Δορυφορικές τροχιές Θεωρία-Βασικές Αρχές Σύστημα Αναφοράς Τροχιακών Συντεταγμένων Η μελέτη της τροχιάς ενός δορυφόρου, αφορά τον προσδιορισμό της διαδρομής που ακολουθεί στο διάστημα. Εφαρμόζονται αρχές της ουράνιας μηχανικής στα πρακτικά προβλήματα που αφορούν την κίνηση των πυραύλων, δορυφόρων και άλλων διαστημοπλοίων Ηκίνηση τους εξηγείται συνήθως από τους Νόμους του Κέπλερ, και υπολογίζεται συνήθως από τους Νόμους της Κίνησης και από τον Νόμο της Παγκόσμιας Έλξης του Νεύτωνα Κανονική Τροχιακή Κίνηση διέπεται από τους νόμους του Kepler και του Newton ΙΔΑΝΙΚΗ ΓΗ: Σφαίρα με ομοιόμορφη πυκνότητα συμμετρική κατανομή μάζας Χωρίς ατμόσφαιρα ο δορυφόρος κινείται στο κενό Στην πραγματικότητα, εξ αιτίας ποικίλων διαταρακτικών δυνάμεων έχουμε αποκλίσεις από την κανονική τροχιά που πρέπει να λαμβάνονται υπόψη π.χ. η αλληλεπίδραση με την ανώτερη ατμόσφαιρα της Γης, μέσω τριβών και θέρμανσης με ιδιαίτερες συνέπειες στην κίνηση και κατάσταση των δορυφόρων ος Νόμος του Kepler... Συνέπειες Οι τεχνητοί δορυφόροι της Γης κινούνται σε ελλειπτική τροχιά με το κέντρο της Γης ως μια από τις δύο εστίες Οτύπος της τροχιάς των δορυφόρων της Γης σχεδιάζεται στην αρχή του καθορισμού της αποστολής τους ανάλογα με την εφαρμογή στην οποία στοχεύει η εκάστοτε δορυφορική αποστολή και εξαρτάται από τη λειτουργία των οργάνων τους, (π.χ. την οπτική γωνία απεικόνισης, τη χωρική ανάλυση, τα φασματικά χαρακτηριστικά) και τη προγραμματισμένη κάλυψη της Γης (π.χ. το πλάτος λωρίδας σάρωσης των αισθητήρων, επίγειο ίχνος τροχιάς) κ.ά. ος Νόμος του Kepler... Συνέπειες ος Νόμος του Kepler... Συνέπειες Για να εκτοξευθεί με επιτυχία ένας τεχνητός δορυφόρος, πρέπει να κινηθεί τουλάχιστο με την κρίσιμη ταχύτητα διαφυγής v=(gm/r earth ) / Η ελάχιστη κλίση της τροχιάς = γεωγραφικό πλάτος του σημείου εκτόξευσης Τροχιές με μικρότερη τροχιακή κλίση απαιτούν μεταβατικές τροχιές και τροχιακή μετάθεση υψηλότερο κόστος Νόμος των εμβαδών Τα εμβαδά που διαγράφει η επιβατική ακτίνα είναι ανάλογα με τους χρόνους περιστροφής του δορυφόρου (Αυτό συμβαίνει επειδή η επιβατική ακτίνα δεν έχει σταθερό μήκος επειδή η ταχύτητα αλλάζει) Ελάχιστη ταχύτητα στο απόγειο Μέγιστη ταχύτητα στο περίγειο Κατασκοπευτικοί δορυφόροι σε κατάλληλες τροχιές, ώστε το περίγειο να είναι πάνω από την περιοχή ενδιαφέροντος Τηλεπικοινωνιακοί δορυφόροι σε κατάλληλες τροχιές, ώστε το απόγειο να είναι πάνω από την περιοχή ενδιαφέροντος
3ος Νόμος του Kepler... Συνέπειες Μαθηματική περιγραφή των τροχιών T / a 3 = 4π4 / G Σταθερά της παγκόσμιας έλξης Εάν είναι γνωστός από παρατηρήσεις ο χρόνος που απαιτείται για να συμπληρώσει ένας δορυφόρος την περιφορά του γύρω από τη Γη, τότε εύκολα μπορεί να βρεθεί και η μέση απόσταση του από τη Γη Δορυφόροι σε τροχιές με τον ίδιο ημιάξονα a έχουν την ίδια περίοδο περιστροφής T Γεωστατικοί δορυφόροι: a 7R E Τ 4 hr GPS: a 4R E Τ hr LAGEOS: a 0.R E Τ 3.5 hr Η παραδοσιακά