ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΑΝΤΟΧΗ ΠΛΟΙΟΥ. Ασκήσεις 1 έως 47 Εκφωνήσεις και λύσεις

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Μ. ΣΑΜΟΥΗΛΙ ΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 010-011 ΑΝΤΟΧΗ ΠΛΟΙΟΥ Ασκήσεις 1 έως 47 Εκφωνήσεις και λύσεις Για αποκλειστική χρήση από τους φοιτητές που παρακολουθούν το μάθημα «Αντοχή Πλοίου», που διδάσκεται στο 5 ο εξάμηνο της Σχολής Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχανικών. Ο διδάσκων Μ.Σ.ΣΑΜΟΥΗΛΙ ΗΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η Να υπολογίσετε τις δυνάμεις που ασκούνται από την ελαστική στήριξη στα δοκάρια των ακολούθων σχημάτων. Ποιά η θέση των δοκαριών στην κατάσταση ισορροπίας σε κάθε περίπτωση; Τι παραδοχές θεωρήθηκαν κατά την επίλυση; Να υπολογιστούν οι κατανομές διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών και στις δυο περιπτώσεις. α) 10 kn 8 m 4 m 0kN/m 10kN/m β) 4m 4m 4m 4m 10 kn kn/m 4 kn/m 1(kN/m)/m ΛΥΣΗ 1 ης ΑΣΚΗΣΗΣ Περίπρτωση α) Από την ισορροπία των δυνάμεων κατά τον διεύθυνση της εξωτερικά εφαρμοζόμενης δύναμης και την εξίσωση ισορροπίας των ροπών, προκύπτει ότι F 1 =3.33kN, και F =6.67kN, όπου F 1 και F οι δυνάμεις που ασκεί το αριστερό και δεξί ελατήριο στο δοκάρι αντίστοιχα. Οι αντίστοιχες μετατοπίσεις του ελατηρίου είναι δ 1 =16,7 cm και δ =33,4 cm. Η γωνία που σχηματίζει το δοκάρι σε σχέση με την θέση του στην άφορτη κατάσταση είναι 0,167/1=0.8º. Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010

Ακολουθούν τα διαγράμματα διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών (η ακολουθούμενη σύμβαση φαίνεται δεξιά θετικές τιμές): mx qx qx qx dx x mx mx dx x q(x): m(x): ΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ΥΝΑΜΗ ΚΑΜΠΤΙΚΗ ΡΟΠΗ ιαμτητικές δυνάμεις 6.67-3.33 Καμπτικές ροπές (θετική ροπή προκαλεί εφελκυσμό στην άνω ίνα) Για μηδενική ροπή στο αριστερό άκρο, ισχύει: 0 x 8m m(x)=-3.33x 8m x 1m m(x)=-3.33x+10(x-8)=6.67x-80 m(0)=0 m(8m)=-6.66knm m(1m)=0-6.66knm 0 Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 3

εχόμαστε ότι το δοκάρι δε μετακινείται κατά τη δθεύθυνση του άξονα του και δεν αναπτύσσονται αξονικές δυνάμεις. Επίσης ότι η κλίση λόγω μετακίνησης των άκρων του είναι μικρή (ισχύει βρέθηκε ότι είναι μικρότερη από 1º). Παρατηρούμε επίσης ότι στην περίπτωση που εξετάζεται και με την παραδοχή ότι το δοκάρι είναι άκαμπτο η σταθερά των ελατηρίων δεν επηρεάζει τη λύση, η οποία προκύπτει μόνο θεωρώντας τις εξισώσεις ισορροπίας (ισοστατικό πρόβλημα). Περίπτωση β) Θεωρώντας ότι το δοκάρι δε παραμορφούται, η συμπίεση των ελατηρίων δ(x) σε όλη τη δοκό είναι γραμμική. Λαμβάνοντας υπόψη επίσης ότι και η σταθερά του ελατηρίου είναι σταθερή κατά μήκος της δοκού, η αντίδραση από τα ελατήρια θα είναι γραμμική. Από τα δεδομένα προκύπτει ότι οι δυνάμεις που ασκούνται στο δοκάρι, εκτός των αντιδράσεων των ελατηρίων έχουν συνισταμένη KN, που εφαρμόζεται σε απόσταση 8,85 m από το αριστερό άκρο του δοκαριού, ως φαίνεται στο σχήμα. Η τραπεζοειδής κατανομή της αντίδρασης των ελατηρίων μπορεί να προσδιοριστεί από τα παραπάνω στοιχεία της συνισταμένης των δυνάμεων και άρα αν a, b η αντίδραση από τα ελατήρια στα δύο άκρα σε KN/m, ισχύει: a b 16 1 a 16 8 b a16 16 8,85 3 Από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει ότι a=0,9375 kn/m και b=1,815 kn/m και η αντίδραση των ελατηρίων κατά μήκος του δοκαριού σε kn/m ισούται με f(x)= 0,9375+0,54688 x, όπου x η απόσταση από το άκρο όπου η τιμή είναι a σε m. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η συνολική κατανεμημένη φόρτιση στο δοκάρι p(x) σε kn/m είναι (ακολουθείται η σύμβαση προσήμων ως την προηγούμενη άσκηση): 0.9375 0,05469 x 0 x 4 0.9375 0,05469 x 0 x 4 p(x) 0,5 x 0.9375 0,05469 x 4 x 8 0.9375 0, 44531 x 4 x 8 0.9375 0,05469 x 8 x 16 0.9375 0,05469 x 8 x 16 Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 4

Εκτός της κατανεμημένης φόρτισης στο δοκάρι ασκείται και η σημειακή δύναμη των 10kN σε απόσταση 1 m από το δεξί άκρο. Η κατανομή της διατμητικής δύναμης προκύπτει από την ολοκλήρωση της φόρτισης (η διατμητική δύναμη Q(x) σε kn/m): 0.9375 x 0,0734 x 0 x 4 0,5 x 16 0.9375 x 0,0734 x 4 x 8 1 0.9375 x 0,0734 x 8 x 1 1 10 0.9375 x 0,0734 x 1 x 16 Q x 0.9375 x 0,0734 x 0 x 4 4 0.9375 x 0,66 x 4 x 8 1 0.9375 x 0, 0734 x 8 x 1 0.9375 x 0,0734 x 1 x 16 Ολοκληρώνοντας τις διατμητικές δυνάμεις προκύπτουν οι καμπτικές ροπές: 0.9375 x 0,0734 x 0 x 4 0,5 x 16 0.9375 x 0,0734 x 4 x 8 1 0.9375 x 0,0734 x 8 x 1 1 10 0.9375 x 0,0734 x 1 x 16 M x 3 0.9375 x 0,0734 3 x 0 x 4 8,083 4 x 4 0.9375 x 16 0,66 3 x 64 4 x 8 13,333 1 x 8 0.9375 x 64 0,0734 3 x 51 8 x 1 13,915 x 1 0.9375 x 144 0,0734 3 x 178 1 x 16 3 3 3 Η κατανομές αυτές φαίνονται στο επόμενο σχήμα (η σύμβαση για τα πρόσημα ως την προηγούμενη περίπτωση): Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 5

ΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ΥΝΑΜΗ ΣΕ kn 8 6 4 0 - -4-6 -8 0 4 8 1 16 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΑΠΟ ΑΡΟ ΑΚΡΟ ΣΕ m 0 - -4-6 -8-10 -1-14 -16 ΚΑΜΠΤΙΚΗ ΡΟΠΗ ΣΕ kn-m με μέγιστες απόλυτες τιμές για τη διατμητική δύναμη 6.81 Ν και για τη ροπή 14.87 kn-m. Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 6

ΑΣΚΗΣΗ η ίνεται το δοκάρι του σχήματος, μήκους 90m, το βάρος του οποίου στηρίζεται από μία ομοιόμορφα κατανεμημέμη δύναμη στο άκρο FE και μία σημειακή δύναμη στο άκρο AE. Λαμβάνοντας υπόψη τα στοιχεία που δίνονται στο σχήμα να προσδιορίσετε και σχεδιάσετε τα διαγράμματα διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών. 9t/m Τραπεζοειδής κατανομή βάρους 11t/m AE 60m 90m FE Σημειακή δύναμη Ομοιόμορφη κατανομή δύναμης στήριξης ΛΥΣΗ ης ΑΣΚΗΣΗΣ Στο σχήμα φαίνεται η σύμβαση που ακολουθείται για τα πρόσημα. Υπολογισμός σημειακής δύναμης F και ομοιόμορφης πίεσης b ( με LG συμβολίζεται η απόσταση του κέντρου βάρους από το άκρο AE): 9 90 45 11 9 90 90 3 LG m 46,5m 9 11 90 900m 46,5m 30m b (90 15)m b 18,6 t m 9 11 t F 30mb 90m m F 558t 900t F 34t Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 7

Υπολογισμός κατανομής διατμητικής δύναμης Q (x είναι η απόσταση από το άκρο AE και σε αγκύλες φαίνονται οι χρησιμοποιούμενες μονάδες): 0 x 60: 11 9 x[m] 9 9 Q[t] 34 90 x[m] x[m] Q[t] 34 9 x[m] 90 60 x 90 : x[m] Q[t] 34 9 x[m] 18,6 x[m] 60 90 x[m] Q[t] 774 9, 6 x[m] 90 Η διατμητική δύναμη στα άκρα και σε απόσταση 60m από το AE είναι ίση με: Q(0) 34t, Q(90m) 0 11 9 60 9 9 Q(60m) 34t 90 60t 3t Η κατανομή της διατμητικής δύναμης είναι δευτέρου βαθμού, και μονότονα μεταβαλλόμενη μεταξύ του AE και απόστασης 60m από αυτό και από το προηγούμενο σημείο έως το άκρο FE. Ακρότατα παρουσιάζονται στα άκρα και σε απόσταση 60m από το AE. Η μέγιστη κατ απόλυτη τιμή της παρουσιάζεται στο AE άκρο και είναι ίση με 34t. Η διατμητική δύναμη μηδενίζεται σε απόσταση b από το AE για την οποία ισχύει (b σε m): 11 9 9 9 b 90 b 34 b 36,37m Υπολογισμός κατανομής καμπτικής ροπής M: 0 x 60: x[m] M[t m] 34 x 4, 5 x [m] 70 60 x 90 : M[t m] 9.999 774 x 60 4,8 x [m] 60 3 3 3 x[m] 60 70 Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 8

