ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΩΝ. Εξισώσεις διαφορών

Transcript

1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΩΝ Εξισώσεις διαφορών Εξίσωση διαφορών ονοµάζεται η εξίσωση που ικανοποιείται από τους όρους µιας ακολουθίας y, για =,,,. π.χ. η εξίσωση διαφορών (y + ) (y ) =. Μια ακολουθία α θα λέγεται λύση της εξίσωσης διαφορών αν την ικανοποιεί π.χ. η ακολουθία α + ( ) = είναι λύση της y + y = (αποδείξτε το). Το σύνολο των λύσεων µια εξίσωσης διαφορών θα το λέµε γενική λύση. π.χ. η εξίσωση y + y = έχει γενική λύση την y = c, όπου c αυθαίρετη σταθερά (αποδείξτε το). Τάξη µιας εξίσωσης διαφορών λέµε την διαφορά µεταξύ του µεγαλύτερου και του µικρότερου µη σταθερού δείκτη της άγνωστης ακολουθίας π.χ. η εξίσωση (y +4 ) +.y +5 +(y + ) 3 = y έχει τάξη (+5)-(+)=4. Μία εξίσωση διαφορών λέγεται γραµµική αν είναι της µορφής s y + + s y s y = d () όπου τα s, s,, s και η ακολουθία d είναι δεδοµένα. Αν d = σταθερή, τότε η () γίνεται s y + + s y s y = ()

2 και λέγεται οµογενής, λέµε δε ότι η () είναι η αντίστοιχη οµογενής της (). π.χ. η y y +7 + y = ηµ είναι γραµµική µε αντίστοιχη οµογενή την y y +7 + y =. Πρόταση. Έστω α λύση της µη οµογενούς () και β λύση της αντίστοιχης οµογενούς (), τότε η α + β είναι λύση της µη οµογενούς (). Απ. Εύκολη. π.χ. η α = - 3 είναι λύση της y+ - 4y = και η β =(-) είναι λύση της αντίστοιχης οµογενούς (επαληθεύστε). Άρα και η y = (-) είναι λύση της y + 4y =. Πρόταση Έστω α λύση της µη οµογενούς (). Τότε για την τυχούσα λύση y της () υπάρχει λύση β της αντίστοιχης οµογενούς () έτσι ώστε y = α + β. Απ. Αρκεί να δούµε ότι η β = -α + y είναι λύση της (). Πόρισµα. Για να βρούµε την γενική λύση της () αρκεί να βρούµε µία λύση της καθώς και την γενική λύση της αντίστοιχης οµογενούς () και να τις αθροίσουµε. Απ. Άµεσο, λόγω των προηγουµένων. π.χ. η γενική λύση της y + 3y = είναι α =c3, c σταθερά, και µία λύση της y + 3y = είναι η β =. Άρα η γενική λύση της y+ 3y = είναι 4 y = c3 4, c σταθερά.

3 3 Πρόταση. Έστω λ ακολουθίες y,, y,,, y λ, ( =,,, ) που είναι λύσεις της οµογενούς (). Τότε και η y = c y, + c y, + + c λ y λ, είναι λύση της (), όπου c, c,, c λ σταθερές. Απ. Εύκολη. π.χ. οι α =3 και β =(-3) είναι λύσεις της y + -9y =, άρα και η y = c c (-3) είναι λύση, για τυχούσες σταθερές c, c. H εξίσωση s λ + s λ s = λέγεται χαρακτηριστική εξίσωση της (). π.χ. η χαρακτηριστική εξίσωση της 7y +5 -y +3 +y = είναι 7λ 5 -λ 3 +=. Πρόταση. Έστω λ ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης της οµογενούς (). Τότε: α) Αν λ R, η λ είναι λύση της (). β) Αν λ =+iy µιγαδικός (i φανταστική µονάδα,,y R), οι ρ συν(φ), ρ ηµ(φ) είναι λύσεις της (), όπου ρ= + y, φ=τοξ συν + y, (οπότε +iy = ρ(συνφ+iηµφ)). Απ. Έχουµε s λ +s λ s = s λ + +s λ s λ =. α) Αν το λ είναι πραγµατικός τότε η τελευταία ισότητα λεει ότι λ είναι λύση της οµογενούς (). β) Αν λ =ρ(συνφ+iηµφ) τότε λ =ρ (συν(φ)+iηµ(φ)), οπότε s ρ + (συν((+)φ) + iηµ((+)φ)) + + s ρ (συν(φ) + iηµ(φ)) = s ρ s + ρ συν(( + ) ϕ) + s ρ + ηµ (( + ) ϕ) + s ρ + + συν(( + ) ϕ) s ηµ (( + ) ϕ) s ρ συν(ϕ) = ρ ηµ (ϕ) =. Οι τελευταίες ισότητες λένε ότι οι ρ η συν(φ), ρ η ηµ(φ) είναι λύσεις της (). 3

