Εισαγωγή στη Μαθηατική Χρηατοοικονοία

ΜΙΧΑΛΗΣ ΛΟΥΛΑΚΗΣ Αναπληρωτής Καθηγητής Σχολή Εφαροσένων Μαθηατικών & Φυσικών Επιστηών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εισαγωγή στη Μαθηατική Χρηατοοικονοία

Εισαγωγή στη Μαθηατική Χρηατοοικονοία Συγγραφή Μιχάλης Λουλάκης Κριτικός αναγνώστης ηήτρης Χελιώτης Συντελεστές έκδοσης Γλωσσική Επιέλεια: Θεόφιλος Τραπούλης Τεχνική Επεξεργασία: Μανώλης Γκαραγκούνης-Βλατάκης Εξώφυλλο: Ελενα Ζακυνθινού ISBN: 978-960-603-268-4 Copyright c ΣΕΑΒ, 2015 Το παρόν έργο αδειοδοτείται υπό τους όρους της άδειας Creative Commons Αναφορά ηιουργού - Μη Επορική Χρήση - Οχι Παράγωγα Εργα 3.0. Για να δείτε ένα αντίγραφο της άδειας αυτής επισκεφτείτε τον ιστότοπο https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/gr/ ΣΥΝΕΣΜΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΝ ΑΚΑΗΜΑΪΚΝ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΝ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 15780 Ζωγράφου www.kallipos.gr iii

iv

Εισαγωγή Το βιβλίο αυτό απευθύνεται σε φοιτητές που έχουν παρακολουθήσει κάποιο εισαγωγικό άθηα Θεωρίας Πιθανοτήτων και ενδιαφέρονται να γνωρίσουν τη αθηατική θεωρία των Χρηατοοικονοικών. Ηαθηατικήοντελοποίησηχρηατοοικονοικώναγορώνείναιέναδύσκολοεγχείρηα, καθώς οι αγορές δεν υπόκεινται σε νόους της φύσης, αλλά άλλον σε χαρακτηριστικά της ανθρώπινης συπεριφοράς. Οπως σε κάθε οντελοποίηση, χρειάζεται να βρει κανείς ια ικανοποιητική τοή ανάεσα σε οντέλα που είναι απλά και πορεί κανείς να τα κατανοήσει και να τα αναλύσει, και σε οντέλα που είναι ρεαλιστικά, αλλά είναι συχνά δύσκολο ή αδύνατο να αναλυθούν. ΟΣτοχαστικόςΛογισόςεπιτρέπεισήερατηνκατανόηση αρκετά πολύπλοκων οικονοικών οντέλων, απαιτεί όως εξοικείωση ε στοχαστικές διαδικασίες συνεχούς χρόνου, όπως η κίνηση Brown και προχωρηένες τεχνικές για την ανάλυση αυτών των διαδικασιών, όπως το Λήα του Itô και το Θεώρηα αναπαράστασης των martingale. Αυτό αναστέλλει την εισαγωγή στη Μαθηατική Χρηατοοικονοία έχρι το προχωρηένο προπτυχιακό ή το εταπτυχαικό επίπεδο σπουδών. Στις σηειώσεις αυτές παρουσιάζονται πολύ απλά υποδείγατα αγορών σε διακριτό χρόνο. Για την ανάλυσή τους αρκούν οι γνώσεις που αποκτά ένας προπτυχιακός φοιτητής αθηατικών από ένα εισαγωγικό άθηα Θεωρίας Πιθανοτήτων, χωρίς να απαιτείται γνώση της Θεωρίας Μέτρου. Σε αυτά τα οντέλα παρουσιάζονται οι βασικές αρχές της Μαθηατικής Χρηατοοικονοίας, αλλά ε τέτοιο τρόπο που η γενίκευσή τους σε πολυπλοκότερα οντέλα να προκύπτει αβίαστα Το τελευταίο κεφάλαιο αυτών των σηειώσεων αφορά το υπόδειγα Black & Scholes και τον τρόπο ε τον οποίον τα διακριτά οντέλα που θα ελετήσουε το προσεγγίζουν οριακά, καθώς η λεπτότητα της διαέρισης του χρόνου τείνει στο ηδέν. Με αυτόν τον τρόπο ο αναγνώστης εισάγεται στα υποδείγατα συνεχούς χρόνου και πορεί στη συνέχεια να ελετήσει τη σχετική βιβλιογραφία. Τα οντέλα που παρουσιάζονται σε αυτές τις σηειώσεις έχουν προκύψει ε πολλές παραδοχές που συχνά δεν ικανοποιούνται στον πραγατικό κόσο. Οαναγνώστηςθαπρέπειλοιπόννατααντιετωπίσειεπροσοχή. Είναι κατάλληλα για να κατανοήσει κανείς τις βασικές αρχές της Μαθηατικής Χρηατοοικονοίας και να φωτίσουν κάποια αδρά, ποιοτικά χαρακτηριστικά των πραγατικών αγορών, αλλά σε καία περίπτωση δεν είναι ένα εργαλείο στο οποίο πορεί να βασίσει κανείς την επενδυτική του στρατηγική. Το κείενο αυτό ξεκίνησε να γράφεται όταν δίδασκα τα αθήατα Μαθηατική Χρηατοοικονοία Ι & ΙΙ στο Τήα Εφαροσένων Μαθηατικών του Πανεπιστηίου Κρήτης. Ευχαριστώ όλους τους φοιτητές που παρακολούθησαν το άθηα και βοήθησαν ε τα σχόλιά τους στην οργάνωση της ύλης και ιδιαίτερα την Ελένη ραουντάνη, τη Μαρίνα Μωραΐτη και τον Νίκο Ροδουσάκη. Ευχαριστώ επίσης τον συνάδελφο Ιωάννη Αθανασόπουλο για τις πολλές συζητήσεις που είχαε σχετικά ε την οργάνωση αυτών των αθηάτων. Ευχαριστώ τέλος τον γλωσσικό επιελητή Θεόφιλο Τραπούλη και τον κριτικό αναγνώστη ηήτρη Χελιώτη για τα σχόλιά τους και τον φοιτητή της Σχολής Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών του ΕΜΠ Μανώλη Γκαραγκούνη-Βλατάκη, που είναι υπεύθυνος για την ηλεκτρονική υπόσταση αυτών των σηειώσεων. v

Περιεχόενα 1 Τα βασικά χρηατοοικονοικά παράγωγα και η αρχή της η επιτηδειότητας 1 1.1 Εισαγωγή............................................ 1 1.2 Ηαξίατουχρήατοςστονχρόνο................................ 1 1.3 Τα βασικά χρηατοοικονοικά παράγωγα........................... 3 1.4 Ηαρχήτηςηεπιτηδειότητας................................. 5 1.5 Σύνθεση παραγώγων ευρωπαϊκού τύπου............................ 8 1.6 Συβόλαια ελλοντικής εκπλήρωσης (future contracts).................... 10 1.7 Αερικανικά δικαιώατα αγοράς/πώλησης........................... 11 1.8 Ασκήσεις............................................. 14 2 Υποδείγατα αγορών ιας περιόδου 17 2.1 Εισαγωγή............................................ 17 2.2 Το διωνυικό υπόδειγα ιας περιόδου............................. 17 2.3 Το υπόδειγα Arrow-Debreu.................................. 19 2.4 Το Θεώρηα του διαχωρίζοντος υπερεπιπέδου......................... 26 2.5 Ασκήσεις............................................. 27 3 Το διωνυικό υπόδειγα πολλών περιόδων 29 3.1 Εισαγωγή............................................ 29 3.2 Το διωνυικό υπόδειγα πολλών περιόδων........................... 29 3.3 Αναδροικός αλγόριθος τιολόγησης και αντιστάθισης................... 33 3.4 Ασκήσεις............................................. 39 4 Μέτρα martingale 41 4.1 Εισαγωγή............................................ 41 4.2 εσευένη έση τιή..................................... 41 4.3 Martingales........................................... 45 4.4 Μέτρα martingale........................................ 46 4.5 Ανοοιόορφα διωνυικά υποδείγατα............................. 51 4.6 Ασκήσεις............................................. 55 5 ικαιώατα αερικανικού τύπου 57 5.1 Εισαγωγή............................................ 57 5.2 Αλγόριθος τιολόγησης αερικανικών δικαιωάτων..................... 57 5.3 Χρόνοι διακοπής......................................... 63 5.4 Ηβέλτιστηστρατηγικήάσκησης................................ 65 5.5 Ασκήσεις............................................. 68 6 Το οντέλο Black & Scholes ως όριο διωνυικών υποδειγάτων 69 6.1 Εισαγωγή............................................ 69 6.2 Το όριο κλίακας (scaling limit) του διωνυικού υποδείγατος................ 69 vi

6.3 Ηασυπτωτικήσυπεριφοράτωντιώνπαραγώγων..................... 72 6.4 Τιολόγηση ε βάση το υπόδειγα Black & Scholes..................... 78 6.5 Εκτίηση της εταβλητότητας................................. 80 6.6 Ασκήσεις............................................. 83 Βιβλιογραφία 85 Ευρετήριο όρων............................................ 86 vii

