ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΚΡΑΙΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΜΕ XΡΗΣΗ ΤΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΚΥΜΑΤΙ ΙΩΝ Π. Γαλιατσάτου, Υποψήφια ιδάκτορας Α.Π.Θ Π. Πρίνος, Καθηγητής Α.Π.Θ Εργαστήριο Υδραυλικής, Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών, Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης, 54124, Θεσσαλονίκη ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή επιχειρείται η ανάλυση µε χρήση της τεχνικής των κυµατιδίων µιας τρίωρης χρονοσειράς σηµαντικού ύψους κύµατος, καθώς και των µέγιστων ηµερήσιων τιµών της σε σταθµό στην περιοχή του Β. Αιγαίου. Τα διαθέσιµα δεδοµένα είναι τρίωρες προβλέψεις σηµαντικού ύψους κύµατος του µοντέλου WAM για µια χρονική περίοδο δέκα ετών. Κύριος στόχος είναι ο εντοπισµός των κυρίων συχνοτήτων και των χρονικών διαστηµάτων κατά τα οποία αυτές εµφανίζονται, καθώς και των µη-στασιµοτήτων του σήµατος. Αρχικά, υπολογίζεται το φάσµα ισχύος του κυµατιδίου, που ορίζεται ως το τετράγωνο της απόλυτης τιµής του κυµατιδιακού µετασχηµατισµού και παρέχει ένα µέτρο της διακύµανσης του σήµατος σε κάθε κλίµακα (περίοδο) και κάθε χρονική στιγµή. Στο φάσµα ισχύος που δηµιουργείται µε το κυµατίδιο Morlet, εµφανίζεται µια µεταβολήπεριοδικότητα της τάξης του ενός έτους κατά µήκος ολόκληρης της χρονοσειράς. Προκειµένου να πραγµατοποιηθούν έλεγχοι για µη-στάσιµες µεταβολές στη διακύµανση των τιµών του σηµαντικού ύψους κύµατος, επιλέγεται το καθολικό κυµατιδιακό φάσµα. Από το καθολικό κυµατιδιακό φάσµα είναι εµφανής η ετήσια «περιοδική» µεταβολή, η οποία παρουσιάζεται ως στατιστικά σηµαντική σε επίπεδο σηµαντικότητας 5%. Τα αποτελέσµατα της ανάλυσης χρησιµοποιούνται στη συνέχεια για την επαγωγή σε ακραία επίπεδα τιµών του σηµαντικού ύψους κύµατος, µε χρήση ενός µοντέλου ακραίων τιµών, µιας ανέλιξης Poisso. Επιχειρείται η ενσωµάτωση της «περιοδικής» µεταβολής στο διάστηµα κλιµάκων στην περιοχή του ενός έτους, στην παράµετρο σχήµατος (µ) του µοντέλου ακραίων τιµών. Τέλος, οι µέσες τιµές των επιπέδων επαναφοράς των 50 και 100 ετών που προκύπτουν, συγκρίνονται µε τις αντίστοιχες ενός στάσιµου και ενός απλού µηστάσιµου µοντέλου. 105
ANALYSIS OF EXTREME WAVES USING WAVELETS P. Galiatsatou, PhD Studet, AUTh P. Prios, Professor, AUTh Hydraulics Laboratory Departmet of Civil Egieerig, Aristotle Uiversity of Thessaloiki (AUTh) 54124, Thessaloiki, Greece, tel:+30-2310-995856, e-mail: pgaliats@civil.auth.gr ABSTRACT The obective of the preset paper is the aalysis of three hourly time series of sigificat wave height, as well as its daily maxima at a statio i the area of N. Aegea, usig wavelets. The available data are three hourly forecasts of sigificat wave height of the WAM model for a time period of te years. The pricipal aim is to determie the mai frequecies ad the time itervals they appear i, as well as the o-statioarities of the sigal. At first, the wavelet power spectrum for the daily maxima of sigificat wave height usig the Morlet wavelet