Παλεπηζηήκην Παηξψλ-Σκήκα Μαζεκαηηθψλ Πξνπηπρηαθή Γηπισκαηηθή Δξγαζία Θέκα: Ακέραιος Προγραμμαηιζμός Φνηηήηξηα: Ρσκαιέα Ρεληδή Δπηβιέπσλ θαζεγεηήο: Νίθνο Σζάληαο Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 1
Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 2
Πεξηερφκελα Πεξίιεςε... 5 Δηζαγσγή... 6 Ιςτορικι Αναδρομι... 6 Επιχειρθςιακι Ζρευνα... 6 Γραμμικόσ Προγραμματιςμόσ... 6 Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ... 7 Μακθματικά Μοντζλα... 8 Πρακτικά Προβλιματα Ακεραίου Προγραμματιςμοφ... 10 Δυςκολίεσ και προβλιματα ςτθν επίλυςθ π.α.π... 12 Κυριότερεσ τεχνικζσ... 15 Μέζνδνο Κιάδνπ-Φξαγήο... 16 Λογικό διάγραμμα τθσ μεκόδου κλάδου-φραγισ... 16 Προβλιματα... 19 Πρόβλθμα 1: Ζνα π.α.π 2 μεταβλθτών... 19 Πρόβλθμα 2: Ζνα μικτό π.α.π. μεγιςτοποίθςθσ 2 μεταβλθτών... 25 Πρόβλθμα 3: Ζνα π.α.π. μεγιςτοποίθςθσ 4 μεταβλθτών... 27 Πρόβλθμα 4: Ζνα μικτό π.α.π. μεγιςτοποίθςθσ 4 μεταβλθτών... 34 Πρόβλθμα 5: Ζνα 0-1 π.α.π. μεγιςτοποίθςθσ 4 μεταβλθτών... 35 Πρόβλθμα 6: Ζνα μικτό π.α.π. ελαχιςτοποίθςθσ 5 μεταβλθτών... 41 Πρόβλθμα 7: Τελικό πρόβλθμα... 48 Μέζνδνη πεξηνξηζκνχ ηνπ εθηθηνχ ρψξνπ... 51 Κιαζκαηηθνί Αιγφξηζκνη... 51 Ειςαγωγικά... 51 Αλγόρικμοσ Simplex... 51 Αλγόρικμοσ Δυικισ Simplex... 53 Αλγόρικμοσ Δυικισ Simplex με νζο ςυμβολιςμό... 53 Δυικόσ κλαςματικόσ ακζραιοσ προγραμματιςμόσ... 56 Ο αλγόρικμοσ τθσ μεκόδου... 57 Ιδιότθτεσ των περιοριςμών του Gomory... 59 Δυικόσ κλαςματικόσ μικτόσ ακζραιοσ προγραμματιςμόσ... 60 Ο αλγόρικμοσ τθσ μεκόδου... 61 Ιδιότθτεσ των περιοριςμών του Gomory... 62 Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 3
Αθέξαηνη Αιγφξηζκνη... 63 Ειςαγωγικά... 63 Δυικόσ ακζραιοσ προγραμματιςμόσ... 63 Ο αλγόρικμοσ τθσ μεκόδου... 65 Ιδιότθτεσ των περιοριςμών του Gomory... 66 Πρωτεφον ακζραιοσ προγραμματιςμόσ... 66 Ο αλγόρικμοσ RPA... 67 Ο αλγόρικμοσ SPA... 68 Βηβιηνγξαθία... 71 Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 4
ΠΔΡΙΛΗΦΗ Ο Αθέξαηνο Πξνγξακκαηηζκφο είλαη θιάδνο ηνπ Γξακκηθνχ Μαζεκαηηθνχ Πξνγξακκαηηζκνχ, θαη απνηειεί ηκήκα ηεο ζπλδηαζηηθήο βειηηζηνπνίεζεο. ηφρνο ηεο ρξήζεο ηνπ είλαη ε βειηηζηνπνίεζε ζπζηεκάησλ παξαγσγήο ή δηνίθεζεο. Ο Αθέξαηνο Πξνγξακκαηηζκφο ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηελ επίιπζε πξαθηηθψλ πξνβιεκάησλ, φπσο: Υξνλνδηαγξάκκαηα (Scheduling) ρεδηαζκφο παξαγσγήο Παξάιιειε εθηέιεζε εξγαζηψλ Σειεπηθνηλσλίεο Μπνξεί λα θαίλεηαη φηη ηα πξνβιήκαηα αθεξαίνπ πξνγξακκαηηζκνχ είλαη εχθνιν λα ιπζνχλ. Παξ φι απηά, θάηη ηέηνην δελ ηζρχεη, δηφηη νη αζηξνλνκηθά κεγάινη αθέξαηνη αξηζκνί, θαζψο επίζεο θαη ε ζηξνγγπινπνίεζε θαη αθαίξεζε κε αθεξαίσλ ιχζεσλ απφ έλα πξφβιεκα γξακκηθνχ πξνγξακκαηηζκνχ νδεγνχλ ζε πξνβιήκαηα θαη ιαλζαζκέλα ζπκπεξάζκαηα. Οη θπξηφηεξεο ηερληθέο Αθεξαίνπ Πξνγξακκαηηζκνχ είλαη νη εμήο: Μέζνδνο θιάδνπ θαη θξαγήο (Branch and Bound) Σερληθέο πεξηνξηζκνχ ηνπ εθηθηνχ ρψξνπ (Cutting Planes) Μέζνδνη απαξίζκεζεο Γηακεξηζηηθνί αιγφξηζκνη Αιγφξηζκνη βαζηζκέλνη ζηε ζεσξία νκάδσλ (Gomory) Ζ πξνπηπρηαθή απηή δηπισκαηηθή εξγαζία έρεη ζηφρν λα παξνπζηάζεη δχν απφ απηέο ηηο ηερληθέο ιεπηνκεξψο, ηελ κέζνδν θιάδνπ θαη θξαγήο θαη ηερληθέο πεξηνξηζκνχ ηνπ εθηθηνχ ρψξνπ, θαη λα θάλεη θαηαλνεηή ηε ρξεζηκφηεηα ησλ αιγνξίζκσλ απηψλ κέζα απφ παξαδείγκαηα πνπ αθνξνχλ πξνβιήκαηα αθέξαηνπ πξνγξακκαηηζκνχ. Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 5
