ΑΝΩΤΑΤΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Τ.Ε. ΤΟΜΕΑΣ ΙΙΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Π. Ράλλη & Θηβών 250, 12244 Αθήνα Καθηγητής Γ. Ε. Χαμηλοθώρης αρχείο: θέμα: RobNote04.doc Ανάλυση της Κινηματικής: σύνοψη και παράδειγμα 1. Σύμβαση κινηματικής αλυσίδας - ευθεία κινηματική Θεωρούμε τον επίπεδο μηχανισμό του σχήματος, ο οποίος αποτελείται από δύο συνδέσμους με μήκη d1 και d2 αντίστοιχα και από δύο στροφικές αρθρώσεις οι οποίες τοποθετούνται σε γωνίες θ1 και θ2 (θέσεις των αντίστοιχων κινητήρων). Με τη σύμβαση της «κινηματικής αλυσίδας», ο μηχανισμός αποτυπώνεται σε πίνακα παραμέτρων ως εξής: Στοιχείο Μέγεθος Παρατηρήσεις σύνδεσμος L0 - βάση άρθρωση Α1 θ1 στροφική σύνδεσμος L1 d1 μεταξύ A1 και Α2 άρθρωση Α2 θ2 στροφική σύνδεσμος L2 d2 μεταξύ Α2 και Άκρου Εργασίας Στη γενική περίπτωση, σε ένα μηχανισμό με n αρθρώσεις, για κάθε επιλογή των τιμών των μεταβλητών των αρθρώσεων, q=(θ1, θ2,... θn) αντιστοιχεί μια (και μόνο μία) τιμή της θέσης του άκρου εργασίας x=(x,y,z). Δηλαδή τα μεγέθη αυτά συνδεόνται μεταξύ τους με μια μονοσήμαντη μαθηματική συνάρτηση (ευθεία κινηματική σχέση) έστω: x = f(q). Στο υπο εξέταση παράδειγμα, και ειδικότερα σύμφωνα με τη γεωμετρία του σχήματος, η συνολική θέση στον άξονα {x} προκύπτει από το άθροισμα δύο τμημάτων: (σημειώνονται
ως χ και x στο σχήμα). Κάθε ένα τμήμα προέρχεται από την προβολή του αντίστοιχου συνδέσμου στον άξονα {x}. Ανάλογα ισχύουν για τον άξονα {y}. Επομένως, η συνάρτηση f(.) συνοψίζεται στις σχέσεις: x = d1. cos θ1 + d2. cos (θ1 +θ2) (1) y = d1. sin θ1 + d2. sin (θ1 +θ2) (2) Στο σχήμα, οι γωνίες έχουν θετικές τιμές αριστερόστροφα (ΑΦΔΩ). Στη συγκεκριμένη τοποθέτηση του μηχανισμού, όπως απεικονίζεται, οι γωνίες θ1 και θ2 έχουν αντίθετο πρόσημο και μάλιστα θ1+θ2<0. 2. Σύμβαση κινηματικής αλυσίδας - αναλυτική αντίστροφη κινηματική Η αντίστροφη κινηματική σχέση αφορά την «αντιστροφή» της συνάρτησης f(.) δηλαδή τη διαμόρφωση μιάς συνάρτησης g(.) έτσι για κάθε επιλογή της θέσης x=(x,y,z) του άκρου εργασίας να υπολογίζονται οι τιμές των μεταβλητών των αρθρώσεων, q=(θ1, θ2,... θn). Στη γενική περίπτωση, αυτή η αντίστροφη κινηματική σχέση έχει σύνθετη μαθηματική μορφή και - προπάντος - δεν είναι μονοσήμαντη, δηλαδή παράγει πολλαπλές λύσεις για τις αποδεκτές τιμές των μεταβλητών των αρθρώσεων q οι οποίες οδηγούν το άκρο εργασίας στην επιλεγμένη θέση. Στο υπό εξέταση παράδειγμα, εάν η θέση του Άκρου Εργασίας (απόληξη του συνδέσμου L2) είναι γνωστή και, επιπλέον, βρίσκεται στο εσωτερικό του Χώρου Εργασίας, οι τιμές των μεταβλητών γωνιών θ1 και θ2 μπορούν να