Θεωρία Yukawa Yukawa: στην προσπάθεια να εξηγήσει τις δυνάμεις μεταξύ n-p στον πυρήνα έφτασε στο συμπέρασμα ότι η εμβέλεια της δύναμης εξαρτάται από τη μάζα, m, του κβάντου. t /mc R c t /mc Η εξίσωση Klein-Gordon περιγράφει τη διάδοση στο κενό σωματιδίου μάζας m χωρίς spin. mc Ψ Ψ Ψ = t 0 για m=0 κυματική εξίσωση Η/Μ κύματος. Ψ δυναμικό σημείου στο χώρο ή πλάτος κύματος (φωτονίου) ί Αγνοώντας το χρονοεξαρτώμενο μέρος σφαιρικά συμμετρική εξίσωση για στατικό δυναμικό U(r) για r>0 και πηγή στο r=0 ολοκληρώνοντας έχουμε: 1 U mc U( r) = r U( r) = r r r g 0 r/ R U( r) = e όπου R= 4π r mc 1
U r Θεωρία Yukawa g 4π r mc 0 r/ R ( ) = e όπου R= Η σταθερά g 0 προκύπτει ως σταθερά ολοκλήρωσης και ταυτίζεται με την ισχύ σημειακής πηγής στο κέντρο. Ανάλογα στον Η/Μ έχουμε U(r)=0 με λύση U(r)=Q/4πr Θα μπορούσαμε να πούμε ότι το g 0 της θεωρίας Yukawa παίζει το ρόλο του Q του Η/Μ το μέτρο του ισχυρού πυρηνικού φορτίου. R η εμβέλεια του πεδίου Γνωρίζοντας ότι R 10-15 m μπορούμε να προβλέψουμε τη μάζα του διαδότη. c 197MeV fm R = mc = mc = mc 140MeV mc R R 14 1.4 fm
Θεωρία Yukawa 3
Σκέδαση σωματιδίου από κεντρικό δυναμικό Η επίδραση κεντρικού δυναμικού εκδηλώνεται στη γωνιακή απόκλιση του σωματιδίου ή ισοδύναμα σαν μεταφορά ορμής ισοδύναμα σαν μεταφορά ορμής q q q iq r Έστω f( ) το πλάτος σκέδασης. Η f( ) δίνεται από τον μετασχηματισμό Fourier: f(q)=g g U(r)e dv δυναμικό g: ισχύς σύζευξης του σωματιδίου με το (ανάλογα στην οπτική η γωνιακή κατανομή του φωτός από ένα εμπόδιο είναι ο μετασχηματισμός Fourier του εμποδίου) θέτουμε q r = qr cos θ και dv=r d φ sinθdθdr για U(r) τύπου Yukawa και =c=1 έχουμε iqr iqr sinqr mr e e f ( q ) = 4 π g U ( r ) = 0 qr r dr g g e iq dr 0 0 f ( q ) = g g q + m 0 Αυτή είναι η έκφραση του δυναμικού στο χώρο των ορμών. Οι δύο περιγραφές είναι ισοδύναμες 4
Μποζονικός διαδότης Το πλάτος σκέδασης που οφείλεται σε ανταλλαγή μποζονίου είναι το γινόμενο των παραγόντων g και g 0, οι οποίοι περιγράφουν τη σύζευξη του μποζονίου με το σκεδαζόμενο και το σκεδάζον σωματίδιο, με τον όρο του διαδότη 1/( q + m ) Στην πραγματικότητα υπάρχει μεταφορά ενέργειας Ε και ορμής p=q και στην παραπάνω σχέση q είναι η μεταφορά 4-ορμής. f ( q ) = g g q + m 0 q =Δp E f ( q ) = q g g 0 + m για κέντρο σκέδασης πολύ μεγάλης μάζας q q Η ενεργός διατομή σκέδασης f(q) 5
ιαγράμματα Feynman πρόκειται για διαγράμματα παράστασης της διαδικασίας κάποιας αλληλεπίδρασης ο χρόνος εξελίσσεται οριζόντια ρζ και ο χώρος κατακόρυφα τα βέλη δείχνουν τη φορά κίνησης των σωματιδίων που πλησιάζουν ή απομακρύνονται από τις κορυφές εισερχόμενα σωματίδια ισοδυναμούν με εξερχόμενα αντισωματίδια 6
ιαγράμματα εξαΰλωσης και σχηματισμού τα σωματίδια Α & Β συγκρούονται σχηματίζοντας ένα ενδιάμεσο σωματίδιο Χ που στη συνέχεια διασπάται στα C και D Αντίδραση όπως φαίνεται στο σύστημα εργαστηρίων σε κάθε κορυφή διατηρείται το φορτίο 7
ιαγράμματα ανταλλαγής Ένα σωματίδιο Α σκεδάζεται από ένα σωματίδιο Β ανταλλάσσοντας ένα ενδιάμεσο σωματίδιο Χ και μετασχηματίζονται στα C και D Αντίδραση όπως φαίνεται στο σύστημα εργαστηρίου 8
Πιο σωματίδιο εκπέμπει το Χ ιαγράμματα ανταλλαγής 9
