Κεφάλαιο 3. Γραµµικές ιαφορικές Εξισώσεις 2 ης τάξης

Κεφάλαιο 3 Γραµµικές ιαφορικές Εξισώσεις ης τάξης Στο Κεφάλαιο αυτό θα αναπτύξουµε κυρίως τη θεωρία των γραµµικών δ.ε. ης τάξης. Ο λόγος είναι τριπλός: (α) το γεγονός ότι οι γραµµικές δ.ε. ης τάξης έχουν πολλές φυσικές εφαρµογές, (β) η θεωρία για τις γραµµικές δ.ε. ης τάξης µε φυσικό (και ευκολονόητο τρόπο) γενικεύεται και για γραµµικές δ.ε. ανώτερης τάξης και (γ) το γεγονός ότι οι µη γραµµικές δ.ε. ανώτερης τάξης γενικά επιλύονται µε αριθµητικές µεθόδους. 3. Γραµµικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης µε µεταβλητούς συντελεστές Ορισµός 3. Καλούµε γραµµική δ.ε. ης τάξης, κάθε δ.ε. της µορφής y + p y + q y= r, (3.) όπου p, qr, είναι γνωστές πραγµατικές συναρτήσεις. Αν r =, δηλ. y + p y + q y= (3.) τότε µιλάµε για µια οµογενή δ.ε. ης τάξης, διαφορετικά η (3.) καλείται µη οµογενής. Επίσης αν p = p, q = q, όπου p, q είναι πραγµατικές σταθερές, τότε η (3.) καλείται γραµµική δ.ε. ης τάξης µε σταθερούς συντελεστές, διαφορετικά καλείται γραµµική δ.ε. ης τάξης µε µεταβλητούς συντελεστές. Ορισµός 3. οθέντων πραγµατικών αριθµών, y, y, η εύρεση µιας λύσης της διαφορικής εξίσωσης (3.) που ικανοποιεί τις συνθήκες 69

y = y y = y (3.3) καλείται πρόβληµα αρχικών τιµών (Π.Α.Τ.) και οι σχέσεις (3.3) καλούνται αρχικές συνθήκες. Ορισµός 3.3 Οποιαδήποτε (τουλάχιστον δυο φορές παραγωγίσι- µη) συνάρτηση y: I : y= y που ικανοποιεί τη (3.) για κάθε I καλείται λύση της (3.). Επιπλέον, κάθε λύση της (3.) που ικανοποιεί ταυτόχρονα δοθείσες αρχικές συνθήκες y = y και y = y καλείται λύση του προβλήµατος αρχικών τιµών της δ.ε. Οσον αφορά την ύπαρξη και µοναδικότητα λύσης ενός προβλήµατος αρχικών τιµών έχουµε το ακόλουθο Θεώρηµα 3. Εστω p, qr, : I είναι συνεχείς συναρτήσεις στο I, I και y, y δοθέντες πραγµατικοί αριθµοί. Τότε το πρόβληµα αρχικών τιµών (3.3) έχει µοναδική λύση στο I. Στο εξής πάντα θα θεωρούµε ότι οι p, qr, είναι συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σε κάποιο διάστηµα της πραγµατικής ευθείας εκτός αν κάτι άλλο δηλώνεται. Για την εύρεση της γενικής λύσης της (3.) έχουµε το ακόλουθο Θεώρηµα 3. Η γενική λύση της µη οµογενούς γραµµικής δ.ε. (3.) ισούται µε το άθροισµα της γενικής λύσης της οµογενούς γραµµικής δ.ε. (3.) και µιας οποιασδήποτε µερικής λύσης της (3.). Απόδ. Εστω Y είναι µια συγκεκριµένη λύση της (3.). Αν y είναι τυχαία λύση της (3.), τότε είναι εύκολο να δούµε ότι η y Y είναι λύση της οµογενούς δ.ε. (3.). Αρα η y Y ανήκει στο σύνολο λύσεων της οµογενούς δ.ε. (3.) και συνεπώς y= Y + z όπου z ανήκει στο σύνολο λύσεων της (3.). Με βάση λοιπόν το Θεώρηµα 3., η εύρεση της λύσης της (3.) 7

ανάγεται στην εύρεση της γενικής λύσης της οµογενούς δ.ε. (3.) και στην εύρεση µιας µερικής λύσης της µη οµογενούς δ.ε. (3.). Αρχικά ασχολούµαστε µε την εύρεση της γενικής λύσης της οµογενούς γραµµικής δ.ε. (3.). 3.. Οµογενείς γραµµικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης Ξεκινάµε µε κάποιους ορισµούς. Ορισµός 3.4 Θα λέµε ότι οι (µη µηδενικές) πραγµατικές συναρτήσεις φ, φ ορισµένες σ ένα διάστηµα I της πραγµατικής ευθείας είναι γραµµικά εξαρτηµένες στο I αν υπάρχουν σταθερές c, c όχι και οι δυο ίσες µε µηδέν έτσι ώστε φ c + c = I. φ Σε αντίθετη περίπτωση θα λέµε ότι φ, φ είναι γραµµικά ανεξάρτητες στο I. Αν οι φ, φ είναι παραγωγίσιµες στο I, τότε ένα χρήσιµο κριτήριο γραµµικής εξάρτησης/ανεξαρτησίας των φ, φ µας δίνει η ορίζουσα Wronsky αυτών, συµβολικά W φ, φ : Σηµείωση. Η,, = = φ φ φ φ φ φ W φ φ φ φ W φ φ είναι συνάρτηση και η W φ, φ είναι πραγµατικός αριθµός, η τιµή της W φ, φ στο.. (3.3) φ φ φ = φ Πρόταση 3. Εστω δυο (µη µηδενικές) πραγµατικές συναρτήσεις φ, φ ορισµένες και συνεχώς παραγωγίσιµες σ ένα διάστηµα I της πραγµατικής ευθείας. Αν 7

W ( ) φ, φ ( ) φ ( ) ( ) φ ( ) φ = φ σ ένα τουλάχιστον σηµείο I, τότε οι φ, φ είναι γραµµικά ανεξάρτητες στο I. c + c = I. Με παραγώγιση αυτής και αντικατάσταση = προκύπτει το σύστηµα Απόδ. Εστω φ φ φ φ cφ + c =, cφ c + = το οποίο γράφεται µε τη µορφή πίνακα ως εξής: φ ( ) φ ( ) φ c = φ c. To παραπάνω σύστηµα έχει µοναδική λύση τη µηδενική c = c = διότι εξ υποθέσεως Wφ, φ. Αρα από τον ορισµό 3.4 προκύπτει ότι οι φ, φ είναι γραµµικά ανεξάρτητες στο I. Πόρισµα 3. Αν οι φ, φ είναι γραµµικά εξαρτηµένες στο I, τότε φ φ φ Wφ, φ = = I. φ Απόδ. Αµεση. Πρόταση 3. (Αbel-Liouville) υο οποιεσδήποτε λύσεις της οµογενούς δ.ε. (3.) έχουν ορίζουσα Wronsky είτε µηδενική, είτε διάφορη του µηδενός για κάθε. Απόδ. Εστω φ, φ είναι δυο λύσεις της οµογενούς δ.ε. (3.), δηλ. q q φ + p φ + φ =. φ p φ + + φ = 7

Πολ/ζοντας την πρώτη εξίσωση µε φ και τη δεύτερη µε φ και προσθέτοντας κατά µέλη παίρνουµε ( φ φ φ φ ) p( φ φ φ φ ) + = Wφ, φ + p Wφ, φ =, όπου W φ, φ είναι η ορίζουσα Wronsky. H παραπάνω είναι µια οµογενής γραµµική δ.ε. ης τάξης µε γενική λύση Αν W W ( ) φ, φ φ, φ = για κάποιο p d W = c e. φ, φ I, τότε παίρνουµε p d W = W e I. Αν λοιπόν W = για κάποιο I, τότε Wφ, φ = I, διαφορετικά Wφ, φ I. Θεώρηµα 3.3 Αν οι φ, φ είναι δυο γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις της οµογενούς δ.ε. (3.), τότε η γενική λύση της (3.) δίνεται από τη σχέση y= cφ + cφ, όπου c, c είναι αυθαίρετες σταθερές. Απόδ. Προφανώς η y= cφ + cφ είναι λύση της οµογενούς δ.ε. (3.). Αντίστροφα, έστω y είναι µια λύση του προβλήµατος αρχικών τιµών (3.3) για κάποιο I και δοθέντες πραγµατικούς αριθµούς y, y. Τότε σχηµατίζουµε το γραµµικό σύστηµα φ φ cφ + c = y = y cφ c + = y = y το οποίο γράφεται µε τη µορφή πίνακα ως εξής: 73

