ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η. Παράδοση Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Παράδοση 9--9 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Άσκηση ) Δο τραίνα ταξιδεύον στην ίδια σιδηροτροχιά το ένα πίσω από το άλλο. Το πρώτο τραίνο κινείται με ταχύτητα m s. Το δεύτερο τραίνο πλησιάζει από πίσω με ταχύτητα m s. Όταν το δεύτερο τραίνο είναι m πίσω από το πρώτο, ο μηχανοδηγός το δεύτερο τραίνο εφαρμόζει πέδηση σταθερής επιβράδνσης.m s.. Θα σγκροστούν τα δύο τραίνα, και αν ναι σε ποια χρονική στιγμή και σε ποιά θέση x από το σημείο εφαρμογής της πέδησης;. Τι θα σμβεί αν το δεύτερο τραίνο έχει αρχική ταχύτητα 5 m s (θα σγκροστούν και αν ναι, σε ποια χρονική στιγμή και σε ποιά θέση); Να εξετάσετε επίσης την περίπτωση κατά την οποία τα τραίνα κινούνται με τις ίδιες αρχικές σνθήκες αλλά σε παράλληλες σιδηροτροχιές. 3. Δώστε τη γραφική παράσταση μεταβολής της θέσης των δύο τραίνων σαν σνάρτηση το χρόνο και βρείτε γραφικά τη λύση για το δεύτερο ποερώτημα. ) Ένα βλήμα βάλλεται με αρχική ταχύτητα έτσι ώστε να διέρχεται από τα σημεία Α και Β πο βρίσκονται στο ίδιο ύψος h από το έδαφος. Δείξετε ότι εάν η αρχική ταχύτητα το βλήματος σχηματίζει την κατάλληλη γωνία με το οριζόντιο επίπεδο ώστε να έχομε μέγιστο βεληνεκές, η απόσταση μεταξύ των σημείων είναι: d 4h φ h Λύση Α.

) Θεωρούμε ως αρχή των χρόνων ( t ) τη χρονική στιγμή όπο ο μηχανοδηγός το δεύτερο τραίνο πατάει τα φρένα οπότε το πρώτο τραίνο βρίσκεται στη θέση x ενώ το δεύτερο τραίνο στη θέση x. Οι εξισώσεις κίνησης των δύο τραίνων είναι: Τραίνο : Τραίνο : x v a + t x t. t v. t a. (όπο οι θέσεις μετρώνται σε m οι ταχύτητες σε m s και οι επιταχύνσεις σε m s ) Αν τα δύο τραίνα σγκροστούν σημαίνει ότι x x, σνεπώς από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι:. t 8t + Οι λύσεις της παραπάνω εξίσωσης είναι: 8 ± 64 4. 8 ± 64 8 8 ± 6 t... s οι οποίες είναι μη πραγματικές και σνεπώς τα τραίνα δεν θα σγκροστούν. ) Στη περίπτωση ατή η εξίσωση για τη θέση το δεύτερο τραίνο είναι ( ). καταλήγομε στην εξίσωση: t. 3t+ η οποία έχει λύσεις τις : ή: 3 ± 69 4. 3 ± 69 8 3 ± 9. 434 t s... t 783. sκαι t. 7s x t 5t t, οπότε Οι δύο παραπάνω χρόνοι αντιστοιχούν σε δύο χρονικές στιγμές όπο τα δύο τραίνα θα έχον τη ίδια θέση x x. Στην πρώτη χρονική στιγμή t 783s. τα δύο τραίνα σγκρούονται και το πρόβλημα των τραίνων τελειώνει (αφού κινούνται στην ίδια τροχιά και δεν μπορούν να σνεχίσον μετά τη σύγκροση). Αν τα τραίνα κινούνταν σε παράλληλες τροχιές τότε την χρονική στιγμή t 783s. το δεύτερο τραίνο θα έφτανε το πρώτο (οπότε θα είχαν την ίδια θέση x x ), στη σνέχεια θα το προσπερνούσε

σνεχίζοντας την επιβραδνόμενη κίνηση μέχρι τη χρονική στιγμή t. 7s οπότε το πρώτο τραίνο πο θα σνέχιζε να κινείται με σταθερή ταχύτητα θα προσπερνούσε το δεύτερο τραίνο. Από τις εξισώσεις κίνησης των τρένων προκύπτει ότι η σύγκροσή τος θα γίνει στη θέση: x + 7. 83 + 3, 96 43, 96m 3) Αναφορικά με τη γραφική παράσταση της θέσης των δύο τρένων παρατηρούμε ότι η σνάρτηση θέσης το πρώτο τρένο είναι εθεία: x () t + t, ενώ εκείνη το δεύτερο είναι παραβολή πο x t 5t t στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω : (). τα σημεία τομής τος πο αντιστοιχούν στις δύο λύσεις.. Το παρακάτω σχήμα δείχνει τις δύο καμπύλες και 6 x 8 4 4 6 8 4 t(s) ) Σύμφωνα με τη σχέση.55 το βιβλίο, το βεληνεκές δίνεται από τη σχέση: sinφcosφ R () Το βεληνεκές είναι μέγιστο όταν η παράγωγος το R ως προς φ είναι μηδέν και η δεύτερη παράγωγος αρνητική, δηλαδή: dr (cos φ sin φ) cosφ () dφ o o Από την παραπάνω σχέση έπεται ότι ϕ 9, επομένως ϕ 45. Στην κατακόρφη διεύθνση έχομε κίνηση επιβραδνόμενη με αρχική ταχύτητα sinφ επομένως η κατακόρφη θέση το βλήματος σε κάθε χρονική στιγμή t είναι: 3

