Μάθημα: Ρομποτικός Έλεγχος

Διατμηματικό Πόγαμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ» Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος 0 Μάθημα: Ρομποτικός Έλεγχος Αυτόματος Έλεγχος Ρομπότ Κων/νος Τζαφέστας Τομέας Σημάτων, Ελέγχου & Ρομποτικής Σχολή Ηλεκτ. Μηχ/κών & Μηχ/κών Υπολ., Ε.Μ.Π. Τηλ.: (0) 773687 (Κτήιο Ηλεκτ., Γαφείο.) Eail: kzaf@c.nua.gr We: hp://www.ofla.nua.gr/~kzaf/ Σχεδιασμός Τοχιάς Ρομποτικών Χειιστών

Ιεαχική Δομή Ρομποτικών Συστημάτων Ελέγχου θέσεις στόχου Πόγαμμα Εγασίας c Ευφυής Ελεγκτής μεταβολή θέσεων στόχου Σχεδιασμός Τοχιάς Πειοισμοί p(), i p () i σήματα αναφοάς Αλγόιθμος αντίστοφης κινηματικής q(), i q () i r r Βόχοι Ελέγχου a q(), i q () i Στοιχεία Δάσης Μονάδα Παεμβολής Αισθητήια Στοιχεία 3 Σχεδιασμός Τοχιάς: Βασικές Έννοιες () Δόμος (pah): Καμπύλη που διαγάφει το ομπότ στο χώο, η οποία ώνει δύο (ή πεισσότεες) διάμεσες θέσεις (σημεία διέλευσης) Τοχιά (rajecory): Χονική ακολουθία διάμεσων θέσεων (στο Κατεσιανό χώο) ή διατάξεων (στο χώο των αθώσεων) Τοχιά: ιστοικό θέσεων ή διατάξεων (ήτοι, χονική συνάτηση) Ο αλγόιθμος σχεδιασμού τοχιάς κατασκευάζει συνατήσεις του χόνου για την εξέλιξη των μεταβλητών θέσης (ή διάταξης) του ομπότ, οδηγώντας σε μια συνεχή (ομαλή) καμπύλη μεταξύ των ακαίων σημείων (αχή στόχος), παεμβάλλοντας ουσιαστικά διάμεσες θέσεις (αλγόιθμοι παεμβολής) Οι θέσεις αυτές στέλνονται στον αλγόιθμο αντίστοφης κινηματικής, ο οποίος (σε κάθε δειγματοληπτικό διάστημα Τ ec) δίνει τις τολές κίνησης στουςτοπικούςβόχουςελέγχουτωναθώσεων Εντολή θέσης p(i), Εντολή ταχύτητας p () i τολές κίνησης αθώσεων. Τα p(i) και p () i ικανοποιούν πειοισμούς χωικής ταχύτητας και επιτάχυνσης 4