υνητικά σωματίδια ανταλλαγής Το σωματίδιο Χ χαρακτηρίζεται σα δυνητικό. Για το χρόνο που υπάρχει υπακούει την αρχή της αβεβαιότητας Ε t t αλλά η μάζα του διαφέρει από τη μάζα ηρεμίας. s q <o spacelike 4 e- e- γ e- e- 1 3 t Για παράδειγμα έχουμε την ηλεκτρομαγνητική η αλληλεπίδραση η που το ενδιάμεσο σωματίδιο είναι γ q=p=(p-p) γ 3 1 =p 3+p1 -p3 p1 =m -(E 3E 1-p 3 p 1 ) E E (1 cos θ ) 3 1 για θ μεγάλο έχουμε φανταστική μάζα! pγ < 0 10
υνητικά σωματίδια ανταλλαγής Εξαΰλωση ηλεκτρονίου-ποζιτρονίου (Η/Μ αλληλεπίδραση) s q >o timelike e- e- για το φωτόνιο ισχύει γ p =(p +p ) =p +p +p =m +(E E +p p ) γ + - + - + - 4E + - + - p e+ e+ Μπορούμε να δεχτούμε ότι το δυνη- τικό αυτό φωτόνιο υφίσταται διακύμανση στην ενέργεια t άρα έχει μάζα 0 δυνητικό ΔΕ = Ε Το δυνητικό φωτόνιο μπορεί να υπάρχει για χρονικό διάστημα: t t ћ /E 11
ιαγράμματα Feynman Γενικά έχουμε διεργασίες της μορφής A + B C + D ή της μορφής A B + C + D A, B, C, D Χ Κουάρκ Λεπτόνια Αντικουάρκ Αντιλεπτόνια φωτόνιο (γ) γκλουόνιο (g) W + W - Z 0 1
ιαγράμματα Feynman Περιστροφή διαγραμμάτων 13
ιαγράμματα Feynman Περιστροφή διαγραμμάτων 14
ιαγράμματα Feynman Γενικές Ιδιότητες Σε κάθε κορυφή διαγραμμάτων Feynman διατηρούνται: Ενέργεια - ορμή Το Φορτίο Ο Βαρυονικός Αριθμός Ο Λεπτονικός Αριθμός Η γεύση του quark διατηρείται στις παρακάτω αλληλεπιδράσεις: Ισχυρές (Χ=gluon) Ηλεκτρομαγνητικές (Χ=φωτόνιο γ) Ασθενείς μόνο όταν Χ = Ζ 0 και όχι στην περίπτωση Χ = W+ ή Χ = W- 15
ιαγράμματα Feynman υνάμεις Ηλεκτρομαγνητικές: Σε κάθε φορτισμένο σωματίδιο Ασθενείς δυνάμεις: Σε όλα τα Quarks και Λεπτόνια Ισχυρές: Μόνο μεταξύ των Quarks ΑΣΘΕΝΕΙΣ Η/Μ ΙΣΧΥΡΕΣ Quarks Φορτισμένα Λεπτόνια x Ουδέτερα Λεπτόνια x x 16
Ηλεκτρομαγνητικές αλληλεπιδράσεις ενδιάμεσο σωματίδιο το γ σύζευξη μόνο με φορτισμένα σωματίδια 17
Ηλεκτρομαγνητικές αλληλεπιδράσεις 18
19
Ηλεκτρομαγνητικές αλληλεπιδράσεις Η σταθερά α της Ηλεκτρομαγνητικής Ζεύξης είναι μια αδιάστατη ποσότητα που μετράει την ένταση της ζεύξης. δίδυμη γένεση Ο λόγος της ηλεκτροστατικής ενέργειας απώθησης δύο e σε απόσταση ίση με το ισοδύναμο μήκος Compton προς την ενέργεια που αντιστοιχεί στην μάζα ηρεμίας του e. φωτοηλεκτρικό φαινόμενο e V(r=r r c) /mc e e 1 e e α = = = mc mc c 137 εξαΰλωση e + e - H ποσότητα α 1/ ~ e εκφράζει την πιθανότητα για την εκπομπή ή απορρόφηση ενός φωτονίου. 0
Ενεργός ιατομή a + b c + d δέσμη a b n b σωματίδια/όγκο ή ροή της δέσμης a μέσα από τον όγκο του στόχου είναι : σωματίδια /επιφάνεια /χρόνο. Φ=n a v i ταχύτητα δέσμης a αν τα σωματίδια του στόχου έχουν διατομή σ τότε η πιθανότητα κάποιο από τα σωματίδια α να κτυπήσει κάποιο σωματίδιο του στόχου είναι σn b dx Φσn b dx αντιδράσεις /χρόνο ό ρυθμός αντιδράσεων W=σΦ=σn a v i /σωματίδιο στόχου dx 1
Ενεργός ιατομή Θα πρέπει να γενικεύσουμε την έννοια της γεωμετρικής διατομής του στόχου. Η αλληλεπίδραση μεταξύ δέσμης και στόχου μπορεί να είναι μεγάλης εμβέλειας (long range). Σ αυτή την περίπτωση δεν μιλάμε για το αν πετύχαμε ή όχι τον στόχο αλλά για πόσο έχουν εκτραπεί από την τροχιά τους τα σωματίδια της δέσμης. Αυτό το τελευταίο μπορεί να να εξαρτάται από την ενέργεια της δέσμης. Επίσης η διατομή δεν είναι υπόθεση μόνο του στόχου αλλά και της δέσμης. Επίσης πρέπει να λάβουμε υπ όψη την περίπτωση που τα σωματίδια της τελικής κατάστασης είναι διαφορέτικά από αυτά της αρχικής.