viii

Κεφάλαιο 1 Τα βασικά χρηατοοικονοικά παράγωγα και η αρχή της η επιτηδειότητας 1.1 Εισαγωγή Στο παρόν κεφάλαιο θα ιλήσουε για την αξία του χρήατος στον χρόνο, θα γνωρίσουε τα βασικότερα χρηατοοικονικά παράγωγα, τα οποία θα αποτελέσουν το κεντρικό αντικείενο του βιβλίου. Θα γνωρίσουε επίσης το αξίωα της Μαθηατικής Χρηατοοικονοίας που είναι η αρχή της η επιτηδειότητας (principle of no arbitrage). Αυτό το αξίωα είναι το βασικό εργαλείο που θα χρησιοποιήσουε στη ελέτη των παραγώγων. Για παρόοιο υλικό πορείτε να δείτε και την αναφορά [5]. 1.2 Η αξία του χρήατος στον χρόνο Γνωρίζουε από την επειρία ας ότι οι τράπεζες πληρώνουν τόκους στους καταθέτες τους και χρεώνουν τόκους σε όσους δανείζονται από αυτές. Κατά ια έννοια, οτόκοςείναιτοενοίκιοπουεισπράττεικάποιος προκειένου να παραχωρήσει ένα κεφάλαιο που του ανήκει για κάποια χρονική περίοδο. Στο τέλος της περιόδου, το κεφάλαιο του επιστρέφεται και γι αυτό λέε ότι η συγκεκριένη επένδυση είναι χωρίς κίνδυνο (risk-free). Οτόκοςείναιτοκέρδοςπουαποφέρειαυτήηεπένδυσηκαιτοεπιτόκιο(interest rate) είναι ο ρυθός απόδοσής της. Προκειένου να συγκρίνουε διαφορετικές επενδύσεις, το επιτόκιο αναφέρεται πάντα σε ετήσια βάση. Παράδειγα 1 Πριν από έξι ήνες ανοίξατε λογαριασό σε ια τράπεζα και καταθέσατε 500. Σήερα ολογαριασόςσαςπιστώθηκεε 5 τόκο. Ορυθόςαπόδοσηςτηςεπένδυσήςσαςείναι1% ανά έξι ήνες, δηλαδή 2% ανά έτος. Εποένως, το επιτόκιο που σας πρόσφερε η τράπεζά σας ήταν 2%. Ενας φίλος σας τοποθέτησε σήερα 1.000 κλειστά, σε ένα προθεσιακό λογαριασό και σε δύο χρόνια θα έχει στον λογαριασό του 1.060. Ορυθόςαπόδοσηςτηςεπένδυσήςτουείναι6% ανά 2 έτη, δηλαδή 3% ανά έτος. Εποένως, το επιτόκιο που του πρόσφερε η τράπεζά του ήταν 3%. Στο προηγούενο παράδειγα, προσέξτε ότι, αν δεν αποσύρετε τους τόκους που πιστώθηκαν στον λογαριασό σας, σε έξι ήνες θα εισπράξετε τόκο και γι αυτό το ποσόν. Ολογαριασόςσαςθαπιστωθείσε αυτήν την περίπτωση ε τόκο 505 2%/έτος 0,5 έτος = 5,05 και τελικά θα έχετε 510,05. Βλέπουε ότι, παρότι το επιτόκιο είναι 2%, ηεπένδυσήσαςαπέφερεκέρδοςπερισσότεροαπό2% στη διάρκεια ενός έτους. Αυτό συνέβη γιατί ο τόκος που εισπράξατε στο εξάηνο ανατοκίστηκε. Εποένως, προκειένου να αξιολογήσουε ακροπρόθεσα την απόδοση ιας κατάθεσης, χρειάζεται να λάβουε υπόψιν και πόσο συχνά αποφέρει τόκους. Ας υποθέσουε λοιπόν ότι ια τράπεζα προσφέρει επιτόκιο r και πληρώνει τόκους n φορές τον χρόνο. 1

Ενα αρχικό κεφάλαιο A(0) θα αποφέρει τόκους A(0) r n την πρώτη φορά που θα πληρωθούν τόκοι. Το συνολικό κεφάλαιο που θα βρίσκεται τότε στον λογαριασό είναι A 1 r = A(0) 1+. n n Αυτό θα λειτουργήσει ως αρχικό κεφάλαιο για τη δεύτερη περίοδο διάρκειας 1 n του έτους. Στο τέλος της δεύτερης περιόδου, αζί ε τους τόκους που θα πληρωθούν σε αυτήν την περίοδο, το κεφάλαιο θα έχει γίνει A 2 n = A 1 n 1+ r n r 2. = A(0) 1+ n Εύκολα βλέπουε ότι, αν ο χρόνος t, ετρηένος σε έτη, είναι πολλαπλάσιο της περιόδου ανατοκισού 1/n, τότε το αρχικό κεφάλαιο θα έχει ανατοκιστεί nt φορές έχρι το χρόνο t και το κεφάλαιο στον λογαριασό θα είναι A(t) =A(0) 1+ r n nt. Αν επιχειρούσατε να αποσύρετε τα χρήατα σας κάποια χρονική στιγή t που δεν είναι πολλαπλάσιο του 1 n, το κεφάλαιό σας θα είχε ανατοκιστεί [nt] φορές. Μαζί ε τους τόκους που αναλογούν έχρι τη στιγή t, τα χρήατα που θα παίρνατε θα ήταν A(t) =A(0) 1+ r n [nt] 1+r(t [nt] n ). (1.1) Ηακολουθίαn 1+ r nt n 1+r(t [nt] n ) είναι αύξουσα. Αυτό δεν είναι ιδιαίτερα εύκολο να αποδειχθεί, αλλά διαισθητικά σηαίνει ότι όσο πιο συχνά ανατοκίζεται η κατάθεσή ας, τόσο εγαλύτερη απόδοση έχει. Υπάρχει όως ένα όριο στην αύξηση αυτής της απόδοσης. Οταν n, όταν δηλαδή ο ανατοκισός είναι συνεχής, ηαρχικήαςεπένδυσηa(0) θα έχει αξία A(t) =A(0)e rt τη χρονική στιγή t. Παρότι ο συνεχής ανατοκισός (continuous compounding) είναι πρακτικά ανέφικτος, πρόκειται για ένα χρήσιο θεωρητικό εργαλείο που οδηγεί στην απλοποίηση εκφράσεων όπως η (1.1). Επιπλέον, για οποιοδήποτε σχήα ανατοκισού ε επιτόκιο r 1, υπάρχει ένα ισοδύναο επιτόκιο r, το οποίο ε συνεχή ανατοκισό δίνει την ίδια απόδοση στο τέλος κάθε περιόδου ανατοκισού. Προκειένου να βρούε το επιτόκιο r αρκεί να λύσουε την εξίσωση r 1 r r 1 1+ = e n r = n log(1 +. n n Για το λόγο αυτό, θα ακολουθήσουε σε όλο το βιβλίο τη σύβαση ότι ο ανατοκισός είναι συνεχής. Ενας καταθετικός λογαριασός ε συνεχή ανατοκισό που προσφέρει επιτόκιο r είναι το παράδειγα που πορείτε να έχετε στο υαλό σας για την έννοια του προϊόντος χωρίς κίνδυνο ε σταθερό επιτόκιο. Ορισός 1 Ονοάζουε προϊόν χωρίς κίνδυνο (risk-free asset) ε σταθερό επιτόκιο r ένα προϊόν η αξία του οποίου εταβάλλεται στον χρόνο σύφωνα ε τη σχέση A(t) =A(0)e rt. Ενα βασικό χαρακτηριστικό του προϊόντος χωρίς κίνδυνο είναι ότι γνωρίζουε σήερα την αξία που θα έχει στο έλλον. Μπορούε ε αυτόν τον τρόπο να συγκρίνουε ποσά που καταβάλλονται σε διαφορετικές χρονικές στιγές, αν πορούε να δανείζουε και να δανειζόαστε χωρίς κίνδυνο ε επιτόκιο r. Ενα ευρώ σήερα θα πρέπει να έχει την ίδια αξία ε e rt ευρώ, τα οποία πρόκειται να καταβληθούν κάποια ελλοντική χρονική στιγή T. Αυτό συβαίνει γιατί, αν είχατε ένα ευρώ σήερα, θα πορούσατε να το επενδύσετε χωρίς κίνδυνο και να εισπράξετε e rt ευρώ τη χρονική στιγή T. Αντίστοιχα, ένα ποσόν A, το οποίο θα πληρωθεί κάποια ελλοντική χρονική στιγή T, είναι ισοδύναο ε ένα ποσόν Ae rt σήερα. Για το λόγο 2

αυτό, όταν πορούε να δανείζουε και να δανειζόαστε ε σταθερό επιτόκιο r, λέε ότι η παρούσα αξία (present value) ενός ποσού A, το οποίο πρόκειται να καταβληθεί τη χρονική T, είναι Ae rt. Ενα απλό οόλογο (zero-coupon bond), ε χρόνο ωρίανσης (maturity) T και τιή όψεως A, δίνει στον κάτοχό του το δικαίωα να εισπράξει από τον εκδότη του οολόγου το ποσόν A, στον χρόνο T. Ο κάτοχος του οολόγου λέε ότι έχει τη θετική θέση (long position) σε αυτή τη συφωνία, ενώ ο εκδότης του οολόγου λέε ότι έχει την αρνητική θέση (short position). Είναι προφανές ότι ο εκδότης του οολόγου δεν έχει κανένα λόγο να πάρει την αρνητική θέση σε αυτήν τη συφωνία, αν δεν εισπράξει σήερα ένα ποσόν από τον κάτοχο του οολόγου. Ητιήπουσυφωνείται να καταβληθεί σήερα, για ένα οόλογο ε ωρίανση T και τιή όψεως 1, είναι η παρούσα αξία αυτού του οολόγου και τη συβολίζουε ε B(0,T). Αντίστοιχα, ένα οόλογο ε την ίδια ωρίανση και τιή όψεως A έχει παρούσα αξία A B(0,T). Στην ουσία, οεκδότηςενόςαπλούοολόγουδανείζεταισήεραέναποσόνa B(0,T) από τον αγοραστή του οολόγου και αναλαβάνει την υποχρέωση να επιστρέψει στον κάτοχο του οολόγου το ποσόν A, τη συφωνηένη χρονική στιγή T. Αυτός είναι και ο τρόπος που συνήθως δανείζονται χρήατα τα κράτη και κάποιοι εγάλοι οικονοικοί οργανισοί. Αυτή η πράξη δανεισού υποννοεί ένα συφωνηένο σταθερό επιτόκιο r για τη χρονική περίοδο (0,T), που πορεί να υπολογιστεί από τη σχέση A B(0,T)=Ae rt r = 1 T ln B(0,T). Τα απλά οόλογα ας επιτρέπουν εποένως να συγκρίνουε ποσά που καταβάλλονται σε διαφορετικές χρονικές στιγές, χωρίς να κάνουε την υπόθεση ότι το επιτόκιο παραένει σταθερό ή ότι είναι εκ των προτέρων γνωστό. Πράγατι, αν στην αγορά υπάρχουν προς διαπραγάτευση οόλογα ε ωρίανση T, η παρούσα αξία ενός ποσού A που θα καταβληθεί τη χρονική στιγή T είναι A B(0,T). Τα οόλογα είναι προϊόντα που πορεί κανείς να διαπραγατευτεί και η αξία τους αλλάζει στον χρόνο, ε τρόπο που δεν πορούε εν γένει να προβλέψουε. Αν 0 <t<t, συβολίζουε ε B(t, T ) την αξία ενός οολόγου ε ωρίανση T και τιή όψεως 1 κατά τη χρονική στιγή t. Αυτή δεν πορεί να είναι γνωστή σήερα, σε κάθε περίπτωση όως υποννοεί ότι το ισοδύναο σταθερό επιτόκιο δανεισού r(t, T ) για την περίοδο (t, T ) είναι τέτοιο ώστε B(t, T )=e r(t,t )(T t) r(t, T )= 1 ln B(t, T ). T t Για τις ανάγκες αυτών των εισαγωγικών σηειώσεων, στις αγορές που θα θεωρήσουε θα υπάρχει πάντα ένα προϊόν χωρίς κίνδυνο ε σταθερό επιτόκιο r, το οποίο πορούε είτε να αγοράζουε είτε να πουλάε. Οπροσεκτικόςαναγνώστηςθαπαρατηρήσειόωςότισταπερισσότεραεπιχειρήαταπορείκανείςνααντικαταστήσει τον προεξοφλητικό παράγοντα (discounting factor) e rt από τον B(0,T). Κλείνουε αυτήν την παράγραφο ε ια σηείωση. Στην πραγατικότητα, τα προϊόντα χωρίς κίνδυνο και τα οόλογα είναι προϊόντα ε κίνδυνο. Υπάρχει πάντα ο κίνδυνος να ην σας επιστραφεί ποτέ ένα ποσόν που δανείσατε ή ένα απλό οόλογο να ην πληρώσει την τιή όψεως (να κουρευτεί). Ο κίνδυνος αυτός είναι το αντικείενο ελέτης της Θεωρίας Κινδύνου και συνήθως αντανακλάται στο ύψος του επιτοκίου δανεισού. Σε αυτές τις σηειώσεις θα προσποιηθούε ότι δεν υπάρχει, γιατί σκοπός ας είναι να ελετήσουε τις αγορές των παραγώγων. 1.3 Τα βασικά χρηατοοικονοικά παράγωγα Τα παράγωγα προϊόντα (derivative securities) είναι συβόλαια που καθορίζουν ια συφωνία, ηοποία πρόκειται να υλοποιηθεί στο έλλον και η αξία της οποίας εξαρτάται από κάποιο άλλο προϊόν, που θα το ονοάζουε πρωτογενές (underlying asset). Για το λόγο αυτό ονοάζονται και εξαρτώενες απαιτήσεις (contingent claims). Το πρωτογενές προϊόν (από το οποίο εξαρτάται η αξία του παραγώγου) πορεί να είναι ια ετοχή, ένα ξένο νόισα, ένα αγαθό (π.χ. πετρέλαιο), ένας χρηατιστηριακός δείκτης, ένα οόλογο, 3