Για να φτάσει σε ύψος h t t y sinφ t - - (3) το βλήμα θα χρειασθεί χρόνο t πο δίνεται από: Η παραπάνω σχέση έχει λύσεις: t t - h t t + h (4) y t, 8h 4h (5) Οι δύο παραπάνω χρονικές στιγμές αντιστοιχούν στις δύο διελεύσεις το βλήματος από το επίπεδο z h. Επομένως ο χρόνος μεταξύ των δύο διελεύσεων είναι: 4h Δt t t (6) Στην οριζόντια διεύθνση η κίνηση είναι εθύγραμμος ομαλή με ταχύτητα cosφ, επομένως η απόσταση d θα είναι: Εναλλακτική λύση: 4h 4h d cosφ Δt (7) Οι εξισώσεις της κίνησης για τις δύο σνιστώσες x, y είναι: y ( sinφ) t - t (8) ( cosφ)t (9) x Λύνοντας την (9) ως προς t και αντικαθιστώντας στην (8) έχομε: y ( sinφ) x x - cosφ cosφ x y x tanφ - () cos φ Για μέγιστο βεληνεκές, όπως γνωρίζομε, φ 45 δηλαδή: tan φ και cos φ ή cos φ 4

x y x - () Η () είναι η γνωστή εξίσωση παραβολής. Για κάθε τιμή το y θα έχομε δύο τιμές το x. Επομένως για yh, η () γίνεται: h x x x x - h + () Οι δύο λύσεις της () θα είναι: + h 4 x h 4 x h 4 x, πο αντιστοιχούν στις τετμημένες των σημείων Β και Α, επομένως: x x d 4h h 4 d Άσκηση Σε ένα πείραμα κίνησης μικρών μεταλλικών σφαιρών σε δοχείο γεμάτο με ιδανικό γρό αφήνεται μία σφαίρα στην επιφάνεια το γρού με μηδενική αρχική ταχύτητα. Η σφαίρα αναγκάζεται να κινηθεί με σταθερή επιτάχνση. 6 s m. Στο δοχείο πάρχει παράθρο ύψος το οποίο απέχει από τον πθμένα το δοχείο. Ο χρόνος πο χρειάζεται μια σφαίρα για να διανύσει το παράθρο (το διάστημα ΒΓ) είναι. Να πολογιστούν: m m.4s Α) ο χρόνος πο χρειάζεται η σφαίρα να φτάσει στον πθμένα το δοχείο αφού περάσει το παράθρο (για να διανύσει την απόσταση ΓΔ), Β) το ύψος το γρού πάνω από το παράθρο (η απόσταση ΑΒ), Γ) η ταχύτητα με την οποία η σφαίρα φτάνει στον πθμένα το δοχείο. 5

Λύση Α) Η κάθε σφαίρα αρχίζει να κινείται από την επιφάνεια το γρού έχοντας μηδενική αρχική ταχύτητα και εκτελώντας ομαλά επιταχνόμενη κίνηση με επιτάχνση Στο σημείο Β έχει αποκτήσει ταχύτητα 6. s m. και στο σημείο Γ ταχύτητα Γ. Με δεδομένο ότι η κίνηση στο διάστημα ΒΓ διαρκεί.4s και ότι το διάστημα ΒΓ m έχομε τις εξισώσεις: xγ x + Βt+ αt xγ x Βt+ αt Β4. + 6( 4. 48. Β 3m. / s 4. Η ταχύτητα στο σημείο Γ είναι ) Γ ( x x ) (.3) + 6 )( m s) 3. m s Γ + a Γ 7 Και ο χρόνος πο χρειάζεται για να φτάσει στον πθμένα: xδ xγ Γt+ αt 37t. + 6t Η παραπάνω εξίσωση έχει λύσεις: 37. ± ( 37. ) 4 3 ( ) 37. ± 5769. 37. ± 56. t 3 3 6 ή t. 5s και t. 7s Αποδεκτή είναι η θετική λύση. ) Αφού η σφαίρα άρχισε να κινείται με μηδενική ταχύτητα, η απόσταση από το πάνω σημείο της επιφάνειας το γρού μέχρι το πάνω σημείο το παραθύρο (διάστημα ΑΒ) δίνεται από τη σχέση 6