4 4 π.χ. α) η χαρακτηριστική εξίσωση της y +5 -y + = είναι λ 5 -λ = που έχει λύση την λ = 3. Άρα η y = /3 είναι λύση της y +5 -y + =. β) η χαρακτηριστική εξίσωση της y +3 +8y = είναι λ 3 +8= που έχει λύση την π π λ =(συν + iηµ ). Άρα οι συν π π, ηµ είναι λύσεις της y +3 +8y =. Πρόταση. Έστω ότι το λ είναι λύση της χαρακτηριστικής εξίσωσης της οµογενούς (), µε πολλαπλότητα p. Τότε και οι ακολουθίες λ είναι λύσεις. p-, λ, λ,..., λ Απ. Θα το αποδείξουµε για την περίπτωση p=. Θέτουµε q(λ)=s λ κ +s λ κ- + +s κ. Επειδή το λ είναι ρίζα της q(λ)= µε πολλαπλότητα, θα είναι q(λ)=(λ-λ ) w(λ), όπου w(λ) πολυώνυµο του λ. Έχουµε q (λ)=(λ-λ )w(λ)+(λ-λ ) w (λ), οπότε q (λ )=. Αλλά q (λ)=s λ κ- +s (-)λ s -. Άρα s λ ( )λ s, οπότε s λ + s ( )λ s λ. = + s = + + κ- Αλλά s λ + sλ s λ, = επειδή η λ είναι λύση της (). Οι δύο τελευταίες ισότητες δίνουν s (+)λ + +s (+-)λ s - (+)λ + +s λ =. Αυτό σηµαίνει ότι και η λ είναι λύση της (). π.χ. η χαρακτηριστική εξίσωση της y +3-3y + +3y + -y = είναι λ 3-3λ +3λ-= (λ-) 3 = που έχει ρίζα λ = µε πολλαπλότητα 3. Αρα οι ακολουθίες α = = (σταθερή), β = =, και γ = =, είναι λύσεις. 4

5 5 Θεώρηµα. Έστω s s, τότε η οµογενής () είναι τάξης και έχει λύσεις y,, y,,, y, γραµµικά ανεξάρτητες (δηλαδή αν y, + y, + + y, =, για κάθε, τότε = = = = ). Οπότε η γενική λύση της () είναι όπου c, c,, c αυθαίρετες σταθερές. y = c y, +c y, + +c y, Απ. Παραλείπεται. π.χ. η y + +y = έχει λύσεις τις ακολουθίες α = συν (επαληθεύστε το) οι οποίες είναι γραµµικά ανεξάρτητες: π π, β = ηµ, π αν συν π + yηµ = για κάθε, τότε = (για = ) και y = (για = ). Αρα η γενική λύση της δεύτερης τάξης εξίσωσης y + +y = είναι y = c συν π π +c ηµ. Πόρισµα Η οµογενής εξίσωση διαφορών δεύτερης τάξης s y + +s y + +s y = (µε s s ), έχει γενική λύση: α) y = c λ + c λ, αν η χαρακτηριστική εξίσωση έχει δύο διαφορετικές πραγµατικές λύσεις λ,λ. β) y = c λ + c λ, αν η χαρακτηριστική εξίσωση έχει µια διπλή ρίζα λ. γ) y = c ρ συν(φ) +c ρ ηµ (φ), αν η χαρακτηριστική εξίσωση έχει µιγαδικές ρίζες ± iy, όπου ρ= + y και φ = Τοξ συν + y, δηλ. ± iy =ρ(συνφ ±iηµφ). Απ. Λόγω των προηγουµένων, αρκεί να εξεταστεί ότι: 5

6 6 στην περίπτωση α) οι λ, λ»» β) οι λ, λ είναι γραµµικά ανεξάρτητες, είναι γραµµικά ανεξάρτητες,»» γ) οι ρ συν(φ), ρ ηµ(φ) είναι γραµµικά ανεξάρτητες. Θα εξετάσουµε µόνο την περίπτωση α), (τις άλλες δείτε τις µόνοι). Εστω λ + yλ = για κάθε. Για να δείξουµε ότι = y =, αρκεί να υποθέσουµε y και να φτάσουµε σε άτοπο. Αν y τότε λ = - y λ. Oπότε s (λ ) +s λ +s = και s λ +s λ +s =. y y Συνεπώς y s +s =, άρα = -y, οπότε λ = λ, άρα λ = λ, άτοπο. π.χ. α) Η εξίσωση y + -y = έχει χαρακτηριστική εξίσωση λ - = λ = ±. Άρα η γενική λύση είναι y =c ( ) + c (- ). β) Η εξίσωση y + -4y + +4y = έχει χαρακτηριστική εξίσωση λ -4λ+4= (λ-) = που έχει µία διπλή ρίζα λ =. Αρα η γενική λύση είναι y =c +c. γ) Η εξίσωση y + +4y = έχει χαρακτηριστική εξίσωση λ +4= λ = ± i. Είναι δε i = (συν π + iηµ π ). Αρα η γενική λύση είναι y = c π συν +c π ηµ. 6

