Οι θέσεις µου... ) Η παράγραφος.7α του σχολικού βιβλίου Κατεύθυνσης Γ Λυκείου είναι λάθος, γιατί σύνθεση απλών αρµονικών ταλαντώσεων ίδιας συχνότητας ίδιας διεύθυνσης ούτε υπάρχει ούτε υποστηρίζεται θεωρητικά. Αντιθέτως η µαθηµατική επεξεργασία (το έχω αποδείξει µε 4 αναρτήσεις σε αυτή την συζήτηση) δείχνει ότι όλη η διατύπωση του σχολικού είναι απόλυτα λανθασµένη. ) Φυσική κάνει ΜΟΝΟ ΕΝΑΣ παρατηρητής µε την έννοια ότι αυτός ο ένας θα µας παρουσιάσει την τελική εξίσωση κίνησης µε τις δικές του συντεταγµένες ή µε τη δικιά του µατιά, έστω αν έχει χρησιµοποιήσει χιλιάδες πληροφορίες άλλων παρατηρητών. Θα µιλήσει για την «αλήθεια» όπως την είδε ΑΥΤΟΣ! Και µετά εµείς ας βρούµε την «αλήθεια» όποιου παρατηρητή θέλουµε, χρησιµοποιώντας π.χ. µετασχηµατισµούς. (Η τροχιά π.x. που βλέπει ένας παρατηρητής δεν είναι ίδια µε την τροχιά που βλέπει κάποιος άλλος. Αλλά οι δύο τροχιές-«αλήθειες» συνδέονται µε µετασχηµατισµούς) 3) Ένα υλικό σηµείο δεν εκτελεί ποτέ ταυτόχρονα δύο ή περισσότερες κινήσεις, αλλά µία µόνο µία κίνηση. Αυτό είναι απαραίτητη συλλογιστική αξίωση του ορισµού της κίνησης. Το λέω απλά: Ένα υλικό σηµείο κινείται όταν τώρα είναι σε αυτή τη θέση µετά στην άλλη. Ας πούµε για παράδειγµα ότι το υλικό σηµείο είναι στο σηµείο (-, 3, 5). Το να λέµε όµως ότι το υλικό σηµείο συµµετέχει σε ταυτόχρονες κινήσεις σηµαίνει ότι είναι ταυτόχρονα στο σηµείο (-, 3, 5) του χώρου, αλλά συγχρόνως είναι στο (-,, ) στο (, 3, ) στο (,, 5) στο [(-7, 6, -8)+(5, -3, 3)] κ.λ.π. Και µετά, µόλις λίγο κουνηθεί θα πάει ταυτόχρονα σε άλλα τόσα σηµεία. Αυτά τα πράγµατα νοµίζω δεν είναι καλά να λέγονται. Ένα υλικό σηµείο κάθε φορά βρίσκεται σε ένα µόνο σε ένα σηµείο του χώρου άρα κάνει µία µόνο κίνηση. Αν το ξεχάσουµε αυτό θα αρχίσει η εκτροπή που θα εµπλέξει µέσα µάζες, ενέργειες κ.λ.π. 4) Η «αρχή ανεξαρτησία των κινήσεων», που επανειληµµένα µας οδήγησε σε λάθη πρέπει να φύγει όχι µόνο από το λεξιλόγιό µας, αλλά από κάθε διδακτική µας επιλογή. Πρέπει να αντικατασταθεί από µια πιο ταπεινή φράση, όπως για παράδειγµα «επαλληλία εξισώσεων κίνησης», να προσαρµόσουµε τις διδακτικές επιλογές σε αυτή την ταπεινή φράση. (Για να το πω πιο λαϊκά αλλά αδόκιµα: Άµα θέλετε να «σπάσετε» την κίνηση σε άλλες, κάντε ό,τι θέλετε αλλά µη µιλήσετε για αρχή ανεξαρτησίας.., αλλά για επαλληλία εξισώσεων κίνησης.) Η αντικατάσταση αυτή όµως πρέπει να συνδεθεί ΟΠΩΣ ΗΠΟΤΕ µε τη συνειδητοποίηση ότι έτσι εξοστρακίζουµε το λάθος του παρελθόντος γινόµαστε πιο ασφαλείς στις τακτικές µας σήµερα. Απαλλαγµένοι από µια λανθασµένη «αρχή» που δεν ήτανε ποτέ αρχή, αποδίδουµε στην κάθε εξίσωση κίνησης αυτά που της ανήκουν (τη θέση, την ταχύτητα την επιτάχυνση δηλαδή) αναγνωρίζουµε την αξία της λύσης της διαφορικής εξίσωσης.