φ ( ) φ ( ) φ c y. c = φ y Επειδή οι, W (βλέπε Πρόταση 3.), άρα το παραπάνω σύστηµα έχει µοναδική λύση ως προς c = c, c = c. Αναγκαστικά λοιπόν θα ισχύει ταυτοτικά φ φ είναι γραµµικά ανεξάρτητες ισχύει y c φ + c φ διότι από το θεώρηµα 3. υπάρχει µοναδικότητα των λύσεων. Το παραπάνω θεώρηµα µας παρέχει τη γενική λύση της οµογενούς γραµµικής δ.ε. (3.) υπό την προϋπόθεση ότι είναι γνωστές δυο γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις της. Υπάρχουν όµως πάντα δυο γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις της (3.); Και αν ναι πως τις βρίσκουµε; Η απάντηση στο πρώτο ερώτηµα είναι θετική όπως φαίνεται στην ακόλουθη: Πρόταση 3.3 Για την οµογενή δ.ε. (3.) υπάρχουν πάντα δυο γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις της σε διάστηµα I της πραγµατικής ευθείας. Απόδ. Εστω I. Τότε από το θεώρηµα 3. ύπαρξης και µοναδικότητας υπάρχει µοναδική λύση της (3.) στο διάστηµα I, έστω y που ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες y( ) = και y =. Με την ίδια λογική υπάρχει µοναδική λύση της (3.) στο διάστηµα I, έστω y που ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες y =. Τότε η τιµή της ορίζουσας Wronsky στο y( ) = και σηµείο είναι W ( ) φ, φ = και συνδυάζοντας τις Προτάσεις 3. και 3. προκύπτει ότι οι y και y είναι γραµµικώς ανεξάρτητες. Ορισµός 3.5 υο γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις της (3.) λέµε ότι αποτελούν ένα θεµελιώδες σύνολο λύσεων της (3.). υστυχώς η Πρόταση 3.3 δεν µας δείχνει τον τρόπο µε τον οποίο θα µπορέσουµε να βρούµε ένα θεµελιώδες σύνολο λύσεων της (3.). 74

Αν όµως ξέρουµε µια (µη µηδενική) λύση, έστω y, της οµογενούς δ.ε. (3.), τότε µπορούµε να βρούµε µια γραµµικά ανεξάρτητη λύση αυτής χρησιµοποιώντας τη µέθοδο υποβιβασµού τάξης. Σύµφωνα µ αυτή τη µέθοδο, θεωρούµε µια άλλη λύση της (3.) της µορφής z = y u, όπου u u = είναι µια άγνωστη συνάρτηση που θα προσδιορίσουµε. Τότε µε αντικατάσταση στην (3.) παίρνουµε ( y u) + p ( y u) + q ( y u) = ( y u u y p y u ) u( y p y q y) + + + + + = y u + u y + p y u =. Θέτουµε u = ζ, οπότε υποβιβάζουµε την τάξη της παραπάνω δ.ε. κατά (σε ης τάξης στη συγκεκριµένη περίπτωση) και έχουµε y ζ + y + p y ζ =, απ όπου προκύπτει εύκολα η ζ και κατ επέκταση η u και συνεπώς η λύση z της (3.). Επειδή η ορίζουσα Wronsky y z y u y Wyz, = = = y u y z y u y οι δυο λύσεις είναι γραµµικά ανεξάρτητες σε διαστήµατα της πραγµατικής ευθείας που δεν περιέχουν τις ρίζες της y( ) = και τις ρίζες της u =. Σηµείωση. Όλα τα παραπάνω θεωρήµατα και µέθοδοι αυτής της παραγράφου γενικεύονται µε φυσικό τρόπο και για οµογενείς γραµµικές δ.ε. τάξης 3,4, Παράδειγµα είξτε ότι οι συναρτήσεις e και e είναι γραµµικά ανεξάρτητες στο. Ποια οµογενής γραµµική δ.ε. έχει αυτές τις συναρτήσεις ως θεµελιώδες σύνολο λύσεων;, 75

Yπολογίζουµε την ορίζουσα Wronsky e = = W e e e άρα οι e και e είναι γραµµικά ανεξάρτητες στο. Εστω y= ce + c e είναι η γενική λύση µιας οµογενούς δ.ε. (3.). Τότε µε δυο διαδοχικές παραγωγίσεις παίρνουµε και y = ce c e = + =. y ce ce y Αρα η y y= είναι η οµογενής δ.ε. ης τάξης µε θεµελιώδες σύνολο το {, } e e. Παράδειγµα ίνεται η δ.ε. y + 5y 6y=. είξτε ότι το σύνολο { 6, } A= e e e είναι ένα θεµελιώδες σύνολο λύσεων της δ.ε. είξτε ότι η y= e 6 είναι επίσης λύση της δ.ε. και εκφράστε την ως γραµµικό συνδυασµό των στοιχείων του A. Yπολογίζουµε την ορίζουσα Wronsky 6 e e e 5 W = = 7e 6 e e + 6e 6 άρα οι e και e e είναι γραµµικά ανεξάρτητες στο και αφού είναι και λύσεις της δ.ε. (εύκολα προκύπτει µε αντικατάσταση στη δ.ε. y + 5y 6y= ) αποτελούν ένα θεµελιώδες σύνολο λύσεων αυτής. Είναι εύκολο να δούµε ότι η y= e 6 είναι επίσης µια λύση της δ.ε. Τότε εφόσον η γενική λύση της y + 5y 6y= είναι η 6 y= ce + c e e, 76

µε αντικατάσταση y= e 6 παίρνουµε και µε παραγώγιση έχουµε e = ce + c e e 6 6 Αρα 6e = ce + c e + 6e. 6 6 6 6 e ce 6 c e e = + ( + c) e = ( c+ c) e 6 6e ce c e 6e 6 ( + c) e = ( c + c) e = + + 6 6 + c = c+ c c =. 6+ c = c+ c c = Παράδειγµα Αν y = είναι µια λύση της δ.ε. y y y =, ( > ), υπολογίστε τη γενική λύση της. Θα εργασθούµε µε τη µέθοδο υποβιβασµού τάξης. Εστω είναι µια άλλη λύση της δ.ε. Αντικαθιστώντας έχουµε z = u ( u ) 7u u u = u + =. Θέτουµε ζ = u και η παραπάνω γίνεται µια γραµµική δ.ε. Αρα (για π.χ. c = ) παίρνουµε 7 7ζ ζ + = ζ = c. 5 u =, 5 77

συνεπώς z = u =. 5 Είναι εύκολο να δούµε ότι η ορίζουσα Wronsky των λύσεων y= και y = δε µηδενίζεται για >, άρα η γενική λύση της δ.ε. 5 είναι η y= c + c, ( > ). 5 Ασκήσεις. Εξετάστε αν οι συναρτήσεις (α) {, } + και (β) { +, +, 3} είναι γραµµικά ανεξάρτητες στο. Απ. (α) Ναι (β) Οχι. Υπολογίστε την ορίζουσα Wronsky των συναρτήσεων ηµ, συν, ηµ + συν. Απ. 3. ίνεται η δ.ε. Legendre Aν η y y y + y=, <. = είναι µια λύση της, βρείτε τη γενική της λύση. 4. ίνεται η δ.ε. + Απ. y= c+ c ln ( ) y ( 4 7) y ( 4 6) y ( ) + = >. Aν η y = e είναι µια λύση της, βρείτε τη γενική της λύση. Απ. y ce ce = + 5. Υπολογίστε τη γενική λύση της δ.ε. y y= αν µια µερική 78

λύση της είναι η y= και µια λύση της αντίστοιχης οµογενούς δ.ε. είναι η y = e. Απ. y= ce + ce + ( ) 6. Υπολογίστε τη γενική λύση της δ.ε. y y y= 4 αν µια µερική λύση της είναι η y = 4 και τρεις λύσεις της αντίστοιχης οµογενούς δ.ε. είναι οι y= e, e, e. Απ. y= ce + ce + c3e 4 79

3.. Μερική λύση της µη οµογενούς γραµµικής δ.ε. ης τάξης. Η µέθοδος µεταβολής των σταθερών. Ας ασχοληθούµε τώρα µε την εύρεση µιας µερικής λύσης της µη οµογενούς δ.ε. (3.). Για το σκοπό αυτό θα εφαρµόσουµε τη µέθοδο µεταβολής των σταθερών. Απαραίτητη προϋπόθεση είναι να γνωρίζουµε δυο γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις, (έστω φ, φ ), της οµογενούς δ.ε. (3.) σε κάποιο διάστηµα I της πραγµατικής ευθείας. Εστω λοιπόν y= cφ + cφ είναι η γενική λύση της οµογενούς δ.ε. (3.). Υποθέτουµε πως οι σταθερές c, c στην παραπάνω έκφραση της γενικής λύσης είναι c = c, c = c και προσπαθούµε συναρτήσεις του, έστω να προσδιορίσουµε τις άγνωστες συναρτήσεις c = c, c = c ώστε η y= cφ + cφ να είναι µια µερική λύση της µη οµογενούς δ.ε. (3.). Παραγωγίζοντας έχουµε y = c φ + cφ + c φ + cφ = c φ + c φ + cφ + cφ. Υποθέτουµε ότι c φ + c φ =, (3.4) ( είναι η µηδενική συνάρτηση ), οπότε y = cφ + cφ. (3.5) Ξαναπαραγωγίζουµε και έχουµε y = c φ + cφ + c φ + cφ. (3.6) Στη συνέχεια αντικαθιστούµε τις τιµές των (3.5) και (3.6) στη δ.ε. (3.). Τότε 8

