Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
|
|
- Γοργοφόνη Ζωγράφου
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύου «Σωστό - Λάθος». * Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ. * Αν = α + βi και αβ 0, τότε = α β i. Σ Λ. * Αν = κ + λi κ, λ R, τότε Re () = κ. Σ Λ. * Αν = x + (y - ) i και Ιm () = 0, τότε y =. Σ Λ 5. * Αν, C με Re ( + ) = 0, τότε Re ( ) + Re ( ) = 0. Σ Λ 6. * Οι εικόνες των φανταστικών αριθμών στο μιγαδικό είεδο βρίσκονται άνω στον άξονα y y. Σ Λ 7. * Αν i = - τότε i 00 = i. Σ Λ 8. * Οι εικόνες των αντίθετων μιγαδικών αριθμών στο μιγαδικό είεδο είναι σημεία συμμετρικά ως ρος τον άξονα x x. Σ Λ 9. * Για κάθε μιγαδικό αριθμό 0 ορίζεται =. Σ Λ 0. * Αν Μ, Μ είναι οι εικόνες των μιγαδικών και αντιστοίχως στο μιγαδικό είεδο και ο άξονας x x είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος Μ Μ, τότε είναι =. * Αν = α + βi, C, και + = α, τότε =. * Αν Re () = τότε οι εικόνες των μιγαδικών στο μιγαδικό. Σ Λ. Σ Λ είεδο βρίσκονται άνω στην ευθεία x =. Σ Λ. * Αν Ιm ( + i) = 8 τότε οι εικόνες των μιγαδικών στο μιγαδικό είεδο βρίσκονται στην ευθεία y = 8. Σ Λ. * Η εξίσωση x - x + λ = 0, λ R, μορεί να έχει ρίζες τους μιγαδικούς + i και - i. Σ Λ 5. * Αν η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0, α, β, γ R έχει ρίζα τον + i θα έχει και τον 5 i. Σ Λ 6. * Η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α, β, γ, R * έχει άντοτε λύση στο C. Σ Λ 59
2 7. * Αν Re ( ) = 0 τότε ισχύει άντα Re ( ) Re ( ) = 0. Σ Λ 8. * Για κάθε μιγαδικό αριθμό ισχύει - =. Σ Λ 9. * Για κάθε, C ισχύει = +. Σ Λ 0. * Η εξίσωση - = -, C, αριστάνει στο μιγαδικό είεδο τη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήματος ου έχει άκρα τα σημεία Α ( ) και B ( ). Σ Λ. * Η εξίσωση - = - με άγνωστο το C και, C έχει μόνο μια λύση. Σ Λ. * Η εξίσωση - 0 = ρ, ρ > 0 αριστάνει στο μιγαδικό είεδο κύκλο με κέντρο Κ ( 0 ) και ακτίνα ρ. Σ Λ. * Για το μιγαδικό αριθμό = (συν () + iημ ()) ισχύει Αrg () =. Σ Λ. * Αν = (συν 9 + iημ ) τότε ένα όρισμα του είναι το. Σ Λ 5. * Αν ένας μιγαδικός αριθμός ολλαλασιαστεί εί i τότε η διανυσματική του ακτίνα στρέφεται κατά γωνία 6. * Η ολική μορφή του μιγαδικού αριθμού = α + βi είναι. Σ Λ = ρ (συνθ + iημθ), όου ρ = και θ ένα όρισμά του. Σ Λ 7. * Για τους μιγαδικούς αριθμούς = ρ (συνθ + iημθ ), ρ > 0 και = ρ (συνθ + iημθ ), ρ > 0 ισχύει = ρ ρ (συν (θ θ ) + ημ (θ θ )). Σ Λ 8. * Αν τα ορίσματα δύο μιγαδικών διαφέρουν κατά κ, κ Ζ, τότε οι εικόνες τους στο μιγαδικό είεδο και η αρχή των α- ξόνων βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Σ Λ 9. * Το θεώρημα De Moivre ισχύει και για εκθέτη αρνητικό ακέραιο αριθμό. Σ Λ 60
3 0. * Ισχύει (συν + iημ) 5 = + i. Σ Λ. * Η εξίσωση 5 = έχει έντε ρίζες, των οοίων οι εικόνες στο μιγαδικό είεδο βρίσκονται σε κύκλο με κέντρο το Ο (αρχή των αξόνων) και ακτίνα. Σ Λ. * Η εξίσωση + i = 0 έχει μοναδική ρίζα τον 0 = i. Σ Λ. * Οι εξισώσεις x ν = και x μ =, ν, μ Ν * έχουν τουλάχιστον μια κοινή ρίζα. Σ Λ. * Οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης ν = α, α 0 και ν Ν *, στο μιγαδικό είεδο είναι κορυφές κανονικού ν-γώνου. Σ Λ 5. * Αν η εξίσωση αx + βx + γx + δ = 0, α 0, έχει ραγματικούς συντελεστές, τότε αυτή έχει οωσδήοτε μια ραγματική ρίζα. Σ Λ 6. * Υάρχει εξίσωση με ραγματικούς συντελεστές ου βαθμού ου έχει ρίζες τους αριθμούς, + i, + i. Σ Λ 7. * Δύο ορίσματα ενός μιγαδικού αριθμού διαφέρουν κατά γωνία κ με κ Ζ. Σ Λ 8. * Στο μιγαδικό είεδο η εικόνα του μιγαδικού αριθμού + i είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου =. Σ Λ 9. * Όλα τα σημεία της ευθείας y = x στο μιγαδικό είεδο είναι εικόνες των μιγαδικών αριθμών = α + αi με α R. Σ Λ y 0. * Στο μιγαδικό είεδο του διλανού σχήματος η εξίσωση του κύκλου είναι - =. 0 6 x Σ Λ 6
4 . * Οι μιγαδικοί αριθμοί ου ικανοοιούν τη σχέση y Arg () - < έχουν εικό- νες στο μιγαδικό είεδο ου αεικονίζονται στο γραμμοσκιασμένο τμήμα του διλανού σχήματος. 0 x Σ Λ Ερωτήσεις ολλαλής ειλογής. * Η ισότητα x + (y - ) i = + i ισχύει αν και μόνο αν Α. x = ή y = 5 Β. x = και y = Γ. x = ή y = Δ. x = και y = 5 Ε. x + y = 7. * Αν i = - και είναι (i ) κ =, τότε η μικρότερη τιμή του θετικού ακεραίου κ Α. Β. Γ. 6 Δ. Ε. 5. * Η εικόνα κάθε φανταστικού αριθμού στο μιγαδικό είεδο βρίσκεται άνω στην ευθεία με εξίσωση Α. y = x Β. y = - x Γ. y = 0 Δ. x = 0 Ε. σε καμία αό τις ροηγούμενες.. * Οι εικόνες των μιγαδικών + i και + i στο μιγαδικό είεδο έχουν άξονα συμμετρίας την ευθεία Α. x = Β. y = Γ. y = x Δ. y = - x Ε. x = 0 6