is estimated, defied as the square of the absolute value of the wavelet trasform, which provides a measure of the variace of the sigal i each scale ad time. From the spectrum, a oe-year periodicity is observed alog the whole series. The global wavelet spectrum is selected to check for o-statioary trasitios i the variace of the sigificat wave height. I the global wavelet power spectrum the oe-year periodicity is obvious, which is prove to be statistically sigificat at a 5% sigificace level. The results of the wavelet aalysis are used together with a extreme value model, a o homogeeous Poisso process, to calculate retur levels for retur periods of 50 ad 100 years. The oe-year periodicity is icorporated i the locatio parameter (µ) of the extreme value model. The estimated mea values of the 50 ad 100 years retur levels are compared with those from a statioary ad a simple o-statioary model. 106
1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Είναι γνωστό ότι τα περισσότερα φυσικά σήµατα χαρακτηρίζονται από φαινόµενα µη-στασιµότητας (o-statioarity). Ο προσδιορισµός και η προσοµοίωση των φαινοµένων αυτών είναι ιδιαίτερα δύσκολες εργασίες και αποτελούν αποτέλεσµα έρευνας σε διάφορα πεδία της µετεωρολογίας, της υδρολογίας, της επεξεργασίας ωκεανογραφικών σηµάτων και αλλού. Είναι σήµερα κοινώς αποδεκτό ότι αυτή η παρατηρούµενη µεταβλητότητα των καταγραφών-µετρήσεων πολλών φαινοµένων µπορεί συνήθως να χαρακτηριστεί από µια µη-στάσιµη στοχαστική διαδικασία µε µερικές περιοδικές ή σχεδόν περιοδικές συνιστώσες που δρουν εντός καθορισµένων χρονικών κλιµάκων, οι οποίες κυµαίνονται από ετήσιες έως και πολύ µεγάλες χρονικές περιόδους. Τα περισσότερα ωκεανογραφικά σήµατα είναι σήµατα στον τοµέα του χρόνου (time domai sigals). Ωστόσο, σε πολλές περιπτώσεις οι πιο διακεκριµένες πληροφορίες «κρύβονται» στο φάσµα των συχνοτήτων, το οποίο παρέχει την ενέργεια που σχετίζεται µε κάθε δεδοµένη συχνότητα. Το φάσµα συχνοτήτων του σήµατος µπορεί να προκύψει µε τη βοήθεια του µετασχηµατισµού Fourier, ο οποίος όµως δεν προσδιορίζει την ακριβή χρονική στιγµή που παρατηρείται η κάθε συνιστώσα του συχνοτικού περιεχοµένου του σήµατος και καθίσταται έτσι κατάλληλος µόνο για στάσιµα σήµατα (statioary sigals). Ο µετασχηµατισµός µε τη χρήση της τεχνικής των κυµατιδίων (wavelets) είναι µια µέθοδος ανάλυσης µη-στάσιµων (o-statioary) φαινοµένων πολλαπλής κλίµακας που επιτρέπει την «εστίαση» τόσο στον τοµέα του χρόνου όσο και σ αυτόν των συχνοτήτων. Με την ανάλυση µιας χρονοσειράς στο χώρο του χρόνου και των συχνοτήτων, µπορούν να καθοριστούν οι κυρίαρχοι τύποι µεταβλητότητας και η µεταβολή τους στο χρόνο. Ο µετασχηµατισµός µε χρήση της τεχνικής των κυµατιδίων έχει χρησιµοποιηθεί στη βιβλιογραφία για µελέτες σχετικές µε το φαινόµενο El-Niño (Wag ad Wag, 1996) µε τη διασπορά των ωκεάνιων κυµάτων (Meyers et al., 1993), την ανάπτυξη και τη θραύση των κυµάτων (Liu, 1994) και άλλα φαινόµενα. Μια θεωρητική περιγραφή της ανάλυσης µε τη χρήση της τεχνικής των κυµατιδίων παρέχεται