ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΤΟΥ ΚΑΙ ΤΕΤΑΡΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Έρευνα Παρουσίαση Μπάμπης Δημητριάδης Μαθηματικός Κέρκυρα 01 1
ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Πρωτεργάτες για τη μελέτη και τη λύση εξισώσεων ανωτέρου βαθμού είναι μεταξύ άλλων, κυρίως οι εξής: 1. Scipione dal Ferro Μπολόνια 1465 Μπολόνια 156 Καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Μπολόνια για πολλά χρόνια, βρήκε πρώτος τη λύση της εξίσωσης ου βαθμού p q ή p q x x x x
Οι σχετικές εργασίες ήταν γνωστές μόνο σε λίγους μαθητές του ή συγγενείς του και δημοσιεύτηκαν πολύ αργότερα.. Niccolo Fontana ή Tartaglia Μπρέσια 1500 Βενετία 1557 Βρήκε τη λύση της εξίσωσης ου βαθμού ανεξάρτητα από τον dal Ferro και την εμπιστεύθηκε στον Cardano με τον όρο να μην την κάνει γνωστή. Έκανε πολλές εργασίες και στη γεωδαισία, τη ηβλητική κ.λ.π.
. Gerolamo Cardano. Παβία 1501 Ρώμη 1576 Σπούδασε σε Πανεπιστήμια της Β. Ιταλίας, από όπου και πήρε δίπλωμα Ιατρικής. Δίδαξε σε Πανεπιστήμια της περιοχής, κυρίως Ιατρική. Σ` αυτόν οφείλεται η δημοσίευση του τύπου: q q p q q p x 4 7 4 7 ο λεγόμενος τύπος του Cardano ή πιο σωστά τύπος των Tartaglia Cardano 4
4. Ludovico Ferrari Μπολόνια 15 Μπολόνια 1565 Μαθητής και αργότερα συνεργάτης του Cardano, βρήκε τη λύση της εξίσωσης 4 ου βαθμού με τη βοήθεια εξίσωσης ου βαθμού. 5. Paolo Ruffini Βαλεντάνο 1765 Modena 18 Το 1799 απέδειξε ότι δεν υπάρχει μέθοδος επίλυσης της εξίσωσης 5 ου βαθμού, αλλά η απόδειξή του αυτή δεν ήταν πλήρης. 5
6. Niels esabel Νησί Φίνεϊ κοντά Σταβάγκερ 180 Φρόλαντ 189 Ιδιοφυία στα Μαθηματικά απέδειξε σε ηλικία μόλις 19 ετών ότι η εξίσωση 5 ου βαθμού δεν λύνεται. Πέθανε φτωχός και βασανισμένος από φυματίωση. 6
7. Evariste Galois Μπούργκ λα Ρεν 1811 Παρίσι 18 Ιδιοφυία των Μαθηματικών, προσπάθησε από 15 ετών και τελικά απέδειξε ανεξάρτητα από τον Abel, με την περίφημη «θεωρία Galois» ότι εξισώσεις βαθμού μεγαλύτερου του 4 ου δεν λύνονται γενικά. Σκοτώθηκε σε στημένη, όπως λένε, μονομαχία σε ηλικία 1 ετών περίπου. 7
Εξίσωση ου βαθμού Η γενική μορφή εξίσωσης ου βαθμού με έναν άγνωστο και πραγματικούς συντελεστές είναι: 0(1) x x x αν θέσουμε x, η (1) ισοδυναμεί με την pq 0() όπου p και q. 7 8
Λύση της () όταν p q0 0 1. αν pq0 η () ισοδυναμεί με την που έχει μία ρίζα τριπλή. 1 0. αν p 0qq η () () ισοδυναμεί με την 0, p 0, που έχει τις ρίζες 0, p, p. 1 Προφανώς οι και είναι αντίθετες πραγματικές αν p<0 και αντίθετες φανταστικές αν p>0. 9
. αν p0 q η () ισοδυναμεί με την q () με μορφές: 1 i.1 1, έχει τις ρίζες 1 1, i, 1 i 4 4 i οι αριθμοί και είναι οι μη πραγματικές κυβικές ρίζες του 1 10
και μεταξύ τους υπάρχουν οι απλές σχέσεις : 1 + 1, 1, 1,, 1 1 και i., με >0, έχει τις ρίζες :,, 1., με <0, έχει τις ρζ ρίζες :,, 1 11
Λύση της () όταν p q 0 p Αν θέσουμε z η () () ισοδυναμεί με την z p w + qw =0 () με z w. 7 q q Η () έχει τις ρίζες : w 1 Δ, w Δ όπου Δ z q p 4 7 z w (4) ή w (5). 1 διακρίνουσα της () τότε 1
I. αν Δ >0 τότε w,w  με w > w,w +w q, 1 1 1 p w w οπότε 7w w 7 1 p 1 αν w w 0 τότε w w και p z 1 1 1 1 ww 1 ww αν w w 0 τότε p ww και 1. I.αν p0 και q0 w 0 και w 0 και η (4) έχει 1 1 τις ρίζες : z w, z w, z w οπότε η () έχει 1 1 1 1 ww τις ρίζες : w w 0 1 ίζ 1 z1 1 0 z1 ww 1 z w1 w z ww 1 w w z z 1 z z z 1