Ενεργός ιατομή Μπορούμε να εξηγήσουμε τα κλασσικά πειράματα σκέδασης ορίζοντας μια μοναδική σχέση μεταξύ της παραμέτρου πρόσκρουσης, b, και της γωνίας σκέδασης, θ. Εκφράζοντας το φαινόμενο σα συνάρτηση του b μπορούμε να αντιμετωπίσουμε τις μικρής εμβέλειας και μεγάλης εμβέλειας δυνάμεις με τον ίδιο τρόπο. Για παράδειγμα: Μικρή εμβέλεια : Σκέδαση από σκληρή σφαίρα Μεγάλης εμβέλειας : Σκέδαση Rutherford 3
Σκέδαση από σκληρή σφαίρα η=χ χ + η + θ = π χ = π/ θ/ b = R sinχ = R sin(π/ - θ/) = R cos(θ/) 4
Σκέδαση Rutherford Άπωση Coulomb μεταξύ ενός βαρέως στόχου φορτίου q και ενός ελαφρού σωματιδίου φορτίου q 1 και κινητικής ενέργειας Ε. Η παράμετρος κρούσης δίνεται από τη σχέση 1 qq b= cot(θ /) E 5
γράφεται σαν dσ/dω ιαφορική Ενεργός ιατομή συχνά εξαρτάται από τη γωνία θ γεωμετρικά είναι απλό να δούμε ότι dσ = b db dφ dω = sinθ dθ dφ και η διαφορική ενεργός διατομή γράφεται dσ b db = dω sin θ d θ 6
Σκέδαση από σκληρή σφαίρα db R b = R cos( θ /) = - sin( θ /) dθ d σ b db = dω sinθ dθ R sin( θ )cos( θ ) = sinθ = R 4 R σ = d Ω = π R 4 7
Σκέδαση Rutherford qq db qq E dθ 4E 1 1 b= cot( θ /) = - csc ( θ /) dσ b db = dω sinθ dθ = = qq cot( θ /)csc( θ /) 1 8E sinθ qq 1 4Esin ( θ /) π qq 1 sinθ = π d 4 4E sin ( θ /) 0 σ π θ 8
Φωτεινότητα Luminosity L Συσχετίζουμε την ενεργό διατομή με τους παρατηρούμενους ρυθμούς ανά μονάδα χρόνου dn = L dσ Έστω Ν ο αριθμός γγ γεγονότων που παρατηρούνται ανα μονάδα χρόνου, L έχει διαστάσεις (ενεργός διατομή) -1 στο LHC: L 10 34 cm - s -1 Συνήθως μόνο η φωτεινότητα κορυφής (peak luminosity) δίνεται στη μορφή /μονάδα χρόνου. Ολοκληρώνουμε την φωτεινότητα για τον συνολικό χρόνο που κάποιο πείραμα συλλέγει γεγονότα με σταθερές συνθήκες ώστε να καθορίσουμε τι είδος αντιδράσεις θα μπορούσαμε να δούμε. Η ολοκληρωμένη φωτεινότητα μετριέται σε pb -1 9
Η/M αλληλεπιδράσεις ενεργός διατομή Τα διαγράμματα Feynman δεν είναι μόνο για να απεικονίζουμε μια διαδικασία, μας δίνουν πληροφορία για το πως θα υπολογίσουμε το M της διαδικασίας. μπορούμε να αποκτήσουμε την αίσθηση του τι γίνεται κοιτώντας το διάγραμμα Feynman. Το ίδ διο s α α e- e- γ q e- e- α s e- e- γ M α σ α t e+ e+ t M α 3 σ α 3 πράγματι 1% 30