Η καμπτική ροπή μηδενίζεται στα άκρα, είναι τρίτου βαθμού και παρουσιάζει ασυνέχεια πρώτης και δευτέρας παραγώγου σε απόσταση 60m από το AE. Η τιμή της στο σημείο αυτό είναι: 60 M(60m) 34 60 4,5 60 t m 3.50t m 70 3 Σε απόσταση 36,37m από το AE παρουσιάζει ακρότατο, που είναι: 36,37 M(36,37m) 34 36,37 4,5 36,37 t m 6.308t m 70 3 Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται και στο διάγραμμα που ακολουθεί: 0 300 0 10 0 30 40 50 60 70 80 90-1.000 00 -.000 100-3.000 0 διατμητική δύναμη καμπτική ροπή -4.000-100 ασυνέχεια α παραγώγου -5.000-00 -6.000-300 -7.000-400 Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 9

ΑΣΚΗΣΗ 3η οκάρι μήκους 80 m με μεγάλη καμπτική ακαμψία και με βάρος 1600 t ομοιόμορφα κατανεμημένο στο μήκος του, στηρίζεται σε κατανεμημένα ελατήρια σε μήκος 40 m συμμετρικά ως προς το μέσο του. Να προσδιοριστούν και σχεδιαστούν οι κατανομές διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών. Ποιες οι κατανομές αν το δοκάρι στηρίζεται ελαστικά σε μήκος 0 m από το ένα άκρο του και 0 m από το άλλο; ΛΥΣΗ 3 ης ΑΣΚΗΣΗΣ Στο δοκάρι ασκείται η κατανεμημένη δύναμη του βάρους του, που ισούται με 1600 t / 80 m = 0 t/m, σε όλο το μήκος του και η αντίδραση από τα ελατήρια. Λαμβάνοντας υπόψη ότι το δοκάρι διατηρείται απαραμόρφωτο και ότι η διαμήκης θέση του κέντρου της δύναμης που ασκούν τα ελατήρια συμπίπτει με τη διαμήκη θέση του κέντρου βάρους, δηλαδή το μέσο του δοκαριού, προκύπτει ότι η δύναμη των ελατηρίων ασκείται σε μήκος ±0 m από το κέντρο του δοκαριού και ισούται με 1600 t / 40 m = 40 t/m. Αν w(x) και f(x) η κατανεμημένη δύναμη του βάρους και των ελατηρίων αντίστοιχα και x η απόσταση από το ένα άκρο του δοκαριού σε mτότε ισχύει (απόλυτες τιμές των δυνάμεων): m 0 x 80:wx 0 t m 0 0 x 0 t m f x 40 0 x 60 t m 0 60 x 80 t Για τον προσδιορισμό των διατμητικών δυνάμεων Q(x) και καμπτικών ροπών M(x) χρησιμοποιούνται οι εξισώσεις ισορροπίας ως προκύπτουν από τα πιο κάτω σχήματα. Υπολογίζονται καταρχήν οι δυνάμεις και ροπές που οφείλονται στο βάρος (δείκτης w) και δύναμη ελατηρίων (δείκτης f) και μετά προστίθενται αλγεβρικά. Στις παρακάτω εξισώσεις η απόσταση x είναι σε m η διατμητικές δυνάμεις σε t και οι καμπτικές ροπές σε t m. Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 10

w(x) Q w (x) x M w (x) Q f (x) x 0 m f(x) M f (x) 0 x 80:Q x 0x w 0 0 x 0 Qf x 40 x 0 0 x 60 1600 60 x 80 0 x 0 x 0 0 x 0 x 0 Q x Qw x Qf x 0 x 40 x 0 0 x 60 0 x 800 0 x 60 0 x 1600 60 x 80 0 x 1600 60 x 80 Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 11

0 x 0 x 80:Mw x 10x 0 0 x 0 x 0 Mf x 40 0 x 60 1600 x 40 60 x 80 10 x 0 x 0 x 0 Mx Mw x Mf x 10x 40 0 x 60 10 x 1600 x 40 60 x 80 10 x 0 x 0 10 x 800 x 8000 0 x 60 10 x 1600 x 64000 60 x 80 Η γραφική παράσταση των δυνάμεων και ροπών φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί ( ακολουθείται η ίδια σύμβαση για τα πρόσημα ως και στις προηγούμενες ασκήσεις): 500 10000 400 8000 300 6000 00 4000 Διατμητική δύναμη σε t 100 000 0 0 0 10 0 30 40 50 60 70 80-100 -000 Διατμητική δύναμη Καμπτική ροπή -00-4000 -300-6000 -400-8000 -500 απόσταση από AE σε m -10000 Αντίστοιχα όταν η στήριξη από τα ελατήρια είναι στα άκρα: Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 1

m 0 x 80:wx 0 t m 40 0 x 0 t m fx 0 0 x 60 t m 40 60 x 80 t 0 x 80:Q x 0x w 40 x 0 x 0 Qf x 800 0 x 60 800 40 x 60 60 x 80 0 x 40 x 0 x 0 0 x 0 x 0 Q x Qw x Qf x 0 x 800 0 x 60 0 x 800 0 x 60 0 x 800 40 x 60 60 x 80 0 x 1600 60 x 80 0 x 0 x 80:Mw x 10x 40 x 0 x 0 Mf x 800 x 10 0 x 60 40 x 60 800 x 10 60 x 80 40 x 10 x 0 x 0 M x Mw x Mf x 10 x 800 x 10 0 x 60 40 x 60 10 x 800 x 10 60 x 80 10 x 0 x 0 10 x 800 x 8000 0 x 60 10 x 1600 x 64000 60 x 80 Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 13

Και οι γραφικές παραστάσεις: 500 10000 400 8000 300 6000 00 4000 Διατμητική δύναμη σε t 100 000 0 0 0 10 0 30 40 50 60 70 80-100 -000 Διατμητική δύναμη Καμπτική ροπή -00-4000 -300-6000 -400-8000 -500 απόσταση από AE σε m -10000 Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 14

ΑΣΚΗΣΗ 4η Εστω διατομή με επιφάνεια A και ροπή αδράνειας γύρω από άξονα xx, που διέρχεται από το κέντρο βάρους της Ι. Αν προστεθεί επιφάνεια a με ροπή αδράνειας ως προς άξονα που είναι παράλληλος με τον xx και διέρχεται από το κέντρο της j, σε απόσταση y από τον άξονα xx, να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας της νέας επιφάνειας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι παράλληλος με τον xx. ΛΥΣΗ 5 ης ΑΣΚΗΣΗΣ Απόσταση κέντρου αρχικής επιφάνειας από τελική, μετρούμενη κάθετα στον xx: y A H A a Ροπή αδράνειας νέας επιφάνειας ως προς τον αρχικό άξονα: I j ay Ροπή αδράνειας νέας επιφάνειας ως προς τον κεντροβαρικό άξονα της νέαε επιφάνειας // ως προς τον xx: y a I j ay A ah I j ay A a A a ya A a I j A ay a y I j ay I j A a A a 1 a A Εναλλακτικά I A H j a y H I A a H j ay ayh ya ya I A a j ay ay A a A a y a ya ay I j ay ay I j A a A a 1 a A Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 15

ΑΣΚΗΣΗ 5 η ίδεται φορτηγίδα με χαρακτηριστικά και κατανομή βάρους ως φαίνεται στο πιό κάτω σχήμα. Να υπολογιστούν οι κατανομές διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών. Να υπολογιστούν οι κατανομές αυτές αν προστεθεί βάρος 40 tons μεταξύ των σταθμών και 4. Η διατομή της φορτηγίδας είναι ορθογωνική. 100 ft 80 ft 0 ft 0 18 16 14 1 10 8 6 4 0 9 8 7 6 q[tons/ft] 5 4 3 1 0 0 19 18 17 16 15 14 13 1 11 10 9 8 7 6 5 4 3 1 0 ΛΥΣΗ 5 ης ΑΣΚΗΣΗΣ: βλέπε σημειώσεις κεφάλαιο ΚΑΜΨΗ ΣΕ ΗΡΕΜΟ ΝΕΡΟ, σελ. 7 Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 16

ΑΣΚΗΣΗ 6 η ίνεται η φορτηγίδα του σχήματος, η οποία εναποθέτει σωλήνωση από το πρυμναίο άκρο. Κατά την εναπόθεση ασκείται δύναμη 4 kn στο πρωραίο άκρο. Λαμβάνοντας υπόψη τα δεδομένα του σχήματος να υπολογιστούν οι επιπλέον κατανομές των διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών που ασκούνται κατά την εναπόθεση της σωλήνωσης. Το πλάτος της φορτηγίδας στην περιοχή της ισάλου είναι σταθερό κατά το μήκος. 100m 0 30 σωλήνωση 4kN ΛΥΣΗ 6 ης ΑΣΚΗΣΗΣ Οι δυνάμεις στο πρυμναίο και πρωραίο άκρο ισορροπούν από μία επιπλεόν κατανομή άντωσης, η οποία είναι γραμμική λόγω του σταθερού πλάτους της φορτηγίδας στην περιοχή της ισάλου. Αν θεωρηθεί ότι x είναι ο διαμήκης άξονας της φορτηγίδας και y ο κατακόρυφος, τότε από την ισορροπία των δυνάμεων σε κάθε άξονα, προκύπτει ότι η διαμήκης δύναμη που εφαρμόζεται στη φορτηγίδα είναι 3.464 Ν, η κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης είναι.000 Ν και η αντίστοιχη συνιστώσα στη σωλήνωση 1.61 Ν. Συνοπτικά αν F και R οι δυνάμεις στο πρωραίο και πρυμναίο άκρο αντίστοιχα ισχύει ότι: Fx 3.464 Ν Fy.000 Ν Rx 3.464 Ν Ry 1.61 Ν Η επιπλέον άντωση που εξισσοροπεί τις κατακόρυφες δυνάμεις είναι η b(x)=-10,433-0,44354x (η άντωση δίνεται σε tonnes/m και η απόσταση x σε m) Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 17