( φ φ φ φ ) ( φ φ ) ( φ φ) c + c + c + c + p c + c + q c + c = r ( φ φ φ ) ( φ φ φ ) ( φ φ ) c + p + q + c + p + q + c + c = r c φ + c φ = r, (3.7) διότι εξ υποθέσεως οι φ, φ είναι λύσεις της οµογενούς δ.ε. (3.). Από τις (3.4) και (3.7) προκύπτει το σύστηµα c φ+ c φ = φ φ c = c φ c φ r φ φ c r. (3.8) + = Εφόσον οι φ, φ είναι γραµµικά ανεξάρτητες, το παραπάνω σύστηµα έχει µοναδική λύση στο I (η ορίζουσα Wronski είναι µη µηδενική), έστω c = a, c = b και µε απλή ολοκλήρωση προκύπτουν οι ζητούµενες συναρτήσεις c, c. Παράδειγµα Να βρεθεί µια µερική λύση της δ.ε. y 4y + 4y= + 3, αν οι y = e και y = e είναι δυο γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις της οµογενούς δ.ε. y= c e + c e είναι µια µερική λύση της δ.ε. Τότε το Εστω σύστηµα (3.8) γίνεται c e e e c + 3, + e e = οπότε από τη µέθοδο Cramer υπολογίζουµε 8

e + 3 + e c = = ( + ) e e e ( + ) e e e e 3 c + = = ( + 3 ) e e e ( + ) e e 3, Ετσι µε απλή ολοκλήρωση (η σταθερά παραλείπεται) παίρνουµε e c = + + + 3 ( 3 6 3) ( ) c = e + +.. 8

3. Γραµµικές δ.ε. ης τάξης µε σταθερούς συντελεστές Στην προηγούµενη παράγραφο αναπτύξαµε τη γενική θεωρία των γραµµικών δ.ε. ης τάξης µε µεταβλητούς συντελεστές. Με προσεκτική µελέτη θα διαπιστώσει κάποιος ότι για την εύρεση της γενικής λύσης της δ.ε. (3.) (πάντα µε βάση τα θεωρήµατα της ενότητας (3.)) είναι απαραίτητο να γνωρίζουµε (ή να υποπτευθούµε) τουλάχιστον µια λύση της οµογενούς δ.ε. (3.), το οποίο δεν είναι πάντα εύκολο. Στην περίπτωση όµως µιας γραµµικής δ.ε. ης τάξης µε σταθερούς συντελεστές τα πράγµατα είναι αρκετά πιο απλά. Τότε πάντα έχουµε κλειστούς τύπους για την οµογενή δ.ε. και κατ επέκταση µπορούµε πάντα να προσδιορίσουµε και τη γενική λύση της µη οµογενούς δ.ε. Στην ενότητα αυτή λοιπόν ασχολούµαστε µε γραµµικές δ.ε. ης µε σταθερούς συντελεστές y + p y + q y= r, (3.9) όπου p, q είναι γνωστές πραγµατικές σταθερές. Αν r =, τότε η δ.ε y + p y + q y= (3.) καλείται οµογενής δ.ε. ης τάξης, διαφορετικά καλείται µη οµογενής. Αφού η δ.ε. (3.9) (ή (3.)) είναι ειδική περίπτωση της δ.ε. (3.) (ή (3.)) ισχύουν όλα τα θεωρήµατα της προηγούµενης ενότητας, οπότε ισχύει και το θεώρηµα 3.: Η γενική λύση της µη οµογενούς γραµµικής δ.ε. (3.9) ισούται µε το άθροισµα της γενικής λύσης της οµογενούς γραµµικής δ.ε. (3.) και µιας οποιασδήποτε µερικής λύσης της (3.9). Aρχικά λοιπόν ασχολούµαστε µε την εύρεση της γενικής λύσης της (3.). 3.. Οµογενείς γραµµικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης µε σταθερούς συντελεστές Ας θεωρήσουµε τη δ.ε. (3.). Προφανήs λύση της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης είναι η y =. Αναζητούµε λύση της µορφής y = e λ, λ R (τέχνασµα του Euler). Παραγωγίζοντας παίρνουµε 83

και y = λe λ =. y λ e λ Αντικαθιστώντας στην (3.) παίρνουµε λ e λ + pλe λ + qe λ = ( λ λ ) λ e + p + q = λ + pλ + q=. ηλαδή για να υπάρχει λύση της µορφής y = e λ, λ R θα πρέπει το λ να είναι ρίζα της εξίσωσης λ + pλ + q=. Η παραπάνω καλείται χαρακτηριστική εξίσωση της οµογενούς γραµµικής δ.ε. (3.). Τότε το ακόλουθο θεώρηµα µας δίνει τη γενική λύση της (3.): Θεώρηµα 3.4 Εστω λ + pλ + q= (3.) είναι η χαρακτηριστική εξίσωση της οµογενούς γραµµικής διαφορικής εξίσωσης (3.) και λ, λ είναι οι δυο ρίζες αυτής (πραγµατικές ή µιγαδικές). Τότε (A) Αν οι λ, λ είναι διακεκριµένες πραγµατικές ρίζες της (3.), τότε η γενική λύση της (3.) δίνεται από τον τύπο: λ λ y= ce + c e, όπου c, c είναι αυθαίρετες πραγµατικές σταθερές. (Β) Αν λ = λ = λ είναι διπλή ρίζα της (3.), τότε η γενική λύση της (3.) δίνεται από τον τύπο: 84

y= c + c e λ, όπου c, c είναι αυθαίρετες πραγµατικές σταθερές. (Γ) Αν λ = a+ ib, λ = a ib ( a, b, b ) είναι (συζυγείς) µιγαδικές ρίζες της (3.), τότε η γενική λύση της (3.) δίνεται από τον τύπο a y= e cσυν b + cηµ b, ( ) όπου c, c είναι αυθαίρετες πραγµατικές σταθερές. Απόδ. (Α) Αν οι λ, λ είναι διακεκριµένες πραγµατικές ρίζες της (3.), τότε οι συναρτήσεις y = e λ και y = e λ είναι λύσεις της οµογενούς δ.ε. (3.) και µάλιστα γραµµικά ανεξάρτητες (ελέγξτε την ορίζουσα Wronsky αυτών). Αρα από τη γενική θεωρία (βλέπε λ λ θεώρηµα 3.3 ενότητας 3.) προκύπτει ότι η y= ce + ce είναι γενική λύση της (3.). (Β) Αν η λ = λ = λ είναι διπλή ρίζα της (3.), τότε η y = e λ είναι µια λύση της δ.ε. (3.). Εφαρµόζουµε τη µέθοδο υποβιβασµού τάξης (βλέπε παραπάνω) απ όπου προκύπτει µια δεύτερη λύση της (3.), η y = e λ. Οι y, y είναι γραµµικά ανεξάρτητες (ελέγξτε την ορίζουσα Wronsky αυτών), οπότε προκύπτει το ζητούµενο. (Γ) Αν λ = a+ ib, λ = a ib ( a, b, b ) είναι (συζυγείς) ( a ib) µιγαδικές ρίζες της (3.), τότε οι µιγαδικές συναρτήσεις y = e + ( a ib) και y = e είναι επίσης λύσεις της οµογενούς δ.ε. (3.). Λαµβάνοντας υπόψη τον τύπο Euler iy e συν y iηµ y = +, και το γεγονός ότι αν µια µιγαδική συνάρτηση είναι λύση της (3.) τότε το και το πραγµατικό και το πραγµατικό και το φανταστικό µέρος της είναι επίσης λύσεις της (3.) προκύπτει ότι ( + ) a ib a ib a a a y = e = e e = e συν + iηµ = e συν + ie ηµ, 85

