ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ 3 Εισαγωγή Θεωρούμε δύο μη μηδενικά διανύσματα = ( α α) b = β β του επιπέδου Γνωρίζουμε ότι αν τα διανύσματα και b είναι μη συγγραμμικά τότε αληθεύει η συνεπαγωγή λ+ μb = 0 λ μ λ = μ = 0 ή ισοδύναμα το ομογενές γραμμικό σύστημα λα+ μβ = 0 λα + μβ = 0 ως προς λ μ έχει μοναδική λύση ( λ μ ) = (00) Αναγκαία και ικανή συνθήκη για να αληθεύει η προηγούμενη πρόταση όπως είναι γνωστό από τη στοιχειώδη άλγεβρα είναι η αβ αβ 0 Ομοίως η σχέση αβ αβ = 0 είναι αναγκαία και ικανή για να είναι τα διανύσματα b συγγραμμικά Επίσης αν θεωρήσουμε τον πίνακα Α= με απλή εφαρμογή του ορισμού του αντίστροφου πίνακα [Κεφάλαιο ] διαπιστώνουμε ότι: ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος 0 Την παράσταση θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα Α και στη συνέχεια θα προσπαθήσουμε να ορίσουμε μία αντίστοιχη παράσταση των στοιχείων ενός πίνακα Α= ( ) η οποία θα γενικεύει τις παραπάνω σχέσεις Θα εργαστούμε πάνω στο σώμα Κ = ή αν και μπορούμε να εργαστούμε και πάνω σε έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο Πριν όμως περάσουμε στην αναζήτηση μιας τέτοιας παράστασης πρέπει να παρεμβάλλουμε ορισμένες έννοιες που θα μας χρειαστούν στα επόμενα και
48 Κεφάλαιο 3 Ορίζουσες 3 Η συμμετρική ομάδα S Τ = είναι μία αμφιμονοσήμαντη και επί απεικόνιση σ : Τ Τ r σ( r) j r η οποία συμβολίζεται με σ = j j j ή σ = ( j j j ) Οι δυνατές μεταθέσεις του Τ είναι δύο οι σ = ( ) σ = ( ) ενώ οι δυνατές μεταθέσεις του Τ 3 είναι 3! = 6 και είναι οι εξής: σ = ( 3 ) σ = ( 3 ) σ3 = ( 3 ) σ4 = ( 3 ) σ = ( 3 ) σ3 = ( 3) Χρησιμοποιώντας τη βασική αρχή της απαρίθμησης είναι εύκολο να αποδείξουμε ότι το πλήθος των μεταθέσεων του συνόλου Τ = { } είναι! Επιπλέον το σύνολο των μεταθέσεων του συνόλου Τ που συμβο- Μετάθεση του συνόλου { } S λίζεται με αποτελεί ομάδα με πράξη τη σύνθεση απεικονίσεων Η ομάδα αυτή ονομάζεται συμμετρική ομάδα τάξης Για παράδειγμα για = 4 το ουδέτερο στοιχείο της ομάδας S 4 είναι η ταυτοτική απεικόνιση (μετάθεση) σ = ( 3 4) ενώ αν σ = 3 4 4 3 3 4 είναι δύο στοιχεία της και 3 4 S 4 τότε έχουμε 3 4 3 4 σ τ = τ σ = 4 3 4 3 Κάθε ζεύγος ( ik) στοιχείων του συνόλου 3 4 και σ = 3 4 Τ που ικανοποιεί τις συνθήκες i < k και σ () i > σ ( k) αποτελεί μία αντιστροφή της μετάθεσης σ Αν ο συνολικός αριθμός των αντιστροφών μιας μετάθεσης σ είναι άρτιος τότε η μετάθεση λέγεται άρτια ενώ όταν ο αριθμός αυτός είναι περιττός η μετάθεση λέγεται περιττή Το πρόσημο ή δείκτρια μιας μετάθεσης σ ορίζεται ως εξής: αν η σ είναι άρτια ε( σ) αν η σ είναι περιττή =
33 Ο ορισμός της ορίζουσας 49 Για παράδειγμα η μετάθεση ( 354) S 5 ()(3)(5) (5 4) και είναι άρτια ενώ η μετάθεση ( 534) σ = του έχει τις αντιστροφές τ = του S 5 έχει τις αντιστροφές () (53) (54) και είναι περιττή Άρα θα έχουμε ε ( σ ) = και ε ( τ ) = 33 Ο ορισμός της ορίζουσας Θεωρούμε τον πίνακα Α= ( ) Μ ( Κ) και προσπαθούμε να ορίσου- με μία συνάρτηση των στοιχείων του ή των στηλών του det : Μ ( Κ) Κ Α = ( ) det Α της οποίας η τιμή για = να είναι det Τη συνάρτηση αυτή την ονομάζουμε ορίζουσα Εδώ συμβολίζουμε με i την i- στήλη του πίνακα Α και θεωρούμε τον πίνακα ως συνάρτηση των στηλών του δηλαδή ταυτίζουμε το σύνολο Μ ( Κ) με το καρτεσιανό γινόμενο συνόλων Μ ( Κ) που είναι οι πίνακες μιας στήλης πάνω στο σώμα Κ Αν υποθέσουμε ότι για = είναι Α= = ( ) και det Α= τότε είναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι η συνάρτηση det : Μ ( Κ) Κ ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες: det λ + μ = λdet + μdet Α = ( ) ( ) ( ) det ( λ + μ ) = λdet ( ) + μdet ( ) det ( ) = 0 = αν Στα επόμενα κεφάλαια θα δούμε ότι μία συνάρτηση που ικανοποιεί τις δύο πρώτες ιδιότητες λέγεται διγραμμική Τα προηγούμενα μας υποκινούν να απαιτήσουμε για τη συνάρτηση det να ικανοποιεί ανάλογες ιδιότητες με τις παραπάνω για κάθε μία από τις μεταβλητές της i i= και ακόμη να μηδενίζεται όταν δύο στηλες του πίνακα Α ταυτίζονται Έτσι μπορούμε να θέσουμε τα δύο πρώτα αξιώματα για τη συνάρτηση det : Μ( Κ) Κ Α = ( ) det Α ως εξής:
50 Κεφάλαιο 3 Ορίζουσες ( λ + μ ) = λ ( ) + μ ( ) ( i) det det det για κάθε λ μ Κ i = ( ii ) detα= 0 όταν δύο στήλες του πίνακα Α ταυτίζονται i i i i Μία συνάρτηση που ικανοποιεί την ιδιότητα (i) λέγεται πολυγραμμική Στη συνέχεια θα αποδείξουμε ότι υπάρχουν συναρτήσεις που ικανοποιούν τα αξιώματα (i) και (ii) Για τον προσδιορισμό τους είναι χρήσιμο να παρεμβάλλουμε μία πρόταση που αποτελεί και την πρώτη ιδιότητα των οριζουσών Πρόταση 33 Αν κάνουμε μία μετάθεση σ των στηλών του πίνακα Α= ( ) τότε η ορίζουσα του πίνακα που προκύπτει ισούται με την ορίζουσα του Α πολλαπλασιασμένη επί το πρόσημο της μετάθεσης σ δηλαδή ισχύει η ισότητα ( σ() σ() σ ) = εσ ( ) det det Απόδειξη Αρκεί να αποδείξουμε ότι η αντιμετάθεση δύο στηλών Α του πίνακα αλλάζει το πρόσημο της ορίζουσάς του Θεωρώντας σταθερές όλες τις άλλες στήλες του Α εκτός των i j γράφουμε det Α = d( i j) και λόγω των αξιωμάτων (i) και (ii) έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( i j i j i i j j i j) ( j i) 0 = d( i j) + d( j i) d( i j) = d( j i) 0 = d + + = d + d + d + d Μοναδικότητα και ύπαρξη της συνάρτησης ορίζουσας Κάθε στήλη του πίνακα Α= ( ) Μ ( Κ ) γράφεται ως = e k = k ik i i= όπου e i είναι η i στήλη του μοναδιαίου πίνακα Ι Τότε λόγω του αξιώματος (i) λαμβάνουμε det Α= det i e i ie i ie i i= i= i = i j
33 Ο ορισμός της ορίζουσας 5 = i i i det ( e i e i e i ) i i i = = ε ( i i i () Όμως λόγω της πρότασης 33 ισχύει ότι det e e e ii i det e e e ) () Επιπλέον λόγω του αξιώματος (ii) έχουμε det e e e = 0 αν ( ii i) S (3) i i i δηλαδή όταν δύο τουλάχιστον από τα i i i ταυτίζονται Επομένως λόγω των () και (3) η σχέση () γίνεται ii i S det Α= ε ii i det e e e ( ) i i i det ( e e e ) det Α = ε σ σ S σ() σ() σ( ) Είναι πλέον φανερό ότι για να έχουμε τη συνάρτηση της ορίζουσας ως συνάρτηση μόνο των στοιχείων του πίνακα Α πρέπει να θεωρήσουμε την τιμή της det e e e ) σταθερή και ανεξάρτητη του Λαμβάνοντας ( υπόψη ότι για = και για τον μοναδιαίο πίνακα Ι η παράσταση γίνεται ίση με είναι λογικό να επιβάλλουμε ως τρίτο αξίωμα το ακόλουθο Ι = 3 (iii) det για κάθε = από το οποίο η ισότητα (4) γίνεται (4) det Α= ε σ σ S σ() σ() σ (5) Έτσι καταλήγουμε στο συμπέρασμα: Αν υπάρχει συνάρτηση det : Μ ( Κ) Κ Α = ( ) det Α που ικανοποιεί τα αξιώματα (i) (ii) και (iii) που θέσαμε τότε αυτή θα ορίζεται μονοσήμαντα λόγω της σχέσης (5) Επίσης η σχέση (5) μας υποδεικνύει πώς πρέπει να ορίσουμε τη ζητούμενη συνάρτηση det Δεν έχουμε παρά να θεωρήσουμε την ισότητα (5) ως ορισμό της συνάρτησης det και να αποδείξουμε στη συνέχεια ότι αυτή ικανοποιεί τα αξιώματα (i) (ii) και (iii) Πράγματι έχουμε:
5 Κεφάλαιο 3 Ορίζουσες (i) Κάθε όρος του αθροίσματος (5) περιέχει ακριβώς ένα στοιχείο από κάθε γραμμή και στήλη του πίνακα Α Έτσι κάθε όρος είναι γραμμικός ως προς τις στήλες του Α οπότε και το άθροισμα όλων των όρων θα είναι γραμμικό ως προς τις στήλες του πίνακα Α = Τότε για το τυχαίο όρο του αθροίσματος (5) (ii) Έστω ότι έστω τον ε iiii 3 3 σμα και ο όρος ισχύουν 3 ε i i i i iii 3 i i i i = = (αφού = ) i i i i και ε( i ii i ) ε( ii i i ) 3 3 υπάρχει μέσα στο άθροι- 3 i οπότε λόγω του ότι = οι παραπάνω όροι είναι αντίθετοι Έτσι ανά δύο οι όροι του αθροίσματος (5) έχουν άθροισμα 0 οπότε θα είναι και det = 0 Όμοια εργαζόμαστε για κάθε άλλη περίπτωση με i = j (iii) Επειδή είναι αν i = j Ι = ( δ) όπου δ = 0 αν i j η σχέση (5) δίνει det Ι = δ δ δ = για κάθε = Επομένως η σχέση (5) ορίζει τη συνάρτηση ορίζουσας που ζητούσαμε και συνοψίζοντας όλα τα προηγούμενα έχουμε: Θεώρημα 33 Η συνάρτηση det : Μ ( Κ) Κ Α = ( ) det Α που ικανοποιεί τα αξιώματα: (i) det ( λ i + μ i ) = λdet ( i ) + μdet ( i ) για κάθε λ μ Κ i = (ii) det Α= 0 όταν δύο στήλες του πίνακα Α ταυτίζονται (iii) det Ι = για κάθε = 3 είναι μοναδική και έχει τύπο det Α= ε σ σ S σ() σ() σ