7 7 Πρόταση. Η µη οµογενής () έχει µία τουλάχιστον λύση y που είναι ή της µορφής του όρου d, όπως στον πίνακα: d α α ηµ(α) ή συν(α) y β β +β + +β β ηµ(α)+β συν(α) ή είναι πολλαπλάσιο αυτής της µορφής µε κάποιο από τα,, 3,. Απ. Παραλείπεται. π.χ. α) η y + y = 3 έχει λύση της µορφής y = β3 : β3 + -β3 = 3 9β β = β = 7. Άρα µια λύση είναι y = 7 3. β) η y + y = - έχει λύση της µορφής y = α+β: α+β(+) (α+β) = - -β α +β = - β = και α =. Άρα µία λύση είναι y = +. γ) η εξίσωση y +3 +3y + +3y + +y = (-) έχει χαρακτηριστική εξίσωση λ 3 +3λ +3λ+= (λ+) 3 = που έχει ρίζα λ = - µε πολλαπλότητα 3. Αρα οι (-), (-), (-) είναι λύσεις της αντίστοιχης οµογενούς. Αναζητάµε λύση της µορφής y = α(-) y = α(-) y = α (-) y = α 3 (-).. 7

8 8 Προφανώς οι τρεις πρώτες δεν δίνουν λύση (γιατί;). Άρα εξετάζουµε τη µορφή y = α 3 (-) : α(+3) 3 (-) +3 +α3(+) 3 (-) + +α3(+) 3 (-) + +α 3 (-) = (-) α( ) = α = - 6. Συνεπώς η y = (-) είναι λύση. Παράδειγµα Να λυθεί η y + -y =. Απ. Πρώτα λύνουµε την αντίστοιχη οµογενή y + -y =. Αυτή έχει χαρακτηριστική εξίσωση λ -= λ±. Αρα η α =c +c (-) =c +c (-) είναι η γενική λύση της οµογενούς. Αναζητάµε λύση της µη οµογενούς: Πρώτα εξετάζουµε λύση της µορφής y =α+β+γ : α+β(+)+γ(+) -(α+β+γ ) = +4γ +β+4γ= (αδύνατo). Εν συνεχεία αναζητάµε λύση της µορφής y =(α+β+γ ) : α(+)+β(+) +γ(+) 3 -(α+β +γ 3 ) = Άρα η µη οµογενή έχει λύση την 6γ = 4β + γ = α + 4β + 8γ = γ = / 6 β = / α = / 3. Εποµένως η γενική λύση είναι β = ( ). y = α +β = c +c (-) + ( ). 8

9 9 Προβλήµατα ) Ζητείται να βρεθεί η τιµή p, η παραγόµενη ποσότητα q και η ποσότητα ζήτησης w ενός προϊόντος την χρονική περίοδο, όταν: α) w = 8 3p (η ζήτηση εξαρτάται από την τιµή). β) q = p - (η παραγωγή εξαρτάται από την τιµή της προηγούµενης περιόδου). γ) w = q (πωλείται όλη η παραγωγή) δ) q = (η αρχική παραγόµενη ποσότητα είναι µονάδες). ) Για το εθνικό εισόδηµα y της -περιόδου, ισχύει η εξίσωση y αy - + αy - = β, όπου <α<, β σταθερές. Να λυθεί η εξίσωση για α = ½ και να βρεθεί το οριακό εθνικό εισόδηµα όταν το τείνει στο άπειρο. 3) Ένα χρέος µε επιτόκιο α % ξεπληρώνεται µε ετήσιες δόσεις R ευρώ και στο έτος το υπόλοιπο P του χρέους ικανοποιεί την εξίσωση διαφορών P + =( + α)p R. Αν το αρχικό χρέος ήταν P ο = Α, δείξτε ότι P = Α( +α) R( + α) /α + R/α. 4) Για τον πληθυσµό y του έτους, ενός είδους ζώου που κινδυνεύει µε εξαφάνιση από ένα νησί, ισχύει η εξίσωση y - αy - = β, όπου <α< σταθερά και β ο αριθµός των ζώων που µεταφέρονται κάθε έτος στο νησί προκειµένου να ενισχυθεί ο πληθυσµός τους. Να βρεθεί ο οριακός πληθυσµός lim y + που τείνει να δηµιουργηθεί. 5) Σε µία αναδασωτέα περιοχή φυτεύονται κάθε χρόνο δενδρύλλια, ενώ κάθε χρόνο διαπιστώνεται ότι το / από τα φυτευµένα δένδρα των προηγούµενων ετών καταστρέφεται. α) Βρείτε τον αριθµό y των δένδρων που προέρχονται από την δενδροφύτευση µετά από χρόνια. β) Βρείτε τον αριθµό Χ των δένδρων που τείνει να αποκτήσει η περιοχή. 9