ακόα κι ένα άλλο παράγωγο προϊόν. Ας δούε ερικά παραδείγατα παραγώγων. Ενα προθεσιακό συβόλαιο (forward contract), ε χρόνο ωρίανσης T και τιή παράδοσης (delivery price) K, είναι ια συφωνία για την αγορά του πρωτογενούς προϊόντος στον χρόνο T έναντι τιήατος K. Οαγοραστήςλέεότιέχειτηθετικήθέση(long position), ενώ ο πωλητής την αρνητική θέση (short position). ΗαξίατηςσυφωνίαςαυτήςστηνωρίανσηεξαρτάταιαπότηναξίαS T που θα έχει τότε το πρωτογενές προϊόν. Ηαπόδοσητουπροθεσιακούσυβολαίουστηνωρίανσηγιατονκάτοχοτηςθετικής θέσης είναι S T K και πορεί να είναι θετική ή αρνητική. Ενα ευρωπαϊκό δικαίωα αγοράς (european call option), ε χρόνο ωρίανσης T και τιή άσκησης (strike price) K, δίνει στον κάτοχό του (θετική θέση) το δικαίωα να αγοράσει από τον αντισυβαλλόενο (αρνητική θέση) το πρωτογενές προϊόν στον χρόνο T έναντι τιήατος K. Ολογικόςεπενδυτήςεθετική θέση θα ασκήσει το δικαίωα αγοράς όνο όταν η τιή S T του πρωτογενούς προϊόντος στην ωρίανση είναι εγαλύτερη του K. Εποένως, ηαπόδοσηγιατονκάτοχοενόςευρωπαϊκούδικαιώατοςαγοράςστην ωρίανση είναι (S T K) + = max{s T K, 0} και είναι πάντοτε η αρνητική. Ενα αερικανικό δικαίωα αγοράς (american call option) διαφέρει από το αντίστοιχο ευρωπαϊκό στο ότι πορεί να ασκηθεί οποιαδήποτε στιγή έχρι και την ωρίανσή του. Ενα ευρωπαϊκό δικαίωα πώλησης (european put option), ε χρόνο ωρίανσης T και τιή άσκησης K, δίνει στον κάτοχό του (θετική θέση) το δικαίωα να πουλήσει στον αντισυβαλλόενο (αρνητική θέση) το πρωτογενές προϊόν στον χρόνο T έναντι τιήατος K. Ολογικόςεπενδυτήςεθετικήθέσηθα ασκήσει το δικαίωα πώλησης όνο όταν η τιή του πρωτογενούς προϊόντος στην ωρίανση είναι ικρότερη του K. Εποένως η απόδοση για τον κάτοχο ενός ευρωπαϊκού δικαιώατος πώλησης στην ωρίανση είναι (K S T ) + και είναι πάντοτε η αρνητική. Οπως και στην περίπτωση των δικαιωάτων αγοράς, ένα αερικανικό δικαίωα πώλησης διαφέρει από το αντίστοιχο ευρωπαϊκό στο ότι πορεί να ασκηθεί οποιαδήποτε στιγή έχρι και την ωρίανσή του. Περισσότερα παραδείγατα θα δούε στην πορεία του αθήατος. ΗδιαπραγάτευσητωνπαραγώγωνγίνεταιείτεέσωΧρηατιστηρίωνείτεαπ ευθείας(over the counter) εταξύ των ενδιαφερόενων πλευρών (συνήθως αξιόπιστων χρηατοοικονοικών οργανισών). Στην Ελλάδα, ηαγοράπαραγώγωνλειτουργείαπότο1997. Στις Ηνωένες Πολιτείες Αερικής, οτζίροςτης αγοράς παραγώγων ετοχών ξεπερνά αυτόν της αγοράς των ίδιων των ετοχών. Τι είναι λοιπόν αυτό που κάνει έναν επενδυτή να στραφεί στην αγορά παραγώγων; Η συνηθισένη απάντηση σε αυτήν την ερώτηση είναι η κερδοσκοπία και η αντιστάθιση του κινδύνου (speculation and hedging.) Ας προσπαθήσουε να το καταλάβουε έσα από τα ακόλουθα δύο παραδείγατα. Παράδειγα 2 Ενας επενδυτής πιστεύει ότι η αξία της ετοχής ιας εταιρείας X πρόκειται να ανέβει σηαντικά έσα στον επόενο ήνα και θέλει να επενδύσει στη ετοχή αυτή. Η τιή της ετοχής σήερα είναι 10, ενώ στην αγορά διατίθεται προς 2 ένα αερικανικό δικαιώα αγοράς της ετοχής της εταιρείας X, ε ωρίανση σε ένα ήνα και τιή άσκησης 10. Οεπενδυτήςαποφασίζειναδιαθέσει 1.000 και εξετάζει δύο εναλλακτικές επενδυτικές στρατηγικές. Είτε θα αγοράσει 100 ετοχές της εταιρείας είτε θα αγοράσει το δικαιώα αγοράς 500 ετοχών. Ας δούε τώρα τι θα συβεί στις δύο περιπτώσεις, ανάλογα ε το αν η πεποίθηση του επενδυτή επαληθευτεί ή όχι. Αν η τιή της ετοχής παραείνει διαρκώς κάτω από τα 10, τότε στην πρώτη περίπτωση θα διατηρήσει την αξία των ετοχών του, ενώ στη δεύτερη θα χάσει όλη του την επένδυση, αφού δεν θα πορέσει να ασκήσει το δικαίωα που έχει αγοράσει. Αυτή ακριβώς η εγαλύτερη έκθεση σε κίνδυνο είναι και ο λόγος που ένα δικαίωα αγοράς της ετοχής κοστίζει πάντα λιγότερο από ότι η ίδια η ετοχή. 4