34 Ιδιότητες της συνάρτησης ορίζουσας 53 Ειδικές περιπτώσεις Για = είναι : det ( ) = Για = είναι : det = εσ σ σ = + () () σ S = είναι : 3 det 3 = εσ σ() σ() σ(3)3 σ S3 3 3 33 = + + Για 3 33 3 3 3 3 3 3 3 3 33 Παρατηρήσεις (i) Σημειώνουμε ακόμη ότι η ορίζουσα det Α συμβολίζεται και με Α (ii) Τα 6 γινόμενα που σχηματίζονται στον υπολογισμό της ορίζουσας ενός πίνακα 3 3 σχηματίζονται εύκολα με τα πρόσημά τους με το μνημονικό κανόνα του Srrus: 3 3 3 3 33 3 3 + + + = = 33 + 33 + 33 33 33 33 34 Ιδιότητες της συνάρτησης ορίζουσας Αν κάνουμε μία μετάθεση σ των στηλών του πίνακα Α= ( ) τότε η ορίζουσα του πίνακα που προκύπτει ισούται με την ορίζουσα του Α πολλαπλασιασμένη επί το πρόσημο της μετάθεσης σ δηλαδή ισχύει η ισότητα det ( ) = det ( ) σ() σ() σ εσ
54 Κεφάλαιο 3 Ορίζουσες Απόδειξη Είναι η πρόταση 33 που αποδείξαμε στην προηγούμενη παράγραφο Από την ιδιότητα αυτή προκύπτει ως ιδιαίτερη περίπτωση : α Αν αντιμεταθέσουμε δύο στήλες του πίνακα Α τότε ο πίνακας που προκύπτει έχει ορίζουσα αντίθετη από την ορίζουσα του πίνακα Α Αν μία στήλη ενός πίνακα Α= ( ) πολλαπλασιαστεί επί λ Κ τότε η ορίζουσα του πίνακα που προκύπτει ισούται με λ det Α δηλαδή ισχύει ότι det λ = λdet i i Απόδειξη Είναι άμεση εφαρμογή του αξιώματος (i) 3 Η ορίζουσα ενός πίνακα δεν μεταβάλλεται αν αντικαταστήσουμε μία στήλη του με το άθροισμα αυτής συν κάποιο πολλαπλάσιο μιας άλλης στήλης του δηλαδή έχουμε: det det Απόδειξη ( i j ) = ( i +λj j ) det = det ( i + λ j j ) + λ det ( ( i j ) i j j j = det = det Α 4 Η ορίζουσα του ανάστροφου πίνακα Α ενός πίνακα Α ισούται με την ορίζουσα του πίνακα Α δηλαδή έχουμε: T det Α = det Α Απόδειξη Επειδή είναι T Α = ( β ) = ( ji ) θα έχουμε T ( Α ) = = ε βi βi βi ε i i i ( ii i) S ( ii i) S Αν μεταθέσουμε τους παράγοντες του τυχαίου όρου του αθροίσματος (5) έστω ε έτσι ώστε οι δείκτες να πάρουν τη φυσική T det ii i ii i ( ii i ) i i i ε jj j τους διάταξη τότε ο όρος αυτός θα γίνει j j j ) όπου
34 Ιδιότητες της συνάρτησης ορίζουσας 55 ( j j j ) είναι η αντίστροφη μετάθεση της ( ) ( j j j ) S και ε ( j j j ) = ( ii i ) ii i οπότε ε Άρα ο τυχαίος όρος του αθροίσματος (5) είναι και όρος του αθροίσματος T που ορίζει την det των είναι το ίδιο δηλαδή Α και αφού το πλήθος των όρων των δύο αθροισμά-! είναι φανερό ότι det T Α = det Α Παρατήρηση Βάσει της τελευταίας ιδιότητας όλες οι ιδιότητες της ορίζουσας που αναφέρονται στις στήλες του πίνακα Α ισχύουν και για τις γραμμές του 5 Για κάθε ΑΒ Μ Κ ισχύει ότι det ( ΑΒ ) = ( det Α)( det Β ) Απόδειξη Υποθέτουμε ότι Α= ( ) Β= ( b b b ) Αν με συμβολίσουμε τις γραμμές του πίνακα Α τότε η j- στήλη του πίνακα ΑΒ γράφεται b j b j + b j + + b j b j j b j b b + + + j Α b j = b j = = = b i i= bj b j b + + + j bj Άρα έχουμε det ( ΑΒ ) = det bi i bi i bi i i= i= i = bi ( bi bi det i i i ) = i i i = bi ( bi bi det ε ii i ) = ( ) i i i S ε = det ii i b bi bi i ( i i i) S = det Α det Β
56 Κεφάλαιο 3 Ορίζουσες ( ) 6 Αν Α= Μ Κ με = 0 για i > j ή για i< j δηλαδή αν ο πίνακας Α είναι τριγωνικός άνω ή τριγωνικός κάτω ή διαγώνιος τότε det Α = Απόδειξη Γνωρίζουμε ότι ( ii i ) det Α= ε i i i ( ii i) S Με σκοπό να βρούμε τους μη μηδενικούς όρους του παραπάνω αθροίσματος στην περίπτωση που για i > j είναι = 0 παρατηρούμε τα εξής: Επειδή i = 0 για i > θα πρέπει = i δηλαδή i = Επίσης από i = 0 για i > οπότε θα πρέπει = i ή δηλαδή i = ή Αν είναι τότε ε ii i i = ε i i = 0 οπότε θα είναι i = i = 3 3 Εργαζόμενοι ομοίως βρίσκουμε ότι η μοναδική περίπτωση για να βρούμε ένα μη μηδενικό όρο στο άθροισμα που ορίζει τη det Α είναι να πάρουμε i 3 = 3 i = οπότε det Α= Αν = 0 για i < j τότε θεωρούμε τον πίνακα T 35 Ανάπτυγμα ορίζουσας κατά Lplce T Α για τον οποίο ισχύει det Α= det Α = Από τη σχέση (5) βλέπουμε ότι η ορίζουσα det Α είναι πολυώνυμο βαθμού ως προς τα στοιχεία του πίνακα Α Θεωρούμε σταθερό το στοιχείο και υποθέτουμε ότι ο συντελεστής του στο άθροισμα (5) είναι ο Α όπου Α είναι ένα πολυώνυμο βαθμού ως προς τα στοιχεία του πίνακα Α που δεν ανήκουν στην i- γραμμή και στη j- στήλη Ο αριθμός λέγεται αλγεβρικό συμπλήρωμα ή συμπαράγοντας Α (cofctor) του στοιχείου Επιπλέον βασιζόμενοι στο γεγονός ότι κάθε όρος του αθροίσματος (5) περιέχει ένα ακριβώς στοιχείο από κάθε γραμμή και στήλη με απλή παρατήρηση μπορούμε να έχουμε det Α= i Α i+ i Α i + + iαi (6) det Α= Α + Α + + Α (7) j j j j j j