ΔΙΑΓΧΓΗ Ηζηνξηθή αλαδξνκή Δπηρεηξεζηαθή Έξεπλα Ζ Δπηρεηξεζηαθή Έξεπλα γελλήζεθε θαηά ηε δηάξθεηα ηνπ Β Παγθνζκίνπ Πνιέκνπ, φπνπ γηα πξψηε θνξά εθαξκφζζεθαλ επηζηεκνληθέο κέζνδνη γηα ηε βέιηηζηε θαηαλνκή ησλ ζηξαηεπκάησλ θαη εθνδίσλ ζηνλ επξσπατθφ ρψξν, έηζη ψζηε λα ειαρηζηνπνηεζεί ν ρξφλνο πξφζβαζεο ζηηο εζηίεο ησλ καρψλ θαη λα βειηησζεί γεληθά ν ζπληνληζκφο ηνπ πνιέκνπ. Ολνκάζζεθε ζηελ αγγιηθή γιψζζα Operations Researh (USA) ή Operational Research (Αγγιία), θαη ζήκαηλε έξεπλα ζηξαηησηηθψλ επηρεηξήζεσλ ή αιιηψο έξεπλα πνιέκνπ. Πεξηερφκελφ ηεο ζήκεξα είλαη ε κειέηε θαη επίιπζε ησλ εκπνξηθψλ πξνβιεκάησλ ησλ ζεκεξηλψλ επηρεηξήζεσλ. Γξακκηθφο Πξνγξακκαηηζκφο Ο Γξακκηθφο Πξνγξακκαηηζκφο είλαη ε ηερληθή κε ηελ νπνία γίλεηαη ε βέιηηζηε θαηαλνκή ησλ πεπεξαζκέλνπ πιήζνπο πφξσλ ζε δξαζηεξηφηεηεο. Ζ θχξηα κέζνδνο επίιπζεο πξνβιεκάησλ γξακκηθνχ πξνγξακκαηηζκνχ είλαη ε κέζνδνο Simplex, ε νπνία δεκηνπξγήζεθε ην 1947 απφ ηνλ G.B. Dantzig, θαη απνηέιεζε ην πην ζεκαληηθφ απνηέιεζκα ζην ρψξν ηεο επηρεηξεζηαθήο έξεπλαο. Παξ φια απηά, ν Dantzig δελ ηηκήζεθε κε βξαβείν Νφκπει, δηφηη ε Αθαδεκία Δπηζηεκψλ ηεο νπεδίαο ζεψξεζε φηη ην έξγν ηνπ είλαη πνιχ καζεκαηηθφ γηα λα ηηκεζεί κε Νφκπει Οηθνλνκίαο, θαη σο γλσζηφ δελ απνλέκεηαη βξαβείν Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 6
καζεκαηηθψλ. Σν 1976 ε Αθαδεκία Δπηζηεκψλ ησλ Ζ.Π.Α. ηνπ απέλεηκε ην Εθνικό Μεηάλλιο Επιζηημών. Ζ κνξθή ελφο πξνβιήκαηνο γξακκηθνχ πξνγξακκαηηζκνχ είλαη ε εμήο: Max z = + +. + φηαλ + +. + = + +.+ = + +. + = 0, j = 1,...,n φπνπ,, είλαη ηα δεδνκέλα ηνπ πξνβιήκαηνο, θαη νη κεηαβιεηέο απνηεινχλ ηνπο αγλψζηνπο ηνπ πξνβιήκαηνο, γηα i = 1,...,m, j = 1,...,n φηαλ πξφθεηηαη γηα πξφβιεκα κεγηζηνπνίεζεο, ελψ γηα πξφβιεκα ειαρηζηνπνίεζεο γξάθνπκε ζηε ζέζε ηνπ max ην min, θαη φια ηα ππφινηπα κέλνπλ σο έρνπλ. Αθέξαηνο Πξνγξακκαηηζκφο Ο αθέξαηνο πξνγξακκαηηζκφο, φπσο θαη ν γξακκηθφο θαη ν δηθηπσηφο είλαη ηκήκαηα ηεο ζσνδιαζηικής βεληιζηοποίηζης (combinatorial optimization). Σα αληηθείκελα πνπ εμεηάδνληαη ζε ηέηνηνπ είδνπο πξνβιήκαηα είλαη πεπεξαζκέλνπ αιιά ζπρλά πνιχ κεγάινπ πιήζνπο. Ο γξακκηθφο πξνγξακκαηηζκφο θαιχπηεη έλα επξχ ζχλνιν πξνβιεκάησλ, φκσο ππάξρνπλ θαη πξνβιήκαηα πνπ γηα λα έρεη λφεκα ε ιχζε ηνπο, πξέπεη φιεο ή κέξνο ησλ κεηαβιεηψλ ηνπο λα παίξλνπλ Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 7
αθέξαηεο ηηκέο. Γηα παξάδεηγκα, ζε φ,ηη έρεη λα θάλεη κε αλζξψπηλν δπλακηθφ, κεραλήκαηα ή νρήκαηα, δελ κπνξνχκε λα πξνηείλνπκε κε αθέξαηεο ιχζεηο, δηφηη θαλέλα απφ ηα παξαπάλσ δελ κπνξεί λα ππνδηαηξεζεί ζε φκνηα. Αλ ν πεξηνξηζκφο πνπ ζέηνπκε, φιεο νη κεηαβιεηέο λα είλαη αθέξαηεο, είλαη ν κφλνο ιφγνο γηα ηνλ νπνίν δηαθνξνπνηείηαη ζηε δηαηχπσζε έλα πξφβιεκα γξακκηθνχ πξνγξακκαηηζκνχ (π.γ.π.), ηφηε ην πξφβιεκα απηφ νλνκάδεηαη πξφβιεκα αθεξαίνπ πξνγξακκαηηζκνχ (παπ). Σν δε π.γ.π. νλνκάδεηαη αληίζηνηρν γξακκηθφ πξφβιεκα ραιάξσζεο (γ.π.ρ.). Μαζεκαηηθά κνληέια Σν καζεκαηηθφ κνληέιν ηνπ π.α.π. είλαη ην ίδην κε ην κνληέιν ηνπ π.γ.π., κε ηελ πξνζζήθε ηνπ επηπιένλ πεξηνξηζκνχ νη κεηαβιεηέο λα είλαη αθέξαηεο. Αλ ν πεξηνξηζκφο απηφο πθίζηαηαη κφλν γηα θάπνηεο απφ ηηο κεηαβιεηέο ηνπ πξνβιήκαηνο, ελψ γηα φιεο ηηο ππφινηπεο κεηαβιεηέο ηζρχεη ε αξρή ηεο δηαηξεηφηεηαο (δερφκαζηε θιαζκαηηθέο ιχζεηο), ην κνληέιν αλαθέξεηαη σο κεηθηφο αθέξαηνο πξνγξακκαηηζκφο (κ.α.π.). Σν κνληέιν π.α.π. είλαη ην αθφινπζν: Max z = + +. + φηαλ + +. + = + +.+ = + +. + = 0, j = 1,...,n αθέξαηνη, j = 1,...,n Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 8