x at ( 3. ) 69. x Β Β at t a a 6 4m. Γ) Για το διάστημα ΓΔ m η σφαίρα εκτελεί ομαλά επιταχνόμενη κίνηση με αρχική ταχύτητα 3.7 m s και η κίνηση διαρκεί t. 5s (ερώτηση Α). Η ταχύτητα στον πθμένα δίνεται από τη Γ σχέση Άσκηση 3: + αt 37. + 6 5. 7m. / s Δ Γ Α) Σώμα μάζας Μ και μήκος l ακινητεί πάνω σε λεία οριζόντια επιφάνεια. Ένα δεύτερο σώμα μάζας m τοποθετείται πάνω στο πρώτο όπως δείχνει το σχήμα. Ο σντελεστής τριβής μεταξύ των δύο σωμάτων είναι μ. Στο κάτω σώμα ασκείται οριζόντια δύναμη μέτρο F (όπως στο σχήμα). Να βρεθεί: ) Για ποιά τιμή της οριζόντιας δύναμης F το σώμα μάζας m θα αρχίσει να ολισθαίνει. ) Ποιά χρονική στιγμή το σώμα μάζας m θα πέσει από το σώμα μάζας Μ. Β) ) Βρείτε την δύναμη τριβής πο χρειάζεται για να σταματήσει ένα σώμα μάζας m, το οποίο κινείται οριζόντια με ταχύτητα πό την προϋπόθεση ότι πρέπει να σταματήσει σε απόσταση d. ) Βρείτε τον κατάλληλο σντελεστή τριβής για να σμβεί το παραπάνω. 3) Υπολογίστε την δύναμη και τον σντελεστή τριβής, χρησιμοποιώντας τος τύπος πο βρήκατε στην ) και ) ερώτηση, στην περίπτωση πο m Kr, 6km h και d m. Λύση: Α) Εξετάζομε τις δνάμεις πο ασκούνται πάνω σε κάθε σώμα (βλ. σχήμα) 7

Αρχικά το σώμα μάζας m δεν ολισθαίνει. Άρα το μέτρο της δύναμης τριβής Τ ικανοποιεί την ανισότητα: Οι εξισώσεις κίνησης των δύο σωμάτων είναι: T μm () T ma F T Ma () Από ατές προκύπτει ότι το μέτρο της δύναμης της τριβής είναι: T mf (3) m + M Άρα η σχέση () γίνεται: mf m + M Επομένως η ολίσθηση θα αρχίσει όταν : β) μm F > ( m + M ) μ (4) Όταν αρχίσει η ολίσθηση το επάνω σώματος, οι εξισώσεις κίνησης των δύο σωμάτων είναι: T ma F T Mb (5) ή μm ma F μm Mb (6) όπο α και b τα μέτρα των επιταχύνσεων των σωμάτων με μάζες m και Μ αντίστοιχα. Από ατές προκύπτει ότι τα μέτρα των επιταχύνσεων των δύο σωμάτων είναι: 8

a μ F μm b M (7) Όμως για τις επιταχύνσεις των δύο σωμάτων ισχύει : a b + (8) ή a b (9) a r a r όπο a r είναι η σχετική επιτάχνση το επάνω σώματος ως προς το κάτω. Σνδάζοντας τις σχέσεις (7) και (9), προκύπτει για το μέτρο της σχετικής επιτάχνσης ότι: a r F μm b a μ () M Επομένως το σώμα μάζας m φτάνει στο άκρο το κάτω σώματος την χρονική στιγμή τ: τ l a r () όπο η σχετική επιτάχνση δίνεται από τη σχέση () Άρα με σνδασμό των σχέσεων () και () προκύπτει ότι: Β) F μm τ l μ M ) Θέτομε m s και x m στη σχέση πο σνδέει την ταχύτητα με την απόσταση, οπότε προκύπτει ότι: ή + α ( x x ) + a( d ) ad α d () Η επιτάχνση ατή σνεπάγεται δύναμη τριβής: 9

) Η δύναμη της τριβής μπορεί να γραφεί ως: m F mα () d m F μn μm d Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι: μ (3) d 3) Η δύναμη τριβής πο απαιτείται είναι: Ο σντελεστής τριβής θα είναι: m F d 3 Kr (6 m/hr) m μ 3 (6 m/ hr) d m 9.8m / s.7 694Nt Άσκηση 4 Δύο σώματα Α και Β σνδέονται μέσω νήματος με σώμα C, όπως στο σχήμα. Οι τροχαλίες είναι χωρίς τριβές. Τα βάρη των σωμάτων Α και Β είναι ίσα με 8 Ν και ο σντελεστής τριβής ολίσθησης ανάμεσα σε κάθε σώμα και στην επιφάνεια στην οποία εφάπτεται είναι.5. Το σώμα C κατέρχεται με σταθερή ταχύτητα. Να βρεθούν: Α) Η δύναμη πάνω στο νήμα πο σνδέει τα σώματα Α και Β. Β) Το βάρος το σώματος C. Δίνεται θ37 ο Λύση

Σχεδιάζομε τις δνάμεις πο ασκούνται σε κάθε σώμα. Επειδή η κίνηση των σωμάτων είναι ισοταχής ισχύον οι σχέσεις: Για το σώμα Α ισχύει: όπο N W N W () T f T f () f μ N (3) k Για το σώμα Β ισχύει: N W N W (4) y T + T f Wx T T + f Wx (5) y και f μ N (6) k Για το σώμα C ισχύει: T W T W (7) C Επιπλέον, σύμφωνα με το τρίτο αξίωμα το Νεύτωνα ισχύον οι σχέσεις: και C C T T (8) C

