Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή

Κεφάλαιο 4 Ευκλείδιοι Χώροι 4 Ευκλείδιοι Χώροι Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή των σηµείων στο επίπεδο και διατεταγµένων τριάδων πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή των σηµείων στον 3-διάστατο χώρο πρωτοεµφανίστηκε στα µέσα του 7ου αιώνα Γύρω στα τέλη του 9ου αιώνα οι µαθηµατικοί και οι ϕυσικοί άρχισαν να συνειδητοποιούν ότι δεν χρειαζόταν να σταµατήσουν στις τριάδες Εγινε κατανοητό ότι τετράδες αριθµών (a, a 2, a 3, a 4 ) µπορούν να ϑεωρηθούν σαν σηµεία του «4-διάστατου» χώρου, πεντάδες αριθµών (a, a 2, a 3, a 4, a 5 ) σαν σηµεία του «5-διάστατου» χώρου και τα λοιπά Παρότι η γεωµετρική µας εποπτεία δεν επεκτείνεται πέρα από τον 3-διάστατο χώρο, είναι δυνατό να επεκτείνουµε πολλές γνωστές ιδέες πέρα από τον 3-διάστατο χώρο, δουλεύοντας µε τις αλγεβρικές ιδιότητες των σηµείων και των διανυσµάτων αντί για τις γεωµετρικές τους ιδιότητες Στην ενότητα αυτή ϑα αναπτύξουµε αυτές τις ιδέες Ορισµός Αν ο n είναι ένας ϑετικός ακέραιος, τότε µία διατεταγµένη n-άδα πραγ- µατικών αριθµών είναι µία ακολουθία n πραγµατικών αριθµών (a, a 2,, a n ) Το σύνολο όλων των διατεταγµένων n-άδων ονοµάζεται n-διάστατος Ευκλείδιος χώ- ϱος ή απλά n-διάστατος χώρος και συµβολίζεται µε R n ΟΙ ΧΩΡΟΙ R n Οταν n = 2, τότε συνήθως χρησιµοποιούµε τον όρο διατεταγµένο Ϲεύγος αντί για διατεταγµένη 2-άδα Οταν n =, κάθε διατεταγµένη n-άδα αποτελείται από έναν πραγµατικό αριθµό και άρα µπορούµε να ϑεωρήσουµε ότι ο R είναι το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Συνήθως ϑα γράφουµε R αντί για R για αυτό το σύνολο Στον 3-διάστατο χώρο η διατεταγµένη τριάδα (a, a 2, a 3 ) έχει δύο διαφορετικές γεωµετρικές ερµηνείες Μπορούµε να ϑεωρήσουµε ότι αντιπροσωπεύει ένα σηµείο, 39

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΥΚΛΕΙ ΙΟΙ ΧΩΡΟΙ οπότε τα a, a 2 και a 3 είναι οι συντεταγµένες του (Σχήµα α), ή µπορούµε να ϑεωρήσουµε ότι αντιπροσωπεύει ένα διάνυσµα, οπότε τα a, a 2 και a 3 είναι οι συνιστώσες του (Σχήµα β) Σχήµα Εποµένως µπορούµε να ϑεωρήσουµε ότι µία διατεταγµένη n-άδα (a, a 2,, a n ) είναι είτε ένα «γενικευµένο σηµείο» είτε ένα «γενικευµένο διάνυσµα» στον R n (η διάκριση αυτή είναι ασήµαντη µαθηµατικά) Ετσι µπορούµε να περιγράψουµε την 5-άδα ( 2, 4,,, 6) είτε σαν ένα σηµείο στον R 5 είτε σαν ένα διάνυσµα στον R 5 Ορισµός Θα λέµε ότι δύο διανύσµατα u = (u, u 2,, u n ) και v = (v, v 2,, v n ) στον R n είναι ίσα αν u = v, u 2 = v 2,, u n = v n Ορισµός Αν τα u = (u, u 2,, u n ) και v = (v, v 2,, v n ) είναι δύο διανύσµατα στον R n, τότε το άθροισµα τους u + v ορίζεται ως εξής u + v = (u + v, u 2 + v 2,, u n + v n ) Ορισµός Αν το u = (u, u 2,, u n ) είναι ένα διάνυσµα στον R n και το λ είναι ένα ϐαθµωτό, τότε το ϐαθµωτό γινόµενο λu ορίζεται ως εξής λu = (λu, λu 2,, λu n ) Οι πράξεις της πρόσθεσης και του ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού που ορίσαµε πα- ϱαπάνω ονοµάζονται συνήθεις πράξεις του R n Το µηδενικό διάνυσµα του R n συµβολίζεται µε και ορίζεται ως εξής = (,,, ) Αν u = (u, u 2,, u n ) είναι ένα διάνυσµα του R n, τότε το αντίθετο του u συµ- ϐολίζεται µε u και ορίζεται ως εξής u = ( u, u 2,, u n ) Η διαφορά δύο διανυσµάτων v και u του R n ορίζεται ως εξής v u = v + ( u) Εύκολα ϐλέπουµε ότι αν u = (u, u 2,, u n ) και v = (v, v 2,, v n ), τότε v u = (v u, v 2 u 2,, v n u n )

4 ΕΥΚΛΕΙ ΙΟΙ ΧΩΡΟΙ 3 Στο παρακάτω ϑεώρηµα δίνουµε τις πιο σηµαντικές ιδιότητες της πρόσθεσης και του ϐαθµωτού γινοµένου για διανύσµατα του R n Οι αποδείξεις είναι όλες εύκολες και αφήνονται σαν ασκήσεις Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ R n Θεώρηµα 4 Αν τα u, v και w είναι διανύσµατα στον R n και τα λ και µ είναι ϐαθµωτά, τότε () u + v R n (2) u + v = v + u (3) u + (v + w) = (u + v) + w (4) u + = u (5) u + ( u) = (6) λu R n (7) λ(u + v) = λu + λv (8) (λ + µ)u = λu + µu (9) λ(µu) = (λµ)u () u = u ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες (2) και (4) παίρνουµε ότι, για όλα τα u στον R n, (4) + u = u Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες (2) και (5) παίρνουµε ότι, για όλα τα u στον R n, (5) ( u) + u = Χρησιµοποιώντας την ιδιότητα (9) και τις ιδιότητες του πολλαπλασιασµού αριθµών παίρνουµε ότι, για όλα τα u στον R n και όλα τα ϐαθµωτά λ και µ, (9) λ(µu) = (µλ)u = µ(λu) Το Θεώρηµα 4 µας επιτρέπει να χειριζόµαστε τα διανύσµατα στον R n χωρίς να τα εκφράζουµε µέσω συντεταγµένων Για παράδειγµα, για να λύσουµε την εξίσωση διανυσµάτων x + u = v ως προς x, µπορούµε να προσθέσουµε και στα δύο µέλη το u και να προχωρήσουµε όπως ϕαίνεται παρακάτω : x + u = v (x + u) + ( u) = v + ( u) (x + u) + ( u) = v u x + (u + ( u)) = v u x + = v u x = v u Θα ήταν χρήσιµο για τον αναγνώστη να ϐρεί τα συγκεκριµένα µέρη του Θεωρήµατος 4 τα οποία δικαιολογούν τις τρεις τελευταίες συνεπαγωγές

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΥΚΛΕΙ ΙΟΙ ΧΩΡΟΙ Στο επόµενο ϑεώρηµα ϑα δούµε ότι το µηδενικό διάνυσµα του R n είναι µοναδικό και για κάθε διάνυσµα του R n το αντίθετό του είναι µοναδικό Θεώρηµα 42 (α) Αν το είναι ένα διάνυσµα του R n για το οποίο ισχύει u+ = u, για όλα τα u στον R n, τότε = ηλαδή το µηδενικό διάνυσµα του R n είναι το µοναδικό διάνυσµα του R n µε την ιδιότητα u + = u, για όλα τα u στον R n (ϐ) Εστω u ένα διάνυσµα του R n Αν το u είναι ένα διάνυσµα του R n για το οποίο ισχύει u + u =, τότε u = u ηλαδή για κάθε διάνυσµα u του R n, το αντίθετό του u είναι το µοναδικό διάνυσµα του R n µε την ιδιότητα u + ( u) = Απόδειξη (α) Εχουµε ότι και άρα = + [(4)] = + [(2)] = [από την υπόθεση] = (ϐ) Εχουµε ότι και άρα u = u + [(4)] = u + (u + ( u)) [(5)] = (u + u) + ( u) [(3)] = (u + u ) + ( u) [(2)] = + ( u) [από την υπόθεση] = u [(4) ] u = u ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ (α) Αν το είναι ένα διάνυσµα του R n για το οποίο ισχύει + u = u, για όλα τα u στον R n, τότε = ηλαδή το µηδενικό διάνυσµα του R n είναι το µοναδικό διάνυσµα του R n µε την ιδιότητα + u = u, για όλα τα u στον R n (ϐ) Εστω u ένα διάνυσµα του R n Αν το u είναι ένα διάνυσµα του R n για το οποίο ισχύει u + u =, τότε u = u ηλαδή για κάθε διάνυσµα u του R n, το αντίθετό του u είναι το µοναδικό διάνυσµα του R n µε την ιδιότητα ( u) + u = Οι αποδείξεις των (α) και (ϐ) αφήνονται σαν άσκηση Ολοκληρώνουµε αυτή την ενότητα µε ένα ϑεώρηµα το οποίο περιέχει κάποιες ακόµα ιδιότητες των πράξεων στον R n Θεώρηµα 43 Εστω ότι το u είναι ένα διάνυσµα στον R n και το λ είναι ένα ϐαθµωτό Τότε : (α) u = (ϐ) λ = (γ) ( )u = u (δ) Αν λu =, τότε είτε λ = είτε u =

4 ΕΥΚΛΕΙ ΙΟΙ ΧΩΡΟΙ 33 Απόδειξη Θα αποδείξουµε τα (α) και (γ) και ϑα αφήσουµε τις αποδείξεις των (ϐ) και (δ) σαν ασκήσεις (α) Εχουµε ότι u + u = ( + )u [(8)] = u [ + = ] Αν προσθέσουµε το u στα δύο µέλη της παραπάνω εξίσωσης παίρνουµε ότι (u + u) + ( u) = u + ( u) Εχουµε ότι (u + u) + ( u) = u + ( u) u + (u + ( u)) = u + ( u) [(3)] u + = [(5)] u = [(4)] και άρα u = (γ) Από το Θεώρηµα 42(ϐ), για να δείξουµε ότι ( )u = u πρέπει να δείξουµε ότι u + ( )u = Αυτό ισχύει γιατί u + ( )u = u + ( )u [()] = ( + ( ))u [(8)] = u [ + ( ) = ] = [Από το (α)] Ολοκληρώνουµε την ενότητα αυτή σηµειώνοντας ότι είναι δυνατό να χρησιµοποιήσου- µε το συµβολισµό πινάκων u = u u 2 u n ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΤΟΥ R n αντί για τον οριζόντιο συµβολισµό u = (u, u 2,, u n ) για τα διανύσµατα του R n Αυτό δικαιολογείται επειδή οι πράξεις πινάκων u v u 2 v 2 u + v = u n + v n = u + v u 2 + v 2 u n + v n

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΥΚΛΕΙ ΙΟΙ ΧΩΡΟΙ και λu = λ u u 2 u n = λu λu 2 λu n δίνουν τα ίδια αποτελέσµατα µε τις πράξεις διανυσµάτων u + v = (u, u 2,, u n ) + (v, v 2,, v n ) = (u + v, u 2 + v 2,, u n + v n ) και λu = λ(u, u 2,, u n ) = (λu, λu 2,, λu n ) Η µόνη διαφορά είναι ότι στη µία περίπτωση τα αποτελέσµατα παριστάνονται κατακό- ϱυφα και στην άλλη οριζόντια Θα χρησιµοποιούµε και τους δύο συµβολισµούς Θα συµβολίζουµε τους n πίνακες µε έντονα πεζά γράµµατα Ετσι ϑα γράφουµε ένα σύστηµα γραµµικών εξισώσεων στη µορφή Ax = b αντί για τη µορφή AX = B που χρησιµοποιούσαµε προηγούµενα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Εστω u = ( 3, 2,, ), v = (4, 7, 3, 2) και w = (5, 2, 8, ) Να ϐρεθούν τα (α) v w (ϐ) 2u + 7v (γ) u + (v 4w) (δ) 6(u 3v) (ε) v w (στ) (6v w) (4u + v) 2 Εστω ότι u, v και w είναι τα διανύσµατα στην Άσκηση Να ϐρεθεί το διάνυσµα x το οποίο ικανοποιεί την 5x 2v = 2(w 5x) 3 Εστω u = (, 3, 2, ), u 2 = (2,, 4, ), u 3 = (7,,, 4) και u 4 = (6, 3,, 2) Να ϐρεθούν ϐαθµωτά λ, λ 2, λ 3 και λ 4 τέτοια ώστε λ u + λ 2u 2 + λ 3u 3 + λ 4u 4 = (, 5, 6, 3) 4 Αποδείξτε ότι δεν υπάρχουν ϐαθµωτά λ, λ 2 και λ 3 τέτοια ώστε λ (,,, ) + λ 2(,, 2, ) + λ 3(2,,, 2) = (, 2, 2, 3) 5 Επιβεβαιώστε τα ()-() του Θεωρήµατος 4 για u = (2,, 3, ), v = (4,, 3, 5), w = (, 6, 2, ), λ = 5 και µ = 3 6 Αποδείξτε τα () ως (5) του Θεωρήµατος 4 7 Αποδείξτε τα (6) ως () του Θεωρήµατος 4 8 Αποδείξτε το (ϐ) του Θεωρήµατος 42 9 Αποδείξτε το (δ) του Θεωρήµατος 42 Εστω u ένα διάνυσµα στον R n Αποδείξτε ότι u = u u =

