ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Ροπή και Στροφορµή Μέρος δεύτερο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ροπή και Σοφορµή Μέρος δεύτερο Στο προηγούµενο Κεφάλαιο εξετάσαµε την περισοφή στερεού σώµατος περί σταθερό άξονα Εδώ θα εξετάσοµε την εξίσωση κίνησης στερεού σώµατος γενικώς Πριν το κάνοµε αυτό όµως, καλό είναι να γράψοµε την εξίσωση κίνησης υλικού σηµείου στον χώρο µε τη βοήθεια της ροπής δύναµης και της σοφορµής 8 Κίνηση υλικού σηµείου Ας θεωρήσοµε σύστηµα συντεταγµένων και υλικό σηµείο µάζας m που κινείται στον χώρο υπό την επίδραση δύναµης F F ˆ + F ˆ j+ F Η διανυσµατική ακτίνα του υλικού σηµείου την τυχούσα χρονική στιγµή είναι ˆ + + Όπως είδαµε στο Κεφάλαιο, η εξίσωση κίνησης του υλικού σηµείου είναι dp F, (8) όπου p mu m d / είναι η ορµή του υλικού σηµείου Με βάση όσα είδαµε στο Κεφάλαιο 7, ορίζοµε τη σοφορµή του υλικού σηµείου ως προς την αρχή των αξόνων ως ˆ l p ( ˆ + + ) ( p ˆ + p + p ) ( p p )ˆ + ( p p ) + ( p p ) (8) εν είναι απαραίτητο να χρησιµοποιούµε την έκφραση (8) για τη σοφορµή Χρησιµοποιώντας τον κανόνα του δεξιού χεριού ή ισοδύναµα τον κανόνα του δεξιόσοφου κοχλία, βρίσκοµε εύκολα την κατεύθυνση του διανύσµατος της σοφορµής Το µέο της σοφορµής δίνεται από µια από τις σχέσεις (63) Οµοίως, ορίζοµε τη ροπή της δύναµης F ως προς την αρχή των αξόνων ως τ F ( ˆ + + ) ( F ˆ + F + F k) ( F F )ˆ + ( F F ) + ( F F ) (83) p ˆ F p F p F Page of

εν είναι απαραίτητο να χρησιµοποιούµε την έκφραση (83) για τη ροπή Χρησιµοποιώντας τον κανόνα του δεξιού χεριού ή ισοδύναµα τον κανόνα του δεξιόσοφου κοχλία, βρίσκοµε εύκολα την κατεύθυνση του διανύσµατος της ροπής Το µέο της ροπής δίνεται από µια από τις σχέσεις (63) Ας εξετάσοµε τώρα τη χρονική µεταβολή της σοφορµής του υλικού σηµείου Παραγωγίζοντας αµφότερα τα µέλη της (8) έχοµε dl d dp p+ (84) Όµως, ο πρώτος όρος στο δεξιό µέλος της (84) ισούται µε µηδέν διότι τα διανύσµατα d / και p είναι συγγραµµικά Συνεπώς, µε τη χρήση της (8), η (84) γίνεται dl τ (85) Είναι σηµαντικό να κατανοήσοµε ότι η εξίσωση (85) δεν είναι τίποτε άλλο παρά ο εύτερος Νόµος του Νεύτωνα (8) γραµµένος µε άλλη µορφή Το πλεονέκτηµα της µορφής (85) είναι ότι αν η ροπή της δύναµης F είναι µηδέν, τότε η σοφορµή του υλικού σηµείου είναι σταθερή, δηλαδή διατηρείται, πράγµα που δεν είναι εµφανές από την εξίσωση (8) Άσκηση 8: είξτε ότι η σοφορµή υλικού σηµείου διατηρείται σε οποιοδήποτε κενικό πεδίο δυνάµεων και αν κινείται Σχολιάστε τις κινήσεις των πλανητών γύρω από τον Ήλιο 8 Κίνηση στερεού σώµατος Ας θεωρήσοµε ότι το στερεό σώµα αποτελείται από υλικά σηµεία,, 3, µε µάζες m, m, m 3,, m, αντιστοίχως, που βρίσκονται την τυχούσα χρονική στιγµή στις αντίστοιχες διανυσµατικές ακτίνες,, 3,, Ας υποθέσοµε ότι το υλικό σηµείο j ασκεί στο υλικό σηµείο δύναµη F j, όπου j Επίσης, ας θεωρήσοµε ότι στο υλικό σηµείο,, ασκείται εξωτερική δύναµη F Η ροπή των δυνάµεων που ασκούνται στο υλικό σηµείο, ως προς την αρχή των αξόνων, είναι τ F + F (86) j και η ολική ροπή που ασκείται στο σύστηµα των υλικών σηµείων ως προς την αρχή των αξόνων είναι Page of j τ τ + F F j (87) j

Οι όροι στο διπλό άθροισµα είναι της µορφής α F + F F + (88) βα β αβ α βα β ( Fβα) ( α β) Fβα Επειδή όµως στα στερεά σώµατα η δύναµη που ασκείται µεταξύ των ιόντων που τα αποτελούν είναι κατά µήκος της ευθείας που τα ενώνει (δηλαδή F βα είναι παράλληλη προς το α, οι όροι στο διπλό άθροισµα κάνουν µηδέν ανά δυο Έτσι, η εξίσωση (87) γράφεται ως β dp d d d τ F ( p ) p l d, (89) όπου l είναι η σοφορµή του υλικού σηµείου και είναι η σοφορµή του στερεού σώµατος ως προς την αρχή των αξόνων Έτσι αποδείξαµε ότι αν σε ένα στερεό σώµα ασκείται συνολική ροπή τ ως προς την αρχή των αξόνων και η σοφορµή του είναι ως προς την αρχή των αξόνων, τότε η εξίσωση κίνησης του στερεού σώµατος είναι d τ (8) Τονίστηκε το ως προς την αρχή των αξόνων, διότι δεν έχει νόηµα ούτε η ροπή ούτε η σοφορµή αν δεν πούµε ως προς ποιο σηµείο ορίζονται Είναι σηµαντικό να κατανοήσοµε ότι η εξίσωση κίνησης (8) προέκυψε από τον εύτερο Νόµο του Νεύτωνα για καθένα από τα σωµατίδια που συνθέτουν το στερεό σώµα Με άλλα λόγια, αν θέλοµε κατά την κίνηση ενός στερεού σώµατος τα επιµέρους σωµατίδιά του να υπακούουν στον εύτερο Νόµο του Νεύτωνα κατά την κίνησή τους, τότε πρέπει να χρησιµοποιήσοµε την εξίσωση (8) για τη µελέτη της κίνησης του στερεού σώµατος 8 ιατήρηση σοφορµής Είναι εµφανές από την εξίσωση (8) ότι αν δεν ασκείται ροπή σε ένα στερεό σώµα, το διάνυσµα (όχι µόνο το µέο) της σοφορµής του είναι σταθερό Και η ροπή και η σοφορµή υπονοούνται ως προς την αρχή των αξόνων Παράδειγµα 8: Ας θεωρήσοµε έναν χορευτή πάνω σε πάγο Αν µε τεντωµένα τα χέρια του έχει ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα περισοφής του και γωνιακή ταχύτητα ω, τότε η σοφορµή του είναι ω, όπου θεωρήσαµε τον άξονα ως τον άξονα περισοφής και την κατανοµή της µάζας του σώµατός του συµµεική ως προς τον άξονα Αν µε µαζεµένα τα χέρια του έχει ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα, να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητά του ω Page 3 of