TC T (9) Το μέτρο της δύναμης ( T ) πο ασκείται στο νήμα πο σνδέει τα σώματα Α και Β είναι (χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (),() και (3): T f μ k N μkw.5 8 4N Β) Για την εύρεση το βάρος το σώματος C, με σνδασμό των σχέσεων(7) και (9), προκύπτει ότι: Η παραπάνω σχέση με χρήση της σχέση (5) γίνεται: C WC TC T W T + f + W. Η παραπάνω σχέση με χρήση των σχέσεων (4), (6) και (8) δίνει: W C W T + μ W cosθ + W sinθ C k x 4 + 8.6 +.5 8.8 N Άσκηση 5 Σώμα Α βάρος W ολισθαίνει με σταθερή ταχύτητα προς τα κάτω (βλ. σχήμα). Η κλίση το κεκλιμένο επιπέδο είναι 37 ο. Το σώμα Β έχει βάρος W και παραμένει ακίνητο σγκρατούμενο από πακτωμένο νήμα. Να πολογιστούν: α) ο σντελεστής τριβής ανάμεσα στο σώμα Α και στο κεκλιμένο επίπεδο β) η τάση το νήματος πο σγκρατεί το σώμα Β Να θεωρηθεί ότι τα σώματα και το κεκλιμένο επίπεδο αποτελούνται από το ίδιο λικό. Λύση Σχεδιάζομε και αναλύομε τις δνάμεις πο ασκούνται πάνω σε κάθε σώμα (βλ. σχήμα).

Για το σώμα Α εφόσον κινείται με σταθερή ταχύτητα πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο ισχύον οι σχέσεις: N W P N W + P W cosθ + P y k y k k () f + f W W f + x x f () Για τις δνάμεις πο δρον πάνω στο σώμα Β ισχύον οι σχέσεις: N Wy N Wy N W cosθ W cosθ (3) T f W T W + f T W sinθ + Αλλά από το τρίτο αξίωμα το Νεύτωνα ισχύει: x x f (4) P k N (5) και λόγω της (3): P k W cosθ (5) Με χρήση της τελεταίας σχέσης η σχέση () γίνεται: N W cosθ + Pk W cosθ + W cosθ 3W cosθ (6) Για τις δνάμεις τριβής ισχύον οι σχέσεις : f f μ P μ N k k (7) k και λόγω της (5) 3

f μ cosθ kw (8) Η σχέση () με χρήση των (5), (6), (7) και (8) γίνεται: Wx f + f μk N + μk Pk μk 3W cosθ + μk W cosθ 5μkW cosθ ήτοι: W θ μ W θ μ θ 5 5 sin 5 k cos k tan tan 37.5 β) Ο πολογισμός της τάσης το νήματος γίνεται με χρήση της σχέσης (4): T W sinθ + f W sinθ + f (9) Αλλά: f μ k N f μ kw cosθ μ W cosθ k Οπότε η σχέση (9) γίνεται: ( ) ( ) T W sinθ + f W sinθ + μ W cosθ W sinθ + μ cosθ W.6 +.5.8.44W k k Άσκηση 6 Α) Μάζα m είναι στερεωμένη στο άκρο νήματος αμελητέας μάζας το οποίο το άλλο άκρο είναι ακλόνητο. Η μάζα εκτελεί ομαλή κκλική κίνηση ακτίνας r. Το σύστημα ατό ονομάζεται κωνικό εκκρεμές. Θεωρείστε κωνικό εκκρεμές μήκος L. m το οποίο κινείται σε κκλική τροχιά ακτίνας r. m. Να πολογιστεί η περίοδος το εκκρεμούς. Η επιτάχνση της βαρύτητας είναι ίση με 9.8m s (Υπόδειξη: θεωρείστε τη γωνία πο σχηματίζει το νήμα με την κάθετο ίση με θ) Β) 4

Βρείτε την επιτάχνση το σώματος Α ως σνάρτηση της επιτάχνσης το σώματος Β στο σύστημα τροχαλιών το σχήματος. Το σχοινί πο σνδέει τα σώματα θεωρείται μη εκτατό και χωρίς μάζα και οι τροχαλίες χωρίς μάζα και χωρίς τριβές. Λύση Α) Το διάγραμμα ελεθέρο σώματος για τη μάζα το εκκρεμούς φαίνεται στο σχήμα: Ισχύει: T cos θ H οριζόντια σνιστώσα της τάσης παίζει το ρόλο της κεντρομόλο δύναμης: m T sinθ m r Διαιρώντας κατά μέλη τις δύο παραπάνω εξισώσεις απλοποιούνται τα Τ και m, οπότε έχομε tanθ r tanθ r Για τη γωνία θ ισχύει r tan θ και tan θ. 7, οπότε L 5

(Σύμφωνα με το σχήμα, είναι sin θ tanθ ) r tan θ. 9.8.7. 58m s sin θ r L, αλλά επειδή η γωνία είναι μικρή, μπορούμε να θεωρήσομε ότι Από τη σχέση T πr, η περίοδος της κκλικής κίνησης είναι: π r π. T. s 57. Β) Θεωρούμε ως αρχή των αξόνων y το επίπεδο πο διέρχεται από το κέντρο της σταθερής τροχαλίας C. Τα διανύσματα θέσης των Α και Β είναι: r y j, r y j () Επομένως οι ταχύτητες και επιταχύνσεις των Α και Β θα είναι: α y j, y j () y j, α y j (3) 6