` 10,433 N/m 54,783 N/m 3.464 N 1.61 N.000 N 3.464 N οπότε η κατανομή της διατμητικής δύναμης, που οφείλεται στην επιπλέον άντωση είναι η Q(x)=1.61-10,433x-0,177x, και η κατανομή της καμπτικής ροπής M(x)= 1.61x-5,17x -0,0739x 3-0,3x (η διατμητική δύναμη και καμπτική ροπή σε tonnes και tonnes-m αντίστοιχα) Ακολουθούν τα διαγράμματα της διατμητικής δύναμης και καμπτικής ροπής: 45.000.000 40.000 1.500 35.000 1.000 ΚΑΜΠΙΚΗ ΡΟΠΗ tonnes-m 30.000 5.000 0.000 15.000 500 0-500 -1.000 ΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ΥΝΑΜΗ tonne ΚΑΜ. ΡΟΠΗ ΙΑΤ. ΥΝΑΜΗ 10.000-1.500 5.000 -.000 0 -.500 0 10 0 30 40 50 60 70 80 90 100 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΑΠΟ AE ΣΕ m Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 18

ΑΣΚΗΣΗ 7 η ίνεται πλοίο μήκους 13 m, με την κατάσταση φόρτωσης του σχήματος (το πλοίο είναι χωρισμένο με πέντε εγκάρσιες φρακτές σε έξι διαμερίσματα μήκους 3 m το πρώτο και 0 m τα υπόλοιπα. ίνονται επίσης ότι i) η καμπύλη άντωσης στην κατάσταση φόρτωσης που δίνεται είναι ου βαθμού, ii) η καμπύλη Bonjean της μέσης 3/ τομής δίνεται από τη σχέση το A[m ] 5,367 T [m], όπου A η επιφάνεια σε m και T to βύθισμα σε m, και iii) το βύθισμα της μέσης τομής είναι 5 m. 190 tonnes 780 tonnes 780 tonnes 780 tonnes 780 tonnes 780 tonnes AE 130 tonnes FE Να δειχθεί οτι η καμπύλη φόρτισης του πλοίου σε tonnes/m είναι η 0,0051 x 0,5 x 19, 0 x 3m 0,0051 x 0,5 x 1,8 3m x 13m όπου x η απόσταση από το πρυμναίο άκρο σε m. 1. Να προσδιοριστεί και σχεδιαστεί το διάγραμμα των διατμητικών δυνάμεων.. Να προσδιοριστεί και σχεδιαστεί το διάγραμμα των καμπτικών ροπών. 3. Να υπολογιστεί η θέση και η τιμή των μέγιστων τιμών της διατμητικής δύναμης και καμπτικής ροπής. ΛΥΣΗ 7 ης ΑΣΚΗΣΗΣ ερώτημα 1 υπολογισμός καμπύλης βάρους: 130 t 190 t t w(x) 70 0 x 3 m 13 m 3 m m 130 t 780 t t w(x) 49 3 m x 13 m 13 m 0 m m υπολογισμός καμπύλης άντωσης: Βάρος ανα Βάρος W LCG W WLCG W μον. μήκους σε tonnes σε m 10 1.30 66 87.10 Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 19

60 1.90 16 30.70 39 780 4 3.760 39 780 6 48.360 39 780 8 63.960 39 780 10 79.560 39 780 1 95.160 7.140 437.640 =7.140 tonnes και LCG=437.640/7.140 m = 61,9 m b(x) ax bx c L L b(x)dx ax bx c dx L b(x)xdx ax bx c xdx LCG L L 3/ a b c AT 4 L Αν η αρχή των αξόνων τεθεί στο AE 3 13 13 a b c 13 7.140 3 4 3 13 13 13 a b c 7.140 61,9 4 3 3/ a 66 b 66 c 5,367.5 1,05 Και επιλύοντας το σύστημα προκύπτει, ότι b(x) 0,0051 x 0,5 x 50,8 0 x 13m Καμπύλη φόρτισης p(x) w(x) b(x) p(x) 0,0051 x 0,5 x 19, 0 x 3m p(x) 0,0051 x 0,5 x 1,8 3m x 13m Ακολουθεί ο υπολογισμόςτων διατμητικών δυνάμεων Q(x) και καμπτικών ροπών M(x): θετικές θεωρούνται οι ροπές που θλίβουν το κατάστρωμα και οι διαμτηικές δυνάμεις για τις οποίες ισχύει dm/dx=q Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 0

ερώτημα : υπολογισμός διατμητικών δυνάμεων 0 x 3m x Q(x) Q(0) 0, 0051 x 0, 5 x 19, dx 0 3 0,0017x 0,5x 19,x Q(3m) 414,11 tonnes 3m x 13m x Q(x) Q(3) 0, 0051 x 0, 5 x 1, 8 dx 3 3 3 Q(3) 0,0017 x 3 0,5 x 3 1,8 x 3 3 0,0017 x 0,5 x 1,8 x 67 Q(1 3m) 11,65 tonnes ερώτημα 3: υπολογισμός καμπτικών ροπών 0 x 3m x x 3 M(x) M(0) 0,0017 x 0,5 x 19, x dx 0 4 3 0,00045 x 0,0833 x 9,6 x M(3m) 7.546 tonnes m 3m x 13m 3 M(x) M(3) 0,0017x 0,5x 1,8x 67 dx 3 4 4 3 3 M(3) 0,00045 x 3 0,0833 x 3 0,9 x 3 67 x 3 M(13m) 89, tonnes m διορθώσεις κατανομών διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών Q(13m) 11,65 tonnes 3% 414,11 tonnes M(13m) 89, tonnes 6% 7.546 tonnes m Αρα η διατμητική δύναμη και καμπτική ροπή, που προκύπτουν στο πρωραίο άκρο είναι μικρότερες του 3% και 6% της κατ απόλυτο τιμή μέγιστης διατμητικής δύναμης και καμπτικής ροπής αντίστοιχα, και η διορθωμένες καμπύλες ισούνται με: 3 x Q(x) 0,0017 x 0,5 x 19, x 11,65 0 x 3m 13 3 x Q(x) 0,0017 x 0,5 x 1,8 x 67 11,65 3m x 13m 13 Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 1

4 3 x M(x) 0,00045 x 0,0833 x 9,6 x 89, 0 x 3m 13 4 4 3 3 M(x) 7.546 0,00045 x 3 0,0833 x 3 x 0,9 x 3 67 x 3 89, 3m x 13m 13 ερώτημα 4: υπολογισμός ακροτάτων τιμών Η διατμητική δύναμη παρουσιάζει ακρότατο στις τιμές που μηδενίζεται η φόρτιση δηλαδή στα 3 m και στα 101,5 m (η τιμή αυτή προκύπτει από την εξίσωση μηδενισμού της φόρτισης) από το AE. Η μέγιστη τιμή κατ απόλυτο τιμή παρουσιάζεται στα 3 m και ισούται με 414 tonnes. Ισχύει ότι Q(60)=-3 tonnes και Q(70)=94,3 tonnes. Αρα για Q(6,53)=0 και η μέγιστη απόλυτη τιμή της καμπτικής ροπής εμφανίζεται στη θέση αυτή και ισούται με 13.869 tonnes-m. ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΔΔ ΚΑΙ ΚΡ διατμητική δύναμη σε tonnes 400 300 00 100 0-100 -00-300 -400-500.000 0 -.000-4.000-6.000 0 1 4 36 48 60 7 84 96 108 10 13-8.000-10.000-1.000-14.000-16.000 απόσταση από AE καμπτική ροπή σε tonnesm διατμητική δύμανη καμπτική ροπή Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010

ΑΣΚΗΣΗ 8 η Χαλύβδινη φορτηγίδα μήκους 16 m πλέει σε ήρεμο νερό. Η κατανομή των καμπτικών ροπών κατά μήκος της είναι β βαθμού και η τιμή της ροπής σε απόσταση 4% του μήκους της από το πρυμναίο άκρο της είναι 400000 kn m. Να υπολογιστεί το μέγιστο βέλος κάμψης και το σημείο κατά μήκος της φορτηγίδας που εμφανίζεται. Η ροπή αδράνειας της γάστρας της είναι σταθερή και ίση με 10 m 4 στο διάστημα από το 35% έως το 80% του μήκους της από το πρυμναίο άκρο. Στο πρυμναίο και πρωραίο άκρο η ροπή αδράνειας είναι 3 m 4 και 6 m 4 αντίστοιχα, και στα ενδιάμεσα διαστήματα μεταβάλλεται γραμμικά. ΛΥΣΗ 8 ης ΑΣΚΗΣΗΣ Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 3

ΑΣΚΗΣΗ 9 η Ο υπολογισμός της ροπής κάμψης σε δοκάρι που κάμπεται υπό κατανεμημένη φόρτιση μπορεί να γίνει είτε ολοκληρώνοντας δύο φορές τη φόρτιση ή υπολογίζοντας τη ροπή της φόρτισης ως προς τη διατομή που εξετάζεται. Να δειχθεί ότι και οι δύο τρόποι καταλήγουν στο ίδιο αποτέλεσμα. ΛΥΣΗ 9 ης ΑΣΚΗΣΗΣ Στο σχήμα φαίνεται τμήμα δοκαριού που ισορροπεί κάτω από την επίδραση κατανεμημένης φόρτισης p(x) και δυνάμεων και ροπών στις διατομές στις θέσεις a και x (δε φαίνεται η διατμητική δύναμη στη διατομή x). p(x')dx' x-x' M(x) M a Q a a x' x Από την ισορροπία του τμήματος του δοκαριού που φαίνεται στο πιό πάνω σχήμα η καμπτική ροπή στο σημείο x ισούται με: x x x M(x) M(a) Q(x ) dx M(a) Q(a) p(x ) dx dx a a a x x x M(a) Q(a) dx p(x ) dx dx a a a x x M(a) Q(a) (x a) p(x ) dx dx a a Η ροπή μπορεί επίσης να υπολογιστεί αν γίνει ολοκλήρωση της διατμητικής δύναμης: Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 4

x x x M(x) M(a) Q(x ) dx M(a) Q(a) p(x ) dx dx a a a x x x M(a) Q(a) dx p(x ) dx dx a a a x x M(a) Q(a) (x a) p(x ) dx dx a a Για να είναι οι σχέσεις ισοδύναμες πρέπει οι τελευταίαι όροι να είναι ίσοι: x x x x x p(x ) dx dx x p(x ) dx x p(x ) dx a a a a a x x x x p(x) dx xp(x) dx x x p(x) dx a a a Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 5