5 5. * Αν η διανυσματική ακτίνα του μιγαδικού αριθμού στο μιγαδικό είεδο έχει φορέα τη διχοτόμο της ης και ης γωνίας των αξόνων του μιγαδικού ειέδου, τότε ο μορεί να είναι ο Α. + i Β. - + i Γ. + i Δ. - - i Ε. - - i 6. * Αν η εικόνα του μιγαδικού στο μιγαδικό είεδο είναι σημείο της ευθείας x + y - = 0, τότε ο δεν μορεί να είναι ο Α. i Β. - i Γ. 5 - i Δ. i Ε * Αν η εικόνα του μιγαδικού w = (x + ) + (y - ) i, x, y R, στο μιγαδικό είεδο είναι η αρχή των αξόνων, τότε ο = x + yi ισούται με Α. - i Β. + i Γ. - - i Δ. - + i E. + i 8. * Αν ν Ν, αό τις αρακάτω ισότητες δεν είναι σωστή η Α. i ν = Β. i ν+ = - i Γ. i ν+ = - Δ. i ν+ = i ν Ε. i ν+ = - i 9. * Αν = α + βi με αβ 0 και ο συζυγής του οια αό τις αρακάτω ροτάσεις δεν είναι σωστή; Α. + ραγματικός αριθμός Β. - φανταστικός αριθμός Γ. φανταστικός αριθμός Δ. - ραγματικός αριθμός Ε. ραγματικός αριθμός 0. * Στο μιγαδικό είεδο, οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών αριθμών είναι σημεία συμμετρικά Α. ως ρος τον άξονα y y Β. ως ρος τον άξονα x x Γ. ως ρος την ευθεία y = x Δ. ως ρος την ευθεία y = - x Ε. ως ρος την αρχή των αξόνων 6
6 . * Η εξίσωση λ = 0, λ R, μορεί να έχει ρίζα τον αριθμό Α. i Β. - i Γ. + i Δ. - i Ε. + i. * Η εξίσωση x + αx + 5 = 0, α R μορεί να έχει ρίζα τον Α. - + i Β. - i Γ. - i Δ. - i Ε. - - i. * Αν η εξίσωση - κ + λ = 0, κ, λ Ζ έχει ρίζα τον + i τότε ισχύει Α. κ = 6 και λ = 5 Β. κ = και λ = Γ. κ = και λ = Δ. κ = και λ = 5 Ε. κ = 5 και λ =. * Αν = x + yi οια αό τις αρακάτω ισότητες δεν είναι άντα σωστή; Α. = Β. = - Γ. = Δ. = x (-y ) Ε. = 5. * Αν = και = + i τότε η μεγαλύτερη τιμή του είναι Α. 5 Β. 8 Γ. 9 Δ. Ε. 6. * Αν = και - = 5 τότε η ελάχιστη τιμή του είναι Α. B. Γ. 5 Δ. 7 E * Αν = + yi και = 5, τότε μια τιμή του y είναι η Α. 5 B. 5 Γ. - Δ. E. 6
7 8. * Αν οι εικόνες δύο μη μηδενικών μιγαδικών αριθμών και στο μιγαδικό είεδο είναι στο ίδιο τεταρτημόριο, οια αό τις αρακάτω σχέσεις μορεί να ισχύει; Α. = - B. = Δ. Ιm ( ) + Im ( ) = 0 E. κανένα αό τα αραάνω Γ. = - 9. * Αν το σημείο Ρ (x, y) είναι εικόνα του μιγαδικού = x + yi στο μιγαδικό είεδο για τον οοίο ισχύει - = 5, το Ρ βρίσκεται άνω σε Α. ευθεία B. έλλειψη Γ. κύκλο Δ. αραβολή E. υερβολή 0. * Η εξίσωση - ( i) = αριστάνει στο μιγαδικό είεδο κύκλο με Α. κέντρο (-, ) και ακτίνα B. κέντρο (, - ) και ακτίνα Γ. κέντρο (, - ) και ακτίνα Δ. κέντρο (, ) και ακτίνα E. κέντρο (, ) και ακτίνα. * Θεωρούμε στο μιγαδικό είεδο τον κύκλο με κέντρο το Ο (αρχή των αξόνων) και ακτίνα 0. Αό τους αρακάτω αριθμούς έχει εικόνα άνω στον κύκλο ο μιγαδικός αριθμός Α. = + i B. = + i 7 Γ. = - i 8 Δ. = 8 + 6i E. = + i 8. * Ο γεωμετρικός τόος των εικόνων του μιγαδικού αριθμού στο μιγαδικό είεδο για τον οοίο ισχύει - = - i είναι Α. ο άξονας y y B. η ευθεία y = x Γ. ο άξονας x x Δ. η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τα σημεία (, 0) και (0, ) E. η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τα σημεία (0, ) και (, 0) 65
8 . * Στο μιγαδικό είεδο ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ (, ) και ακτίνα είναι ο γεωμετρικός τόος των εικόνων του μιγαδικού για τον οοίο ισχύει Α. - (- i) = B. - ( i) = Γ. - ( i) = 9 Δ. - ( i) = E. ( i) =. * Οι μιγαδικοί αριθμοί ου οι εικό- y νες τους στο μιγαδικό είεδο βρίσκονται στο γραμμοσκιασμένο τμήμα του σχήματος είναι αυτοί για τους ο- οίους ισχύει Α. < και i < 0 x B. < και i < Γ. > και i > Δ. < και i < Ε. < και i < 5. * Οι μιγαδικοί αριθμοί ου οι εικόνες τους στο μιγαδικό είεδο βρίσκονται y στο γραμμοσκιασμένο τμήμα του σχήματος είναι αυτοί για τους οοίους ισχύει Α. < και < 0 x B. < και > Γ. < και > Δ. < και > Ε. > και < 6. * Αν η εξίσωση = κi εαληθεύεται αό τους μιγαδικούς αριθμούς ου η εικόνα τους στο μιγαδικό είεδο βρίσκεται στην ευθεία y = x, ο ραγματικός αριθμός κ ισούται με Α. B. - Γ. Δ. - E. 66
9 7. * Αν οι εικόνες των μιγαδικών,, στο μιγαδικό είεδο δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία, τότε το λήθος των λύσεων του συστήματος = = με άγνωστο τον είναι Α. B. Γ. Δ. Ε * Για το ρωτεύον όρισμα του μιγαδικού αό τις αρακάτω ροτάσεις δεν είναι σωστή η Α. Το Arg () βρίσκεται στο διάστημα [0, ) B. Το Arg () είναι η γωνία ου σχηματίζει η διανυσματική ακτίνα του στο μιγαδικό είεδο με τον άξονα x x και αίρνει τιμές στο [0, ) Γ. Αν Arg () = Δ. Αν Arg () = E. Αν Arg () = ο έχει ραγματικό μέρος ίσο με το φανταστικό ο είναι ραγματικός αριθμός τότε Re () = - Im () 9. * Αν = α +βi, αβ 0 και Αrg () = θ, θ (0, Α. α β = εφθ B. αβ = σφθ Γ. Δ. αβ = εφθ E. α + β = σφθ ) τότε άντοτε ισχύει β α = εφθ 0. * Αν Αrg () =, η εικόνα του στο μιγαδικό είεδο είναι σημείο της ευθείας με εξίσωση Α. y = x B. y = - x Γ. y = x Δ. y = - x E. y = x 67
10 . * Αν η εικόνα του μιγαδικού στο μιγαδικό είεδο βρίσκεται στην ευθεία y = - x, τότε αό τις αρακάτω γωνίες Arg () μορεί να είναι η Α. B. 9 Γ. Δ. E. 5. * Αν = όου = ρ (συνθ + iημθ), = ρ (συν + iημ ), ρ > 0, τότε η γωνία θ δεν μορεί να είναι Α. 0 B. 780 Γ. 0 Δ. 0 E * Το γινόμενο των μιγαδικών αριθμών = (συν0 + iημ0) και = 7 (συν0 + iημ0) είναι Α. (συν00 + iημ00) B. 9 (συν0 + iημ0) Γ. (συν0 + iημ0) Δ. 9 (συν00 + iημ00) E. 7 (συν + iημ). * Ο μιγαδικός αριθμός (συν + iημ) 5 ισούται με Α. - + i B. - - i Γ. + i Δ. - i E. με κανένα αό τους ροηγούμενους 5. * Αν = 0 (συν5 iημ5 ) 5 (συν iημ ) τότε ο ισούται Α. B. 5 (συν5 + iημ5) Γ. (συν + iημ) Δ. (συν5 + iημ5) E. 5 (συν + iημ) 6. * Αν = ρ (συν0 + iημ0), ρ > 0, τότε το Arg ( ) ισούται με 68
