ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΓΕΡΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΘΟΥΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε εδεχόμεα, εός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση PA B= PA+ PB. ( ) ( ) ( ). Ισχύει ότι PA ( B) + PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) για οποιαδήποτε εδεχόμεα και εός δειγματικού χώρου Ω. 3. Για δύο συμπληρωματικά εδεχόμεα και ' εός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση: PA+ PA = 1. ( ) ( ) 4. Δύο συμπληρωματικά εδεχόμεα εός δειγματικού χώρου Ω είαι ξέα μεταξύ τους. 5. δύο εδεχόμεα και εός δειγματικού χώρου Ω είαι ξέα μεταξύ τους, τότε και τα συμπληρωματικά τους ' και ' είαι επίσης ξέα μεταξύ τους. 6. Δύο ασυμβίβαστα εδεχόμεα εός δειγματικού χώρου Ω είαι πάτα συμπληρωματικά. 7. Ρ() + Ρ() = 1 τότε τα και είαι συμπληρωματικά εδεχόμεα εός δειγματικού χώρου Ω. 8. Ρ() = 1 τότε = Ω, όπου εδεχόμεο εός δειγματικού χώρου Ω. 9. Ρ() = 0 τότε =, όπου εδεχόμεο εός δειγματικού χώρου Ω. 10. Ω ο δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης τότε Ρ(Ω) = 1. P = 0. 11. Η πιθαότητα του αδύατου εδεχομέου εός δειγματικού χώρου Ω είαι ( ) 1. Για κάθε εδεχόμεο εός δειγματικού χώρου Ω ισχύει 0 < P(A) < 1. 13. τα δυατά αποτελέσματα εός πειράματος τύχης είαι ισοπίθαα, τότε οομάζουμε ( Ω) πιθαότητα οποιουδήποτε εδεχομέου το αριθμό: PA ( ) = N NA ( ). 14. Έστω και δύο εδεχόμεα εός πειράματος τύχης με δειγματικό χώρο Ω. Το εδεχόμεο πραγματοποιείται ότα πραγματοποιείται το και δε πραγματοποιείται το. 15. συμβίβαστα λέγοται δύο εδεχόμεα εός δειγματικού χώρου Ω ότα η έωσή τους είαι το κεό σύολο. 16. Το συμπλήρωμα ' εός οποιουδήποτε εδεχομέου εός πειράματος τύχης με δειγματικό χώρο Ω είαι επίσης εδεχόμεο αυτού του δειγματικού χώρου. ΤΥΤΟΤΗΤΕΣ ΔΙΤΞΗ ΡΙΖΕΣ ΠΟΛΥΤ 17. Δύο ατίθετοι αριθμοί έχου ίσες απόλυτες τιμές. 18. Ισχύει x x για κάθε x. 19. Για κάθε α, β ισχύει ότι: α< β α < β. 0. Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει: α β = α β. 1. Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει α β = α β. θ > 0, τότε : x = θ x= θ ήx = θ. 3. Για κάθε πραγματικό αριθμό α, ισχύει α = α. 4. Για κάθε α,β και για κάθε φυσικό ισχύει η ισοδυαμία: α = β α = β. 5. Ισχύει η συεπαγωγή: α > β α γ > β γ, όπου γ < 0. 6. Ισχύει η ισότητα: α, β > 0 τότε α β = α β,. 7. Ισχύει η ισοδυαμία: x = α x = α ή x = α όπου x, α οποιοδήποτε πραγματικοί αριθμοί. Σελίδα 1