42 ΥΠΟΧΩΡΟΙ 35 42 Υπόχωροι Κάποια υποσύνολα του R n ικανοποιούν ιδιότητες παρόµοιες µε αυτές του Θεωρήµατος 4 Για παράδειγµα, τα επίπεδα τα οποία διέρχονται από την αρχή των αξόνων στον R 3 Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε λεπτοµερώς αυτά τα υποσύνολα Ορισµός Ενα µη κενό υποσύνολο W του R n ονοµάζεται υπόχωρος του R n αν (α) Αν τα u και v είναι διανύσµατα στο W, τότε το u + v ανήκει στο W (ϐ) Αν το λ είναι ϐαθµωτό και το u είναι διάνυσµα στο W, τότε το λu ανήκει στο W ΟΡΙΣΜΟΣ ΥΠΟΧΩΡΟΥ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Ενα µη κενό υποσύνολο W του R n ονοµάζεται κλειστό ως προς την πρόσθεση αν ισχύει η συνθήκη (α) του ορισµού και κλειστό ως προς τον ϐαθµωτό πολλαπλασιασµό αν ισχύει η συνθήκη (ϐ) Ετσι έχουµε ότι το W είναι υπόχωρος του R n αν το W είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση και κλειστό ως προς τον ϐαθµωτό πολλαπλασιασµό Εύκολα ϐλέπουµε ότι οι ιδιότητες (2), (3), (7), (8), (9), () του Θεωρήµατος 4 ισχύουν για τα διανύσµατα του W επειδή ισχύουν για όλα τα διανύσµατα του R n Οι ιδιότητες () και (6) ισχύουν για τα διανύσµατα του W από τον ορισµό του υπόχωρου Το επόµενο ϑεώρηµα µας δείχνει ότι και οι ιδιότητες (4) και (5) ισχύουν Θεώρηµα 42 Αν το W είναι υπόχωρος του R n, τότε ισχύουν τα παρακάτω (α) Το ανήκει στο W (ϐ) Αν το u είναι διάνυσµα στο W, τότε το u ανήκει στο W Απόδειξη (α) Εστω u ένα διάνυσµα στο W Από τη συνθήκη (ϐ) στον ορισµό του υπόχωρου, το λu ανήκει στο W για όλα τα ϐαθµωτά λ Αν ϑέσουµε λ = παίρνουµε, από το Θεώρηµα 43(α), ότι το u = ανήκει στο W (ϐ) Εστω u ένα διάνυσµα στο W Από τη συνθήκη (ϐ) στον ορισµό του υπόχωρου, το λu ανήκει στο W για όλα τα ϐαθµωτά λ Αν ϑέσουµε λ = παίρνουµε, από το Θεώρηµα 43(γ), ότι το ( )u = u ανήκει στο W Παράδειγµα Εστω W ένα επίπεδο στον R 3 το οποίο περνάει από την αρχή των αξόνων ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΧΩΡΩΝ Εφόσον το επίπεδο W περνάει από την αρχή των αξόνων ϑα έχει µία εξίσωση της µορφής ax + by + cz = ()

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΥΚΛΕΙ ΙΟΙ ΧΩΡΟΙ Εστω ότι τα u = (u, u 2, u 3 ) και v = (v, v 2, v 3 ) είναι σηµεία στο W Τότε οι συντεταγµένες τους ϑα ικανοποιούν την () και άρα au + bu 2 + cu 3 = και av + bv 2 + cv 3 = Αν προσθέσουµε τις εξισώσεις αυτές παίρνουµε ότι a(u + v ) + b(u 2 + v 2 ) + c(u 3 + v 3 ) = Η ισότητα αυτή µας λέει ότι οι συντεταγµένες του σηµείου u + v = (u + v, u 2 + v 2, u 3 + v 3 ) ικανοποιούν την () Εποµένως το u + v ϐρίσκεται στο επίπεδο W Αυτό αποδεικνύει ότι το W είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση Θα µπορούσαµε να το αποδείξουµε και γεωµετρικά ως εξής : Εστω W ένα επίπεδο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έστω u και v δύο διανύσµατα στο W Τοτε το u + v ανήκει στο W εφόσον είναι η διαγώνιος του παραλληλογράµµου που ορίζεται από τα u και v (Σχήµα ) Σχήµα Η απόδειξή του ότι το W είναι κλειστό ως προς το ϐαθµωτό πολλαπλασιασµό αφήνεται σαν άσκηση Εποµένως το W είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση και το ϐαθµωτό πολλαπλασιασµό και άρα είναι ένας υπόχωρος του R 3 Παράδειγµα 2 είξτε ότι µία ευθεία στον R 3 η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων είναι υπόχωρος του R 3 Λύση Εστω ότι η W είναι µία ευθεία στον R 3 η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων Είναι προφανές γεωµετρικά ότι το άθροισµα δύο διανυσµάτων πάνω στην ευθεία αυτή ϐρίσκεται επίσης πάνω στην ευθεία και ότι οποιοδήποτε ϐαθµωτό γινόµενο ενός διανύσµατος πάνω στην ευθεία ϐρίσκεται και αυτό πάνω στην ευθεία (Σχήµα 2)

42 ΥΠΟΧΩΡΟΙ 37 Σχήµα 2 Άρα η W είναι κλειστή ως προς την πρόσθεση και τον ϐαθµωτό πολλαπλασιασµό και άρα είναι υπόχωρος του R 3 Η αλγεβρική απόδειξη αφήνεται σαν άσκηση Παράδειγµα 3 Εστω W το σύνολο όλων των σηµείων (x, y) στον R 2 τα οποία ϐρίσκονται στο πρώτο τεταρτηµόριο, δηλαδή τα οποία είναι τέτοια ώστε x και y Το σύνολο W δεν είναι υπόχωρος του R 2 εφόσον δεν είναι κλειστό ως προς τον ϐαθµωτό πολλαπλασιασµό Για παράδειγµα το u = (, ) ϐρίσκεται στο W, ενώ το ( )u = u = (, ) δεν ϐρίσκεται (Σχήµα 3) Σχήµα 3 Ο R n έχει τουλάχιστον δύο υπόχωρους : ο ίδιος ο R n είναι ένας υπόχωρος και το σύνολο {} το οποίο αποτελείται µόνο από το µηδενικό διάνυσµα του R n είναι ένας υπόχωρος ο οποίος ονοµάζεται ο µηδενικός υπόχωρος Συνδυάζοντας αυτό µε τα Παραδείγµατα και 2 παίρνουµε τον ακόλουθο κατάλογο υπόχωρων του R 3 : {} Ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων Επίπεδα που διέρχονται από την αρχή των αξόνων R 3 Οµοια οι υπόχωροι του R 2 είναι {} Ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων R 2 Παράδειγµα 4 Θεωρούµε το σύστηµα m γραµµικών εξισώσεων µε n αγνώστους a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m x + a m2 x 2 + + a mn x n = b m ΧΩΡΟΣ ΛΥΣΕΩΝ ΟΜΟΓΕΝΟΥΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΥΚΛΕΙ ΙΟΙ ΧΩΡΟΙ ή, µε συµβολισµό πινάκων, Ax = b Ενα διάνυσµα s = s s 2 s n στον R n ονοµάζεται διάνυσµα λύση του συστήµατος αν η x = s, x 2 = s 2,, x n = s n είναι µία λύση του συστήµατος Σε αυτό το παράδειγµα ϑα δείξουµε ότι το σύνολο των διανυσµάτων λύσεων ενός οµογενούς συστήµατος είναι ένας υπόχωρος του R n Εστω Ax = ένα οµογενές σύστηµα m γραµµικών εξισώσεων µε n αγνώστους Εστω W το σύνολο των διανυσµάτων λύσεων και έστω s και s διανύσµατα στο W Για να δείξουµε ότι το W είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση και τον ϐαθµωτό πολλαπλασιασµό πρέπει να αποδείξουµε ότι τα s + s και λs είναι διανύσµατα λύσεις, όπου το λ είναι κάποιο ϐαθµωτό Εφόσον τα s και s είναι διανύσµατα λύσεις ϑα ισχύει As = και As = Άρα A(s + s ) = As + As = + = και A(λs) = λ(as) = λ = Αυτές οι δύο ισότητες δείχνουν ότι τα x = s + s και x = λs ικανοποιούν την εξίσωση Ax = Εποµένως τα s + s και λs είναι διανύσµατα λύσεις Ο υπόχωρος W του προηγούµενου παραδείγµατος ονοµάζεται χώρος λύσεων του συστήµατος Ax = ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 42 Προσδιορίσετε ποια από τα παρακάτω σύνολα είναι υπόχωροι του R 3 (α) Ολα τα διανύσµατα της µορφής (a,, ) (ϐ) Ολα τα διανύσµατα της µορφής (a,, ) (γ) Ολα τα διανύσµατα της µορφής (a, b, c), όπου b = a + c (δ) Ολα τα διανύσµατα της µορφής (a, b, c), όπου b = a + c + Σε αυτό το παράδειγµα συµβολίζουµε τα διανύσµατα του R n µε πίνακες

43 ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΥΠΟΧΩΡΟΥ 39 2 Αποδείξτε ότι τα διανύσµατα λύσεις ενός συµβιβαστού µη οµογενούς συστήµατος m γραµ- µικών εξισώσεων µε n αγνώστους δεν αποτελούν έναν υπόχωρο του R n 43 Παραγωγή Υπόχωρου Στην ενότητα αυτή ϑα µιλήσουµε για τις έννοιες του γραµµικού συνδυασµού διανυσµάτων και του υπόχωρου που παράγει µία οικογένεια διανυσµάτων Ο επόµενος ορισµός εισάγει µία από τις πιο ϑεµελιώδεις έννοιες στη µελέτη των δια- νυσµατικών χώρων Ορισµός Εστω ότι ο W ένας υπόχωρος του R n Ενα διάνυσµα w του W ονοµά- Ϲεται γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων v, v 2,, v r του W αν µπορεί να εκφραστεί στη µορφή w = λ v + λ 2 v 2 + + λ r v r, ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΣΥΝ Υ- ΑΣΜΟΙ ΙΑΝΥ- ΣΜΑΤΩΝ όπου τα λ, λ 2,, λ r είναι ϐαθµωτά Παράδειγµα Θεωρούµε τα διανύσµατα u = (, 2, ) και v = (6, 4, 2) στον R 3 είξτε ότι το w = (9, 2, 7) είναι γραµµικός συνδυασµός των u και v και ότι το w = (4,, 8) δεν είναι γραµµικός συνδυασµός των u και v Λύση Για να είναι το w γραµµικός συνδυασµός των u και v πρέπει να υπάρχουν ϐαθµωτά λ και λ 2 τέτοια ώστε w = λ u + λ 2 v, δηλαδή (9, 2, 7) = λ (, 2, ) + λ 2 (6, 4, 2) ή (9, 2, 7) = (λ + 6λ 2, 2λ + 4λ 2, λ + 2λ 2 ) Εξισώνοντας τις αντίστοιχες συντεταγµένες παίρνουµε λ + 6λ 2 = 9 2λ + 4λ 2 = 2 λ + 2λ 2 = 7

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΥΚΛΕΙ ΙΟΙ ΧΩΡΟΙ Αν λύσουµε αυτό το σύστηµα παίρνουµε λ = 3, λ 2 = 2 (επιβεβαιώστε το) και άρα w = 3u + 2v Οµοια για να είναι το w γραµµικός συνδυασµός των u και v πρέπει να υπάρχουν ϐαθµωτά λ και λ 2 τέτοια ώστε w = λ u + λ 2 v, δηλαδή ή (4,, 8) = λ (, 2, ) + λ 2 (6, 4, 2) (4,, 8) = (λ + 6λ 2, 2λ + 4λ 2, λ + 2λ 2 ) Εξισώνοντας τις αντίστοιχες συντεταγµένες παίρνουµε λ + 6λ 2 = 4 2λ + 4λ 2 = λ + 2λ 2 = 8 Αυτό το σύστηµα εξισώσεων δεν είναι συµβιβαστό (επιβεβαιώστε το) και άρα δεν υπάρχουν τέτοια ϐαθµωτά λ και λ 2 Εποµένως το w δεν είναι γραµµικός συνδυασµός ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΥΠΟΧΩΡΟΥ των u και v Ορισµός Εστω ότι ο W ένας υπόχωρος του R n Αν τα v, v 2,, v r είναι διανύσµατα στον W και κάθε διάνυσµα στον W εκφράζεται σαν γραµµικός συνδυασµός αυτών των διανυσµάτων, τότε ϑα λέµε ότι τα v, v 2,, v r παράγουν τον W Παράδειγµα 2 Τα διανύσµατα i = (,, ), j = (,, ) και k = (,, ) παράγουν τον R 3 επειδή κάθε διάνυσµα (a, b, c) στον R 3 µπορεί να γραφτεί στη µορφή (a, b, c) = ai + bj + ck και άρα είναι γραµµικός συνδυασµός των i, j και k Παράδειγµα 3 Εξετάστε αν τα v = (,, 2), v 2 = (,, ) και v 3 = (2,, 3) παράγουν τον R 3 Λύση Πρέπει να εξετάσουµε αν ένα τυχαίο διάνυσµα b = (b, b 2, b 3 ) στον R 3 µπορεί να εκφραστεί σαν ένας γραµµικός συνδυασµός b = λ v + λ 2 v 2 + λ 3 v 3

43 ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΥΠΟΧΩΡΟΥ 32 των v, v 2 και v 3 Αν εκφράσουµε την εξίσωση αυτή µέσω των συντεταγµένων παίρνουµε (b, b 2, b 3 ) = λ (,, 2) + λ 2 (,, ) + λ 3 (2,, 3) ή (b, b 2, b 3 ) = (λ + λ 2 + 2λ 3, λ + λ 3, 2λ + λ 2 + 3λ 3 ) ή λ + λ 2 + 2λ 3 = b λ + λ 3 = b 2 2λ + λ 2 + 3λ 3 = b 3 Το πρόβληµα λοιπόν ανάγεται στο να προσδιορίσουµε αν το σύστηµα αυτό είναι συµ- ϐιβαστό για όλες τις τιµές των b, b 2 και b 3 Από το Θεώρηµα 73, το σύστηµα αυτό είναι συµβιβαστό για όλες τις τιµές των b, b 2 και b 3 αν και µόνο αν ο πίνακας συντελεστών του A = 2 2 3 είναι αντιστρέψιµος Οµως det(a) = (επιβεβαιώστε το) και άρα, από το Θεώρηµα 234, ο A δεν είναι αντιστρέψιµος Εποµένως τα v, v 2 και v 3 δεν παράγουν τον R 3 Γενικά αν έχουµε ένα σύνολο διανυσµάτων {v, v 2,, v r } στον R n τότε τα διανύσµατα αυτά µπορεί να παράγουν ή να µην παράγουν τον R n Αν τον παράγουν, τότε κάθε διάνυσµα του R n µπορεί να εκφραστεί σαν γραµµικός συνδυασµός των v, v 2,, v r Αν δεν τον παράγουν, τότε κάποια διανύσµατα εκφράζονται έτσι και κάποια άλλα όχι Το επόµενο ϑεώρηµα µας λέει ότι αν πάρουµε όλα τα διανύσµατα στον R n τα οποία µπορούν να εκφραστούν σαν γραµµικοί συνδυασµοί των v, v 2,, v r, τότε αυτά σχηµατίζουν έναν υπόχωρο του R n Ο υπόχωρος αυτός ονοµάζεται ο υπόχωρος που παράγεται από τα v, v 2,, v r Θεώρηµα 43 Αν τα v, v 2,, v r είναι διανύσµατα στον R n, τότε (α) Το σύνολο W όλων των γραµµικών συνδυασµών των v, v 2,, v r είναι ένας υπόχωρος του R n (ϐ) Ο W είναι ο µικρότερος υπόχωρος του R n που περιέχει τα v, v 2,, v r, µε την έννοια ότι κάθε άλλος υπόχωρος του R n που περιέχει τα v, v 2,, v r πρέπει να περιέχει τον W Απόδειξη (α) Για να δείξουµε ότι το W είναι υπόχωρος του R n πρέπει να δείξουµε ότι είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση και το ϐαθµωτό πολλαπλασιασµό Αν τα u και v