11 Α. ( 0 ) B. 70 Γ. ( 70 ) Δ. 60 E * Αν Α, Β είναι οι εικόνες στο μιγαδικό είεδο των μιγαδικών και i αντιστοίχως τότε η γωνία ΑΟΒ (Ο η αρχή των αξόνων) ισούται με Α. B. Γ. Δ. 5 6 E. 8. * Αν = συνθ + iημθ τότε ο Α. συνθ + i ημθ ισούται με B. συν θ + iημ θ Γ. - συνθ - iημθ Δ. συν (- θ) + iημ (- θ) E. - συνθ + iημθ 9. * Αν = συν + iημ, ο 000 ισούται με Α. + i B. Γ. - Δ. 0 E. - i 0. * Αν Ρ (x) ολυώνυμο τουλάχιστον ου βαθμού με ραγματικούς συντελεστές και η εξίσωση P (x) = 0 έχει ρίζα τον αριθμό - i, θα έχει οωσδήοτε και τον Α. + i 0 B. i 0 Γ. + i Δ. - i E. - i. * Αν η εξίσωση x + κx + λ = 0, κ, λ R, έχει ως λύση την x = + 5i, τότε αοκλείεται να έχει λύση την Α. x = 5 B. x = - 5i Γ. x = 0 Δ. x = + i E. x = - 69
12 . * Οι αριθμοί + i, - 5i, - + i, + 7i είναι ρίζες του ολυωνύμου f (x) = α ν x ν + α ν- x ν- + α ν- x ν- + + α x + α 0, α ν 0, ν Ν *, με ραγματικούς συντελεστές. Για το ν ισχύει Α. ν = B. ν = 6 Γ. < ν < 8 Δ. ν 8 E. 6 ν < 8 Ερωτήσεις συμλήρωσης. * Ο είναι μιγαδικός αριθμός. Να συμληρώσετε τον αρακάτω ίνακα: Re () Im () i - i - 5 i. * Οι αριθμοί, είναι μιγαδικοί. Να συμληρώσετε τον αρακάτω ίνακα: μιγαδικός αριθμός = + i = - + i = = = Agr () τριγωνομετρική μορφή 70
13 Ερωτήσεις αντιστοίχισης. * Αν = α + βi, να συμληρώσετε τον αρακάτω ίνακα ώστε κάθε αράσταση της στήλης Α να αντιστοιχεί στην ίση της ου βρίσκεται στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β Α.. α. α + β Β. +. α + βi Γ. -. α - βi Δ. 5. βi 6. α + i Α Β Γ Δ 7
14 . * Να συμληρώσετε τον αρακάτω ίνακα ώστε σε κάθε σχέση της στήλης Α να αντιστοιχεί ο γεωμετρικός τόος των εικόνων του ου βρίσκεται στη στήλη Β. Στήλη Α σχέση ου ικανοοιεί ο μιγαδικός αριθμός Στήλη Β γεωμετρική εριγραφή των εικόνων του στο μιγαδικό είεδο Α. το ραγματικό μέρος του είναι Β. το ραγματικό μέρος του είναι ίσο με το φανταστικό μέρος του Γ. το ραγματικό μέρος του είναι αντίθετο του φανταστικού μέρους του. ο άξονας x x. η ευθεία y = x. η ευθεία y = - x. η ευθεία x = 5. η ευθεία y = - Α Β Γ 7
15 . * Αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού στο μιγαδικό είεδο είναι το σημείο Μ (, ), να συμληρώσετε τον αρακάτω ίνακα ώστε κάθε μιγαδικός α- ριθμός της στήλης Α να αντιστοιχεί στην εικόνα του ου βρίσκεται στη στήλη Β. Στήλη Α μιγαδικός αριθμός Στήλη Β σημείο στο μιγαδικό είεδο Α.. (-, ). ( 5, - 5 ) Β. -. (, 5 ) Γ. i. (-, ) 5. ( 5, 5 ) Α Β Γ 7
16 . * Να συμληρώσετε τον αρακάτω ίνακα ώστε κάθε δύναμη του i ου υ- άρχει στη στήλη Α να αντιστοιχεί στην τιμή της ου βρίσκεται στη στήλη Β. Στήλη Α δύναμη του i Στήλη Β Α. i. - i. i Β. i. - Γ. i 5. 0 Δ. i i Α Β Γ Δ 7
17 5. * Αν = - + i, να συμληρώσετε τον αρακάτω ίνακα ώστε κάθε στοιχείο της στήλης Α να αντιστοιχεί στο ίσο του ου βρίσκεται στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β Α.. 0. Β Γ. () Α Β Γ 75
18 6. * Να συμληρώσετε τον αρακάτω ίνακα ώστε ο γεωμετρικός τόος των εικόνων του στο μιγαδικό είεδο της στήλης Α να αντιστοιχεί στη σχέση ου βρίσκεται στη στήλη Β. Στήλη Α γεωμετρική εριγραφή των εικόνων του στο μιγαδικό είεδο Στήλη Β σχέση ου ικανοοιεί ο μιγαδικός αριθμός. i = Α. κύκλος κέντρου Κ (, ) και ακτίνας. = Β. μεσοκάθετος του τμήματος με άκρα τα σημεία (, 0),. i = (0, - ) Γ. κύκλος κέντρου Ο (0, 0) και. = i ακτίνας 5. = i Α Β Γ 76
19 7. * Αν = x + yi, x, y 0 και c σταθερός ραγματικός αριθμός, διάφορος του μηδενός, να συμληρώσετε τον αρακάτω ίνακα ώστε σε κάθε αράσταση της στήλης Α να αντιστοιχεί ο γεωμετρικός τόος των εικόνων του ου βρίσκεται στη στήλη Β. Στήλη Α σχέση ου ικανοοιεί ο μιγαδικός αριθμός Στήλη Β γεωμετρικός τόος του στο μιγαδικό είεδο. y = x + c Α. Re () = c Β. Im () = c. y =. y = c c x Γ. Re () Im () = c. cx + y = 0 5. x = c Α Β Γ 77
20 8. * Στα σχήματα της στήλης Α φαίνονται τόξα κύκλων στα οοία βρίσκεται η εικόνα του μιγαδικού αριθμού στο μιγαδικό είεδο. Να συμληρώσετε τον αρακάτω ίνακα ώστε σε κάθε σχήμα της στήλης Α να αντιστοιχεί η σωστή σχέση της στήλης Β. Στήλη Α Στήλη Β y Α. 0 M() x. =, Im () 0 και Re () 0. - = και Im () 0 y M(). = και Re () 0 Β. 0 x. = και Re () < 0 y Γ. 0 x M() Α Β Γ 78
21 9. * Να συμληρώσετε τον αρακάτω ίνακα ώστε κάθε μιγαδικός αριθμός της στήλης Α να αντιστοιχεί στην εικόνα του στο μιγαδικό είεδο ου βρίσκεται στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β. = (συν 6 + iημ 6 ) y Σ. = συν. = συν iημ + iημ Ρ Δ Β Λ Θ Ζ M Í 6 6 E A Κ N Η Γ x. = (συν 6 - iημ 6 ) Τ 79
22 0. * Να συμληρώσετε τον αρακάτω ίνακα ώστε η εικόνα κάθε μιγαδικού αριθμού, το όρισμα του οοίου φαίνεται στη στήλη Α να βρίσκεται στην ευθεία ου ανήκει και γράφεται στη στήλη Β. Στήλη Α ρωτεύον όρισμα του μιγαδικού αριθμού Στήλη Β γεωμετρική εριγραφή των εικόνων του στο μιγαδικό είεδο. ο άξονας x x Α. Arg () =. ο άξονας y y Β. Arg () =. η ευθεία y = x Γ. Arg () =. η ευθεία y = - x 5. η ευθεία y = c (c σταθερός) Α Β Γ 80