35 Ανάπτυγμα ορίζουσας κατά Lplce 57 που είναι το ανάπτυγμα της ορίζουσας του πίνακα Α ως προς την i - γραμμή και ως προς τη j -στήλη αντίστοιχα Υπολογισμός των αλγεβρικών συμπληρωμάτων Υπολογίζουμε πρώτα το Είναι Α = ε i i όπου οι μεταθέσεις ( ii 3 i ) Α ( ) i i 3 3 i μεταβάλλονται στο σύνολο των μεταθέσεων του συνόλου {3 } Άρα Α είναι η ( ) τάξης ορίζουσα του πίνακα που προκύπτει από τον πίνακα Α αν του απαλείψουμε την πρώτη γραμμή και την πρώτη στήλη Για τον υπολογισμό του Α παρατηρούμε ότι το στοιχείο μπορεί να πάρει τη θέση του μετά από i εναλλαγές γραμμών και j εναλλαγές στηλών Αλλά τότε η ορίζουσα του πίνακα που προκύπτει ισούται με i+ j i+ j ( ) det Α = ( ) detα και το αλγεβρικό συμπλήρωμα του είναι η ορίζουσα του πίνακα που απομένει αν από τον πίνακα που προκύπτει μετά τις εναλλαγές απαλείψουμε την πρώτη γραμμή και την πρώτη στήλη δηλαδή την i γραμμή και τη j στήλη του πίνακα Α Αν συμβολίσουμε την ορίζουσα αυτή με Μ τότε Οι ορίζουσες του πίνακα Α Μ i + Α = j Μ λέγονται ελάσσονες ορίζουσες (miors) της ορίζουσας Ορισμός 35 Συμπληρωματικός (djoit) πίνακας του Α Μ ( Κ ) λέγεται ο πίνακας T ( ) ( ji ) djα = Α = Α όπου Α είναι το αλγεβρικό συμπλήρωμα του στοιχείου του πίνακα Α i j = δηλαδή είναι Α Α Α Α Α Α djα= Α Α Α
58 Κεφάλαιο 3 Ορίζουσες Παράδειγμα Να υπολογιστεί η ορίζουσα του πίνακα Α= 3 0 0 (α) ως προς τα στοιχεία της δεύτερης γραμμής (β) ως προς τα στοιχεία της τρίτης στήλης Λύση (α) Έχουμε + + Α= 3 0 = ( ) ( ) + ( ) 3 0 0 (β) + 0 Α = 3 3+ 0= 6 + 3 3 3+ 3 Α= 3 0 = ( ) + 0 Α 3 + ( ) 0 3 0 = + 0 5= 6 36 Υπολογισμός του αντίστροφου πίνακα Όπως γνωρίζουμε ο αντίστροφος πίνακας αν υπάρχει ορίζεται από τις ισότητες Α ενός πίνακα Α Μ ( Κ ) ΑΑ = Α Α =Ι 3 Θεώρημα 36 Αν Α Μ Κ και djα είναι ο συμπληρωματικός πίνακας του Α τότε θα ισχύει: Α djα = djα Α = det Α Ι Απόδειξη Παρατηρούμε ότι η κύρια διαγώνιος του γινομένου Α( djα ) έχει στοιχεία i Α i+ i Α i + + iα i = det Α για κάθε i = ενώ τα στοιχεία c με i j του γινομένου Α( djα ) είναι c = i Α j+ i Α j + + iα j δηλαδή είναι το ανάπτυγμα ως προς τη j γραμμή της ορίζουσας ενός πίνακα που προκύπτει από τον Α αν αντικαταστήσουμε τη j γραμμή του με την i γραμμή του Αλλά τότε ο πίνακας αυτός έχει δύο γραμμές ταυτιζόμενες οπότε η ορίζουσά του είναι 0 Άρα είναι c = 0 για κάθε i j και έτσι έχουμε:
36 Ο υπολογισμός του αντίστροφου πίνακα 59 ( dj ) dig Όμοια βρίσκουμε ότι: ( det ) Α Α = det Αdet Αdet Α = det Α Ι djα Α = Α Ι Θεώρημα 36 Ο αντίστροφος ενός πίνακα Α Μ ( Κ ) υπάρχει αν και μόνον αν η ορίζουσά του είναι διάφορη από το μηδέν δηλαδή ισχύει: Α αντιστρέψιμος det Α 0 Επιπλέον αν ο Α είναι αντιστρέψιμος τότε Α = djα det Α Απόδειξη Αν det Α 0 τότε από το θεώρημα 35 έχουμε Α djα = djα Α =Ι det Α det Α οπότε υπάρχει ο αντίστροφος του πίνακα Α και ισχύει ότι Α = djα det Α Αντίστροφα αν υπάρχει ο Α τότε ισχύει ΑΑ = Α Α =Ι και οπότε θα ισχύει ότι = det Ι = det Α det Α det Α 0 det και μάλιστα είναι ( det ) Α = Α Παράδειγμα Να υπολογιστεί ο αντίστροφος του πίνακα Α= 3 4 Λύση Επειδή είναι det Α= = 0 0 = ( ) = 0 3 4 3 4 3 4 υπάρχει ο αντίστροφος του Α και είναι ο πίνακας