µεταξύ των άλλων από τον Daubechies (1992). Το γεγονός ότι τα έργα του πολιτικού µηχανικού πρέπει να υπολογίζονται σε ακραίες συνθήκες απαιτεί ιδιαίτερη προσοχή στις ακραίες τιµές των διαφόρων µεγεθών. Οι µέγιστες τιµές των «µπλοκ» και οι υπερβάσεις υψηλών ορίων χρησιµοποιούνται ανάλογα µε τη διαθεσιµότητα των δεδοµένων, για την εξαγωγή µεγεθών σχεδιασµού για τις διάφορες κατασκευές. H µέθοδος POT (Peaks-Over-Threshold) είναι σήµερα αρκετά διαδεδοµένη και θεωρείται, υπό προϋποθέσεις βέβαια, ότι πλεονεκτεί σε σχέση µε άλλες τεχνικές ανάλυσης. Η χρήση των σηµειακών ανελίξεων στην ανάλυση των ακραίων τιµών εισήχθη από τον Pickads (1971). Οι Smith (1989) και Coles & Taw (1996) συνέβαλαν σηµαντικά στη χρήση του µοντέλου στις διάφορες εφαρµογές. Ένας σηµαντικός λόγος για τον οποίο προτιµάται γενικά η προσέγγιση µε τη µέθοδο µιας σηµειακής ανέλιξης, της ανέλιξης Poisso, είναι και το γεγονός ότι οδηγεί στη δηµιουργία πιθανοφάνειας που επιτρέπει ένα φυσικότερο και απλούστερο τρόπο ενσωµάτωσης της µη-στασιµότητας των υπερβάσεων ενός ορίου. Στην παρούσα εργασία επιχειρείται η ανάλυση µε χρήση της τεχνικής των κυµατιδίων µιας τρίωρης χρονοσειράς σηµαντικού ύψους κύµατος, καθώς και των µέγιστων ηµερήσιων τιµών της σε σταθµό στην περιοχή του Β. Αιγαίου. Τα αποτελέσµατα της ανάλυσης χρησιµοποιούνται στη συνέχεια για την επαγωγή σε ακραία επίπεδα τιµών του σηµαντικού 107
ύψους κύµατος, µε χρήση ενός µοντέλου ακραίων τιµών, µιας ανέλιξης Poisso. Τα διαθέσιµα δεδοµένα είναι τρίωρες προβλέψεις σηµαντικού ύψους κύµατος του µοντέλου WAM για µια χρονική περίοδο δέκα ετών (1995-2004). Στην Ενότητα 2 πραγµατοποιείται ανάλυση µε κυµατίδια µε στόχο τον εντοπισµό των κύριων συχνοτήτων και των χρονικών διαστηµάτων κατά τα οποία αυτές εµφανίζονται, καθώς και των µη-στασιµοτήτων του σήµατος. Στην Ενότητα 3, η µη-στασιµότητα που εντοπίζεται στην Ενότητα 2, ενσωµατώνεται µε απλό τρόπο στην παράµετρο θέσεως (µ) ενός µοντέλου ακραίων τιµών, µε στόχο την εκτίµηση των επιπέδων επαναφοράς του σηµαντικού ύψους κύµατος για περίοδο επαναφοράς 50 και 100 ετών. 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΚΥΜΑΤΙ ΙΩΝ Ενώ ο µετασχηµατισµός του σήµατος µε τη µέθοδο Fourier το διαιρεί σε µια σειρά ηµιτονοειδών κυµάτων διαφορετικών συχνοτήτων, ο µετασχηµατισµός µε τη βοήθεια των κυµατιδίων το αναλύει στα λεγόµενα κυµατίδια (wavelets) ψ, που προέρχονται από µια αρχική συνάρτηση, το «µητρικό κυµατίδιο» (mother wavelet) ψ 0, µε µεταβολή της διάρκειάς του (scaled) και µετατόπισή του ως προς το χρόνο (traslated). Ένα από τα πιο διαδεδοµένα µη ορθογώνια «µητρικά κυµατίδια» είναι το κυµατίδιο Morlet. Ένας από τους λόγους που συντελούν στην ευρεία εφαρµογή του κυµατιδίου Morlet είναι και το γεγονός ότι η ισοδύναµη περίοδος Fourier και η κλίµακα του κυµατιδίου είναι περίπου ίσες. Ο συνεχής κυµατιδιακός µετασχηµατισµός µιας διακριτής χρονοσειράς x ορίζεται από την περιέλιξη του x µε τη µεταβαλλόµενη σε διάρκεια (scaled) και µετατοπισµένη (traslated) στο χρόνο εκδοχή του «µητρικού