Το πρόβλημα είναι μονοδιάστατο οπότε απλοποιούμε τις εκφράσεις εγκαταλείποντας (αλλά εννοώντας ότι πάρχει) το μοναδιαίο άνσμα j. Το μήκος το σχοινιού είναι μια σταθερά το προβλήματος και (όπως φαίνεται από το σχήμα) ισούται με: ή l tot ab + bc + cd + de + ef σταθερό (4) ltot aa + yd + b c + yd + de + y Αλλά τα aa, bc,de σε όλη τη διάρκεια της κίνησης έχον αμετάβλητο μήκος, οπότε : dltot y D + y dt Επειδή όμως η απόσταση D είναι σταθερή και γράφεται: y y + D y y D D η παραπάνω σχέση dl dt y + y (5) tot Ενώ η δεύτερη παράγωγος είναι: dl dt tot y + y (6) Από τη σχέση (6) σνεπάγεται ότι: y y (7) ος τρόπος: Όταν το σώμα Β μετατοπίζεται κατά Δy, το σώμα Α μετατοπίζεται κατά Δ y Δy, επομένως: Δy lim Δt Δt Δy lim Δt Δt y y Παραγωγίζοντας την παραράπανω σχέση έπεται ότι: Άσκηση 7 y y 7

Α) Μια εύκαμπτη αλσίδα μήκος l και βάρος W τοποθετείται αρχικά ακίνητη σε λεία επιφάνεια C με το ένα άκρο της D σε απόσταση l a από το σημείο Β, όπως στο σχήμα. Αποδείξτε ότι όταν η άκρη D φτάσει στο σημείο Β, η ταχύτητα της αλσίδας θα είναι: u sinθ a l Β) ( l ) Ένα τούβλο μάζας τούβλο, μάζας m m βρίσκεται σε αδρή οριζόντια επιφάνεια και είναι σνδεδεμένο με ένα δεύτερο, μέσω ενός αβαρούς και μη εκτατού σχοινιού, το οποίο διέρχεται από τροχαλία (μηδενικής μάζας) όπως στο σχήμα. Δύναμη F εφαρμόζεται στο τούβλο μάζας, πο σχηματίζει γωνία θ με το οριζόντιο επίπεδο, και το κινεί προς τα δεξιά. Ο σντελεστής τριβής μεταξύ το τούβλο μάζας m και το επιπέδο είναι μ. Βρείτε την έκφραση για την επιτάχνση των τούβλων. m Λύση: Α) Σύμφωνα με τα δεδομένα της εκφώνησης το ανά μονάδα μήκος βάρος της αλσίδας είναι μια τχαία θέση της αλσίδας (βλ. σχήμα), το βάρος τχαίο τμήματος x της αλσίδας είναι: W, άρα για l W K W x () l 8

Σνεπώς η δύναμη πο κινεί την αλσίδα είναι: W W Kx x sinθ () l Άρα σύμφωνα με το δεύτερο νόμο το Νεύτωνα, κατά τη διεύθνσης της κίνησης ισχύει: (όπο u η ταχύτητα) Η παραπάνω σχέση γράφεται: ή du dx dx dt W W du W ma x sinθ x sinθ (3) l dt l l x sin θ Με ολοκλήρωση της προηγούμενης σχέσης: du dx du dt x sinθ l u l x sinθ udu x sinθ dx l u udu sinθ l u l sinθ l a u xdx ( l a ) x sinθ l l a Β) Εάν η επιτάχνση των δύο μαζών είναι α, τότε για τη μάζα m ισχύει: T m α () ή 9

T + m α m () N T T K m m Για την μάζα ισχύει: m F x m α (3) ή Fcosθ Τ K m α Fcosθ Τ μn mα (4) όπο Κ η κινητική τριβή και: F y (5) ή N F + Fsinθ N m sinθ (6) Αντικαθιστούμε τα Τ και Ν από τις () και (6) στην (4) οπότε: Fcosθ m α m -μm + μfsinθ mα ή: ( cosθ + μsinθ) ( m + μm ) ( m m )α F + Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι ζητούμενη επιτάχνση είναι: ( + μsinθ) ( m + μm ) ( m + m ) F cosθ α