60 Κεφάλαιο 3 Ορίζουσες Α Α Α3 0 Α = djα = Α Α Α = 0 3 det Α det Α Α 3 Α 3 Α 33 αφού όπως εύκολα υπολογίζουμε είναι Α = = 0 Α = = Α 3 = = Α = = 4 3 4 3 4 Α = = Α 3 = = Α 3 = = Α 3 = = 0 Α 33 = 3 4 3 3 7 Γραμμικά συστήματα - Ο κανόνας του Crmer Θεωρούμε το γραμμικό σύστημα ΑΧ =Β (Σ) που μελετήσαμε στο κεφάλαιο Εδώ υποθέτουμε ότι ο ν ν πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος δηλαδή ισχύει ότι det Α 0 Ένα τέτοιο σύστημα λέγεται σύστημα Crmer και έχει μοναδική λύση σύμφωνα με το θεώρη- μα που ακολουθεί: Θεώρημα 37 (Κανόνας του Crmer) Το γραμμικό σύστημα ΑΧ = Β (Σ) όπου ο Α είναι ν ν αντιστρέψιμος πίνακας έχει μοναδική λύση x x Χ= det Αi με xi = i = ν det Α x ν ό που ο πίνακας Α i προκύπτει από τον πίνακα Α με αντικατάσταση της i στήλης του με τη στήλη Β των σταθερών όρων Απόδειξη Επειδή ο πίνακας Α και έχουμε: Α είναι αντιστρέψιμος υπάρχει ο πίνακας
37 Γραμμικά συστήματα- Ο κανόνας του Crmer 6 ΑΧ = Β Α ν ΑΧ = Α Β Α Α Χ = Α Β Χ=Α Β οπότε το σύστημα έχει μοναδική λύση η οποία δίνεται από την ισότητα Χ=Α Β Για να βρούμε την αναλυτική μορφή της λύσης χρησιμοποιούμε την ισότητα Α = djα που δίνει τον αντίστροφο του πίνακα Α και det Α έχουμε: x Α Α Αν β x Α Α Αν β Χ= = det Α xν Αν Α ν Ανν βν xi = ( iβ Α iβ + +Α νiβν ) i = det Α Α + ν det Αi xi = i = ν det Α όπου ο πίνακας Α i έχει προκύψει από τον πίνακα Α με αντικατάσταση της i στήλης του με τη στήλη Β των σταθερών όρων είναι δηλαδή Αi = ( i Β i+ ν ) i = ν Ι Χ=Α Β Παρατηρήσεις Ο κανόνας του Crmer χρησιμοποιείται μόνο για γραμμικά συστήματα με τετραγωνικό πίνακα και μάλιστα αντιστρέψιμο ενώ η μέθοδος απαλοιφής του Guss χρησιμοποιείται σε οποιοδήποτε γραμμικό σύστημα Η εργασία για την εύρεση των αγνώστων x i με τον κανόνα του Crmer είναι ιδιαίτερα επίπονη για μεγάλες τιμές του ν Στη περίπτωση αυτή είναι προτιμότερη η χρήση της μεθόδου απαλοιφής του Guss Στα θετικά του κανόνα του Crmer είναι ότι δίνει θεωρητικά τη μορφή της λύσης για τον πίνακα Χ των αγνώστων και για κάθε άγνωστο x ως πηλίκο οριζουσών i
6 Κεφάλαιο 3 Ορίζουσες Παράδειγμα Να λυθεί το σύστημα x + y + z = x+ y+ z = x+ y+ z = Λύση Τα σύστημα γράφεται ως ισότητα πινάκων στη μορφή x ΑΧ = Β y = z Έχουμε + + + det Α= = = ( + ) = ( + )( ) και det Α= 0 = ή = οπότε διακρίνουμε τις περιπτώσεις: τότε είναι det Α 0 και έχουμε σύστημα Crmer Αν { } που έχει μοναδική λύση det Α det Α det Α3 ( x y z) = = det Α det Α det Α + + + αφού είναι detα = = detα = = και 3 det Α = = Αν = τότε det Α= 0 και το δεδομένο σύστημα γίνεται: x+ y+ z = z = x y x y x y z = κλ κ λ κλ δηλαδή το σύστημα έχει διπαραμετρική απειρία λύσεων Αν = τότε det Α= 0 και το δεδομένο σύστημα γίνεται: x+ y+ z = x y+ z = x+ y z =
38 Μέθοδοι υπολογισμού οριζουσών 63 από το οποίο με πρόσθεση των τριών εξισώσεων κατά μέλη έχουμε την εξίσωση 0x+ 0y+ 0z =3 η οποία είναι αδύνατη οπότε και το σύστημα είναι αδύνατο 38 Μέθοδοι υπολογισμού οριζουσών Για την ορίζουσα ενός πίνακα με = ή = 3 μπορούν εύκολα να χρησιμοποιηθούν η σχέση (5) του ορισμού αλλά και οι σχέσεις (6) και (7) δηλαδή του αναπτύγματος της ορίζουσας ως προς τα στοιχεία μιας γραμμής ή μιας στήλης του και κατά προτίμηση αυτής που παρουσιάζει τα περισσότερα μηδενικά Όμως για 4 ο υπολογισμός της ορίζουσας ενός πίνακα είναι αρκετά δύσκολο να πραγματοποιηθεί με κάποιον από τους παραπάνω τύπους και γίνεται ακόμη δυσκολότερος όσο μεγαλώνει το Για αυτό το λόγο θα περιγράψουμε στη συνέχεια μερικές μεθόδους που διευκολύνουν τον υπολογισμό της ορίζουσας ενός πίνακα (i) Μέθοδος εξαγωγής γραμμικών παραγόντων Θεωρούμε την ορίζουσα του πίνακα Α ως πολυώνυμο D = D( x y) μιας ή περισσοτέρων ανεξάρτητων μεταβλητών και με εφαρμογή των ιδιοτήτων των οριζουσών ή βρίσκοντας κάποιες τιμές των ανεξάρτητων μεταβλητών που μηδενίζουν την ορίζουσα του Α προσδιορίζουμε γραμμικούς παράγοντες των ανεξάρτητων μεταβλητών που διαιρούν το πολυώνυμο Dxy ( ) και είναι πρώτοι μεταξύ τους Τότε και το γινόμενο αυτών των παραγόντων θα διαιρεί το πολυώνυμο Dx ( y) και στη συνέχεια συγκρίνοντας κάποιους όρους της ορίζουσας με αντίστοιχους όρους του γινομένου των γραμμικών παραγόντων προσδιορίζουμε το πηλίκο της διαίρεσης του Dxy ( ) με το παραπάνω γινόμενο Παράδειγμα Nα υπολογίσετε την ορίζουσα του Vdermode x x x x x x D = x x x Λύση Θεωρούμε την D ως πολυώνυμο της ανεξάρτητης μεταβλητής x δηλαδή D = D x Παρατηρούμε ότι για x = x x = x3 x = x η ορίζουσα έχει δύο γραμμές ταυτιζόμενες οπότε θα ισούται με μηδέν δηλαδή θα έχουμε D( x) = D( x3 ) = = D( x) = 0