Αν από την άλλη πλευρά η αξία της ετοχής όντως ανέβει, τότε κάθε επιπλέον ευρώ ανόδου στην αξία της ετοχής θα αποφέρει στον επενδυτή 100, αν έχει επενδύσει στη ετοχή, και 500, αν έχει επενδύσει στο παράγωγό της. Αν για παράδειγα η τιή της ετοχής ανέβει στα 15, τότε στην πρώτη περίπτωση η αξία των ετοχών του επενδυτή θα είναι 1500, αποφέροντάς του κέρδος 50%. Στη δεύτερη περίπτωση, χρησιοποιώντας το δικαίωα, πορεί να αγοράσει 500 ετοχές της εταιρείας προς 10 και να τις πουλήσει άεσα στην τιή διαπραγάτευσής τους ( 15). Αυτό θα του αποφέρει 5/ετοχή 500 ετοχές = 2500 και κέρδος 150% επί της αρχικής του επένδυσης. Βλέπουε ότι, ενώ η επένδυση στο δικαίωα αγοράς ενέχει εγαλύτερο κίνδυνο, αφήνει εγαλύτερο περιθώριο κέρδους, αν η πεποίθηση του επενδυτή επαληθευτεί. Αυτό είναι ένα παράδειγα χρήσης παραγώγων για κερδοσκοπία. Θα πρέπει όως κανείς να έχει κατά νου ότι τα παράγωγα είναι όπως τα παίγνια ηδενικού αθροίσατος. Το κέρδος του ενός συβαλλόενου είναι η ζηιά του άλλου. Στην αγορά των παραγώγων, συνήθως οι άλλοι είναι εγάλοι οργανισοί που πορούν ε τις κινήσεις τους να επηρεάσουν την αγορά. Παράδειγα 3 Μια ελληνική εταιρεία υπογράφει ένα συβόλαιο για την αγορά ενός ηχανήατος από ια αερικανική κατασκευάστρια. Ητελευταίααναλαβάνειναπαραδώσειτοηχάνηασεέναχρόνο, έναντι $100.000. Ητρέχουσαισοτιίαείναι 1=$ 1,10112. Ηελληνικήεταιρείαβρίσκειτηντιήτουηχανήατος συφέρουσα, αλλά ανησυχεί για την ισοτιία $/ που θα ισχύει σε ένα χρόνο. Προκειένου να καταρτίσει τον προϋπολογισό της, θα ήθελε να εξασφαλίσει ότι δεν θα πληρώσει πάνω από 90.000 για το ηχάνηα. Ενα ευρωπαϊκό δικαίωα αγοράς $100.000, ε ωρίανση σε ένα χρόνο και τιή άσκησης 90.000, θα πορούσε να φανεί πολύ χρήσιο. Αν σε ένα χρόνο η ισοτιία $/ έχει υπερβεί τα 0,90 /$, ηεταιρείαθα πορεί να ασκήσει το δικαίωα αγοράς και να λάβει $100.000 έναντι 90.000. Αν πάλι η ισοτιία έχει είνει κάτω από 0,90 /$, ηεταιρείαπορείναανταλλάξειευρώπροςαερικανικάδολλάριαστηντρέχουσαισοτιία. Αυτό είναι ένα παράδειγα χρήσης παραγώγων για την αντιστάθιση του κινδύνου από τις εταβολές της αξίας του πρωτογενούς προϊόντος, το οποίο στο συγκεκριένο παράδειγα είναι ένα ξένο συνάλλαγα. Είναι σαφές ότι ένα προϊόν, όπως το δικαίωα αγοράς ή πώλησης, όνο θετικό πορεί να αποβεί στον κάτοχό του. Είναι λοιπόν εύλογο ότι ο κάτοχος του δικαιώατος θα πρέπει να καταβάλει στον αντισυβαλλόενό του ένα αρχικό τίηα προκειένου να το αποκτήσει. Το αν υπάρχει κάποιο τίηα που πορεί να θεωρηθεί δίκαιο και το ποιο ακριβώς είναι αυτό είναι ένα η τετριένο πρόβληα. Στο εγαλύτερο έρος των σηειώσεων θα ασχοληθούε ε την τιολόγηση χρηατοοικονοικών παραγώγων. Το βασικό εργαλείο που χρησιοποιούε είναι η αρχή της η επιτηδειότητας (principle of no arbitrage), ηοποίααποτελείτο αντικείενο της επόενης παραγράφου. 1.4 Η αρχή της η επιτηδειότητας Ηαρχήτηςηεπιτηδειότηταςαξιώνειότιδενπορείναυπάρξειδυνατότητακέρδουςχωρίςτηνανάληψη ρίσκου. Μπορεί κανείς να επιχειρηατολογήσει γιατί είναι εύλογο να έχουν αυτήν την ιδιότητα οι πραγ- ατικές αγορές, τουλάχιστον όταν αυτές βρίσκονται σε ισορροπία. Ας υποθέσουε για παράδειγα ότι, στη διατραπεζική αγορά οι τρέχουσες ισοτιίες εταξύ ευρώ, αερικανικού δολλαρίου και στερλίνας είναι $ 1= 0,90817, 1 = 0,70095 και 1 = $ 1,60211. Αυτός ο συνδυασός ισοτιιών συνιστά ια δυνατότητα κέρδους χωρίς ρίσκο. Μια ευρωπαϊκή τράπεζα θα πορούσε αρχικά να αγοράσει 700,95 προς 1.000. Στη συνέχεια θα πορούσε να ανταλλάξει τις στερλίνες ε 700, 95 1, 60211 = 1123 αερικανικά δολλάρια. Με αυτά θα πορούσε να αγοράσει 1.019,87, εξασφαλίζοντας κέρδος 19,87 για κάθε 1.000 επένδυσης. Καθένας που θα αντιλαβανόταν αυτή την ευκαιρία θα ήθελε φυσικά να την εκεταλλευτεί. Θα δηιουργείτο έτσι αυξηένη ζήτηση για την αγορά στερλινών ε ευρώ, για την αγορά δολλαρίων ε στερλίνες και για την αγορά ευρώ ε δολλάρια, οδηγώντας στη είωση των αντίστοιχων ισοτιιών έχρι την εξάλειψη αυτής της δυνατότητας κέρδους, οπότε θα είχαε αποκατάσταση της ισορροπίας. Στα Χρηατοοικονοικά Μαθηατικά δεχόαστε την αρχή της η επιτηδειότητας ως αξίωα. Συνήθως ια αγορά οντελοποιείται από ένα χώρο πιθανότητας, τα σηεία του οποίου αντιπροσωπεύουν τα δυνατά σενάρια εξέλιξης της αγοράς. Οι τιές των διαφόρων προϊόντων είναι στοχαστικές διαδικασίες, ορισένες σε αυτόν τον χώρο πιθανότητας. Οι στατιστικές ιδιότητες που τους αποδίδουε αντανακλούν 5

την πεποίθηση που υπάρχει για τη δυναική τους. Τέτοια υποδείγατα έχουν προταθεί πολλά και θα δούε αρκετά. Κάποια από αυτά είναι εύχρηστα αλλά άλλον απλοϊκά, άλλα είναι περισσότερο ρεαλιστικά αλλά τεχνικά δυσκολότερα στην ανάλυσή τους. Ητιολόγησηπαραγώγωνβασίζεταιστηναρχήτηςηεπιτηδειότητας, αλλά εξαρτάται εν γένει και από τις λεπτοέρειες του υποδείγατος αγοράς που υιοθετούε. Θα αναβάλουε για το επόενο κεφάλαιο την αυστηρή αθηατική περιγραφή τέτοιων υποδειγάτων και θα ασχοληθούε εδώ ε τους περιορισούς που επιβάλλονται από την αρχή της η επιτηδειότητας, χωρίς να κάνουε καία υπόθεση για τη δυναική της αγοράς. Ηακόλουθηπρότασηείναιάεσησυνέπειατηςαρχήςτηςηεπιτηδειότηταςκαιθααςφανείχρήσιη. Πρόταση 1 α) Αν τη στιγή T 0 ένα χαρτοφυλακίο A έχει σε κάθε πιθανό ενδεχόενο η αρνητική αξία, τότε η αρχική του αξία πρέπει να είναι η αρνητική. Συγκεκριένα, V T (A) 0 = V 0 (A) 0. β) Αν τη στιγή T 0 ηαξίαενόςχαρτοφυλακίουa είναι σε κάθε πιθανό ενδεχόενο τουλάχιστον όση ηαξίαενόςχαρτοφυλακίουb, τότε η αρχική αξία του A πρέπει να είναι τουλάχιστον όση αυτή του B. Συγκεκριένα, V T (A) V T (B) = V 0 (A) V 0 (B). γ) Αν τη στιγή T 0 ηαξίαενόςχαρτοφυλακίουa ταυτίζεται ε την αξία ενός χαρτοφυλακίου B σε κάθε πιθανό ενδεχόενο, τότε η αρχική αξία των A και B πρέπει να είναι η ίδια. Συγκεκριένα, V T (A) =V T (B) = V 0 (A) =V 0 (B). Παρατήρηση 1 Στη διατύπωση της Πρότασης 1 θα πρέπει να δώσουε προσοχή στη σηασία της φράσης σε κάθε πιθανό ενδεχόενο. Εν γένει, ένα χαρτοφυλάκιο αποτελείται από τίτλους, η αξία των οποίων στον χρόνο T δεν ας είναι σήερα γνωστή, αλλά εξαρτάται από το τι θα συβεί στην αγορά έχρι τη στιγή T. Για να χρησιοποιήσουε την παραπάνω πρόταση θα πρέπει να εξασφαλίσουε ότι οι προϋποθέσεις της ικανοποιούνται ανεξάρτητα από τι πορεί να συβεί στην αγορά έχρι τον χρόνο T. Αυτό θα γίνει πιο κατανοητό στο επόενο κεφάλαιο, όταν θα οντελοποιήσουε τα δυνατά σενάρια εξέλιξης της αγοράς ως σηεία ενός χώρου πιθανότητας, οπότε η V T (A) θα είναι ια τυχαία εταβλητή. Λέγοντας V T (A) 0 θα εννοούε ότι αυτή η τυχαία εταβλητή είναι η αρνητική ε πιθανότητα 1. Αν αυτό συβαίνει, ηαρχήτης η επιτηδειότητας επιβάλλει στην αρχική αξία του χαρτοφυλακίου, ηοποίαείναιένασυγκεκριένοποσό, να είναι η αρνητική. Παρατήρηση 2 Το αντίστροφο της παραπάνω πρότασης δεν ισχύει. Για παράδειγα, ας υποθέσουε ότι στην αγορά υπάρχει ια ετοχή αξίας 10 και ότι η αξία ενός δικαιώατος αγοράς της ετοχής, ε ωρίανση T και τιή άσκησης 12, είναι 2. Αν θεωρήσουε ένα χαρτοφυλάκιο που περιλαβάνει τη ετοχή και αρνητική θέση σε πέντε δικαιώατα αγοράς της ετοχής, τότε η αρχική αξία αυτού του χαρτοφυλακίου είναι ηδενική. ΗαξίαόωςτουχαρτοφυλακίουτηστιγήT θα είναι V T = S T 5(S T 12) +. Είναι φανερό ότι το πρόσηο της V T εξαρτάται από την αξία S T της ετοχής στον χρόνο T. Ας δούε τώρα πώς, χρησιοποιώντας την Πρόταση 1, πορούε να εξαγάγουε χρήσια συπεράσατα για την αρχική αξία των παραγώγων που γνωρίσαε στην προηγούενη παράγραφο. Πρόταση 2 ΗαξίαF (S 0,T,K) ενός προθεσιακού συβολαίου ε ωρίανση T και τιή παράδοσης K είναι F (S 0,T,K)=S 0 KB(0,T)=S 0 Ke rt. 6