Λύση: Θεωρούµε ότι οι ιβές των παγοπέδιλων στο δάπεδο είναι αµελητέες Άρα δεν ασκείται ροπή στον χορευτή και εποµένως η σοφορµή του διατηρείται Έτσι γράφοµε ˆ ˆ ω k ωk Συνεπώς, ω ( / ) ω 8 ιατήρηση σοφορµής και κινητική ενέργεια Ας θεωρήσοµε ξανά το Παράδειγµα 8 Σύµφωνα µε την εξίσωση (73), η κινητική ενέργεια του χορευτή είναι αρχικά T ( / ω και τελικά ) ( / ) ω / ) ω (/ )( ω ) ω (/ )( ω ) ω > (/ ) T Η τελική κινητική ενέργεια του χορευτή γράφεται ως T ( ω T, όπου χρησιµοποιήσαµε τη διατήρηση της σοφορµής Τι είναι αυτό που προκάλεσε αύξηση της κινητικής ενέργειας του χορευτή; Για να το κατανοήσοµε, ας θεωρήσοµε µια απλουστευµένη εκδοχή του χορευτή στον πάγο και ας λύσοµε την παρακάτω άσκηση Η απλούστευση γίνεται για να µπορέσοµε να ποσοτικοποιήσοµε τη ροπή αδράνειας του χορευτή Άσκηση 8: Θεωρήστε «άυλο» χορευτή που κρατά σε κάθε χέρι του µια µάζα m Οι µάζες βρίσκονται αρχικά σε απόσταση από τον άξονα περισοφής και τελικά σε απόσταση Αρχικά η γωνιακή ταχύτητα του χορευτή είναι ω ω( ) και τελικά είναι ω ω( ) Α) Να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα ω () του χορευτή όταν οι µάζες βρίσκονται σε τυχούσα απόσταση από τον άξονα περισοφής, όπου Β) Να βρεθεί µεταβολή T T T της κινητικής ενέργειας του χορευτή Γ) Να δείξετε ότι το έργο που κάνει η κενοµόλος δύναµη F( ) mω ( ) ˆ στις σηµειακές µάζες m κατά την ακτινική µετακίνησή τους από την αρχική ακτίνα στην τελική ισούται µε τη µεταβολή της κινητικής ενέργειας του χορευτή 83 Χρήσιµα θεωρήµατα 83 Σοφορµή Για να βρίσκοµε σχετικά εύκολα τη σοφορµή ενός στερεού σώµατος, θα διαχωρίσοµε τις συνεισφορές στο από την κίνηση του κένου µάζας τού σώµατος και από την σοφορµή του σώµατος ως προς το κένο µάζας Ας θεωρήσοµε υλικά σηµεία,, 3, µε µάζες m, m, m 3,, m, αντιστοίχως, που βρίσκονται την τυχούσα χρονική στιγµή στις αντίστοιχες διανυσµατικές ακτίνες,, 3,, Τα υλικά σηµεία µπορεί να είναι σωµατίδια ενός στερεού σώµατος ή ανεξάρτητα σωµατίδια Έστω ότι η διανυσµατική ακτίνα του κένου µάζας των υλικών σηµείων (ας τα θεωρήσοµε ως στερεό σώµα) είναι την τυχούσα χρονική στιγµή R Τότε τη διανυσµατική ακτίνα του υλικού σηµείου γράφεται ως R+, (8) Page 4 of

όπου είναι η διανυσµατική ακτίνα του υλικού σηµείου ως προς το κένο µάζας Με άλλα λόγια, θεωρούµε δυο συστήµατα συντεταγµένων: Ένα το,, µε αρχή το σηµείο Ο (,, ) και ένα το το σύστηµα,, µε αρχή το κένο µάζας Είναι προφανές ότι,, κινείται καθώς το στερεό σώµα κινείται Με παραγώγιση της (8) ως προς χρόνο έχοµε & & R+ &, (8) όπου, όπως συνηθίζεται χάριν συντοµογραφίας, την παράγωγο ως προς τον χρόνο τη συµβολίσαµε µε µια τελεία πάνω από την υπό παραγώγιση ποσότητα Έτσι, η σοφορµή ενός στερεού σώµατος γράφεται ως που µε πράξεις γίνεται ίση µε p m & m R R+ m & & R+ R m ( R+ m & & ) ( R+ & + m ), (83) & (84) Η παρένθεση στον πρώτο όρο της (84) είναι ίση µε τη µάζα M του στερεού σώµατος Ο δεύτερος όρος στην (84) είναι ίσος µε µηδέν διότι η ποσότητα m R είναι η διανυσµατική ακτίνα του κένου µάζας ως προς το M κένο µάζας, δηλαδή ως προς το σύστηµα,, Το κένο µάζας είναι στην αρχή του συστήµατος,, και εποµένως έχει διανυσµατική ακτίνα R Οµοίως, ο ίτος όρος είναι µηδέν, διότι η παρένθεση είναι η χρονική παράγωγος του µηδενικού διανύσµατος R Έτσι, η (84) γράφεται ως ή & R MR+ & MR R+ m & R P+ m& p (85) (86) και εποµένως αποδείξαµε το ακόλουθο θεώρηµα Θεώρηµα 8: Η σοφορµή στερεού σώµατος ως προς την αρχή των αξόνων ισούται µε τη σοφορµή του κένου µάζας του (όπου θεωρούµε συγκενωµένη όλη τη µάζα) ως προς την αρχή των αξόνων συν τη σοφορµή του σώµατος ως προς το κένο µάζας του, δηλαδή Page 5 of