υπολογισθούν αναλυτικά. Η γωνία θ2 είναι εξωτερική του τριγώνου A1-Α2-AE. Εφαρμόζοντας στο τρίγωνο τον κανόνα του συνημιτόνου (επέκταση του θεωρήματος του Πυθαγόρα): d3 2 = d1 2 + d2 2 + 2. d1. d2. cos θ2 (3) Ταυτόχρονα, η πλευρά d3 είναι η απόσταση του (γνωστού) σημείου (x,y) από την αρχή των αξόνων, δηλαδή: d3 2 = x 2 + y 2 (4) Συνδυασμένα, οι παραπάνω εκφράσεις επιτρέπουν τον υπολογισμό του μεγέθους γ=cosθ2 και, εφόσον γ < 1, τον υπολογισμό της γωνίας θ2. Στη γενική περίπτωση, η επίλυση δίνει δύο αποδεκτές λύσεις: + acos(γ) και - acos(γ) οι οποίες αντιστοιχούν σε δυο δυνατές διατάξεις του μηχανισμού στο επίπεδο {xy}. Εφαρμόζοντας ξανά τον κανόνα του συνημιτόνου, στο ίδιο τρίγωνο αλλά με αναφορά την εσωτερική γωνία φ2: d2 2 = d1 2 + d3 2-2. d1. d3. cos φ2 (5) Όπως προηγουμένως, η επίλυση δίνει δύο τιμές. Οι οι γωνίες θ2 και φ2 βρίσκονται πάντοτε στην ίδια πλευρά του άξονα του συνδέσμου L1, επομένως θα έχουν το ίδιο πρόσημο. Δηλαδή οι αποδεκτές λύσεις επιλέγονται σε συνδυασμό (όχι ανεξάρτητα). Ακόμη, από τον ορισμό της θέσης του σημείου (x,y) σε πολικές συντεταγμένες, η γωνία φ1 ικανοποιεί: Και, τέλος, tan φ1 = x/y (6) -2-
θ1 = φ1 -φ2 (7) Στο σχήμα, και στη συγκεκριμένη τοποθέτηση του μηχανισμού όπως απεικονίζεται, η γωνία φ2 έχει αρνητική τιμή (όπως και η θ2) και η γωνία φ1 έχει θετική τιμή (διότι το ΑΕ βρίσκεται στο 1ο τεταρτηρμόριο). Επομένως η θ1 θα λάβει θετικη τιμή. 3. Σύμβαση κινηματικής αλυσίδας - αριθμητική αντίστροφη κινηματική Η υπολογιστική (αριθμητική) επίλυση της αντίστροφης κινηματικής χρησιμοποιεί την παράγωγο της θέσης του ΑΕ ως προς τις μεταβλητές των αρθρώσεων, δηλαδή (διανυσματικά) τον Ιακωβιανό πίνακα: J = f(q)/ q (8) Η αριθμητική μέθοδος συνίσταται από επαναληπτικά βήματα. Σε κάθε βήμα, η τιμή του διανύσματος των μεταβλητών των αρθρώσεων διορθώνεται «ανάλογα» με την απόκλιση από το επιθυμητό σημείο του χώρου εργασίας: Δq = Κ. Δχ (9) Συνήθης επιλογή για τον πίνακα διόρθωσης K είναι ο ανάστροφος του Ιακωβιανού πίνακα: Κ = λ. J T όπου (10α) λ = Δχ / J T Δχ (10β) Ο βαθμωτός παράγοντας λ έξισοροπεί το μέτρο (άθροισμα τετραγώνων) μεταξύ των μεγεθών Δχ και Δq και εξομαλύνει τη σύγκλιση του αλγορίθμου. Άλλη συνήθης επιλογή είναι ο (κατά Moore-Penrose) ψευδοαντίστροφος του πίνακα J: Κ = J # = (J T. J) -1. J T (11) Συνολικά, για μια επιλεγείσα θέση-στόχο χ* για το ΑΕ, η αριθμητική υπολογιστική διαδικασία αποτελείται από τα εξής βήματα: <1> με δεδομένη την τρέχουσα τιμή των μεταβλητών των αρθρώσεων q <2> υπολογίζεται η θέση x από τις εξισώσεις της ευθείας κινηματική σχέσης <3> υπολογίζεται η απόσταση από τη θέση-στόχο Δχ=χ-χ* <4> εάν Δx < ε ο υπολογισμός ολοκληρώνεται - ειδάλλως <5> υπολογίζεται ο Ιακωβιανός πίνακας J(q) από την έκφραση (8) <6> υπολογίζεται ο πίνακας Κ, από την έκφραση (10) ή (11) <7> υπολογίζεται η διόρθωση Δq από την έκφραση (9) <8> η τιμή των μεταβλητών των αρθρώσεων ανανεώνεται ως q q+δq <9> ο υπολογισμός συνεχίζεται στο βήμα <1> -3-
