5 54 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Εισαγωγή Η αοδοχή τω μιγαδικώ αριθμώ, εκτός αό τις δυατότητες ου άοιξε στη είλυση τω εξισώσεω, έδωσε μεγάλη ευελιξία στο αλγεβρικό λογισμό Για αράδειγμα, η αράσταση + μορεί τώρα α αραγοτοοιηθεί στη μορφή ( + i( i Οι μαθηματικοί εκμεταλλεύτηκα αυτό το γεγοός σε ολλά ζητήματα, όως είαι, για αράδειγμα, ο ολλαλασιασμός και η διαίρεση τω τόξω εός κύκλου Το 79 ο A de Moivre, συδυάζοτας το υολογισμό τω κυβικώ ριζώ αραστάσεω της μορφής a+ i β (ου εμφαίζοται στο τύο είλυσης της p+ q με τη τριγωομετρική ταυτότητα ημθ 4ημ θ ημθ, έδωσε τις ρώτες ιδέες για τη τριγωομετρική αράσταση τω μιγαδικώ αριθμώ Το 748 ο L Euler, ξεκιώτας αό τη αάλυση της ισότητας συ θ + ημ θ στη μορφή ( συθ θ(συθ iημθ, τόισε τη σημασία τω αραστάσεω της μορφής συ θ θ και έδειξε ότι ( συ (συ+ iημ συ( + + n + i ημ( + Γεικεύοτας έφτασε στη σχέση ( συ± iημ συn± iημn (ου σήμερα φέρει το όομα του de Moivre, αό τη οοία, με χρήση του διωυμικού αατύγματος, βρήκε τύους για τα ημn και συn Σε όλες τις ροηγούμεες εριτώσεις οι μιγαδικοί ατιμετωίζοτα ως καθαρά συμβολικές αραστάσεις, ου δε αεικόιζα κάοια συγκεκριμέη ραγματικότητα Η τριγωομετρική αράσταση έδωσε όμως τη δυατότητα α χρησιμοοιηθού (αό το C Wessel το 799 και το R Argand το 86 για τη ααλυτική έκφραση της διεύθυσης στο είεδο, ακριβώς όως οι θετικοί και αρητικοί χρησιμοοιούται για τη διάκριση της φοράς στη ευθεία Αυτές οι εξελίξεις διεύρυα τις εφαρμογές τω μιγαδικώ και άοιξα το δρόμο για τη γεωμετρική ερμηεία τους, τη οοία καθιέρωσε ο CF Gauss το 8
6 Όρισμα Μιγαδικού Έστω έας μη μηδεικός μιγαδικός αριθμός + i και OM η ατίστοιχη διαυσματική ακτία του Οομάζουμε όρισμα του μιγαδικού καθεμιά αό τις γωίες ου έχου αρχική λευρά τη ημιευθεία O και τελική λευρά τη ημιευθεία OM M ( Αό όλα τα ορίσματα του έα ακριβώς βρίσκεται στο διάστημα [, Αυτό λέγεται ρωτεύο όρισμα του μιγαδικού και συμβολίζεται με Arg( Είαι φαερό ότι: Tο Arg( είαι η γωία ου σχηματίζει η διαυσματική ακτία του μιγαδικού με το άξοα Δύο ορίσματα του διαφέρου κατά γωία κ, κ Z Για το μιγαδικό δε ορίζεται όρισμα Γι αυτό, στη συέχεια, ότα ααφερόμαστε σε όρισμα μιγαδικού, θα εοούμε ότι Ο θ Τριγωομετρική Μορφή Μιγαδικού Έστω ο μιγαδικός + i, ου έχει μέτρο ρ + και έα όρισμά του είαι το θ Αό το ορισμό τω τριγωομετρικώ αριθμώ σε ορθοκαοικό σύστημα έχουμε: ρσυ θ M (, ρημ θ Εομέως, ο μιγαδικός μορεί α γραφεί ως εξής: + i ρσυθ + ρημ θ i, ρ θ δηλαδή ρ( συθ θ Ο Ο τρόος αυτός γραφής του μιγαδικού λέγεται τριγωομετρική ή ολική μορφή του