Απόδειξη: ΗαπόδοσηενόςπροθεσιακούσυβολαίουστηνωρίανσηείναιS T K. Θεωρούε ένα χαρτοφυλάκιο A που αποτελείται από το πρωτογενές προϊόν και αρνητική θέση σε ένα οόλογο όψεως K και ωρίανσης T. Θεωρούε επίσης χαρτοφυλάκιο B που αποτελείται από ένα προθεσιακό συβόλαιο ε χρόνο ωρίανσης T και τιή παράδοσης K. ΗαξίατουχαρτοφυλακίουA στην ωρίανση είναι S T K. Εποένως, είναι ίση ε την αξία του B, ανεξάρτητα από την τιή που πορεί να έχει η S T. Σύφωνα ε την αρχή της η επιτηδειότητας τα δύο χαρτοφυλάκια πρέπει να έχουν την ίδια αρχική αξία. ΗτρέχουσααξίατουA όως είναι S 0 KB(0,T). Παρατήρηση 3 Ηαρχικήαξίατουπροθεσιακούσυβολαίουείναιηδενική, όταν η τιή παράδοσης είναι K f = S 0 e rt. Αν σε ένα προθεσιακό συβόλαιο συφωνηθεί η K f ως τιή παράδοσης, οι συβαλλόενοι δεν χρειάζεται να ανταλλάξουν χρήατα κατά την υπογραφή του. Η K f ονοάζεται προθεσιακή τιή (forward price) του συβολαίου και είναι η τιή παράδοσης που συνήθως χρησιοποιείται στην πράξη. Ας εξετάσουε τώρα την περίπτωση ενός ευρωπαϊκού δικαιώατος αγοράς. Πρόταση 3 Ηαξίαc(S 0,T,K) ενός ευρωπαϊκού δικαιώατος αγοράς ε ωρίανση T και τιή άσκησης K ικανοποιεί τις ανισότητες S0 KB(0,T) + c(s0,t,k) S 0. Απόδειξη: Θεωρούε χαρτοφυλάκιο A, αποτελούενο από ένα ευρωπαϊκό δικαίωα αγοράς ε χρόνο ω- ρίανσης T και τιή άσκησης K. Είδαε ότι η αξία αυτού του χαρτοφυλακίου στην ωρίανση είναι V T (A) =(S T K) + 0. Θα συβολίζουε την αρχική του αξία ε c(s 0,T,K). Από την Πρόταση 1, θα πρέπει c(s 0,T,K) 0. Εστω τώρα χαρτοφυλάκιο B που αποτελείται από ένα προθεσιακό συβόλαιο για την αγορά του πρωτογενούς προϊόντος ε χρόνο ωρίανσης T και τιή παράδοσης K. Ηαπόδοσητου χαρτοφυλακίου B στην ωρίανση είναι V T (B) =S T K (S T K) + = V T (A), ανεξάρτητα από την τιή που πορεί να έχει η S T. Εποένως, ηαρχικήαξίατουb δεν πορεί να υπερβαίνει την αρχική αξία του A. Εχουε λοιπόν ότι c(s 0,T,K) S 0 KB(0,T) και τελικά c(s 0,T,K) max{s 0 KB(0,T), 0} = S 0 KB(0,T) +. Εστω τώρα χαρτοφυλάκιο B που περιλαβάνει όνο το πρωτογενές προϊόν. ΗαξίατουχαρτοφυλακίουB στην ωρίανση είναι S T και είναι εγαλύτερη από (S T K) +. Από την Πρόταση 1 ηαρχικήαξίατουb είναι τουλάχιστον όση του δικαιώατος αγοράς, εποένως c(s 0,T,K) S 0. ιαισθητικά περιένουε ότι όσο εγαλύτερη είναι η τιή άσκησης ενός ευρωπαϊκού δικαιώατος αγοράς τόσο ικρότερη θα πρέπει να είναι η αρχική του αξία. Αυτό είναι άεση συνέπεια της αρχής της η επιτηδειότητας. Πράγατι, εφόσον η συνάρτηση K (x K) + είναι φθίνουσα, έχουε ότι K 1 K 2 = (S T K 1 ) + (S T K 2 ) +, S T 0= c(s 0,T,K 1 ) c(s 0,T,K 2 ). Περισσότερες σχέσεις που επιβάλλει η αρχή της η επιτηδειότητας στη δίκαιη τιή των ευρωπαϊκών δικαιωάτων αγοράς θα δούε στις ασκήσεις. Πρόταση 4 Ισοτιία ευρωπαϊκών δικαιωάτων αγοράς και πώλησης (put-call parity). Οι αρχικές αξίες c(s 0,T,K) και p(s 0,T,K) των ευρωπαϊκών δικαιωάτων αγοράς και πώλησης συνδέονται ε τη σχέση F (S 0,T,K)=S 0 KB(0,T)=c(S 0,T,K) p(s 0,T,K). (1.2) Απόδειξη: Από την ταυτότητα x = x + x = x + ( x) +, ηοποίαισχύειγιακάθεx R, έχουε ότι: S T K =(S T K) + (K S T ) +, S T 0. Θεωρούε χαρτοφυλάκιο A, το οποίο αποτελείται από ένα προθεσιακό συβόλαιο, και χαρτοφυλάκιο B, το οποίο αποτελείται από ένα ευρωπαϊκό δικαίωα αγοράς και ια αρνητική θέση σ ένα ευρωπαϊκό δικαίωα πώλησης. Ολα τα παραπάνω παράγωγα έχουν χρόνο ωρίανσης T και τιή άσκησης K. Από την παραπάνω ισότητα οι αποδόσεις των δύο χαρτοφυλακίων στην ωρίανση συπίπτουν. Από την αρχή της η επιτηδειότητας οι αρχικές τους αξίες πρέπει εποένως να είναι ίσες. 7

Παρατήρηση 4 Με βάση την ισοτιία ευρωπαϊκών δικαιωάτων αγοράς και πώλησης, οι εκτιήσεις που κάναε για την c(s 0,T,K) στην Πρόταση (3) αυτόατα οδηγούν σε αντίστοιχες εκτιήσεις για την p(s 0,T,K). Συγκεκριένα, (KB(0,T) S 0 ) + p(s 0,T,K) KB(0,T). Υποθέσαε παραπάνω ότι η κατοχή του πρωτογενούς προϊόντος (στο χαρτοφυλάκιο A) δεν συνεπάγεται κάποιο κόστος ή όφελος. Σε κάποιες περιπτώσεις αυτό δεν είναι ακριβές. Για παράδειγα, ια ετοχή πορεί να πληρώσει έρισα στους κατόχους της κάποια στιγή πριν την ωρίανση, ένα αγαθό πορεί να επιφέρει κάποιο κόστος αποθήκευσης ή ένα ξένο συνάλλαγα πορεί να αποφέρει τόκους. Τα επιπλέον έσοδα ή έξοδα από την κατοχή του πρωτογενούς προϊόντος δεν αφορούν φυσικά τους κατόχους παραγώγων, γι αυτό και η αξία ενός παραγώγου σε ια τέτοια περίπτωση είναι διαφορετική. Ας δούε για παράδειγα πώς αλλάζει η αξία ενός προθεσιακού συβολαίου, αν το πρωτογενές προϊόν είναι ηετοχήιαςεταιρείας, ηοποίααποδίδειστουςκατόχουςτηςέρισαd ανά ετοχή στον χρόνο t<t. Με τη διανοή του ερίσατος, ηαξίατηςεταιρείαςθαειωθείκατάτοκεφάλαιοπουοίρασεστουςετόχους της. Επειδή η αξία ιας ετοχής αντιπροσωπεύει ένα έρος της αξίας της εταιρείας, αυτόατα η αξία κάθε ετοχής θα ειωθεί κατά D. Ετσι, οκάτοχοςιαςετοχής, ακριβώς πριν τη διανοή του ερίσατος θα έχει ια ετοχή αξίας S t, ενώ ακριβώς ετά θα έχει ια ετοχή αξίας S t+ = S t D και ετρητά D. Αν λοιπόν το χαρτοφυλάκιο A περιέχει αρχικά τη ετοχή, αρνητική θέση σε ένα οόλογο όψεως K και ωρίανσης T, καθώς και αρνητική θέση σ ένα οόλογο όψεως D και ωρίανσης t, το έρισα που θα λάβουε θα καλύψει ακριβώς την υποχρέωσή ας στο οόλογο που ωριάζει τη στιγή t. Ηαξίατουχαρτοφυλακίουαςστον χρόνο T θα είναι εποένως V T (A) =S T K. Από την αρχή της η επιτηδειότητας, ηαρχικήαξίαενός προθεσιακού συβολαίου ε ωρίανση T και τιή άσκησης K είναι ίση ε αυτήν του χαρτοφυλακίου A. Εποένως, F (S 0,T,K)=S 0 KB(0,T) DB(0,t)=S 0 De rt Ke rt. Οοίως, ησχέσηισοτιίαςτωνευρωπαϊκώνδικαιωάτωναγοράςκαιπώλησηςγίνεται c(s 0,T,K) p(s 0,T,K)=S 0 DB(0,t) KB(0,T). 1.5 Σύνθεση παραγώγων ευρωπαϊκού τύπου Ενα παράγωγο ονοάζεται ευρωπαϊκού τύπου, αν η αξία του στην ωρίανση T εξαρτάται όνο από την τιή που λαβάνει το πρωτογενές προϊόν στην ωρίανση. Εποένως, ηαξίαενόςπαραγώγουευρωπαϊκούτύπου είναι της ορφής f(s T ), για κάποια συνάρτηση f : R + R. Ενας επενδυτής που επιθυεί να επενδύσει σε παράγωγα του πρωτογενούς προϊόντος θα ήθελε να επιλέξει τη συνάρτηση απόδοσης f που ταιριάζει στις ανάγκες του. Από την άλλη, είναι κατανοητό ότι δεν πορούν να υπάρχουν στην αγορά έτοια παράγωγα για κάθε συνάρτηση απόδοσης f. Στην παράγραφο αυτή θα δούε πώς πορούε να συνθέσουε ένα παράγωγο, να κατασκευάσουε δηλαδή ένα χαρτοφυλάκιο ε την επιθυητή απόδοση f, χρησιοποιώντας απλά παράγωγα όπως αυτά που είδαε στην Παράγραφο 1.3. Αν και τα ευρωπαϊκά δικαιώατα αγοράς ή πώλησης είναι απλά χρηατιστηριακά προϊόντα, εντούτοις αρκούν για να συνθέσουε πρακτικά οποιοδήποτε ευρωπαϊκό παράγωγο ε τον ίδιο χρόνο ωρίανσης. Μπορείτε εύκολα να δείτε ότι, αν η f έχει παραγώγους έχρι και δεύτερης τάξης, τότε για κάθε x 0 έχουε: f(x) =f(0) + f (0)x + Εποένως, για οποιαδήποτε τιή S T του πρωτογενούς προϊόντος έχουε f(s T )=f(0) + f (0)S T + 8 0 0 (x y) + f (y) dy. (1.3) (S T y) + f (y) dy. (1.4)