χρησιμοποιούμενη ομάδα στοιχείων a - Μεγάλος ημιάξονας της ελλειπτικής τροχιάς e - Εκκεντρότητα i - Κλίση ως προς τον ισημερινό Μαθηματική περιγραφή των τροχιών Σύστημα Αναφοράς Τροχιακών Συντεταγμένων Η παραδοσιακά χρησιμοποιούμενη ομάδα στοιχείων Ω - Η Ορθή Αναφορά του Ανιόντος Δεσμού ω - Το Όρισμα του Περίγειου ν - Η Αληθής Ανωμαλία Η παραδοσιακά χρησιμοποιούμενη ομάδα στοιχείων που χαρακτηρίζουν μία τροχιά αποκαλείται ομάδα Κεπλέριων στοιχείων 6 Κεπλέρια στοιχεία ορίζουν το σχήμα της ελλειπτικής τροχιάς, τον προσανατολισμό της γύρω από τη Γη, και τη θέση του δορυφόρου στη τροχιά: i, Ω, f, ω, a, e Προσανατολισμός τροχιακού επιπέδου και θέση του περίγειου Ηθέση της έλλειψης της τροχιάς καθορίζεται από 3 γωνίες: Κλίση (i) γωνία του τροχιακού επιπέδου με τον ισημερινό του κεντρικού σώματος (Γη) Ορθή Αναφορά του ανιόντος δεσμού (Ω) η γωνία από τον x-άξονα αναφοράς (από το σημείο της εαρινής ισημερίας) μέχρι το ανοδικό ισημερινό σημείο Όρισμα του Περίγειου (ω) η γωνία από το ανοδικό ισημερινό σημείο μέχρι το περίγειο. Η κλίση της τροχιάς - inclination Μια κλίση 0 o σημαίνει ότι το σώμα σε τροχιά περιστρέφεται γύρω από τον πλανήτη στο επίπεδο του ισημερινού του πλανήτη, προς τη ίδια κατεύθυνση που περιστρέφεται και ο πλανήτης Μια κλίση 90 o υποδηλώνει μία πολική τροχιά, στην οποία ο δορυφόρος περνά από τον βόρειο και τον νότιο πόλο του πλανήτη Μια κλίση 80 ο υποδηλώνει μία ανάδρομη τροχιά (retrograde orbit) στο επίπεδο του ισημερινού.
Η ορθή αναφορά του ανιόντος δεσμού Ή αλλιώς: Ορθή Γωνία Ανοδικού Ισημερινού Σημείου Right Angle of Acending Node, (RAAN) τροχιά Ισημερινός γωνία ανάμεσα στον άξονα του ουράνιου συστήματος και την ευθεία των συνδέσμων (σύνδεσμος ανάβασης) Η ορθή αναφορά του ανιόντος δεσμού/συνδέσμου ανάβασης Το ανοδικό ισημερινό σημείο είναι το σημείο του επιπέδου του ισημερινού από το οποίο περνά ο δορυφόρος κινούμενος από νότο προς βορρά. Αντίστοιχα, το καθοδικό ισημερινό σημείο είναι το σημείο του επιπέδου του ισημερινού από το οποίο περνά ο δορυφόρος κινούμενος από βορρά προς νότο. Το ανοδικό και το καθοδικό ισημερινό σημείο ορίζουν μία ευθεία, η οποία είναι η τομή του επιπέδου της τροχιάς με το ισημερινό επίπεδο Ευθεία των συνδέσμων Vernal Euinox Ω ω Acending Node Διεύθυνση περίγειου Ω - Εκτείνεται από τις 0 μέχρι τις 360 μοίρες το όρισμα του περίγειου Argument of Perigee Η γωνία μετράται στο επίπεδο της τροχιάς και προς την κατεύθυνση της κίνησης. Όταν ω = 0 μοίρες, το περίγειο βρίσκεται στην ίδια θέση με το ανοδικό ισημερινό σημείο. Αυτό σημαίνει ότι ο δορυφόρος θα βρίσκεται κοντύτερα στη γη την ίδια στιγμή που θα διασχίζει τον ισημερινό. Όταν ω = 80 μοίρες, το απόγειο θα βρίσκεται στην ίδια θέση με το Περίγειο Απόγειο: ανοδικό ισημερινό σημείο. Αυτό Ευθεία των αψίδων σημαίνει ότι ο δορυφόρος θα βρίσκεται μακρύτερα από τη Γη Σύνδεσμος ανάβασης την ίδια στιγμή που θα διασχίζει κατάβασης: τον ισημερινό. Ευθεία των συνδέσμων - Μέγεθος και σχήμα της τροχιακής έλλειψης - Θέση του δορυφόρου στο τροχιακό επίπεδο Μεγάλος ημιάξονας (a) μέγεθος της τροχιάς Εκκεντρότητα (e) σχήμα της τροχιάς Αληθής Ανωμαλία (f ή v) Θέση του δορυφόρου στη τροχιά, όπως μετράται από το περίγειο Δύο εναλλακτικές της αληθούς ανωμαλίας γωνίες Η μέση ανωμαλία Η εκκεντρική ανωμαλία Η μέση ανωμαλία mean anomaly Ημέση ανωμαλία (M 0 ) είναι η γωνία κατά την οποία θα είχε κινηθεί ένας δορυφόρος από τη χρονική στιγμή της τελευταίας του διέλευσης από το περίγειο, υποθέτοντας ότι ο δορυφόρος θα κινούταν με σταθερή ταχύτητα σε μία κυκλική τροχιά με εμβαδό ίσο με αυτό της πραγματικής ελλειπτικής του τροχιάς. Είναι μία γωνία που μεταβάλλεται ομοιόμορφα με το χρόνο από τις 0 ως τις 360 μοίρες κατά τη διάρκεια μίας περιστροφής. Ορίζεται στις 0 μοίρες στο περίγειο και είναι επομένως 80 μοίρες στο απόγειο. Η μέση ανωμαλία mean anomaly Ημέση ανωμαλία (M 0 ) είναι η γωνία κατά την οποία θα είχε κινηθεί ένας δορυφόρος από τη χρονική στιγμή της τελευταίας του διέλευσης από το περίγειο, υποθέτοντας ότι ο δορυφόρος θα κινούταν με σταθερή ταχύτητα σε μία κυκλική τροχιά με εμβαδό ίσο με αυτό της πραγματικής ελλειπτικής του τροχιάς. Είναι μία γωνία που μεταβάλλεται ομοιόμορφα με το χρόνο από τις 0 ως τις 360 μοίρες κατά τη διάρκεια μίας περιστροφής. Ορίζεται στις 0 μοίρες στο περίγειο και είναι επομένως 80 μοίρες στο απόγειο. n - Μέση κίνηση π M () t = n( t tp) = ( t tp) T 3
Η εκκεντρική ανωμαλία eccentric anomaly Η εκκεντρική ανωμαλία (Ε) είναι μια γωνιακή παράμετρος που καθορίζει την θέση ενός σώματος που κινείται κατά μήκος μιας ελλειπτικής τροχιάς Καθορίζεται φέρνοντας μια κάθετη γραμμή από το μεγάλο άξονα της έλλειψης μέσω του σημείου P και τον εντοπισμό της τομής της Ρ με τον βοηθητικό κύκλο, έναν κύκλο ακτίνας α (τον ημιάξονα της έλλειψης), που περικλείει ολόκληρη την έλλειψη της τροχιάς. Η ακτίνα του βοηθητικού κύκλου που διέρχεται από το αντίστοιχο σημείο σχηματίζει τη γωνία E με το μεγάλο άξονα Εξίσωση του Kepler Η αληθής ανωμαλία true anomaly Είναι η πραγματική γωνία κατά την οποία μετακινήθηκε ένας δορυφόρος από την τελευταία φορά που πέρασε από το περίγειο. Ισούται με τη μέση ανωμαλία μόνο κατά το περίγειο και το απόγειο για τις ελλειπτικές τροχιές, ενώ για τις κυκλικές τροχιές τα δύο αυτά στοιχεία ταυτίζονται. Ε και f (ή ν) συνδέονται μονοσήμαντα μεταξύ τους f v tan ή tan = e E tan + e Άλλα κεπλέρια στοιχεία Η όρισμα του πλάτους argument of latitude Άλλα κεπλέρια στοιχεία Η όρισμα του πλάτους argument of latitude σε λειτουργία u = f + ω σε δοκιμή συντήρηση εκτός λειτουργίας Ω Τροχιακή θέση και ταχύτητα Epoch (UTC): 0:07:53 AM, Monday, January 8, 008 Eccentricity: 0.000536 Inclination: 5.648 [Ω,i,ω, a,e,f] [x(t), v(t)] Ηθέση του δορυφόρου στη τροχιά σαν συνάρτηση του χρόνου t ορίζεται με ένα από τα στοιχεία: f αληθής ανωμαλία E έκκεντρη ανωμαλία Μ μέση ανωμαλία Μ(t)=n (t-t p ) n : μέση γωνιακή ταχύτητα (μέση κίνηση) t p : χρόνος διέλευσης από το περίγειο Perigee Height: 334 km Apogee Height: Right Acenion of Acending Node: 34 km.38 Orbit Number at Epoch: 563 Revolution per Day: 5.775404 Nov 5, 007 άποψη από το διαστημικό λεωφορείο 4