κυµατιδίου» (Torrece ad Combo, 1998). Μια άλλη µέθοδος υπολογισµού των κυµατιδιακών συντελεστών είναι µέσω του θεωρήµατος περιέλιξης (covolutio theorem) και της φασµατικής απεικόνισης του κυµατιδιακού µετασχηµατισµού (Farge, 1992): N 1 k= 0 ( s ω ) * iω kδ t W (s) = x ψ e (1) k k όπου ω k είναι η γωνιακή συχνότητα, s η παράµετρος διάρκειας του κυµατιδίου που καθορίζει το πλάτος του (Massel, 2001), ψ * το συζυγές του κυµατιδίου ψ, ενώ είναι ο τοπικός χρονικός δείκτης κατά µήκος του οποίου γίνεται η µετατόπιση ως προς το χρόνο. Με χρήση της σχέσης (1) και µιας τυπικής ρουτίνας Fourier µπορεί να υπολογιστεί ο συνεχής κυµατιδιακός µετασχηµατισµός για κάθε σηµείο ταυτόχρονα και αποτελεσµατικά (Torrece ad Combo, 1998). Το φάσµα ισχύος του κυµατιδίου (wavelet power spectrum) ορίζεται ως το τετράγωνο 2 της απόλυτης τιµής του κυµατιδιακού µετασχηµατισµού W (s) και παρέχει ένα µέτρο της διακύµανσης του σήµατος σε κάθε κλίµακα (περίοδο) και κάθε χρονική στιγµή. Στο Σχήµα 2 1 παρουσιάζεται το κανονικοποιηµένο φάσµα ισχύος του κυµατιδίου 2 W (s) /σ για τις µέγιστες ηµερήσιες τιµές του σηµαντικού ύψους κύµατος σε σταθµό του Θρακικού Πελάγους (40.65 Ν, 25.6 Ε) κοντά στην περιοχή της Αλεξανδρούπολης. Πριν την εφαρµογή της µεθόδου πραγµατοποιείται κανονικοποίηση των τιµών µε την αφαίρεση της 108
µέσης τιµής του σήµατος, προκειµένου να καθοριστεί η χρονική σειρά διακύµανσης του σηµαντικού ύψους κύµατος και για τις δύο χρονοσειρές. Η εικόνα του κυµατιδιακού φάσµατος που αντιστοιχεί στις τρίωρες παρατηρήσεις παραλείπεται χάριν συντοµίας, εφόσον οδηγεί ποιοτικά στα ίδια συµπεράσµατα µε αυτά που προκύπτουν από την ανάλυση των ηµερήσιων µέγιστων τιµών. Στο Σχήµα 1, διακρίνεται µια συνεχής κοίλη γραµµή, ο κώνος επιρροής (coe of ifluece). Οι αιχµές στην περιοχή αυτή έχουν µειωθεί σηµαντικά εξαιτίας της συµπλήρωσης της χρονοσειράς στα άκρα µε µηδενικά (προκειµένου να αντιµετωπιστούν τα αποτελέσµατα πεπερασµένου πλάτους (edge effects) και να υπολογιστούν οι κυµατιδιακοί συντελεστές µε χρήση της εξίσωσης (1)). εν είναι σαφές εάν στην περιοχή αυτή υπάρχει σηµαντική µεταβολή της διακύµανσης ή πρόκειται για ένα τεχνούργηµα της συµπλήρωσης µε µηδενικά, για το λόγο αυτό στην ανάλυση που ακολουθεί η περιοχή κάτω από τον κώνο επιρροής αγνοείται. Προκειµένου να πραγµατοποιηθούν έλεγχοι για µη-στάσιµες µεταβολές στη διακύµανση των τιµών του σηµαντικού ύψους κύµατος, επιλέγεται το καθολικό κυµατιδιακό φάσµα (global wavelet spectrum). Το καθολικό κυµατιδιακό φάσµα για τη χρονοσειρά των µέγιστων ηµερήσιων τιµών υπολογίζεται: N 1 2 2 1 W (s) = W (s) (2) N = 0 και παρουσιάζεται (συµπαγής γραµµή) για τις µέγιστες ηµερήσιες τιµές του σηµαντικού ύψους κύµατος του υπό µελέτη σταθµού στο Σχήµα 2. Το καθολικό κυµατιδιακό φάσµα για την τρίωρη χρονοσειρά εµφανίζει παρόµοια µορφή. Για να ελεγχθεί η στατιστική σηµαντικότητα των αιχµών του κυµατιδιακού φάσµατος, δηλαδή για να αξιολογηθεί εάν πρόκειται για πραγµατικά χαρακτηριστικά µε ένα συγκεκριµένο επίπεδο εµπιστοσύνης, ορίζεται ένα θεωρητικό