a a συνεπώς οι e συν και e ηµ είναι λύσεις της (3.) και µάλιστα γραµµικά ανεξάρτητες, οπότε παίρνουµε τη ζητούµενη γενική λύση. Το θεώρηµα αυτό γενικεύεται µε φυσικό τρόπο και για οµογενείς δ.ε. µε σταθερούς συντελεστές ανώτερης τάξης. Για λόγους πληρότητας παραθέτουµε και τη γενίκευση αυτού. Θεώρηµα 3.5 (ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ του Θεωρήµατος 3.4) Εστω n n n λ + aλ + aλ +... + a n = (3.) είναι η χαρακτηριστική εξίσωση της οµογενούς γραµµικής διαφορικής εξίσωσης y + a y + a y +... + a y= (3.3) ( n) ( n ) ( n ) n και λ, λ,..., λ n είναι οι n το πλήθος ρίζες της (3.) (πραγµατικές ή µιγαδικές). Τότε: (i) Για κάθε πραγµατική ρίζα, ( ) πολλαπλότητας n k, οι ( k λk k n της (3.) n το πλήθος) συναρτήσεις λ k λ k λ k n λ k k e, e, e,..., e, αποτελούν ( n k το πλήθος) γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις της (3.3). (ii) Για κάθε ζεύγος συζυγών µιγαδικών ριζών λ k = ak ± ibk, ( k n) της (3.) πολλαπλότητας v k, οι (v k το πλήθος) συναρτήσεις και v a k a k a k a k k k k k e, συν b e, συν b e,..., συν b e v a k a k a k a k k k k k e, ηµ b e, ηµ b e,..., ηµ b e αποτελούν (ν k το πλήθος) γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις της (3.3). Η γενική λύση της (3.3) προκύπτει από το γραµµικό συνδυασµό 86

όλων των γραµµικά ανεξάρτητων λύσεων τύπου (i) και (ii) για κάθε µια από τις λύσεις της χαρακτηριστικής εξίσωσης (3.). Παράδειγµα Να λυθεί η δ.ε. y 3y + y=. Εχουµε µια οµογενή γραµµική δ.ε. ης τάξης µε σταθερούς συντελεστές. Η χαρακτηριστική εξίσωση αυτής είναι η και οι ρίζες της είναι οι λ λ 3λ + =, 3± 9 8 3± = = = η οι οποίες είναι διακεκριµένες. Από το θεώρηµα 3.4 παίρνουµε τη γενική λύση y= ce + c e. Παράδειγµα Να λυθεί η διαφορική εξίσωση y y + y=. Εχουµε οµογενή γραµµική δ.ε. ης τάξης µε σταθερούς συντελεστές. Η χαρακτηριστική εξίσωση αυτής είναι η και οι ρίζες της είναι η λ λ + =, λ = διπλη. Από το θεώρηµα 3.4 παίρνουµε τη γενική λύση = +. y c c e Παράδειγµα Να λυθεί η διαφορική εξίσωση y y + 5y=. Εχουµε οµογενή γραµµική δ.ε. ης τάξης µε σταθερούς συντελεστές. Η χαρακτηριστική εξίσωση αυτής είναι η και οι ρίζες της είναι η λ λ + 5= ± 4 ± 4i λ, = = = ± i. 87

Από το θεώρηµα 3.4 παίρνουµε τη γενική λύση ( συν ( ) ηµ ( )) = +. y e c c Παράδειγµα Να λυθεί η δ.ε. y y + y y=. Εχουµε οµογενή γραµµική δ.ε. 3 ης τάξης µε σταθερούς συντελεστές. Η χαρακτηριστική εξίσωση αυτής είναι η 3 λ λ λ + =. Με παραγοντοποίηση (ή µε σχήµα Horner) εντοπίζουµε τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης λ =, λ =± i.,3 Από το θεώρηµα 3.5 παίρνουµε τη γενική λύση y= ce + cσυν + cηµ. 3 Παράδειγµα Επιλύστε το πρόβληµα αρχικών τιµών y 4y + 3y= y =. y = 3 Εχουµε µια οµογενής γραµµική δ.ε. ης τάξης µε χαρακτηριστική εξίσωση λ 4λ + 3= και ρίζες λ, = ± 3i. Κατά συνέπεια η γενική λύση της δ.ε. είναι η εξής: ( συν ( 3 ) ηµ ( 3 )) y e c c = +. Παραγωγίζουµε την παραπάνω και παίρνουµε y = ce συν 3 + ce ηµ 3 3ce ηµ 3 + 3ce συν 3. 88

Στη συνέχεια αντικαθιστούµε τις αρχικές συνθήκες στη γενική λύση και στην παράγωγό της και έχουµε ce συν ce ηµ = + 3 = ce συν + ce ηµ 3ce ηµ + 3ce συν c c =, = συνεπώς η λύση είναι η = ηµ (3 ). y e Ασκήσεις Να λυθούν οι ακόλουθες οµογενείς δ.ε.: y 6y + 5y= Απ. y 3y 4y= Απ. y= ce συν (4 ) + c e ηµ (4 ) 3 3 y= ce + c e 4 (4) y + 8y + 6 y= y= cσυν + c συν + cηµ + c ηµ Απ. 3 4 (4) y y + y y + y= y= ce + c e + cσυν + cηµ Απ. 3 4 (4) y + y + 3y + y + y= 3 3 y= e συν c+ c + e ηµ c3 + c4 Απ. y + 5y + 6y= µε y(), y () 3 = = Απ. y= e ( 3+ 3e ) 89

3.. Μερική λύση µη οµογενούς γραµµικής διαφορικής εξίσωσης ης τάξης µε σταθερούς συντελεστές. Η µέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών. Ασχολούµαστε τώρα µε την εύρεση µιας µερικής λύσης της µη οµογενούς δ.ε. (3.9): y + p y + q= r, όπου, r = r γνωστή πραγµατική συνάρτηση. Υπενθυµίζουµε ότι το άθροισµα µιας µερικής λύσης της µη οµογενούς δ.ε. (3.9) µαζί µε τη γενική λύση της οµογενούς y + p y + q= r. p q πραγµατικές σταθερές και δ.ε. (3.) µας δίνει τη γενική λύση της Ηδη παραπάνω έχουµε περιγράψει µια γενική µέθοδο εύρεση µιας µερικής λύσης, τη µέθοδο µεταβολής των σταθερών. Όταν όµως έχουµε σταθερούς συντελεστές στη δ.ε. (3.9), (και µόνον τότε) υπάρχει και µια άλλη µέθοδος προσδιορισµού µιας µερικής λύσης της (3.9) για ειδικές περιπτώσεις της γνωστής συνάρτησης r, η οποία καλείται µέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών. Οι ειδικές µορφές της γνωστής συνάρτησης r είναι οι εξής: η λ m ειδική µορφή: r e ( b b... b ), ( λ, b,..., b ) = + + +. m Αν P είναι άγνωστο πολυώνυµο βαθµού m, αναζητούµε µια µερική λύση της (3.9) της µορφής λ w= e P, λδενειναι ριζα της χαρακτ. εξισωσης. k λ w = e P, λ ειναι ριζα της χαρακτ. εξισωσης πολ/τας k ( ) η ειδική µορφή: r= e λ P συν ( µ ) + P ηµ ( µ ), όπου PP, είναι πολυώνυµα βαθµού ν P και ν Q αντίστοιχα. Εστω Q, Q είναι άγνωστα πολυώνυµα του ιδίου βαθµού και ίσου µε ma { ν P, ν Q}. Τότε, αναζητούµε µια µερική λύση της (3.9) της µορφής w= e λ Q συν µ + Q ηµ µ ( ) m 9

στην περίπτωση που η εξίσωσης ή λ + iµ δεν είναι ρίζα της χαρακτηριστικής ( συν ( µ ) ηµ ( µ )) k w= e λ Q + Q στην περίπτωση που η λ + iµ είναι ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης της οµογενούς δ.ε. πολ/τας k...., 3 η ειδική µορφή: r= f + + f όπου οι f,..., f n είναι της ης ή ης ειδικής µορφής. Τότε χωρίζουµε την αρχική δ.ε. στις δ.ε. n y + p y + q= f y + p y + q = f y + p y + q= fn και προσδιορίζουµε τη µερική λύση, έστω wi, i=,..., n κάθε µιας απ αυτές µε τη µέθοδο των προσδιοριστέων συντελεστών. Προφανώς η w+ w +... + wn είναι µερική λύση της δ.ε. y p y q f f + + = +... + n. Παράδειγµα Να λυθεί η διαφορική εξίσωση y y y= +. Εχουµε µια µη οµογενή γραµµική δ.ε. ης τάξης µε σταθερούς συντελεστές. Η χαρακτηριστική εξίσωση της αντίστοιχης οµογενούς δ.ε. είναι η λ λ = και οι ρίζες της είναι οι ± + 8 ± 3 λ = = =,. Συνεπώς η γενική λύση της οµογενούς είναι η 9

z ce ce = +. Επιπλέον, r= +, οπότε αναζητούµε µερική λύση της µορφής w = a + b+ c (βλ. η ειδική περίπτωση). Παραγωγίζουµε τη w δυο φορές και αντικαθιστούµε στην αρχική δ.ε. Ετσι παίρνουµε a ( a + b) ( a + b + c) = + a a b a b c = + a a + b + a b c = +. Εξισώνουµε τους συντελεστές των οµοιοβάθµιων δυνάµεων του και προκύπτει το σύστηµα a= a= a b= b=. a b c = c= Αρα µια µερική λύση της αρχικής δ.ε. είναι η και η ζητούµενη γενική λύση είναι w = + y z w ce ce = + = + + +. Παράδειγµα Να λυθεί η διαφορική εξίσωση y y y e + 3 4 = 3. Εχουµε µια µη οµογενή γραµµική δ.ε. ης τάξης µε σταθερούς συντελεστές. Η χαρακτηριστική εξίσωση της αντίστοιχης οµογενούς είναι η 9