322 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΥΚΛΕΙ ΙΟΙ ΧΩΡΟΙ είναι διανύσµατα στο W, τότε u = λ v + λ 2 v 2 + + λ r v r και v = µ v + µ 2 v 2 + + µ r v r, όπου τα λ, λ 2,, λ r, µ, µ 2,, µ r είναι ϐαθµωτά Εποµένως u + v = (λ + µ )v + (λ 2 + µ 2 )v 2 + + (λ r + µ r )v r και, για κάθε ϐαθµωτό λ, λu = (λλ )v + (λλ 2 )v 2 + + (λλ r )v r Άρα τα u + v και λu είναι γραµµικοί συνδυασµοί των v, v 2,, v r και εποµένως ανήκουν στο W Άρα το W είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση και το ϐαθµωτό πολλαπλασιασµό (ϐ) Κάθε διάνυσµα v i, i =, 2,, r, είναι γραµµικός συνδυασµός των v, v 2,, v r εφόσον µπορούµε να γράψουµε v i = v + v 2 + + v i + + v r Άρα ο W περιέχει το κάθε ένα από τα διανύσµατα v, v 2,, v r Εστω W κάποιος άλλος υπόχωρος του R n ο οποίος περιέχει τα v, v 2,, v r Εφόσον ο W είναι κλειστός ως προς την πρόσθεση και το ϐαθµωτό πολλαπλασιασµό πρέπει να περιέχει όλους τους γραµµικούς συνδυασµούς των v, v 2,, v r Εποµένως ο W περιέχει κάθε διάνυσµα του W Εισάγουµε τον παρακάτω συµβολισµό Ορισµός Ο υπόχωρος W ο οποίος παράγεται από το σύνολο διανυσµάτων S = {v, v 2,, v r } ϑα συµβολίζεται µε lin(s) ή lin{v, v 2,, v r } Παράδειγµα 4 Αν τα v και v 2 είναι µη συγγραµµικά διανύσµατα στον R 3, τότε ο lin{v, v 2 }, ο οποίος αποτελείται από όλους τους γραµµικούς συνδυασµούς λ v + λ 2 v 2, είναι το επίπεδο το οποίο ορίζεται από τα v και v 2 (Σχήµα α) Οµοια αν το v είναι ένα µη µηδενικό διάνυσµα στον R 2 ή τον R 3, τότε ο lin{v}, ο οποίος είναι

44 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ 323 το σύνολο όλων των ϐαθµωτών γινοµένων λv, είναι η ευθεία που ορίζεται από το v (Σχήµα β) Σχήµα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 43 Ποια από τα παρακάτω διανύσµατα του R 3 είναι γραµµικοί συνδυασµοί των u = (, 2, 2) και v = (, 3, ); (α) (2, 2, 2) (ϐ) (3,, 5) (γ) (, 4, 5) (δ) (,, ) 2 Να εκφραστούν τα παρακάτω διανύσµατα του R 3 σαν γραµµικοί συνδυασµοί των u = (2,, 4), v = (,, 3) και w = (3, 2, 5) (α) ( 9, 7, 5) (ϐ) (6,, 6) (γ) (,, ) (δ) (7, 8, 9) 3 Σε κάθε µέρος προσδιορίστε αν τα δοσµένα διανύσµατα παράγουν τον R 3 (α) v = (2, 2, 2), v 2 = (,, 3), v 3 = (,, ) (ϐ) v = (2,, 3), v 2 = (4,, 2), v 3 = (8,, 8) (γ) v = (3,, 4), v 2 = (2, 3, 5), v 3 = (5, 2, 9), v 4 = (, 4, ) (δ) v = (, 2, 6), v 2 = (3, 4, ), v 3 = (4, 3, ), v 4 = (3, 3, ) 4 Εστω v = (2,,, 3), v 2 = (3,, 5, 2) και v 3 = (,, 2, ) Ποια από τα παρακάτω διανύσµατα του R 4 ανήκουν στον lin{v, v 2, v 3}; (α) (2, 3, 7, 3) (ϐ) (,,, ) (γ) (,,, ) (δ) ( 4, 6, 3, 4) 44 Γραµµική Ανεξαρτησία Στην προηγούµενη ενότητα είδαµε ότι ένα σύνολο διανυσµάτων S = {v, v 2,, v r } παράγει έναν υπόχωρο W αν κάθε διάνυσµα στον W µπορεί να εκφραστεί σαν γραµ- µικός συνδυασµός των διανυσµάτων του S Γενικά µπορεί να υπάρχουν περισσότεροι από ένας τρόποι για να εκφραστεί ένα διάνυσµα στον W σαν γραµµικός συνδυασµός των στοιχείων ενός συνόλου που παράγει τον υπόχωρο Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε συνθήκες υπό τις οποίες κάθε διάνυσµα του W εκφράζεται σαν γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων που τον παράγουν µε έναν ακριβώς τρόπο Σύνολα τα οποία παράγουν έναν υπόχώρο και έχουν αυτή την ιδιότητα παίζουν πολύ σηµαντικό ϱόλο στην µελέτη των ευκλείδιων χώρων

324 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΥΚΛΕΙ ΙΟΙ ΧΩΡΟΙ Ορισµός Εστω ότι S = {v, v 2,, v r } είναι ένα µη κενό σύνολο διανυσµάτων στον R n Τότε η διανυσµατική εξίσωση λ v + λ 2 v 2 + + λ r v r = ΟΡΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΝΕΞΑ- ΡΤΗΣΙΑΣ έχει τουλάχιστον µία λύση, την λ =, λ 2 =,, λ r = Αν αυτή είναι η µοναδική λύση, δηλαδή αν λ v + λ 2 v 2 + + λ r v r = λ =, λ 2 =,, λ r =, τότε ϑα λέµε ότι το S είναι ένα γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο Αν υπάρχουν και άλλες λύσεις, δηλαδή αν υπάρχουν ϐαθµωτά λ, λ 2,, λ r όχι όλα ίσα µε, τέτοια ώστε λ v + λ 2 v 2 + + λ r v r =, τότε ϑα λέµε ότι το S είναι ένα γραµµικά εξαρτηµένο σύνολο Παράδειγµα Αν v = (2,,, 3), v 2 = (, 2, 5, ) και v 3 = (7,, 5, 8), τότε το σύνολο διανυσµάτων S = {v, v 2, v 3 } είναι γραµµικά εξαρτηµένο, εφόσον 3v + v 2 v 3 = Παράδειγµα 2 Θεωρούµε τα διανύσµατα i = (,, ), j = (,, ) και k = (,, ) στον R 3 Αν εκφράσουµε τη διανυσµατική εξίσωση λ i + λ 2 j + λ 3 k = µέσω συντεταγµένων παίρνουµε λ (,, ) + λ 2 (,, ) + λ 3 (,, ) = (,, ) ή ισοδύναµα (λ, λ 2, λ 3 ) = (,, ) Αυτό συνεπάγεται ότι λ =, λ 2 =, λ 3 = και άρα το σύνολο S = {i, j, k} είναι γραµµικά ανεξάρτητο Κατά παρόµοιο τρόπο µπορούµε να αποδείξουµε ότι τα διανύσµατα e = (,,,, ), e 2 = (,,,, ),, e n = (,,,, ) σχηµατίζουν ένα γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο στον R n

44 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ 325 Παράδειγµα 3 Να εξεταστεί αν τα διανύσµατα v = (, 2, 3), v 2 = (5, 6, ), v 3 = (3, 2, ) σχηµατίζουν ένα γραµµικά εξαρτηµένο ή ένα γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο Λύση Αν εκφράσουµε τη διανυσµατική εξίσωση λ v + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 = µέσω συντεταγµένων παίρνουµε λ (, 2, 3) + λ 2 (5, 6, ) + λ 3 (3, 2, ) = (,, ) ή ισοδύναµα (λ + 5λ 2 + 3λ 3, 2λ + 6λ 2 + 2λ 3, 3λ λ 2 + λ 3 ) = (,, ) Εξισώνοντας τις αντίστοιχες συντεταγµένες παίρνουµε λ + 5λ 2 + 3λ 3 = 2λ + 6λ 2 + 2λ 3 = 3λ λ 2 + λ 3 = Εποµένως τα v, v 2 και v 3 σχηµατίζουν ένα γραµµικά εξαρτηµένο σύνολο αν το σύστηµα αυτό έχει µη τετριµµένες λύσεις και ένα γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο αν έχει µόνο την τετριµµένη λύση Αν λύσουµε το σύστηµα αυτό παίρνουµε λ = 2 t, λ 2 = 2 t, λ 3 = t Εποµένως το σύστηµα έχει µη τετριµµένες λύσεις και άρα τα v, v 2 και v 3 σχηµατίζουν ένα γραµµικά εξαρτηµένο σύνολο Εναλλακτικά ϑα µπορούσαµε να δείξουµε την ύπαρξη µη τετριµµένων λύσεων χωρίς να λύσουµε το σύστηµα δείχνοντας ότι ο πίνακας συντελεστών έχει ορίζουσα µηδέν και άρα δεν είναι αντιστρέψιµος Ο όρος «γραµµικά εξαρτηµένο» µας κάνει να υποπτευθούµε ότι τα διανύσµατα ενός γραµµικά εξαρτηµένου συνόλου «εξαρτώνται» το ένα από το άλλο µε κάποιον τρόπο Το επόµενο ϑεώρηµα δείχνει ότι κάτι τέτοιο πραγµατικά συµβαίνει Θεώρηµα 44 Ενα υπόσύνολο S του R n µε δύο ή περισσότερα διανύσµατα είναι (α) γραµµικά εξαρτηµένο αν και µόνο αν τουλάχιστον ένα από τα διανύσµατα στο S µπορεί να εκφραστεί σαν γραµµικός συνδυασµός των υπόλοιπων διανυσµάτων του S, (ϐ) γραµµικά ανεξάρτητο αν και µόνο αν κανένα από τα διανύσµατα στο S δεν µπορεί να εκφραστεί σαν γραµµικός συνδυασµός των υπόλοιπων διανυσµάτων του S

326 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΥΚΛΕΙ ΙΟΙ ΧΩΡΟΙ Απόδειξη Θα αποδείξουµε το µέρος (α) και ϑα αφήσουµε το µέρος (ϐ) σαν άσκηση (α) Εστω S = {v, v 2,, v r } ένα σύνολο µε δύο ή περισσότερα διανύσµατα Αν υποθέσουµε ότι το S είναι γραµµικά εξαρτηµένο, τότε υπάρχουν ϐαθµωτά λ, λ 2,, λ r όχι όλα µηδέν, τέτοια ώστε λ v + λ 2 v 2 + + λ r v r = () Υποθέτουµε ότι λ Τότε η () µπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής v = ( λ ) ( 2 v 2 + + λ ) r v r λ λ Η εξίσωση αυτή εκφράζει το v σαν γραµµικό συνδυασµό των υπόλοιπων διανυσµάτων στο S Οµοια αν λ j, για κάποιο j = 2, 3,, r, τότε το v j µπορεί να εκφραστεί σαν γραµµικός συνδυασµός των υπόλοιπων διανυσµάτων του S Αντίστροφα, ας υποθέσουµε ότι τουλάχιστον ένα από τα διανύσµατα του S µπορεί να εκφραστεί σαν γραµµικός συνδυασµός των υπόλοιπων διανυσµάτων Υποθέτουµε ότι v = µ 2 v 2 + µ 3 v 3 + + µ r v r Τότε v + ( µ 2 )v 2 + ( µ 3 )v 3 + + ( µ r )v r = Εποµένως το S είναι γραµµικά εξαρτηµένο εφόσον η εξίσωση λ v + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 + + λ r v r = ικανοποιείται για λ =, λ 2 = µ 2, λ 3 = µ 3,, λ r = µ r τα οποία δεν είναι όλα µηδέν Η απόδειξη στην περίπτωση που κάποιο άλλο διάνυσµα και όχι το v εκφράζεται σαν γραµµικός συνδυασµός των υπόλοιπων διανυσµάτων του S είναι παρόµοια Παράδειγµα 4 Στο Παράδειγµα είδαµε ότι τα διανύσµατα v = (2,,, 3), v 2 = (, 2, 5, ), v 3 = (7,, 5, 8)

44 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ 327 σχηµατίζουν ένα γραµµικά εξαρτηµένο σύνολο Επεται από το Θεώρηµα 44 ότι τουλάχιστον ένα από αυτά τα διανύσµατα µπορεί να εκφραστεί σαν γραµµικός συνδυασµός των άλλων δύο Σε αυτό το παράδειγµα κάθε διάνυσµα εκφράζεται σαν γραµµικός συνδυασµός των άλλων δύο εφόσον από την 3v + v 2 v 3 = παίρνουµε ότι v = 3 v 2 + 3 v 3, v 2 = 3v + v 3, v 3 = 3v + v 2 Παράδειγµα 5 Στο Παράδειγµα 2 είδαµε ότι τα διανύσµατα i = (,, ), j = (,, ) και k = (,, ) σχηµατίζουν ένα γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο Εποµένως, από το Θεώρηµα 44 παίρνουµε ότι κανένα από τα διανύσµατα αυτά δεν εκφράζεται σαν γραµµικός συνδυασµός των άλλων δύο Για να το δείξουµε άµεσα ας υποθέσουµε ότι το k µπορεί να εκφραστεί στην µορφή k = λ i + λ 2 j Τότε (,, ) = λ (,, ) + λ 2 (,, ) ή (,, ) = (λ, λ 2, ) Οµως η εξίσωση αυτή δεν ικανοποιείται από καµία τιµή των λ και λ 2 και άρα το k δεν µπορεί να εκφραστεί σαν γραµµικός συνδυασµός των i και j Οµοια το i δεν µπορεί να εκφραστεί σαν γραµµικός συνδυασµός των j και k και το j δεν µπορεί να εκφραστεί σαν γραµµικός συνδυασµός των i και k Το επόµενο ϑεώρηµα µας δίνει δύο απλά στοιχεία για την γραµµική ανεξαρτησία τα οποία είναι σηµαντικό να γνωρίζουµε Η απόδειξή του αφήνεται σαν άσκηση Θεώρηµα 442 (α) Ενα σύνολο το οποίο περιέχει το µηδενικό διάνυσµα είναι γραµµικά εξαρτηµένο (ϐ) Ενα σύνολο µε ακριβώς δύο στοιχεία είναι γραµµικά ανεξάρτητο αν και µόνο αν κανένα διάνυσµα δεν είναι ϐαθµωτό πολλαπλάσιο του άλλου Η γραµµική ανεξαρτησία έχει κάποιες χρήσιµες γεωµετρικές ερµηνείες στον R 2 και τον R 3 :