64 Κεφάλαιο 3 Ορίζουσες Άρα το πολυώνυμο D = D x διαιρείται από τα γραμμικά πολυώνυ- x x x x x x που είναι πρώτα μεταξύ τους οπότε έχουμε D = x x x x x x Q x x x () μα 3 3 3 Αναπτύσσοντας την D ως προς τα στοιχεία της πρώτης γραμμής παρατηρούμε ότι αυτή είναι πολυώνυμο ως προς x βαθμού και ο συντελεστής του x x 3 x είναι η ορίζουσα του Vdermode D ως x Αλλά και το γινόμενο ( x x )( x x ) ( x ) 3 προς x είναι βαθμού ως προς x ενώ ο συντελεστής του x είναι ίσος με Επομένως από την ισότητα () θα έχουμε Q( x x3 x) = D οπότε η ισότητα αυτή γίνεται: D = D x x x x x x () 3 Εργαζόμενοι ομοίως για την D i = i ( x x )( x x ) ( x x ) D D 3 4 λαμβάνουμε = (3) D3 = D( x x)( x x) (4) D = D( x x) = ( x x) (5) Με πολλαπλασιασμό των σχέσεων ()-(5) κατά μέλη λαμβάνουμε D = x x x x x x x x x x x x 3 3 D = ( xi x j ) < i j Παράδειγμα Να υπολογίσετε την ορίζουσα + x x D = + y y Λύση Αφαιρώντας τη δεύτερη στήλη από την πρώτη και την τέταρτη από την τρίτη λαμβάνουμε: x 0 0 x x 0 x 0 D = D ( x y) = = xy = xyd ( x y) 0 y 0 0 y y 0 y
38 Μέθοδοι υπολογισμού οριζουσών 65 Παρατηρούμε ακόμη ότι η ορίζουσα D ( ) x y μηδενίζεται για x = 0 και y = 0 Επομένως το γινόμενο xy είναι παράγοντας της D ( x y ) η οποία μπορεί να γραφεί D ( x y) = xyq( x y) (6) Επειδή η D ( x y ) είναι πρωτοβάθμια ως προς xy και περιέχει τον όρο xy με συντελεστή + από τη σχέση (6) προκύπτει ότι Qxy ( ) = οπότε τελικά θα είναι D = x y (ii) Μέθοδος αναγωγής σε τριγωνική μορφή Με εφαρμογή των ιδιοτήτων των οριζουσών προσπαθούμε να φέρουμε τη δεδομένη ορίζουσα σε τριγωνική μορφή οπότε αυτή θα ισούται με το γινόμενο των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου της ορίζουσας που προκύπτει Παράδειγμα 3 Να υπολογίσετε την ορίζουσα του πίνακα με = i j Λύση Ο πίνακας Α είναι ο 0 0 Α= 0 3 3 0 Αφαιρώντας από κάθε γραμμή την προηγούμενή της λαμβάνουμε 0 det Α= Αν τώρα προσθέσουμε την τελευταία στήλη σε κάθε μία από τις προηγούμενες βρίσκουμε + 0 det Α= 0 0 = ( ) 0 0 0
66 Κεφάλαιο 3 Ορίζουσες (iii) Μέθοδος των αναδρομικών σχέσεων Πολλές φορές όταν αναπτύσσουμε μία ορίζουσα D ως προς τα στοιχεία μιας γραμμής ή στήλης της οι ελάσσονες ορίζουσες που εμφανίζονται έχουν την ίδια μορφή με τη δεδομένη ορίζουσα Στη περίπτωση αυτή το ανάπτυγμα της ορίζουσας οδηγεί σε μία αναδρομική σχέση της γενικής μορφής D = pd + pd + + pkd k (7) όπου p p p k είναι σταθερές και k { } Από την (7) είναι γενικά δύσκολος ο υπολογισμός του γενικού όρου D Όμως ειδικά για k { } ο υπολογισμός του εύκολος Για k = η σχέση (7) γίνεται D = pd > οπότε η ακολουθία D είναι γεωμετρική πρόοδος με λόγο D = p D > D είναι αρκετά πιο p και έχουμε όπου η D είναι ορίζουσα πίνακα και ισούται με το μοναδικό του στοιχείο Για k = η (7) γίνεται D = pd + qd > (8) Σύμφωνα με τη θεωρία των εξισώσεων διαφορών αν α β είναι οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης t pt q = 0 (9) θα έχουμε p = α + β q = αβ και η σχέση (8) γράφεται ως D βd = α( D βd ) (0) D αd = β( D αd ) () Διακρίνουμε τώρα τις περιπτώσεις: Ι p + 4q 0 οπότε θα είναι α β Τότε οι ακολουθίες D β D και D α D είναι γεωμετρικές πρόοδοι με λόγο α και β αντίστοιχα οπότε θα έχουμε D βd = α D βd () α = β αd D D D (3) Από τις () και (3) απαλείφοντας την D λαμβάνουμε