Βλέπουε ότι η απόδοση του παραγώγου στην ωρίανση είναι ίδια ε αυτήν ενός χαρτοφυλακίου που αποτελείται από ένα οόλογο όψεως f(0), f (0) έρη του πρωτογενούς προϊόντος και ευρωπαϊκά δικαιώατα αγοράς όλων των δυνατών τιών άσκησης. Αν γνωρίζουε την αρχική αξία των ευρωπαϊκών δικαιωάτων αγοράς, πορούε να υπολογίσουε και την αρχική αξία του παραγώγου, ως V 0 (f) =f(0)b(0,t)+f (0)S 0 + 0 c(s 0,T,y)f (y) dy. Είναι ενδιαφέρον ότι, όταν η f είναι ια κυρτή συνάρτηση η (1.4) παραένει σε ισχύ, αν ερηνεύσουε την f ε την έννοια των κατανοών. Μπορούε έτσι να συνθέσουε παράγωγα, των οποίων η απόδοση είναι γραικός συνδυασός κυρτών συναρτήσεων, όπως είναι για παράδειγα κάθε τηατικά γραική συνάρτηση. Σε αυτήν την περίπτωση η (1.4) γίνεται f(s T )=f(0) + f +(0)S T + y>0(s T y) + f +(y) f (y). (1.5) Παράδειγα 4 Θέλουε να σχεδιάσουε ένα ευρωπαϊκό παράγωγο του οποίου η απόδοση έχει ως εξής. S T, 0 S T K K, K S T 9K f(s T )= 10K S T, 9K S T 10K 0, S T 10K. Ηαπόδοσητουπαραγώγουείναιτηατικάγραική. Εχουε f(0) = 0, f +(0) = 1 και για y > 0 f +(y) = f (y) όνο αν y {K, 9K, 10K}. Από την 1.5 έχουε f(s T )=S T (S T K) + (S T 9K) + +(S T 10K) +. Βλέπουε λοιπόν ότι το παράγωγο που θέλουε να συνθέσουε είναι ουσιαστικά ένα χαρτοφυλάκιο το οποίο αποτελείται από το πρωτογενές προϊόν, ένα ευρωπαϊκό δικαίωα αγοράς ε τιή άσκησης 10K και αρνητική θέση σε ευρωπαϊκά δικαιώατα αγοράς ε τιές άσκησης K και 9K. Από την αρχή της η επιτηδειότητας, ηαρχικήαξίααυτούτουχαρτοφυλακίουθαείναι V 0 = S 0 + c(s 0,T,10K) c(s 0,T,K) c(s 0,T,9K). Παράδειγα 5 Θεωρήστε ένα παράγωγο ε συνάρτηση απόδοσης f(s T )= 0, S T <K 1, S T K. Ηαπόδοσηδενείναισυνεχήςσυνάρτηση, εποένως δεν πορεί να γραφεί ως γραικός συνδυασός κυρτών συναρτήσεων. Οι κυρτές συναρτήσεις είναι συνεχείς, αν παίρνουν πεπερασένες τιές. Θα προσεγγίσουε την f ε συνεχείς, τηατικά γραικές συναρτήσεις. Μπορούε εύκολα να ελέγξουε την ακόλουθη ανισότητα, που ισχύει για κάθε h>0. (x (K h)) + (x K) + Από την αρχή της η επιτηδειότητας θα πρέπει να έχουε: h f(x) (x K)+ (x (K + h)) +. h c(s 0,T,K h) c(s 0,T,K) h V 0 (f) c(s 0,T,K) c(s 0,T,K + h). h 9

Αν πορούε να υπολογίσουε την αξία ενός ευρωπαϊκού δικαιώατος αγοράς και αυτή είναι παραγωγίσιη ως προς την τιή άσκησης, παίρνοντας h 0, έχουε V 0 (f) = c(s 0,T,K). K Ηαξίαενόςευρωπαϊκούδικαιώατοςαγοράςc(S 0,T,K) εξαρτάται από το υπόδειγα που θα χρησιοποιήσουε για την τιολόγηση. Ανεξάρτητα από το υπόδειγα όως, η σηερινή αξία του παραγώγου του παραδείγατος θα δίνεται από την παράγωγο της c ως προς την τιή άσκησης. 1.6 Συβόλαια ελλοντικής εκπλήρωσης (future contracts) Ενα συβόλαιο ελλοντικής εκπλήρωσης, όπως και ένα προθεσιακό συβόλαιο, είναι ια συφωνία για την αγοραπωλησία καθορισένης ποσότητας ενός προϊόντος, σε καθορισένο χρόνο, έναντι καθορισένου τιήατος. Ηβασικότερηδιαφοράεταξύπροθεσιακώνσυβολαίωνκαισυβολαίωνελλοντικήςεκπλήρωσηςείναι ότι, ενώ στα προθεσιακά συβόλαια το συφωνηθέν τίηα καταβάλεται εξ ολοκλήρου στην ωρίανση, στα συβόλαια ελλοντικής εκπλήρωσης το τίηα καταβάλλεται σταδιακά, όσο το συβόλαιο είναι σε ισχύ, και στην ωρίανση το προϊόν πωλείται στην τιή διαπραγάτευσής του. Θα εξηγήσουε τον τρόπο ε ένα παράδειγα, καλό είναι όως να διαβάσετε από τα βιβλία [3] ή [4] τις λεπτοέρειες. Εστω ότι στις 12 Οκτωβρίου ο Α συφωνεί να αγοράσει από τον Β ποσότητα Υ του προϊόντος Χ. Η αγορά θα γίνει στις 30 Νοεβρίου έναντι τιήατος f 0. Τα συβόλαια ελλοντικής εκπλήρωσης είναι τυποποιηένα. Ετσι, συβόλαια για την ίδια ποσότητα και τον ίδιο χρόνο παράδοσης συνάπτονται και εταξύ άλλων επενδυτών. Ας υποθέσουε λοιπόν ότι στις13 Οκτωβρίου η τελευταία τιή που συφωνήθηκε για ένα τέτοιο συβόλαιο είναι f 1 >f 0. Τότε ο Α, του οποίου η θέση απέκτησε αξία σε σχέση ε την προηγούενη έρα, λαβάνει από τον Β τη διαφορά f 1 f 0. Οοίως, αν f 0 >f 1 οβλαβάνειαπότοναf 0 f 1. Η διαδικασία αυτή καλείται καθηερινή αποτίηση (marking-to-market) και οι πληρωές πραγατοποιούνται έσω λογαριασών πίστωσης (margin accounts), που οι συβαλλόενοι είναι υποχρεωένοι να διατηρούν πάνω από κάποιο καθορισένο υπόλοιπο. Αυτή η διαδικασία επαναλαβάνεται καθηερινά. Στο τέλος της n οστής ηέρας, ποσόν f n 1 f n (θετικό ή αρνητικό) εταφέρεται από το λογαριασό του Α σ αυτόν του Β, ώσπου στην ηεροηνία παράδοσης ο Α αγοράζει το προϊόν από τον Β στην τρέχουσα τιή του προϊόντος S N. Το άθροισα των ενδιάεσων πληρωών από τον Α στον Β είναι τηλεσκοπικό και ισούται ε f 0 f N, όπου N είναι το πλήθος των ηερών έχρι την ωρίανση. Από την αρχή της η επιτηδειότητας θα πρέπει f N = S N. Μαζί ε την τελική πληρωή S N, οαθαέχεικαταβάλλειστονβσυνολικάποσό f 0 f N + S N = f 0, το οποίο είναι και το συφωνηθέν τίηα. Ολόγοςύπαρξηςαυτήςτηςδιαδικασίαςκαθηερινήςκαταβολήςτηςδιαφοράςστηελλοντικήτιή, είναι ηελαχιστοποίησητουκινδύνουαπότηνπτώχευσηενόςαπότουςδύοσυβαλλόενους. Γι αυτό και τα συβόλαια ελλοντικής εκπλήρωσης είναι προσβάσια σε ιδιώτες επενδυτές, σε αντίθεση ε τα προθεσιακά συβόλαια που συνάπτονται συνήθως όνο στη διατραπεζική αγορά. Εδώ θα ασχοληθούε περισσότερο ε την τιολόγηση των συβολαίων ελλοντικής εκπλήρωσης βάσει της αρχής της η επιτηδειότητας. Οι στρατηγικές επιτηδειότητας που έχουε θεωρήσει ως τώρα συνίστανται στη σύνθεση αρχικά ενός χαρτοφυλακίου ε ηδενική αξία που σε ια ελλοντική στιγή T θα έχει θετική απόδοση, ανεξάρτητα από την κίνηση του πρωτογενούς προϊόντος. Αυτή είναι ια απλοϊκή στρατηγική όως, αφού δεν αξιοποιούε τη δυνατότητα να εταβάλλουε το χαρτοφυλάκιό ας, χρησιοποιώντας την πληροφορία που παρέχει η τιή του υποκείενου προϊόντος έχρι εκείνη τη στιγή. Θα πορούσαε για παράδειγα, την πρώτη στιγή που η τιή ιας ετοχής πέσει κάτω από ένα προκαθορισένο επίπεδο, να αλλάξουε τη θέση ας, αγοράζοντας τη ετοχή ε χρήατα από το λογαριασό ετρητών του χαρτοφυλακίου ας. Μια τέτοια συναλλαγή προφανώς δεν εταβάλλει την αξία του χαρτοφυλακίου τη στιγή που διεκπεραιώνεται. 10