23 Ερωτήσεις ανάτυξης. ** Να βρείτε τους ραγματικούς αριθμούς x και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) x - + yi = - i + - yi β) y + i = - ( + i) x γ) y - yi - x = - 5xi + 9i δ) (x + ) i + x = x - xi -. ** Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί = x - x - 9i και w = - y i, x, y R. α) Να βρείτε τους x, y ώστε = w. β) Να βρείτε τον.. ** Δίνεται ο μιγαδικός = 6i - ( - i) x - yi - (i - ) x + ( - yi), x, y R. α) Να γράψετε τον στη μορφή α + βi. β) Να λύσετε τις εξισώσεις: i) Re () = 0 ii) Im () = 0 iii) Re () = Im () iv) = 0. ** Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός = ( + i) x + (y - ) i - 5, x, y R. α) Να τον γράψετε στη μορφή α + βi. β) Να γράψετε τον συναρτήσει του x, αν Im () = 0. γ) Να βρείτε τη σχέση ου συνδέει τα x και y, αν Re () = Im (). 5. ** Δίνονται οι μιγαδικοί = + i, = + i, = + 9 i, = i, 5 = i, + Να βρείτε το άθροισμα των αείρων όρων w = ** Να γράψετε στη μορφή α + βi τους μιγαδικούς αριθμούς: α) = 5 - i - i β) = i - i - (- i) 8
24 7. ** Να γράψετε στη μορφή α + βi τους μιγαδικούς αριθμούς: α) i (- 5i) β) ( + i) (- i + ) γ) δ) - i ε) - i - i ζ) i ( i) (-i ) - i 8. ** Να γράψετε στη μορφή α + βi τους μιγαδικούς αριθμούς: - i α) ( - i) ( - 5i) + 7i - β) i i i δ) i - i ε) ( - i) - γ) i 9. ** Να ροσδιορίσετε τους ραγματικούς αριθμούς α, β ώστε οι μιγαδικοί = α + βi και = 8i - i + 5 i i να είναι ίσοι. 0. ** Να βρεθούν οι ραγματικοί αριθμοί α, β ώστε να ισχύει: (α + βi) = 5i i.. ** Να υολογιστεί το x R ώστε να ισχύει: + i = xi - xi.. ** Να βρεθούν τα x, y R ώστε οι μιγαδικοί: = x + y - i και = - (x - y) i να είναι συζυγείς.. ** Αν φανταστικός αριθμός με - i να αοδείξετε ότι ο αριθμός ω = i - i είναι αρνητικός ραγματικός αριθμός. 8
25 . ** α) Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς ου εαληθεύουν την ισότητα + ( - ) = + i. β) Να βρεθεί ο μιγαδικός αριθμός ου ικανοοιεί την ισότητα =. 5. ** Για τις διάφορες τιμές του ν Ν να βρεθεί η τιμή της αράστασης f (ν) = ν i i. 6. ** Να αοδείξετε ότι για κάθε ν Ν ισχύει ( + i) 0ν = ( - i) 0ν. 7. ** α) Να δείξετε ότι κάθε ραγματικός αριθμός είναι ίσος με το συζυγή του και αντιστρόφως. β) Να δείξετε ότι αν ω = και ω R τότε ο είναι φανταστικός αριθμός. i 8. ** Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός = x + yi, x, y R. α) Να γράψετε στη μορφή α + βi τον μιγαδικό w = 8i 6 β) Να βρείτε τη σχέση ου συνδέει τα x και y, αν Im (w) = 0. γ) Να βρείτε τη σχέση ου συνδέει τα x και y, αν Re (w) = 0. δ) Να δείξετε ότι η ροηγούμενη σχέση (γ) είναι εξίσωση κύκλου και να βρείτε το κέντρο του και την ακτίνα του. ε) Να δείξετε ότι ο ροηγούμενος κύκλος διέρχεται αό την αρχή των αξόνων.. 9. ** Η εξίσωση + α + β =0, α, β R έχει ρίζα τον μιγαδικό αριθμό - i. α) Να βρείτε την άλλη ρίζα. β) Να βρείτε τα α και β. 0. ** Να βρείτε τους μιγαδικούς = x + yi, x, y R, για τους οοίους ισχύει: + + = 0. 8
26 . ** Αν η εικόνα του μιγαδικού = λ + (λ - ) i στο μιγαδικό είεδο βρίσκεται στην ευθεία y = x +, να βρεθεί ο λ R.. ** Να συμληρώσετε το διλανό σχήμα y με το σημείο Μ (). Μετά να βρείτε τα σημεία Μ ( ), Μ (-) êáé Μ (- ). Να βρείτε το εμβαδόν του τετραλεύρου Μ Μ Μ Μ. 0 M() x. ** Ο μιγαδικός = + i να αναλυθεί σε άθροισμα δύο μιγαδικών, ου οι εικόνες τους βρίσκονται αντίστοιχα στις ευθείες y = x - και y = x -.. ** Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών αριθμών: α) = i - i β) = ( i) i + - i 5. ** Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών αριθμών: α) = i - i β) = i 5 ν, ν Ν. 6. ** Να βρεθεί ο μιγαδικός αριθμός ου ικανοοιεί την ισότητα + = + i. 7. ** Αν C και 9 =, αοδείξτε ότι =. 8
27 8. ** Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός ω. α) Να δειχθεί ότι αν ω φανταστικός αριθμός, τότε ω = - ω και αντιστρόφως. β) Με βάση το ροηγούμενο ή με άλλο τρόο δείξτε ότι αν ο αριθμός ω = -, -, είναι φανταστικός, τότε =. 9. ** Να γράψετε όλους τους μιγαδικούς αριθμούς αν ξέρουμε ότι η αόλυτη τιμή του ραγματικού μέρους του είναι και η αόλυτη τιμή του φανταστικού μέρους του είναι. Πού βρίσκονται οι εικόνες στο μιγαδικό είεδο των αραάνω μιγαδικών αριθμών; 0. ** Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οοίους ισχύει: = = -.. ** Να λυθεί στο C η εξίσωση: + + i = 0.. ** Αν για το μιγαδικό αριθμό ισχύει: - >, δείξτε ότι Re () <.. ** Να αοδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών στο μιγαδικό είεδο ου ικανοοιούν τη σχέση - = - βρίσκονται σε κύκλο κέντρου Ο (0, 0) και ακτίνας.. ** Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόος των εικόνων του στο μιγαδικό είεδο i αν ο αριθμός είναι ραγματικός. 85
28 5. ** Ο μιγαδικός αριθμός ικανοοιεί τις σχέσεις: - Re () () Im () () () Να γραμμοσκιάσετε στο μιγαδικό είεδο το χωρίο ου αντιροσωεύει το σύνολο των εικόνων του και να βρείτε το εμβαδόν του. 6. ** Να βρεθεί στο μιγαδικό είεδο ο γεωμετρικός τόος των εικόνων του μιγαδικού για τον οοίο ισχύει: α) - i = β) -- i < γ) < - i < 7. ** Ο κύκλος του διλανού σχήματος εφάτεται του άξονα των τετμημένων και είναι ο γεωμετρικός τόος των εικόνων του μιγαδικού αριθμού = x + yi, x, y R στο μιγαδικό εί- y K εδο. α) Αό τις αρακάτω εξισώσεις, να ειλέξετε δύο ου τον αντιροσω- 0 x εύουν: i) (x - ) + (y - ) = 9 ii) x + y = iii) - i = iv) x + y - 6x - y + 9 = 0 v) -- i = β) Να δικαιολογήσετε την ειλογή σας. 86