µε ρίζες λ + 3λ 4= 3± 9+ 6 3± 5 λ = = = 4 η. Συνεπώς η γενική λύση της οµογενούς δ.ε. είναι η z = ce + ce. 4 Εφόσον r = 3e και επειδή το (συντελεστής του στον εκθέτη του e ) δεν είναι ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης, αναζητούµε µερική λύση της µορφής w = ae (βλ. η ειδική περίπτωση). Παραγωγίζουµε τη w δυο φορές και αντικαθιστούµε στην αρχική δ.ε. και έχουµε 4ae + 3( ae ) 4ae = 3e 6ae = 3e a =. Αρα µια µερική λύση της αρχικής δ.ε. είναι η w συνεπώς η ζητούµενη γενική λύση που ψάχνουµε είναι η 4 y = z + w = ce + ce + e. = e και Παράδειγµα Να λυθεί η διαφορική εξίσωση y y 3 y= ( + ) e 3 Εχουµε µια µη οµογενή γραµµική δ.ε. ης τάξης µε σταθερούς συντελεστές. Η χαρακτηριστική εξίσωση της αντίστοιχης οµογενούς είναι η λ λ 3= µε ρίζες ± 4+ ± 4 λ = = =,3. Συνεπώς η γενική λύση της οµογενούς δ.ε. είναι η w ce ce 3 = +. Επίσης r ( ) e 3 = + και εφόσον αφού το 3 λ = είναι (απλή) ρίζα 93

της χαρακτηριστικής εξίσωσης αναζητούµε µερική λύση της αρχικής δ.ε. της µορφής z = a ( + be ) 3 (βλ. η ειδική περίπτωση). Παραγωγίζουµε τη w δυο φορές και αντικαθιστούµε στην αρχική δ.ε. Τότε έχουµε 3 ( 9 a + (9b + a) + 6b + a) e 3 ( + 3 + + ) a b a b e 3 3 ( a + b) e = ( + ) e 3 3 (8a + 4b + a) e = ( + ) e 3 3 8a + 4b + a = +. Εξισώνοντας τους συντελεστές των οµοιοβάθµιων δυνάµεων του προκύπτει το σύστηµα 8a= a= /8. 4b+ a= b= 3/6 Αρα µια µερική λύση της αρχικής δ.ε. είναι η 3 + 3 w= + e = e 8 6 6 3 3 και συνεπώς η ζητούµενη γενική λύση της αρχικής δ.ε. είναι η 3 + 3 3 y = z + w = ce + ce + e. 6 Παράδειγµα Να λυθεί η διαφορική εξίσωση y + 9y= ηµ 3 + συν 3. Εχουµε µια µη οµογενή γραµµική δ.ε. ης τάξης µε σταθερούς συντελεστές. Η χαρακτηριστική εξίσωση της αντίστοιχης οµογενούς είναι η λ + 9= µε ρίζες 94

λ = ± 3i. Συνεπώς η γενική λύση της οµογενούς δ.ε. είναι η Επίσης r ηµ ( 3) συν( 3) z = cσυν 3 + cηµ 3. = + και εφόσον λ = 3i είναι (απλή) ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης αναζητούµε µερική λύση της αρχικής δ.ε. της µορφής ( ηµ συν ) w = a 3 + b 3 (βλ. η ειδική περίπτωση). Παραγωγίζουµε τη w δυο φορές και αντικαθιστούµε στην αρχική δ.ε. Τότε έχουµε 6aσυν 3 9bσυν 3 6bηµ 3 9aηµ 3 ( ηµ συν ) ηµ συν + 9 a 3 + b 3 = 3 + 3 6aσυν 3 6bηµ 3 = ηµ 3 + συν 3 Εξισώνοντας τους συντελεστές των ηµ ( 3) και συν ( 3) προκύπτει άµεσα ότι a= b=. 6 Αρα µια µερική λύση της αρχικής δ.ε. είναι η w = ( ηµ ( 3 ) συν ( 3 )) 6 και η ζητούµενη γενική λύση της αρχικής δ.ε. είναι η ( ηµ ( 3 ) συν ( 3 )) y = z + w = cσυν ( 3) + cηµ ( 3) +. 6 = + + +. Παράδειγµα Να λυθεί η δ.ε. y y e συν Εχουµε µια µη οµογενή γραµµική δ.ε. ης τάξης µε σταθερούς 95

συντελεστές. Η χαρακτηριστική εξίσωση της αντίστοιχης οµογενούς είναι η λ = λ =±. Συνεπώς η γενική λύση της οµογενούς δ.ε. είναι η z = ce + ce. Επίσης έχουµε r e συν = + + + οπότε (βλ. 3 η ειδική περίπτωση) µια µερική λύση της ζητούµενης δ.ε. θα έχει τη µορφή w = w + w + w, 3 όπου οι w, w, w3( ) είναι µερικές λύσεις των δ.ε. () () = + y y y y= e (3) y y= συν αντιστοίχως. Οσον αφορά την πρώτη αναζητούµε µερική λύση της µορφής w = a + b + c (βλ. η ειδική περίπτωση). Παραγωγίζοντας δυο φορές τη w και αντικαθιστώντας στη διαφορική εξίσωση () παίρνουµε a = a ( a + b+ c) = +... b =. c = 3 Αρα µια µερική λύση της δ.ε. () είναι η w 3 =. Για τη διαφορική εξίσωση () αναζητούµε µερική λύση της µορφής w = ae 96

(το λ = είναι ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης, βλ. η περίπτωση. Παραγωγίζοντας δυο φορές τη w αντικαθιστώντας στη διαφορική εξίσωση () παίρνουµε ειδική και ae ae + ae = e ae = e a =. Αρα µια µερική λύση της δ.ε. () είναι η w = e. Για τη διαφορική εξίσωση (3) αναζητούµε µερική λύση της µορφής w = a b 3 ηµ + συν διότι το i δεν είναι ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης (βλ. η ειδική περίπτωση). Παραγωγίζοντας δυο φορές τη w 3 και αντικαθιστώντας στη διαφορική εξίσωση (3) παίρνουµε 4aηµ 4bσυν aηµ bσυν = συν a =.... b = /5 Αρα µια µερική λύση της δ.ε. (3) είναι η συν w3 =. 5 Τελικά η γενική λύση της αρχικής δ.ε. είναι η y = z + w + w + w 3 ( ) συν 3 = ce + ce + e. 5 97

Ασκήσεις Να λυθούν οι ακόλουθες δ.ε. 3 y y + y = + 3 Απ. y= ce + c e + + + + 3 5 7 3 4 3 y 6y + y 6y= + + + Απ. 3 y= ce + ce + c3e + 6 4 3 7 5 89 56 798 y + y + y= ( ) e Απ. ( 4 ) e + y= ce + ce + 8 y y + 5y= cos+ e Απ. y ce συν c eηµ ( ) 4 ( ) + 5 e συν + ηµ = + + + + 5 4 7 y y y y e συν + = + + µε y() =, y () =, y () = Απ. 4e + 5e 3+ συν + 55ηµ + 4συν 8ηµ y = 3 98