8. Η απόσταση τω αριθμώ α και β δίεται από το τύπο: d(α,β ) = α β 9. Ισχύει α 0 = 1 για κάθε α 0. μ μ 30. Ισχύει α α = α (α 0 και μ, ). 31. Ισχύει α < 0 για κάθε α πραγματικό αριθμό. 3. Ισχύει ότι x θ θ x θόπου θ θετικός αριθμός. 33. Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει : α > α. 34. α, β 0 ισχύει ότι: α + β = α+ β,. 35. Για κάθε αριθμό θ ισχύει: x θ θ x θ. 36. θ > 0 τότε ισχύει : x > θ x> θ και x < θ. 37. Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει: α = α. 38. Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει: α = α. 39. α < β και β < γ τότε α < γ, για κάθε α,β,γ. 40. α + β > β + γ τότε: α > γ, για κάθε α,β,γ. 41. α+β > γ+δ τότε ισχύει πάτα: α > γ και β > δ, για κάθε α,β,γ,δ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΝΙΣΩΣΕΙΣ 4. αβ = 0 τότε α = 0 και β = 0. 43. αβ 0 τότε α 0 ή β 0 44. Η εξίσωση x = α, με περιττό και α έχει πάτοτε λύση. 45. η διακρίουσα μιας εξίσωσης ου βαθμού είαι Δ > 0 η εξίσωση είαι αδύατη. 46. Η εξίσωση αx + β = 0 με α = 0 και β 0 είαι αδύατη. 47. Η εξίσωση x = α, με α < 0 και περιττό φυσικό αριθμό, έχει ακριβώς μία λύση τη α. 48. Eστω Δ η διακρίουσα του τριωύμου αx + βx + γ = 0, α 0. Δ < 0 το τριώυμο είαι ετερόσημο του α σε όλο το. 49. Η εξίσωση x = α, με α > 0 και άρτιο φυσικό, έχει ακριβώς δύο λύσεις, τις α και α. 50. Δ > 0 και x 1, x οι ρίζες του τριωύμου αx + βx + γ = 0, α 0, τότε αx + βx + γ = α(x x 1 )(x x ). 51. η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0, έχει μία διπλή ρίζα, τότε Δ = 0. 5. α = 0 και β = 0, τότε η εξίσωση αχ+β=0 είαι αδύατη. 53. α > 0 και Δ < 0 τότε η αίσωση αx + βx + γ < 0 αληθεύει για κάθε x. 54. η διακρίουσα Δ < 0, η εξίσωση αx + βx + γ = 0 έχει δύο πραγματικές λύσεις. 55. Το τριώυμο αx + βx + γ με α, β,γ, είαι πάτα θετικό, ότα Δ < 0. 56. αγ<0 τότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0 με α, β,γ, έχει λύσεις άισες. 57. αγ > 0 τότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0 με α, β,γ, δε έχει λύσεις στο. 58. α 0 τότε η εξίσωση αx + β = 0 έχει ακριβώς μια λύση. 59. η εξίσωση x Sx + P = 0 έχει πραγματικές ρίζες, τότε το άθροισμά τους, είαι ίσο με το αριθμό S και το γιόμεό τους, ίσο με το αριθμό P. 60. η διακρίουσα εός τριωύμου είαι μηδέ, τότε το τριώυμο δε έχει ρίζες. 61. για τη διακρίουσα Δ της εξίσωσης αx + βx + γ = 0, α 0, ισχύει Δ < 0 τότε η εξίσωση αυτή είαι αδύατη στο. 6. Δ=0 τότε η εξίσωση αx β + βx + γ = 0 (α 0) έχει δύο ίσες ρίζες x1 = x = α. 63. x 1, x οι πραγματικές ρίζες της εξίσωσης αx β + βx + γ = 0, τότε x1 + x = α και γ x1 x = α. 64. Η εξίσωση με ρίζες x 1, x είαι η : x Sx + P = 0, όπου S= x 1 + x και P= x1 x. Σελίδα