φάσµα κόκκινου θορύβου και συγκρίνεται µε το καθολικό κυµατιδιακό φάσµα που προέκυψε παραπάνω. Το φάσµα αυτό περιγράφεται από ένα µονοµεταβλητό µοντέλο AR µε συντελεστή αυτοσυσχέτισης που προκύπτει από τα ίδια τα δεδοµένα. Για τις τρίωρες και τις µέγιστες ηµερήσιες παρατηρήσεις ο συντελεστής αυτός προέκυψε α=0.96 και α=0.76, αντίστοιχα. Για τις µέγιστες ηµερήσιες τιµές, το φάσµα αυτό φαίνεται στο Σχήµα 2 µε διακεκοµµένη γραµµή. Προκειµένου να εξεταστούν διακυµάνσεις στην ισχύ σε ένα εύρος κλιµάκων (scales) ορίζεται το κυµατιδιακό φάσµα για διάστηµα κλιµάκων (scale-averaged wavelet power spectrum) ως το σταθµισµένο άθροισµα της κυµατικής ισχύος µεταξύ των κλιµάκων s 1 και s 2 (Torrece ad Combo, 1998): W 2 δ δ = C = 2 t δ = 1 W (s ) s 2 (3) όπου το δ εξαρτάται από το πλάτος της κυµατιδιακής συνάρτησης στο χώρο των συχνοτήτων (εδώ δ =0.25) και C δ είναι µια σταθερά για κάθε κυµατιδιακή συνάρτηση (για το κυµατίδιο Morlet C δ =0.776). Στο Σχήµα 3 παρουσιάζεται το κυµατιδιακό φάσµα του σηµαντικού ύψους κύµατος του υπό εξέταση σταθµού για διάστηµα κλιµάκων 0.8-1.2 έτη. 109
Σχήµα 1. Κανονικοποιηµένο κυµατιδιακό φάσµα ισχύος για τις µέγιστες ηµερήσιες τιµές σηµαντικού ύψους κύµατος µε χρήση του κυµατιδίου Morlet Figure 1. Normalized wavelet power spectrum for the daily maxima of sigificat wave height usig the Morlet wavelet. Σχήµα 2. Το καθολικό κυµατιδιακό φάσµα για τις µέγιστες ηµερήσιες τιµές του σηµαντικού ύψους κύµατος και το 95% επίπεδο εµπιστοσύνης για αυτό µε α=0.76 Figure 2. The global wavelet spectrum for the daily maxima of the sigificat wave height ad its 95% cofidece level for α=0.76 Σχήµα 3. Κυµατιδιακό φάσµα για διάστηµα κλιµάκων 0.8-1.2 χρόνια για τις µέγιστες ηµερήσιες τιµές σηµαντικού ύψους κύµατος και το 95% επίπεδο εµπιστοσύνης για α=0.76 Figure 3. Scale- averaged wavelet power spectrum over the 0.8-1.2 years bad for the daily maxima of the sigificat wave height ad the 95% cofidece level for α=0.76. 110
Από το Σχήµα 1 είναι εµφανής µια µεταβολή της τάξης του ενός έτους σε όλο το µήκος της χρονοσειράς. Στην περιοχή αυτή το κανονικοποιηµένο κυµατιδιακό φάσµα παίρνει µέγιστες τιµές. Η παρατήρηση αυτή µπορεί να επεξηγηθεί από το γεγονός ότι στο πλαίσιο των περιβαλλοντικών διαδικασιών, τα φαινόµενα µη-στασιµότητας είναι έκδηλα κυρίως λόγω των εποχικών µεταβολών και λόγω των διαφορετικών κλιµατικών συνθηκών στους διάφορους µήνες του έτους. Στο Σχήµα 2, η ετήσια αυτή «περιοδική» µεταβολή είναι επίσης εµφανής και παρουσιάζεται ως στατιστικά σηµαντική σε επίπεδο σηµαντικότητας 5%. Το χαρακτηριστικό αυτό είναι έντονο και στατιστικά σηµαντικό και στην τρίωρη χρονοσειρά. Από το κυµατιδιακό φάσµα για διάστηµα κλιµάκων στην περιοχή του ενός έτους (πιο συγκεκριµένα 0.8-1.2 έτη) και το επίπεδο εµπιστοσύνης 95% (Σχήµα 3), είναι εµφανές ότι η ετήσια «περιοδική» µεταβολή είναι σηµαντική σε επίπεδο σηµαντικότητας 5% για το σύνολο του διαστήµατος 1995-2004. 