+ (87) Ο πρώτος όρος είναι σοφορµή υλικού σηµείου, που είναι εύκολη να υπολογιστεί Ο δεύτερος όρος είναι η σοφορµή στερεού σώµατος ως προς το κένο µάζας του, που επίσης είναι σχετικά εύκολη να υπολογιστεί, διότι δεν µας ενδιαφέρει αν το κένο µάζας είναι ακίνητο ή κινείται Εποµένως, πρόκειται για περισοφή περί άξονα που διέρχεται από το κένο µάζας και δεν µας ενδιαφέρει αν ο άξονας κινείται ή είναι σταθερός Παρατήρηση : Είναι σηµαντικό να επισηµάνοµε ότι η έκφραση (87) ισχύει ανεξαρτήτως του τι κίνηση κάνει το κένο µάζας! Ακόµη κι αν το κένο µάζας επιταχύνεται, η σχέση (87) ισχύει Με άλλα λόγια, το, δηλαδή τη σοφορµή λόγω περισοφής γύρω από το κένο µάζας, την υπολογίζοµε απλώς θεωρώντας ότι το κένο µάζας βρίσκεται πάνω στον άξονα περισοφής Έτσι, σε όλα τα προβλήµατα όπου το στερεό έχει άξονα συµµείας και η περισοφή γίνεται περί τον άξονα συµµείας, ω, όπου είναι η ροπή αδράνειας του στερεού σώµατος ως προς τον άξονα περισοφής που διέρχεται από το κένο µάζας του και ω είναι η γωνιακή ταχύτητα περισοφής του Το διάνυσµα ω έχει την κατεύθυνση του άξονα περισοφής, που είναι και άξονας συµµείας του στερεού Για παράδειγµα, θεωρήστε την κύλιση χωρίς ολίσθηση ενός κυλίνδρου Αν ο άξονας περισοφής δεν είναι άξονας συµµείας, τότε πρέπει να χρησιµοποιήσοµε την πιο γενική έκφραση που δίνεται στο υποκεφάλαιο 85 Παρατήρηση: Η εξίσωση (87) δεν σηµαίνει ότι σε όλα τα προβλήµατα θα υπάρχει και το και το Αν το κένο µάζας είναι ακίνητο, τότε, πχ περισοφή µιας οχαλίας περί σταθερό άξονα Οµοίως, αν το στερεό σώµα δεν περισέφεται, τότε, πχ ένας κυκλικός δίσκος γλισά σε ένα δάπεδο, αλλά δεν κυλίεται Τέλος, ένας κυκλικός δίσκος που κυλίεται έχει και και (βλ Παράδειγµα 8) 83 Κινητική ενέργεια Ανάλογο θεώρηµα προς το θεώρηµα ισχύει για την κινητική ενέργεια στερεού σώµατος Η κινητική ενέργεια στερεού σώµατος είναι το άθροισµα των κινητικών ενεργειών των σωµατίων που συνθέτουν το σώµα Έτσι γράφοµε T m & m & & (88) και χρησιµοποιώντας τη σχέση (8) η σχέση (88) γράφεται ως T & m ( R+ & & ) ( R+ & ) & & & & & m & m R + m R+ R m + Page 6 of (89)

Ο δεύτερος και ο ίτος όρος είναι µηδέν και εποµένως η (89) γράφεται ως T & MR + m & (8) Έτσι αποδείξαµε το ακόλουθο θεώρηµα Θεώρηµα 8: Η κινητική ενέργεια T στερεού σώµατος ισούται µε την κινητική ενέργεια του κένου µάζας του (όπου θεωρούµε συγκενωµένη όλη τη µάζα) T συν την κινητική ενέργεια του σώµατος γύρω από το κένο µάζας του T, δηλαδή T + T T (8) Παρατήρηση : Είναι σηµαντικό να επισηµάνοµε ότι η έκφραση (8) ισχύει ανεξαρτήτως του τι κίνηση κάνει το κένο µάζας! Ακόµη κι αν το κένο µάζας επιταχύνεται, η σχέση (8) ισχύει Με άλλα λόγια, το T, δηλαδή την περισοφική ενέργεια γύρω από το κένο µάζας, την υπολογίζοµε απλώς θεωρώντας ότι το κένο µάζας βρίσκεται πάνω στον άξονα περισοφής Έτσι, σε όλα τα προβλήµατα όπου το στερεό έχει άξονα συµµείας και η περισοφή γίνεται περί τον άξονα συµµείας, T ( / ) ω, όπου είναι η ροπή αδράνειας του στερεού σώµατος ως προς τον άξονα περισοφής που διέρχεται από το κένο µάζας του και ω ω είναι η γωνιακή ταχύτητα περισοφής του Το διάνυσµα ω έχει την κατεύθυνση του άξονα περισοφής, που είναι και άξονας συµµείας του στερεού Για παράδειγµα, θεωρήστε την κύλιση ενός κυλίνδρου Αν ο άξονας περισοφής δεν είναι άξονας συµµείας, τότε πρέπει να χρησιµοποιήσοµε την πιο γενική έκφραση που δίνεται στο υποκεφάλαιο 85 Παρατήρηση : Είναι επίσης σηµαντικό να κατανοήσοµε ότι σε ένα Λούνα Παρκ, το βαγόνι µε τους επιβάτες του δεν είναι υλικό σηµείο, αλλά στερεό σώµα Έτσι, σε προβλήµατα ανακύκλωσης, δεν υπεισέρχεται µόνο το T, αλλά και το T Χάριν ευκολίας, θεωρούµε ότι το βαγόνι δεν έχει οχούς και απλώς γλισά χωρίς ιβές Καθώς το βαγόνι κάνει µια περιφορά στην κυκλική οχιά της ανακύκλωσης, κάνει και µια περισοφή περί άξονα που διέρχεται από το κένο µάζας του Αυτό το καταλαβαίνοµε ως εξής: Αν βρισκόµαστε κάτω από την ανακύκλωση, αρχικά βλέποµε τα πόδια των επιβατών, ενώ όταν το βαγόνι βρίσκεται στο ψηλότερο σηµείο της ανακύκλωσης βλέποµε τα κεφάλια των επιβατών Γενικά, η εικόνα του βαγονιού µε τους επιβάτες που βλέποµε αλλάζει ανάλογα µε τη θέση του βαγονιού, αλλά σε µια ανακύκλωση βλέποµε το βαγόνι και τους επιβάτες από όλες τις πλευρές, µια φορά την κάθε πλευρά Έτσι, η γωνιακή ταχύτητα περιφοράς του βαγονιού στην κυκλική οχιά ισούται µε τη γωνιακή ταχύτητα περισοφής του βαγονιού περί τον άξονά του Παρατήρηση 3: Η Παρατήρηση δεν σηµαίνει ότι όλα τα στερεά σώµατα που κάνουν µια περιφορά κάνουν υποχρεωτικά και µια περισοφή περί τον άξονά τους Μπορεί να µην κάνουν καµία (όπως πχ τα κρεµαστά καθίσµατα σε έναν Page 7 of