328 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΥΚΛΕΙ ΙΟΙ ΧΩΡΟΙ Στον R 2 ή στον R 3 ένα σύνολο δύο διανυσµάτων είναι γραµµικά ανεξάρτητο αν και µόνο αν τα διανύσµατα δεν ϐρίσκονται στην ίδια ευθεία (Σχήµα ) Σχήµα Στον R 3 ένα σύνολο τριών διανυσµάτων είναι γραµµικά ανεξάρτητο αν και µόνο αν τα διανύσµατα δεν ϐρίσκονται στο ίδιο επίπεδο (Σχήµα 2) Σχήµα 2 Για να δούµε γιατί το πρώτο αποτέλεσµα ισχύει ας ϑεωρήσουµε δύο διανύσµατα στον R 2 ή τον R 3 Από το Θεώρηµα 442(ϐ) τα δύο διανύσµατα είναι γραµµικά ανεξάρτητα αν και µόνο αν δεν είναι ϐαθµωτά πολλαπλάσια το ένα του άλλου Γεω- µετρικά αυτό είναι ισοδύναµο µε το να πούµε ότι τα διανύσµατα δεν ϐρίσκονται στην ίδια ευθεία Για να δούµε γιατί το δεύτερο αποτέλεσµα ισχύει ας ϑεωρήσουµε τρία διανύσµατα στον R 3 Από το Θεώρηµα 44(ϐ) τα διανύσµατα είναι γραµµικά ανεξάρτητα αν και µόνο αν κανένα από αυτά δεν µπορεί να εκφραστεί σαν γραµµικός συνδυασµός των υπόλοιπων ή ισοδύναµα αν και µόνο αν κανένα από αυτά δεν ϐρίσκεται στον υπόχωρο που παράγουν τα άλλα δύο Οµως ο υπόχωρος που παράγεται από δύο διανύσµατα στον R 3 είτε είναι ένα επίπεδο είτε είναι ένα υποσύνολο ενός επιπέδου (µία ευθεία η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων ή η ίδια η αρχή των αξόνων) (Βλέπε Άσκηση 4) Εποµένως το να υποθέσουµε ότι κανένα διάνυσµα δεν είναι γραµµικός συνδυασµός των άλλων δύο είναι ισοδύναµο µε το να υποθέσουµε ότι κανένα διάνυσµα δεν ανήκει στο επίπεδο των άλλων δύο, το οποίο είναι το ίδιο µε το να υποθέσουµε ότι τα τρία διανύσµατα δεν ϐρίσκονται στο ίδιο επίπεδο Ολοκληρώνουµε αυτή την ενότητα µε ένα ϑεώρηµα που µας λέει ότι ένα γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο στον R n περιέχει το πολύ n διανύσµατα Θεώρηµα 443 Εστω S = {v, v 2,, v r } ένα σύνολο διανυσµάτων του R n Αν r > n τότε το S είναι γραµµικά εξαρτηµένο Απόδειξη Υποθέτουµε ότι v = (v, v 2,, v n ) v 2 = (v 2, v 22,, v 2n ) v r = (v r, v r2,, v rn )

44 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ 329 Θεωρούµε την εξίσωση λ v + λ 2 v 2 + + λ r v r = Αν, όπως στο Παράδειγµα 3, εκφράσουµε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης µε όρους συντεταγµένων και κατόπιν εξισώσουµε τις αντίστοιχες συντεταγµένες, παίρνουµε το σύστηµα v λ + v 2 λ 2 + + v r λ r = v 2 λ + v 22 λ 2 + + v r2 λ r = v n λ + v 2n λ 2 + + v rn λ r = Αυτό είναι ένα οµογενές σύστηµα n εξισώσεων µε r αγνώστους λ, λ 2,, λ r Εφόσον r > n έπεται από το Θεώρηµα 3 ότι το σύστηµα έχει µη τετριµµένες λύσεις Άρα το S = {v, v 2,, v r } είναι γραµµικά εξαρτηµένο Σαν ειδικές περιπτώσεις του προηγούµενου ϑεωρήµατος έχουµε ότι ένα σύνολο στον R 2 µε περισσότερα από δύο διανύσµατα είναι γραµµικά εξαρτηµένο και ότι ένα σύνολο στον R 3 µε περισσότερα από τρία διανύσµατα είναι γραµµικά εξαρτηµένο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 44 Εξηγήστε γιατί τα παρακάτω είναι γραµµικά εξαρτηµένα σύνολα διανυσµάτων (Λύστε το πρόβληµα αυτό χωρίς απόδειξη) (α) u = (, 2, 4) και u 2 = (5,, 2) στον R 3 (ϐ) u = (3, ), u 2 = (4, 5) και u 3 = ( 4, 7) στον R 2 2 Ποια από τα παρακάτω σύνολα διανυσµάτων στον R 3 είναι γραµµικά εξαρτηµενά ; (α) (4,, 2), ( 4,, 2) (ϐ) ( 3,, 4), (5,, 2), (,, 3) (γ) (8,, 3), (4,, ) (δ) ( 2,, ), (3, 2, 5), (6,, ), (7,, 2) 3 Ποια από τα παρακάτω σύνολα διανυσµάτων στον R 4 είναι γραµµικά εξαρτηµενά ; (α) (3, 8, 7, 3), (, 5, 3, ), (2,, 2, 6), (, 4,, 3) (ϐ) (,, 2, 2), (3, 3,, ), (,,, ) (γ) (, 3, 3, 6), ( 2,,, 6), (, 4, 2, 2), (, 8, 4, 4) (δ) (3,, 3, 6), (, 2, 3, ), (, 2, 2, ), ( 2,, 2, ) 4 Σε κάθε µία από τις παρακάτω περιπτώσεις εξετάστε αν τα v, v 2 και v 3 ανήκουν στο ίδιο επίπεδο (α) v = (2, 2, ), v 2 = (6,, 4), v 3 = (2,, 4) (ϐ) v = ( 6, 7, 2), v 2 = (3, 2, 4), v 3 = (4,, 2) 5Σε κάθε µία από τις παρακάτω περιπτώσεις εξετάστε αν τα v, v 2 και v 3 ανήκουν στην ίδια ευθεία (α) v = (, 2, 3), v 2 = (2, 4, 6), v 3 = ( 3, 6, ) (ϐ) v = (2,, 4), v 2 = (4, 2, 3), v 3 = (2, 7, 6) (γ) v = (4, 6, 8), v 2 = (2, 3, 4), v 3 = ( 2, 3, 4)

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΥΚΛΕΙ ΙΟΙ ΧΩΡΟΙ 6 (α) Αποδείξτε ότι τα διανύσµατα v = (, 3,, ), v 2 = (6,, 5, ) και v 3 = (4, 7,, 3) σχηµατίζουν ένα γραµµικά εξαρτηµένο σύνολο στον R 4 (ϐ) Εκφράστε κάθε διάνυσµα σαν γραµµικό συνδυασµό των άλλων δύο 7 Για ποιες πραγµατικές τιµές του λ σχηµατίζουν τα παρακάτω διανύσµατα ένα γραµµικά εξαρτηµένο σύνολο στον R 3 ; v = (λ, 2, 2 ), v2 = ( 2, λ, 2 ), v3 = ( 2, 2, λ) 8 Αποδείξτε ότι αν το {v, v 2, v 3} είναι ένα γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο διανυσµάτων στον R n, τότε τα {v, v 2}, {v, v 3}, {v 2, v 3}, {v }, {v 2} και {v 3} είναι επίσης γραµµικά ανεξάρτητα 9 Αποδείξτε ότι αν το S = {v, v 2,, v r} είναι ένα γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο διανυσµάτων στον R n, τότε κάθε µη κενό υποσύνολο του S είναι επίσης γραµµικά ανεξάρτητο Αποδείξτε ότι αν το {v, v 2, v 3} είναι ένα γραµµικά εξαρτηµένο σύνολο διανυσµάτων στον R n και το v 4 είναι οποιοδήποτε διάνυσµα στον R n, τότε το {v, v 2, v 3, v 4} είναι επίσης γραµµικά εξαρτηµένο Αποδείξτε ότι αν το {v, v 2,, v r} είναι ένα γραµµικά εξαρτηµένο σύνολο διανυσµάτων στον R n και τα v r+,, v m είναι οποιαδήποτε διανύσµατα στον R n, τότε το σύνολο {v, v 2,, v r+,, v m} είναι επίσης γραµµικά εξαρτηµένο 2 Αποδείξτε ότι αν το {v, v 2} είναι ένα γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο στον R n και το v 3 δεν ανήκει στον lin{v, v 2}, τότε το {v, v 2, v 3} είναι γραµµικά ανεξάρτητο 3 Αποδείξτε ότι για οποιαδήποτε διανύσµατα u, v και w στον R n τα διανύσµατα u v, v w και w u σχηµατίζουν ένα γραµµικά εξαρτηµένο σύνολο 4 Αποδείξτε ότι ο υπόχωρος που παράγεται από δύο διανύσµατα στον R 3 είτε είναι µία ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων, είτε είναι ένα επίπεδο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων, είτε είναι η ίδια η αρχή των αξόνων 5 Κάτω από ποιες συνθήκες είναι ένα σύνολο µε ένα διάνυσµα γραµµικά ανεξάρτητο ; 6 Χρησιµοποιήστε το (α) του Θεωρήµατος 44 για να αποδείξετε το (ϐ) 7 Αποδείξτε το (α) του Θεωρήµατος 442 8 Αποδείξτε το (ϐ) του Θεωρήµατος 442 45 Βάση και ιάσταση Συνήθως σκεφτόµαστε ότι µία ευθεία είναι µονοδιάστατη, ένα επίπεδο είναι διδιάστατο και ο χώρος γύρω µας τρισδιάστατος Ο κύριος σκοπός αυτής της ενότητας είναι να συγκεκριµενοποιήσουµε αυτή την διαισθητική έννοια της διάστασης ΜΗ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕ- ΤΑΓΜΕΝΩΝ Στην αναλυτική γεωµετρία του επιπέδου αντιστοιχίζουµε ένα Ϲεύγος συντεταγµένων (a, b) µε ένα σηµείο P του επιπέδου προβάλοντας το P σε ένα Ϲεύγος κάθετων αξόνων συντεταγµένων (Σχήµα (α) ) Μέσω αυτής της διαδικασίας σε κάθε σηµείο του επιπέδου αντιστοιχίζεται ένα µοναδικό Ϲεύγος συντεταγµένων και αντίστροφα σε κάθε

45 ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΣΤΑΣΗ 33 Ϲεύγος συντεταγµένων αντιστοιχίζεται ένα µοναδικό σηµείο στο επίπεδο Περιγράφου- µε αυτή την διαδικασία λέγοντας ότι το σύστηµα συντεταγµένων δηµιουργεί µία ένα προς ένα αντιστοιχία ανάµεσα στα σηµεία του επιπέδου και διατεταγµένα Ϲεύγη πραγµατικών αριθµών Παρότι οι κατακόρυφοι άξονες συντεταγµένων είναι οι πιο συνηθισµένοι, οποιεσδήποτε δύο µη παράλληλες ευθείες µπορούν να χρησιµοποιη- ϑούν για να ορίσουµε ένα σύστηµα συντεταγµένων στο επίπεδο (Σχήµα (ϐ) ) Οµοια στον 3-διάστατο χώρο οποιοιδήποτε τρείς άξονες που δεν ϐρίσκονται στο ίδιο επίπεδο µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να οριστεί ένα σύστηµα συντεταγµένων (Σχήµα (γ) ) Σχήµα Ο πρώτος µας στόχος σε αυτή την ενότητα είναι να επεκτείνουµε την έννοια του συστήµατος συντεταγµένων σε έναν οποιοδήποτε υπόχωρο Αρχικά ϑα επαναδιατυπώσουµε την έννοια του συστήµατος συντεταγµένων στο 2-διάστατο χώρο και τον 3-διάστατο χώρο χρησιµοποιώντας διανύσµατα αντί για άξονες συντεταγµένων για να προσδιορίσουµε το σύστηµα συντεταγµένων Αυτό µπορεί να γίνει αν αντικαταστήσου- µε κάθε άξονα συντεταγµένων µε ένα διάνυσµα µήκους µε κατεύθυνση τη ϑετική κατεύθυνση του άξονα Για παράδειγµα, αν τα v και v 2 είναι δύο τέτοια διανύσµατα, τότε αν το P είναι οποιοδήποτε σηµείο στο επίπεδο, το διάνυσµα OP µπορεί να γρα- ϕτεί σαν γραµµικός συνδυασµός των v και v 2 αν προβάλουµε το P παράλληλα µε το v και το v 2 και κάνουµε το OP την διαγώνιο του παραλληλογράµµου που ορίζεται από τα διανύσµατα av και bv 2, OP = av + bv 2 Είναι προφανές ότι τα a και b σε αυτό τον τύπο είναι οι συντεταγµένες του P στο αντίστοιχο σύστηµα συντεταγµένων (Σχήµα 2) Σχήµα 2 Τα διανύσµατα τα οποία καθορίζουν ένα σύστηµα συντεταγµένων ονοµάζονται «ϐασικά διανύσµατα» για αυτό το σύστηµα Παρότι σε όσα είπαµε παραπάνω χρησιµοποιήσαµε διανύσµατα µήκους, ϑα δούµε σε λίγο ότι αυτό δεν είναι απαραίτητο, µη µηδενικά διανύσµατα οποιουδήποτε µήκους ϑα ήταν αρκετά Οσα είπαµε παραπάνω µας οδηγούν στον επόµενο ορισµό ΒΑΣΗ ΥΠΟΧΩΡΟΥ

332 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΥΚΛΕΙ ΙΟΙ ΧΩΡΟΙ Ορισµός Αν ο W είναι ένας υπόχωρος του R n και το S = {v, v 2,, v m } είναι ένα σύνολο διανυσµάτων του W, τότε ϑα λέµε ότι το S είναι µία ϐάση του W αν ισχύουν οι δύο παρακάτω συνθήκες : (α) Το S είναι γραµµικά ανεξάρτητο (ϐ) Το S παράγει τον W Μία ϐάση είναι η γενίκευση σε έναν υπόχωρο ενός συστήµατος συντεταγµένων στο 2-διάστατο χώρο και τον 3-διάστατο χώρο Το επόµενο ϑεώρηµα ϑα µας ϐοηθήσει να δούµε γιατί ισχύει κάτι τέτοιο Θεώρηµα 45 Αν το S = {v, v 2,, v m } είναι µία ϐάση του υπόχωρου W, τότε κάθε διάνυσµα v του W µπορεί να εκφραστεί στη µορφή ακριβώς µε έναν τρόπο λ v + λ 2 v 2 + + λ m v m Απόδειξη Εφόσον το S παράγει τον W, κάθε διάνυσµα στον W εκφράζεται σαν γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων του S Για να δούµε ότι υπάρχει ένας µόνο τρόπος να εκφραστεί ένα διάνυσµα σαν γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων του S, ας υποθέσουµε ότι ένα διάνυσµα v µπορεί να γραφτεί στην µορφή v = λ v + λ 2 v 2 + + λ m v m και στη µορφή v = µ v + µ 2 v 2 + + µ m v m Αν αφαιρέσουµε τη δεύτερη εξίσωση από την πρώτη παίρνουµε = (λ µ )v + (λ 2 µ 2 )v 2 + + (λ m µ m )v m Εφόσον το δεξιό µέλος αυτής της εξίσωσης είναι ένας γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων του S, η γραµµική ανεξαρτησία του S συνεπάγεται ότι λ µ =, λ 2 µ 2 =,, λ m µ m =, δηλαδή λ = µ, λ 2 = µ 2,, λ m = µ m Εποµένως οι δύο εκφράσεις του v ταυτίζονται ΣΥΝΤΕ- ΤΑΓΜΕΝΕΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΜΙΑ ΒΑΣΗ Αν το S = {v, v 2,, v m } είναι µία ϐάση του υπόχωρου W και v = λ v + λ 2 v 2 + + λ m v m