3. ΕΠΑΓΩΓΗ ΣΕ ΑΚΡΑΙΑ ΕΠΙΠΕ Α ΤΙΜΩΝ Οι µέθοδοι ακραίων τιµών χρησιµοποιούνται συνήθως µε στόχο την επαγωγή (extrapolatio) σε πιο ακραία επίπεδα µιας µεταβλητής, σε σχέση µε αυτά που έχουν παρατηρηθεί. Μια κρίσιµη υπόθεση της θεωρίας των ακραίων τιµών είναι ότι τα δεδοµένα είναι ανεξάρτητες και πανοµοιότυπα κατανεµηµένες µεταβλητές (idepedet ad idetically distributed (iid)) (Coles, 2001). Για το λόγο αυτό στην ανάλυση που ακολουθεί χρησιµοποιούνται µόνο οι µέγιστες ηµερήσιες τιµές σηµαντικού ύψους κύµατος. Η επιλογή των τιµών αυτών είναι ένας απλός τρόπος να µειωθεί η βραχυπρόθεσµη συσχέτιση µεταξύ των διαδοχικών παρατηρήσεων, αν και το ζήτηµα απαιτεί περαιτέρω διερεύνηση. Η σηµειακή ανέλιξη Poisso είναι ένα προσφιλές µοντέλο ακραίων τιµών, που ενοποιεί σε ένα γενικότερο πλαίσιο τα µοντέλα των µέγιστων τιµών των «µπλοκ» και την οριακή κατανοµή GPd (Geeralized Pareto distributio). Η επιλογή του ορίου u της ανέλιξης είναι ένα ζήτηµα εξισορρόπησης µεταξύ της µεροληψίας και της διακύµανσης. Ένα πολύ χαµηλό όριο παραβιάζει πιθανότατα την ασυµπτωτική βάση του µοντέλου, προκαλώντας µεροληψία ενώ ένα όριο αρκετά υψηλό παράγει λίγες υπερβάσεις µε τις οποίες το µοντέλο θα πρέπει να εκτιµηθεί, προκαλώντας υψηλή διακύµανση (Daviso ad Smith, 1990). Στη συγκεκριµένη εφαρµογή χρησιµοποιήθηκε ως όριο η τιµή του 1.5m για το σηµαντικό ύψος κύµατος. Η συνάρτηση έντασης της µη-οµογενούς ανέλιξης Poisso είναι: λ θ (x) = 1 σ x µ {1 + ξ( )} σ (ξ + 1)/ξ + (4) όπου µ, σ, ξ οι παράµετροι θέσεως, κλίµακας και σχήµατος της ανέλιξης, αντίστοιχα και x οι υπερβάσεις του ορίου u (u= 1.5m στη συγκεκριµένη εφαρµογή). Εάν u είναι ο αριθµός των υπερβάσεων του ορίου u και y ο αριθµός των παρατηρήσεων ανά έτος, το διάνυσµα των παραµέτρων θ=(µ, σ, ξ) υπολογίζεται µε τη µέθοδο της Μέγιστης Πιθανοφάνειας (MLE) µε µεγιστοποίηση ως προς θ της συνάρτησης: 111
u L( θ ; x) = exp(- Λ θ [u, )) λ θ (x i ) µε = u Λ θ [u, ) λ θ (x)dx y i= 1 (5) Οι µη-στάσιµες διαδικασίες έχουν χαρακτηριστικά που µεταβάλλονται συστηµατικά στο χρόνο, πιθανότατα εξαιτίας κλιµατικών διαφορών ανά τους µήνες, ή υπό τη µορφή τάσεων ή ίσως εξαιτίας των κλιµατικών µεταβολών µεγάλης κλίµακας. Στην περίπτωση αυτή, συνηθίζεται να υιοθετείται µια πραγµατική προσέγγιση χρήσης τυπικών µοντέλων ακραίων τιµών, ως θεµελιώδη πρότυπα που µπορούν να βελτιωθούν µε στατιστική µοντελοποίηση. Στην περίπτωση που µελετάται, επιχειρείται η ενσωµάτωση της «περιοδικής» µεταβολής που εντοπίστηκε στην Ενότητα 2, στην παράµετρο θέσεως (µ) του µοντέλου ακραίων τιµών. Προκύπτει, κατά αυτό τον τρόπο, ένα µοντέλο µε διαφορετική παράµετρο θέσεως (µ) σε κάθε ηµέρα, που αποτελείται από µια σταθερή ποσότητα και το τµήµα που αντιστοιχεί στις «περιοδικότητες» που έχουν εντοπιστεί. Έτσι, πραγµατοποιείται ανασυγκρότηση του τµήµατος της χρονοσειράς µεταξύ των κλιµάκων στις οποίες έχει εντοπιστεί η αιχµή του καθολικού κυµατιδιακού φάσµατος. Στη συνέχεια, το ανασυγκροτηµένο αυτό τµήµα, προστίθεται στην παράµετρο θέσεως (µ) της ανέλιξης Poisso και η µέση εκτιµήτρια της παραµέτρου υπολογίζεται για τις υπερβάσεις του ορίου u=1.5m µε τη µέθοδο της