38 Μέθοδοι υπολογισμού οριζουσών 67 D βd D αd D = cα + cβ όπου c = c = (4) α ( α β) β( α β) Στη πράξη δίνουμε απ ευθείας το γενικό όρο D στη μορφή (4) και υπολογίζουμε τα c c από τις «αρχικές συνθήκες» : cα + c β = D α + β = c c D ΙΙ p + 4q =0 οπότε θα είναι α = β Τότε οι (0) και () γράφονται α α ( α ) D D = D D > και η ακολουθία D α D είναι γεωμετρική πρόοδος με λόγο α οπότε D αd D αd α = > D = αd D αd α + > (5) Η σχέση (5) ισχύει για κάθε > οπότε αν θέσουμε όπου το έχουμε 3 D αd ( D αd ) α = + > μέσω της οποίας η σχέση (5) γίνεται D = α D + D αd α > Με επανάληψη της παραπάνω διαδικασίας λαμβάνουμε D = Dα + ( ) D αd α > ( ) D = α D+ D D α ( α ) Παρατήρηση Στη περίπτωση που είναι pq και p + 4q < 0 γράφουμε τις συζυγείς μιγαδικές ρίζες τις χαρακτηριστικής εξίσωσης (9) σε πολική μορφή α = ρ cosθ + isi θ β = ρ cosθ isiθ Στη πράξη δίνουμε απ ευθείας το γενικό όρο στη μορφή * D = ( c + c ) α και υπολογίζουμε τις παραμέτρους c c ( c + c ) α = D ( c + c ) α = D από τις «αρχικές συνθήκες»
68 Κεφάλαιο 3 Ορίζουσες οπότε χρησιμοποιώντας τον τύπο του De Moirve και τη σχέση (4) καταλήγουμε στη σχέση D = Aρ cos θ + B όπου * AB είναι σταθερές που υπολογίζονται από τις τιμές των D και D Περισσότερες πληροφορίες σχετικά με τις αναδρομικές σχέσεις και γενικότερα για τις εξισώσεις διαφορών μπορεί κάποιος να βρει στο βιβλίο: «Itroductio to Differece Equtios» Smuel Goldberg Dover (986) Παράδειγμα 4 Να υπολογίσετε την ορίζουσα του Α= αν για κάθε i j = έχουμε: 7 αν i = j 5 αν j= i+ = αν i = j+ 0 διαφορετικά Λύση Σύμφωνα με τα δεδομένα έχουμε 7 5 0 0 0 7 5 0 0 0 7 0 0 D = det Α = 0 0 0 7 5 0 0 0 7 Αναπτύσσοντας την ορίζουσα ως προς τα στοιχεία της πρώτης στήλης λαμβάνουμε D = 7D 0 D > Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι β = οπότε ο γενικός όρος της ακολουθίας D θα είναι t πίνακα 7t+ 0= 0 και έχει ρίζες α = 5 με Άρα θα είναι c D = c 5 + c { 5c c 75c 4c 39} 5 c 3 3 + = + = + = = και det ( 5 + D ) * = Α = 3
38 Μέθοδοι υπολογισμού οριζουσών 69 (iv) Μέθοδος ανάλυσης σε άθροισμα οριζουσών Πολλές φορές μία ορίζουσα υπολογίζεται εύκολα όταν αναλυθεί σε άθροισμα οριζουσών της ιδίας τάξης ως προς τις γραμμές ή τις στήλες της σύμφωνα με το αξίωμα της διγραμμικότητας Παράδειγμα 5 Να υπολογίσετε την ορίζουσα x+ 3 x+ 3 D = x+ 3 x+ 3 Λύση Αν γράψουμε κάθε στοιχείο εκτός της κυρίας διαγωνίου στη μορφή i + 0 τότε η ορίζουσα D γίνεται x 3 3 0 x+ 3 x+ 3 D = 0 x+ 3 + x+ 3 0 x+ x+ 3 3 Επαναλαμβάνουμε στη συνέχεια την ίδια ανάλυση σε κάθε μία από τις δύο παραπάνω ορίζουσες αλλά και στις ορίζουσες που προκύπτουν Οι περισσότερες από τις ορίζουσες που προκύπτουν έχουν δύο στήλες ανάλογες οπότε είναι μηδενικές εκτός από τις ακόλουθες: x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x 0 0 x 0 0 0 x 0 0 0 x 0 = x 0 x 0 = x = 0 0 0 Άρα έχουμε: x 0 0 x x 0 0 x x 0 0 0 D = x + + + + x (v) Μέθοδος αλλαγής των στοιχείων της ορίζουσας Πολλές φορές αν προσθέσουμε σε όλα τα στοιχεία μιας ορίζουσας τον ίδιο αριθμό η ορίζουσα που προκύπτει υπολογίζεται ευκολότερα Η σχέση της ορίζουσας του πίνακα που προκύπτει με την ορίζουσα του αρχικού πίνακα δίνεται από το θεώρημα που ακολουθεί
70 Κεφάλαιο 3 Ορίζουσες Θεώρημα 38 Αν Α= ( ) Μ ( Κ ) και ( x) det Β= det Α+ x Α Β = + Μ Κ τότε i j= όπου Α είναι τα αλγεβρικά συμπληρώματα των στοιχείων του Α Απόδειξη Η det Β αναλύεται σε άθροισμα οριζουσών από τις οποίες όσες έχουν δύο τουλάχιστον στήλες με όλα τα στοιχεία τους ίσα με x είναι μηδενικές ενώ όσες έχουν μία στήλη με όλα τα στοιχεία της ίσα με x όταν αναπτυχθούν ως προς τα στοιχεία αυτής της στήλης έχουν τελικά άθροισμα x Α i j= Επιπλέον μία από τις ορίζουσες του αθροίσματος είναι και η det Α οπότε είναι φανερή η ζητούμενη σχέση Παράδειγμα 6 Να υπολογίσετε την ορίζουσα b b b b b b D = det Β= b b b b b b Λύση Αν θεωρήσουμε τον πίνακα dig ( b b b) ( ) τότε θα είναι ( b) det Α= ( b) Α= = Β= + Επιπλέον έχουμε ενώ τα αλγεβρικά συμπληρώματα των στοιχείων του πίνακα Α είναι ( b) αν i = j Α = 0 αν i j Επομένως σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα θα έχουμε D = b + b b = b [ + ( ) b]