Σχεδιασμός Τοχιάς: Βασικές Έννοιες () Χωικοί Πειοισμοί της Τοχιάς (paial conrain): Εκτέλεση Εγασίας στο Χώο του Τελικού Εγαλείου Δάσης Αποφυγή Εμποδίων, Αποφυγή Ιδιόμοφων Διατάξεων κλπ. Χονικές Ιδιότητες της Τοχιάς (eporal ariue): Χονική Διάκεια απαιτούμη για την εκτέλεση της εγασίας (χονικές στιγμές διέλευσης από διάμεσα σημεία via poin) Πειοισμοί Ταχύτητας και Επιτάχυνσης στις αθώσεις Τοχιά: Χονική Συνάτηση Συνεχής και «Ομαλή» Επιθυμητή Χονική Συνέχεια ως πος την Ταχύτητα και ίσως και ως πος την Επιτάχυνση (για καλύτεο, συνεχεία, έλεγχο του ομποτικού συστήματος) Σχεδιασμός Τοχιάς: (α) στο Χώο Εγασίας, ή (β) στο Χώο Αθώσεων Το (α) πλεονεκτεί τοχιά γική, ανεξάτητη ομποτικού χειιστή, αλλά απαιτεί αντιστοφή κινηματικής για τον έλεγχο του ομπότ 5 Σχεδιασμός Τοχιάς: Βασικές Σχέσεις Αχική θέση φάση επιτάχυνσης (γ) σταθεή ταχύτητα (dp/d)...... φάση επιβάδυνσης τελικό σημείοστόχος Απαιτούμη μεταβολή θέσης σε κάθε χονική στιγμή i. ή Δ pi () pi () Δ pi Δpi γ (όπου γ επιθυμητή επιτάχυνση κατά μήκος του δόμου) () ( ) ακτίνα καμπυλότητας Αχικό Σημείο Επιτάχυνση (φάση σταθεής ταχύτητας) Εντολή θέσης συσσώευση απαιτούμων μεταβολών θέσης: pi () pi ( ) Δpi () Εντολή ταχύτητας: p () i p ( i ) [ γ ] (αιθμητική ολοκλήωση) Για καμπύλο δόμο: Σημείο διέλευσης Επιβάδυνση Επιτεπόμη επιτάχυνση ελάχιστη ακτίνα καμπυλότητας f(επιτεπόμη φυγόκτη επιτάχυνση σε σχέση με το μέτο της ταχύτητας) Τελικό Σημείο 6

Βασικοί αλγόιθμοι παεμβολής Τα διανύσματα p(i) (τέχουσα τολή θέσης) ή Δp(i) (απαιτούμη μεταβολή θέσης), τα οποία υπολογίζονται από τον αλγόιθμο σχεδιασμού τοχιάς, τοφοδοτούν τον αλγόιθμο αντίστοφης κινηματικής Απόλυτοι αλγόιθμοι παεμβολής: p(i) q(i) (αντίστοφο γεωμετικό μοντέλο) Αυξητικοί αλγόιθμοι παεμβολής: p () i q () i (αντίστοφο διαφοικό κινηματικό μοντέλο) q() i q( i ) q () i 7 Απόλυτος αλγόιθμος παεμβολής Σε κάθε βήμα δειγματοληψίας i υπολογίζεται μια νέα διάταξη αναφοάς q(i) (απ ευθείας από το p(i) μέσω αντίστοφου γεωμετικού μοντέλου), η οποία στέλνεται ως τολή στους βόχους ελέγχου Ταχύτητα αναφοάς: Δqi () ( qi () qi ( ) ) qi () Σφάλμα θέσης 0 σε όλα τα διάμεσα σημεία θέση επιθυμητή διάμεσο σημείο σφάλμα θέσης ταχύτητα επιθυμητή αναφοάς Δq αναφοάς (τολή) Δq 8

Αυξητικός αλγόιθμος παεμβολής () Σε κάθε βήμα δειγματοληψίας i η ταχύτητα p () i μετασχηματίζεται σε ταχύτητα αναφοάς q () i, η οποία θεωείται σταθεή σε κάθε βήμα Θέση αναφοάς (τολή): i qi () qk ( ) k Συσσωευτικά (αθοιστικά) σφάλματα θέσης (επιθυμητή αναφοάς) (υπολογισμός μέσω ψηφιακής ολοκλήωσης) ταχύτητα επιθυμητή αναφοάς (τολή) θέση επιθυμητή σφάλμα θέσης Δq αναφοάς (τολή) 9 Αυξητικός αλγόιθμος παεμβολής () Σφάλματα παακολούθησης τοχιάς στους αυξητικούς αλγοίθμους παεμβολής Παγματική Τοχιά Δp (χωίς διόθωση) Δp (με διόθωση) Αχή Δp Επιθυμητή Τοχιά Στόχος Σχεδιασμός τοχιάς p(i) p * (i) Δp(i) Αντίστοφη Κινηματική Οθή Κινηματική Βόχος Διόθωσης του συσσωευτικού σφάλματος θέσης πος βόχους ελέγχου q(i) 0