ΑΣΚΗΣΗ 10 η εξαμενή έχει μήκος 180m, πλάτος 30m και κοίλο 18m. Η δεξαμενή έχει σταθερή ορθογωνική διατομή και είναι χωρισμένη με δύο εγκάρσιες φρακτές σε τρία διαμερίσματα ίσου μήκους (πρυμναίο, μεσαίο και πρωραίο). Οταν η δεξαμενή είναι άφορτη το εκτόπισμα της είναι 60.000t και η κατανομή του βάρους της σταθερή κατά μήκος. Να προσδιοριστούν και σχεδιαστούν τα διαγράμματα διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών στις πιό κάτω περιπτώσεις φόρτωσης: 1. Η δεξαμενή είναι άφορτη.. Η δεξαμενή φέρει φορτίο 3.000t στο μεσαίο διαμέρισμα. 3. Η δεξαμενή φέρει από 1.000t σε κάθε ένα από τα τρία διαμερίσματα. 4. Η δεξαμενή φέρει από 1.500t σε κάθε ένα από τα δύο ακραία διαμερίσματα. 5. Η δεξαμενή φέρει από 1.500t στο πρυμναίο και μεσαίο διαμέρισμα. ΛΥΣΗ 10 ης ΑΣΚΗΣΗΣ Ερώτημα i. Η κατανομή της άντωσης δίνεται πό τη σχέση b(x)=t(x)bρg, όπου T(x) το βύθισμα στη θέση x, B το πλάτος,που έιναι ίσο με 30m, ρg το είδικό βάρος του νερού, που ισούται με 1,05 t/m 3. Οταν η δεξαμενή είναι άφορτη το κέντρο βάρος της, βρίσκεται στο μέσο νομέα της. Με δεδομένο ότι Στο σχήμα φαίνεται η T(x)=φ(x-r) όπου r η απόσταση του μέσου νομέα σύμβαση για τα θετικά από την αρχή των αξόνων προκύπτει ότι η πρόσημα κατανομή της άντωσης είναι σταθερή και συμπίπτει με την κατανομή του βάρους. Αρα η φόρτιση είναι μηδενική όπως και η κατανομή των διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών. Ερώτημα ii. Όταν προστίθεται φορτίο 3.000t γλυκού νερού στο μεσαίο διαμέρισμα το LCG συμπίπτει με το μέσο νομέα. Με δεδομένο ότι η καμπύλη άντωσης είναι γραμμική (βλέπε i.) και το κέντρο βάρους της είναι στο μέσο, προκύπτει ότι η καμπύλη άντωσης Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 6

είναι σταθερή σε όλο το μήκος της φορτηγίδας. Η φόρτιση παρουσιάζεται στο πιό κάτω σχήμα: περίσσεια βάρους 33,33 t/m 60 m 60 m 60 m περίσσεια άντωσης 16,67 t/m Οι διατμητικές δυνάμεις και καμπτικές ροπές δίνονται στο σχήμα 16,67t / m 90 x 30 p(x) 33, 33t / m 30 x 30 16,67t / m 30 x 90 16,67 x[m] 1500 90m x 30m Q(x)[t] 33,33 x[m] 30m x 30m 16,67 x[m] 1500 30m x 90m 8,335 (x [m] 8100) 1500 (x[m] 90) 90m x 30m M(x)[t m] 9988 16,665 (x [m] 900) 30m x 30m 9988 8,335 (x [m] 900) 1500 (x[m] 30) 30m x 90m Ακολουθούν τα διαγράμματα διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών. Οι διατμητικές δυνάμεις ακολουθούν γραμμική κατανομή και οι καμπτικές ροπές παραβολική (β βαθμού). Εναλλακτικά ο υπολογισμός των δυνάμεων και ροπών στα σημεία x=-30m, 0, 30m μπορεί να γίνει λαμβάνοντας υπόψη τη σχέση των μεγεθών και τη συμμετρία ή αντισυμμετρία γύρω από τον μέσο νομέα (με τον τρόπο αυτό αποφεύγονται σφάλματα λόγω προσεγγίσεων). Q(-30m)=-(3000/180)60t=-1000t Q(0m)=0t Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 7

Q(30m)=-Q(-30m)=1000t M(-30m)=[-(3000/180)60t]30t-m =-30000t-m M(0m)= =[-(3000/180)60t]60t-m+[(3000/60)30-(3000/180)30]15t-m=-45000t-m M(30m)=M(-30m)=-30000t-m ΙΑΤΜΗΤΙΚΕΣ ΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΚΑΜΠΤΙΚΕΣ ΡΟΠΕΣ Απόσταση από μέσο νομέα 0 1 000-90 -60-30 0 30 60 90-5 000 800-10 000 600-15 000-0 000-5 000-30 000-35 000 400 00 0-00 -400 Διατμητική δύναμη σε t -40 000-45 000-600 -800 καμπτική ροπή διατμητική δύναμη -50 000-1 000 Ερώτημα iii. Οταν στη δεξαμενή προστίθεται φορίο ομοιόμορφο κατα μήκος η καμπύλη βάρους (βάρος άφορτης δεξαμενής και ομοιόμορφο φορτίο) παραμένει ομοιόμορφη. Αρα η φόρτιση είναι μηδενική όπως και η κατανομή των διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών (βλέπε i.) Ερώτημα iv. Όταν προστίθεται φορτίο 3.000t γλυκού νερού στα ακραία διαμερίσματα από 1.500t σε κάθε ένα από τα ακραία διαμερίσματα - το LCG συμπίπτει με το μέσο νομέα. Με δεδομένο ότι η καμπύλη άντωσης είναι γραμμική (βλέπε i.) και το κέντρο βάρους της Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 8

είναι στο μέσο, προκύπτει ότι η καμπύλη άντωσης είναι σταθερή σε όλο το μήκος της φορτηγίδας. Η φόρτιση παρουσιάζεται στο πιό κάτω σχήμα: Περίσσεια βάρους 8,33 t/m 60 m 60 m 60 m Περίσσεια άντωσης 16,67 8,33t / m 90 x 30 p(x) 16, 67t / m 30 x 30 8,33t / m 30 x 90 8,33 x[m] 750 90m x 30m Q(x)[t] 16,67 x[m] 30m x 30m 8,33 x[m] 750 30m x 90m 4,165 (x [m] 8100) 750 (x[m] 90) 90m x 30m M(x)[t m] 1501 8,335 (x [m] 900) 30m x 30m 1501 4,165 (x [m] 900) 750 (x[m] 30) 30m x 90m Ακολουθούν τα διαγράμματα διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών. Οι διατμηιτικές δυνάμεις ακολουθούν γραμμική κατανομή και οι καμπιτκές ροπές παραβολική (β βαθμού). Εναλλακτικά ο υπολογισμός των δυνάμεων και ροπών στα σημεία x=-30m, 0, 30m μπορεί να γίνει λαμβάνοντας υπόψη τη σχέση των μεγεθών και τη συμμετρία ή αντισυμμετρία γύρω από τον μέσο νομέα (με τον τρόπο αυτό αποφεύγονται σφάλματα λόγω προσεγγίσεων). Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 9

Q(-30m)=(3000/10)60t-(3000/180)60=500t Q(0m)=0t Q(30m)=-Q(-30m)=-500t M(-30m)=[(3000/10)60t-(3000/180)60]30t-m =15000t-m M(0m)=[(3000/10)60t-(3000/180)60]60t-m-[(3000/180)30]15t-m =500tm M(30m)=M(-30m)=15000t-m ΙΑΤΜΗΤΙΚΕΣ ΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΚΑΜΠΤΙΚΕΣ ΡΟΠΕΣ 5 000 500 500 400 0 000 300 17 500 15 000 1 500 10 000 7 500 00 100 0-100 -00 Διατμητική δύναμη σε t 5 000-300 καμπτική ροπή διατμητική δύναμη 500-400 0-500 -90-60 -30 0 30 60 90 Απόσταση από μέσο νομέα Ερώτημα v. Εστω ότι η δεξαμενή πλέει ισοβύθιστη. Στη περίπτωση αυτή η περίσσεια άντωσης, που εκτείνεται σε μήκος 60m από το πρωραίο άκρο θα είναι ομοιόμορφη. Οι αντίστοιχες καμπύλες φόρτισης, διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών ακολουθούν: Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 30

Περίσσεια βάρους 8,33 t/m 60 m 60 m 60 m Περίσσεια άντωσης 16,67 8, 33t / m 90m x 30m p(x) 16,67t / m 30m x 90m 8,33 x[m] 750 90m x 30m Q(x)[t] 1500 16,67 x[m] 30m x 90m 4,165 (x [m] 8100) 750 (x[m] 90) 90m x 30m M(x)[t m] 8,335 (x [m] 900) 1500 (x[m] 30) 30m x 90m M(x)[t m] 4,165 x [m] 750 x[m] 33764 90m x 30m 8,335 x [m] 1500 x[m] 514 30m x 90m Παρατηρείται ότι Q(90m)0t και M(90m)=90000 t-m. Επειδή δεν υπάρχει συγκεντρωμένη ροπή στο πρωραίο άκρο διορθώνεται η θέση ισορροπίας, σύμφωνα με τη σχέση: φ=m/(i L ρg) όπου φ η διαγωγή (θετική όταν βυθίζεται η πρύμνη), η ροπή αδράνειας της ισάλου επιφανείας που είναι ίση με (180 3 30/1)m 4 =14.580.000 m 4 και ρg το ειδικό βάρος του νερού που ισούται με 1,05 t/m 3. Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 31