θαη δηαθνξνπνηείηαη ειάρηζηα ζηελ πεξίπησζε πξνβιήκαηνο κεηθηνχ αθεξαίνπ πξνγξακκαηηζκνχ σο εμήο: Max z = + +. + φηαλ + +. + = + +.+ = + +. + = 0, j = 1,...,n αθέξαηνη γηα θάπνηα j Σν πξψην κνληέιν, γηα λα ην μερσξίδνπκε απφ ην δεχηεξν, ζα ην ιέκε γλήζην/θαζαξφ (pure) π.α.π. Ίζσο ε κεγαιχηεξεο ζεκαζίαο πεξηνρή εθαξκνγήο ηνπ αθεξαίνπ πξνγξακκαηηζκνχ (Α.Π.) είλαη ηα πξνβιήκαηα απφθαζεο λαη ή φρη. Γηα παξάδεηγκα, ζα πξέπεη λα γίλεη κηα ζπγθεθξηκέλε επέλδπζε; Οη κεηαβιεηέο πνπ νξίδνληαη γηα ηελ επίιπζε ηέηνηνπ είδνπο πξνβιεκάησλ παίξλνπλ ηηο ηηκέο αληίζηνηρα 1 ή 0. Έηζη, ε j λαη ή φρη απφθαζε ζπκβνιίδεηαη κε θαη έρνπκε: = { ν ν ν ν ν Απηέο νη κεηαβιεηέο θαινχληαη 0-1 κεηαβιεηέο, θαη ηα π.α.π. πνπ πεξηέρνπλ κφλν 0-1 κεηαβιεηέο θαινχληαη 0-1 πξνβιήκαηα αθεξαίνπ πξνγξακκαηηζκνχ (0-1 π.α.π.). Αλ κφλν θάπνηεο απφ ηηο κεηαβιεηέο Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 9
παίξλνπλ δπαδηθέο ηηκέο, ελψ νη ππφινηπεο δελ έρνπλ ηέηνην πεξηνξηζκφ, ην πξφβιεκα ιέγεηαη κεηθηφ πξφβιεκα 0-1 αθεξαίνπ πξνγξακκαηηζκνχ (0-1 κ.π.α.π.). Σν κνληέιν ελφο 0-1 παπ είλαη ην: Max z = + +. + φηαλ + +. + = + +.+ = + +. + = 0, j = 1,...,n ={, j = 1,...,n Πξαθηηθά πξνβιήκαηα αθεξαίνπ πξνγξακκαηηζκνχ 1. Υξνλνδηάγξακκα ηξαίλνπ Γξνκνιφγηα ηξαίλσλ επαλαιακβάλνληαη αλά ζπγθεθξηκέλν ρξνληθφ δηάζηεκα, θαη γλσξίδνπκε ην ρξφλν πνπ απέρνπλ κεηαμχ ηνπο νη ζηαζκνί θαη ην ρξφλν δηαιείκαηνο ζε θάζε ζηαζκφ, θαη δεηάκε ηε δηαθνξά ηνπ ρξφλνπ αλαρψξεζεο δχν ηξαίλσλ απφ ηελ αθεηεξία, ψζηε λα γίλεηαη ε αληαπφθξηζε ησλ επηβαηψλ κε επηηπρία θαη ηαπηφρξνλα λα κελ ππάξρεη κεγάινο ρξφλνο αλακνλήο. 2. Υξνλνδηάγξακκα πιεξψκαηνο αεξνπνξηθήο εηαηξίαο Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 10
Γνζέληνο ηνπ πξνγξάκκαηνο πηήζεσλ θαη αλ γλσξίδνπκε φηη ππάξρνπλ πεξηνξηζκνί φζσλ αθνξά ζηνλ αξηζκφ ηνπ πιεξψκαηνο, ηηο ζπλνιηθέο ψξεο εξγαζίαο ηνπο, ηηο ψξεο μεθνχξαζεο, ηε ζπλνιηθή δηάξθεηα πηήζεσλ θ.ν.θ., ζηφρνο καο είλαη ε ειαρηζηνπνίεζε ηνπ κηζζνχ ηνπ πιεξψκαηνο. 3. ρεδηαζκφο παξαγσγήο ηε ζπλάληεζε ησλ ζηειερψλ κηαο εηαηξίαο πξέπεη λα απνθαζηζηεί ε πνζφηεηα πξντφλησλ πνπ ζα παξαρζνχλ απφ έλα ζχλνιν 100 πξντφλησλ, πνπ παξάγνληαη ζε 4 δηαθνξεηηθά εξγνζηάζηα θαη δηαλέκνληαη ζε 20 κεγάιεο πφιεηο, έηζη ψζηε λα κεγηζηνπνηεζνχλ ηα θέξδε ηεο εηαηξίαο. 4. Παξαγσγή ειεθηξηθήο ελέξγεηαο Γηαζέηνπκε γελλήηξηεο παξαγσγήο ειεθηξηθνχ ξεχκαηνο θαη ζέινπκε λα βξνχκε ην βέιηηζην ζρέδην ιεηηνπξγίαο ηνπο, ψζηε λα θαιχπηεηαη ε ζπλνιηθή δήηεζε ησλ γχξσ πεξηνρψλ, λα ππάξρεη ε δπλαηφηεηα θάιπςεο ησλ αλαγθψλ ζε πεξίπησζε μαθληθήο αχμεζεο ηεο δήηεζεο, θαη ε δπλαηφηεηα αληηθαηάζηαζεο ζε πεξίπησζε βιάβεο ρσξίο επηπηψζεηο ζηελ ζπλνιηθή δηάζεζε ξεχκαηνο. 5. Σειεπηθνηλσλίεο Με ηελ ζπλερή άπμεζε ηεο δήηεζεο γηα κεηαθνξά δεδνκέλσλ θαη ήρνπ, θαη έρνληαο εθηηκήζεηο γηα ηηο απαηηήζεηο, ηνλ αξηζκφ ησλ ππαξρνπζψλ ζέζεσλ θαη ην θφζηνο εγθαηάζηαζεο λέσλ ζέζεσλ, επηδεηνχκε ηελ ειαρηζηνπνίεζε ηνπ θφζηνπο, ιακβάλνληαο πάληα ππ φςε καο ηελ πηζαλφηεηα βιάβεο. Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 11