Απαλλαγµένοι από όλα τα παλιά που µας πνίξανε χρόνια τώρα παρασέρνοντάς σε λογικά αδιέξοδα, θα ανασάνουµε βλέποντας την πραγµατική λειτουργία των πραγµάτων όπως για παράδειγµα τη λειτουργία των Μαθηµατικών µε τους ανεξάρτητους άξονες, µε τη γραµµικότητα κάποιων διαφορικών εξισώσεων κ.λ.π.. Κυρίως όµως θα δούµε τη µία µόνο µία κίνηση που κάνει το κάθε σώµα. Μετά θα πρέπει να σκεφτούµε µε ποιο τρόπο θα διδάξουµε αυτή την κίνηση. Μόνη της, µε µια εξίσωση κίνησης δηλαδή, ή θα τη διδάξουµε ως επαλληλία άλλων εξισώσεων κίνησης. Υπάρχουν τρόποι να κάνουµε σωστές όλες τις διδακτικές µας επιλογές. Με όλα τα παραπάνω επιµένω ότι η «αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων» είναι µια απόλυτα α-νόητη ιστορικολαγνική αντίφαση που δυστυχώς συντηρείται µέχρι σήµερα, χαλώντας τη σκέψη όχι µόνο των παιδιών, αλλά των καθηγητών. 5) Η οριζόντια βολή χωρίς την «αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων» Αντιµετώπιση µε διανύσµατα (χωρίς δηλαδή χρήση αξόνων άρα αντιµετώπιση µόνο για Φυσικούς) Στο σώµα δρα το βάρος του B= mg Λύνοντας διανυσµατικά τη διαφορική εξίσωση (η εξίσωση του Νεύτωνα είναι πρωτίστως διανυσµατική άρα εύκολα απεγκλωβίζεται από άξονες) παίρνοντας ως αρχικές συνθήκες τις βρίσκουµε αρχική θέση = t + g t αρχική ταχύτητα υ Ανάµεσα στους δύο προσθετέους της προηγούµενης εξίσωσης υπάρχει µια πρόσθεση που µαθηµατικώς δεν είναι δυνατό να εκτελεστεί να οδηγήσει σε έ- ναν προσθετέο. εν γίνεται δηλαδή αυτή η πρόσθεση να καταργηθεί µε µαθη- µατικές διαδικασίες να φανεί στη θέση της ένας µόνο προσθετέος! Εποµένως η εξίσωση κίνησης t + g t µπορεί να θεωρηθεί επαλληλία (σύνθεση, υπέρθεση, πρόσθεση, πέστε το όπως θέλετε) των εξισώσεων κί- νησης t = g t Άρα διούµαι να µιλήσω για την οριζόντια βολή ως εξής: Α. «Η εξίσωση της οριζόντιας βολής είναι επαλληλία δύο εξισώσεων κίνησης. Της εξίσωσης µιας ευθύγραµµης οµαλής κίνησης t µε ταχύτητα υ της εξίσωσης µιας ευθύγραµµης οµαλά επιταχυνόµενης χωρίς αρχική ταχύτητα = g t. Άρα µπορώ να συµπεράνω οτιδήποτε που αφορά τη θέση, την ταχύτητα την επιτάχυνση (τίποτε άλλο) κοιτώντας µόνο αυτές τις δύο εξισώσεις.»
Β. «Η εξίσωση της οριζόντιας βολής είναι επαλληλία δύο εξισώσεων κίνησης. Της εξίσωσης µιας ευθύγραµµης οµαλής κίνησης t µε ταχύτητα υ της εξίσωσης µιας ελεύθερης πτώσης χωρίς αρχική ταχύτητα χωρίς αρχική ταχύτητα = g t. Άρα µπορώ να συµπεράνω οτιδήποτε που αφορά τη θέση, την ταχύτητα την επιτάχυνση (τίποτε άλλο όµως) κοιτώντας µόνο αυτές τις δύο ε- ξισώσεις.» Στον παραπάνω τρόπο αντιµετώπισης υπάρχει κάτι πάρα πολύ σηµαντικό: Επειδή η αντιµετώπιση δεν έγινε µε τη βοήθεια αξόνων, καλύπτει οποιαδήποτε βολή (οριζόντια, πλάγια, προς τα πάνω, προς τα κάτω κ.λ.π.) µέσα σε βαρυτικό πεδίο σταθερού g. Τελικά η παραπάνω εξίσωση κίνησης t + g t είναι πανίσχυρη γιατί δε χρησιµοποίησε άξονες! Για το λόγο αυτό καλύπτει τα πάντα από βολές.. Αντιµετώπιση µε συντεταγµένες (µε χρήση αξόνων δηλαδή άρα για µαθητές. Αν γίνει αντιµετώπιση για Φυσικούς θα αλλάξουν τα λόγια) Στο σώµα δρα το βάρος του στον άξονα y. (Η εξίσωση του Νεύτωνα είναι διανυσµατική µπορεί να εφαρµοστεί στον κάθε άξονα ξεχωριστά. Αυτό αν θέλετε το λέτε. Αλλιώς πάτε στο επόµενο) Εφαρµόζω την εξίσωση του Νεύτωνα σε κάθε άξονα, όπως κάνω στο κεκλιµένο