κατακόρυφο περισεφόµενο κύκλο στα Λούνα Παρκ) ή να κάνουν περισσότερες της µίας (όπως πχ οι οχοί του βαγονιού που κάνει ανακύκλωση) Παράδειγµα 8: Θεωρείστε ότι ένα κέρµα µάζας M ακτίνας R και αµελητέου πάχους κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει) κατά µήκος του άξονα µε σταθερή ταχύτητα u > Να βρεθεί η κινητική ενέργειά του και η σοφορµή του ως προς την αρχή των αξόνων Λύση: Η κινητική ενέργεια του κένου µάζας του κέρµατος είναι T M u Θεωρώντας ότι η περισοφή του κέρµατος γίνεται περί τον άξονα, που είναι παράλληλος προς τον άξονα και διέρχεται από το κένο µάζας του, έχοµε από την (7) ότι T ω, όπου είναι η ροπή αδράνειας του κέρµατος ως προς τον άξονα και ω u / R Επειδή το κέρµα είναι οµογενές, η πυκνότητά του (µάζα ανά επιφάνεια) είναι M σ και η είναι π R M R 4 R σ MR 4 dm π d πσ Έτσι, η κινητική ενέργεια του κέρµατος είναι u 3 Mu R 4 T T + T Mu + MR Η κατεύθυνση της σοφορµής του κένου µάζας του κέρµατος µπορεί να βρεθεί εύκολα µε τον κανόνα του δεξιού χεριού Αν θεωρήσοµε ότι ο άξονας είναι προς τα πάνω και ο άξονας προς τα δεξιά, τότε το διάνυσµα της έχει κατεύθυνση προς τα µέσα, δηλαδή ĵ Το µέο της είναι R Mu Αν θέλαµε να βρούµε το διάνυσµα της σοφορµής µε διανύσµατα µέσω του ορισµού (8) θα γράφαµε Η σοφορµή p ( ˆ + R ) ( Mu ˆ) RMu του κέρµατος περί το κένο µάζας του είναι ω MR u R ˆ j MRu Συνεπώς, η ολική σοφορµή του κέρµατος είναι Page 8 of

+ 3 RMu 833 Ροπή Κατ αναλογία προς τα δυο παραπάνω θεωρήµατα, θα δούµε τώρα ότι ισχύει αντίστοιχο θεώρηµα για τη ροπή Η ροπή που ασκείται σε ένα στερεό σώµα είναι το άθροισµα των ροπών των δυνάµεων που ασκούνται στο σώµα Έτσι, µε τη χρήση των (87) και (86) έχοµε d τ d ( ) R P+ d R M dr + dr dr d R d M + R M + (8) Ο πρώτος όρος είναι ίσος µε µηδέν διότι είναι το εξωτερικό γινόµενο συγγραµµικών διανυσµάτων Για τον δεύτερο όρο χρησιµοποιούµε τη σχέση (46) Έτσι έχοµε d τ R F + (83) Έχοµε όµως δει στις σχέσεις (87) και (88) ότι για εσωτερικές δυνάµεις της µορφής F βα συγγραµµικές προς τα α µόνο οι εξωτερικές δυνάµεις συνεισφέρουν στη β ροπή, δηλαδή τ F (84) Συνεπώς, από τις εξισώσεις (83) και (84) έχοµε d F R F + (85) ή d ( R) F F (86) Συνεπώς, η (83) γράφεται ως τ R F + F (87) και έτσι αποδείξαµε το ακόλουθο θεώρηµα: Θεώρηµα 83: Η ροπή τ όλων των εξωτερικών δυνάµεων που ασκούνται σε ένα στερεό σώµα ως προς την αρχή των αξόνων ισούται µε τη ροπή της συνισταµένης Page 9 of