7 Για αράδειγμα, α + i, τότε το μέτρο του είαι ρ ( + και για κάθε όρισμά του θ ισχύου: συθ και ημ θ Εομέως, μια τιμή του ορίσματος είαι η θ 5 Άρα, έχουμε 6 5 5 συ ή γεικότερα: 6 6 5 5 συ κ + κ +, κ Z 6 6 Αοδεικύεται ότι α λ > και λ( συθ θ, τότε η αράσταση λ ( συθ θ είαι τριγωομετρική μορφή του μιγαδικού αριθμού Εειδή ίσοι μιγαδικοί αριθμοί έχου τη ίδια εικόα στο μιγαδικό είεδο και ατιστρόφως, έχουμε το ακόλουθο κριτήριο ισότητας μιγαδικώ: Δύο μη μηδεικοί μιγαδικοί αριθμοί είαι ίσοι, α και μόο α έχου ίσα μέτρα και η διαφορά τω ορισμάτω τους είαι ακέραιο ολλαλάσιο του Δηλαδή: Α ρ ( συθ θ και ρ ( συθ θ είαι οι τριγωομετρικές μορφές τω μιγαδικώ και, τότε: ( ρ ρ και θ θ κ, κ Z Τριγωομετρική Μορφή Γιομέου Μιγαδικώ Α ρ ( συθ θ και ρ ( συθ θ είαι οι τριγωομετρικές μορφές δύο μιγαδικώ αριθμώ και, τότε για το γιόμεό τους έχουμε: ρ συθ θ ρ (συθ ( θ ρ ρ συθ θ (συθ θ [( ] ρ ρ[( συθσυθ ημθημθ + i(ημθσυθ + συθημθ ] ρ ρ συ( θ + θ ( θ + ] [ θ
8 Ομοίως, για το ηλίκο τους, έχουμε: ρ (συθ θ ρ (συθ ρ (συθ θ ] ρ (συθ Αοδείξαμε λοιό ότι: θ (συθ θ (συθ iημθ iημθ ] ρ (συθ θ [συ(-θ (-θ ] ρ συ θ + ημ θ ρ [ συ( θ θ ( θ θ ] ρ Α ρ ( συθ θ και ρ ( συθ θ είαι δυο μιγαδικοί σε τριγωομετρική μορφή, τότε ρ ρ[ συ( θ + θ ( θ + θ ] ρ [ συ( θ θ ( θ θ ] ρ Για αράδειγμα, α συ και συ, τότε 6 6 5 5 συ + + 6 συ 6i 6 6 και 7 7 συ συ 6 6 6 6 i +i + Αό τις τριγωομετρικές μορφές του γιομέου και του ηλίκου μιγαδικώ ροκύτου οι ιδιότητες και τις οοίες έχουμε συατήσει και στη 5, Η γεωμετρική ερμηεία του γιομέου και του ηλίκου δύο μιγαδικώ φαίεται στα αρακάτω σχήματα:
9 M( M ( M ( M( / θ +θ M ( θ M ( O θ θ O θ θ θ θ (α (β Σύμφωα με τα αραάω: Ο ολλαλασιασμός του μιγαδικού ρ ( συθ θ με το μιγαδικό ρ ( συθ θ σημαίει στροφή της διαυσματικής ακτίας του κατά γωία θ και μετά ολλαλασιασμό της με ρ (Σχ α Εομέως, ο ολλαλασιασμός εός μιγαδικού με το μιγαδικό συ θ θ στρέφει μόο τη διαυσματική ακτία του κατά γωία θ, αφού συθ θ Ειδικότερα, ο ολλαλασιασμός του με i στρέφει τη διαυσματική ακτία του κατά γωία, αφού i συ Η διαίρεση του μιγαδικού ( συθ θ με το μιγαδικό ρ ( συθ θ σημαίει στροφή της διαυσματικής ακτίας του κατά γωία θ και μετά ολλαλασιασμό της με (Σχ β Θεώρημα του De Moivre Α ρ( συθ θ είαι έας μιγαδικός αριθμός σε τριγωομετρική μορφή, σύμφωα με τα ροηγούμεα έχουμε: ρ(συθ θ ρ(συθ θ ρ (συθ θ ρ (συθ θ ρ(συθ θ ρ (συθ θ Ομοίως, βρίσκουμε ότι ρ
4 5 4 ρ (συ4θ 4θ 5 ρ (συ5θ 5θ Γεικά, ισχύει το εόμεο θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ Α ρ( συθ θ είαι έας μιγαδικός αριθμός σε τριγωομετρική μορφή και είαι έας θετικός ακέραιος, τότε ρ [ συ( θ ( θ] ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω P( η ισότητα ου θέλουμε α αοδείξουμε Για η ισότητα γίεται ρ [συ( θ ( θ] ή ισοδύαμα ρ( συθ +iημ θ, δηλαδή η P ( είαι αληθής Θα αοδείξουμε ότι α P ( αληθής, τότε P ( + αληθής, δηλαδή α ρ [ συ( θ ( θ], τότε + ρ + [συ( + θ ( + θ] Έχουμε + ρ [ συ( θ ( θ] ρ( συθ θ ρ + [συ( + θ ( + θ] Άρα η P( αληθεύει για όλους τους θετικούς ακεραίους Για αράδειγμα, α + i, εειδή συ, έχουμε: 6 6 998 συ 6 6 998 998 998 998 συ 6 6 998 998 (συ 998 (συ Το ροηγούμεο θεώρημα αοδίδεται στο μαθηματικό De Moivre και γι αυτό φέρει το όομά του Το Θεώρημα του De Moivre ισχύει και ότα ο εκθέτης είαι αρητικός ακέραιος Πράγματι, έχουμε [ ρ(συθ θ] ρ (συθ θ
