 3,14 3 60 = 4,71 cm. Άρα Ε ζ = 15,57 3 4,71= 1,44 cm
9 14. Στο διπλανό σχήµα, το τετράπλευρο είναι τετράγωνο µε πλευρά α = 10 cm. Με κέντρο το και ακτίνα ρ = 5 cm, στο εσωτερικό του τετραγώνου, γράφουµε το τεταρτοκύκλιο ΕΗ. Να βρείτε τον λόγο του εµβαδού του τεταρτοκυκλίου προς το εµβαδόν του τετραγώνου. Να βρείτε το εµβαδόν της γκρίζας περιοχής Ε τετραγώνου = 10 = 100 cm, Ε τεταρτ. = 3,14 5 90 = 19,65 cm Ετεταρτ = 19,65 Ε 100 = 0,1965 Σχόλιο τετραγ Ε Η Το εµβαδόν της ζητούµενης περιοχής προκύπτει αν από το µισό του εµβαδού του τετραγώνου αφαιρέσουµε το εµβαδόν του τεταρτοκύκλιου έτσι Ε ζ = 50 19,65 = 30,375 cm 15. Η Στο διπλανό σχήµα το τετράπλευρο είναι τετράγωνο µε πλευρά α = 10 cm. Λ Με κέντρα τα και και ακτίνα ρ = 5 cm, στο εσωτερικό Ε Θ του τετραγώνου, γράφουµε τα τεταρτοκύκλια ΕΗ, ΗΛΘ και µε διάµετρο ΕΘ το ηµικύκλιο ΕΚΘ. Να βρείτε την περίµετρο και το εµβαδόν της γκρίζας περιοχής Κ Η ζητούµενη περίµετρος είναι ίση µε το άθροισµα των µηκών των δύο τεταρτοκυκλίων και του ηµικυκλίου. Επειδή τα εν λόγω τόξα είναι σε κύκλους µε την ίδια ακτίνα ρ = 5 το παραπάνω άθροισµα είναι ίσο µε το µήκος του κύκλου ακτίνας ρ = 5. Άρα Π = 3,14 5= 31,4 cm Το ζητούµενο εµβαδόν θα προκύψει αν από το µισό του εµβαδού του τετραγώνου αφαιρέσουµε τα δύο τεταρτοκύκλια και προσθέσουµε το ηµικύκλιο υτό το αποτέλεσµα όπως είναι φανερό είναι ίσο µε το µισό του εµβαδού του α τετραγώνου. πότε Ε ζ = = 50cm. Σχόλιο