Άσκηση 8 Σωματίδιο κινείται στον τρισδιάστατο χώρο κατά τέτοιο τρόπο ώστε η επιτάχνση το να παραμένει σταθερή και ίση με a kˆ (όπο î, ĵ,kˆ ) είναι τα μοναδιαία διανύσματα το καρτεσιανού σστήματος αναφοράς ( x, y,z ). Η θέση το σωματιδίο τη χρονική στιγμή t έχει σντεταγμένες (,,) ενώ η ταχύτητά το την ίδια χρονική στιγμή έχει σνιστώσες (,,). Υπολογίστε τη χρονική στιγμή κατά την οποία το σωματίδιο θα περάσει κάτω από το επίπεδο z καθώς και τις σντεταγμένες της θέσης το τη στιγμή ατή. Δώστε μια περιγραφή το είδος της τροχιάς πο διαγράφει το σωματίδιο. (Θεωρείστε μόνο θετικούς χρόνος t ) Λύση : Έστω x(), t y(), t z() t οι σντεταγμένες θέσης το σωματιδίο καθώς ατό κινείται στο χώρο. Το διάνσμα της ταχύτητας είναι () t x () t iˆ+ y () t ˆj+ z () t kˆ και της επιτάχνσης at () x () tiˆ+ y () t ˆj + z () tkˆ. Από τα δεδομένα το προβλήματος έχομε όμως : x () t ax y () t ay () z () t az Από τις σχέσεις ατές προκύπτει με ολοκλήρωση ότι: () c c 3 x t y ( t) (3) z () t t+ c Από τις αρχικές σνθήκες της ταχύτητας για t έχομε ότι () x c y c () z c3 x y () (4) z Οπότε η ταχύτητα έχει τη διανσματική μορφή iˆ+ ˆj tkˆ και σντεταγμένες x () t y () t (5) z () t t Από τις σχέσεις (5) προκύπτει μετά από ολοκλήρωση:

() () x t t+ c y t t+ c5 z() t t c 6 4 (6) + Από τις αρχικές σνθήκες της θέσης για t έχομε ότι ( ) ( ) ( ) x c 4 c5 y (7) z c 6 Οπότε το διάνσμα θέσης έχει τη μορφή ˆ r() t tiˆ+ tj ˆ+ ( t ) k. Το σωματίδιο θα περάσει κάτω από το επίπεδο z όταν t t t (η αρνητική ρίζα απορρίπτεται αφού αναφερόμαστε σε θετικούς χρόνος). Αντικαθιστώντας την τιμή ατή το χρόνο στα x(), t y() t βρίσκομε ότι οι σντεταγμένες θέσης το σωματιδίο τη στιγμή πο ατό διέρχεται το επίπεδο z είναι : (,,) Από το διάνσμα θέσης διαπιστώνομε ότι για κάθε χρονική στιγμή οι σντεταγμένες θέσης x(), t y() t το σωματιδίο είναι ίσες. Άρα το σωματίδιο κινείται πάνω σε επίπεδο πο είναι κάθετο στο επίπεδο z και διέρχεται από την εθεία y παραβολική με εξίσωση z x. x. Η μορφή της τροχιάς πάνω στο επίπεδο ατό είναι

Άσκηση : 9 Θεωρείστε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς με μοναδιαία διανύσματα i ˆ, ˆ j, k ˆ και ένα δεύτερο, O μη αδρανειακό σύστημα O, η αρχή το οποίο έχει τχαία γραμμική επιτάχνση ως προς το ω ως προς το, ενώ το σύστημα αξόνων το περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα. Θεωρείστε στοιχειώδη μάζα m στο χώρο επί της οποίας δρα δύναμη Ft () ( Ft () mγ () t, όπως μετράται στο O αδρανειακό σύστημα ). Ας ποθέσομε ότι ένας παρατηρητής είναι καθηλωμένος στο εσωτερικό το O και μετρά τις σντεταγμένες το διανύσματος θέσης rt () το m, καθώς και την ταχύτητά το () t και την επιτάχνση at () από τις μεταβολές σντεταγμένων στο σύστημα αξόνων το O, χωρίς να τον απασχολεί τι σμβαίνει στον εξωτερικό κόσμο.. Δείξτε ότι οι δύο επιταχύνσεις σνδέονται με την ακόλοθη σχέση. at () () t Rt () rt () () t γ ω ( ω ) ( ω ). Βρείτε τη μορφή το δεύτερο μέλος της παραπάνω σχέσης στις ακόλοθες περιπτώσεις: Α. Σωμάτιο εντός τραίνο πο επιταχύνεται γραμμικά με σταθερή επιτάχνση κ (ως προς το O αδρανειακό σύστημα ) Β. Σωμάτιο ακίνητο σε απόσταση r από το κέντρο κκλικού τροχού πο περιστρέφεται στο επίπεδο x y με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω ω ˆk (ως προς το αδρανειακό σύστημα και O χωρίς να μετατοπίζεται ως προς το ) Γ. Σωμάτιο πο μετατοπίζεται με σταθερή ταχύτητα προς το κέντρο κκλικού τροχού πο περιστρέφεται στο επίπεδο x-y με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω ω ˆk. O O O 3