(συ+ iημ ρ (συ( θ ( θ ρ [ συ(-θ (-θ] ρ [ συ(-θ (-θ] ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Να βρεθεί το σύολο τω εικόω τω μιγαδικώ, α Arg + 6 ΛΥΣΗ Α Άρα, + i, τότε i + ( + + + + + i + + + + i ( ( ( A Bi + + +, όου A ( + + και B ( + + Εομέως, η συθήκη Arg + 6 ισοδύαμη με τις σχέσεις: B εφ A + 6 Β > > + ( > είαι B(, K(, A(, Άρα, το σύολο τω εικόω του είαι το τόξο του κύκλου κέτρου K(, και ακτίας ρ ου είαι άω αό το άξοα Α ημ + ημβ + ημγ α και συ α + συβ + συγ, α αοδειχτεί ότι α συα + συβ + συγ συ( α+ β + γ β ημα + ημβ + ημγ ημ( α+ β + γ ΛΥΣΗ Έστω οι μιγαδικοί a συα + i ημα, b συβ β, c συγ γ Έχουμε a + b+ c ( συα + συβ + συγ + i(ημα + ημβ + ημγ + i και εομέως, a + b + c abc Ο
Με ατικατάσταση τω a,b και c έχουμε διαδοχικά: ( συα α + (συβ β + (συγ γ (συα α(συβ β(συγ+ iημγ ( συα α + (συβ β + (συγ γ [συ( α + β + γ ( α+ β + γ] ( συα + συβ + συγ + i(ημα + ημβ + ημγ συ( α + β + γ ( α + β + γ Εξισώοτας τα ραγματικά και τα φαταστικά μέρη τω δύο μελώ έχουμε: συα + συβ + συγ συ( α+ β + γ και ημα + ημβ + ημγ ημ( α+ β + γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Να γράψετε σε τριγωομετρική μορφή τους μιγαδικούς: α + i β i γ i δ + i ε 4 στ 4 Να κάετε τις ράξεις: α 4(συ5 + i ημ5 6(συ +iημ β 5 συ συ 8 8 8 8 γ συ συ Να κάετε τις ράξεις α 5 5 6 συ 5(συ6 6 6 6 β 5(συ συ γ 7(συ 4(συ( ( 4 Να βρείτε τις δυάμεις
α [ (συ ] β γ συ ημ 4 4 + i 6 5 ημ 5 συ + i 4 4 8 5 Να υολογίσετε τη αράσταση +i 6 6 Α + i, α υολογίσετε το 7 Α + i και i, α υολογίσετε τη αράσταση θετικός ακέραιος +, όου 8 Να ερμηεύσετε γεωμετρικά τη διαίρεση εός μιγαδικού με i 9 Α + i και w + i, α δείξετε ότι Arg και α βρείτε το w και το συ Να βρείτε το μέτρο και το βασικό όρισμα του μιγαδικού α ημ Β ΟΜΑΔΑΣ α Να βρείτε το μέτρο και το όρισμα του μιγαδικού w, όου + συθ θ w θ i θ *, N και θ ( κ +, κ Z + συ ημ β Να βρείτε τη τιμή της αράστασης + + + i i * α Να δείξετε ότι α ( + i ( i, όου N τότε 4 κ, κ N β Α + i i f ( +, α δείξετε ότι f ( + 4 + f ( Να αοδείξετε ότι + +, α και μόο α Arg Arg( (
4 4 Να βρείτε το γεωμετρικό τόο τω εικόω Μ τω μιγαδικώ, για τους οοίους ισχύει: α Arg ( i β Arg ( + γ 6 4 Arg i 5 Μεταξύ όλω τω μιγαδικώ ου ικαοοιού τη συθήκη + 5i, α βρείτε εκείο ου έχει: α Το μικρότερο ρωτεύο όρισμα β Το μεγαλύτερο ρωτεύο όρισμα 6 Α συ θ θ, α αοδείξετε ότι: α + συ( θ β iημ( θ 7 Α για τους μιγαδικούς και w ισχύου και w ( i, τότε: α Να βρείτε το γεωμετρικό τόο τω εικόω του μιγαδικού w β Να βρείτε τη εικόα εκείου του μιγαδικού αό τους w, για το οοίο ισχύει Arg ( w 4 8 Α κ κ + i και + κ + κ Arg (, α βρείτε το ραγματικό αριθμό κ 9 Δίεται το τριώυμο f ( + + (+ ( +, όου και είαι δύο μιγαδικοί αριθμοί Να αοδείξετε ότι f (, για κάθε R Πότε ισχύει η ισότητα;