45 ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΣΤΑΣΗ 333 είναι η έκφραση του v ως προς τη ϐάση S, τότε τα ϐαθµωτά λ, λ 2,, λ m ϑα ονοµάζονται συντεταγµένες του v ως προς τη ϐάση S Το διάνυσµα (λ, λ 2,, λ m ) το οποίο κατασκευάζεται από αυτές τις συντεταγµένες ονοµάζεται διάνυσµα συντεταγµένων του v ως προς τη ϐάση S και συµβολίζεται µε (v) S = (λ, λ 2,, λ m ) Πρέπει να σηµειώσουµε ότι τα διανύσµατα συντεταγµένων δεν εξαρτώνται µόνο από τη ϐάση S αλλά και από τη σειρά µε την οποία γράφουµε τα διανύσµατα της ϐάσης Μία αλλαγή στη σειρά µε την οποία γράφουµε τα διανύσµατα της ϐάσης οδηγεί σε µία αντίστοιχη αλλαγή στη σειρά των στοιχειών των διανυσµάτων συντεταγµένων Παράδειγµα Στο Παράδειγµα 2 της προηγούµενης ενότητας δείξαµε ότι αν i = (,, ), j = (,, ), k = (,, ), τότε το S = {i, j, k} είναι ένα γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο στον R 3 Επίσης, όπως είπαµε στο Παράδειγµα 2 της ενότητας 3, το σύνολο αυτό παράγει τον R 3 Εποµένως το S είναι µία ϐάση για τον R 3 Ονοµάζεται κανονική ϐάση του R 3 Από όσα είπαµε στο Παράδειγµα 2 της ενότητας 3 ϐλέπουµε ότι οι συντεταγµένες του v ως προς την κανονική ϐάση είναι a, b, c και άρα (v) S = (a, b, c) Άρα (v) S = v Τα αποτελέσµατα του προηγούµενου παραδείγµατος αποτελούν µία ειδική περίπτωση αυτών του επόµενου παραδείγµατος Παράδειγµα 2 Στο Παράδειγµα 2 της προηγούµενης ενότητας δείξαµε ότι αν e = (,,,, ), e 2 = (,,,, ),, e n = (,,,, ), ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ ΤΟΥ R n τότε το S = {e, e 2,, e n } είναι ένα γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο στον R n Επίσης το σύνολο αυτό παράγει τον R n εφόσον κάθε διάνυσµα v = (v, v 2,, v n ) του R n µπορεί να γραφτεί στη µορφή v = v e + v 2 e 2 + + v n e n ()

334 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΥΚΛΕΙ ΙΟΙ ΧΩΡΟΙ Εποµένως το S είναι µία ϐάση για τον R n Ονοµάζεται κανονική ϐάση του R n Επεται από την () ότι οι συντεταγµένες του v = (v, v 2,, v n ) ως προς την κανονική ϐάση είναι v, v 2,, v n και άρα (v) S = (v, v 2,, v n ) Οπως στο προηγούµενο παράδειγµα έχουµε ότι (v) S = v και εποµένως ένα διάνυσµα v και το διάνυσµα συντεταγµένων του ως προς την κανονική ϐάση του R n ταυτίζονται ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Πρέπει να τονιστεί ότι γενικά ένα διάνυσµα και το διάνυσµα συντεταγ- µένων του δεν είναι τα ίδια Η ισότητα που είδαµε στα δύο προηγούµενα παραδείγµατα αποτελεί µία ειδική κατάσταση η οποία εµφανίζεται µόνο µε την κανονική ϐάση του R n Παράδειγµα 3 Εστω v = (, 2, ), v 2 = (2, 9, ) και v 3 = (3, 3, 4) Αποδείξτε ότι το σύνολο S = {v, v 2, v 3 } είναι µία ϐάση του R 3 Λύση Για να δείξουµε ότι το σύνολο S παράγει τον R 3, πρέπει να δείξουµε ότι ένα αυθαίρετο διάνυσµα b = (b, b 2, b 3 ) του R 3 µπορεί να εκφραστεί σαν γραµµικός συνδυασµός b = λ v + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 των διανυσµάτων του S Αν εκφράσουµε αυτή την εξίσωση µέσω συντεταγµένων παίρνουµε (b, b 2, b 3 ) = λ (, 2, ) + λ 2 (2, 9, ) + λ 3 (3, 3, 4) ή (b, b 2, b 3 ) = (λ + 2λ 2 + 3λ 3, 2λ + 9λ 2 + 3λ 3, λ + 4λ 3 ) Αν εξισώσουµε τις αντίστοιχες συντεταγµένες παίρνουµε (2) λ + 2λ 2 + 3λ 3 = b 2λ + 9λ 2 + 3λ 3 = b 2 λ + 4λ 3 = b 3 Εποµένως για να δείξουµε ότι το S παράγει τον R 3 πρέπει να δείξουµε ότι το σύστηµα (2) έχει λύση για οποιαδήποτε εκλογή του b = (b, b 2, b 3 )

45 ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΣΤΑΣΗ 335 Για να δείξουµε ότι το S είναι γραµµικά ανεξάρτητο, πρέπει να δείξουµε ότι η µοναδική λύση της λ v + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 = (3) είναι η λ = λ 2 = λ 3 = Οπως και παραπάνω, αν η (3) εκφραστεί µέσω συντεταγµένων, η απόδειξη της ανεξαρτησίας ανάγεται στο να δείξουµε ότι το οµογενές σύστηµα λ + 2λ 2 + 3λ 3 = 2λ + 9λ 2 + 3λ 3 = λ + 4λ 3 = (4) έχει µόνο την τετριµµένη λύση Παρατηρούµε ότι τα συστήµατα (2) και (4) έχουν τον ίδιο πίνακα συντελεστών Εποµένως από το Θεώρηµα 73 µπορούµε να αποδείξουµε ταυτόχρονα ότι το S είναι γραµµικά ανεξάρτητο και ότι παράγει τον R 3 δείχνοντας ότι για τα συστήµατα (2) και (4) ο πίνακας συντελεστών 2 3 A = 2 9 3 4 είναι αντιστρέψιµος Εφόσον det(a) = 2 3 2 9 3 4 =, (επιβεβαιώστε το), παίρνουµε από το Θεώρηµα 234 ότι ο A είναι αντιστρέψιµος Εποµένως το S είναι µία ϐάση για τον R 3 Παράδειγµα 4 Εστω S = {v, v 2, v 3 } η ϐάση του R 3 του προηγούµενου παραδείγ- µατος (α) Να ϐρεθεί το διάνυσµα συντεταγµένων του v = (5,, 9) ως προς τη ϐάση S (ϐ) Να ϐρεθεί το διάνυσµα v του R 3 του οποίου το διάνυσµα συντεταγµένων ως προς τη ϐάση S είναι (v) S = (, 3, 2) Λύση (α) Πρέπει να ϐρούµε ϐαθµωτά λ, λ 2, λ 3 τέτοια ώστε v = λ v + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 ή µέσω συντεταγµένων (5,, 9) = λ (, 2, ) + λ 2 (2, 9, ) + λ 3 (3, 3, 4)

336 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΥΚΛΕΙ ΙΟΙ ΧΩΡΟΙ Αν εξισώσουµε τις αντίστοιχες συντεταγµένες παίρνουµε Αν λύσουµε αυτό το σύστηµα παίρνουµε λ + 2λ 2 + 3λ 3 = 5 2λ + 9λ 2 + 3λ 3 = λ + 4λ 3 = 9 λ =, λ 2 =, λ 3 = 2 (επιβεβαιώστε το) Εποµένως (v) S = (,, 2) (ϐ) Αν χρησιµοποιήσουµε τον ορισµό του διανύσµατος συντεταγµένων (v) S παίρνουµε v = ( )v + 3v 2 + 2v 3 = ( )(, 2, ) + 3(2, 9, ) + 2(3, 3, 4) = (, 3, 7) Παράδειγµα 5 Αν S = {v, v 2,, v r } είναι ένα γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο στον R n, τότε το S είναι µία ϐάση του υπόχωρου lin(s), εφόσον από τον ορισµό του lin(s), ΙΑΣΤΑΣΗ το S παράγει τον lin(s) Τα επόµενα δύο ϑεωρήµατα, τα οποίο δίνουµε χωρίς απόδειξη, αποτελούν τη ϐάση για την έννοια της διάστασης Θεώρηµα 452 Αν ο W είναι ένας υπόχωρος του R n, τότε υπάρχει ένα υποσύνολο S = {v, v 2,, v m } του W το οποίο είναι ϐάση του W Θεώρηµα 453 Αν το S = {v, v 2,, v m } είναι µία ϐάση για τον υπόχωρο W, τότε κάθε σύνολο µε περισσότερα από m διανύσµατα του W είναι γραµµικά εξαρτηµένο Σαν πόρισµα παίρνουµε το παρακάτω αποτέλεσµα Η απόδειξή του είναι απλή και αφήνεται σαν άσκηση Θεώρηµα 454 Οποιεσδήποτε δύο ϐάσεις ενός υπόχωρου του R n έχουν τον ίδιο αριθµό διανυσµάτων Παράδειγµα 7 Η κανονική ϐάση του R n περιέχει n διανύσµατα (Παράδειγµα 2) Εποµένως κάθε ϐάση του R n περιέχει n διανύσµατα Ο αριθµός των διανυσµάτων σε µία ϐάση ενός υπόχώρου είναι ένα πολύ σηµαντικό µέγεθος Από το Παράδειγµα 7 κάθε ϐάση του R 2 περιέχει 2 διανύσµατα και κάθε ϐάση του R 3 περιέχει 3 διανύσµατα Εφόσον διαισθητικά λέµε ότι ο R 2 (το επιπέδο) είναι διδιάστατος και ότι ο R 3 είναι τρισδιάστατος, η διάσταση αυτών των χώρων

45 ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΣΤΑΣΗ 337 συµπίπτει µε τον αριθµό των διανυσµάτων στις ϐάσεις αυτών των χώρων Αυτό µας οδηγεί στον επόµενο ορισµό Ορισµός Η διάσταση ενός υπόχωρου W του R n ορίζεται ως ο αριθµός των διανυσµάτων σε µία ϐάση του W Επιπλέον ορίζουµε την διάσταση του µηδενικού υπόχώρου να είναι µηδέν Από το Παράδειγµα 7 ο R n είναι ένας n-διάστατος διανυσµατικός χώρος Παράδειγµα 8 Να ϐρεθεί µία ϐάση και η διάσταση του χώρου λύσεων του οµογενούς συστήµατος 2x + 2x 2 x 3 + x 5 = x x 2 + 2x 3 3x 4 + x 5 = x + x 2 2x 3 x 5 = x 3 + x 4 + x 5 = Λύση Στο Παράδειγµα της Ενότητας 3 δείξαµε ότι η γενική λύση αυτού του συστήµατος είναι x = s t, x 2 = s, x 3 = t, x 4 = x 5 = t Άρα τα διανύσµατα λύσεις µπορούν να γραφτούν ως εξής x s t s t x 2 x 3 x 4 = s t = s + t = s x 5 t t + t Αυτό µας δείχνει ότι τα διανύσµατα v = και v 2 = παράγουν τον χώρο των λύσεων Εφόσον είναι και γραµµικά ανεξάρτητα (επιβεβαιώστε το), το {v, v 2 } είναι µία ϐάση για τον χώρο των λύσεων και ο χώρος των λύσεων είναι διδιάστατος Γενικά για να δείξουµε ότι ένα σύνολο διανυσµάτων {v, v 2,, v m } είναι µία ϐάση ενός υπόχωρου W πρέπει να δείξουµε ότι τα διανύσµατα είναι γραµµικά ανεξάρτητα και παράγουν τον W Αν όµως γνωρίζουµε ότι η διάσταση του W είναι m (και άρα το {v, v 2,, v m } περιέχει τον σωστό αριθµό διανυσµάτων για ϐάση), τότε

338 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΥΚΛΕΙ ΙΟΙ ΧΩΡΟΙ αρκεί να ελέγξουµε είτε την γραµµική ανεξαρτησία είτε την παραγωγή του υπόχω- ϱου, η άλλη συνθήκη ϑα ισχύει αυτόµατα Αυτό είναι το περιεχόµενο του επόµενου ϑεωρήµατος, του οποίου η απόδειξη αφήνεται σαν άσκηση Θεώρηµα 455 (α) Αν το S = {v, v 2,, v m } είναι ένα σύνολο από m γραµµικά ανεξάρτητα διανύσµατα στον m-διάστατο υπόχωρο W, τότε το S είναι µία ϐάση για τον W (ϐ) Αν το S = {v, v 2,, v m } είναι ένα σύνολο από m διανύσµατα το οποίο παράγει τον m-διάστατο υπόχωρο W, τότε το S είναι µία ϐάση για τον W Παράδειγµα 9 Αποδείξτε ότι τα v = ( 3, 7) και v 2 = (5, 5) σχηµατίζουν µία ϐάση για τον R 2 Λύση Εφόσον κανένα από τα διανύσµατα δεν είναι ϐαθµωτό πολλαπλάσιο του άλλου, το S = {v, v 2 } είναι γραµµικά ανεξάρτητο Εφόσον ο R 2 έχει διάσταση 2, το S είναι µία ϐάση για τον R 2 από το προηγούµενο ϑεώρηµα

46 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 339 46 Λυµένες Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 4 Αποδείξτε ότι : (α) Αν το u είναι ένα διάνυσµα του R n, τότε ( u) = u (ϐ) Αν τα u, v, w είναι διανύσµατα του R n, τότε u + w = v + w u = v (γ) Αν τα u, v είναι διανύσµατα του R n και το λ είναι ένα ϐαθµωτό µε λ, τότε η εξίσωση λx + u = v έχει µοναδική λύση την x = (v + ( u)) λ (α) ος τρόπος : Γνωρίζουµε ότι αν το v είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε v = ( )v () Χρησιµοποιώντας την (), τις ιδιότητες των πράξεων στον R n και τις ιδιότητες των πράξεων αριθµών παίρνουµε ότι ( u) = ( )( u) από την () = ( )(( )u) από την () = (( )( ))u (9) = u = u () 2ος τρόπος : Αν τα v και w είναι διανύσµατα στον R n, τότε v + w = v = w (2) Από την (5) έχουµε ότι u + ( u) = Άρα από την (2) παίρνουµε ότι u = ( u)

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΥΚΛΕΙ ΙΟΙ ΧΩΡΟΙ (ϐ) Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες των πράξεων στον R n παίρνουµε ότι u + w = v + w (u + w) + ( w) = (v + w) + ( w) u + (w + ( w)) = v + (w + ( w)) (3) u + = v + (5) u = v (4) (γ) Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες των πράξεων στον R n και τις ιδιότητες των πράξεων αριθµών παίρνουµε ότι ( ) λ (v + ( u)) + u = λ Εποµένως η είναι µία λύση της εξίσωσης Εστω x µία λύση της εξίσωσης ( λ ) (v + ( u)) + u (9) λ = (v + ( u)) + u = (v + ( u)) + u () = v + (( u) + u) (3) = v + (5) = v (4) x = (v + ( u)) λ λx + u = v λx + u = v Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες των πράξεων στον R n και τις ιδιότητες των πράξεων αριθµών παίρνουµε ότι λx + u = v (λx + u) + ( u) = v + ( u) λx + (u + ( u)) = v + ( u) (3) λx + = v + ( u) (5) λx = v + ( u) (4) λ (λx) = (v + ( u)) λ ( ) λ λ x = (v + ( u)) (9) λ x = λ (v + ( u)) x = (v + ( u)) () λ