3.3 Η µέθοδος των δυναµοσειρών. ιαφορικές εξισώσεις Bessel Ας επανέλθουµε στη µελέτη µιας γραµµικής δ.ε. ης τάξης µε µεταβλητούς συντελεστές y + P y + Q y= R. (3.4) Όπως ήδη αναφέραµε στην ενότητα 3. το βασικό πρόβληµα στην εύρεση της γενικής λύσης µιας τέτοιας δ.ε. είναι η εύρεση δυο γραµµικά ανεξάρτητα λύσεων της οµογενούς δ.ε. y + P y + Q y=. (3.5) Απ την άλλη µεριά, σε πολλές εφαρµογές µας αρκεί να λύσουµε µια διαφορική εξίσωση «τοπικά», δηλαδή σε µια περιοχή ενός δοθέντος σηµείου. Στην ενότητα αυτή ασχολούµαστε µ αυτό το πρόβληµα αναπτύσσοντας µια νέα µέθοδο επίλυσης, τη µέθοδο των δυναµοσειρών. Ξεκινάµε µε τον ακόλουθο Ορισµός 3.6 Εστω. Το καλείται οµαλό ή σύνηθες σηµείο της δ.ε. (3.5) εάν οι συντελεστές PQ, της (3.5) είναι αναλυτικές συναρτήσεις στο. Αν τουλάχιστον κάποια απ αυτές δεν είναι αναλυτική στο, τότε το καλείται ανώµαλο σηµείο της (3.5). Υπενθυµίζουµε ότι PQ, αναλυτικές στο σηµαίνει ότι οι PQ, είναι απειροδιαφορίσιµες συναρτήσεις στο και αναπτύσσονται σε σειρά Taylor ( n) P ( ) n P = ( ) IP n= n! και ( n) Q ( ) n Q = ( ) IQ n n=! αντιστοίχως, όπου I P και I Q είναι διαστήµατα της πραγµατικής ευθείας κέντρου της µορφής (, ) I = R + R P P P 99

και (, ) I = R + R. Q Q Q Οι αριθµοί RP, RQ + καλούνται ακτίνες σύκλισης των ανωτέρω δυναµοσειρών. Θεώρηµα 3.6 Αν είναι οµαλό σηµείο της δ.ε. (3.5), τότε η γενική λύση της (3.5) είναι της µορφής n= για κάθε min { RP, RQ} n y = a = ay + ay n <, όπου a, a είναι αυθαίρετες σταθερές και y, y είναι γραµµικά ανεξάρτητες συναρτήσεις. Θα εφαρµόσουµε τη µέθοδο µε το ακόλουθο Παράδειγµα Να λυθεί η δ.ε. περιοχή του µηδενός. y + 3y + y= σε µια Προφανώς P = 3και Q =, οι οποίες ως πολυώνυµα είναι αναλυτικές συναρτήσεις για κάθε (άρα και για = ). Συνεπώς το = είναι οµαλό σηµείο της δ.ε. οπότε η γενική λύση είναι της µορφής n y = a. n= Παραγωγίζουµε την παραπάνω όρο προς όρο δυο φορές, αντικαθιστούµε στην αρχική δ.ε. και έχουµε n n a + 3 na + a = n n n n n n n= n= n= n a + a + 3a 6a + n+ n+ a + n n+ a + a = n ( n+ n n ) 3 n= Λόγω µοναδικότητας έχουµε

a = a + 3a 6a3 = ( n + )( n + ) an+ + n( n + ) an + an = a = a a a3 = + 6 nn+ a+ a an+ = n n ( n+ )( n+ ) Από τον παραπάνω αναδροµικό τύπο βρίσκουµε Αρα η γενική λύση της δ.ε. είναι a 3 = a, a = a + a,... 8 8 4 5. a a a a 3a y a a 6 8 8 3 4 5 = + + + + + + +... 3 5 3 3 3 = a + + +... + a + + +..., <. 6 8 8 Σηµείωση Για τη γενική λύση της δ.ε. (3.4) ισχύει η βασική θεωρία δηλ. ότι είναι το άθροισµα µιας µερικής της λύσης και της γενικής λύσης της οµογενούς, υπό την προϋπόθεση όµως ότι η R είναι αναλυτική σε µια περιοχή του. Στην περίπτωση αυτή όµως µπορούµε απευθείας να βρούµε τη λύση της δ.ε. εργαζόµενοι όπως στο προηγούµενο παράδειγµα. Παράδειγµα Να λυθεί η δ.ε. + =. y y ηµ e Το = είναι οµαλό σηµείο της δ.ε. και είναι γνωστό ότι οι σειρές McLaurin των συναρτήσεων ηµ και e είναι οι

Εστω 3 5 7 ηµ = + +... 3! 5! 7! 4 6 e = + + + +... 3! y = a n n= n. είναι η γενική λύση της δ.ε. Παραγωγίζουµε την παραπάνω όρο προς όρο δυο φορές και αντικαθιστούµε στην αρχική δ.ε. (µαζί µε τις σειρές McLaurin των ηµ και e ) και έχουµε ( a 3 + 6a3+ a4 + a5 +...) 3 5 7 4 6 3 + + +... ( a + a+ a + a3 +...) = + + + +... 3! 5! 7! 3! Θέτοντας την αξίσωση αυτή κατά τις δυνάµεις του και µηδενίζοντας τους συντελεστές των οµοιοβάθµιων δυνάµεων του παίρνουµε οπότε a = + = + = + =, 3! a, 6a3 a, a4 a, a5 a,... a a a a =, a3 =, a4 =, a5 =,... 6 4 και άρα η γενική λύση είναι a 3 a 4 a 5 y= a + a+ + + +... 6 4 3 5 4 4......... = a + + + a + + + +. 6 Τι συµβαίνει όµως στην περίπτωση που το είναι ανώµαλο σηµείο της δ.ε.;

Ορισµός 3.7 Εστω είναι ανώµαλο σηµείο της δ.ε (3.5). Το καλείται σύνηθες ανώµαλο σηµείο (3.5) εάν οι συναρτήσεις ( ) P και ( ) Q είναι αναλυτικές συναρτήσεις στο. Αν τουλάχιστον κάποια απ αυτές δεν ικανοποιεί τις παραπάνω, τότε το καλείται ουσιώδες ανώµαλο σηµείο της (3.5). Θεώρηµα 3.7 Εστω είναι σύνηθες ανώµαλο σηµείο της δ.ε. (3.5). Τότε η (3.5) έχει λύση της µορφής y = a r n n= για κάθε σε κατάλληλο διάστηµα κέντρου, όπου c, c είναι αυθαίρετες σταθερές και r είναι πραγµατική ή µιγαδική σταθερά που προσδιορίζεται. Ας δούµε ένα παράδειγµα Παράδειγµα Να λυθεί σε µια περιοχή του µηδενός η δ.ε. Βessel ( λ ), (, λ ) + + = σταθερα. y y y Προφανώς το = είναι σύνηθες ανώµαλο σηµείο της δ.ε. οπότε αναζητούµε µια λύση της µορφής n n. r y = a n= Παραγωγίζοντας δυο φορές την y, αντικαθιστώντας στη δ.ε. και εξισώνοντας τους συντελεστές των δυνάµεων του µε µηδέν παίρνουµε n 3

( r λ ) a = (( r + ) λ ) a =... Για a έχουµε r, ( λ ) r+ k a + a = k k, k =,3,4,... =± λ και εφ όσον λ έχουµε r = λ. Τότε r = λ a = ( λ + ) a =, k =,3,4,... ak... ak = k + k( λ + k) ak + ak = ( λ k) Αρα για k = περιττό έχουµε = a3 = a5 =... ενώ για k = άρτιο έχουµε a και γενικότερα = a, a = a = a + 4 + 4 + + 4 4 ( λ ) ( λ ) ( λ )( λ ). a n n+ ( ) a ( λ )( λ ) ( λ n) =. 4 6... n + + 4... + Αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις των συντελεστών παίρνουµε τη λύση n n+ λ ( ) ( ). n n= 4 n! ( λ + )( λ + )...( λ + n) y = a Αν θεωρήσουµε τη σταθερά a = Γ + λ / ( λ ), όπου e λ e d ( λ ) Γ = > είναι η γάµµα συνάρτηση τότε παίρνουµε τις συναρτήσεις Bessel ου είδους τάξης λ : 4

Aν n n+ λ ( ) ( n ). n= n ( n) Jλ = λ / Γ λ + 4! λ + λ +... λ + λ > αλλά λ = {,,... } τότε ορίζεται και η συνάρτηση n n λ ( ) ( n) J λ = Γ λ + λ + λ + λ + λ / n n= 4 n!... που αποκλίνει στο µηδέν. Μάλιστα στην περίπτωση αυτή οι J λ και J λ είναι δυο γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις της δ.ε. Βessel και άρα η γενική της λύση είναι η λ y= c J + c J. λ Σηµείωση (α) Αν o λ είναι φυσικός αριθµός, τότε ο τύπος της J λ απλοποιείται στη µορφή n n+ λ ( ) ( ). n= n! Γ ( λ + n+ )! J = λ Σ αυτή την περίπτωση η J λ δεν ορίζεται. Τότε µια δεύτερη γραµµικά ανεξάρτητη λύση της δ.ε. Bessel δίνεται µέσω των συναρτήσεων Bessel ου είδους τάξης λ. εν θα αναφερθούµε περαιτέρω σ αυτές τις συναρτήσεις. (β) Η περίπτωση το να είναι ουσιώδες ανώµαλο σηµείο της δ.ε. (3.5) δε θα µας απασχολήσει καθώς απαιτεί πολύπλοκους και λεπτούς χειρισµούς. 5