Παράδειγμα Κεπλέριων στοιχείων (ISS) Τροχιακή κλίση i TWO LINE ELEMENT (TLE) SET - ISS 5544U 98067A 0906.5440963.0000596 00000-0 8463-4 0 9009 5544 5.6398 33.909 000935 79.9705 80.498 5.707 976 Satellite: ISS Catalog Number: 5544 Epoch time: 0906.5440963 = yrday.fracday Τομή των επιπέδων της τροχιάς και του Ισημερινού (από επάνω) i κλίση (γωνία) Element et: 900 Inclination: 5.6398 deg RA of acending node: 33.909 deg Eccentricity:.000935 Arg of perigee: 79.9705 deg Mean anomaly: 80.498 deg Mean motion: 5.707 rev/day ( υπολογίζεται το a) Decay rate:.05960e-04 rev/day^ Epoch rev: 97 Checkum: 35 (από κάτω) Acending Node Ισημερινό επίπεδο ( προέκταση του Ισημερινού της Γης ) Τυπικές κλίσεις 0 - Γεωστατικοί δορ. 5 - ISS 98 - Δορ. τηλεπισκόπησης Ανιόντας δεσμός - το σημείο που ο δορυφόρος ανεβαίνει από το νότιο στο βόρειο ημισφαίριο Κεπλέρια στοιχεία e, a, και v Διάνυσμα κατάστασης ενός δορυφόρου e εκκεντρότητα (0.0 to.0) Apogee 80 50 a Μεγάλος ημιάξονας ( σε km) 0 90 v Αληθής ανωμαλία (angle) Perigee 0 [ r, r& ] Συνιστώσες του διανύσματος θέσης και του διανύσματος ταχύτητας του δορυφόρου r = [ rx, ry, rz ] ή r = [ x, y, z] r& = [ r& x, r& y, r& z ] ή r = [ x&, y&, z& ] e=0.8 / e=0.0 Apo/Peri gee Γη Apo/Peri lune Σελήνη Apo/Peri helion Ήλιος Apo/Peri api άλλο σώμα e σχήμα έλλειψης a μέγεθος έλλειψης v γωνιακή απόσταση από περίγειο Από τα τροχιακά στοιχεία Οι συντεταγμένες του δορυφόρου υπολογίζονται στο επίπεδο της τροχιάς ως συνάρτηση του χρόνου Αναγκαίο να μετασχηματιστούν στο επίγειο σύστημα αναφοράς προκειμένου να χρησιμοποιηθούν για τη γεωαναφορά των μετρήσεων από τα όργανα του δορυφόρου y orbit P(x,y) Διάνυσμα κατάστασης καρτεσιανές συνταγμένες θέσης x, y, z και ταχύτητας ν x, ν y, v z f x orbit 5
Τροχιές & Συστήματα Αναφοράς Δορυφόρος στο περίγειο του Δορυφόρος σε μετέπειτα τυχαία θέση στην τροχιά του Ηδορυφορική τροχιά περιγράφεται στο αδρανειακό σύστημα [ Χ RA, Y RA, Z RA ] Οεπίγειος εντοπισμός αναφέρεται στο γήινο σύστημα αναφοράς [ Χ CT, Y CT, Z CT ] Βάση των αρχών της Ουράνιας Μηχανικής 3 άξονες ορίζουν το γεωκεντρικό σύστημα, προς: τον Πόλο, το Εαρινό Σημείο, και κάθετα προς το επίπεδο τους Ουράνιο σύστημα αναφοράς Επίγειο σύστημα αναφοράς X RA Χ CT Z CT Z RA Y RA Y CT Από το τροχιακό επίπεδο σε καρτεσιανές συντεταγμένες του δορυφόρου Διάνυσμα r orbit στο επίπεδο της τροχιάς r orbit f Πως συνδέεται το σύστημα αναφοράς της τροχιάς δορυφόρου σε κεντρικό πεδίο δυνάμεων με το ουράνιο σύστημα και πως με το επίγειο σύστημα; r orbit f Οι συντεταγμένες στο σύστημα της τροχιάς είναι: co f = r orbit in f = a 0 a