46 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 34 Εποµένως η είναι η µοναδική λύση της εξίσωσης x = (v + ( u)) λ λx + u = v 2 (α) Αποδείξτε ότι µία ευθεία W του R 3 η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων είναι υπόχωρος του R 3 (ϐ) Αποδείξτε ότι µία ευθεία W του R 2 η οποία δεν διέρχεται από την αρχή των αξόνων δεν είναι υπόχωρος του R 2 (γ) Εξετάστε αν το υποσύνολο W του R 2 το οποίο αποτελείται από όλα τα διανύσµατα u στον R 2 της µορφής u = (x, x 2 ), για κάποιο x στο R, είναι υπόχωρος του R 2 Αν το W είναι ένα µη κενό υποσύνολο του R n, τότε το W είναι υπόχωρος του R n αν και µόνο αν ισχύουν οι παρακάτω συνθήκες : (Ι) Το W είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση, δηλαδή αν τα u και v είναι διανύσµατα στο W, τότε το u + v ανήκει στο W (ΙΙ) Το W είναι κλειστό ως προς το ϐαθµωτό πολλαπλασιασµό, δηλαδή αν το λ είναι ϐαθµωτό και το u είναι διάνυσµα στο W, τότε το λu ανήκει στο W Προφανώς αν το W δεν είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση ή ως προς το ϐαθµωτό πολλαπλασιασµό, τότε δεν είναι υπόχωρος του R n Επίσης αν το µηδενικό διάνυσµα του R n δεν ανήκει στο W, τότε το W δεν είναι υπόχωρος του R n, και αν, για κάποιο στοιχείο u του W, το u δεν ανήκει στο W, τότε το W δεν είναι υπόχωρος του R n (α) Εφόσον η ευθεία W είναι µία ευθεία στον R 3 η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων, ϑα έχει παραµετρικές εξισώσεις της µορφής x = at y = bt < t <, z = ct (3) όπου τα a, b, c δεν είναι όλα ίσα µε Εστω u = (x, y, z ) και u 2 = (x 2, y 2, z 2 ) δύο σηµεία της ευθείας W Εφόσον τα u και u 2 είναι σηµεία της ευθείας W, από την (3), ϑα υπάρχουν πραγµατικοί αριθµοί t και t 2 τέτοιοι ώστε και x = at y = bt z = ct x 2 = at 2 y 2 = bt 2 z 2 = ct 2

342 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΥΚΛΕΙ ΙΟΙ ΧΩΡΟΙ Προσθέτοντας κατά µέλη τις παραπάνω ισότητες παίρνουµε ότι x + x 2 = at + at 2 y + y 2 = bt + bt 2 z + z 2 = ct + ct 2 ή ότι x + x 2 = a(t + t 2 ) y + y 2 = b(t + t 2 ) z + z 2 = c(t + t 2 ) Από την (3) το σηµείο (x + x 2, y + y 2, z + z 2 ) ανήκει στην ευθεία W Εφόσον u + u 2 = (x, y, z ) + (x 2, y 2, z 2 ) = (x + x 2, y + y 2, z + z 2 ), το u + u 2 ανήκει στην ευθεία W και άρα η W είναι κλειστή ως προς την πρόσθεση Εστω λ ένα ϐαθµωτό και u = (x, y, z) ένα σηµείο της ευθείας W Εφόσον το u είναι σηµείο της ευθείας W, από την (3), ϑα υπάρχει ένας πραγµατικός αριθµός t τέτοιος ώστε x = at y = bt z = ct Πολλαπλασιάζοντας τις παραπάνω ισότητες µε λ παίρνουµε ότι λx = λat λy = λbt λz = λct ή ότι λx = a(λt) λy = b(λt) λz = c(λt) Από την (3) το σηµείο (λx, λy, λz) ανήκει στην ευθεία W Εφόσον λu = λ(x, y, z) = (λx, λy, λz), το λu ανήκει στην ευθεία W και άρα η W είναι κλειστή ως προς το ϐαθµωτό πολλαπλασιασµό Εποµένως η ευθεία W είναι υπόχωρος του R 3 (ϐ) Εφόσον η ευθεία W είναι µία ευθεία στον R 2 η οποία δεν διέρχεται από την αρχή των αξόνων, ϑα έχει µία εξισώση της µορφής Ax + By + C =, (4) όπου το C δεν είναι ίσο µε

46 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 343 ος τρόπος : Εστω u = (x, y ) και u 2 = (x 2, y 2 ) δύο σηµεία της ευθείας W Εφόσον τα u και u 2 είναι σηµεία της ευθείας W, από την (4), ϑα ισχύει Ax + By + C = και Ax 2 + By 2 + C = Προσθέτοντας κατά µέλη τις παραπάνω ισότητες παίρνουµε ότι Ax + By + C + Ax 2 + By 2 + C = Εφόσον C, από την παραπάνω ισότητα παίρνουµε ότι A(x + x 2 ) + B(y + y 2 ) + C = C Εποµένως από την (4) το σηµείο (x + x 2, y + y 2 ) δεν ανήκει στην ευθεία W Εφόσον u + u 2 = (x, y ) + (x 2, y 2 ) = (x + x 2, y + y 2 ), το u + u 2 δεν ανήκει στην ευθεία W και άρα η W δεν είναι κλειστή ως προς την πρόσθεση Εποµένως η ευθεία W δεν είναι υπόχωρος του R 2 2ος τρόπος : Εστω λ ένα ϐαθµωτό και u = (x, y) ένα σηµείο της ευθείας W Εφόσον το u είναι σηµείο της ευθείας W, από την (4), ϑα ισχύει Ax + By + C = Πολλαπλασιάζοντας την παραπάνω ισότητα µε λ παίρνουµε ότι λ(ax + By + C) = Από την παραπάνω ισότητα συµπεραίνουµε ότι, για λ, A(λx) + B(λy) + C = ( λ)c Εποµένως από την (4), για λ, το σηµείο (λx, λy, λz) δεν ανήκει στην ευθεία W Εφόσον λu = λ(x, y, z) = (λx, λy, λz), το λu δεν ανήκει στην ευθεία W και άρα η W δεν είναι κλειστή ως προς το ϐαθµωτό πολλαπλασιασµό Εποµένως η ευθεία W δεν είναι υπόχωρος του R 2

344 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΥΚΛΕΙ ΙΟΙ ΧΩΡΟΙ 3ος τρόπος : Εφόσον C, ϑα ισχύει A + B + C = C Άρα, από την (4), το = (, ) δεν είναι σηµείο της ευθείας W Εποµένως η ευθεία W δεν είναι υπόχωρος του R 2 Εναλλακτικά : Εφόσον η ευθεία W δεν διέρχεται από την αρχή των αξόνων, το = (, ) δεν είναι σηµείο της ευθείας W Εποµένως η ευθεία W δεν είναι υπόχωρος του R 2 4ος τρόπος : Εστω u = (x, y) ένα σηµείο της ευθείας W Εφόσον το u είναι σηµείο της ευθείας W, από την (4), ϑα ισχύει Ax + By + C = Πολλαπλασιάζοντας την παραπάνω ισότητα µε παίρνουµε ότι Ax By C = Από την παραπάνω ισότητα συµπεραίνουµε ότι, εφόσον C, A( x) + B( y) + C = 2C Εποµένως από την (4), το σηµείο ( x, y) δεν ανήκει στην ευθεία W Εφόσον u = (x, y) = ( x, y), το u δεν ανήκει στην ευθεία W Εποµένως η ευθεία W δεν είναι υπόχωρος του R 2 (γ) ος τρόπος : Εστω u = (, ) και u 2 = (2, 4) Εφόσον = 2, το u ανήκει στο συνόλο W Εφόσον 4 = 2 2, το u 2 ανήκει στο συνόλο W Εχουµε ότι u + u 2 = (, ) + (2, 4) = ( + 2, + 4) = (3, 5) Εφόσον 5 9 = 3 2, το u + u 2 δεν ανήκει στο συνόλο W Άρα το W δεν είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση και εποµένως δεν είναι υπόχωρος του R 2 2ος τρόπος : Εστω u = (, ) Εφόσον = 2, το u ανήκει στο συνόλο W Εχουµε ότι 2u = 2(, ) = (2, 2 ) = (2, 2) Εφόσον 2 4 = 2 2, το 2u δεν ανήκει στο συνόλο W Άρα το W δεν είναι κλειστό ως προς το ϐαθµωτό πολλαπλασιασµό και εποµένως δεν είναι υπόχωρος του R 2

46 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 345 3ος τρόπος : Εστω u = (, ) Εφόσον = 2, το u ανήκει στο συνόλο W Εχουµε ότι u = (, ) = (, ) Εφόσον = ( ) 2, το u δεν ανήκει στο συνόλο W Άρα το W δεν είναι υπόχωρος του R 2 Σηµείωση : Εφόσον = 2, το = (, ) ανήκει στο W 3 (α) Εστω u = (, 2, 2), v = (, 3, ), w = (, 4, 5) Εξετάστε αν το w ανήκει στον lin{u, v} (ϐ) Εστω v = (2,, 4), v 2 = (,, 3), v 3 = (3, 2, 5), w = (6,, 6) Εξετάστε αν το w ανήκει στον lin{v, v 2, v 3 } (γ) Εστω v = (2,,, 3), v 2 = (3,, 5, 2), v 3 = (,, 2, ), w = (,,, ) Εξετάστε αν το w ανήκει στον lin{v, v 2, v 3 } (α) Το w ανήκει στον lin{u, v} αν και µόνο αν υπάρχουν ϐαθµωτά λ, λ 2 τέτοια ώστε λ u + λ 2 v = w Εχουµε ότι λ u + λ 2 v = w λ (, 2, 2) + λ 2 (, 3, ) = (, 4, 5) (, 2λ, 2λ ) + (λ 2, 3λ 2, λ 2 ) = (, 4, 5) (λ 2, 2λ + 3λ 2, 2λ λ 2 ) = (, 4, 5) λ 2 = 2λ + 3λ 2 = 4 2λ λ 2 = 5 Εποµένως ϑα υπάρχουν ϐαθµωτά λ, λ 2 τέτοια ώστε λ u + λ 2 v = w αν και µόνο αν το σύστηµα λ 2 = 2λ + 3λ 2 = 4 2λ λ 2 = 5 (5) είναι συµβιβαστό Λύνουµε το σύστηµα (5) Ο επαυξηµένος πίνακάς του είναι ο 2 3 4 2 5 Χρησιµοποιούµε απαλοιφή Gauss-Jordan για να ϐρούµε την ανηγµένη κλιµακωτή

346 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΥΚΛΕΙ ΙΟΙ ΧΩΡΟΙ µορφή του : 2 3 4 2 5 2 3 4 2 5 εναλλάσουµε την η και τη 2η γραµµή 3 2 2 2 5 πολλαπλασιάζουµε την η γραµµή µε 2 3 2 2 2 9 προσθέτουµε -2 ϕορές την η γραµ- µή στην 3η 3 2 2 9 προσθέτουµε - ϕορά τη 2η γραµµή στην 3η Η τελευταία γραµµή του παραπάνω πίνακα αντιστοιχεί στην εξίσωση λ + λ 2 = 9 η οποία δεν επαληθεύεται για καµία τιµή των λ, λ 2 Εποµένως το σύστηµα (5) δεν είναι συµβιβαστό Από όσα είπαµε παίρνουµε ότι το w δεν ανήκει στον lin{u, v} (ϐ) Το w ανήκει στον lin{v, v 2, v 3 } αν και µόνο αν υπάρχουν ϐαθµωτά λ, λ 2, λ 3 τέτοια ώστε λ v + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 = w Εχουµε ότι λ v + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 = w λ (2,, 4) + λ 2 (,, 3) + λ 3 (3, 2, 5) = (6,, 6) (2λ, λ, 4λ ) + (λ 2, λ 2, 3λ 2 ) + (3λ 3, 2λ 3, 5λ 3 ) = (6,, 6) (2λ + λ 2 + 3λ 3, λ λ 2 + 2λ 3, 4λ + 3λ 2 + 5λ 3 ) = (6,, 6) 2λ + λ 2 + 3λ 3 = 6 λ λ 2 + 2λ 3 = 4λ + 3λ 2 + 5λ 3 = 6 Εποµένως ϑα υπάρχουν ϐαθµωτά λ, λ 2, λ 3 τέτοια ώστε λ v + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 = w αν και µόνο αν το σύστηµα 2λ + λ 2 + 3λ 3 = 6 λ λ 2 + 2λ 3 = 4λ + 3λ 2 + 5λ 3 = 6 (6)

46 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 347 είναι συµβιβαστό Λύνουµε το σύστηµα (6) Ο επαυξηµένος πίνακάς του είναι ο 2 3 6 2 4 3 5 6 Χρησιµοποιούµε απαλοιφή Gauss-Jordan για να ϐρούµε την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του : 2 3 6 2 4 3 5 6 2 3 2 3 2 4 3 5 6 πολλαπλασιάζουµε την η γραµµή µε 2 2 3 2 3 2 2 3 8 6 προσθέτουµε - ϕορά την η γραµ- µή στη 2η και -4 ϕορές την η γραµ- µή στην 3η 2 3 2 3 6 3 3 6 2 3 2 3 6 3 3 πολλαπλασιάζουµε τη 2η γραµµή µε 2 3 προσθέτουµε - ϕορά τη 2η γραµµή στην 3η 2 3 2 3 2 3 2 3 6 3 3 πολλαπλασιάζουµε την 3η γραµµή µε 3 2 2 3 2 5 4 5 προσθέτουµε 3 ϕορές την 3η γραµ- µή στη 2η και 3 2 ϕορές την 3η γραµ- µή στην η προσθέτουµε 2 ϕορές τη 2η γραµµή στην η

348 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΥΚΛΕΙ ΙΟΙ ΧΩΡΟΙ Ο πίνακας αυτός αντιστοιχεί στο σύστηµα λ = 4 λ 2 = 5 λ 3 = και εποµένως το σύστηµα (6) είναι συµβιβαστό Από όσα είπαµε παίρνουµε ότι το w ανήκει στον lin{v, v 2, v 3 } (γ) Το w ανήκει στον lin{v, v 2, v 3 } αν και µόνο αν υπάρχουν ϐαθµωτά λ, λ 2, λ 3 τέτοια ώστε λ v + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 = w Εχουµε ότι λ v + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 = w λ (2,,, 3) + λ 2 (3,, 5, 2) + λ 3 (,, 2, ) = (,,, ) (2λ, λ,, 3λ ) + (3λ 2, λ 2, 5λ 2, 2λ 2 ) + ( λ 3,, 2λ 3, λ 3 ) = (,,, ) (2λ + 3λ 2 λ 3, λ λ 2, 5λ 2 + 2λ 3, 3λ + 2λ 2 + λ 3 ) = (,,, ) 2λ + 3λ 2 λ 3 = λ λ 2 = 5λ 2 + 2λ 3 = 3λ + 2λ 2 + λ 3 = Εποµένως ϑα υπάρχουν ϐαθµωτά λ, λ 2, λ 3 τέτοια ώστε λ v + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 = w αν και µόνο αν το σύστηµα 2λ + 3λ 2 λ 3 = λ λ 2 = 5λ 2 + 2λ 3 = 3λ + 2λ 2 + λ 3 = (7) είναι συµβιβαστό Λύνουµε το σύστηµα (7) Ο επαυξηµένος πίνακάς του είναι ο 2 3 5 2 3 2 Χρησιµοποιούµε απαλοιφή Gauss-Jordan για να ϐρούµε την ανηγµένη κλιµακωτή