ΠΡΟΟΔΟΙ 65. Τρείς αριθμοί α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου α και μόο α ισχύει + β = α γ. 66. τρεις μη μηδεικοί αριθμοί α, β,γ είαι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου τότε ισχύει: β = α γ. 67. τρεις μη μηδεικοί αριθμοί α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου τότε ο β λέγεται πάτα γεωμετρικός μέσος τω α, γ. 68. Τρείς αριθμοί α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου α και μόο α ισχύει α + β = β + γ. 69. Τρεις μη μηδεικοί αριθμοί α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου α και μόο α ισχύει: αβ = βγ. 70. Σε κάθε αριθμητική πρόοδο (α ) με διαφορά ω ισχύει ότι α = α 1 + ( + 1)ω. 71. Σε κάθε αριθμητική πρόοδο (α ) με διαφορά ω ισχύει ότι S = α1 + ( + 1) ω. 7. λ είαι ο λόγος μιας γεωμετρικής προόδου (α ), τότε: α = α+ 1 λ. 1 73. Σε κάθε γεωμετρική πρόοδο (α ) με λόγο λ ισχύει ότι: α = α1 λ. 74. Το άθροισμα S τω πρώτω όρω μιας γεωμετρικής πρόοδο (α ) με λόγο λ 1 είαι: λ 1 S = α1. λ 1 ΣΥΝΡΤΗΣΕΙΣ 75. Το σημείο M(x, y) με x < 0 και y < 0 βρίσκεται στο 3 o τεταρτημόριο. 76. Η ευθεία y = α x + β, με α > 0 σχηματίζει αμβλεία γωία με το άξοα x' x. 77. Ως συτελεστή διεύθυσης ή ως κλίση μιας ευθείας ε, ορίζουμε τη εφαπτομέη της γωίας ω που σχηματίζει η ε με το άξοα x'x. 78. (α, β) σημείο του επιπέδου, τότε το συμμετρικό του ως προς τη αρχή τω αξόω είαι το σημείο '(β, α). 79. Mx,y ( ) C f τότε f(x) = y. 80. α > 0, τότε η συάρτηση f(x) = αx + β είαι γησίως φθίουσα. 81. Στη στήλη δίεται το είδος της συμμετρίας και στη στήλη το συμμετρικό εός σημείου Μ(α,β). Να ατιστοιχίσετε κάθε γράμμα της στήλης στο σωστό αριθμό της στήλης. Στήλη Στήλη α. Ως προς το άξοα x'x. 1. (β, α) β. Ως προς το άξοα y'y.. ( α, β) γ. Ως προς τη αρχή τω αξόω 0(0,0). 3. Γ (α, β) δ. Ως προς τη διχοτόμο της γωίας x0y. 4. Δ ( α, β) 5. Ε(α, β) Σελίδα 3
ΣΚΗΣΕΙΣ 1.. Να λυθού οι εξισώσεις 6x + x 1 = 0 και 15x 4 = 64x.. Έστω, δύο εδεχόμεα εός δειγματικού χώρου Ω. Οι Ρ(), PA ( B) και PA ( B ) είαι οι ρίζες τω εξισώσεω 6x + x = 1 και 15x 4 = 64x. Επιπλέο Ρ( ) > Ρ( ). i. Να δείξετε ότι Ρ() < Ρ() ii. Nα αποδείξετε ότι τα εδεχόμεα, είαι ξέα μεταξύ τους. iii. Να βρείτε τις πιθαότητες Ρ(), Ρ(), PA ( B,PA ) ( B) και Ρ( ).. Έστω Ω = {10, 11, 1,, 1) έας δειγματικός χώρος που αποτελείται από πεπερασμέου πλήθους απλά ισοπίθαα εδεχόμεα. Να γράψετε με ααγραφή τα στοιχεία τω συόλω, με = {α Ω/ α είαι πολλαπλάσιο του 4} και = {β Ω/ β πρώτος αριθμός} και α βρείτε τις πιθαότητες τους (πρώτοι αριθμοί είαι οι ακέραιοι που διαιρούται μόο με το έα και με το εαυτό τους).. i. Να βρείτε το α 11 της Γ.Π με α 1 = 307* Ρ() και λ = *Ρ() ii. Να υπολογίσετε το S 11 της παραπάω προόδου 3. Έστω Ω = {1,, 3,, } έας δειγματικός χώρος που αποτελείται από πεπερασμέου πλήθους απλά ισοπίθαα εδεχόμεα, όπου είαι η τάξη του όρου α της.