6. Λεσθνξεία γηα άηνκα κε εηδηθέο αλάγθεο (Dial-a-Ride) Εεηάκε έλαλ βέιηηζην πξνγξακκαηηζκφ ησλ δξνκνινγίσλ ησλ ιεσθνξείσλ, γηα ηε κεηαθνξά ηνπ κέγηζηνπ αξηζκνχ αηφκσλ κε εηδηθέο αλάγθεο απφ έλα κέξνο ζε έλα άιιν ζε ζπγθεθξηκέλν ρξφλν. 7. Δδαθηθή παξακνλή αεξνζθάθνπο Έρνληαο ζηε δηάζεζή καο κηα ιίζηα αεξνδξνκίσλ, πηήζεσλ, θαηξηθψλ ζπλζεθψλ γηα θάπνηεο κέξεο, θαη ιακβάλνληαο ππ φςε ηνλ αξηζκφ ησλ επηβαηψλ θνθ, ζηφρνο είλαη ε ειαρηζηνπνίεζε ηνπ θφζηνπο απφ ηε κε απνγείσζε ησλ αεξνζθαθψλ θαη ηεο δπζαλαζρέηεζεο ησλ επηβαηψλ. 8. Πξνβιήκαηα θνςίκαηνο Σν πξφβιεκα είλαη λα αθνινπζεζνχλ επαθξηβψο ζπγθεθξηκέλνη θαλφλεο θνςίκαηνο (ραξηηνχ απφ ξνιά, πιαζηηθνχ, θαζφλ απφ ξνχρα), ψζηε λα ηθαλνπνηεζεί ε δήηεζε θαη λα ειαρηζηνπνηεζνχλ ηα πεξηζεχκαηα. Γπζθνιίεο θαη πξνβιήκαηα ζηελ επίιπζε π.α.π. Μπνξεί λα θαίλεηαη φηη ηα πξνβιήκαηα αθεξαίνπ πξνγξακκαηηζκνχ είλαη πνιχ εχθνιν λα ιπζνχλ, αθνχ ηα πξνβιήκαηα γξακκηθνχ πξνγξακκαηηζκνχ κπνξνχλ λα ιπζνχλ πνιχ απνηειεζκεηηθά κε ηε κέζνδν Simplex, θαη ε κφλε δηαθνξά ηνπο κε ηα π.α.π. είλαη φηη ηα π.α.π. έρνπλ πνιχ ιηγφηεξεο ιχζεηο, αθνχ πεξηνξηδφκαζηε κφλν ζε αθέξαηνπο Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 12
αξηζκνχο. Απνδεηθλχεηαη, κάιηζηα, φηη γλήζηα π.α.π. κε νξηνζεηεκέλεο εθηθηέο πεξηνρέο έρνπλ πεπεξαζκέλν αξηζκφ εθηθηψλ ιχζεσλ. ε απηή ηελ αηηηνιφγεζε ππάξρνπλ δχν κεγάιεο απάηεο. Σν γεγνλφο φηη ν αξηζκφο ησλ εθηθηψλ ιχζεσλ είλαη πεπεξαζκέλνο δελ ζεκαίλεη φηη έλα π.α.π. είλαη επηιχζηκν, δηφηη νη πεπεξαζκέλνη αξηζκνί κπνξεί λα είλαη αζηξνλνκηθά κεγάινη. ηελ απιή πεξίπησζε ησλ 0-1 π.α.π., κε n κεηαβιεηέο ππάξρνπλ ιχζεηο. Καηά ζπλέπεηα, θάζε θνξά πνπ ν αξηζκφο n ησλ κεηαβιεηψλ απμάλεηαη θαηά κία κνλάδα, ν αξηζκφο ησλ ιχζεσλ δηπιαζηάδεηαη. Απηφ αλαθέξεηαη σο εθζεηηθή αχμεζε ηεο δπζθνιίαο ηνπ πξνβιήκαηνο, θαη είλαη ε κία απφ ηηο δχν απάηεο. Κάηη ηέηνην θαζηζηά ζρεδφλ αδχλαηε ηε ιχζε πξνβιεκάησλ κε πάλσ απφ 100 αθέξαηεο ή δπαδηθέο κεηαβιεηέο, αθνχ γηα n=10 ππάξρνπλ πάλσ απφ 1.000 ιχζεηο (1.024), γηα n=20 ππάξρνπλ πάλσ απφ 1 εθαηνκκχξην θ.ν.θ., θαη ζίγνπξα αθφκα θαη νη πην γξήγνξνη ππνινγηζηέο δελ κπνξνχλ λα αληαπεμέιζνπλ ζε ηέηνηνπο αζηξνλνκηθνχο ππνινγηζκνχο. Ζ δεχηεξε απάηε ζε φιε απηή ηελ ηζηνξία είλαη φηη αθαηξψληαο ηηο κε αθέξαηεο εθηθηέο ιχζεηο απφ έλα π.γ.π., ζα γίλεη πην εχθνιν ζηε ιχζε. Αληηζέησο, ε χπαξμε φισλ απηψλ ησλ κε αθεξαίσλ ιχζεσλ είλαη πνπ εγγπάηαη φηη ππάξρεη βαζηθή εθηθηή ιχζε πνπ ζα είλαη βέιηηζηε γηα ην πξφβιεκα. ε απηφ νθείιεη ηελ απνδνηηθφηεηά ηεο θαη ε κέζνδνο Simplex. Παξ φιν πνπ δελ είλαη ζπρλφ θαηλφκελν ε βέιηηζηε ιχζε ηνπ π.γ.π. ραιάξσζεο λα είλαη αθέξαηνο, ππάξρνπλ ζπγθεθξηκέλα π.α.π. γηα ηα νπνία ηζρχεη απηφ. Σα πην ζπλεζηζκέλα είλαη ην πξφβιεκα ηεο κεηαθνξάο, ην πξφβιεκα αλάζεζεο, ην πξφβιεκα κεηαθφξησζεο, ην πξφβιεκα ηεο ζπληνκφηεξεο δηαδξνκήο θαη ην πξφβιεκα ηεο κέγηζηεο ξνήο, θαη απηά ηα πξνβιήκαηα κπνξνχλ λα ζεσξεζνχλ π.γ.π. θαη λα ιπζνχλ κε ηε κέζνδν Simplex. Γεληθά ζηνλ Α.Π. πξνζπαζνχκε λα Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 13