δύναµης (που θεωρούµε ότι εφαρµόζεται στο κένο µάζας) τ ως προς την αρχή των αξόνων, συν τη ροπή τ των εξωτερικών δυνάµεων ως προς το κένο µάζας του σώµατος, δηλαδή τ τ + τ, (88) όπου τ R F και τ F Έτσι, η εξίσωση κίνησης στερεού σώµατος (8) γράφεται µε τη χρήση των (87) και (88) ως d ( + ) τ +τ (89α) Επειδή όµως η κίνηση του κένου µάζας είναι κίνηση υλικού σηµείου, µε βάση την εξίσωση (85) και το Θεώρηµα 4 µπορούµε να γράψοµε d τ, (89β) που συνεπάγεται ότι d τ (89γ) Παράδειγµα 83: Θεωρήστε κεκλιµένο επίπεδο µε γωνία κλίσης θ Θεωρήστε επίσης ότι ένα κέρµα µάζας M και ακτίνας R κυλίεται (λόγω του βάρους του) χωρίς να γλισά κατά µήκος του κεκλιµένου επιπέδου A) Να βρεθεί η επιτάχυνση του κένου µάζας του κέρµατος B) Να βρεθεί η δύναµη ιβής µεταξύ του κέρµατος και του κεκλιµένου επιπέδου Λύση: Α) Θεωρούµε σύστηµα συντεταγµένων, µε τον άξονα παράλληλο προς το κεκλιµένο επίπεδο (µε θετική κατεύθυνση από το ψηλότερο σηµείο του κεκλιµένου επιπέδου προς το χαµηλότερο), τον άξονα κάθετο στο κεκλιµένο επίπεδο και τον άξονα κάθετο στους άλλους δυο, ώστε να σχηµατίζεται δεξιόσοφο σύστηµα Η αρχή των αξόνων είναι στο χαµηλότερο σηµείο του κεκλιµένου επιπέδου Την τυχούσα χρονική στιγµή το κένο µάζας του κέρµατος έχει διανυσµατική ακτίνα ˆ+ R ˆ j και ταχύτητα u & & ˆ Το είναι αλγεβρική ποσότητα και στη συγκεκριµένη περίπτωση έχει αρνητική τιµή Το βάρος B του σώµατος αναλύεται στους άξονες και ως B Mg snθ ˆ Mg cosθ Η συνιστώσα αλληλοαναιρείται από την αντίδραση του επιπέδου Για να µην ολισθαίνει το κέρµα, πρέπει να του ασκείται δύναµη ιβής F F ˆ, µε F > Η ροπή που ασκείται στο κέρµα είναι τ τ + τ, όπου Page of

τ ( Mg snθ F ˆ )ˆ ( + R ˆ) j ( Mg snθ F )ˆ R Mg snθ F )( ) R( Mg snθ F ) ( Αυτό που κάναµε εδώ ήταν να φανταστούµε ότι όλες οι εξωτερικές δυνάµεις ασκούνται στο κένο µάζας (κάναµε δηλαδή µια νοερή µετατόπιση της δύναµης ιβής στο κένο µάζας) και υπολογίσαµε τη ροπή τους ως προς την αρχή των αξόνων Για τη ροπή ως προς το κένο µάζας έχοµε τ F ( R ˆ) j ( F ˆ) RF διότι µόνο η δύναµη ιβής έχει µη µηδενική ροπή ως προς το κένο µάζας Το βάρος έχει µηδενική ροπή ως προς το κένο µάζας, Έτσι, τ τ + τ RMg snθ Παρατηρούµε ότι το ίδιο αποτέλεσµα θα παίρναµε αν δεν αναλύαµε το τ σε τ και τ, διότι στο σύστηµα που επιλέξαµε η ροπή της F ως προς την αρχή των αξόνων είναι µηδέν Η σοφορµή του κέρµατος είναι +, όπου Mu ( ˆ + R ˆ) j M & ˆ RM & ( ) και, λόγω του ότι ο άξονας περισοφής είναι άξονας συµµείας του κέρµατος, & & ω ( ) ( ) MR ( ) MR & ( ) R R Το ότι η κατεύθυνση του είναι το βρίσκοµε από τον όπο που κυλίεται το κέρµα και τον κανόνα του δεξιού χεριού Έτσι έχοµε 3 + RM & Χρησιµοποιώντας τη σχέση (8) έχοµε και d 3 3 RMg sn θ ( RM & ) RM & Page of

& g snθ 3 Παρατήρηση : Το σώµα που κινείται είναι το κέρµα Το κεκλιµένο επίπεδο είναι ακίνητο και δεν αποτελεί µέρος του συστήµατος που εξετάζοµε, δηλαδή την κίνηση του κέρµατος Έτσι, το κεκλιµένο επίπεδο ασκεί δύναµη ιβής στο κέρµα και αυτή είναι εξωτερική δύναµη, όπως και το βάρος του κέρµατος Γι αυτό τη λάβαµε υπόψη µας στον υπολογισµό του τ Αν δεν υπήρχε αυτή η εξωτερική δύναµη το κέρµα δεν θα κυλιόταν αλλά θα ολίσθαινε Β) Χρησιµοποιώντας είτε την εξίσωση (89β) είτε την εξίσωση (89γ) βρίσκοµε Συνεπώς, F F g snθ 3 F ˆ g snθ ˆ 3 Παρατήρηση : Αν η άσκηση δεν ζητούσε να βρούµε τη δύναµη ιβής, θα µπορούσαµε να βρούµε την επιτάχυνση του κένου µάζας πολύ εύκολα ως εξής: Στο σύστηµα αξόνων που επιλέξαµε συνεισφορά στη ροπή ως προς την αρχή των αξόνων έχει µόνο το βάρος του κέρµατος, διότι η ροπή της δύναµης ιβής είναι µηδέν Έτσι τ RMg snθ Η σοφορµή του κέρµατος ως προς την αρχή των αξόνων είναι 3 + RM & Συνεπώς, από την εξίσωση κίνησης των στερεών σωµάτων βρίσκοµε d τ & g snθ 3 Παράδειγµα 84: Μια οµογενής ράβδος µήκους l και µάζας M µπορεί να περισέφεται χωρίς ιβές περί ένα σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της Η ράβδος αφήνεται να πέσει από αρχικά οριζόντια θέση Να βρεθεί η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου στην τυχούσα θέση Λύση: Ας θεωρήσοµε ότι η αρχικά οριζόντια ράβδος είναι στον άξονα µε το σταθερό άκρο της στη θέση και το άλλο στη θέση l Ο άξονας έχει φορά προς τα δεξιά Θεωρούµε επίσης ως κατακόρυφο άξονα τον µε φορά προς τα πάνω Συνεπώς, για να έχοµε δεξιόσοφο σύστηµα συντεταγµένων, ο άξονας Page of