π προόδου με α 1 = 3 και ω = 4 που ισούται με 39. i. Να βρεθεί το και το σύολο Ω. 8 k ii. Να βρείτε τα εδεχόμεα = {κ Ω / 1 < 0} και = {λ Ω/λ 11λ + 4 = 0} καθώς και τις πιθαότητες τους. PA B,PA B και Ρ iii. Να βρείτε τις ( ) ( ) ( ) 4. A. Να αποδείξετε ότι 4x + 9y 4x 6y + = (x 1) + (3y 1) B. για τις πιθαότητες Ρ(), Ρ(), Ρ( ) δύο εδεχόμεω, εός δειγματικού χώρου Ω ισχύει (5Ρ( ) 1) + 4(Ρ()) + 9(Ρ()) = 4Ρ() + 6Ρ() : i. Να αποδείξετε ότι Ρ()= 1 και Ρ()= 1 3 και Ρ( )= 1 5 ii. Να υπολογίσετε τη PA ( B. ) iii. Να υπολογίσετε τη πιθαότητα του εδεχόμεου α συμβεί μόο έα εκ τω ή. 5. Δίοται οι ευθείες ε 1 : y = (λ 1)x 6 και ε : y = ( λ +1)x + 3λ, λ. i. Να εξηγήσετε γιατί η ευθεία ε σχηματίζει οξεία γωία με το άξοα xx για οποιαδήποτε τιμή του πραγματικού λ. ii. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η γωία που σχηματίζει η ε 1 με το xx είαι αμβλεία; iii. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού λ, ώστε οι ευθείες ε 1, ε α μη έχου καέα κοιό σημείο. iv. Για λ = α σχεδιάσετε σε έα ορθογώιο σύστημα συτεταγμέω xoy τη ευθεία ε 1 ή ε και α βρείτε τα σημεία, που τέμει αυτή τους άξοες. v. Να υπολογίσετε το εμβαδό του τριγώου Ο. Σελίδα 4
6. Δίοται τα σημεία (ρ, 4) και (ρ 4, 4). Ο πραγματικός ρ είαι λύση της εξίσωσης x 5 4x 4 k x 1 = 0 i. Να δείξετε ότι τα, είαι διαφορετικά μεταξύ τους. ii. Να βρείτε τη εξίσωση της ευθείας (ε) που ορίζου τα,. iii. Ποια γωία σχηματίζει η (ε) με το άξοα xx ; 7.. Δείξτε ότι η εξίσωση της ευθείας (ε) που περά από τα σημεία (1, ) και ( 1, 3) είαι η y = x + 4.. μία ριθμητική Πρόοδος (α ) έχει πρώτο όρο τη κλίση της ευθείας και διαφορά τη τεταγμέη του σημείου τομής της ευθείας με το άξοα yy, α υπολογίσετε: i. Το όρο α 0 της προόδου. ii. Το άθροισμα 10 πρώτω όρω της. iii. Το άθροισμα α 11 +α 1 + +α 0 8. Δίεται η συάρτηση με τύπο f(x)= λ x 16, x 8 λ x, x > i. η C f τέμει το xx στο (4,0), α υπολογισθεί ο πραγματικός αριθμός λ. Για λ = 1 ii. Να βρείτε τις τιμές f(), f(0), f(3). iii. Να λύσετε τη εξίσωση f(x) = 0. iv. Να λύσετε τη αίσωση f(x) > 0. 9. Δίεται η συάρτηση με τύπο f(x) = λ x + 1, x 3 10 λ x, x > 3 i. το σημείο (1,) C f α υπολογισθεί ο πραγματικός αριθμός λ. Για λ = 1 ii. Να βρείτε τις τιμές f(), f(3), f(4), f(π) και f( 8 ). iii. Nα βρείτε τα σημεία στα οποία η C f τέμει τους άξοες. iv. Να υπολογίσετε το S 96 της ριθμητικής Προόδου με α 1 = f() και ω = f(4) 10.. Να λύσετε τη αίσωση 3 x +x+4 6. Έστω δύο εδεχόμεα, δειγματικού χώρου Ω με Ρ() = 0,6, Ρ() = 0,7 και α(α + 1) PA ( B) = + 0,4. 