εθκεηαιιεπηνχκε νπνηαδήπνηε ηδηαίηεξε γλσζηή κνξθή ελφο πξνβιήκαηνο. Έηζη, ε δπζθνιία ππνινγηζκνχ ζε έλα π.α.π. θαζνξίδεηαη απφ θάπνηα ηδηαίηεξε δνκή θαη απφ ηνλ αξηζκφ ησλ αθέξαησλ κεηαβιεηψλ. Δδψ ν αξηζκφο ησλ ελεξγψλ πεξηνξηζκψλ δελ είλαη πνιχ πην ζεκαληηθφο ζε ζρέζε κε ηνλ αξηζκφ ησλ κεηαβιεηψλ. ε έλα κ.π.α.π. ζεκαληηθφ ξφιν παίδεη κφλν ν αξηζκφο ησλ αθέξαησλ κεηαβιεηψλ, αθνχ νη ππφινηπεο κεηαβιεηέο δελ παίδνπλ νπζηαζηηθφ ππνινγηζηηθφ ξφιν ζηελ έπξεζε ιχζεο. Λφγσ ηεο δπζθνιίαο ησλ π.α.π. ζε ζρέζε κε ηα π.γ.π., πνιιέο θνξέο κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί ε κέζνδνο Simplex γηα ηελ επίιπζε ηνπ π.γ.π. ραιάξσζεο, θαη χζηεξα ε ζηξνγγπινπνίεζε ηεο ιχζεο ζε αθέξαηνπο αξηζκνχο. Παξ φιν πνπ απηή ε πξνζέγγηζε κπνξεί λα θαλεί ρξήζηκε φηαλ νη ηηκέο ησλ κεηαβιεηψλ είλαη αξθεηά κεγάιεο, ππάξρνπλ δχν ζεκεία ζηα νπνία κπνξεί θαλείο λα πέζεη έμσ. Μηα βέιηηζηε ιχζε π.γ.π. δελ είλαη απαξαίηεηα εθηθηή κεηά ηε ζηξνγγπινπνίεζή ηεο. Αιιά αθφκα θαη αλ είλαη βέιηηζηε γηα ην π.γ.π., δελ κπνξεί θαλείο λα εγγπεζεί φηη ζα είλαη βέιηηζηε θαη γηα ην π.α.π. ηελ πξαγκαηηθφηεηα, ε ιχζε απηή κπνξεί λα απέρεη θαηά πνιχ απφ ηε βέιηηζηε ηηκή ηεο αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο. Γηα λα απνθεπρζνχλ φιεο απηέο νη δπζθνιίεο κε ηε ζηξνγγπινπνίεζε, έρεη γίλεη κεγάιε πξφνδνο ζηελ αλάπηπμε ησλ απνηειεζκαηηθψλ αιγνξίζκσλ heuristics. Αθφκα θαη ζε πνιχ κεγάια π.α.π., απηνί νη αιγφξηζκνη ζα βξνπλ αξθεηά γξήγνξα εθηθηέο ιχζεηο, νη νπνίεο δελ είλαη βέιηηζηεο κελ, είλαη δε θαιχηεξεο απφ απηέο πνπ ζα παίξλακε απφ ηε ζηξνγγπινπνίεζε. Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 14
Κπξηφηεξεο ηερληθέο Οη θπξηφηεξεο ηερληθέο πνπ πηνζεηνχληαη γηα ηελ επίιπζε π.α.π., θαη θάπνηεο απφ ηηο νπνίεο ζα πεξηγξάςνπκε ζηε ζπλέρεηα, είλαη νη εμήο: 1) Μέζνδνη θιάδνπ θαη θξαγήο (Branch and bound) Ζ ιχζε εδψ έξρεηαη χζηεξα απφ ηε ιχζε κηαο ζεηξάο ππνπξνβιεκάησλ, ηα νπνία ζπλδένληαη κεηαμχ ηνπο κε θιαδηά. 2) Σερληθέο πεξηνξηζκνχ ηνπ εθηθηνχ ρψξνπ (cutting planes) Γεκηνπξγία ζπκπιεξσκαηηθψλ αληζνηήησλ γηα πεξηνξηζκφ ηνπ ρψξνπ ησλ ιχζεσλ ψζηε ην πξφβιεκα λα έρεη αθέξαηεο κεηαβιεηέο. 3) Μέζνδνη απαξίζκεζεο ε απηέο ηηο κεζφδνπο εληνπίδνληαη ζχκθσλα κε θάπνηα θξηηήξηα φιεο νη εθηθηέο ιχζεηο θαη επηιέγεηαη απηή πνπ κεγηζηνπνηεί ηελ αληηθεηκεληθή ζπλάξηεζε. 4) Γηακεξηζηηθνί αιγφξηζκνη Δπίιπζε ελφο κ.π.α.π. κέζσ ηεο επίιπζεο κηαο ζεηξάο π.γ.π. θαη π.α.π. 5) Αιγφξηζκνη βαζηζκέλνη ζηε ζεσξία νκάδσλ (Gomory) Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 15
ΜΔΘΟΓΟ ΚΛΑΓΟΤ-ΦΡΑΓΗ Ζ βαζηθή ηδέα ηνπ αιγνξίζκνπ θιάδνπ-θξαγήο είλαη ην «διαίρει και βαζίλεσε», αθνχ ην αξρηθφ πξφβιεκα είλαη πνιχ δχζθνιν λα ιπζεί, θαη άξα ν κφλνο ηξφπνο λα ιπζεί εχθνια θαη απνηειεζκεηηθά είλαη λα ρσξηζηεί ζε φιν θαη κηθξφηεξα ππνπξνβιήκαηα, κέρξη ηα ππνπξνβιήκαηα απηά λα κπνξνχλ λα επηιπζνχλ. ε απηή ηελ ελφηεηα ζα κειεηήζνπκε ηε κέζνδν θιάδνπ-θξαγήο. πγθεθξηκέλα, ζα παξνπζηάζνπκε ην ινγηθφ δηάγξακκα ηεο κεζφδνπ, θαζψο επίζεο θαη ην δηάγξακκα ξνήο, θαη ζα επηιχζνπκε κε ηε ρξήζε ηνπ αιγνξίζκνπ αιιά θαη γξαθηθά έλα π.α.π. 2 κεηαβιεηψλ θαη έλα αληίζηνηρν κ.π.α.π., έλα π.α.π. κε 4 κεηαβιεηέο, έλα π.α.π. 0-1 κε 4 κεηαβιεηέο, έλα κ.π.α.π. κε 4 κεηαβιεηέο θαη έλα π.α.