Αρα φ=0,006rad0,35 Η μείωση (-) ή αύξηση (+) του βυθίσματος T(x) και η αντίστοιχη μεταβολή της φόρτισης p(x) δίνονται από τις σχέσεις: M(90m) M(90m) M(90m) T(x) x p(x) B g x 1 x I 3 L g IL g L αντίστοιχα. Αντικαθιστώντας προκύπτει: 5 p(x) x 7 Οι αντίστοιχες μεταβολές των διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών είναι: 5 5 3 3 5 3 Q(x) x 750 M(x) (x 90 ) 750 (x 90) x 750 x 45000 54 16 16 Q(x)[t] 5 8, 33 x[m] x[m] 90m x 30m 54 5 750 16,67 x[m] x[m] 30m x 90m 54 M(x)[t m] 5 3 x[m] 45000 4,165 x [m] 33764 90m x 30m 16 5 3 16 x[m] 500 8,335 x [m] 750 x[m] 30m x 90m Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 3

30.00 5.00 φόρτιση σε t/m 0.00 15.00 10.00 5.00 απόσταση από μέσο νομέα σε m 0.00-90 -80-70 -60-50 -40-30 -0-10 0 10 0 30 40 50 60 70 80 90-5.00 καμπύλη βάρους καμπύλη άντωσης - ισοβύθυστη καμπύλη άντωσης λόγω διαγωγής καμπύλη φόρτισης -10.00-15.00-0.00-5.00-30.00 ΙΑΤΜΗΤΙΚΕΣ ΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΚΑΜΠΤΙΚΕΣ ΡΟΠΕΣ 100.000 1.000 75.000 750 50.000 500 Διατμητική δύναμη σε t 5.000 50 0 0-90 -60-30 0 30 60 90-5.000-50 καμπτική ροπή καμπτική ροπή-ισοβύθιστη καμπτική ροπή-λόγω διαγωγής διατμητική δύναμη διατμητική δύναμη-ισοβύθιστη διατμητική δύναμη-λόγω διαγωγής -50.000-500 -75.000-750 -100.000 Απόσταση από μέσο νομέα -1.000 Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 33

AΣΚΗΣΗ 11 η Εστω ότι σε πλοίο προστίθεται σημειακή δύναμη P σε απόσταση x P -x F από το κέντρο πλευστότητας. Η διατμητική δύναμη Q(x), που οφείλεται στην πρόσθεση της δύναμης ισούται με A xp x XA F F Q(x) MXA P P AL IL A xp x XF F F Q(x) MXF P P AL IL όπου με A,I L L συμβολίζεται η επιφάνεια και η ροπή αδρανείας της ισάλου ως προς εγκάρσιο άξονα διερχόμενο από το κέντρο πλευστότητας αντίστοιχα, F A,M ( A,M ) η επιφάνεια και η πρώτη ροπή της επιφάνειας αντίστοιχα που XA F XA XF XF βρίσκεται πρύμνηθεν(πρώραυεν) της θέσης x, ως προς άξονα διερχόμενο από το κέντρο πλευστότητας και <P> ισούται με P αν η δύναμη P βρίσκεται μεταξύ του σημείου x και της πρώρας(πρύμνης) ή άλλως με 0. Να δειχθεί ότι οι δύο εκφράσεις δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα. ΛΥΣΗ 11 ης ΑΣΚΗΣΗΣ Εστω ότι η δύναμη P βρίσκεται μεταξύ της θέσης x και του FE. Ισχύει ότι P Q(x) AE FE A xp x XA F F Q(x) MXA P AL IL και A xp x XF F F Q(x) MXF P P. AL IL Πρέπει να ισχύει ότι Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 34

A xp x XF F F A xp x XA F F MXF P P MXA P AL IL AL IL A XF A xp x XA F F F MXF MXA P P AL IL A xp xf L 0 P P P P AL IL Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 35

ΑΣΚΗΣΗ 1 η Το παράλληλο τμήμα ενός πλοίου έχει μήκος 90 m. Ενόσω το πλοίο πλέει σε ήρεμο νερό, η καμπύλη βάρους στο τμήμα αυτό είναι σταθερή και ίση με 500 t/m και η καμπύλη άντωσης γραμμική με τιμές 43 t/m στο πρυμναίο άκρο του τμήματος και 540 t/m στο πρωραίο άκρο αυτού. Αν στο πρυμναίο άκρο του παράλληλου τμήματος η διατμητική δύναμη και η καμπτική ροπή είναι 1340 tones και 95000 tones-m αντίστοιχα (η δύναμη έχει φορά προς το κατάστρωμα και η ροπή εφελκύει το κατάστρωμα): 1. να σχεδιαστούν τα διαγράμματα της διατμητικής δύναμης και της καμπτικής ροπής στο παράλληλο τμήμα,. να προσδιοριστούν η διατμητική δύναμη και η καμπτική ροπή στο πρωραίο άκρο του τμήματος, 3. ποια τα ακρότατα της διατμητικής δύναμης και της καμπτικής ροπής και που εμφανίζονται; ΛΥΣΗ 1 ης ΑΣΚΗΣΗΣ 1 ο ερώτημα Στο σχήμα παρουσιάζεται η φόρτιση λόγω βάρους και άντωσης στο παράλληλο τμήμα. Οι δυνάμεις και ροπές στα άκρα του παράλληλου τμήματος εμφανίζονται με τη φορά που εφαρμόζονται : Η φόρτιση p(x) στο παράλληλο τμήμα σε t/m ισούται με p(x)=500-[43+(540-43)x/90]=68-1,x, Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 36

όπου x η απόσταση από το άκρο του τμήματος στο οποίο δίνονται η δύναμη και ροπή σε m και παίρνει τιμές μεταξύ 0 m και 90 m. Η διατμητική δύναμη Q σε tones, και καμπτική ροπή M σε tones-m, στο σημείο x, ισούται με (Q 1 και M 1 η δύναμη και ροπή που δίνονται): x 1 Q x Q p x dx 1340 68 1. x dx 1340 68 x 0.6 x 0 0 x 1 x x M x M Q x dx 95000 1340 68 x 0.6 x dx 95000 1340 x 34 x 0. x 0 0 3 Ακολουθούμενη σύμβαση για τα πρόσημα: θετικές ροπές εφελκύουν το κατάστρωμα και η πρώτη παράγωγος της ροπής ισούται με τη διατμητική δύναμη. Οι καμπύλες παρουσιάζονται γραφικά στο σχήμα που ακολουθεί: ΚΑΜΠΤΙΚΗ ΡΟΠΗ ΣΕ tones-m 10000 117500 115000 11500 110000 107500 105000 10500 100000 97500 95000 9500 90000 87500 85000 8500 80000 77500 75000 7500 70000 67500 65000 6500 60000 0 10 0 30 40 50 60 70 80 90 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΑΠΟ ΠΡΥΜΝΑΙΟ ΑΚΡΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΣΕ m 900 800 700 600 500 400 300 00 100 0-100 -00-300 -400-500 -600-700 -800-900 -1000-1100 -100-1300 -1400-1500 ΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ΥΝΑΜΗ ΣΕ tones ΚΑΜΠΤΙΚΗ ΡΟΠΗ ΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ΥΝΑΜΗ ο ερώτημα Από τις σχέσεις του πρώτου ερωτήματος προκύπτουν οι τιμές της διατμητικής δύναμης Q και καμπτικής ροπής M στο πρωραίο άκρο του παράλληλου τμήματος: Q =-80 tones M =104000 tones-m Η φορά τους φαίνεται στο σχήμα της προηγούμενης σελίδας. Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 37

3 ο ερώτημα Η φόρτιση μηδενίζεται σε απόσταση a από το πρυμναίο άκρο 68-1.a=0. Άρα a=56.67 m. Στο σημείο αυτό η διατμητική δύναμη παρουσιάζει ακρότατο ίσο με Q 13406856.67 0.6 56.67 587 tones Η καμπτική ροπή παρουσιάζει ακρότατα εκεί όπου μηδενίζεται η διατμητική δύναμη, δηλαδή στα σημεία για τα οποία ισχύει: 0 1340 68 x 0.6 x x 5,40 87,94 m Στα σημεία αυτά η καμπτική ροπή παρουσιάζει ακρότατα ίσα με 3 M 95000 1340 5,40 34 5,40 0. 5,40 796 tones m και 3 M 95000 1340 87,94 34 87,94 0. 87,94 10408 tones m αντίστοιχα. Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 38

ΑΣΚΗΣΗ 13 η Να υπολογιστούν οι κατανομές διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών που οφείλονται σε ημιτονοειδές κύμα στην περίπτωση της φορτηγίδας της άσκησης 3. Το κύμα έχει μήκος ίσο με το μήκος της φορτηγίδας και το ύψος του είναι 5 m. Ο υπολογισμός να γίνει για τη φορτηγίδα στην κορυφή και στο κοίλο του κύματος. 100 ft 80 ft 0 ft 0 18 16 14 1 10 8 6 4 0 ΛΥΣΗ 13 ης ΑΣΚΗΣΗΣ Βλέπε σημειώσεις ΑΝΤΟΧΗ ΠΛΟΙΟΥ Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 39

ΑΣΚΗΣΗ 14 η Φορτηγίδα σταθερής ορθογωνικής διατομής, μήκους 100 m και πλάτους 16 m, έχει βάρος μεταλλικής κατασκευής 3000 tonnes, ομοιόμορφα κατανεμημένο στο μήκος της. Η φορτηγίδα φέρει φορτίο 600 tonnes, ομοιόμορφα κατανεμημένο σε μήκος 16 m γύρω απο τη μέση τομή. Να υπολογιστεί η ροπή κάμψης στη μέση τομή, όταν η φορτηγίδα ισορροπεί στο κοίλο ή την κορυφή ημιτονοειδούς κύματος, μήκους ίσου με το μήκος της φορτηγίδας, και ύψους ίσου με 3.6m ΛΥΣΗ 14 ης ΑΣΚΗΣΗΣ Υπολογισμός ροπής κάμψης σε ήρεμο νερό: 600 600 Msw 16 8 50 5 t m 5100 t m 3 100 Υπολογισμός ροπής κάμψης σε κυματισμό: Ένα ημιτονοειδές κύμα της μορφής y=(h/)cos(πx/l) με τη αρxή των αξόνων στο μέσο νομέα δίνει τις πιο κάτω κατανομές διατμητικών δυνάμεων Q(x) και καμπτικών ροπών M(x): x BγH π x BγHL π x Q(x) cos dx sin L 4π L L/ x BHL π x BHL π x M(x) sin dx 1 cos 4π L 8π L L/ BHL Mw,max M(x 0) 8π 16 3,6 100 Mw,max M(x 0) 1,05 t m 14955 t m 4π Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 40