10 i. Να δείξετε ότι τα εδεχόμεα, δε μπορεί α είαι ξέα μεταξύ τους. ii. Να εξηγήσετε γιατί PA ( B) 0,6 καθώς και γιατί PA ( B) 0,3 iii. Nα δείξετε ότι α 1 11. Δίεται η συάρτηση f(x) = x 1. i. Να γράψετε το τύπο της συάρτησης χωρίς τη χρήση της απόλυτης τιμής. ii. Nα κάετε τη γραφική παράσταση της συάρτησης σε ορθογώιο σύστημα συτεταγμέω. iii. Να βρείτε γραφικά τα σημεία που η C f τέμει τους άξοες xx και yy. iv. Να λύσετε γραφικά τις αισώσεις f(x) < 1 και f(x) > 5. v. Nα επαληθεύσετε αλγεβρικά τα συμπεράσματά σας στο (iv) ερώτημα. Σελίδα 5
1. Δίεται η γραφική παράσταση μιας συάρτησης f(x). i. Να δείξετε ότι ο τύπος της συάρτησης είαι ο f(x) = x, x x 6, x < ii. Να βρείτε γραφικά τα σημεία που η C f τέμει τους άξοες xx και yy. iii. Να λύσετε γραφικά τις αισώσεις f(x) > 1 και f(x) < 5 iv. Να δείξετε ότι f(x) = x+ 4 v. Nα επαληθεύσετε αλγεβρικά τα συμπεράσματά σας στο (iii) ερώτημα. 13.. i. Να βρεθεί το πρόσημο του τριωύμου x 3x + 10 για τις διάφορες τιμές του πραγματικού x. ii. Nα απλοποιήσετε τη παράσταση 4 x 4x+ 4 x 3x+ 10. Δίεται η συάρτηση f με τύπο f(x) = 4 x 4x+ 4 i. Να βρείτε το Πεδίο Ορισμού της f(x) ii. Να δείξετε ότι ο τύπος της συάρτησης, απλοποιημέος, γράφεται f(x) = x+ 5 14. Έας εύπορος παππούς άφησε σα κληροομιά για τα δυο εγγόια του, τα παρακάτω: Για το πρωτότοκο εγγοό θα έδιε 6000 το πρώτο χρόο της ζωής του και το ποσό θα αυξάεται κατά 1000 κάθε χρόο, μέχρι τη συμπλήρωση του 18 ου έτους. σπούδαζε, θα συεχιζότα η χορηγία και κατά τη βασική διάρκεια τω σπουδώ του. Για το δευτερότοκο εγγοό θα έδιε 1000 κάθε χρόο από τη ηλικία τω 7 ετώ έως και τη εηλικίωσή του. όμως σπούδαζε, το πρώτο χρόο τω σπουδώ του θα έπαιρε 4000, και το ποσό θα τετραπλασιαζότα κάθε χρόο, όσο διαρκούσα οι βασικές σπουδές του. i. Μπορείτε α βρείτε τι ποσό θα πάρει κάθε εγγοός μέχρι τη εηλικίωσή του; ii. Ποιος από τους δύο είαι πιο ευοημέος, α σπούδαζα σε σχολή που διαρκεί 4 χρόια; iii. Κάποιος είπε στο δευτερότοκο α σπουδάσει σε μια σχολή πεταετούς φοίτησης. Είχε δίκιο και γιατί; Σελίδα 6
1 1 15. A. i. Να δείξετε ότι η τιμή της παράστασης = + + 3 3 ισούται με. 3 + ( ) ii. Να δείξετε ότι η τιμή της παράστασης B = ισούται με 5. 4 1 4 1. Κ, Λ δύο εδεχόμεα εός δειγματικού χώρου Ω, με P(K Λ) = και Ρ(Λ) = α βρείτε: i. Τη πιθαότητα του εδεχόμεου α συμβεί έα τουλάχιστο από τα εδεχόμεα Κ, Λ ii. Τη πιθαότητα του εδεχόμεου α μη συμβεί καέα από τα εδεχόμεα Κ, Λ 16.. i. Να λυθεί η αίσωση 36x + 36x > 0. ii. Να δείξετε ότι η εξίσωση 9x 6x + (λ λ + 1) = 0 (1) με άγωστο το x, έχει δύο λύσεις άισες για κάθε λ (0,1). B. Έστω, δύο εδεχόμεα εός δειγματικού χώρου Ω, με Ρ( ), Ρ() α είαι λύσεις της εξίσωσης (1) του A(ii) ερωτήματος. PB A + PA = PA B i. Να εξηγήσετε με έα διάγραμμα Venn