π. ειαρηζηνπνίεζεο κε πνιιέο κεηαβιεηέο. Σέινο ζα επηρεηξήζνπκε λα ιχζνπκε έλα πξφβιεκα κε πξαγκαηηθά δεδνκέλα. Λνγηθφ δηάγξακκα ηεο κεζφδνπ θιάδνπ-θξαγήο Βήμα 1: Λχλνπκε ην π.γ.π. ραιάξσζεο ηνπ π.α.π. ή κ.π.α.π. Αλ ην π.γ.π. ραιάξσζεο δίλεη αθέξαηεο ιχζεηο γηα ηηο κεηαβιεηέο πνπ ζέινπκε λα είλαη αθέξαηεο, ηφηε απηή είλαη θαη ε ιχζε ηνπ π.α.π. ή κ.π.α.π. ε πξνβιήκαηα κεγηζηνπνίεζεο, ε ηηκή ηεο αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο ηνπ π.γ.π. ραιάξσζεο απνηειεί έλα άλσ θξάγκα γηα ηελ ηηκή ηεο αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο ηνπ π.α.π. ή κ.π.α.π. Βήμα 2: Δμεηάδνπκε ηηο κεηαβιεηέο νη νπνίεο δελ πιεξνχλ ηνλ πεξηνξηζκφ λα είλαη αθέξαηεο. Δπηιέγνπκε απηή κε ην κεγαιχηεξν δεθαδηθφ κέξνο, έζησ. ε απηφ ην ζεκείν πξέπεη λα αλαθεξζεί φηη ν θαλφλαο επηινγήο ηεο κεηαβιεηήο κε ην κεγαιχηεξν δεθαδηθφ κέξνο είλαη Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 16
απζαίξεηνο. Σα ίδηα απνηειέζκαηα ζα είρακε αλ επηιέγακε ηελ κε αθέξαηα κεηαβιεηή κε ην κηθξφηεξν δεθαδηθφ κέξνο. Σν ζεκαληηθφ είλαη ζε θάζε βήκα ν θαλφλαο επηινγήο λα κέλεη ν ίδηνο πάληα. Βήμα 3: ρεκαηίδνπκε δχν ππνπξνβιήκαηα κε βάζε απηή ηελ κεηαβιεηή, πξνζζέηνληαο ηνπο πεξηνξηζκνχο [ ] θαη Ґ. Λχλνπκε ηα δχν λέα π.γ.π. Βήμα 4: Αλ νη ιχζεηο πιεξνχλ ηνπο πεξηνξηζκνχο γηα ηηο αθέξαηεο κεηαβιεηέο, ηφηε ε βέιηηζηε ιχζε είλαη απηή πνπ δίλεη κεγαιχηεξε ηηκή ζηελ αληηθεηκεληθή ζπλάξηεζε. Βήμα 5: Αλ ε ιχζε ζην έλα ππνπξφβιεκα πιεξεί ηνπο πεξηνξηζκνχο, θαη επίζεο δίλεη ηε κεγαιχηεξε ηηκή ζηελ αληηθεηκεληθή ζπλάξηεζε, ηφηε απηή είλαη ε βέιηηζηε ιχζε ηνπ πξνβιήκαηνο. Βήμα 6: Αλ θαλέλα απφ ηα ππνπξνβιήκαηα δελ δίλεη αθέξαηεο ιχζεηο, ηφηε επηιέγνπκε απηφ πνπ δίλεη κεγαιχηεξε ηηκή ζηελ αληηθεηκεληθή ζπλάξηεζε θαη πεγαίλνπκε ζην Βήκα 2. Βήμα 7: Ζ βέιηηζηε ιχζε ζα βξεζεί φηαλ ζα βξνχκε έλα ππνπξφβιεκα ηνπ νπνίνπ ε ιχζε ζα είλαη αθέξαηα, θαη ε ηηκή ηεο αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο ζα είλαη κεγαιχηεξε απφ φια ηα άιια ππνπξνβιήκαηα πνπ δίλνπλ εθηθηέο ή κε εθηθηέο ιχζεηο. Αληίζηνηρα δνπιεχνπκε ζε πξνβιήκαηα ειαρηζηνπνίεζεο, κφλν πνπ ε ηηκή ηεο αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο ηνπ π.γ.π. ραιάξσζεο απνηειεί θάησ θξάγκα, θαη θάζε θνξά επηθεληξσλφκαζηε ζην πξφβιεκα πνπ δίλεη ηελ κηθξφηεξε ηηκή ζηελ αληηθεηκεληθή ζπλάξηεζε. Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 17
Δικόνα 1: Γιάγραμμα ροής κλάδοσ-θραγής Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 18
Πξνβιήκαηα Έλα π.α.π. 2 κεηαβιεηψλ Πξφβιεκα 1: Έλα εξγνζηάζην θαηαζθεπήο παηρληδηψλ θηηάρλεη δχν παηρλίδηα, ηξεινκπαιάθηα θαη πιαζηηθά θνξηεγάθηα. Κάζε ηξεινκπαιάθη απαηηεί γηα ηελ θαηαζθεπή ηνπ 1 ψξα ζηελ πξέζζα θαινχπσζεο, 1 ψξα ζην κεράλεκα ρξσκαηηζκνχ θαη 1 ψξα ζην κεράλεκα ιείαλζεο. Κάζε θνξηεγάθη απαηηεί 1 ψξα ζηελ πξέζζα θαινχπσζεο, 4 ψξεο ζην κεράλεκα ρξσκαηηζκνχ θαη 9 ψξεο ζην κεράλεκα ιείαλζεο. Ζ πξέζζα θαινχπσζεο είλαη δηαζέζηκε 5 ψξεο ηελ εκέξα, ην κεράλεκα ρξσκαηηζκνχ 6 ψξεο ηελ εκέξα θαη ην κεράλεκα ιείαλζεο 10 ψξεο ηελ εκέξα. Σν θέξδνο απφ ηελ πψιεζε ελφο ηξειφκπαινπ είλαη 2 επξψ, θαη ην θέξδνο απφ ην έλα θνξηεγάθη είλαη 13 επξψ. Ζ πνζφηεηα πνπ παξάγεηαη απφ θάζε παηρλίδη ηελ εκέξα είλαη αθέξαηνο αξηζκφο. Εεηάκε ηελ πνζφηεηα πνπ πξέπεη λα