Μέγιστης Πιθανοφάνειας. Το ανασυγκροτηµένο τµήµα, που φαίνεται στο Σχήµα 4 (µε αφαίρεση της µέσης τιµής της χρονοσειράς), είναι το άθροισµα του πραγµατικού µέρους του κυµατιδιακού µετασχηµατισµού στις κλίµακες є [ 1, 2 ], µε 1 =0.8 και 2 =1.2 (Torrece ad Combo, 1998): δ δt R{W (s )} x = (6) 1/2 C ψ (0) s δ 1/2 0 = 2 = 1 Σχήµα 4. Ανασυγκροτηµένο τµήµα χρονοσειράς ηµερήσιων µέγιστων τιµών (χωρίς τη µέση τιµή) για κλίµακες στο διάστηµα [0.8, 1.2] Figure 4. Recostructed part of the series of daily maxima (without the mea value) for scales i the iterval [0.8, 1.2] Ένας από τους βασικότερους στόχους της ανάλυσης των ακραίων τιµών είναι και η εκτίµηση του επιπέδου επαναφοράς T χρόνων, u(t). Στην περίπτωση µη-στάσιµων φαινοµένων, εάν z m είναι το επίπεδο επαναφοράς των m ετών και ο αριθµός 112
παρατηρήσεων ανά έτος, το z m υπολογίζεται από τη σχέση (Coles, 2001): i= 1 logp = log(1 1/m) i (7) Στον Πίνακα 1 παρουσιάζονται οι µέσες τιµές των επιπέδων επαναφοράς για περιόδους επαναφοράς 50 και 100 ετών στις περιπτώσεις που πραγµατοποιείται ανάλυση ακραίων τιµών: (α) µε υπόθεση στασιµότητας, (β) µε υπόθεση µη-στασιµότητας και ενσωµάτωση µιας συνηµιτονοειδούς περιοδικότητας στην παράµετρο θέσεως και (γ) µε υπόθεση µη-στασιµότητας και ενσωµάτωση της «περιοδικότητας» που προκύπτει από την εξίσωση (6), στην παράµετρο θέσεως. Οι εκτιµήτριες της µέσης τιµής του επιπέδου επαναφοράς 50 και 100 ετών για την προσέγγιση (γ) είναι χαµηλότερες κατά 4.7-4.9% αντίστοιχα, σε σχέση µε αυτές των προσεγγίσεων (α) και (β), οι οποίες είναι περίπου ίσες. Πρέπει να σηµειωθεί ότι η χρήση της συνάρτησης συνηµιτόνου µε περίοδο ένα έτος της προσέγγισης (β), εκτός του γεγονότος ότι δε διαφοροποίησε τα αποτελέσµατα του µοντέλου, αποδείχτηκε και στατιστικά µη σηµαντική (µε χρήση της στατιστικής απόκλισης), κάτι που, όπως αποδείχτηκε, δεν ισχύει για την προσέγγιση (γ). Πίνακας 1. Επίπεδα επαναφοράς σηµαντικού ύψους κύµατος για 50 και 100 έτη Table 1. Retur levels of sigificat wave height for 50 ad 100 years Περίοδος επαναφοράς 50 χρόνια 100 χρόνια (α) 3.11 (m) 3.20 (m) (β) 3.12 (m) 3.21 (m) (γ) 2.98-3.00 (m) 3.06-3.09 (m) 4. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ-ΣΧΟΛΙΑ Στην παρούσα εργασία, αναλύθηκαν δεδοµένα σηµαντικού ύψους κύµατος σε σταθµό της περιοχής του Β. Αιγαίου µε χρήση της τεχνικής των κυµατιδίων. Τα αποτελέσµατα της ανάλυσης χρησιµοποιήθηκαν στη συνέχεια για την επαγωγή σε ακραία επίπεδα τιµών της µεταβλητής, µε χρήση µιας ανέλιξης Poiso. Από το κανονικοποιηµένο κυµατιδιακό φάσµα ισχύος, το καθολικό κυµατιδιακό φάσµα, καθώς και το κυµατιδιακό φάσµα για διάστηµα κλιµάκων, είναι εµφανής µια µεταβολή µε περίοδο περίπου ενός έτους σε ολόκληρο το µήκος της χρονοσειράς των µέγιστων τιµών. Η ετήσια αυτή «περιοδική» µεταβολή, παρουσιάζεται ως στατιστικά σηµαντική σε επίπεδο σηµαντικότητας 5%. Τα παραπάνω συµπεράσµατα προκύπτουν και από την ανάλυση της αρχικής τρίωρης χρονοσειράς. Η ανασυγκρότηση της χρονοσειράς για διάστηµα κλιµάκων 0.8-1.2χρόνια και η ενσωµάτωσή