3.4 ιαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης Στην ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε κάποιες ειδικές µορφές δ.ε. ανώτερης τάξης. Υπενθυµίζουµε ότι η γενική µορφή µιας δ.ε. n τάξης δίνεται από τη σχέση ( n) F(, y, y,, y ) =. Α. Η απλούστερη µορφή είναι η y ( n) = f η οποία επιλύεται µε n διαδοχικές ολοκληρώσεις. Παράδειγµα Να λυθεί η διαφορική εξίσωση y = e. () Με διαδοχικές ολοκληρώσεις παίρνουµε ( 999) () y dy= e d y = e + c (999) y dy= e + c d= e + c + c ( 998) y dy= e + c + c + c 3... Ακολουθώντας την παραπάνω λογική η λύση της δ.ε. είναι k c k y= e +. k= ( k)! Β. ιαφορικές εξισώσεις στις οποίες λείπει το y (και ενδεχοµένως ( k ) οι y,..., y για κάποιο k < n). Τέτοιες δ.ε. έχουν τη µορφή (, k n F y,, y ) = k < n. ( ν ) Θέτουµε y = z (υποβιβασµός τάξης), οπότε αναγόµαστε στην επίλυση µιας δ.ε. n ν τάξης της µορφής 6

F z z = ( n ν ) (,,,, z ) που ελπίζουµε ότι είναι ευκολότερο να λυθεί. Παράδειγµα Να λυθεί η δ.ε. ( ) y = + y. Θέτουµε y = z, οπότε η αρχική δ.ε. γίνεται dz dz z = + z = d c z sinh( c) = + = +. + z + z Αρα y = z y= sinh + c d= cosh( + c) + d. Γ. Γραµµικές ιαφορικές Εξισώσεις Εuler (ανώτερης τάξης) Oρισµός 3.8 Οι γραµµικές δ.ε. της µορφής y + a y + + a y + + a y + a y= f n ( n ) n ( n )... n k n k k... n n όπου a, a,..., a n πραγµατικές σταθερές, > (ή < ) και f συνεχής συνάρτηση καλούνται διαφορικές εξισώσεις Euler. Με το µετασχηµατισµό t = e αν > (ή t = e αν < ) έχουµε dy dy d = = y dt d dt d y d( y ) d( y ) d = = = + = + dt dt d dt y () t y () t y = 3 d y y 3y + y =... = 3 3 d... ( y y ) y y Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις των παραγώγων στην αρχική δ.ε. και µετά από πράξεις προκύπτει µια γραµµική δ.ε. µε σταθερούς συντελεστές την οποία και επιλύουµε. 7

Παράδειγµα Να λυθεί η δ.ε. y 3 3y y y ( ) + + = >. Θέτουµε t = e και εργαζόµενοι όπως παραπάνω παίρνουµε y t 3y t + y t =. Είναι εύκολο να δούµε ότι η γενική λύση της παραπάνω οµογενούς δ.ε. 3 ης τάξης είναι η yt = ce+ cte+ ce. t t t 3 t Εφόσον = e t = ln µε αντικατάσταση στην παραπάνω παίρνουµε c3 y = c+ cln +, >. Ασκήσεις Να λυθούν οι δ.ε. y y = Απ. ( y ce c e )( y cσυν cηµ ) y = e + συν Απ. y y + = 3 4 y= e ηµ + c + c + c 3 + + + = Απ. ln( ) y= + c + + + c y y + y=, ( > ) Απ. y= ( c + c ) y 3 + y y= ln+ 3 ( > ) Απ. συν ( ln ) ( ln ) ln y= c+ c + + 3ln 8

3.5 Εφαρµογές Στην ενότητα αυτή περιγράφουµε µέσω παραδειγµάτων ορισµένες εφαρµογές των δ.ε. ης τάξης. Παράδειγµα (τροχιές καταδίωξης) Ενας λαγός αρχίζει να τρέχει από τη θέση (,) κατά µήκος του άξονα των y µε σταθερή ταχύτητα v λ. Την ίδια στιγµή ένα κυνηγετικό σκυλί εντοπίζει το λαγό όντας στο σηµείο ( c, ), c> και αρχίζει να τον καταδιώκει τρέχοντας µε σταθερή ταχύτητα v σ. (α) Αν vσ > vλ, βρείτε την τροχιά κίνησης του σκύλου. (β) Σε ποιο σηµείο του άξονα y και πότε θα πιάσει ο σκύλος το λαγό; (γ) Τι θα γίνει αν v v ; σ λ (α) Eίναι λογικό να υποθέσουµε ότι από τη στιγµή που ο σκύλος εντοπίζει το λαγό αρχίζει να τον κυνηγά χωρίς να τον χάσει στιγµή από τα µάτια του. Αρα θα πρέπει η εφαπτόµενη ευθεία της τροχιάς του σκύλου σε κάθε σηµείο να διέρχεται από τη θέση που, y είναι τυχαίο σηµείο της τροχιάς βρίσκεται ο λαγός. Αν λοιπόν του σκύλου (µετά από χρόνο t ), τότε ο λαγός θα έχει διανύσει στον άξονα y απόσταση vt λ και έτσι η εξίσωση της εφαπτόµενης ευθείας στο (, y ) είναι y v t = y. (3.6) λ Απ την άλλη µεριά, αν s είναι το διάστηµα που διανύει ο σκύλος µετά από χρόνο t επί της τροχιάς του ισούται µε το µήκος της καµπύλης τροχιάς του και δίνεται από τη σχέση = + ( ( ω) ) ω = + ( ), s y d s y όπου το πρόσηµο µείον ( ) δηλώνει ότι όσον το µικραίνει το s µεγαλώνει. Επειδή η ταχύτητα του σκύλου είναι σταθερή έχουµε οπότε v = s t, σ 9

ds d ds dt = + = + σ = + dt d ( y ) ( y ) v t ( y ) ( y ) + t =. (3.7) v σ Παραγωγίζουµε την (3.6) ως προς και αντικαθιστούµε στην (3.7). Τότε παίρνουµε v y vt λ = y + y y = vt λ = + y v λ σ δηλ. vλ y = + ( y ). v σ Η παραπάνω είναι µια δ.ε. ης τάξης στην οποία λείπει το y. Θέτουµε y = z και υποβιβάζουµε την τάξη της δ.ε. στην vλ dz vλ d dz vλ d z = + z = = v σ + z vσ + z vσ Επειδή όµως z( c) y ( c). vλ vλ vσ z z A z z A ln + + = ln + ln + + =. v σ = = (αρχική συνθήκη), παίρνουµε ότι οπότε z vλ vσ A = c, vλ v σ + + z = c. Πολ/ζοντας και διαιρώντας το αριστερό µέλος της παραπάνω ισότητας µε z z + παίρνουµε

Άρα Ετσι z vλ v σ + z = ( z+ + z ) + z + z c vλ vσ z = = c c. vλ vσ. vλ vσ z = y = c c vλ vσ vλ vλ v v v σ v σ σ σ y= + C vλ + vσ c vσ vλ c και από την αρχική συνθήκη y( c ) = προκύπτει cv cv + C = C = cv v v v v v v v σ σ σ λ λ + σ σ λ σ λ. Τελικά v v v v y = + v v c v v c v v vλ vλ vσ vσ σ σ σ λ λ + σ σ λ σ λ. (β) Αν, τότε lim vv σ λ y = vσ vλ, vv σ λ άρα ο σκύλος θα πιάσει το λαγό στο σηµείο,. Εφόσον ο vσ vλ λαγός κινείται µε σταθερή ταχύτητα έχουµε vv v s= vλt = v t t = v v v v σ λ σ λ σ λ σ λ, η οποία είναι η χρονική στιγµή που θα πιάσει ο σκύλος το λαγό. (γ) Αν v σ v, τότε για λ έχουµε y lim =+, άρα ο

σκύλος δε θα πιάσει ποτέ το λαγό. Παράδειγµα (Ταλαντώσεις) Θεωρούµε ένα κατακόρυφο ελατήριο µήκους L µε σταθερό το ένα άκρο του. Στην άλλη άκρη αυτού προσαρτούµε σώµα µάζας m που προσδίδει στο ελατήριο µια επιµήκυνση έτσι ώστε το σύστηµα να φτάσει σε ισορροπία. Στο εξής θα συµβολίζουµε µε u την κατακόρυφη αποµάκρυνση του σώµατος απ το σηµείο ισορροπίας. Για να µελετήσουµε την κίνηση θα βρούµε τις δυνάµεις που εξασκούνται στο σώµα και στη συνέχεια από το ο νόµο του Νεύτωνα Σ F = ma( ΣF η συνισταµένη δύναµη που ασκείται στο σώµα και a η επιτάχυνση του σώµατος) θα βρούµε την εξίσωση κίνησης. Στο σώµα ασκούνται οι κάτωθι δυνάµεις: To βάρος του σώµατος B = mg. Η δύναµη Fk επαναφοράς του ελατηρίου. Προκαλείται από το ελατήριο επιχειρώντας να το επαναφέρει στη θέση ισορροπίας, είναι ανάλογη της επιµήκυνσης + u του ελατηρίου και έχει µέτρο k F = k + u (νόµος Hooke), όπου k > είναι η σταθερά επαναφοράς του ελατηρίου. Σηµείωση. Για το σηµείο ισορροπίας έχουµε u =. Συνήθως θεωρούµε u > για κίνηση προς τα κάτω και u < για κίνηση προς τα πάνω. Η δύναµη απόσβεσης F a. Είναι η τριβή ή η αντίσταση που εξασκεί το περιβάλλον στο σώµα. Υποθέτουµε ότι το µέτρο της είναι ανάλογο του µέτρου της ταχύτητας του σώµατος και η φορά της είναι αντίθετη της ταχύτητας. ηλαδή Fa = a u, όπου a > είναι η σταθερά απόσβεσης του ελατηρίου.