Έλεγχος επιλυμένης ταχύτητας q(0) (Reolved oion rae conrol) q(i) Υπολογισμός j A j και A 0 j (j,,n) Υπολογισμός Ιακωβιανής J( q) Βόχος διόθωσης (correcion loop) p p () A :3,4 * i 0 n p(i) p p( i ) p * ( i) d επιθυμητή τοχιά Επίλυση αντίστοφης διαφοικής κινηματικής p J( q) q Εύεση q q( i ) q ( i) q ( i) d d: apling ie i i q( i ), q ( i) πος ελεγκτή θέσης ομπότ ξ() Σχεδιασμός τοχιάς μέσω πολυωνυμικών συνατήσεων παεμβολής (a) Έστω ξ μια μεταβλητή q i (στο χώο των αθώσεων) ή p i (στο χώο του τελικού στοιχείου δάσης) ξ f ξ0 ξ f Αχικές / Τελικές Συνθήκες (oundary condiion) για τοχιά συνεχή, με συνεχή η παάγωγο (ταχύτητα) ξ 0 0 0 f ξ(0) ξ 0 ξ( f ) ξ f ξ (0) ξ ( ) 0 ξ ξ f f Πολυωνυμική Συνάτηση Παεμβολής: (3ου βαθμού, 4 παάμετοι) (cuic polynoial) ξ () a a a a 3 0 3 a0 ξ0 a ξ 0 a... a 3...

Σχεδιασμός τοχιάς μέσω πολυωνυμικών συνατήσεων παεμβολής () Πολυωνυμική Συνάτηση Παεμβολής (3ου βαθμού, 4 παάμετοι) (cuic polynoial) (συνέχεια) ξ () a a a a 3 0 3 3 a0 ξ0, ξ a f a0 a f a f a 3 f, ξ, ξ a a 3a 0 f f 3 f ΕΠΕΚΤΑΣΗ Κυβικές Τοχιές Παεμβολής με Ενδιάμεσα Σημεία (via poin) και Συνεχή Ταχύτητα a0 ξ0, a ξ0, a 3 ( ξ 0) f ξ ξ0 ξf, f f f ξ 0 Α Β Γ ξ f a ( ξ ξ ) ( ξ ξ ) 3 3 f 0 0 f f f 0 A B Γ f 3 ξ() Σχεδιασμός τοχιάς μέσω πολυωνυμικών συνατήσεων παεμβολής () Έστω ξ μια μεταβλητή q i (στο χώο των αθώσεων) ή p i (στο χώο του τελικού στοιχείου δάσης) ξ f ξ 0 ξ0 0 0 f ξ f Αχικές / Τελικές Συνθήκες (oundary condiion) ξ(0) ξ 0 ξ( f ) ξ f ξ (0) ξ 0 ξ ( ) f ξ f ξ (0) ξ ξ ( ) ξ 0 f f 5 Πολυωνυμική Συνάτηση Παεμβολής: ξ () a0 a a a 5 (5ου βαθμού, 6 παάμετοι) Ειδική πείπτωση, όταν ισχύουν οι συνθήκες: a0 ξ0 a a 3... ( ξf ξ ) ( 0 ξ0 ξf ) ξ0 a ξ0 ξf 0, 4... a f ξ0/ a 5... a 5 0 ( πολυώνυμο 4ου βαθμού) 4