46 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 349 µορφή του : 2 3 5 2 3 2 3 2 2 2 5 2 3 2 πολλαπλασιάζουµε την η γραµµή µε 2 3 2 2 2 5 2 2 2 5 2 5 5 2 2 2 3 2 2 2 5 5 5 2 5 5 2 2 2 3 2 2 2 5 5 3 2 2 προσθέτουµε - ϕορά την η γραµ- µή στη 2η και -3 ϕορές την η γραµ- µή στην 4η πολλαπλασιάζουµε τη 2η γραµµή µε 2 5 προσθέτουµε -5 ϕορές τη 2η γραµµή στην 3η και 5 2 ϕορές τη 2η γραµµή στην 4η 3 2 2 5 2 5 2 3 2 πολλαπλασιάζουµε την 3η γραµµή µε 3 3 2 2 5 2 5 2 3 προσθέτουµε 2 ϕορές την 3η γραµ- µή στην 4η 7 3 Η τελευταία γραµµή του παραπάνω πίνακα αντιστοιχεί στην εξίσωση λ + λ 2 + λ 3 = 7 3

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΥΚΛΕΙ ΙΟΙ ΧΩΡΟΙ η οποία δεν επαληθεύεται για καµία τιµή των λ, λ 2, λ 3 Εποµένως το σύστηµα (7) δεν είναι συµβιβαστό Από όσα είπαµε παίρνουµε ότι το w δεν ανήκει στον lin{v, v 2, v 3 } 4 Εξετάστε αν τα διανύσµατα v = (, 2,, ), v 2 = (3,,, ), v 3 = (4,,, 2), v 4 = (3,,, ), v 5 = (,,, ) παράγουν τον R 4 Τα v, v 2, v 3, v 4, v 5 παράγουν τον R 4 αν και µόνο αν για κάθε διάνυσµα w = (b, b 2, b 3, b 4 ) του R 4 υπάρχουν ϐαθµωτά λ, λ 2, λ 3, λ 4, λ 5 τέτοια ώστε λ v + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 + λ 4 v 4 + λ 5 v 5 = w Εχουµε ότι λ v + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 + λ 4 v 4 + λ 5 v 5 = w λ (, 2,, ) + λ 2 (3,,, ) + λ 3 (4,,, 2) + λ 4 (3,,, ) + λ 5 (,,, ) = (b, b 2, b 3, b 4 ) (λ, 2λ, λ, λ ) + (3λ 2, λ 2,, λ 2 )+ +(4λ 3, λ 3, λ 3, 2λ 3 ) + (3λ 4, λ 4,, λ 4 ) + (λ 5,, λ 5, λ 5 ) = (b, b 2, b 3, b 4 ) (λ + 3λ 2 + 4λ 3 + 3λ 4 + λ 5, 2λ + λ 2 + λ 3 λ 4, λ + λ 3 λ 5, λ + λ 2 + 2λ 3 + λ 4 + λ 5 ) = (b, b 2, b 3, b 4 ) λ + 3λ 2 + 4λ 3 + 3λ 4 + λ 5 = b 2λ + λ 2 + λ 3 λ 4 = b 2 λ + λ 3 λ 5 = b 3 λ + λ 2 + 2λ 3 + λ 4 + λ 5 = b 4 Εποµένως τα v, v 2, v 3, v 4, v 5 παράγουν τον R 4 αν και µόνο αν το σύστηµα λ + 3λ 2 + 4λ 3 + 3λ 4 + λ 5 = b 2λ + λ 2 + λ 3 λ 4 = b 2 (8) λ + λ 3 λ 5 = b 3 λ + λ 2 + 2λ 3 + λ 4 + λ 5 = b 4 είναι συµβιβαστό για όλα τα b, b 2, b 3, b 4 Λύνουµε το σύστηµα (8) Ο επαυξηµένος πίνακάς του είναι ο 3 4 3 b 2 b 2 b 3 2 b 4

46 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 35 Χρησιµοποιούµε απαλοιφή Gauss για να ϐρούµε την κλιµακωτή µορφή του : 3 4 3 b 2 b 2 b 3 2 b 4 3 4 3 b 5 7 7 2 b 2 2b 3 3 3 2 b 3 b 2 2 2 b 4 b προσθέτουµε -2 ϕορές την η γραµ- µή στη 2η, - ϕορά την η γραµµή στην 3η και - ϕορά την η γραµµή στην 4η 3 4 3 b 7 7 2 b 2 5 5 5 5 + 2b 5 3 3 3 2 b 3 b 2 2 2 b 4 b πολλαπλασιάζουµε τη 2η γραµµή µε 5 3 4 3 b 7 5 6 5 4 5 7 5 6 5 4 5 2 5 4 5 4 5 b 2 5 + 2b 5 b 3 3b 2 5 + b 5 b 4 2b 2 5 b 5 προσθέτουµε 3 ϕορές τη 2η γραµµή στην 3η και 2 ϕορές τη 2η γραµµή στην 4η 3 4 3 b 7 5 7 5 2 5 2 3 4 4 4 5 5 5 b 2 5 + 2b 5 5b 3 6 b 2 2 + b 6 b 4 2b 2 5 b 5 πολλαπλασιάζουµε την 3η γραµµή µε 5 6 3 4 3 b 7 5 7 5 2 5 2 3 4 3 b 2 5 + 2b 5 5b 3 6 b 2 2 + b 6 b 4 2b 3 3 b 3 προσθέτουµε 4 5 ϕορές την 3η γραµ- µή στην 4η 3 4 3 b 7 5 7 5 2 5 2 3 b 2 5 + 2b 5 5b 3 6 b 2 2 + b 6 3b 4 4 b 3 2 b 4 πολλαπλασιάζουµε την 4η γραµµή µε 3 4

352 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΥΚΛΕΙ ΙΟΙ ΧΩΡΟΙ Εφόσον η κλιµακωτή µορφή του επαυξηµένου πίνακα του συστήµατος (8) είναι 3 4 3 b 7 7 2 b 2 5 5 5 5 + 2b 5 2 5b 3 3 6 b 2 2 + b, 6 3b 4 4 b 3 2 b 4 το σύστηµα (8) είναι συµβιβαστό, για όλα τα b, b 2, b 3, b 4 Εποµένως τα v, v 2, v 3, v 4, v 5 παράγουν τον R 4 5 Εστω W ένας υπόχωρος του R n και v, v 2,, v m, w, w 2,, w l διανύσµατα του W Αποδείξτε ότι αν τα v, v 2,, v m παράγουν τον W, τότε και τα v, v 2,, v m, w, w 2,, w l παράγουν τον W Για να δείξουµε ότι τα v, v 2,, v m, w, w 2,, w l παράγουν τον W πρέπει να δείξουµε ότι κάθε διάνυσµα του W µπορεί να γραφτεί σα γραµµικός συνδυασµός των v, v 2,, v m, w, w 2,, w l Εστω u ένα διάνυσµα του W Εφόσον τα v, v 2,, v m παράγουν τον V, ϑα υπάρχουν ϐαθµωτά λ, λ 2,, λ m τέτοια ώστε λ v + λ 2 v 2 + + λ m v m = u (9) Εστω µ = λ, µ 2 = λ 2,, µ m = λ m, µ m+ =, µ m+2 =,, µ m+l = Χρησιµοποιώντας την (9) και τις ιδιότητες των πράξεων στον R n παίρνουµε ότι µ v + µ 2 v 2 + + µ m v m + µ m+ w + µ m+2 w 2 + + µ m+l w l = = λ v + λ 2 v 2 + + λ m v m + w + w 2 + + w l = λ v + λ 2 v 2 + + λ m v m + + + + x = = λ v + λ 2 v 2 + + λ m v m x + = x = u από την (9) Εποµένως τα v, v 2,, v m, w, w 2,, w l παράγουν τον W

46 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 353 6 (α) Να ϐρεθούν παραµετρικές εξισώσεις για την ευθεία στον R 3 η οποία παράγεται από το διάνυσµα u = (3, 2, 5) (ϐ) Να ϐρεθεί µία εξίσωση της µορφής Ax + By + Cz = για το επίπεδο στον R 3 το οποίο παράγεται από τα διανύσµατα v = (,, ), v 2 = (3, 4, 4) (α) Η ευθεία W στον R 3 η οποία παράγεται από το διάνυσµα u = (3, 2, 5) ταυτίζεται µε τον υπόχωρο του R 3 που παράγεται από το u, lin{u} Εποµένως η W αποτελείται από όλους τους γραµµικούς συνδυασµούς του u, δηλαδή από όλα τα διανύσµατα της µορφής λu, όπου λ είναι ένα ϐαθµωτό Εστω v = (x, y, z) ένα σηµείο του R 3 Από όσα είπαµε παίρνουµε ότι το v ανήκει στην ευθεία W v = λu, για κάποιο ϐαθµωτό λ (x, y, z) = λ(3, 2, 5), για κάποιο ϐαθµωτό λ (x, y, z) = (3λ, 2λ, 5λ), για κάποιο ϐαθµωτό λ x = 3λ y = 2λ, για κάποιο ϐαθµωτό λ z = 5λ Εποµένως οι παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας W είναι x = 3t y = 2t < t < z = 5t (ϐ) Το επίπεδο W στον R 3 το οποίο παράγεται από τα διανύσµατα v = (,, ), v 2 = (3, 4, 4) ταυτίζεται µε τον υπόχωρο του R 3 που παράγεται από τα v, v 2, lin{v v 2 } Εποµένως η W αποτελείται από όλους τους γραµµικούς συνδυασµούς των v, v 2, δηλαδή από όλα τα διανύσµατα της µορφής λ v + λ 2 v 2, όπου λ, λ 2 είναι ϐαθµωτά Εστω v = (x, y, z) ένα σηµείο του R 3 Από όσα είπαµε παίρνουµε ότι το v ανήκει στο επίπεδο W v = λ v + λ 2 v 2, για κάποια ϐαθµωτά λ, λ 2 (x, y, z) = λ (,, ) + λ 2 (3, 4, 4), για κάποια ϐαθµωτά λ, λ 2 (x, y, z) = ( λ + 3λ 2, λ + 4λ 2, λ + 4λ 2 ), για κάποια ϐαθµωτά λ, λ 2 x = λ + 3λ 2 y = λ + 4λ 2, για κάποια ϐαθµωτά λ, λ 2 z = λ + 4λ 2 Από το σύστηµα λ + 3λ 2 = x λ + 4λ 2 = y παίρνουµε, χρησιµοποιώντας τον κανόνα του Cramer, ότι x 3 y 4 4x 3y λ = 3 = = 4 7 7 x + 3 7 y 4

354 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΥΚΛΕΙ ΙΟΙ ΧΩΡΟΙ και x y λ 2 = 3 4 = y x 7 = 7 y + 7 x Αντικαθιστώντας αυτές τις τιµές των λ, λ 2 στην z = λ + 4λ 2 παίρνουµε ότι z = ( 47 x + 37 ) ( y + 4 7 y + ) 7 x ή ότι y z = Εποµένως µία εξίσωση του επιπέδου W είναι η y z = 7 Εξετάστε αν τα διανύσµατα v = (,, 2, 2), v 2 = (3, 3,, ), v 3 = (,,, ) είναι γραµµικά εξαρτηµένα ή γραµµικά ανεξάρτητα Τα v, v 2, v 3 είναι γραµµικά ανεξάρτητα αν λ v + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 = λ =, λ 2 =, λ 3 = Εστω λ, λ 2, λ 3 ϐαθµωτά Εχουµε ότι λ v + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 = λ (,, 2, 2) + λ 2 (3, 3,, ) + λ 3 (,,, ) = (,,, ) (,, 2λ, 2λ ) + (3λ 2, 3λ 2,, ) + (λ 3, λ 3,, λ 3 ) = (,,, ) (3λ 2 + λ 3, 3λ 2 + λ 3, 2λ, 2λ λ 3 ) = (,,, ) 3λ 2 + λ 3 = 3λ 2 + λ 3 = 2λ = 2λ λ 3 = Εποµένως τα v, v 2, v 3 είναι γραµµικά ανεξάρτητα αν και µόνο αν το οµογενές σύστηµα 3λ 2 + λ 3 = 3λ 2 + λ 3 = 2λ = 2λ λ 3 = ()

46 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 355 έχει µόνο την τετριµµένη λύση Ο πίνακάς συντελεστών του είναι ο 3 3 2 2 Χρησιµοποιούµε απαλοιφή Gauss-Jordan για να ϐρούµε την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του : 3 3 2 2 2 3 3 2 εναλλάσουµε την η και την 3η γραµµή 3 3 2 πολλαπλασιάζουµε την η γραµµή µε 2 3 3 προσθέτουµε -2 ϕορές την η γραµ- µή στην 4η 3 3 πολλαπλασιάζουµε τη 2η γραµµή µε 3 3 προσθέτουµε 3 ϕορές τη 2η γραµµή στην 3η 3 εναλλάσουµε την 3η και την 4η γραµµή

356 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΥΚΛΕΙ ΙΟΙ ΧΩΡΟΙ 3 πολλαπλασιάζουµε την 3η γραµµή µε προσθέτουµε 3 ϕορές την 3η γραµ- µή στη 2η Εφόσον ο τελευταίος πίνακας αντιστοιχεί στο σύστηµα λ = λ 2 = λ 3 =, το σύστηµα () έχει µόνο την τετριµµένη λύση Εποµένως τα v, v 2, v 3 είναι γραµ- µικά ανεξάρτητα 8 (α) Εστω W ένας υπόχωρος του R n και v, v 2,, v m διανύσµατα του W Αποδείξτε ότι αν το S = {v, v 2,, v m } είναι γραµµικά ανεξάρτητο, τότε κάθε µη κενό υποσύνολο του S είναι επίσης γραµµικά ανεξάρτητο (ϐ) Εστω W ένας υπόχωρος του R n και v, v 2,, v m, w, w 2,, w l διανύσµατα του W Αποδείξτε ότι αν το S = {v, v 2,, v m } είναι γραµµικά εξαρτηµένο, τότε και το S = {v, v 2,, v m, w, w 2,, w l } είναι γραµµικά εξαρτηµένο (α) Εστω S = {v k, v k2,, v kr } ένα µη κενό υποσύνολο του S (δηλαδή τα v k, v k2,, v kr είναι κάποια από τα v, v 2,, v m ) Εστω ότι το S είναι γραµµικά εξαρτηµένο Τότε υπάρχουν ϐαθ- µωτα λ k, λ k2,, λ kr όχι όλα ίσα µε, τέτοια ώστε λ k v k + λ k2 v k2 + + λ kr v kr = () Εστω µ, µ 2,, µ m ϐαθµωτα, µε µ kl = λ kl, για l =, 2,, r και µ i =, αν i k l, για l =, 2,, r Εφόσον τα λ k, λ k2,, λ kr δεν όλα ίσα µε, τα µ, µ 2,, µ m δεν όλα ίσα µε Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες των πράξεων και την () παίρνουµε