πρέπει να είναι κάθετος στο επίπεδο του χαρτιού και προς τα µέσα Η περισοφή της ράβδου γίνεται περί τον άξονα Πρώτα θα υπολογίσοµε τη ροπή αδράνειας της ράβδου, στην αρχική θέση της, ως προς τον άξονα Έχοµε l l M dm λ d d Ml, l 3 όπου λ M / l είναι η γραµµική πυκνότητα της ράβδου Η µόνη εξωτερική δύναµη που ασκείται στη ράβδο και έχει ροπή ως προς την αρχή των αξόνων (δείτε παρακάτω!!!) είναι το βάρος της B Mg, που ασκείται στο κένο µάζας της, δηλαδή στο µέσο της ράβδου Έτσι, όταν η ράβδος σχηµατίζει τυχούσα γωνία θ µε τον άξονα, η ροπή του βάρους είναι Η σοφορµή της ράβδου είναι l τ cosθ Mg & θ ˆ ω j Ml ω 3 Η εξίσωση κίνησης της ράβδου, όπως και όλων των στερεών σωµάτων, είναι d τ Με αντικατάσταση των ποσοτήτων τ και έχοµε l 3 g cosθ Mg Ml & ω & ω cosθ 3 l Σηµείωση: Η άσκηση είναι αρκετά απλή και µπορέσαµε εύκολα να γράψοµε το συνολικό τ και το συνολικό ως προς την αρχή των αξόνων Με άλλα λόγια, δεν χρειάσθηκε να σπάσοµε το τ και το σε συνεισφορές του κένου µάζας και γύρω από αυτό Ας το κάνοµε όµως για πληρότητα και για να βεβαιωθούµε ότι θα βρούµε το ίδιο αποτέλεσµα Επιπλέον, θα µπορούσε η άσκηση να ζητάει την αντίδραση του άξονα στη ράβδο Για τον υπολογισµό του τ πρέπει να θεωρήσοµε ότι στο κένο µάζας δρουν όλες οι εξωτερικές δυνάµεις Πέραν του βάρους, εξωτερική δύναµη στη ράβδο είναι και η αντίδραση του άξονα περισοφής F F ˆ µε F > Αυτή η δύναµη δεν αντ είχε ροπή ως προς την αρχή των αξόνων, αλλά τώρα που πρέπει να τη θεωρήσοµε ότι δρα στο κένο µάζας έχει ροπή ως προς την αρχή των αξόνων Έτσι έχοµε αντ αντ Page 3 of

τ ( Mg + F αντ ) l (cosθ ˆ snθ ) ( Mg + F αντ ) l cosθ Mg ˆ l j cosθ F αντ ˆ j Για τη ροπή ως προς το κένο µάζας έχοµε τ l F ˆ l ( cos sn ) F cos F ˆ αντ θ + θ αντ θ αντ j l Παρατηρούµε ότι τ τ + τ cosθ Mg, όπως πρέπει Για τη σοφορµή έχοµε και l M ˆ ω j M l ω, 4 ˆ ω j Ml ω, διότι εύκολα αποδεικνύεται ότι η ροπή αδράνειας της ράβδου, ως προς άξονα παράλληλο του, που διέρχεται από το κένο µάζας της, είναι ( /) M l Παρατηρούµε ότι + M l ω, όπως πρέπει 3 d Ας δούµε τώρα τι δίνουν οι εξισώσεις τ και τ µπορούµε να επαληθεύσοµε, και οι δυο δίνουν d Όπως εύκολα 3 g & ω cosθ, l όπως περιµέναµε Επιπλέον, τώρα µπορούµε να υπολογίσοµε είτε από την εξίσωση (89β) είτε από την εξίσωση (89γ) την αντίδραση του άξονα στη ράβδο και αυτή είναι F Mg αντ 4 Συµπέρασµα : Η ανάλυση του τ και του σε συνεισφορές του κένου µάζας και γύρω από αυτό µπορεί να κάνει τη λύση πιο δύσκολη!!! Συµπέρασµα : Η επιλογή του κατάλληλου συστήµατος συντεταγµένων µπορεί να κάνει τη λύση πολύ εύκολη Έτσι, σε προβλήµατα όπου εµφανίζονται ιβές ή αντιδράσεις συνδέσµων, επιλέγοµε το σύστηµα συντεταγµένων ώστε αυτές να έχουν ροπή µηδέν ως προς την αρχή των αξόνων Αν όµως η άσκηση ζητάει τη δύναµη ιβής ή την αντίδραση δεν θα αποφύγοµε να τις βάλοµε στις εξισώσεις µας Page 4 of

Παράδειγµα 85: Θεωρήστε οχαλία µάζας M και ακτίνας R γύρω από την οποία είναι τυλιγµένο αβαρές νήµα Στην άκρη του νήµατος κρέµεται υλικό σηµείο µάζας m Το υλικό σηµείο είναι αρχικά ακίνητο και αφήνεται να πέσει λόγω του βάρους του Να βρεθεί η γωνιακή επιτάχυνση της οχαλίας Λύση: Ας θεωρήσοµε τον άξονα της οχαλίας ως τον άξονα, µε κατεύθυνση προς τα µέσα Το κένο της οχαλίας είναι στην αρχή των αξόνων, µε τον άξονα οριζόντιο (κατεύθυνση προς τα δεξιά) και τον άξονα κατακόρυφο µε κατεύθυνση προς τα πάνω Το σύστηµά µας αποτελείται από την οχαλία και τη µάζα m Η ροπή αδράνειας της οχαλίας ως προς τον άξονα είναι R R 4 3 M R dm σ π d σ π d π MR 4 π R Ροπή, ως προς την αρχή των αξόνων, ασκεί µόνο το βάρος της µάζας m Συνεπώς, τ R mg Στη σοφορµή συνεισφέρουν και η οχαλία και η µάζα m Συνεπώς έχοµε R mu ˆ j MR ˆ j R m R ˆ ω + ω + ω j M + m R ω Η εξίσωση κίνησης της οχαλίας και της µάζας m, όπως και όλων των στερεών σωµάτων, είναι d τ Με αντικατάσταση των ποσοτήτων τ και έχοµε M + m mg R mg R & ω & ω ( M + m) R Παρατήρηση: Στη άσκηση αυτή σίγουρα δεν µας εξυπηρετεί να σπάσοµε το τ και το σε συνεισφορές του κένου µάζας και γύρω από αυτό 84 Περισοφή περί σταθερό άξονα που δεν είναι άξονας συµµείας Page 5 of