Για το μηχανισμό του παραδείγματος και για τη μεταφορά του ΑΕ σε ένα επιλεγμένο σημείο στόχο (x*,y*), με καθορισμένη ακρίβεια θέσης ε, Για το υπόψη παράδειγμα, με βάση τις εκφράσεις (1)(2) ανωτέρω, ο Ιακωβιανός πίνακας υπολογίζεται ως: J = - d1. sin θ1 - d2. sin(θ1 +θ2) - d2. sin(θ1 +θ2) (12) d1. cos θ1 + d2. cos (θ1 +θ2) d2. cos (θ1 +θ2) 4. Σύμβαση Denavit-Hartenberg - ευθεία κινηματική Ως μετασχηματισμός συντεταγμένων, ο μηχανισμός υλοποιεί τη διαδοχική μετάβαση μεταξύ τριών συστημάτων συντεταγμένων {x0,y0}, {x1,y1} και {x2,y2}, όπως στο σχήμα κατωτέρω. Η αρχή των αξόνων κάθε συστήματος τοποθετείται στο άκρο του αντίστοιχου συνδέσμου, με τον τοπικό άξονα {χ} προσανατολισμένο παράλληλα με το σώμα του συνδέσμου και με κατεύθυνση «προς τα έξω», δηλαδή από τη βάση προς το άκρο εργασίας. Γενικώς, κατά τη σύμβαση Denavit-Hartemberg, οι παράμετροι αναφέρονται στη σχετική τοποθέτηση μεταξύ διαδοχικών δεξιόστροφων ορθοκανονικών συστημάτων {Oxyz} και {O'x'y'z'}: μήκος a : απόσταση μεταξύ του άξονα {z} και της αρχής Ο' στρέψη β : γωνία μεταξύ του άξονα {z} και του άξονα {z'} περιθώριο d : απόσταση μεταξύ O και O', μετρούμενη κατά τον άξονα {z} γωνία θ : γωνία μεταξύ του άξονα {x} και του άξονα {x'}. -4-
Με τη σύμβαση DH, ο μηχανισμός του παραδείγματος αποτυπώνεται σε πίνακα παραμέτρων ως εξής: Σύνδεσμος a β d θ L1 d1 0 0 θ1 (13) L2 d2 0 0 θ2 Το άκρο εργασίας βρίσκεται στην αρχή του τοπικού συστήματος συντεταγμένων {x2,y2} του δεύτερου συνδέσμου, δηλαδή έχει (τοπικές) γενικευμένες συντεταγμένες [0, 0, 1]/Σ2. Αυτές μεταφέρονται στο σύστημα συντεταγμένων {x1,y1} του πρώτου συνδέσμου μέσω του πίνακα μεταφοράς Η12. Στην περίπτωση του παραδείγματος, η γενική μορφή του πίνακα απλοποιείται (σε δύο διαστάσεις ισχύει z=0 σε όλα τα εμπλεκόμενα συστήματα συντεταγμένων): cosθ2 - sinθ2 a2.cosθ2 (14) Η12 = sinθ2 cosθ2 a2.sinθ2 0 0 1 Ανάλογα ισχύουν για το επόμενο βήμα, δηλαδή τη μεταφορά από το σύστημα συντεταγμένων {x1,y1} του πρώτου συνδέσμου στο σύστημα συντεταγμένων {x0,y0} της βάσης, μέσω του πίνακα μεταφοράς Η01. cosθ1 - sinθ1 a1.cosθ1 (15) Η01 = sinθ1 cosθ1 a1.sinθ1 0 0 1 Και συνολικά, επομένως, η θέση του άκρου εργασίας στο σύστημα συντεταγμένων της βάσης υπολογίζεται ως: [x, y, 1] T = H01. H12. [0 0 1] T (16) -5-