Υπόδειξη : Λύση: ) α. Τα μοναδιαία διανύσματα το O, όπως φαίνονται από το O ενώ έχον σταθερό μήκος μεταβάλλον τη διεύθνσή τος λόγω της περιστροφής. Έτσι το διάνσμα θέσης rt () για έναν παρατηρητή στο έχει τη μορφή rt () xtit ()() ˆ + yt () ˆjt () + ztkt () ˆ() O β. Η χρονική παράγωγος διανύσματος,σταθερού μήκος, πο περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω, είναι () t ω. Υπενθμίζομε ότι τα διανύσματα ορίζονται χωρίς αναφορά σε ιδιαίτερο σύστημα σντεταγμένων. Ατό πο μας ενδιαφέρει στην προκειμένη περίπτωση είναι να βρούμε την έκφραση το rt () αποκλειστικά σε O σντεταγμένες το χωρίς να αναφερόμαστε σε σσχετισμό με τις αντίστοιχες σντεταγμένες στο O. Έστω r () t το διάνσμα θέσης το m ως προς το σύστημα αναφοράς O και R() t το διάνσμα θέσης O της αρχής των αξόνων το, ως προς την αρχή αξόνων το αδρανειακού σστήματος O. Τα τρία διανύσματα rt (), Rt (), rt () σνδέονται με τη γενική σχέση : rt ( ) rt ( ) Rt ( ) () Η σχέση ατή μας δίνει την έκφραση το rt () στο O. Με παραγώγιση δεύτερης τάξης παίρνομε : r () () t r () t R() t γ () t R() t Από την έκφραση το rt () στο O παίρνομε με παραγώγιση : ( ˆ ˆ ˆ ) ˆ ˆ ˆ ( ) rt () xtit ()() + yt () jt () + ztkt () () + xtit ()() + yt () jt () + ztkt () () (3) Ο πρώτος όρος της (3) είναι η ταχύτητα () t πο μετρά παρατηρητής καθηλωμένος στο εσωτερικό το Ο και δεν αντιλαμβάνεται την περιστροφή και μετατόπιση των αξόνων το. Ο δεύτερος όρος, σύμφωνα με την πόδειξη μπορεί να γραφεί στην ακόλοθη μορφή : ˆ + + ( ω ) + ( ω ) + ( ω ˆ ) ( xtit ()() ˆ yt () ˆjt () ztkt () ˆ() ) ω r x()() tit ˆ yt () ˆjt () ztkt () () xt () it ˆ() yt () ˆjt () zt () kt () ω + + Έτσι η (3) παίρνει τη μορφή : 4

rt () () t+ ω rt () (4) Επειδή όμως και η ταχύτητα έχει τη μορφή () t ()() t iˆ t + () t ˆj() t + () t kˆ () t x y z αντίστοιχα με την (4) ότι : ( t) a( t) + ω ( t) (4α) στο Ο ισχύει Παραγωγίζοντας την (4), και λαμβάνοντας πόψη ότι το ω() t είναι σταθερό, (και άρα ω () t ) λαμβάνομε: rt ( ) ( t) + ω rt ( ) (5) Με αντικατάσταση των rt (), () t από τις σχέσεις (4),(4α) στην (5) λαμβάνομε : rt () at () + ω () t+ ω () t+ ω rt () at () + ω ω rt () + ω () t (6) Από τις ισότητες (),(6) λαμβάνομε τελικά : ( ) ( ) at ( ) γ( t) Rt ( ) ω ω rt ( ) ω ( t) (7) ( ) ( ) Η σχέση ατή σνδέει τις ποσότητες rt () και () t πο σχετίζονται με την κίνηση της μάζας m στο εσωτερικό το επιταχνόμενο σστήματος Ο με τις ποσότητες Rt () και ω() t πο είναι ιδιότητες το Ο ατού καθ εατού τις οποίες, στη γενική περίπτωση, ο παρατηρητής εντός το Ο θα πρέπει να γνωρίζει προκειμένο να κάνει ορθούς πολογισμούς. ) Α) Σύστημα αναφοράς σνδεδεμένο με το τραίνο έχει μόνο μεταφορική κίνηση χωρίς περιστροφή. Η σχέση (7) παίρνει τη μορφή: at ( ) γ ( t) κ (8) Β) Σύστημα αναφοράς σνδεδεμένο με το κέντρο το τροχού έχει μόνο περιστροφική κίνηση, ενώ το σωμάτιο παραμένει ακίνητο σ ατό το σύστημα. Έτσι ο πρώτος και ο τρίτος όρος το δεύτερο μέλος της σχέσης (7) είναι μηδενικοί οπότε η (7) παίρνει τη μορφή : at ( ) γ( t) ω ω rt ( ) rω r σταθερά (9) ( ) ˆ Η επιτάχνση έχει ίδιο μέτρο και αντίθετη φορά της κεντρομόλο επιτάχνσης και ονομάζεται σνήθως φγόκεντρος επιτάχνση. Γ) Στην περίπτωση ατή θα πρέπει να προσθέσομε στην (9) την επίδραση της ταχύτητας και να λάβομε πόψη ότι η επιβατική ακτίνα rt () είναι μεταβαλλόμενη. 5