Ίσως έχετε σχηµατίσει την εντύπωση ότι όταν ένα στερεό σώµα περισέφεται περί τον σταθερό άξονα η σοφορµή του σώµατος έχει µόνο -συνιστώσα Αυτό είναι λάθος, εκτός ειδικών περιπτώσεων Ας δούµε γιατί Από τον ορισµό της σοφορµής στερεού σώµατος ως προς την αρχή των αξόνων έχοµε ˆ p m & m Αλλά, όλες οι µάζες m [( & ) ˆ + ( & & ) + ( & & ) ] & & & (83) m περιγράφουν κύκλους µε ακτίνες & + Έτσι έχοµε cos φ & snφ ω ω σταθερ ο & sn φ & cosφ ω ω (83) dφ όπου ω είναι η γωνιακή ταχύτητα περισοφής του σώµατος, που είναι η ίδια για όλες τις µάζες m Έτσι, οι εις συνιστώσες της (83) γίνονται m ( & ) m ω m ω ω m ( & ) m ω m ω ω (83) m ( & & ) m ( + ) ω ω όπου ορίσαµε τα γινόµενα αδράνειας ως προς την αρχή των αξόνων ως και m (833) m (834) Γενικά, για ένα τυχόν στερεό σώµα, τα γινόµενα αδράνειας είναι διάφορα του µηδενός Έτσι, παρά το γεγονός ότι η περισοφή του στερεού σώµατος γίνεται περί τον σταθερό άξονα, η σοφορµή του στερεού σώµατος µπορεί να έχει και - και -συνιστώσες!!! Σύµφωνα µε τα παραπάνω, η σοφορµή στερεού σώµατος περί τον σταθερό άξονα γράφεται ως Page 6 of

ˆ + + ω ˆ + ω + ω (835) Αν για ένα σύστηµα αξόνων,,, τα γινόµενα αδράνειας και είναι µηδέν, τότε ο άξονας λέγεται κύριος άξονας αδράνειας και k ˆ Ένας άξονας συµµείας είναι πάντοτε κύριος άξονας αδράνειας, το αντίθετο όµως δεν ισχύει πάντοτε Ακόµη και σε στερεά σώµατα µε ακανόνιστο σχήµα µπορούµε να ορίσοµε πάντοτε εις κύριους άξονες αδράνειας εν θα το αποδείξοµε όµως αυτό εδώ Άσκηση 83: είξτε ότι αν ο άξονας είναι άξονας συµµείας ενός στερεού σώµατος, τότε τα γινόµενα αδράνειας και είναι µηδέν Παράδειγµα 86: Μια αβαρής ράβδος µήκους l φέρει στο κάθε άκρο της µια σηµειακή µάζα m και σχηµατίζει γωνία θ µε τον κατακόρυφο άξονα Το µέσο της ράβδου είναι στην αρχή των αξόνων και η ράβδος περισέφεται µε γωνιακή ταχύτητα ω ω περί τον άξονα Τη χρονική στιγµή t η ράβδος βρίσκεται στο επίπεδο, µε τον άξονα οριζόντιο Α) Να βρεθεί η συνιστώσα της σοφορµής του συστήµατος ως προς την αρχή των αξόνων Β) Να βρεθεί το διάνυσµα της σοφορµής του συστήµατος ως προς την αρχή των αξόνων όταν η ράβδος είναι στο επίπεδο, δηλαδή για t, t π / ω, κλπ Γ) Είναι λογικό να µην είναι το διάνυσµα της σοφορµής του συστήµατος παράλληλο προς τον άξονα περισοφής ; Για ποια γωνία θ το είναι παράλληλο προς τον άξονα περισοφής ; ) Εξηγήστε γιατί είναι σηµαντικό να γίνεται ζυγοστάθµιση στους οχούς των αυτοκινήτων Λύση: Α) Εδώ έχοµε περισοφή στερεού σώµατος περί σταθερό άξονα Άρα, σύµφωνα µε την εξίσωση (79) έχοµε ότι ω m( lsnθ ) ω, διότι η ροπή αδράνειας της κάθε µάζας είναι m ( lsnθ ) Β) Τη χρονική στιγµή t, η µια µάζα έχει διανυσµατική ακτίνα lsnθ ˆ + l cosθ και η άλλη Η ταχύτητα της πρώτης είναι u ωl snθ και της άλλης u Έτσι, η σοφορµή του συστήµατος των δυο σηµειακών µαζών είναι mu+ ( ) ( mu) mu ˆ m lsnθ ωlsnθ l cosθ mωl ˆ (snθ cosθ sn θ ) Page 7 of

Παρατηρούµε ότι η σοφορµή έχει όχι µόνο -συνιστώσα, αλλά και Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι το γινόµενο αδράνειας (εξισώσεις 83, 833) είναι διάφορο του µηδενός εν είναι δύσκολο να αποδείξοµε ότι, καθώς περισέφεται η ράβδος, το θα έχει και -συνιστώσα Έτσι, µετά από /4 της περιόδου περισοφής, η σοφορµή της ράβδου θα είναι ˆ mωl (snθ cosθ j sn θ ) Γ) Είναι λογικό το να µην έχει µόνο -συνιστώσα, διότι ο άξονας δεν είναι άξονας συµµείας (ή καλύτερα κύριος άξονας αδράνειας) Για θ π /, ο άξονας γίνεται άξονας συµµείας και το γίνεται παράλληλο µε το ω ) Αν ο οχός ενός αυτοκινήτου δεν είναι ζυγοσταθµισµένος, τότε ο άξονας του οχού δεν είναι άξονας συµµείας, µε αποτέλεσµα η σοφορµή του οχού να µην είναι παράλληλη µε τον άξονα Αυτό συνεπάγεται µη οµαλή κύλιση του οχού και φθορά στα ρουλεµάν Παρατήρηση: Αν θέλαµε να λύσοµε την άσκηση όχι για t, αλλά για την τυχούσα χρονική στιγµή t θα γράφαµε για τη διανυσµατική ακτίνα της µάζας m που είναι πάνω από το επίπεδο όπου l snθ cosφ ˆ + l snθ snφ + l cosθ, φ ( t) ω t Της άλλης µάζας m η διανυσµατική ακτίνα είναι Η γραµµική ταχύτητα της m, που είναι πάνω από το επίπεδο, είναι ενώ της άλλης είναι d u ω l snθ snφ ˆ + ωl snθ cosφ, u Έτσι η ολική σοφορµή m m των δυο µαζών είναι mu+ ( ) m( u) mu m ˆ l snθ cosφ ωl snθ snφ l snθ snφ ωl snθ cosφ l cosθ ˆ sn cos sn ˆ mωl (snθ cosθ cosφ + θ θ φ j sn θ ) ˆ sn cos sn ˆ mωl (snθ cosθ cosωt + θ θ ωt j sn θ ) Το παραπάνω αποτέλεσµα, για τυχούσα γωνία θ και τυχούσα χρονική στιγµή t, µας δηµιουργεί την ακόλουθη ερώτηση: Page 8 of