ΑΣΚΗΣΗ 15 η Πλοίο μήκους 140m και μέγιστου πλάτους 0m, έχει σταθερή καθ' ύψος ελλειπτική ίσαλο. Το πλοίο σχεδιάστηκε έτσι ώστε η μέγιστη ορθή τάση λόγω κάμψης στη μέση τομή να μην υπερβαίνει τα 195N/mm, και βρέθηκε οτι για να ικανοποιείται η συνθήκη αυτή, η ροπή αντίστασης της μέσης τομής πρέπει να ισούται με 3.077 m 3. Κατα τη σχεδίαση η ροπή κάμψης σε ήρεμο νερό υπολογίστηκε ίση με 50 MNm και η ροπή κάμψης λόγω κυματισμού υπολογίστηκε θεωρώντας οτι το σκάφος βρίσκεται σε στατική ισορροπία στην κορυφή κύματος ημιτονοειδούς μορφής. Ποιό είναι το ύψος κύματος που χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό; ΛΥΣΗ 15 ης ΑΣΚΗΣΗΣ Βλέπε σημειώσεις ΑΝΤΟΧΗ ΠΛΟΙΟΥ Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 41

ΑΣΚΗΣΗ 16 η ίνεται πλοίο με τα πιό κάτω χαρακτηριστικά: μήκος 13 m, πλάτος 0 m, κοίλο 10 m, βύθισμα σχεδίασης και αντίστοιχο εκτόπισμα 6 m και 1.500 tonnes αντίστοιχα. Επίσης δίνεται ότι η ροπή αδράνειας της μέσης τομής ισούται με 0 m 4 και ο ουδέτερος άξονας αυτής απέχει 3,78 m από τον πυθμένα. 1. Αν η μέγιστες ροπές κάμψης σε ήρεμο νερό εμφανίζονται στην περιοχή της μέσης τομής και ισούνται με 15.000 kn-m στην περίπτωση, που η ροπή εφελκύει το κατάστρωμα και με 100.000 kn-m στην περίπτωση εφελκυσμού του πυθμένα, να υπολογιστεί η ροπή σχεδίασης της μέσης τομής βάσει των νηογνωμώνων.. Οι κανονισμοί προδιαγράφουν ότι η μέγιστη πρωτεύουσα εφελκυστική τάση στη διατομή δεν πρέπει να είναι μεγαλύτερη κατ απόλυτο τιμή από 175 MPa και η μέγιστη θλιπτική τάση να μην υπερβαίνει τα 100 MPa. Να ελέγξετε αν η διατομή πληροί τα κριτήρια των κανονισμών. ΛΥΣΗ 16 ης ΑΣΚΗΣΗΣ Υπολογισμός ροπών σχεδίασης σε κυματισμό σύμφωνα με τις σχέσεις του IACS: 3 ws 1 1 b M k C L B c 0.7 10 3 wh 1 b 3 110 8,57 13 0 0,77 0,7 10 483.05 kn m M k C L Bc 10 3 190 8,57 13 0 0,77 10 437.047 kn m όπου M ws, M wh η ροπή κάμψης σε κατάσταση sagging και hogging αντίστοιχα σε KNm L είναι το μήκος του πλοίου σε m, B είναι το μέγιστο πλάτος σε m, c b ο συντελεστής γάστρας, 300 L C1 10,75 90m L 300m 100 1,5 k 110, k 190. 1 Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 4

Αρα η ροπή σχεδίασης σε κατάσταση hogging ισούται με 56.047 kn-m, και σε κατάσταση sagging 583.05 kn-m Ακολουθεί ο υπολογισμός των μέγιστων τάσεων που προκύπτουν αν εφαρμοστούν οι ροπές που υπολογίστηκαν. Με αρνητικό πρόσημο παρουσιάζονται οι θλιπτικές τάσεις και με κόκκινο οι εκτός αποδεκτών ορίων. ΚΟΙΛΟ 10,00 m ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΟΑ ΑΠΟ ΠΥΘΜΕΝΑ 3,78 m ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΟΑ ΑΠΟ ΚΑΤΑΣΤΩΜΑ 6, m ΤΑΣΕΙΣ ΣΕ MPa ΡΟΠΗ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 0 m 4 hog sag ΡΟΠΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ (ΚΑΤ.) 3,15434 m 3 175-181 ΡΟΠΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ (ΠΥΘ.) 5,91005 m 3-106 110 Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 43

ΑΣΚΗΣΗ 17 η Μελετάται η κατασκευή πλοίου μεταφοράς φορτίου χύδην με μήκος μεταξύ 00 m και 30 m και πλάτους 3, m. Για τα πλοία που εξετάζονται ο συντελεστής γάστρας δίνεται από τη σχέση c b =0,694+0,00084 L, όπου L το μηκος του πλοίου σε m. Σύμφωνα με τους ισχύοντες κανονισμούς η ελάχιστη τιμή της ροπής αντίστασης SM σε cm 3 της μέσης τομής ενός πλοίου του τύπου και μήκους που μελετάται, δίνεται από τη σχέση SM=0,9 C L B (c b +0,7), όπου L, B το μήκος και το πλάτος του πλοίου σε m, c b ο συντελεστής γάστρας και C=10,75-{(300-L)/100} 1,5, όταν το μήκος του πλοίου είναι μεταξύ 90 m και 300 m. Να δείξετε ότι αν α) το πλοίο κατασκευαστεί, έτσι ώστε η ροπή αντίστασης του να ισούται με την ελάχιστη προδιαγραφόμενη από τους κανονισμούς και β) η μέγιστη επιτρεπόμενη θλιπτική ορθή τάση λόγω διαμήκους κάμψης ισούται με 155 MPa και η αντίστοιχη εφελκυστική με 195 MPa, η μέγιστη επιτρεπόμενη ροπή σε ήρεμο νερό σε kn m, που προκαλεί θλίψη στο κατάστρωμα δίνεται από το τύπο 1,5 300 L 10,75 L 1,6797 0,000798 L, όπου L παίρνει τιμές από 00 m 100 έως 30 m. ΛΥΣΗ 17 ης ΑΣΚΗΣΗΣ Λόγω της θέσης του ουδετερου άξονα σε αυτού του τύπου πλοία, η μέγιστη τάση παρουσιάζεται στο κατάστρωμα. Στην περίπτωση που η ροπή θλίβει το κατάστρωμα, η μέγιστη επιτρεπόμενη τάση είναι σύμφωνα με την εκφώνηση 155 MPa και είναι μικρότερη της μέγιστης επιτρεπόμενης εφελκυστικής που ισχύει για την περίπτωση αυτή για τον πυθμένα. Άρα η μέγιστη επιτρεπόμενη ροπή είναι αυτή που προκαλεί τάση 155 MPa στο κατάστρωμα και ισούται με M SM ALL ALL Αν οι χρησιμοποιούμενες μονάδες είναι ως παρουσιάζονται στις αγκύλες, τότε: M [knm] ALL ALL 3 [MPa] SM[cm ] 1000 Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 44

Σύμφωνα με τους ισχύοντες κανονισμούς η ελάχιστη τιμή της ροπής αντίστασης SM σε cm 3 της μέσης τομής ενός πλοίου μεταφοράς φορτίου χύδην, δίνεται από τη σχέση 3 1 b SM[cm ] 0,9 C L [m] B[m] c 0,7, όπου L, B το μήκος και το πλάτος του πλοίου σε m, c b ο συντελεστής γάστρας και 300 L C1 10,75 100 1,5, όταν το μήκος του πλοίου είναι μεταξύ 90 m και 300 m. Λαμβάνονοντας υπόψη τα παραπάνω και τη ροπή sagging σε κυματισμό σύμφωνα με τις ισχύουσες οδηγίες του IACS, η μέγιστη επιτρεπόμενη ροπή σε ήρεμο νερό, που θλίβει το κατάστρωμα ισχύει ότι: 3 3 SW,S ALL 1 b M [kn m] [MPa] SM[cm ] 10 0,110 C L [m] B[m] c 0, 7 3 ALL 1 b 1 b [MPa] 0, 9 C L [m] B[m] c, 7 10 0,110 C L [m] B[m] c 0, 7 3 0, 9 ALL[MPa] 10 0,110 C1 L [m] B[m] cb 0, 7 0, 9 0,155 0,110 C L [m] B[m] c,7 1 1,5 300 L 0,095 10,75 L [m] 3, 0,694 0,00084 L 0,7 100 1,5 300 L 10,75 L [m] 1,6797 0,000798 L 100 b Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 45

ΑΣΚΗΣΗ 18 η ίνεται το φορτηγό πλοίου, του οποίου ο υπολογισμός της ροπής αντίστασης της μέσης τομής, φαίνεται στον πίνακα 1. Από το πλοίο πρόκειται να αφαιρεθεί το ο κατάστρωμα. Ζητούνται α. Η μεταβολή των ορθών τάσεων λόγω κάμψης στη διατομή του πλοίου μετά την αφαίρεση του ου καταστρώματος. β. Ο αριθμός των ενισχυτικών που πρέπει να προστεθούν στο ανώτερο κατάστρωμα, ούτως ώστε η μέγιστη τάση μετά την αφαίρεση, να μην υπερβεί τη μεγίστη τάση πριν τη μετασκευή. Τα ενισχυτικά που θα προστεθούν είναι ίδιας μορφής με αυτά που ήδη είναι τοποθετημένα στο κατάστρωμα. γ. Η μεταβολή της επιφάνειας του ανώτερου καταστρώματος και του εσωτερικού πυθμένα, ούτως ώστε να μη μεταβληθεί η κατανομή των ορθών τάσεων λόγω της μετασκευής. Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 46