ύναµη εξαναγκασµού. Συχνά στο σώµα ή στο σταθερό σηµείο του ελατηρίου µπορεί να ασκείται κάποια εξωτερική δύναµη F εξ που καλείται δύναµη εξαναγκασµού. Τότε από το ο νόµο του Νεύτωνα έχουµε Σ =ma mg k + u au ± F t = m u. F Όταν όµως το σώµα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας τότε η δύναµη επαναφοράς του ελατηρίου ισούται µε το βάρος του σώµατος. ηλ. και συνεπώς η παραπάνω γίνεται F = k = mg, k m u + au + ku =± F t. (3.8) Η παραπάνω είναι µια γραµµική δ.ε. ης τάξης που περιγράφει την κίνηση του ταλαντούµενου ελατηρίου. Αν Fεξ ( t) =, τότε η κίνηση καλείται µη εξαναγκασµένη αλλιώς εξαναγκασµένη. Η πιο απλή περίπτωση είναι η απλή αρµονική ταλάντωση κατά την οποία οι µόνες δυνάµεις που επιδρούν στο σώµα είναι το βάρος του και η δύναµη επαναφοράς του ελατηρίου. Τότε η (3.8) γίνεται m u + ku =, η οποία είναι οµογενής δ.ε. ης τάξης µε σταθερούς συντελεστές και έχει λύση Αυτή µπορεί να γραφεί ως k k u = cσυν t + cηµ t m m. u = c + c συν k c t φ, εφφ = m c εξ εξ. 3

Η ποσότητα c + c που εκφράζει τη µέγιστη αποµάκρυνση από τη θέση ισορροπίας καλείται πλάτος της ταλάντωσης και η φ διαφορά φάσης. Στην περίπτωση κατά την οποία έχουµε και απόσβεση τότε η (3.8) γίνεται m u + au + ku =. Η χαρακτηριστική εξίσωση αυτής είναι η m λ a λ k + + =. Αν η διακρίνουσα της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι αρνητική τότε η εξίσωση κίνησης είναι η at /m 4mk a 4mk a u = e cσυν t + cηµ t m m και µιλούµε για µια ταλάντωση µε ασθενή απόσβεση (λόγω του at /m όρου e ). Αν η διακρίνουσα είναι µεγαλύτερη ή ίση του µηδενός έχουµε ταλάντωση που ισχυρή ή κρίσιµη απόσβεση (στην πραγµατικότητα δεν έχουµε ταλάντωση αλλά η αποµάκρυνση u «έρπει» προς το σηµείο ισορροπίας). Παράδειγµα (Ηλεκτρικά κυκλώµατα) Κάθε ηλεκτρικό κύκλωµα µπορεί να έχει τρία παθητικά στοιχεία τα οποία εµποδίζουν είτε την κυκλοφορία ρεύµατος έντασης I = It (), είτε τη µεταβολή της έντασης του ρεύµατος ή της τάσης. Αυτά είναι µια αντίσταση R, ένας πυκνωτής χωρητικότητας C κι ένα πηνίο αυτεπαγωγής L. Η πτώση τάσης κατά µήκος καθενός απ τα παραπάνω στοιχεία είναι R qt =, V () t = και V ( t) L I ( t) V t I t R Υπενθυµίζουµε ότι I ( t) q ( t) C C L =. =, όπου q= q() t είναι το ηλεκτρικό φορτίο που διατρέχει το κύκλωµα. Εστω κύκλωµα RLC σε σειρά 4

στα άκρα του οποίου εφαρµόζεται ηλεκτρεγερτική δύναµη E = E t. Τότε σύµφωνα µε το νόµο Kirchoff θα ισχύει Αρα E = VR + VC + VL. qt () E () t = R I() t + + L I () t. (3.9) C Εφόσον I ( t) q ( t) = παίρνουµε qt () L q () t + R q() t + = E() t, C η οποία είναι γραµµική δ.ε. ης τάξης µε σταθερούς συντελεστές. Επίσης αν η E είναι παραγωγίσιµη, τότε µε µε παραγώγιση της (3.9) παίρνουµε µια άλλη δ.ε. ης τάξης µε σταθερούς συντελεστές ως προς I : Ασκήσεις It () L I () t + R I () t + = E () t. C. Σώµα µάζας m=.5 Kgr έχει αναρτηθεί από ένα ελατήριο σταθεράς k = 6 N/ m. Αρχικά η µάζα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας και έχει αρχική ταχύτητα 4 m /sec προς τα πάνω. Βρείτε τη θέση της µάζας τη χρονική στιγµή t, αν η αντίσταση του αέρα 4t e συν ( 4 3t) είναι διπλάσια της ταχύτητας. Απ. u = 3. Ενας γερανός κατεβάζει αργά φορτηγό που ζυγίζει 3 tn. Μόλις τα λάστιχα του φορτηγού αγγίξουν το έδαφος, τα λάστιχα αρχίζουν να εκτελούν µη εξαναγκασµένη ταλάντωση µε ασθενή απόσβεση σταθεράς a= 7 Kg/ m/sec. Θεωρώντας το φορτηγό σαν ένα σύστηµα µάζας/ ελατηρίου σταθεράς k = 9 Kg/sec υπολογίστε την εξίσωση κίνησης. u = e 7 t / 6.5 συν (.3 t ) +.6 ηµ (.3 t ) Απ. 3. Εστω κύλινδρος µάζας m, ακτίνας r και ύψους H βρίσκεται 5

βυθισµένος κατά h µέτρα σε υγρό πυκνότητας ρ. Τότε κατά τα γνωστά ασκείται σ αυτό δύναµη άνωσης που ισούται µε το βάρος του υγρού που εκτοπίζεται από το σώµα. Το σώµα βρίσκεται σε ισορροπία όταν το βάρος του ισούται µε την άνωση που δέχεται απ το υγρό. Αν yt είναι η κατακόρυφη αποµάκρυνση του κυλίνδρου απ τη θέση ισορροπίας τη χρονική στιγµή t, περιγράψτε την εξίσωση κίνησης του κυλίνδρου. π r ρ πr ρ Απ. u = cσυν t + cηµ t m m 4. Σώµα µάζας m βρίσκεται στη µια άκρη νήµατος µήκους L και αµελητέου βάρους, η άλλη άκρη του οποίου είναι στερεωµένη στην οροφή ενός δωµατίου. Αν το νήµα εκτραπεί κατά µικρή γωνία από τη θέση ισορροπίας να υπολογισθεί και να λυθεί η εξίσωση κίνησης του εκρεµµούς. Υπόδ. Για µικρές τιµές της γωνίας g g θεωρείστε ηµθ θ ). Απ. θ = cσυν t + cηµ t L L 5. Ένας πύραυλος, έστω Α, βρίσκεται µέτρα κάτω από ένα αεροπλάνο το οποίο βρίσκεται 5 µέτρα κάτω από έναν άλλο πύραυλο έστω Β. Το αεροπλάνο πετάει οριζόντια ενώ οι πύραυλοι Α και Γ κατευθύνονται προς το αεροπλάνο για να το καταρίψουν. Ο πύραυλος Α κινείται µε διπλάσια ταχύτητα σε σχέση µε το αεροπλάνο. Οι δυο πύραυλοι καταρρίπτουν το αεροπλάνο ταυτόχρονα. Πόσο διάστηµα διανύει κάθε πύραυλος; Aπ. Α 33,33 µ, Β 96, µ 6. Μια γεννήτρια ηλεκτρεγερτικής δύναµης E = e t V συνδέεται σε σειρά µε αντίσταση R = Ω και πυκνωτή χωρητικότητας C =. F. Υπολογίστε το µέγιστο φορτίο του πυκνωτή, αν το αρχικό φορτίο είναι µηδέν. Απ. qma = e 6