Ερώτηση: Αφού έχοµε χρονικά εξαρτώµενη σοφορµή, από την εξίσωση κίνησης των στερεών σωµάτων d τ συνεπάγεται ότι υπάρχει χρονικά εξαρτώµενη ροπή Όµως, βαρύτητα και ιβές δεν υπάρχουν Άρα ποια δύναµη έχει αυτή τη ροπή ως προς την αρχή των αξόνων; Άσκηση 84: Να βρεθεί η σοφορµή της ράβδου του Παραδείγµατος 86 χρησιµοποιώντας την έκφραση (835) Άσκηση 85: Μια οµογενής ράβδος µήκους l έχει µάζα m και σχηµατίζει γωνία θ µε τον κατακόρυφο άξονα Το µέσο της ράβδου είναι στην αρχή των αξόνων και η ράβδος περισέφεται µε γωνιακή ταχύτητα ω ω περί τον άξονα Τη χρονική στιγµή t η ράβδος βρίσκεται στο επίπεδο, µε τον άξονα οριζόντιο Α) Να βρεθεί η συνιστώσα της σοφορµής της ράβδου ως προς την αρχή των αξόνων Β) Να βρεθεί το διάνυσµα της σοφορµής της ράβδου ως προς την αρχή των αξόνων όταν η ράβδος είναι στο επίπεδο, δηλαδή για t, t π / ω, κλπ 85 Περισοφή στερεού σώµατος περί τυχόντα άξονα Στο υποκεφάλαιο 8 είδαµε ότι η εξίσωση (8) είναι η εξίσωση κίνησης όλων των στερεών σωµάτων Για να γράψοµε αυτή την εξίσωση, πρέπει να είµαστε σε θέση να γράψοµε τη σοφορµή του στερεού σώµατος ως προς οποιοδήποτε σηµείο Ας θεωρήσοµε ένα αδρανειακό σύστηµα συντεταγµένων,, µε την αρχή του στο τυχόν σηµείο Ο Έστω ω ω ˆ + ω + ω η στιγµιαία γωνιακή ταχύτητα περισοφής του στερεού σώµατος στο σύστηµα,, Παρότι η απόδειξη δεν είναι δύσκολη, εµείς εδώ µόνο θα γράψοµε τις εκφράσεις για τη σοφορµή του στερεού σώµατος ως προς το σηµείο Ο και την κινητική ενέργεια T του στερεού σώµατος Έτσι γράφοµε ή όπου t ω ω + ω + ω, ω ω, (836) ω ω + ω + ω, (837) ω + ω + ω, Page 9 of

dm ( + ), dm ( + ), dm ( + ), είναι οι ροπές αδράνειας του σώµατος ως προς τους άξονες,, αντιστοίχως, dm, dm, dm είναι τα γινόµενα αδράνειας και t είναι ο πίνακας αδράνειας ως προς το σύστηµα,, Η κινητική ενέργεια T του στερεού σώµατος γράφεται ως T t ω ω ( ω ω ω ) ω ω ω (838) ( ω + ω + ω ω + ω + ω ω + ω + ω ) ω ω ω ( ω + ω ω + ω ω + ω ω + ω + ω ω + ω ω + ω ω + ω ) ( ω + ω + ω ) + ω ω + ω ω + ω ω Στο υποκεφάλαιο 83 και ειδικά στις εξισώσεις (87) και (8) είδαµε ότι πρέπει να είµαστε σε θέση να γράφοµε τη σοφορµή και την κινητική ενέργεια T στερεού σώµατος για οποιαδήποτε γωνιακή ταχύτητα ω, δηλαδή για οποιονδήποτε άξονα περισοφής που διέρχεται από το κένο µάζας του σώµατος Ας θεωρήσοµε σύστηµα συντεταγµένων,, µε την αρχή τους στο κένο µάζας του στερεού σώµατος Το σύστηµα έχει σταθερό προσανατολισµό ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα,,, ενώ το κένο µάζας µπορεί να κινείται Έστω ω ω ˆ + ω + ω η στιγµιαία γωνιακή ταχύτητα περισοφής του στερεού σώµατος στο σύστηµα,, ή,,, περί άξονα που διέρχεται από το κένο µάζας Σύµφωνα µε το γενικό αποτέλεσµα (836), γράφοµε ή t ω ω ω, (839) ω Page of

όπου ω + ω + ω, ω + ω + ω, (84) ω + ω + ω, ( + dm ), ( + dm ), dm ( + ), είναι οι ροπές αδράνειας του σώµατος ως προς τους άξονες,, αντιστοίχως, dm, dm, dm είναι τα γινόµενα αδράνειας και,, t είναι ο πίνακας αδράνειας ως προς το σύστηµα Η κινητική ενέργεια T του στερεού σώµατος λόγω περισοφής του περί το κένο µάζας του γράφεται ως T t ω ω ( ω ω ω ) ω ω ω (84) ( ω + ω + ω ) + ω ω + ω ω + ω ω Άσκηση 86: Να βρεθεί η σοφορµή του συστήµατος τού Παραδείγµατος 86 χρησιµοποιώντας την έκφραση (839) ή τις εκφράσεις (84) Page of