Ορισός 2 Ενα χαρτοφυλάκιο που εξελίσσεται στον χρόνο ε ια σειρά από συναλλαγές, οι οποίες εξαρτώνται όνο από την πληροφορία που είναι διαθέσιη ως τη στιγή που συντελούνται και δεν εταβάλουν την αξία του χαρτοφυλακίου τη στιγή που συντελούνται, ονοάζεται αυτοχρηατοδοτούενο (self-financing). Ενα αυτοχρηατοδοτούενο χαρτοφυλάκιο ε ηδενική αρχική αξία και θετική απόδοση στον χρόνο T, προσφέρει ια στρατηγική επιτηδειότητας. Θεωρώντας αυτοχρηατοδοτούενα χαρτοφυλάκια, ηαρχήτης η επιτηδειότητας επιβάλλει περισσότερους περιορισούς στην τιολόγηση παραγώγων. Χρησιοποιώντας ένα αυτοχρηατοδοτούενο χαρτοφυλάκιο, θα δείξουε την ακόλουθη πρόταση. Πρόταση 5 Αν το επιτόκιο είναι σταθερό, τότε η θεωρητικά δίκαιη ελλοντική τιή f 0 που συφωνείται σε ένα συβολαίο ελλοντικής εκπλήρωσης ταυτίζεται ε την αντίστοιχη προθεσιακή τιή. Απόδειξη: Εστω r οτόκοςπουαντιστοιχείσεκεφάλαιο1 το οποίο έχει επενδυθεί χωρίς κίνδυνο για ία ηέρα. Θέτουε Λ =1+r. Συνθέτουε ένα χαρτοφυλάκιο που αρχικά αποτελείται από θετική θέση σε Λ συβόλαια ελλοντικής εκπλήρωσης ε ωρίανση έπειτα από N έρες και ελλοντική τιή f 0, από αρνητική θέση σε Λ N προθεσιακά συβόλαια στην προθεσιακή τιή K f ε την ίδια ωρίανση και από ένα λογαριασό χωρίς κίνδυνο και αρχικά χωρίς χρήατα. Ηαρχικήαξίαενόςτέτοιουχαρτοφυλακίουείναι0. Στο τέλος κάθε έρας, τα κέρδη ή οι ζηιές από τη εταβολή της ελλοντικής τιής επενδύονται στον λογαριασό ήκαλύπτονταιαπόαυτόν. Επιπλέον, αυξάνουε τη θέση ας στα συβόλαια ελλοντικής εκπλήρωσης, ε συφωνίες στην τρέχουσα ελλοντική τιή, ώστε να έχουε συνολικά Λ φορές περισσότερα από όσα την προηγούενη έρα. Αυτή η αλλαγή θέσης δεν εταβάλλει την αξία του χαρτοφυλακίου τη στιγή που συντελείται, αφού τα συβόλαια ελλοντικής εκπλήρωσης έχουν ηδενική αξία, όταν υπογράφονται. Εποένως το χαρτοφυλάκιό ας είναι αυτοχρηατοδοτούενο. Στο τέλος της πρώτης έρας θα εταφέρουε ποσό Λ(f 1 f 0 ) στον άνευ κινδύνου λογαριασό. Επιπλέον, θα έχουε θετική θέση σε Λ 2 συβόλαια ελλοντικής εκπλήρωσης και αρνητική θέση σε Λ N προθεσιακά συβόλαια. Στο τέλος της δεύτερης έρας το ποσό στον άνευ κινδύνου λογαριασό θα τοκιστεί, ενώ θα εταφέρουε σε αυτόν και τα κέρδη (ζηιές) από τα Λ 2 συβόλαια ελλοντικής εκπλήρωσης που κατέχουε. Το χαρτοφυλάκιό ας θα αποτελείται λοιπόν από Λ 2 (f 2 f 0 ) στον λογαριασό χωρίς κίνδυνο, αρνητική θέση σε Λ N προθεσιακά συβόλαια, ενώ τώρα θα έχουε αυξήσει τη θέση ας στα συβόλαια ελλοντικής εκπλήρωσης σε Λ 3. Στην ηεροηνία ωρίανσης θα έχουε λοιπόν Λ N (f N f 0 )=Λ N (S N f 0 ) σε ετρητά, αρνητική θέση σε Λ N προθεσιακά συβόλαια (ε απόδοση Λ N (S N K f )) και Λ N συβόλαια ελλοντικής εκπλήρωσης χωρίς αξία, αφού στην παράδοση του προϊόντος καταβάλεται η τρέχουσα τιή του. Ησυνολικήαπόδοση του χαρτοφυλακίου ας θα είναι λοιπόν V T = Λ N (K f f 0 ) και συνεπώς, αν K f = f 0, το χαρτοφυλάκιό ας (ή αρνητικήθέσησεαυτό) θα συνιστούσε στρατηγική επιτηδειότητας. Παρατήρηση 5 Με το ίδιο ουσιαστικά επιχείρηα, πορούε να δείξουε ότι η θεωρητικά δίκαιη ελλοντική τιή ταυτίζεται ε την προθεσιακή τιή και στην περίπτωση που το επιτόκιο εταβάλλεται καθηερινά, αλλά ε τρόπο που είναι γνωστός εξ αρχής και δεν εξαρτάται από τις εταβολές της ελλοντικής τιής. Αποδείξτε το. 1.7 Αερικανικά δικαιώατα αγοράς/πώλησης Θα προσπαθήσουε τώρα να εξαγάγουε περιορισούς που η αρχή της η επιτηδειότητας επιβάλλει στην αρχική αξία C(S 0,T,K) ενός αερικανικού δικαιώατος αγορας. Οι παρακάτω ανισότητες είναι εύκολο να αποδειχθούν από την πρόταση 1. T 1 T 2 = C(S 0,T 1,K) C(S 0,T 2,K). K 1 K 2 = C(S 0,T,K 1 ) C(S 0,T,K 2 ). 11

Είναι φανερό ότι ένα αερικανικό δικαίωα θα πρέπει να αξίζει τουλάχιστον όσο το αντίστοιχο ευρωπαϊκό, αφού το αερικανικό πορεί να ασκηθεί οποιαδήποτε στιγή έχρι την ωρίανση, ενώ το ευρωπαϊκό όνο στην ωρίανση. Είναι ενδιαφέρον ότι πορούε να αποδείξουε το ακόλουθο Θεώρηα. Θεώρηα 1 Αν η κατοχή του πρωτογενούς προϊόντος δεν έχει κόστος και δεν αποφέρει έσοδα, οι αξίες ενός ευρωπαϊκού και ενός αερικανικού δικαιώατος αγοράς είναι ίσες. ηλαδή Απόδειξη: Εχουε όπως είπαε ότι C(S 0,T,K)=c(S 0,T,K). (1.6) C(S 0,T,K) c(s 0,T,K). Ηαπόδειξητουάνωφράγατοςστην(1.6) είναι πολύ ενδιαφέρουσα. Συνήθως αποδεικνύουε ανισότητες επιτηδειότητας κατασκευάζοντας ένα αυτοχρηατοδοτούενο χαρτοφυλάκιο που έχει σε κάθε πιθανό ενδεχόενο η αρνητική τελική αξία, συπεραίνοντας έτσι ότι η αρχική αξία αυτού του χαρτοφυλακίου πρέπει να είναι η αρνητική. Εδώ θέλουε ένα άνω φράγα για την αρχική αξία του αερικανικού δικαιώατος αγοράς. Θα θέλαε λοιπόν να κατασκευάσουε ένα δυναικό αυτοχρηατοδοτούενο χαρτοφυλάκιο που αρχικά περιέχει (ανάεσα σε άλλα προϊόντα) και ια αρνητική θέση στο αερικανικό δικαίωα αγοράς και του οποίου η τελική αξία είναι οπωσδήποτε η αρνητική. Τώρα όως τα πιθανά ενδεχόενα εξέλιξης της αγοράς έχρι τη στιγή T περιλαβάνουν όλους τους τρόπους που ο κάτοχος της θετικής θέσης στο αερικανικό δικαίωα πορεί να επιλέξει να το ασκήσει. Θα πρέπει λοιπόν το αυτοχρηατοδοτούενο χαρτοφυλάκιο που θα κατασκευάσουε να έχει η αρνητική τελική αξία, όπως κι αν ασκηθεί το δικαίωα. Θεωρούε χαρτοφυλάκιο Α που αποτελείται αρχικά από ια αρνητική θέση σε ένα αερικανικό δικαίωα αγοράς, από το πρωτογενές προϊόν, από ένα ευρωπαϊκό δικαίωα πώλησης ε ωρίανση T και τιή άσκησης K και από ία αρνητική θέση σε ένα οόλογο όψεως K και ωρίανσης T. Στο ενδεχόενο που το αερικανικό δικαιώα ασκηθεί σε κάποιο χρόνο τ T, θα πουλήσουε το προϊόν του χαρτοφυλακίου ας έναντι ποσού K. ΗαξίατουποσούαυτούστονχρόνοT υπερκαλύπτει την αρνητική θέση στο οόλογο, οπότε στην ωρίανση το χαρτοφυλάκιό ας θα έχει η αρνητικό υπόλοιπο σε ετρητά και το δικαίωα πώλησης, συνεπώς θα έχει η αρνητική αξία. Αν το αερικανικό δικαίωα δεν ασκηθεί ποτέ (και αφού δεν ασκείται ούτε στην ωρίανσή του αυτό συνεπάγεται ότι S T K), τότε στην ωρίανση ασκούε το ευρωπαϊκό δικαίωα πώλησης, πουλάε το προϊόν του χαρτοφυλακίου ας έναντι K και καλύπτουε την αρνητική θέση στο οόλογο, οπότε η αξία της θέσης ας είναι ηδενική. Σε κάθε περίπτωση λοιπόν η αξία του χαρτοφυλακίου ας στην ωρίανση είναι η αρνητική. Από την άλλη το χαρτοφυλάκιό ας είναι αυτοχρηατοδοτούενο, συνεπώς η αρνητική θα είναι και η αρχική του αξία. Ετσι, C(S 0,T,K) p(s 0,T,K)+S 0 KB(0,T)=c(S 0,T,K), όπου η τελευταία ισότητα προκύπτει από την ισοτιία των ευρωπαϊκών δικαιωάτων αγοράς και πώλησης (1.2) που έχουε αποδείξει. Παρατήρηση 6 Από την 1.6 προκύπτει ότι, για ένα προϊόν που η κατοχή του δεν αποφέρει έσοδα και δεν έχει κόστος, ηβέλτιστηστρατηγικήγιαένακάτοχοαερικάνικουδικαιώατοςαγοράςείναιναμην το ασκήσει πρώια. Είναι πολύ διδακτικό να δοκιάσετε την περίπτωση που το πρωτογενές προϊόν αποδίδει έρισα D στον χρόνο t<t. Μπορείτε να αποδείξετε τότε ότι το χαρτοφυλάκιο της παραπάνω απόδειξης έχει αυστηρά θετική αξία. Η ιδέα είναι η εξής. Αν το αερικανικό δικαίωα ασκηθεί πριν πληρωθεί το έρισα, τα έσοδα ας από την πώληση (επενδυένα χωρίς κίνδυνο έχρι το χρόνο T ) υπερκαλύπτουν την αρνητική ας θέση στο οόλογο. Αν πάλι το δικαίωα ασκηθεί ετά το χρόνο πληρωής του ερίσατος, ε την ίδια στρατηγική θα έχουε στην ωρίανση τουλάχιστον το έρισα και τους τόκους επ αυτού. Χρησιοποιήστε τώρα την 12