29 8. ** Στο διλανό σχήμα η μεσοκάθετος (ε) του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ είναι ο γεωμετρικός τόος των εικόνων του μιγαδικού αριθμού = x + yi, x, y R στο μιγαδικό είεδο. α) Αό τις αρακάτω εξισώσεις, να ειλέξετε τρεις ου τον αντιροσωεύουν: i) x - i = y + ii) - i = - y 0 Α (ε) Μ Β x iii) - - iv) y = x = 0 v) Re () = Im () vi) 8Re () = 5 + Im () β) Να δικαιολογήσετε την ειλογή σας. 9. ** Στο διλανό σχήμα το ΟΑΒΓ είναι τετράγωνο. Αν Α, Β και Γ είναι οι εικόνες των μιγαδικών = + i, = x + yi και = κ + λi αντιστοίχως στο μιγαδικό είεδο: α) Να δειχθεί ότι κ + λ = 0. β) Να βρεθούν οι και. y 0 Α x Β Γ 0. ** Να γραφούν στην τριγωνομετρική μορφή οι μιγαδικοί: α) i i β) i i γ) συν - iημ 87
30 . ** Να γραφούν στην τριγωνομετρική μορφή οι μιγαδικοί αριθμοί: α) = - συνθ + iημθ β) = - συνθ - iημθ γ) = ημθ + iσυνθ. ** Αν = 5i i και = - (συν + iημ ), να γραφούν σε τριγωνομετρική μορφή οι αριθμοί: α) β). ** Να δείξετε ότι για κάθε ακέραιο ν ισχύει: - i ν =.. ** Να δείξετε ότι: ( + i) ν + ( - i) ν = ν συν ν, ν Ν. 5. ** Να βρείτε το μέτρο και το όρισμα του μιγαδικού αριθμού: = (ημθ- iσυνθ) (συνθ - iημθ). 6. ** Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός = α) Να γράψετε τον στην τριγωνομετρική του μορφή. β) Αν ν θετικός ακέραιος να βρείτε τον w = ν. γ) Να βρείτε τη μικρότερη τιμή του ν ώστε ο w να είναι ραγματικός. δ) Να βρείτε τη μικρότερη τιμή του ν ώστε ο w να είναι φανταστικός. + i. 7. ** Στο μιγαδικό είεδο έστω OA η διανυσματική ακτίνα ενός μιγαδικού και OB η διανυσματική ακτίνα του = w, όου w = α) Να γράψετε τον w στην τριγωνομετρική του μορφή. β) Να δείξετε ότι w = -. γ) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισόλευρο. δ) Να δείξετε ότι = - και + =. + i. 88
31 8. ** Δίνεται ο μιγαδικός = - συνα + iημα, α [0, ). α) Να δείξετε ότι = ημ α και Αrg () = - α β) Να γραφεί σε τριγωνομετρική μορφή ο αριθμός ω = + συνθ + iημθ. γ) Να βρεθεί ο ω = ( + συν iημ 0 9 ) ** Να βρείτε το σύνολο των σημείων του μιγαδικού ειέδου ου είναι εικόνες των μιγαδικών για τους οοίους ισχύει η σχέση: Arg - i i =. 50. ** Να βρείτε το μιγαδικό αριθμό για τον οοίο ισχύουν οι σχέσεις: Arg ( - ) = και =. 5. ** Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί: = = i = - i 5 = α) Να βρείτε τα μέτρα τους. β) Να βρείτε το ρωτεύον όρισμά τους. + i = γ) Να τους γράψετε σε μια σειρά ώστε να ροηγείται αυτός ου έχει το μικρότερο όρισμα. δ) Πού βρίσκονται οι εικόνες τους στο μιγαδικό είεδο; + i + i 89
32 5. ** Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί: = - = 5-5 i = i 5 = - - i = - α) Να γράψετε τους αραάνω μιγαδικούς αριθμούς στη μορφή κ ( - i + i i), κ R και να τους τοοθετήσετε σε μια σειρά, ώστε να ροηγείται αυτός ου έχει το μικρότερο μέτρο. β) Πού βρίσκονται οι εικόνες τους στο μιγαδικό είεδο; γ) Να βρείτε τον μιγαδικό έτσι ώστε η εικόνα του να συμίτει με την εικόνα του. y 5. ** Στο διλανό σχήμα το ΟΑΒΓ είναι αραλληλόγραμμο. Αν = κ + λi να δειχθεί ότι: λ = κ +. Α(κ,λ) 0 Γ Β 0 x 5. ** Η ευθεία (ε) είναι ο γεωμετρικός τόος των εικόνων του μιγαδικού στο μιγαδικό είεδο. α) Να ειλέξετε δύο αό τις αρακάτω εξισώσεις ου δίνουν σημεία της ευθείας (ε) ου ανήκουν στο δεύτερο τεταρτημόριο x i) = - y ii) x = y (ε) y 0 0 x iii) Arg () = iv) β) Να δικαιολογήσετε την ειλογή σας. = v) x + y = 0 90
33 55. ** Να βρεθούν οι κυβικές ρίζες των αριθμών: α) - 8i β) + i 56. ** Να λυθεί στο σύνολο C η εξίσωση: 5 = + i. 57. ** Να λυθούν στο σύνολο C οι εξισώσεις: α) ( - ) = β) ( - ) = 58. ** Αν w είναι μια μη ραγματική κυβική ρίζα της μονάδας, να δείξετε ότι: α) + w + w = 0 β) ( + w) = - γ) ( + w ) = w δ) ( - w) ( - w ) ( - w ) ( - w 5 ) = ** Αν w είναι μια μη ραγματική κυβική ρίζα της μονάδας να δείξετε: α) w = w β) ( + w w + w + w ) ( w + w ) = 8 γ) ( + w) ν+ + ( w ) ν+ =0 60. ** α) Να αραγοντοοιήσετε το ολυώνυμο Ρ () = β) Να λύσετε την εξίσωση: = 0. γ) Να αραστήσετε στο μιγαδικό είεδο τα σημεία ου είναι εικόνες των ριζών. δ) Τι είδους τρίγωνο σχηματίζουν οι εικόνες των ριζών; Να βρείτε το εμβαδόν του. 6. ** Να βρεθεί για οιες τιμές των α, β R το ολυώνυμο f (x) = x - αx + 5x - 9x + β έχει αράγοντα το x +. Στη συνέχεια να βρεθούν όλες οι ρίζες του f (x). 6. ** Αν οι συντελεστές του ολυωνύμου f (x) = αx + βx + γx + δ είναι ραγματικοί αριθμοί και το x - i είναι αράγοντάς του, να αοδείξετε ότι το x + είναι αράγοντας του f (x). Στη συνέχεια να ροσδιορίσετε τα α, β, γ, δ γνωρίζοντας ακόμα ότι f (0) = και f () = 0. 9
34 6. ** Δίνεται η εξίσωση = 0. Να αοδείξετε ότι οι εικόνες των ριζών της στο μιγαδικό είεδο είναι κορυφές ισολεύρου τριγώνου. 6. ** Δίνεται η εξίσωση - ημ = 0, όου β ραγματική αράμετρος με β [0, ]. β συν β + ημ α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι οι ημ β συν β iημ β. β) Να γράψετε τις ρίζες αυτές στην τριγωνομετρική τους μορφή. β 65. ** Δίνεται η εξίσωση + β + γ = 0, C, με ρίζες τους συζυγείς μιγαδικούς αριθμούς και. Να αοδείξετε ότι: α) οι αριθμοί β και γ είναι ραγματικοί β) η εξίσωση + β - γ = 0 έχει ρίζες ραγματικές. 66. ** Αν Ρ () = = 0: α) να λύσετε την εξίσωση Ρ () = 0 και να γράψετε τις ρίζες της σε τριγωνομετρική μορφή. β) να βρείτε την εξίσωση του κύκλου ου ερνάει αό τις εικόνες των τριών ριζών του Ρ (). 67. ** Δίνεται η εξίσωση - = -i, C. α) Να δειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόος των εικόνων του στο μιγαδικό είεδο είναι η μεσοκάθετος (ε) του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με άκρα Α (, 0) και Β (0, ). β) Να δειχθεί ότι η εξίσωση της (ε) είναι x - y + = 0. γ) Να γίνει η γραφική αράσταση της (ε). δ) Να βρεθεί η εικόνα του για τον οοίο το είναι ελάχιστο. 9