θαηαζθεπαζηεί απφ θάζε παηρλίδη, ψζηε λα κεγηζηνπνηεζεί ην ζπλνιηθφ θέξδνο ηνπ εξγνζηαζίνπ. Λχζε Καη αξρήλ, ζα πξέπεη λα γξάςνπκε ην πξφβιεκα ζηε κνξθή ελφο πξνβιήκαηνο γξακκηθνχ πξνγξακκαηηζκνχ. Αο είλαη = ην πιήζνο ησλ ηξειφκπαισλ, θαη = ην πιήζνο ησλ πιαζηηθψλ θνξηεγψλ πνπ θαηαζθεπάδνληαη. Σν θέξδνο απφ ηελ πψιεζε ησλ ηξειφκπαισλ ζα είλαη 2, θαη ην θέξδνο απφ ηα θνξηεγάθηα ζα είλαη 13. Σν ζπλνιηθφ θέξδνο ζα είλαη 2 +13. Πεξηνξηζκνί ππάξρνπλ δηφηη: ε πξέζζα θαινχπσζεο είλαη δηαζέζηκε 5 ψξεο ηελ εκέξα, δειαδή + 5 (1) Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 19
ην κεράλεκα ρξσκαηηζκνχ είλαη δηαζέζηκν 6 ψξεο ηελ εβδνκάδα, δειαδή +4 6 (2) ην κεράλεκα ιείαλζεο είλαη δηαζέζηκν 10 ψξεο ηελ εβδνκάδα, δειαδή +9 10 (3). Φπζηθά είλαη, 0 θαη ηα, είλαη αθέξαηνη αξηζκνί. Σειηθά ην πξφβιεκα κεγηζηνπνίεζεο είλαη ην εμήο: maximize z = (2 +13 ) θάησ απφ ηνπο πεξηνξηζκνχο + 5 (1) +4 6 (2) +9 10 (3), 0, αθέξαηνη Σν πξψην βήκα γηα ηε ιχζε ηνπ π.α.π. απηνχ είλαη ε ιχζε ηνπ π.γ.π. ραιάξσζεο, δειαδή ηνπ πξνβιήκαηνο ρσξίο ηνλ πεξηνξηζκφ ηα, λα είλαη αθέξαηνη. Απηφ έρεη ιχζε = 2.8, = 0.8, z = 16. Δικόνα 2:Δθικηή περιοτή π.γ.π. ταλάρφζης Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 20
ην δεχηεξν βήκα, ζα δεκηνπξγήζνπκε δχν ππνπξνβιήκαηα απφ ην αξρηθφ, μεθηλψληαο απφ ηε κε αθέξαηε κεηαβιεηή κε ην κεγαιχηεξν δεθαδηθφ κέξνο. Δπεηδή εδψ θαη νη δχν κεηαβιεηέο έρνπλ ην ίδην δεθαδηθφ κέξνο, επηιέγνπκε ηπραία ηελ, ηεο νπνίαο ην δεθαδηθφ κέξνο είλαη 0.8, θαη ζα επηθεληξσζνχκε ζε απηήλ. Δπεηδή ε κεηαβιεηή δελ είλαη απνδεθηή, ζα εμεξεπλήζνπκε ηηο δχν πηζαλέο επηινγέο, δειαδή ηελ 2 θαη ηελ 3, αθνχ δελ ππάξρεη άιινο αθέξαηνο κεηαμχ ηνπ 2 θαη ηνπ 3. Έηζη δεκηνπξγνχκε δχν λέα π.γ.π. ηα νπνία θαη ζα επηιχζνπκε. Τποπρόβλημα 2 maximize z = (2 +13 ) θάησ απφ ηνπο πεξηνξηζκνχο + 5 (1) +4 6 (2) +9 10 (3) 2 Τποπρόβλημα 3, 0 maximize z = (2 +13 ) θάησ απφ ηνπο πεξηνξηζκνχο + 5 (1) +4 6 (2) +9 10 (3) 3, 0 ην επφκελν βήκα ιχλνπκε ηα ππνπξνβιήκαηα 2 θαη 3 γξαθηθά ή κε Simplex θαη νη ιχζεηο γηα ην Τπ 2 είλαη: = 2, =0.89, z = 16 θαη γηα ην Τπ 3 είλαη: =3, =0.75, z = 16. Αθνχ ε ηηκή θαη ζηα δχν Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 21
ππνπξνβιήκαηα είλαη ε ίδηα, ζα δεκηνπξγήζνπκε ππνπξνβιήκαηα θαη απφ ηα δχν απηά ππνπξνβιήκαηα, κε ηε ρξήζε ηεο κεηαβιεηήο, αθνχ απηή δελ είλαη αθέξαηα. ην γξάθεκα θαίλνληαη νη δχν λένη εθηθηνί ρψξνη πνπ δεκηνπξγνχληαη κε ηελ πξνζζήθε απηψλ ησλ δχν πεξηνξηζκψλ, θαζψο επίζεο θαη ηα αθέξαηα δεχγε ηηκψλ πνπ ελδερνκέλσο λα απνηειέζνπλ ιχζεηο ηνπ ηειηθνχ πξνβιήκαηνο. Δικόνα 3:Δθικηές περιοτές σποπροβλημάηφν 2 και 3 Τποπρόβλημα 4 maximize z = (2 +13 ) θάησ απφ ηνπο πεξηνξηζκνχο + 5 (1) +4 6 (2) +9 10 (3) 2 0, 0 Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 22
Τποπρόβλημα 5 maximize z = (2 +13 ) θάησ απφ ηνπο πεξηνξηζκνχο + 5 (1) +4 6 (2) +9 10 (3) 2 1, 0 Τποπρόβλημα 6 maximize z = (2 +13 ) θάησ απφ ηνπο πεξηνξηζκνχο + 5 (1) +4 6 (2) +9 10 (3) 3 0, 0 Τποπρόβλημα 7 maximize z = (2 +13 ) θάησ απφ ηνπο πεξηνξηζκνχο + 5 (1) +4 6 (2) +9 10 (3) 3 1, 0 Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 23