at ( ) γ( t) ω ( ω rt ( )) ( ω ( t) ) rt ( ) ω rˆ+ ωuˆ θ () Όπο uˆ( θ ) είναι εφαπτομενικό μοναδιαίο διάνσμα στη διεύθνση περιστροφής. Ο δεύτερος όρος της () περιγράφεται στη βιβλιογραφία ως δύναμη Coriolis. Άσκηση Η παλιρροιακή δύναμη σε κάποιο σημείο της επιφάνειας της Γης πολογίζεται από τη διανσματική διαφορά της βαρτικής έλξης την οποία ασκεί η Σελήνη σε μια στοιχειώδη μάζα m στο εν λόγω σημείο, και της βαρτικής έλξης πο θα ασκούσε στην ίδια μάζα εάν ατή βρισκόταν στο κέντρο της Γης. Σύντομη ερμηνεία: Δεδομένο ότι ο άξονας περιστροφής της Γης δείχνει σε σταθερή διεύθνση σε σχέση με τα άστρα, μπορούμε να αναφερθούμε σε ένα σύστημα αναφοράς Ο πακτωμένο στο κέντρο της Γη, πο εκτελεί μεταφορική κίνηση μαζί της γύρω από το κέντρο μάζας το σστήματος Γη-Σελήνη αλλά δεν περιστρέφεται. Σε σχέση με ένα αδρανειακό σύστημα στο διάστημα όλα τα σημεία το Ο κινούνται με την ίδια επιτάχνση. Κάθε σώμα στο σύστημα αναφοράς Ο φίσταται μια δύναμη πο είναι ανεξάρτητη από τη θέση το. Για πολογισμούς πάνω στο ίδιο το Ο η δύναμη ατή θα πρέπει να αφαιρεθεί διανσματικά από τη δύναμη βαρύτητας. (Για τος πολογισμούς σας θεωρείστε τη Σελήνη σημειακή. Ο λόγος της ακτίνας της Γης προς την απόσταση το κέντρο της από τη Σελήνη είναι r, 6. Όπο χρειαστεί χρησιμοποιείστε R την προσέγγιση το διωνμικού αναπτύγματος: ( + x) n + nx για x <<, n σταθερά ) î O r ĵ θ R r M Σελήνη Γη α) Δείξτε ότι η δύναμη παλίρροιας F παλ την οποία νοιώθει στοιχειώδης μάζα πρώτη προσέγγιση, από τη σχέση mm R r Fπαλ G r 3R 3 R R m στο σημείο Α δίνεται, σε β) Η άποψη πο αποδίδει τα παλιρροιακά φαινόμενα στην απλή βαρτική έλξη της Σελήνης μας οδηγεί στο σμπέρασμα ότι όταν στην πλησιέστερη προς τη Σελήνη πλερά, πάνω στην εθεία πο τη σνδέει με το κέντρο της Γης, έχομε άμπωτη τότε στο αντιδιαμετρικό σημείο θα έχομε πλημμρίδα. Στην πράξη όμως παρατηρούμε και στα δύο σημεία τατόχρονα άμπωτη όπως φαίνεται στο ακόλοθο σχήμα. 6

Εξηγείστε το φαινόμενο, πολογίζοντας τις δνάμεις στα σημεία,,c,d στο ακόλοθο σχήμα, με βάση το αποτέλεσμα το ερωτήματος α. Λύση: α) Σύμφωνα με την εκφώνηση η δύναμη παλίρροιας σε στοιχειώδη μάζα m στο σημείο με: θα ισούται Εκφράζομε το διάνσμα mm mm F παλ G r () 3 G R 3 r + R r ως σνδασμό των r, R : r R+ r () r r ( R+ r) ( R+ r) r R + r + R r r R r r R + + (3) R R r Επειδή,56 R (3). Από τη σχέση (3), ψώνοντας στη δύναμη -3/, χρησιμοποιώντας το διωνμικό ανάπτγμα για το δεύτερο μέλος και κρατώντας τος όρος πρώτης τάξης έχομε : 4 μπορούμε να παραλείψομε το δεύτερο όρο στο δεύτερο τμήμα της ισότητας 3 ( ) 3/ 3 R r r r R 3 (4) R Αντικαθιστώντας τις () και (4) στην () λαμβάνομε : Αναδιατάσσοντας τος όρος της (5) λαμβάνομε: Rr R Fπαλ GmM 3 ( R + r ) 3 (5) 3 R R R 7

GmM F παλ R 3 R + R r R r + r 3R 3r R R R GmM r 3 R r R r + (6) 3 R R Ο όρος στο εσωτερικό της παρένθεσης της (6) απλοποιείται ως ακολούθως R + r R ˆ r r ˆ R (7) + R R R R Δεδομένο ότι r<<r, το δεύτερο διάνσμα της παρένθεσης σε πρώτη προσέγγιση δεν αλλοιώνει τη διεύθνση και το μήκος το διανύσματος R. Έτσι με αντικατάσταση της (7) στην (6) καταλήγομε στην τελική σχέση: mm R r Fπαλ G r 3R 3 R R β) Για τα σημεία Α και C ισχύει Rr i οπότε η δύναμη έχει φορά αντίθετη το r, δηλαδή κάθετα και προς το εσωτερικό της Γης F παλ mm G R 3 r και μέτρο GmM r 3 ( / R ) Για το Β έχομε : mm Rr cos( π ) Fπαλ G r 3R 3 R R mm r mm mm G r + 3R G 3 3 [ r 3r] G R R r 3 R R Ενώ για το D : D mm Rr cos() Fπαλ G r 3R 3 R R mm r mm mm G r 3R G 3 3 [ r 3r] G R R r 3 R R Έτσι στα και D η δύναμη έχει την ίδια φορά με το διάνσμα r, κάθετα δηλ. και προς το εξωτερικό της 3 GmM r / R. Γης. Το μέτρο της δύναμης στα,d είναι: ( ) 8