ΠΙΝΑΚΑΣ 4-1: ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΟΜΗΣ 3,5m 4,0m 4,0m 4,5m 1,0m Στοιχείο διαστάσεις a (m^) h (m) a*h a*h*h i (m^4) έλασμα κυρίου καταστρώματος,5x14 0,035 9,000 0,315,835 0,000 έλασμα υδρορροής 1,5X16 0,04 9,000 0,16 1,944 0,000 διαμήκη ενισχυτικά κυρίου καταστρώματος W160X14;F40X14 0,008 8,900 0,075 0,665 0,000 Ζωστήρας 1,0X16 0,016 8,500 0,136 1,156 0,001 πλευρικά ελάσματα περιβλήματος 7,X14 0,101 4,400 0,444 1,951 0,435 ελάσματα ενδιάμεσου καταστρώματος 4.0X1 0,048 5,500 0,64 1,45 0,000 έλασμα υδροσυλλεκτών R=0.8;t=14 0,018 0,90 0,005 0,001 0,001 ελάσματα εσωτερικού πυθμένα 6.5X14 0,091 1,000 0,091 0,091 0,000 ακραίο πλευρικό έλασμα διπύθμενου 1.5X16 0,04 1,000 0,04 0,04 0,000 διαμήκη ενισχυτικά εσωτερικού πυθμένα W00X10;F66X15 0,015 0,860 0,013 0,011 0,000 πλευρικές σταθμίδες 1.0X1 0,04 0,500 0,01 0,006 0,00 κεντρική σταθμίδα (1/) 1.0X6 0,006 0,500 0,003 0,00 0,001 ελάσματα πυθμένα 7.X14 0,101 0,000 0,000 0,000 0,000 διαμήκη ενισχυτικά πυθμένα W00X10;F66X15 0,015 0,140 0,00 0,000 0,000 διαδοκίδα κυρίου καταστρώματος W0.5X5;F0.4X5 0,03 8,640 0,194 1,680 0,000 διαδοκίδα ενδιάμεσου καταστρώματος W0,5X5;F0,4X5 0,03 5,150 0,116 0,597 0,000 Άθροισμα 0,571 1,910 1,416 0,440 απόσταση ΟΑ απο πυθμένα 3,347m ροπή αδράνειας διατομής σε 1,99m 4 ροπή αντίστασης διατομής (κατ.) σε,87m 3 ροπή αντίστασης διατομής (κατ.) σε 3,863m 3 Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 47

ΛΥΣΗ 18 ης ΑΣΚΗΣΗΣ ερώτημα α) Η αφαίρεση του δεύτερου καταστρώματος και της αντίστοιχης διαδοκίδας προξενεί μεταβολή της επιφάνειας της αφαίρεση με 0,5706 0,0480 0,05 m 1,000m Ο ουδέτερος άξονας μετατοπίζεται προς τον πυθμένα κατά 0,0480,15 0,05 1,8 m 0,9m 1,000 διατομής, η οποία ισούται μετά την Η νέα ροπή αδράνειας και αντίστασης αναφορικά με το κατάστρωμα της διατομής ισούνται με 1,546 m 4 και,067 m 3 αντίστοιχα. Η τάση στο κατάστρωμα αυξάνεται κατά 1 1,067,870 100 11% 1,870 και στον πυθμένα μειούται κατα 4%. Η ποσοστιαία μεταβολή καθ' ύψος ακολουθεί γραμμική κατανομή. Για προσθαφειρέσεις στοιχείων, που επιφέρουν μικρές αλλαγές στην επιφάνεια μίας διατομής ισχύει ότι αν σ η τάση σε απόσταση y από τον ουδέτερο άξονα πριν τη μετασκευή και α η μεταβολή της επιφάνειας της μέσης τομής, η μεταβολή της τάσης σ ισούται με: y a ya y A I όπου A, I η αρχική επιφάνεια και ροπή αδράνειας της μέσης τομής αντίστοιχα και y a η απόσταση του κέντρου της επιφάνειας α από τον ουδέτερο άξονα. Για λόγους σύγκρισης οι μεταβολές στις τάσεις υπολογίζονται και με χρήση της παραπάνω σχέσης: Για αφαίρεση στοιχείου, που απέχει.15 και 1.80m και απο τον αρχικό ουδέτερο άξονα (ελάσματα καταστρώματος και διαδοκίδα αντίστοιχα), ισχύει σ 1 0.691 α 1 και σ 0.530 α και Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 48

Για μικρές μεταβολές ισχύει Δσ Δσ Δσ σ 0, 691Δα 0, 530Δα 1 1 σ 0,691 0,0480 0,530 0,05 0,09σ Παρατηρούμε, οτι αν το πρόβλημα γραμμικοποιηθεί, η υπολογιζόμενη μεταβολή είναι μικρότερη της υπολογιζόμενης χωρίς την παραδοχή των μικρών μεταβολών. ερώτημα β) Η επιφάνεια κάθε ενισχυτικού ισούται με 8 cm, και τοποθετείται σε απόσταση 8,90m-3,35m+0,9m=5,85m απο τον ουδέτερο άξονα της διατομής. Αν σ, σ, σ οι τάσεις πρίν την αφαίρεση, πρίν την ενίσχυση και μετά την ενίσχυση ισχύει σ =1,11σ και οτι η μεταβολή της τάσης στο κατάστρωμα λόγω της προσθήκης n ενισχυτικών ισούται με - - - ' 5,94 1 1,5 '' ' 5, 84 5,84 m n 0,008m 10,55 10-3 n Η απαίτηση είναι σ =σ, και από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει: - 1,11-1,11-3 10,55 10 n n 9,5 Επιλέγονται 10 ενισχυτικά και αν γίνει έλεγχος προκύπτει οτι ικανοποιείται η απαίτηση (απόκλιση 0,3%). ερώτημα γ) Για να μην υπάρχει αλλαγή στην κατανομή τάσεων πρέπει τόσο η θέση του ουδέτερου άξονα οσο και η ροπή αδράνειας της διατομής να παραμείνουν σταθερές. Αν η μεταβολή της επιφάνειας του ανώτερου καταστρώματος και του εσωτερικού πυθμένα είναι α 1 και α αντίστοιχα, τότε 0,0480m (5,50-3,35) 0,05m (5,15-3,35) Δα (9, 00-3, 35) Δα ( -3,351) 0 και 1 Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 49

0,0480m (5,50-3,35) 0,05m (5,15-3,35) α (9, 00-3, 35) α ( -3,351) 0 1 σχέσεις απο τις οποίες προκύπτει οτι 140cm, -75cm 1 δηλαδή αύξηση του πάχους του καταστρώματος και μείωση του εσωτερικού πυθμένα, έτσι ώστε η επιφάνεια των ελασμάτων στο κατάστρωμα να αυξηθεί κατά 80 cm και αυτής του εσωτερικού πυθμένα να μειωθεί κατά 550 cm. Για να ελεγχθούν τα αποτελέσματα γίνονται οι υπολογισμοί της ροπής αντίστασης της διατομής. Οι υπολογισμοί φαίνονται στους πίνακες που ακολουθούν: Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 50

ΠΙΝΑΚΑΣ : ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΟΜΗΣ ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ου ΚΑΤΑΣΤΡΩΜΑΤΟΣ Στοιχείο διαστάσεις a (m^) h (m) a*h a*h*h i (m^4) έλασμα κυρίου καταστρώματος,5x14 0.0350 9.000 0.315.835 0.000 έλασμα υδρορροής 1,5X16 0.040 9.000 0.16 1.944 0.000 διαμήκη ενισχυτικά κυρίου καταστρώματος W160X14;F40X14 0.0084 8.900 0.075 0.665 0.000 Ζωστήρας 1,0X16 0.0160 8.500 0.136 1.156 0.001 πλευρικά ελάσματα περιβλήματος 7,X14 0.1008 4.400 0.444 1.951 0.435 ελάσματα ενδιάμεσου καταστρώματος 4.0X1 0.0000 5.500 0.000 0.000 0.000 έλασμα υδροσυλλεκτών R=0.8;t=14 0.0176 0.90 0.005 0.001 0.001 ελάσματα εσωτερικού πυθμένα 6.5X14 0.0910 1.000 0.091 0.091 0.000 ακραίο πλευρικό έλασμα διπύθμενου 1.5X16 0.040 1.000 0.04 0.04 0.000 διαμήκη ενισχυτικά εσωτερικού πυθμένα W00X10;F66X15 0.0150 0.860 0.013 0.011 0.000 πλευρικές σταθμίδες 1.0X1 0.040 0.500 0.01 0.006 0.00 κεντρική σταθμίδα (1/) 1.0X6 0.0060 0.500 0.003 0.00 0.001 ελάσματα πυθμένα 7.X14 0.1008 0.000 0.000 0.000 0.000 διαμήκη ενισχυτικά πυθμένα W00X10;F66X15 0.0150 0.140 0.00 0.000 0.000 διαδοκίδα κυρίου καταστρώματος W0.5X5;F0.4X5 0.05 8.640 0.194 1.680 0.000 διαδοκίδα ενδιάμεσου καταστρώματος W0,5X5;F0,4X5 0.0000 5.150 0.000 0.000 0.000 Άθροισμα 0.5001 1.530 10.367 0.440 Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 51

απόσταση ΟΑ απο πυθμένα σε m 3.0590 ροπή αδράνειας διατομής σε m^4 1.546 % μεταβολή τάσης σε ροπή αντίστασης διατομής (κατ.) σε m^3.067 10.9% ροπή αντίστασης διατομής (πυθ.) σε m^3 4.0061-3.6% σχέση με τις τάσεις πριν τη μετασκευή (πιν. 1) Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 5