co E e ( e ) in E 0 Ησύνδεση με τις ουράνιες συντεταγμένες x CT : Το τροχιακό σύστημα αναφοράς έχει τους άξονες, στο επίπεδο της τροχιάς, τον 3 κάθετο σε αυτό και τον προς το περίγειο = R3( ω) R ( i) R3( Ω ) x = R x x = R3( Ω ) R ( i) R3( ω) x CT Διάνυσμα κατάστασης ενός δορυφόρου r f και συνεπώς x CT : r co f = R3 ( GAST Ω ) R ( i) R3( ω) r in f 0 r cou = R ( ) ( ) 3 GAST Ω R i r in u 0 Οι επίγειες συντεταγμένες x CT συνδέονται με τις ουράνιες x RA μέσω: x CT = R3 ( GAST ) x RA x CT = R3( GAST Ω ) R ( i) R3( ω) u = ω +f = όρισμα του πλάτους Ω GAST = L = επίγειο μήκος του συνδέσμου ανάβασης u Παράδειγμα: οι επίγειες συντεταγμένες του δορυφόρου στο GPS; Σχέσεις υπολογισμού των επίγειων συντεταγμένων (X, Y, Z) του δορυφόρου με βάση τα στοιχεία της μεταδιδόμενης εφημερίδας ΟΙ ΛΕΠΤΟΜΕΡΕΙΕΣ OΤΑΝ ΜΙΛΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΤΟ GPS GM n0 = 3 a εξίσωση Kepler M = E ein E 0 = ω0 + f, L = L t t 0 + Ω ( t te) ωe( 0) M= M + n + n t e E 0 ( 0 Δ )( t ) f = arctan e E co E e in u = u + C co u + C in u 0 uc 0 u 0 i= i + i ( t t ) + C cou + C inu 0 e ic 0 i 0 r0 = a( eco E), r = r + C cou + C in u 0 rc 0 r 0 6
Ελκτικές (διαταρακτικές) δυνάμεις Σημαντικές ελκτικές δυνάμεις F c : Έλξη κεντρικού γήινου πεδίου βαρύτητας F nc : Παρέλξεις βαρύτητας της Γης F m, F : Έλξεις βαρύτητας της Σελήνης και Ήλιου F r : Δύναμη ηλιακής ακτινοβολίας Άλλες δυνάμεις F a : Ατμοσφαιρική τριβή Παλιρροιακές δυνάμεις Μαγνητικές δυνάμεις Παρέλξεις της βαρύτητας της Γης Επίδραση στη γραμμή των αψίδων Εξ αιτίας της πλάτυνσης της Γης, η γραμμή των αψίδων στρέφεται γύρω από τη γήινο άξονα περιστροφής Παρέλξεις Βαρύτητας Οι αποκλίσεις από την κανονική τροχιά δεν ξεπερνούν τα μερικά χιλιόμετρα για κάθε τροχιά Επιδράσεις υπολογίζονται στις τρεις συνιστώσες τους δ R : κατά μήκος της επιβατικής ακτίνας δ Τ : κατά μήκος της τροχιάς δ W : εγκάρσια της τροχιάς Τριτογενείς Πλανητικές Επιδράσεις ΑΜΕΣΗ ΕΠΙΔΡΑΣΗ Η έλξη της βαρύτητας της Σελήνης είναι η σημαντικότερη πλανητική επίδραση ΗεπίδρασητουΉλιου περίπου το μισό από την επίδραση της Σελήνης ΕΜΜΕΣΗ ΕΠΙΔΡΑΣΗ Οι παλίρροιες δημιουργούν μεταβολές στη γήινη βαρύτητα παρέλξεις στους δορυφόρους Ηλιακή Ακτινοβολία και Ατμοσφαιρική Τριβή Ηασκούμενη δύναμη F a εξαρτάται από την ατμοσφαιρική πυκνότητα, την μάζα και ταχύτητα του δορυφόρου Ηασκούμενη δύναμη F r εξαρτάται από το αν ο δορυφόρος είναι εντός/εκτός της σκιάς της Γης, την επιφάνεια που εκτίθεται στην ηλιακή ακτινοβολία και τη μάζα του δορυφόρου, και την γήινη αντανάκλαση της ακτινοβολίας Για το GPS: F r -0 m F a 0 Κάτω από την επίδραση των τριβών Το περίγειο παραμένει το ίδιο, η απόσταση του απόγειου ελαττώνεται 7
Οι εκπεμπόμενες τροχιακές εφημερίδες του GPS π.χ. Πως υπολογίζονται οι συντεταγμένες ενός δορυφόρου GPS από τα στοιχεία της εκπεμπόμενης εφημερίδας??? Θα το εξετάσουμε σύντομα Όταν αναφερθούμε λεπτομερέστερα στο σύστημα GPS 8