ότι ( ) ( ) ( ) ii. Να υπολογίσετε τη πιθαότητα α συμβεί έα τουλάχιστο από τα εδεχόμεα και. iii. Να υπολογίσετε τη πιθαότητα α μη συμβεί καέα εκ τω ή. 17. πό τους 00 μαθητές εός Λυκείου, 50 μαθητές συμμετέχου σε έα περιβαλλοτικό πρόγραμμα, 40 μαθητές συμμετέχου σε έα πρόγραμμα αγωγής υγείας και 0 μαθητές συμμετέχου και στα δύο προγράμματα. Επιλέγουμε τυχαία έα μαθητή. Ποια είαι η πιθαότητα ο μαθητής: α) α συμμετέχει στο περιβαλλοτικό πρόγραμμα; β) α μη συμμετέχει στο περιβαλλοτικό πρόγραμμα; γ) α συμμετέχει σε έα τουλάχιστο από τα δυο προγράμματα; δ) α συμμετέχει μόο σε έα από τα δυο προγράμματα; ε) α μη συμμετέχει σε καέα από τα δυο προγράμματα; 18. Δίοται δύο εδεχόμεα και εός πειράματος με δειγματικό χώρο Ω, όπως φαίεται στο παρακάτω διαγράμματα Venn. φού περιγράψετε στη καθομιλουμέη τι παριστάου τα εδεχόμεα α γραμμοσκιάσετε σε κάθε διάγραμμα τα ατίστοιχα εδεχόμεα: A B 1. ( ). ( A B ) 3. ( ) 3 4. A 5. ( A B ) 6. ( A B ) Σελίδα 7
19.. Το 44% τω μαθητώ μιας τάξης είαι αγόρια. Το 40% από τους μαθητές πάε σχολείο με ποδήλατο. πό τα 14 κορίτσια που είχε η τάξη, τα 4 πάε σχολείο με ποδήλατο. Να αποδείξετε ότι : i. Οι μαθητές της τάξης είαι 5. ii. Τα αγόρια που πάε σχολείο με ποδήλατο είαι 6. Δίοται τα εδεχόμεα: = { ο μαθητής είαι αγόρι) και Π = {ο μαθητής πάει σχολείο με ποδήλατο ) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάω εδεχόμεα και αφού περιγράψετε στη καθομιλουμέη ποια είαι τα εδεχόμεα:, (UΠ), Π α υπολογίσετε τη πιθαότητα του καθεός. x x + x 0. Δίοται οι συαρτήσεις f(x) = και g(x) = x + x + x 1 i. Να βρεθεί το Πεδίο Ορισμού τω συαρτήσεω f, g x ii. Να δείξετε ότι ο τύπος της f παίρει τη μορφή f(x) = x 1 iii. Να υπολογίσετε τη παράσταση = f() f(4) iv. Να βρεθού οι τιμές του x, για τις οποίες η γραφική παράσταση C g της συάρτησης g α βρίσκεται πάω από τη ευθεία y = A. v. Να λυθεί η εξίσωση ( x 1)f(x) = g(x) 1. Δίεται η εξίσωση x (μ + 9)x (1 7μ) = 0, μ (1). i) Να αποδείξετε ότι η διακρίουσα Δ της εξίσωσης (1) είαι Δ=μ 10μ+85 ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει δυο πραγματικές και άισες ρίζες για κάθε μ. iii) x 1, x οι δύο πραγματικές ρίζες της εξίσωσης (1), α βρείτε το σύολο τω τιμώ του μ για τις οποίες ισχύει: x 1 +x 1 x >(x 1 +x ) x 57. iv) μ ( 8, ), α απλοποιήσετε τη παράσταση μ 8 μ + μ+1. x 1. Δίεται η συάρτηση f(x) =. x i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της. 1 ii) Να υπολογιστού τα f και f(1). 4 ii) Δίεται γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το f(1) και λόγο υπολογιστού τα α 4 και S 4. 