σχέση ισοτιίας των ευρωπαϊκών δικαιωάτων αγοράς και πώλησης στην περίπτωση που έχουε έρισα και συπεράνετε ότι D K(1 e r(t t) )= C(S 0,T,K)=c(S 0,T,K). Ας δούε τώρα τι γίνεται στην περίπτωση των αερικανικών δικαιωάτων πώλησης. Οι επόενες ανισότητες για την αρχική αξία P (S 0,T,K) ενός αερικανικού δικαιώατος πώλησης είναι εύκολο να αποδειχθούν: T 1 T 2 = P (S 0,T 1,K) P (S 0,T 2,K). K 1 K 2 = P (S 0,T,K 1 ) P (S 0,T,K 2 ). P (S 0,T,K) p(s 0,T,K). (1.7) Σε αντίθεση ε όσα είδαε για το αερικανικό δικαίωα αγοράς, στην περίπτωση του αερικανικού δικαιώατος πώλησης είναι δυνατόν η πρώιη εξάσκησή του να είναι καλύτερη στρατηγική από την αναονή έχρι την ωρίανση. Αν ένας κάτοχος αερικανικού δικαιώατος πώλησης ενός προϊόντος ε τρέχουσα τιή S 0 <Kτο ασκήσει αέσως, ηθέσητουστηνωρίανσηθαέχειαξία(k S 0 )e rt. Αν πάλι δεν το ασκήσει πριν την ωρίανση, ητελικήτουθέσηθαέχειαξία(k S T ) + K. Αν λοιπόν το S 0 είναι κατάλληλα ικρό [S 0 K(1 e rt )], τότε σίγουρα η άεση άσκηση είναι προτιότερη από την αναονή έχρι την ωρίανση. Θεώρηα 2 Στην περίπτωση των αερικανικών δικαιωάτων η ισοτιία αγοράς πώλησης (για προϊόντα που η κατοχή τους δεν επιφέρει κόστος ή έσοδα) εκφράζεται έσω της ακόλουθης διπλής ανισότητας: S 0 K C(S 0,T,K) P (S 0,T,K) S 0 Ke rt. (1.8) Απόδειξη: Το δεξί έλος προκύπτει άεσα από τις σχέσεις (1.6), (1.7) και τη σχέση ισοτιίας των αντίστοιχων ευρωπαϊκών δικαιωάτων. Για το αριστερό έλος, θεωρήστε ένα χαρτοφυλάκιο που αρχικά περιέχει ένα αερικανικό δικαίωα αγοράς, αρνητική θέση σ ένα αερικανικό δικαίωα πώλησης, ένα ποσόν K επενδεδυένο χωρίς κίνδυνο και αρνητική θέση στο πρωτογενές προϊόν. Ακολουθούε τώρα την εξής στρατηγική. Αν το αερικανικό δικαίωα πώλησης (στο οποίο έχουε αρνητική θέση) ασκηθεί (στον χρόνο τ T ), χρησιοποιούε έρος από τα ετρητά ας για να κάνουε την αγορά στην παραδοτέα τιή K και ε την αγορά αυτή καλύπτουε την αρνητική ας θέση στο προϊόν. Ετσι η θέση ας στην ωρίανση θα αποτελείται από το δικαίωα αγοράς και ένα ποσόν Ke rt (1 e rτ ) 0, συνεπώς θα έχει η αρνητική αξία. Αν το αερικανικό δικαίωα πώλησης δεν ασκηθεί ποτέ, αυτό συνεπάγεται ότι S T >K. Σ αυτήν την περίπτωση ασκούε το δικαίωα αγοράς που κατέχουε στην ωρίανση, καλύπτουε την αρνητική ας θέση στο πρωτογενές προϊόν και ας ένουν K(e rt 1) σε ετρητά. Σε κάθε περίπτωση η αξία του (αυτοχρηατοδοτούενου) χαρτοφυλακίου ας στον χρόνο T είναι η αρνητική, οπότε και η αρχική του αξία πρέπει να είναι η αρνητική και λαβάνουε το αριστερό έλος της (1.8). Από την (1.8) προκύπτουν άεσα εκτιήσεις για την P (S 0,T,K). Εχουε λοιπόν: (S 0 Ke rt ) P (S 0,T,K) K. Κλείνοντας αυτό το κεφάλαιο αξίζει να υπενθυίσουε ότι στα έχρι τώρα αποτελέσατά ας δεν έχουε κάνει κάποια υπόθεση για τη δυναική του πρωτογενούς προϊόντος. Τα αποτελέσατα αυτά παραένουν συνεπώς σε ισχύ οποιοδήποτε υπόδειγα αγοράς κι αν υιοθετήσουε. Στο επόενο κεφάλαιο θα εξετάσουε τέτοια υποδείγατα και θα δούε πώς, ε αυτή την επιπλέον υπόθεση, πορούε να εξαγάγουε ακριβέστερα συπεράσατα για την τιολόγηση παραγώγων. 13

1.8 Ασκήσεις Άσκηση 1 Πριν από 90 ηέρες αγοράσαε ένα προθεσιακό συβόλαιο για την αγορά ιας ετοχής. Η ωρίανση του συβολαίου είναι σε 10 ηέρες και η παραδοτέα τιή είναι 50,25, αλλά δεν επιθυούε πια να αποκτήσουε τη ετοχή. Για την πώλησή της εισερχόαστε σ ένα νέο προθεσιακό συβόλαιο, παίρνοντας αρνητική θέση. Εστω 45 ητρέχουσατιήτηςετοχήςκαι4,75% το ετήσιο επιτόκιο (ε συνεχή απόδοση). Είναι γνωστό ότι η ετοχή δεν αποδίδει έρισα. α) Ποια είναι η προθεσιακή τιή για το νέο συβόλαιο; β) Ποια είναι η τελική ας θέση, όταν ωριάσουν τα δυο συβόλαια; γ) Ποια είναι η σηερινή αξία της θέσης ας; Άσκηση 2 Τα παράγωγα προϊόντα βασίζονται σε πρωτογενή προϊόντα που είναι ανταλλάξια και αυτό έχει σηασία όπως δείχνει το ακόλουθο σενάριο. ΟδιευθυντήςιαςξενοδοχειακήςονάδαςστηνΚορνουάλη έχει παρατηρήσει ότι οι επισκέπτες του ξενοδοχείου ειώνονται, όταν ο καιρός είναι βροχερός. Για να αντισταθίσει τον κίνδυνο ειωένου τζίρου εξ αιτίας ενός βροχερού καλοκαιριού θέλει να συνάψει την 1η Μαΐου ια συφωνία ε ωρίανση την 31η ΑυγούστουκαιαπόδοσηV T = A(h T k), όπου h T είναι το ύψος της ετήσιας βροχόπτωσης στις 31 Αυγούστου, k είναι ένα προσυφωνηένο ύψος και A ια σταθερά (ε ονάδες /cm). Ετσι, αν βρέξει πολύ θα έχει να λάβει χρήατα από το συβόλαιο. Εχοντας διαβάσει λίγο Χρηατοοικονοία, παρατηρεί ότι η συφωνία είναι ένα προθεσιακό συβόλαιο επί του ύψους της βροχόπτωσης, και σκέφτεται ότι η αξία της την 1η ΜαΐουθαπρέπειναείναιV 0 = A h 0 kb(0,t). Εσείς συφωνείτε αυτό και γιατί; Άσκηση 3 Μια ετοχή έχει τρέχουσα τιή 50,25 και πρόκειται να αποδώσει έρισα 2 ανά ετοχή σε 2 ήνες. Το ετήσιο επιτόκιο είναι σταθερό 5% υπολογισένο ε συνεχή απόδοση. Για ποια τιή του K είναι ίσες οι σηερινές αξίες των ευρωπαϊκών δικαιωάτων αγοράς και πώλησης ε ωρίανση σε 6 ήνες και τιή άσκησης K; Άσκηση 4 Ενα προθεσιακό συβόλαιο ενός έτους συνάπτεται επί ιας ετοχής. Η τρέχουσα τιή της ετοχής είναι 62 και είναι γνωστό ότι η ετοχή πληρώνει ερίσατα 1 ανά ετοχή σε ένα ήνα και 2 ανά ετοχή σε 7 ήνες. Οι τιές οολόγων όψεως 1.000 είναι 996,7 για 1 ήνα, 974,1 για 7 ήνες και 951,2 για 12 ήνες. Ποια είναι η προθεσιακή τιή της ετοχής; Άσκηση 5 Την 1 η Σεπτεβρίου ια εταιρεία Α σύναψε προθεσιακό συβόλαιο για την αγορά από την εταιρεία Β 1000 βαρελιών πετρελαίου την 30 η εκεβρίου του ίδιου έτους. Ητρέχουσατιήτουπετρελαίου είναι 60 το βαρέλι και το ηνιαίο επιτόκιο είναι σταθερό και ίσο ε 0,4% (ε ηνιαίο ανατοκισό.) α) Υπολογίστε την προθεσιακή τιή του συβολαίου χωρίς να λάβετε υπ όψιν το κόστος αποθήκευσης του πετρελαίου. β) Υπολογίστε την προθεσιακή τιή του συβολαίου, αν για την αποθήκευση του πετρελαίου απαιτείται ηνιαίο ενοίκιο 1.000 πληρωτέο την 1 η κάθε ήνα. Άσκηση 6 Ησηερινήσυναλλαγατικήισοτιίαευρώκαιελβετικούφράγκουείναι0,6676 /CHF. Η τιή ενός οολόγου 180 ηερών ε τιή όψεως 100 είναι 98,0199. Η τιή του αντίστοιχου ελβετικού οολόγου όψεως 100 CHF είναι 98,5631CHF. α) Βρείτε την προθεσιακή τιή του ελβετικού φράγκου για συβόλαια ε ωρίανση σε 180 ηέρες. β) Αν πορείτε να συνάψετε συβόλαια ε προθεσιακή τιή 0,67 /CHF, περιγράψτε ια στρατηγική επιτηδειότητας. Πόσα ευρώ θα κερδίζατε για ένα συβόλαιο 1000CHF; Άσκηση 7 Σε ια αγορά διατίθενται: α) ια ετοχή προς 20, β) ένα ετήσιο οόλογο όψεως 1.000, προς 960, γ) ένα ευρωπαϊκό δικαίωα αγοράς της ετοχής ε ωρίανση σε 1 έτος και τιή άσκησης 25, προς 4,40 και δ) ένα δικαίωα πώλησης της ετοχής ε ωρίανση σε ένα έτος και τιή άσκησης 25, προς 6. Κατασκευάστε ια στρατηγική επιτηδειότητας. 14