Σχεδιασμός τοχιάς μέσω πολυωνυμικών συνατήσεων παεμβολής (3) Τοχιές τιών φάσεων (επιτάχυνση, σταθεή ταχύτητα, επιβάδυνση), με πολυώνυμα παεμβολής 4ου βαθμού (και συνέχεια ως πος την επιτάχυνση) Ειδική Πείπτωση: Αχική και Τελική Θέση «στάσει» ξ f ξ f ξ ( ξ ξ0 )/( Δ) f f στην ευθεία που ώνει τα ξ 0 ξ 0 και ξ f ξ f ξ f ξ f ξ f Εαν ( ξ ξ ) ( ξ ξ ) f f 0 0 f 4ου βαθμού ξ 0 ξ 0 ξ 0 ξ 0 Φ Δ Δ Δ Δ Φ Φ3 Πολυώνυμα παεμβολής 4ου βαθμού f Φ: Φ3: ( ξ 0 ξ 0) 0 ξ ( ξ ξ 0 0) ξ Δ Δ Ισχύουν! ( ξf ξ ) f ξ 0 ( ξf ξf) ξ Δ Δ 5 Γαμμικός Έλεγχος Απλής Ρομποτικής Άθωσης 6

Συνάτηση μεταφοάς απλής ομποτικής άθωσης () Κινητήας συνεχούς εύματος (DC): υψηλός λόγος οπήςισχύος, γαμμική χαακτηιστική (οπήςταχύτητας) και μικές σταθεές χόνου (οπή αδανείας φοτίου) v R L i e θ J τ * τ L J θ τ L (συντελεστής γαμμικής τιβής) L J L θ L (συντελεστής τιβής φοτίου) λόγος μετάδοσης n Ισοδύναμο Ηλεκτικό Κύκλωμα Οδήγησης Κινητήα DC Μηχανικό Σύστημα Κινητήα DC (μετάδοση κίνησης με οδοντωτούς τοχούς, gear) Ισχύει: rθ rlθ L ή N NLθL όπου r, r L ακτίνες τοχών και N, N L : αιθμοί οδόντων r N Λόγος μετάδοσης: n r N < L L (μειωτήας) θ n θ L L θ n θ θ n θ L () 7 Συνάτηση μεταφοάς απλής ομποτικής άθωσης () Μηχανικό Σύστημα Κινητήα J * () τ() () τl() () άξονας κινητήα τ : οπή που αναπτύσσει ο κινητήας * τ L : οπή από το φοτίο (ανηγμένο στον άξονα του κινητήα) () * * θl Ισχύει (διατήηση έγειας): τl τl θl τl τl n τl (3) θ άξονας φοτίου () (3) τ () J θ () θ () n τ () (4) J θ () τ () θ () L L L L L L (4) (5) ( ) ( ) τ () J θ () θ () L L L L L τ () nj θ () n θ () L L L τ() J n JL () n L () (6) J () (5) () τ () ( J ) μηχανική σταθεά χόνου (Σ) 8

Συνάτηση μεταφοάς απλής ομποτικής άθωσης (3) Ηλεκτικό Σύστημα Οδήγησης του DC Κινητήα τ K i όπου Κ Τ : σταθεά οπής κινητήα (N./A) i : ένταση εύματος ότοα και di v R i L e όπου R : ηλεκτική αντίσταση κυκλώματος ότοα d L : αυτεπαγωγή ότοα e : αντιηλεκτεγετική δύναμη του κινητήα e Κ : σταθεά αναλογίας αντιηλεκτικής δύναμης Άα, μετασχηματίζοντας κατά Laplace: v K v ( R L) i K i ( L R) και v K τ K i K ( L R) ηλεκτική σταθεά χόνου (Σ) K θ 9 Συνάτηση μεταφοάς απλής ομποτικής άθωσης (4) Μηχανικό Υποσύστημα τ ( J ) θ μηχανική σταθεά (Σ) χόνου () () ( J ) θ τ Ηλεκτικό Υποσύστημα v e ( L R ) i K K τ θ ηλεκτική σταθεά χόνου (Σ) v K τ K i K ( L R) 0