επίπεδο ( * ). Προκύπτει x t y= gt Εποµένως η εξίσωση κίνησης ενός σώµατος που βάλλεται οριζόντια µπορεί να θεωρηθεί επαλληλία (σύνθεση, υπέρθεση, πρόσθεση, πέστε το όπως θέλετε) των εξισώσεων κίνησης µιας οριζόντιας ευθύγραµµης οµαλής κίνησης µε εξίσωση κίνησης την x t µιας κατακόρυφης προς τα κάτω µε εξίσωση κίνησης y= gt ( * ) Είπαµε ποτέ στο κεκλιµένο επίπεδο ότι το σώµα είναι ταυτόχρονα ακίνητο (y άξονας) κινούµενο εκτελώντας µια ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση (χ άξονας); Τολµήσαµε ποτέ να πούµε αυτή την αντίφαση; Υπάρχει Φυσικός που στο κεκλιµένο επίπεδο µίλησε για αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων όπου το σώµα ταυτόχρονα είναι ακίνητο κινούµενο; 3
Αν θέλουµε συµπληρώνουµε ότι η y= gt είναι η εξίσωση κίνησης της ελεύθερης πτώσης, οπότε συνολικά µπορούµε να πούµε ότι «Η εξίσωση κίνησης ενός σώµατος που εκτελεί οριζόντια βολή είναι επαλληλία της εξίσωσης µιας οριζόνταιας ευθύγραµµης οµαλής κίνησης x t της εξίσωσης µιας ελεύθερης πτώσης y= gt» 6) Επαλληλία (υπέρθεση, σύνθεση, πρόσθεση κ.λ.π.) εξισώσεων κίνησης µπορώ να κάνω, ΜΟΝΟ στην τελική εξίσωση κίνησης. Και θα το κάνω ξεχωρίζοντας πόσες προσθέσεις είναι ανεκτέλεστες, πόσες δηλαδή προσθέσεις τα µαθηµατικά δε µπορούνε να τις πάνε πιο κάτω ώστε οι δύο προσθετέοι να αντικατασταθούν από έναν. Δηλαδή για να µιλήσω για επαλληλία θα πρέπει να κοιτάξω τις ανεκτέλεστες µαθηµατικά προσθέσεις... Για παράδειγµα ας δούµε την εξίσωση κίνησης του εξαναγκασµένου ταλαντωτή χωρίς α- πόσβεση, που θα µπορούσε τροποποιηµένη, ώστε να γίνει λιγότερο τροµακτική στην όψη, να αποτελέσει διδασκαλία της παραγράφου.7β του σχολικού βιβλίου Κατεύθυνσης Γ Λυκείου. υ x( t ) = ω ρω ηµωt x t + συνω + ω( ω ) ω ρ ηµωt Και χωρίς να ξέρουµε τον τρόπο µε τον οποίο προέκυψε, έχουµε δικαίωµα να µιλήσουµε για επαλληλία: Στην παραπάνω εξίσωση το ηµίτονο το συνηµίτονο που έχουν µέσα τους το ίδιο ω είναι δυνατό να προστεθούν µαθηµατικά συνεπώς η πρόσθεση ανάµεσά τους είναι δυνατό να καταργηθεί οδηγώντας τους δύο προσθετέους σε ένα µόνο. Άρα η πρόσθεση ανάµεσα στο ηµίτονο το συνηµίτονο που έχουν το ίδιο ω δεν αποτελεί επαλληλία (σύνθεση, υπέρθεση, πρόσθεση κ.λ.π.), γιατί τα µαθηµατικά µπορούνε να ε- ξαλείψουν αυτήν την πρόσθεση. Έτσι η παραπάνω εξίσωση κίνησης είναι επαλληλία δύο µόνο δύο εξισώσεων κίνησης υ ρω Της x ( t ) = ηµω t+ xσυνωt ω ω( ω ) ρ της x ( t ) = ηµωt ω Τα παραπάνω µπορούν να µας οδηγήσουν σε µια συγκεκριµένη διδασκαλία της παραγράφου.7β του σχολικού αναδεικνύοντας ότι η κίνηση του εξαναγκασµένου ταλαντωτή χωρίς απόσβεση είναι επαλληλία εξισώσεων αρµονικών ταλαντώσεων δύο συχνοτή- 4
των (µιας του διεγέρτη µιας της ιδιοσυχνότητας του ταλαντωτή) συνεπώς εµφανίζει «διακροτήµατα». Τελικά: Η «αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων» είναι µια επικίνδυνη α-νοησία από τη ο- ποία πρέπει να απαλλαγούµε... Η επαλληλία των εξισώσεων κίνησης απαιτεί να ξέρουµε ποιες προσθέσεις µπορούν να γίνουν µαθηµατικά ποιες όχι... Η οριζόντια βολή τα διακροτήµατα µπορούν να διδαχτούν µε καταπληκτική συλλογιστική συνέπεια αξιώσεις αν απαλλαγούµε από τις παλιές λανθασµένες τακτικές υιοθετήσουµε µια σύγχρονη µέθοδο διδασκαλίας Πήλιο, Σάββατο 5 Ιανουαρίου 3 Θρασύβουλος Κων. Μαχαίρας 5