του ανασυγκροτηµένου διαστήµατος σε ένα µοντέλο ακραίων τιµών, αποτελεί µια µέθοδο να συµπεριληφθεί η µη-στασιµότητα του σηµαντικού ύψους κύµατος στην ανάλυση. Οι εκτιµήτριες της µέσης τιµής του επιπέδου επαναφοράς 50 και 100 ετών για την παραπάνω προσέγγιση είναι χαµηλότερες κατά 4.7-4.9% αντίστοιχα, σε σχέση µε αυτές των υποθέσεων στασιµότητας, καθώς και της ενσωµάτωσης µιας συνηµιτονοειδούς περιοδικότητας στην παράµετρο θέσεως της κατανοµής. Πρέπει να σηµειωθεί ότι η χρήση 113
της συνάρτησης συνηµιτόνου µε περίοδο ένα έτος, εκτός του γεγονότος ότι δε διαφοροποίησε τα αποτελέσµατα του µοντέλου, αποδείχτηκε και στατιστικά µη σηµαντική (µε χρήση της στατιστικής απόκλισης), κάτι που, όπως διαπιστώθηκε, δεν ισχύει για την προσέγγιση µε τη βοήθεια των κυµατιδίων. Ωστόσο, απαιτείται καλύτερη µοντελοποίηση για να αντιµετωπιστούν προβλήµατα συσχέτισης µεταξύ των παρατηρήσεων καθώς και διακύµανσης εντός κάθε έτους. 6. ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Η εργασία πραγµατοποιήθηκε στα πλαίσια του προγράµµατος FLOODsite: Itegrated Flood Risk Aalysis ad Maagemet Methodologies, που χρηµατοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Cotract No: GOCE - CT - 2004-505420). Τα δεδοµένα του WAM είναι από το ΕΛΚΕΘΕ. Στις αναλύσεις χρησιµοποιήθηκαν και οι κώδικες των Torrece & Combo (1998). 7. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Coles, S. (2001). A Itroductio to Statistical Modelig of Extreme Values, Spriger Series i Statistics Coles, S. G. ad Taw, J. A. (1996). Modelig extremes of the areal raifall process, Joural of the Royal Statistical Society, B (58), 329-347 Daviso, A. C. ad Smith, R. L. (1990). Models for exceedaces over high thresholds (with discussio), Joural of the Royal Statistical Society, B 52, 393-442 Daubechies, I. (1992). Te Lectures o Wavelets, Society for Idustrial ad Applied Mathematics Farge, M. (1992). Wavelet trasforms ad their applicatios to turbulece, Aual Review of Fluid Mechaics, 24, 395-457 Liu, P. C. (1994). Wavelet spectrum aalysis ad ocea wid waves, Wavelets i Geophysics, E. Foufoula-Georgiou ad P. Kumar, Eds., Academic Press, 151-166 Massel, S. R. (2001). Wavelet aalysis for processig of ocea surface wave records, Ocea Egieerig, 28, 957-987 Meyers, S. D., Kelly, B. G. ad O Brie, J. J. (1993). A itroductio to wavelet aalysis i oceaography ad meteorology: with applicatio to the dispersio of Yaai waves, Mothly Weather Review, 121, 2858-2866 Pickads, J. (1971). The two-dimesioal Poisso process ad extremal processes, Joural of Applied Probability, 8, 745-756 Smith, R. L. (1989). Extreme value aalysis of evirometal time series: a example based o ozoe data (with discussio), Statistical Sciece, 4, 367-393 Torrece, Ch. ad Compo, G. P. (1998). A practical guide to wavelet aalysis, Bulleti of the America Meteorological Society, 79(1), 61-78 Wag, B. ad Wag, Y. (1996). Temporal structure of the Souther Oscillatio as revealed by wave trasform ad wavelet aalysis, Joural of Climate, 9, 1586-1598 114