Συνάτηση μεταφοάς απλής ομποτικής άθωσης (5) v ( L R ) i K τ ( J ) θ e K θ v K () K ( J ) ( L R )... v Άα: e G( ) K θ θ όπου: Ισχύει: θ () K v () ( L R )( J ) K K K G( ) ( L R )( J ) θ () G () v () K G() () K G () v () [ ( LJ ) ( RJ L ) ( R KK ) ] Συνάτηση μεταφοάς απλής ομποτικής άθωσης (6) Απλοποίηση μοντέλου: αγνοούμε την επίδαση της αυτεπαγωγής L του ότοα (L 0) Δηλαδή: Θεωούμε την ηλεκτική σταθεά χόνου (Τ e L /R ) του κινητήα πολύ μική σε σχέση με τη μηχανική σταθεά χόνου (Τ e J / ) () K G () v () [ ( R J ) ( R K K )] ή, ισοδύναμα: όπου: () K G () v () [ ] K K ( R K K ) RJ ( R K K ) : Συνάτηση Μεταφοάς (ανοικτού βόχου) απλής άθωσης : σταθεά ίσχυσης του κινητήα : σταθεά χόνου του κινητήα

Βασικός βόχος ελέγχου θέσης απλής ομποτικής άθωσης () θl, d e θ K P K D v ( L R ) i K τ ( J ) θ n θ L e K θ Ελεγκτής θέσης PD (proporionalderivaive): v () ( K K ) e () Αντιστάθμιση δύο όων: θέσης και ταχύτητας (δύο όοι : ανάλογος και πααγώγου) Δηλαδή, ελεγκτής θέσης PD: u () v() Ke() K e() P θ D θ όπου: (σήμα ελέγχου, οδήγησης του κινητήα της άθωσης) e θ : σφάλμα θέσης άθωσης e θ θl, d θl (επιθυμητή θέση τέχουσα θέση) θ L, d : επιθυμητή (deired, reference) θέση άθωσης P D θ 3 Βασικός βόχος ελέγχου θέσης απλής ομποτικής άθωσης () θ L, d e θ K P K D GPD n () : συνάτηση μεταφοάς ανοικτού βόχου v θ θ L G( ) n θ L Συνάτηση μεταφοάς ανοικτού βόχου: όπου: ή (L 0): G () ( K K ) G () PD P D () K G () v () [ ( LJ ) ( RJ L ) ( R KK ) ] () K G () v () [ ( R J ) ( R K K )] Συνάτηση μεταφοάς κλειστού βόχου: Όταν L 0: H H PD GPD() () G ( ) K ( K K ) ( RJ ) ( R KK) K K K PD( ) P D [ ] ( ) PD P D 4

Βασικός βόχος ελέγχου θέσης απλής ομποτικής άθωσης (3) Συνάτηση μεταφοάς κλειστού βόχου μεμονωμένης ομποτικής άθωσης με αντισταθμιστή θέσης PD H K ( K K ) ( R J ) ( R KK KK) KK PD( ) P D D P ανάδαση ταχύτητας (derivaive er) Επιλογή ισχύσεων ελέγχου θέσης και ταχύτητας Δευτεοβάθμιο Σύστημα: χ.π. ( ζω ) ( ) n ωn ζ: συντελεστής απόσβεσης ω n : ιδιοσυχνότητα ταλαντώσεων (χωίς απόσβεση) εύος ζώνης ανάδαση θέσης (proporional er) ( ) KK P ω n R J ( R KK KKD) ζ ( KK)( RJ ) P 5 Βασικός βόχος ελέγχου θέσης απλής ομποτικής άθωσης (4) Ποδιαγαφές Σχεδίασης Αντισταθμιστή PD Ελέγχου Απλής Ρομποτικής Άθωσης ωr ω n < (ω r : δομική συχνότητα συντονισμού συστήματος) KK ( ) ( ) P ωr ωr ω n < KP ( ) RJ ( R J ) < K Ενίσχυση ανάλογου όου (proporional gain) ζ (κίσιμη ή υπεκίσιμη απόσβεση) ( R KK KK D) ζ ( KK)( RJ ) P K D P ( KK)( RJ ) R KK K 6