35 68. ** Αν μιγαδικός και f (ν) = i ν, ν Ν * τότε: α) Να δειχθεί ότι f (λ) + f (λ + ) + f (λ + ) + f (λ + ) = 0, λ Ν *. β) Αν = ρ και Arg () = θ, να δειχθεί ότι: f (λ + ) = ρ [συν ( γ) Αν Arg () = και + θ) + iημ ( + θ)]. =, να σχεδιαστούν οι διανυσματικές ακτίνες των και f (λ + ) στο μιγαδικό είεδο και να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ου έχει κορυφές τις εικόνες των μιγαδικών 0, και f (λ + ). 69. ** Αν μιγαδικός αριθμός με Re =, τότε: α) Να δειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόος των εικόνων του στο μιγαδικό είεδο είναι ο κύκλος με εξίσωση - =. β) Να δειχθεί ότι αν για τον ισχύει Im () =, τότε Re () = + Re () = -. γ) Να βρεθεί η εξίσωση ου βαθμού ου θα έχει ρίζες τους αριθμούς και τους μιγαδικούς του ερωτήματος (β). 70. ** Για τους μιγαδικούς και w ισχύουν αντιστοίχως Arg (w + ) =. Να δειχθεί ότι: ή + i ( - ) = και α) ο γεωμετρικός τόος των εικόνων του στο μιγαδικό είεδο είναι κύκλος C με κέντρο Κ (0, ) και ακτίνα ρ = β) το σύνολο των σημείων των εικόνων του w στο μιγαδικό είεδο βρίσκονται στην ευθεία με εξίσωση y = x +. γ) η ευθεία (ε) του ερωτήματος (β) τέμνει τον κύκλο C του ερωτήματος (α) σε δύο σημεία αντιδιαμετρικά. δ) αν t, t είναι οι μιγαδικοί ου οι εικόνες τους στο μιγαδικό είεδο είναι οι τομές των (ε) και C, τότε ισχύει: ν t. ν t t + t = ν+. 9
36 9
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η ισότητα στο σύνολο C των µιγαδικών αριθµών ορίζεται από την ισοδυναµία: α +βi = γ + δi α = γ και β = δ. Σ Λ. * Αν z = α + βi, α, β
Διαβάστε περισσότεραΜιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση
Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις ΛΑ Να βρείτε
Διαβάστε περισσότερα(Μονάδες 15) (Μονάδες 12)
ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκε ί ου τ ράε ζ αθε μάτ ων( 1ηέ κδοση) θέ μαδε ύτ ε ροκαιτ έ τ αρτ ο Κόμβ οςατ σι οούλου01415 δης Ει μέ λε ι α:εμμανουήλκ.σκαλί Αντ ώνηςκ.αοστ όλου Άσκηση 1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) x - + y = - + - y β) y + = 3 - ( + ) x γ) 4y - 3y - x = - 5x + 9 δ) (x
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις. x ' x οι ευθείες πάνω στις οποίες κινούνται οι εικόνες Μ(z).
εθοδολογία Παραδείγματα σκήσεις. ν α,β,γ,δ και ο OA, w a βi γ δi OB, των a βi, γ δi. α λυθεί η ανίσωση 0 πιμέλεια.: άτσιος Δημήτρης είναι φανταστικός, να δειχθεί ότι οι διανυσματικές ακτίνες αντίστοιχα,
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις σωστού-λάθους
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Α ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΚΕΦ ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Φυλλάδιο ο Κεφ..: Η Έννοια του Μιγαδικού Αριθμού Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο C των Mιγαδικών Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΓ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ
Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ Γωνίες με την ίδια τελική λευρά Γωνίες με άθροισμα 180 - Γωνίες με διαφορά 180 - Γωνίες αντίθετες Γωνίες με άθροισμα 90 - Γωνίες με διαφορά 90 Γωνίες με την ίδια
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις
Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00
Διαβάστε περισσότεραΓ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Μ Ι Γ Α Δ Ι Κ Ο Ι Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΡΟΣ ο Ερωτήσεις του τύπου σωστό λάθος. Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1 Να υολογίσετε τα όρια: 9 i) ii) ( ) 9 iii) 1 1 1 iv) 7 10 5 15 t t t 1 v) vi) t (t )(t ) 1 1 9 i) (ημ συν) ) 1 7 συν vii) 1 ημ viii) 1 5 i) ii) ημ 6 1 009, άν
Διαβάστε περισσότεραΤΡΙΤΗ, 30 ΜΑΪΟΥ 2000 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ ΠΡΩΤΟ ΤΡΙΤΗ, 30 ΜΑΪΟΥ 000 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α. (α) Πότε ένας γεωµετρικός µετασχηµατισµός ονοµάζεται γραµµικός; (,5 µονάδες) r (β) Αν Μ(x, y) σηµείο
Διαβάστε περισσότεραΟι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <
Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [008-09 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για το
Διαβάστε περισσότεραΑναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο
ΑΛΓΕΒΡΑ ΒΛ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 1-1. -175663 Βασικές Τριγωνομετρικές ταυτότητες Αν 0
Διαβάστε περισσότεραΜιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση
Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη
Διαβάστε περισσότερα1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος
1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η αόσταση του σώµατος αό το έδαφος (σε cm), δίνεται αό την συνάρτηση f(t)=1ηµ t +13, όου t ο χρόνος σε ώρες. α) Να βρείτε την ερίοδο της ταλάντωσης.