46 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 357 ότι µ v + µ 2 v 2 + + µ m v m = (µ k v k + µ k2 v k2 + + µ kr v kr ) + ( i k l,l=,2,,r µ iv i ) = (λ k v k + λ k2 v k2 + + λ kr v kr ) + ( i k l,l=,2,,r v i) = (λ k v k + λ k2 v k2 + + λ kr v kr ) + ( i k l,l=,2,,r ) x = = (λ k v k + λ k2 v k2 + + λ kr v kr ) + x + = x = λ k v k + λ k2 v k2 + + λ kr v kr x + = x = από την () Εποµένως υπάρχουν ϐαθµωτα µ, µ 2,, µ m όχι όλα ίσα µε, τέτοια ώστε µ v + µ 2 v 2 + + µ m v m = Αυτό οδηγεί σε άτοπο, εφόσον το S είναι γραµµικά ανεξάρτητο Άρα το S είναι γραµµικά ανεξάρτητο (ϐ) Εφόσον το S είναι γραµµικά εξαρτηµένο, ϑα υπάρχουν ϐαθµωτά λ, λ 2,, λ m όχι όλα ίσα µε, τέτοια ώστε λ v + λ 2 v 2 + + λ m v m = (2) Εστω µ = λ, µ 2 = λ 2,, µ m = λ m, µ m+ =, µ m+2 =,, µ m+l = Εφόσον τα λ, λ 2,, λ m δεν είναι όλα ίσα µε, τα µ, µ 2,, µ m+l δεν είναι όλα ίσα µε Χρησιµοποιώντας την (2) και τις ιδιότητες των πράξεων παίρνουµε ότι µ v + µ 2 v 2 + + µ m v m + µ m+ w + µ m+2 w 2 + + µ m+l w l = = λ v + λ 2 v 2 + + λ m v m + w + w 2 + + w l = λ v + λ 2 v 2 + + λ m v m + + + + x = = λ v + λ 2 v 2 + + λ m v m x + = x = από την (2) Εποµένως το S είναι γραµµικά εξαρτηµένο

358 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΥΚΛΕΙ ΙΟΙ ΧΩΡΟΙ 9 Εστω u = (, 7,, 2), u 2 = (, 9,, ), u 3 = (8, 4,, ), u 4 = (2, 2, 2, 2), u 5 = (,,, ) Είναι το σύνολο S = {u, u 2, u 3, u 4, u 5 } ϐάση του R 4 ; Ο R 4 έχει διάσταση 4 Εποµένως κάθε ϐάση του περιέχει 4 διανύσµατα Εφόσον το S περιέχει 5 διανύσµατα, δεν είναι ϐάση του R 4 (α) Εστω u = (2, 3, ), u 2 = (4,, ), u 3 = (, 7, ) Είναι το σύνολο S = {u, u 2, u 3 } ϐάση του R 3 ; (ϐ) Εστω u = (3,, 4), u 2 = (2, 5, 6), u 3 = (, 4, 8) (Ι) Αποδείξτε ότι το σύνολο S = {u, u 2, u 3 } είναι ϐάση του R 3 (ΙΙ) Αν v = (,, ), να ϐρεθεί το διάνυσµα συντεταγµένων (v) S του διανύσµατος v ως προς τη ϐάση S (α) Εξετάζουµε αν το σύνολο S είναι γραµµικά ανεξάρτητο Τα u, u 2, u 3 είναι γραµ- µικά ανεξάρτητα αν λ u + λ 2 u 2 + λ 3 u 3 = λ =, λ 2 =, λ 3 = Εστω λ, λ 2, λ 3 ϐαθµωτά Εχουµε ότι λ u + λ 2 u 2 + λ 3 u 3 = λ (2, 3, ) + λ 2 (4,, ) + λ 3 (, 7, ) = (,, ) (2λ, 3λ, λ ) + (4λ 2, λ 2, λ 2 ) + (, 7λ 3, λ 3 ) = (,, ) (2λ + 4λ 2, 3λ + λ 2 7λ 3, λ + λ 2 + λ 3 ) = (,, ) 2λ + 4λ 2 = 3λ + λ 2 7λ 3 = λ + λ 2 + λ 3 = Εποµένως τα u, u 2, u 3 είναι γραµµικά ανεξάρτητα αν και µόνο αν το οµογενές σύστηµα 2λ + 4λ 2 = 3λ + λ 2 7λ 3 = λ + λ 2 + λ 3 = έχει µόνο την τετριµµένη λύση Το (3) έχει µόνο την τετριµµένη λύση αν και µόνο (3) αν ο πίνακας συντελεστών του 3 7 2 4 είναι αντιστρέψιµος Εφόσον 2 4 3 7 = 2 + 4 ( 7) + ( 3) 2 ( 7) 4 ( 3) = 2 + ( 28) + ( 4) ( 2) =,

46 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 359 ο πίνακας 3 7 2 4 δεν είναι αντιστρέψιµος Από όσα είπαµε παίρνουµε ότι το S είναι γραµµικά εξαρτη- µένο Εποµένως το S δεν είναι ϐάση του R 3 (ϐ) (I) Εξετάζουµε αν το σύνολο S παράγει τον R 3 Τα u, u 2, u 3 παράγουν τον R 3 αν για κάθε διάνυσµα v = (b, b 2, b 3 ) του R 3 υπάρχουν ϐαθµωτά λ, λ 2, λ 3 τέτοια ώστε λ u + λ 2 u 2 + λ 3 u 3 = v Εχουµε ότι λ u + λ 2 u 2 + λ 3 u 3 = v λ (3,, 4) + λ 2 (2, 5, 6) + λ 3 (, 4, 8) = (b, b 2, b 3 ) (3λ, λ, 4λ ) + (2λ 2, 5λ 2, 6λ 2 ) + (λ 3, 4λ 3, 8λ 3 ) = (b, b 2, b 3 ) (3λ + 2λ 2 + λ 3, λ + 5λ 2 + 4λ 3, 4λ + 6λ 2 + 8λ 3 ) = (b, b 2, b 3 ) 3λ + 2λ 2 + λ 3 = b λ + 5λ 2 + 4λ 3 = b 2 4λ + 6λ 2 + 8λ 3 = b 3 Εποµένως τα u, u 2, u 3 παράγουν τον R 3 αν και µόνο αν το σύστηµα 3λ + 2λ 2 + λ 3 = b λ + 5λ 2 + 4λ 3 = b 2 (4) 4λ + 6λ 2 + 8λ 3 = b 3 είναι συµβιβαστό για όλα τα b, b 2, b 3 Το (4) είναι συµβιβαστό για όλα τα b, b 2, b 3 αν και µόνο αν ο πίνακας συντελεστών του 3 2 5 4 4 6 8 είναι αντιστρέψιµος Εφόσον 3 2 5 4 = 3 5 8 + 2 4 ( 4) + 6 5 ( 4) 3 4 6 2 8 4 6 8 = 2 + ( 32) + 6 ( 2) 72 6 = 26, ο πίνακας 5 4 3 2 4 6 8 είναι αντιστρέψιµος Από όσα είπαµε παίρνουµε ότι το S παράγει τον R 3 Εφόσον ο R 3 έχει διάσταση 3 και το S είναι ένα σύνολο µε 3 διανύσµατα του R 3 το οποίο παράγει τον R 3, το S είναι ϐάση του R 3

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΥΚΛΕΙ ΙΟΙ ΧΩΡΟΙ (II) Εχουµε ότι (v) S = (λ, λ 2, λ 3 ) λ u + λ 2 u 2 + λ 3 u 3 = v λ (3,, 4) + λ 2 (2, 5, 6) + λ 3 (, 4, 8) = (,, ) (3λ, λ, 4λ ) + (2λ 2, 5λ 2, 6λ 2 ) + (λ 3, 4λ 3, 8λ 3 ) = (,, ) (3λ + 2λ 2 + λ 3, λ + 5λ 2 + 4λ 3, 4λ + 6λ 2 + 8λ 3 ) = (,, ) 3λ + 2λ 2 + λ 3 = λ + 5λ 2 + 4λ 3 = 4λ + 6λ 2 + 8λ 3 = Άρα για να ϐρούµε το (v) S πρέπει να λύσουµε το σύστηµα 3λ + 2λ 2 + λ 3 = λ + 5λ 2 + 4λ 3 = 4λ + 6λ 2 + 8λ 3 = Χρησιµοποιώντας τον κανόνα του Cramer παίρνουµε ότι 2 5 4 6 8 λ = 3 2 = 6 26 = 8 3, 5 4 4 6 8 λ 2 = λ 3 = 3 4 4 8 3 2 5 4 4 6 8 3 2 5 4 6 3 2 5 4 4 6 8 = 24 26 = 2 3, = 26 26 = Εποµένως (v) S = ( ) 8 3, 2 3, (α) Να ϐρεθεί µία ϐάση και η διάσταση του χώρου των λύσεων του οµογενούς συστήµατος x + x 2 x 3 = 2x x 2 + 2x 3 = x + x 3 = (ϐ) Να ϐρεθεί µία ϐάση και η διάσταση του χώρου των λύσεων του οµογενούς συστή- µατος x 4x 2 + 3x 3 x 4 = 2x 8x 2 + 6x 3 2x 4 =

46 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 36 (α) Ο χώρος των λύσεων του οµογενούς συστήµατος x + x 2 x 3 = 2x x 2 + 2x 3 = x + x 3 = (5) είναι υπόχωρος του R 3 Βρίσκουµε το χώρο των λύσεων του συστήµατος (5) Ο πίνακας συντελεστών του είναι ο 2 2 Χρησιµοποιούµε απαλοιφή Gauss-Jordan για να ϐρούµε την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του : 2 2 προσθέτουµε 2 ϕορές την η γραµ- µή στη 2η και - ϕορά την η γραµ- µή στην 3η προσθέτουµε - ϕορά τη 2η γραµµή στην 3η προσθέτουµε - ϕορά τη 2η γραµµή στην η Ο τελευταίος πίνακας αντιστοιχεί στο σύστηµα λ λ 3 = λ 2 = Λύνοντας ως προς τις ϐασικές µεταβλητές λ, λ 2 και δίνοντας στην ελεύθερη µεταβλητή λ 3 την αυθαίρετη τιµή t παίρνουµε ότι η λύση του οµογενούς συστήµατος (5) είναι λ = t, λ 2 =, λ 3 = t, t στο R Εποµένως ό χώρος των λύσεων W του οµογενούς συστήµατος (5) αποτελείται από όλα τα διανύσµατα w στον R 3 της µορφής w = t t, t στο R Εφόσον t t = t,

362 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΥΚΛΕΙ ΙΟΙ ΧΩΡΟΙ το διάνυσµα παράγει τον W Εφόσον µία ϐάση για τον W είναι η, Αφού µία ϐάση του W περιέχει διάνυσµα, η διάσταση του W είναι (ϐ) Ο χώρος των λύσεων του οµογενούς συστήµατος x 4x 2 + 3x 3 x 4 = 2x 8x 2 + 6x 3 2x 4 = (6) είναι υπόχωρος του R 4 Βρίσκουµε το χώρο των λύσεων του συστήµατος (6) Ο πίνακας συντελεστών του είναι ο [ 4 3 2 8 6 2 Χρησιµοποιούµε απαλοιφή Gauss-Jordan για να ϐρούµε την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του : ] [ 4 3 2 8 6 2 ] [ 4 3 ] προσθέτουµε -2 ϕορές την η γραµ- µή στη 2η Ο τελευταίος πίνακας αντιστοιχεί στο σύστηµα λ 4λ 2 + 3λ 3 λ 4 = Λύνοντας ως προς τη ϐασική µεταβλητή λ και δίνοντας στις ελεύθερες µεταβλητές λ 2, λ 3, λ 4 τις αυθαίρετες τιµές t, s, r παίρνουµε ότι η λύση του οµογενούς συστήµατος (6) είναι λ = 4t 3s + r, λ 2 = t, λ 3 = s, λ 4 = r, t, s, r στο R Εποµένως ό χώρος των λύσεων W του οµογενούς συστήµατος (6) αποτελείται από όλα τα διανύσµατα w στον R 4 της µορφής 4t 3s + r w = t s r, t, s, r στο R

46 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 363 Εφόσον 4t 3s + r t s r = t 4 + s 3 + r, τα διανύσµατα 4, 3, παράγουν τον W Τα 4, 3, είναι γραµµικά ανεξάρτητα αν λ 4 + λ 2 3 + λ 3 = λ =, λ 2 =, λ 3 = Εστω λ, λ 2, λ 3 ϐαθµωτά Εχουµε ότι λ 4 + λ 2 3 + λ 3 = 4λ λ + 3λ 2 λ 2 + λ 3 λ 3 = 4λ 3λ 2 + λ 3 λ λ 2 λ 3 = 4λ 3λ 2 + λ 3 = λ = λ 2 = λ 3 = Προφανώς το οµογενές σύστηµα 4λ 3λ 2 + λ 3 = λ = λ 2 = λ 3 =

364 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΥΚΛΕΙ ΙΟΙ ΧΩΡΟΙ έχει µόνο την τετριµµένη λύση Άρα τα διανύσµατα 4, 3, είναι γραµµικά ανεξάρτητα Εποµένως µία ϐάση για τον W είναι η 4, 3, Αφού µία ϐάση του W περιέχει 3 διανύσµατα, η διάσταση του W είναι 3 2 (α) Να ϐρεθεί µία ϐάση του επιπέδου W του R 3 µε εξίσωση 3x 2y + 5z = (ϐ) Να ϐρεθεί µία ϐάση της ευθείας W του R 2 µε εξίσωση x = 8 (γ) Να ϐρεθεί µία ϐάση της ευθείας W του R 3 µε παραµετρικές εξισώσεις x = t y = 8t µε < t < z = (α) Το επίπεδο W διέρχεται από την αρχή των αξόνων και άρα είναι υπόχωρος του R 3 Προφανώς 3x 2y + 5z = z = 3 5 x + 2 5 y Εποµένως το επίπεδο W αποτελείται από όλα τα διανύσµατα w στον R 3 της µορφής w = t s 3 5 t + 2 5 s, t, s στο R Εφόσον τα διανύσµατα παράγουν το W Τα t s 3 5 t + 2 = t 5 s 3 + s 5 3 5 3 5,, 2 5 2 5 2 5,

46 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 365 είναι γραµµικά ανεξάρτητα, εφόσον κανένα δεν είναι ϐαθµωτό πολλαπλάσιο του άλλου Άρα µία ϐάση για το W είναι η 3, 5 2 5 (ϐ) Η ευθεία W δεν διέρχεται από την αρχή των αξόνων και άρα δεν είναι υπόχωρος του R 2 Εποµένως δεν έχει νόηµα να µιλάµε για ϐάση της ευθείας W (γ) Η ευθεία W διέρχεται από την αρχή των αξόνων και άρα είναι υπόχωρος του R 3 Προφανώς η ευθεία W αποτελείται από όλα τα διανύσµατα w στον R 3 της µορφής t w = 8t, t στο R Εφόσον το διάνυσµα παράγει την W Εφόσον µία ϐάση για την W είναι η t 8t = t 8 8 8 8,,

366 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΥΚΛΕΙ ΙΟΙ ΧΩΡΟΙ

Σχήμα, σελίδα 3

Σχήμα, σελίδα 36