I.αν p 0 και q> 0 w 0 και w 0 και η (4) έχει 1 z z z τις ρίζες : w, w, w 1 1 1 1 οπότε η () έχει τις ρίζες : w w 0, 1 1 w w, w w 1 1 I.αν p 0 w1 0w και η () έχει τις ρίζες : w w, w w, 1 1 1 w w 1 Παρατήρηση : αν για να βρούμε τις τιμές του z πάρουμε τις τιμές του από την (5), βρίσκουμε τις ίδιες ρίζες για την (). Συμπέρασμα : ετερόσημη του αν Δ >0 η () έχει μια πραγματική ρίζα q και δύο μιγαδικές συζυγείς. 14
II. αν Δ 0, τότε p0 και θέτουμε p με >0 οπότε q. q II 1. αν 0 η () ισοδυναμεί με την 0 0 άρα έχει δύο πραγματικές ρίζες, διπλή και. 1 II. αν q 0η () ισοδυναμεί με την 0 0 άρα έχει δύο πραγματικές ρίζες, διπλή και. 1 Συμπέρασμα : αν Δ 0 η () έχει δύο πραγματικές ρίζες που η μία είναι διπλή. 15
p 0 και θέτουμε III. αν Δ <0 τότε με >0 q p q οπότε βρίσκουμε 1 1. q Άρα υπάρχει γωνία 0,, με. Αν θέσουμε η () ισοδυναμεί με την : 8 6 4, με Ä Ä. q q Αν θέσουμε με Ä και 1, 0,1 τότε 6 16
III 1. αν τότε 0 III. αν τότε οπότε : 1 III.1. 0. 1 III..,ομόσημη του q. 17
Συμπέρασμα : 1 αν Δ 0 η () έχει τρεις πραγματικές ρίζες : ομόσημη τουqq. 18
Βοηθήματα 1. Το βιβλίο του Ν. Μιχαλόπουλου, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Αθήνα 1955. Ιστορία των Μαθηματικών του Loria. Εγκυκλοπαίδειες: Ιταλική, Πάπυρος Λαρούς Μπριτάνικα, Μεγάλη Σοβιετική. 4. Περιοδικά εκδόσεις της Ε.Μ.Ε. 5. Σύγχρονη Έκθεση των στοιχειωδών Μαθηματικών του Lucienne Felix Αθήνα 1964 19
ΕΞΙΣΩΣΗ 4 ΒΑΘΜΟΥ Η γενική μορφή της εξίσωσης 4 βαθμού με έναν άγνωστο και x x x x 4 πραγματικούς συντελεστές είναι + α +β + γ δ 0(1) α 4 και αν x ισοδυναμεί με την + p + q r 0() 4 α όπου p β, αβ α q γ, 8 4 αγ α β α r δ 4 16 56 0
Λύση της () Για να αποφύγουμε τα πολλά γράμματα θεωρουμε ότι τα παρακάτω α,β, γ είναι άσχετα με τους συντελεστές της (1) θεωρούμε την εξίσωση : α β γ α β γ α β γ α β γ 0() που προφανώς έχει τις ρίζες : α β γ, α β γ, α β γ, α β γ 1 4 Η () μετά τις πράξεις ισοδυναμεί με την εξίσωση : r 4 α β γ 8αβγβ α β γ 4 α β β γ γ α 0(4) Θεωρούμε ότι οι εξισώσεις () και (4) ταυτίζονται οπότε p α β γ, q 8αβγ, α β γ 4 αβ βγ γα p q q p r άρα α β γ, αβγ, αβγ, αβ βγ γα 8 64 16 4 τότε τα α,β β, γ είναι ρίζες της εξίσωσης :w p p r q 16 4 64 w w 0(5) 1
που λέγεται επιλύουσα της () και λύνοντάς την βρίσκουμε τα α,β, γ,,, της (). () 1 4 και από αυτά τα α,β, γ οπότε και τις ρίζες Αφού α,β, γ είναι ρίζες της (5), επομένως ένα τουλάχιστον θα είναι πραγματικός αριθμός. Υπολογισμός των α,β, γ από τα α,β, γ q q 64 8 Έχουμε αβγ 0, με αβγ οπότε έχουμε τις περιπτώσεις :
I. α >0, β >0,γ >0 τότε α, β, γ με,, 0 οπότε α, β, γ. Επειδή τα α, β, γ παίζουν τον ίδιο ρόλο για τις ρίζες,,, εκλέγουμε τα από αυτά αυθαίρετα ως προς 1 4 q το πρόσημο και βρίσκουμε το τρίτο από τη σχέση αβγ. 8 II. α >0, β <0,γ <0 τότε α, β, γ με,, 0 οπότε α, β i, γ i. Η επιλογή των α, β, γ γίνεται όπως πριν.
III. α >0, β, γ μιγαδικοί συζυγείς τότε α, με 0 γ β β γβ α, β, i γ i με, Â, 0 και i β, i γ. Η επιλογή των α, β, γ γίνεται όπως πριν. 4
Παράδειγμα : 10 4 Να λυθεί η εξίσωση 6 0 (1) r 4 Η (1) είναι της μορφής p q 0 με p, q 6 p p r q r 0 και έχει επιλύουσα την w w w 0, 16 4 64 1 9 δηλαδή την w w w 0 (). 16 16 Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της () με 64, οπότε η () ισοδυναμεί με την 64w 96w 14w 6 0 4w 6 4w 1 4w 6 0 και αν 4w t ισοδυναμεί με την t 6 t 1 t 6 0 (). Δοκιμάζοντας για ακέραιες ρίζες βρίσκουμε την και κατόπιν τις t t 9. t1 1 5
t 1 9 και αφού w η () έχει τις ρίζες w 1, w w. 4 4 4 1 9 1 Δηλαδή α, β, γ, οπότε α i, β, γ i 4 4 q i i με αβγ και αν α, γ τότε αγ, άρα β 8 4 4 άρα οι ρίζες της (1) είναι : i i 1 αβγ, i i i αβγ i, i i αβγ, i i i 4 αβγ i. 6
ΤΕΛΟΣ 7