ΠΙΝΑΚΑΣ 3: ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΟΜΗΣ ΜΕΤΑ ΤΗ MΕΤΑΣΚΕΥΗ στοιχείο διαστάσεις a (m^) h (m) a*h a*h*h i (m^4) έλασμα κυρίου καταστρώματος,5x14 0,0350 9,000 0,315,835 0,000 έλασμα υδρορροής 1,5X16 0,040 9,000 0,16 1,944 0,000 διαμήκη ενισχυτικά κυρίου καταστρώματος W160X14;F40X14 0,04 8,900 0,199 1,774 0,000 Ζωστήρας 1,0X16 0,0160 8,500 0,136 1,156 0,001 πλευρικά ελάσματα περιβλήματος 7,X14 0,1008 4,400 0,444 1,951 0,435 ελάσματα ενδιάμεσου καταστρώματος 4.0X1 0,0000 5,500 0,000 0,000 0,000 έλασμα υδροσυλλεκτών R=0.8;t=14 0,0176 0,90 0,005 0,001 0,001 ελάσματα εσωτερικού πυθμένα 6.5X14 0,0910 1,000 0,091 0,091 0,000 ακραίο πλευρικό έλασμα διπύθμενου 1.5X16 0,040 1,000 0,04 0,04 0,000 διαμήκη ενισχυτικά εσωτερικού πυθμένα W00X10;F66X15 0,0150 0,860 0,013 0,011 0,000 πλευρικές σταθμίδες 1.0X1 0,040 0,500 0,01 0,006 0,00 κεντρική σταθμίδα (1/) 1.0X6 0,0060 0,500 0,003 0,00 0,001 ελάσματα πυθμένα 7.X14 0,1008 0,000 0,000 0,000 0,000 διαμήκη ενισχυτικά πυθμένα W00X10;F66X15 0,0150 0,140 0,00 0,000 0,000 διαδοκίδα κυρίου καταστρώματος W0.5X5;F0.4X5 0,05 8,640 0,194 1,680 0,000 διαδοκίδα ενδιάμεσου καταστρώματος W0,5X5;F0,4X5 0,0000 5,150 0,000 0,000 0,000 Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 53

Άθροισμα 0,5141 1,654 11,476 0,440 απόσταση ΟΑ απο πυθμένα σε m 3,180 ροπή αδράνειας διατομής σε m^4 13,1839 % μεταβολή τάσης σε ροπή αντίστασης διατομής (κατ.) σε m^3,80 0,3% ροπή αντίστασης διατομής (πυθ.) σε m^3 4,0969-5,7% σχέση με τις τάσεις πριν τη μετασκευή (πιν. 1) Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 54

ΠΙΝΑΚΑΣ 4: ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΟΜΗΣ στοιχείο διαστάσεις a (m^) h (m) a*h a*h*h i (m^4) έλασμα κυρίου καταστρώματος,5x14 0,0490 9,000 0,441 3,969 0,000 έλασμα υδρορροής 1,5X16 0,040 9,000 0,16 1,944 0,000 διαμήκη ενισχυτικά κυρίου καταστρώματος W160X14;F40X14 0,0084 8,900 0,075 0,665 0,000 ζωστήρας 1,0X16 0,0160 8,500 0,136 1,156 0,001 πλευρικά ελάσματα περιβλήματος 7,X14 0,1008 4,400 0,444 1,951 0,435 ελάσματα ενδιάμεσου καταστρώματος 4.0X1 0,0000 5,500 0,000 0,000 0,000 έλασμα υδροσυλλεκτών R=0.8;t=14 0,0176 0,90 0,005 0,001 0,001 ελάσματα εσωτερικού πυθμένα 6.5X14 0,0635 1,000 0,064 0,064 0,000 ακραίο πλευρικό έλασμα διπύθμενου 1.5X16 0,040 1,000 0,04 0,04 0,000 διαμήκη ενισχυτικά εσωτερικού πυθμένα W00X10;F66X15 0,0150 0,860 0,013 0,011 0,000 πλευρικές σταθμίδες 1.0X1 0,040 0,500 0,01 0,006 0,00 κεντρική σταθμίδα (1/) 1.0X6 0,0060 0,500 0,003 0,00 0,001 ελάσματα πυθμένα 7.X14 0,1008 0,000 0,000 0,000 0,000 διαμήκη ενισχυτικά πυθμένα W00X10;F66X15 0,0150 0,140 0,00 0,000 0,000 διαδοκίδα κυρίου καταστρώματος W0.5X5;F0.4X5 0,05 8,640 0,194 1,680 0,000 διαδοκίδα ενδιάμεσου καταστρώματος W0,5X5;F0,4X5 0,0000 5,150 0,000 0,000 0,000 Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 55

άθροισμα 0,4866 1,68 11,473 0,440 απόσταση ΟΑ απο πυθμένα σε m 3,346 ροπή αδράνειας διατομής σε m^4 1,994 ροπή αντίστασης διατομής (κατ.) σε m^3,869 ροπή αντίστασης διατομής (πυθ.) σε m^3 3,8638 Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 56

ΑΣΚΗΣΗ 19 η Εστω οτι h η απόστση του ουδέτερου άξονα διατομής πλοίου από το κατάστρωμα και y η απόσταση του από το πυθμένα. Αν A και I η επιφάνεια και ροπή της διατομής αντίστοιχα να δείξετε οτι αν (I/A)>h y, αύξηση του πάχους του πυθμένα προκαλεί αύξηση των τάσεων στο κατάστρωμα, όταν η ροπή κάμψης παραμένει σταθερή. ΛΥΣΗ 19 ης ΑΣΚΗΣΗΣ Εστω t η μεταβολή του πάχους του πυθμένα, που έχει πλάτος b. Η μετατόπιση του ΟΑ ισούται με: h y t b y a A t b A a, όπου a t b Μεταβολή ροπής αδράνειας διατομής: ya y A a I ay A a h ay A a A a A a Για να αυξηθούν οι τάσεις στο κατάστρωμα πρέπει να μειωθεί η αντίστοιχη ροπή αντίστασης, δηλαδή: y A a I A a I I h y ya h A h A a Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 57

ΑΣΚΗΣΗ 0 η Πλοίο έxει μήκος L=11 m, πλάτος Β=18 m, κοίλο D=10 m και συντελεστή γάστρας c Β =0.65. Αν η γάστρα του είναι κατασκευασμένη απο ναυπηγικό xάλυβα και υποθέτοντας οτι η μέση τομή του είναι αυτή που φαίνεται στο παρακάτω σxήμα, να εξετάσετε αν η μέγιστη αναμενόμενη τιμή της ορθής λόγω κάμψης, στη μέση τομή υπερβαίνει τα 175 MPa, όταν η καμπτική ροπή σε ήρεμο νερό είναι ίση με 166.034 KNm, και προκαλεί εφελκυστική τάση στο κατάστρωμα. Η καμπτική ροπή σε κυματισμό να υπολογισθεί σύμφωνα με τις απαιτήσεις του IACS. ίνονται τα εξής γεωμετρικά στοιxεία: πλάτος στομίου κύτους 8 m ύψος διπύθμενου 1 m πάxος ελάσ.πυθμένα 14 mm πάxος ελάσ. διπύθμενου 1 mm πάxος ελάσ. καταστρώμ. 1 mm πάxος ελασ. πλευρ. περ. 10 mm πάxος σταθμίδων 11 mm ΛΥΣΗ 0 ης ΑΣΚΗΣΗΣ Η πρόσθετη ροπή λόγω κυματισμού δίνεται κατα IACS απο τις σχέσεις M k C L B c 0.7 10 3 ws 1 1 b M k C L Bc 10 3 wh 1 b όπου M ws, M wh η ροπή κάμψης σε κατάσταση sagging και hogging αντίστοιχα σε KNm L είναι το μήκος του πλοίου σε m, B είναι το μέγιστο πλάτος σε m, c b ο συντελεστής γάστρας, 300 L C1 10,75 90m L 300m 100 k 110, k 190. 1 1,5 Απο τις πιό πάνω σχέσεις προκύπτει οτι M ws =-74.017 kn-m και M wh =7.886 kn-m Από τα παραπάνω συνάγεται ότι η μέγιστη απόλυτη τιμή της τάσης εμφανίζεται στο κατάστρωμα όταν εφαρμόζεται η μέγιστη καμπτικής ροπής, που είναι Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 58

393.90 KN-m. Η μέγιστη επιτρεπόμενη τάση ισούται με 175 MPa, άρα η απαιτούμενη ροπή αντίστασης με 393.90KN-m/175MPa=,51m 3. Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζεται ο υπολογισμός της ροπής αντίστασης της μέσης τομής, που προκύπτει μικρότερη της απαιτούμενης, απο τους κανονισμούς. στοιχείο a h a*h a*h*h i (cm^) (m) (m cm^) (m^ cm^) (m^ cm^) έλασμα καταστρώματος 600 10,0 6.000 60.000 0 πλευρικά ελάσματα περιβλήματος 1.000 5,0 5.000 5.000 8.333 ελάσματα εσωτερικού πυθμένα 1.080 1,0 1.080 1.080 0 πλευρικές σταθμίδες 0 0,5 110 55 18 κεντρική σταθμίδα (1/) 55 0,5 8 14 5 ελάσματα πυθμένα 1.60 0,0 0 0 0 άθροισμα 4.15 1.18 86.149 8.356 απόσταση ΟΑ απο πυθμένα σε m,90 επιφάνεια διατομής σε cm^ 8.430 ροπή αδράνειας διατομής σε m^cm^ 118.183 ροπή αντίστασης διατομής (κατ.) σε mcm^ 16.64 ροπή αντίστασης διατομής (πυθ.) σε mcm^ 40.773 Η ελάχιστη ροπή αντίστασης είναι μικρότερη από την απαιτούμενη. Αρα δεν ικανοποιείται η απαίτηση Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 59

ΑΣΚΗΣΗ 1 η Για τη σxεδίαση της φορτηγίδας, με μέση τομή αυτή που φαίνεται στο πιο κάτω σxήμα, η ροπή κάμψης ελήφθη ίση με 1.045 MΝm και η μέγιστη επιτρεπόμενη ορθή τάση ίση με 175 MPa. Oμως οι ισxύοντες κανονισμοί προδιαγράφουν ροπή σxεδίασης ίση με 1.500 ΜΝm και μέγιστη επιτρεπόμενη τάση ίση με 195 MPa. Πληροί η μέση τομή την σxετική απαίτηση των κανονισμών. Αν όxι πόσο πρέπει να αυξηθεί το πάxος του ελάσματος του καταστρώματος για να είναι η κατασκευή σύμφωνη με τους κανονισμούς; ελάσματα πυθμένα 45,5mm ελάσματα εσωτερικού πυθμένα 6,0mm ελάσματα ενδιάμεσου καταστρώματος 5,0mm ελάσματα ανωτέρου καταστρώματος 35,0mm πλευρικά ελάσματα 30,0mm m 15 m 8m 1m ΛΥΣΗ 1ης ΑΣΚΗΣΗΣ 1045MN m SM1 5,97m 175MPa 3 1500MN m SM 7,69m 195MPa 3 Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 010 60