1 f 4. Να 3.. Μια στέγη σχήματος ισοσκελούς τραπεζίου, έχει 0 σειρές με κεραμίδια. Τα πλήθη τω κεραμιδιώ κάθε σειράς είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Η 1η σειρά έχει 16 εώ η 7η έχει 8 κεραμίδια. α) Να βρείτε πόσα κεραμίδια έχει η 10η σειρά. β) Πόσα κεραμίδια υπάρχου από τη 4η έως και τη 10η σειρά;. Η 1η σειρά της στέγης έχει 6 σπασμέα κεραμίδια, η η σειρά έχει 9 σπασμέα κεραμίδια και η 3η σειρά έχει 1 σπασμέα κεραμίδια. α) πό ποιά σειρά και μετά υπάρχου μόο σπασμέα κεραμίδια; β) Πόσα είαι τα καλά κεραμίδια που έχει η στέγη; Σελίδα 8
4. Δίεται η συάρτηση f(x) = x 4x + 3 + x + 6x + 5. i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. ii) Σε μια γεωμετρική πρόοδο με λ > 0 ισχύει α 1 = f( 8) και α = f( 1)f( 5). (α) Να υπολογίσετε τα α 1 και α. (β) Να αποδείξετε ότι λ = f(4). α 9α (γ) Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης: A = 5 3. 1 5. Έας πληθυσμός βακτηριδίω τριπλασιάζεται σε αριθμό κάθε 1 ώρα. i) αρχικά υπάρχου 10 βακτηρίδια, α βρείτε το πλήθος τους μετά από το πέρασμα 6 ωρώ. ii) Στο τέλος της 6ης ώρας, γίεται έας ψεκασμός στα βακτηρίδια με μια ουσία η οποία σταματά το πολλαπλασιασμό της και συγχρόως προκαλεί μείωση του πλήθους τους κατά 70 βακτηρίδια κάθε μία ώρα. (α) Να βρείτε το αριθμό τω βακτηριδίω που απομέου 0 ώρες μετά από το ψεκασμό. (β) Μετά από πόσες ώρες από τη στιγμή του ψεκασμού θα έχει μηδειστεί το πλήθος τω βακτηριδίω; 3 6. Δίεται η συάρτηση f(x) = x x + 3x+ 4 i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της. ii) Να λύσετε τη εξίσωση xf(x) = 1. iii) Έστω x 1, x οι δύο πραγματικές ρίζες της παραπάω εξίσωσης με x 1 < x. Δίεται η γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το x 1 και λόγο το x. Να βρείτε: (α) Το πέμπτο όρο της. (β) Το άθροισμα τω πρώτω 5 όρω της. (γ) Το άθροισμα S = α 1 α + α 3 + α 11 α 1. x α 7. Δίεται η συάρτηση f(x) =, α. x 3 i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της. 1 ii) 6f 1 = 0, α βρείτε τη τιμή του α. iii) Για α = 9 (α) Να απλοποιηθεί ο τύπος της f (β) Να λυθεί η αίσωση f(x) < 10. 8. Η Μαρία και η Ελέη εξετάζοται σε έα μάθημα με πιθαότητες επιτυχίες ατίστοιχα και 3 15, εώ η πιθαότητα α πετύχου και οι δύο είαι. Ποια είαι η πιθαότητα: 4 8 i) Να αποτύχει η Μαρία; ii) Να αποτύχου και οι δύο; iii) Να επιτύχει Μαρία και α αποτύχει η Ελέη; iv) Τουλάχιστο μια από τις δύο α επιτύχει; v) Να επιτύχει μόο μία από τις δύο; 5 7 Σελίδα 9