Διαβάστε περισσότεραΚ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )
ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους
Διαβάστε περισσότεραΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ
Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β E.M.E. (τεύχος 4) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κώστα Βακαλόουλου ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αν κάοιος θέλει να άψει να φοβάται το κεφάλαιο της Τριγωνομετρίας, ρέει ν αοφασίσει να διαβάσει ροσεκτικά τους
Διαβάστε περισσότεραΘωμάς Ραϊκόφτσαλης 01
0 Α. ΕΙΑΓΩΓΗ ΘΕΜΑ Α Γ_Μ_Μ_ΑΘΡ_ΕΙ_Β_ΕΚ_9 Έστω ο μιγαδικός αριθμός i,,. Τι καλούμε:. Πραγματικό μέρος του.. Φανταστικό μέρος του.. υζυγή του. 4. Εικόνα του μιγαδικού στο μιγαδικό επίπεδο. 5. Διανυσματική
Διαβάστε περισσότεραΙσότητα μιγαδικών αριθμών πράξεις στο C Έστω z 1 =α+βi και z 2 =γ+δi δύο μιγαδικοί (α,β,γ,δ R) z 1 =z 2 α=γ και β=δ z 1 =0 α=0 και β=0
ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ C Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών C, αποτελείται από αριθμούς της μορφής =α+βi,όπου α,βr Το στοιχείο i είναι τέτοιο ώστε : i = - Το σύνολο C είναι υπερσύνολο του R Οι πράξεις
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥΣ
- - ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥΣ. Να βρεθούν οι τετραγωνικές ρίζες του µιγαδικού =3+4i. (+i και --i ). Nα αποδείξετε ότι v v+ v+ v+ 3 i + i + i + i = + + + v v+ v+ v+ 3. i i i i 3. Να
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ
ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί i Δίνεται ο μιγαδικός και έστω w α. Να ρεθεί ο μιγαδικός w όταν w. Να δείετε ότι w i γ. Αν η εικόνα του κινείται στον κύκλο κέντρου, και ακτίνας και Μ είναι η εικόνα του w στο μιγαδικό
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.
ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ (επαναληπτικές) α. Δίνονται Να περιγράψετε οι μιγαδικοί γεωμετρικά αριθμοί το, σύνολο, (Σ) των εικόνων των μιγαδικών αριθμών 3 με 3 3. πο
ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΤΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (000-03) ΘΕΜΑ 000 α. Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης + + = 0, να αποδείξετε ότι 0-0 =0. β. Αν είναι ρίζα της εξίσωσης του α. ερωτήματος, με φανταστικό μέρος
Διαβάστε περισσότεραΟ μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 3ο Κεφάλαιο - Τριγωνομετρία - Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες. , να βρεθούν
ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ B Λυκείου Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Αν 3 και < x < 3, να βρεθούν οι ΠΡΟΣΟΧΗ : Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου
Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης - - Γ Λυκείου ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Ορισμός Έστω ο μιγαδικός αριθμός x yi και M(x, y) η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο Ορίζουμε ως μέτρο του την απόσταση
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση: z (εφθ)z + =, θ (, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη ραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z οι ρίζες της αραάνω εξίσωσης. Αν ισχύει
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1ο. Μιγαδικοί Αριθμοί
Κεφάλαιο 1ο. Μιγαδικοί Αριθμοί 1η. Άσκηση Να αποδείξετε ότι Α) όπου Β) Αν με τότε Γ) όπου ν Δ) Αν με τότε Ε) αν για τους μιγαδικούς z, w ισχύει τότε 2η. Άσκηση Α) Εφαρμογή 1 σελίδα 93. Β) Να βρείτε τους
Διαβάστε περισσότεραΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017
Στασίνου 6, Γραφ., Στρόβολος, Λευκωσία Τηλ. 57-78 Φαξ: 57-79 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Παρασκευή, 9/5/7 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΜΕΡΟΣ Α ln( x). Να υολογίσετε
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Το Σύνολο C των Μιγαδικών Αριθμών Είναι γνωστό ότι η εξίσωση x δεν έχει λύση στο σύνολο IR των πραγματικών αριθμών, αφού το τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού είναι μη αρνητικός
Διαβάστε περισσότερα3.1 Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας
. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας αέναντι κάθετη λευρά ημβ υοτείνουσα ημγ ΑB ροσκε ίμενη κάθετη λευρά συνβ υοτείνουσα συνγ αέναντι κάθετη λευρά εφβ ροσκε ίμενη κάθετη
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Αν Re ( ) 0, τότε: 4 i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4. ii. Να βρείτε τον
Διαβάστε περισσότεραΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1.Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ ii)συν( ) ΛΥΣΗ i)διαιρώντας το 1125 με το 360 βρίσκω.
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ5 0 ii)συν(-660 0 ) i)διαιρώντας το 5 με το 60 βρίσκω και εομένως 0 0 0 5 60 5 5 60 5 5 0 0 0 0 0 ii) ( 660 ) ( 70 60 ) ( 60 60 ) 0 (60 ) Να
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις...
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία... 16 Παραδείγματα... 6 Ασκήσεις... 33 ΕΝΟΤΗΤΑ : ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ... 39 Θεωρία... 39 Ερωτήσεις...
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,
Διαβάστε περισσότερα2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί
Διαβάστε περισσότεραΤριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις
6 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 1. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Περιοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει T τέτοιος ώστε για κάθε x A να
Διαβάστε περισσότεραΘέματα εξετάσεων στους μιγαδικούς
Θέμα ο α Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει: 6 4 β Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει: i (Ιούλιος 00) Θέμα ο i
Διαβάστε περισσότερα1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία
0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία Ένας αρατηρητής βρίσκεται σε μια όχθη ενός οταμού και βλέει στην αέναντι όχθη ένα δέντρο υό γωνία ύψους 60 ο Αν αομακρυνθεί κατά 40m, βλέει το ίδιο δέντρο υό γωνία
Διαβάστε περισσότεραΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ
Φ3 ΚΥΚΛΟΣ y Μ(x,y) A(x,y) ε Ο C x ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ 0-0 ΘΕΩΡΙΑ. Τι ονομάζεται κύκλος με κέντρο το σημείο K( x0,
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΠαρουσίαση 1 ΘΕΩΡΙΑ Κατεύθυνση Γ Λυκείου
Παρουσίαση ΘΕΩΡΙΑ Παρουσίαση Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Ισότητα µιγαδικών. Να αναφέρετε ότε δύο µιγαδικοί α + βi και γ + δi, λέµε ότι είναι ίσοι. Αάντηση ύο µιγαδικοί α + βi και γ + δi, είναι ίσοι,
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1
εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (26/11/2014)
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου o Θέμα Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 1 η (6/11/014) Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Ειμελητών των φακέλων του
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000
Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου Ζήτηµα ο Α. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x του εδίου ορισµού της να γραφεί η εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης της f
Διαβάστε περισσότεραΑναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης
Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1
Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 2 η (2/12/2014)
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου o Θέμα Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (/1/014) Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Ειμελητών των φακέλων του Λυκείου
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση w w + i 0 () και το πολυώνυμο 3 P ( ) + a + β -,, R α) Να λύσετε την εξίσωση () β)αν ο αριθμός w που βρήκατε στο ερώτημα α) είναι ρίζα της εξίσωσης
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Α ΟΜΑ ΑΣ 1.
.. Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας 94 97 Α ΟΜΑ ΑΣ. Να βρείτε τις τιµές του λ R, ώστε ο z (λ )( ) να είναι : πραγµατικός αριθµός φανταστικός αριθµός z λ λ 6 (λ ) (6 λ) z πραγµατικός 6 λ 0 λ 6 z φανταστικός
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
1 Δίνεται το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ Αν ισχύει η ισότητα AB + BK- ΒΛ = AM- AK, να αοδείξετε ότι τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ Αν είναι ΒΔ = κ ΑΒ+ ΑΓ και ΓΕ ( 1+ κ ) = AB+ ΑΓ, να
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 05 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ (IMF: 4o µεσοπρόθεσµο.) ( WWF:.εξοικονόµηση πόρων.) MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 5 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ...
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου
Θέμα Εαναλητικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Α. Αν α>0 με α, τότε για οοιουσδήοτε θ, θ,θ>0 και κ ισχύει log ( θ θ ) = log θ + log θ (7 μονάδες) α α α Β. Να χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθούν, γράφοντας
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΤριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά.
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Αό το Γυμνάσιο ξέρουμε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ημβ = = έάά ί Γ συνβ = = ίάά ί β α εφβ = = έάά ίάά Τριγωνομετρικοί
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε = 5 + 2 α) Να γράψετε το διάνυσμα β) Να δείξετε
Διαβάστε περισσότερα4 ΤΥΠΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Στο δι λανό Έστω η συνάρτηση f(x) = l n Αν f( x) = x+ x + 1. Να α οδείξετε ότι
Γ Λυκείου - Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 4 ΤΥΠΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 4. Έστω η συνάρτηση () l n A) Βρείτε το εδίο ορισµού της B) Λύστε την εξίσωση + Γ) Λύστε την ανίσωση < ) Να δείξετε ότι + ( ) συν
Διαβάστε περισσότερα1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία Α (1,1), Γ (4,3) και Δ (,3). α) Να υπολογίσετε τα μήκη
Διαβάστε περισσότερα1 x και y = - λx είναι κάθετες
Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 48 Α. Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α και πώς συμβολίζεται αυτή; Β. Ποιος αριθμός ονομάζεται άρρητος;. Πώς ορίζονται οι πραγματικοί αριθμοί; Α. Τι λέγεται ημίτονο μιας
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ
ν ν æ α + i ö æ i - α ö Να βρείτε όλες τις τιμές της παράστασης Α = ç, νî Ν αi + ç αi è - ø è + ø και α Î R Να αναλύσετε το μιγαδικό = 5 + i σε άθροισμα δύο μιγαδικών,, των οποίων οι εικόνες βρίσκονται
Διαβάστε περισσότερα1.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις
. Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ημ = ημ = i = iv) =. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) εφ = εφ = i σφ = iv) σφ =. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ημ = = i εφ = iv) σφ = 4. Να λυθούν
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ. ,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα από τα σύνολα (α, x. lim. lim g(x) , λ σταθερά lim g(x) (ισχύει και για περισσότερες από 2
ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ Έστω μια συνάρτηση f η οοία ορίζεται όσο κοντά θέλουμε στο,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα αό τα σύνολα (α, ) (,β) ή (α, ) ή (,β). Όταν οι τιμές της f()ροσεγγίζουν όσο θέλουμε τον ραγματικό
Διαβάστε περισσότεραΓια τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης.
Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σύρος Πανούσης Γιώργος Πααθανάση Κέλλυ Ραμαντάνης Βαγγέλης Σαμάνης Νίκος Τόλης Ευάγγελος -1-01 18808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 3 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΛΟΓΟΣ. Επίσης. Ολες οι ασκήσεις ανα κεφάλαιο του Μαίου. Κλείνει με τις λύσεις όλων των θεμάτων του Μαίου
ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν τεύχος δημιουργήθηκε για να διευκολύνει τους μαθητές στην ΆΜΕΣΗ κατανόηση των απαιτήσεων των πανελληνίων εξετάσεων δίνοντας τους τα θέματα των 4 χρόνων των κανονικών εξετάσεων του Μαίου
Διαβάστε περισσότεραΕλευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου
Ελευθέριος Πρωτοαάς Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Δεκέμβριος 04 Περιεχόµενα o Θέμα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα 6950 8 6954 9
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)
Διαβάστε περισσότεραα) () z i z iz i Αν z i τότε i( yi) i + + y y y ( y) i i y + 4y + 4, y y 4. Άρα z i. 4 β) ( z) z i z z i z ( i) z, οπότε ( z ) i z z Άρα z z γ) Αν z τ
Λυμένα θέματα στους Μιγαδικούς αριθμούς. Δίνονται οι μιγαδικοί z, w και u z w. α) Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός z είναι φανταστικός αν και μόνο αν ισχύει z z. β) Αν για τους z και w ισχύει: z + w z w,
Διαβάστε περισσότεραΤάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε
Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;
Διαβάστε περισσότεραΓ Λυκείου 4 ΓΛΧ M.Ι.Παπαγρηγοράκης Χανιά. [Μαθηματικά] Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 13.07
Γ Λυκείου 4 ΓΛΧ - 4 M.Ι.Παπαγρηγοράκης Χανιά.7 [Μαθηματικά] Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 7 ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ C ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ C. Να γράψετε σε «κανονική» µορφή τους µιγαδικούς,,, όταν +
Διαβάστε περισσότεραΟ μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:
Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ..3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να βρείτε το μέτρο των μιγαδικών
Διαβάστε περισσότεραI. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr
I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΜία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις
Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις. Ονομασίες Ορισμοί Ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει ακτίνα R. Αρχή μέτρησης των τόξων (γωνιών) είναι το Α, είτε κατά τη θετική φορά (αριστερόστροφα)
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9
ΓΕΛ ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β 331 Α. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των μη μηδενικών διανυσμάτων α, β. Μονάδες 5 β. Εάν ορίζονται οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων α, β αντιστοίχως να δείξετε ότι:
Διαβάστε περισσότερα1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας
v.5 «Αυτό το ρόβλημα, τούτ η μεγάλη συμφορά για να λυθεί χρειάζεται, δίχως αμφιβολία, όως κοιτάζω α τη δική σου την λευρά, να δεις κι εσύ α τη δική μου τη γωνία».. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας
Διαβάστε περισσότεραΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.
Διαβάστε περισσότεραv a v av a, τότε να αποδείξετε ότι ν <4.
ΘΕΜΑ ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει η σχέση: Α. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών είναι ο κύκλος με Κ(,0) και
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο
Διαβάστε περισσότεραΕΥΤΕΡΑ, 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ ΕΙΑ ΕΥΤΕΡΑ, ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ ΠΡΩΤΟ Α. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x του εδίου ορισµού της να γραφεί η εξίσωση της
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ 010-11 ΘΕΜΑ 1 ο : 1) Κατά τη διάδοση ενός κύματος σ ένα ελαστικό μέσον i) μεταφέρεται ύλη. ii) μεταφέρεται ενέργεια και ύλη. iii) όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου έχουν την ίδια
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ
Λύσεις θεμάτων ροσομοίωσης- ο /7 ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ, ΜΑΡΤΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και
Διαβάστε περισσότερακαι 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.
Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα
Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Θέµα ο A. Αν α, β µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: i. αβ και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. 4 4 B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η
Διαβάστε περισσότερα