Ασκήσεις 7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να αποδείξετε ότι: b c c+ b + c b c = + b+ c + b + c b b+ c Να λύσετε την εξίσωση x b c x b c b x c b c x = 0 3 Να υπολογίσετε την ορίζουσα του πίνακα Α= ( ) Μ ( ) αν είναι x αν i = j = αν i j 4 Να υπολογίσετε την ορίζουσα των ( + ) ( + ) πινάκων x b0 b b b b x b b b b b x b b b b b Α= Β= 3 x b b b 3 b0 3 x b b b b b0 όπου b = b + jd για κάθε j = και b 0 d σταθεροί j 0 0 0 3 5 Να υπολογίσετε την ορίζουσα των πινάκων 3 3 x x 0 0 0 x x 0 0 0 0 x x 0 0 0 x x3 0 0 Α= Β= 0 0 0 x 0 0 0 0 x 0 0 0 0 x x 0 0 0 x x
7 Κεφάλαιο 3 Ορίζουσες 6 Να υπολογίσετε την ορίζουσα του πίνακα ( ) από τις παρακάτω περιπτώσεις: i αν i = j (i) = (ii) mi ( i ) αν i j i j 0 αν i = j ( ) αν i = j (iv) = (v) = αν i j αν i j 7 Έστω det όπου Α= Μ με D = Α Να αποδείξετε ότι: (i) Α= σε κάθε μία = j (iii) mx ( i ) D = xd x D = j x αν i = j = αν i < j αν i > j > (ii) D = ( x+ ) + ( x ) 8 Να υπολογίσετε την ορίζουσα του πίνακα + y y y y + y y Α= y y + y xi αν i = j 9 Αν D = det Α όπου Α= ( ) Μ ( ) με = j i αν i j = διαφορετικά να αποδείξετε ότι : D = x D = x x + και D = x D + D > 0 Έστω η συμμετρική ομάδα S τάξης και η απεικόνιση ϕ: σ ϕ( σ) =Ε +Ε + +Ε Μ Ε S σ() σ() σ όπου είναι ο πίνακας που έχει το υπόλοιπα στοιχεία του ίσα με 0 (i) Χρησιμοποιώντας τις ισότητες στοιχείο του ίσο με και τα ΕΕ αποδείξετε ότι: ϕ( σϕτ ) = ϕτ ( σ) lk Ε ik αν j = l = να Ο αν j l
Ασκήσεις 73 αν σ άρτια (ii) Να αποδείξετε ότι: det ϕσ = εσ = αν σ περιττή Για τους πίνακες Α και Β να αποδείξετε ότι: (i) dj ( ΑΒ ) = ( djβ)( djα ) (ii) det ( djα ) = ( det Α ) ( Α ) = ( Α) Α ( ) (iii) dj dj det (iv) det dj djα = det Α A Μm Κ D Μ Κ B Μ m και O είναι ο m μηδενι- A B κός πίνακας να αποδείξετε ότι ο πίνακας Μ= O D : Αν (i) έχει ορίζουσα det Μ= ( det Α )( det D) (ii) είναι αντιστρέψιμος αν και μόνον αν οι πίνακες Α και D είναι αντιστρέψιμοι και ο αντίστροφός του είναι - - - A B A -A BD - O D = O D 3 Αν είναι A Μ ( Κ) B Μ ( Κ) C Μ ( Κ) D Μ ( Κ) m m m και θεωρήσουμε τον πίνακα A B να αποδείξετε ότι: C D (i) - det Μ= det A det ( D-CA B) αν Α αντιστρέψιμος (ii) - det Μ= det D det ( A-BD C) αν D αντιστρέψιμος Ύστερα αν ο Μ είναι αντιστρέψιμος να βρεθεί ο αντίστροφός του A O I P Υπόδειξη: Να γραφεί ο πίνακας Μ στη μορφή C I O Q όπου P και Q είναι κατάλληλοι πίνακες 4 Έστω Α Μ( Κ) Β Μ Κ και ο πίνακας Α Β Μ= Β Α Να αποδείξετε ότι: det Μ= det ( Α Β) det ( Α+Β ) 5 Θεωρούμε τον πίνακα Α= Να αποδείξετε ότι: ( () t ) d ( det Α ) = det Αk dt k =
74 Κεφάλαιο 3 Ορίζουσες όπου ο πίνακας στήλης Α προκύπτει από τον Α με αντικατάσταση της k- k t = [ t t ] () t από την παράγωγό της k () () () T k k k 6 Με το θεώρημα του Rolle ή διαφορετικά να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( x) f( ) f( b) g ( x) g( ) g( b) = 0 h ( x) h( ) h( b) όπου b και f ( x) g( x) h( x ) είναι πραγματικές συναρτήσεις τάξης έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ( b) 7 Στις διαφορικές εξισώσεις η ορίζουσα του Wroski χρησιμοποιείται για τον έλεγχο της γραμμικής ανεξαρτησίας των λύσεων των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων Το όνομα αυτό της δόθηκε προς τιμή του Πολωνού Μαθηματικού Wroski (788-853) Αν yi = yi( x) x [ b] i = είναι πραγματικές συναρτήσεις που έχουν παράγωγο τουλάχιστον ( )-τάξης στο [ b] τότε η ορίζουσα Wroski αυτών ορίζεται από y( x) y( x) y ( x) y ( x) y ( x) y ( x) W ( y y y ) = x [ b] ( ) ( ) ( ) y ( x) y ( x) y ( x) Αποδεικνύεται ότι οι συναρτήσεις yi = yi( x) x [ b] i = είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν W( y y y ) 0 για κάθε x [ b ] Εφαρμογή Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες: x (i) y( x) = e y( x) = cos x y3( x) = si x x kx (ii) y ( x) = e i i = x και ki διαφορετικά ανά δύο i 8 Οι πίνακες ΑΒ Μ είναι τέτοιοι ώστε Α +Β =ΑΒ και ο πίνακας ΑΒ ΒΑ να είναι αντιστρέψιμος Να αποδείξετε ότι ο διαιρείται με το 3 C -