9. Δίεται η συάρτηση f(x) = 3x 8. i) α αριθμητική πρόοδος με α 1 = 5 και ω = 3, α δείξετε ότι τα σημεία (, α ), με είαι σημεία της γραφικής παράστασης της συάρτησης f(x). ii) Να βρείτε, α υπάρχου, τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συάρτησης f με τη γραφική παράσταση της συάρτησης g(x) = 7 x. α 30. Δίεται η ακολουθία με α 1 = 1 και α+1 = + 1 για κάθε φυσικό. 3 i) Να υπολογίσετε του πέτε πρώτους όρους της ακολουθίας και α δείξετε ότι δε είαι γεωμετρική πρόοδος. ii) Δίεται η ακολουθία β = α κ, για κάθε φυσικό. Να προσδιορίσετε το πραγματικό κ ώστε η ακολουθία β α είαι γεωμετρική πρόοδος, της οποίας α προσδιορίσετε το πρώτο όρο και το λόγο. 31. Έστω ρ 1 και ρ είαι ρίζες της εξίσωσης x 8x + 9 = 0, με ρ 1 < ρ. κ, λ είαι ετερόσημοι πραγματικοί τέτοιοι ώστε, ρ 1, κ, ρ α είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, εώ ρ 1, λ, ρ α είαι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, α βρείτε τη εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς κ και λ. 3. είαι εδεχόμεο εός δειγματικού χώρου Ω με πεπερασμέο πλήθος στοιχείω, και Ρ() η πιθαότητα πραγματοποίησής του, τότε i) Να προσδιορίσετε το ώστε η εξίσωση ( Ρ( ) x ) 8x 8( Ρ( ) + 1 ) = 0 α έχει διπλή ρίζα. ii) Για ποια εδεχόμεα η αίσωση ( Ρ( ) x ) 8x 8( Ρ( ) + 1 ) < 0 επαληθεύεται για κάθε τιμή του x; 33. Δυο ποδηλάτες συμμετέχου σε έα αγώα και ξεκιού με 6 λεπτά διαφορά. Η μέση ταχύτητα του κάθε ποδηλάτη είαι 40 km/h στη ευθεία, 5 km/h στη αάβαση και 90 km/h στη κατάβαση. Το σχεδιάγραμμα της διαδρομής δίεται παρακάτω: i) Στο ίδιο ορθογώιο σύστημα συτεταγμέω, επιλέγοτας τη σωστή κλίμακα, σχεδιάστε, για καθέα από τους δύο ποδηλάτες το διάγραμμα της απόστασης που διαύει σε συάρτηση με το χρόο, με το χρόο α αρχίζει α μετράει με τη εκκίηση του πρώτου ποδηλάτη. ii) Σε έα άλλο γράφημα, βασιζόμεοι στο διάγραμμα που βρήκατε στο i), σχεδιάστε το γράφημα της συάρτησης που δίει τη απόσταση τω δύο ποδηλατώ σε συάρτηση με το χρόο. Σελίδα 10
34. Σε έα ευθύγραμμο τμήμα της εθικής οδού βρίσκεται η πόλη Ο και τα χωριά,, Γ, Δ, Ε που απέχου ατίστοιχα από τη πόλη 30, 50, 70 km αατολικά και 30, 50 km δυτικά. Έα αυτοκίητο, που κιείται στη εθική απέχει x km από τη πόλη Ο. i. Να παραστήσετε, χρησιμοποιώτας τη κατάλληλη κλίμακα, το τμήμα αυτό της εθικής οδού, θεωρώτας τη πόλη και τα χωριά ως σημεία του. ii. Πώς θα παραστήσετε αλγεβρικά τη απόσταση του από τη πόλη Ο; iii. Σε ποια χωριά μπορεί α βρίσκεται το αυτοκίητο α x = 30; iv. Τι παριστάου, σε σχέση με τα δεδομέα τη άσκησης, οι εκφράσεις x 30 και x + 50 ; v. Να εκφράσετε λεκτικά, σε σχέση με τα δεδομέα τη άσκησης, τη σχέση x 30 = x + 50. Υπάρχου σημείο ή σημεία της οδού που α ικαοποιού τη σχέση αυτή; Επαληθεύστε αλγεβρικά τη απάτησή σας. v. Να εκφράσετε λεκτικά, σε σχέση με τα δεδομέα τη άσκησης, τη σχέση x 50 0. Σε ποιο τμήμα της εθικής μπορεί α βρίσκεται το αυτοκίητο α ικαοποιεί τη σχέση αυτή; Σελίδα 11