Ζ ιχζε ηνπ Τπ 4 είλαη = 2, = 0, z = 4, ηνπ Τπ 5 είλαη =1, = 1, z = 15, ηνπ Τπ 6 =5, =0, z = 10 θαη ην Τπ 7 δελ έρεη εθηθηή ιχζε. ε απηφ ην ζεκείν αμίδεη λα ζεκεηψζνπκε φηη νη ηηκέο ησλ Τπ 2 θαη 3 απνηεινχλ έλα άλσ θξάγκα γηα ηα ππνπξνβιήκαηα πνπ πξνθχπηνπλ απφ απηά. Δπίζεο, αθνχ έρνπκε πξφβιεκα κεγηζηνπνίεζεο, δερφκαζηε ηελ κεγαιχηεξε ηηκή αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο. Δδψ ην Τπ 5 καο δίλεη ηελ βέιηηζηε ιχζε, ε νπνία είλαη αθέξαηα θαη είλαη ε εμήο: =1, = 1, z = 15. Δικόνα 4:Τελική εθικηή περιοτή-βέληιζηη λύζη Γειαδή, ην εκεξήζην ζπλνιηθφ θέξδνο ηνπ εξγνζηαζίνπ είλαη 15 επξψ, θαη επηηπγράλεηαη αλ θαηαζθεπάδεη ηελ εκέξα 1 ηξεινκπαιάθη θαη 1 πιαζηηθφ θνξηεγάθη. Φπζηθά ζην πξφβιεκα κπνξνχκε λα πξνζζέζνπκε φζα κεδεληθά ζέινπκε, θαη λα ππνινγίζνπκε πνζφηεηεο θαη ρξεκαηηθέο Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 24
κνλάδεο ζε εθαηνληάδεο, ρηιηάδεο θνθ γηα λα θαίλεηαη πην ξεαιηζηηθφ. Παξ φια απηά, ζθνπφο καο εδψ ήηαλ λα παξνπζηάζνπκε ηα βήκαηα ηεο κεζφδνπ αλαιπηηθά. πλνςίδνληαο, κπνξνχκε λα παξνπζηάζνπκε ηα απνηειέζκαηα απηά ζε έλα γξάθεκα κε θφκβνπο. Δικόνα 5:Γράθημα ηοσ προβλήμαηος 1 Έλα κηθηφ π.α.π. κεγηζηνπνίεζεο 2 κεηαβιεηψλ Πξφβιεκα 2: Έζησ ην πξνεγνχκελν πξφβιεκα κεγηζηνπνίεζεο, κε ηε δηαθνξά φηη εδψ ζέινπκε κφλν ε κία κεηαβιεηή λα είλαη αθέξαηνο. maximize z = (2 +13 ) θάησ απφ ηνπο πεξηνξηζκνχο + 5 (1) +4 6 (2) +9 10 (3), 0 αθέξαηνο Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 25
Λχζε Αξρηθά ιχλνπκε ην γξακκηθφ πξφβιεκα ραιάξσζεο, θαη θαηαιήγνπκε ζηελ ίδηα ιχζε κε πξηλ, δειαδή ζηελ = 2.8, = 0.8, z = 16. Αθνχ ζέινπκε ε κεηαβιεηή λα είλαη αθέξαηνο, ζα αζρνιεζνχκε κε απηήλ. Γεκηνπξγνχκε ηα δχν ππνπξνβιήκαηα 1 θαη 2, φκσο νη ιχζεηο δίλνληαη κε πξνζέγγηζε ηξηψλ δεθαδηθψλ ςεθίσλ, θαη είλαη γηα ην Τπ2 = 2, =0.889, z =15.6 θαη γηα ην Τπ3 =3, =0.75, z =15.8. Οη ιχζεηο θαη ησλ δχν ππνπξνβιεκάησλ δίλνπλ αθέξαηα ηηκή ζηε κεηαβιεηή, φκσο επηιέγνπκε σο βέιηηζηε απηή κε ηε κεγαιχηεξε ηηκή αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο, αθνχ έρνπκε πξφβιεκα κεγηζηνπνίεζεο. Άξα εδψ ε ιχζε ηνπ κ.π.α.π. είλαη ε =3, =0.75, z =15.8. Γξαθηθά θαίλεηαη ν πεξηνξηζκφο ε κεηαβιεηή λα είλαη αθέξαηνο, ελψ ε δελ έρεη πεξηνξηζκφ σο πξνο ηηο ηηκέο πνπ κπνξεί λα πάξεη. Δικόνα 6: Δθικηές περιοτές σποπροβλημάηφν 2 και 3 Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 26
Έλα π.α.π. κεγηζηνπνίεζεο 4 κεηαβιεηψλ Πξφβιεκα 3: Hillier-Lieberman 1995 max (9 + 5 + 6 + 4 ) φηαλ 6 + 3 + 5 + 2 10 + 1 0, i = 1,2,3,4 αθέξαηνη Λχζε Αξρηθά ιχλνπκε ην γξακκηθφ πξφβιεκα ραιάξσζεο κε Simplex, θαη ε ιχζε πνπ παίξλνπκε είλαη (,,, ) = (0, 2.7, 0, 1) θαη z = 17.5. Δπεηδή έρνπκε πξφβιεκα κεγηζηνπνίεζεο, ην 17.5 απνηειεί έλα άλσ θξάγκα γηα ην πξφβιεκα, δειαδή φιεο νη ηηκέο ηεο αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο πνπ ζα πξνθχςνπλ κε ηε δηαδηθαζία θιάδνπ-θξαγήο ζα είλαη κηθξφηεξεο απφ 17.5. Δπεηδή ην δελ είλαη αθέξαηνο, έρνπκε 2 ή 3. Έηζη δεκηνπξγνχληαη ηα ππνπξνβιήκαηα 2 θαη 3. Τποπρόβλημα 2 max (9 + 5 + 6 + 4 ) φηαλ 6 + 3 + 5 + 2 10 + 1 2 0, i = 1,2,3,4 Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 27
Τποπρόβλημα 3 max (9 + 5 + 6 + 4 ) φηαλ 6 + 3 + 5 + 2 10 + 1 3 0, i = 1,2,3,4 Ζ ιχζε ηνπ Τπ2 είλαη (,,, ) = (0.33, 2, 0, 1) θαη z=17, θαη ηνπ Τπ3 είλαη (,,, ) = (0, 3, 0, 0.5) θαη z=17. Θα δεκηνπξγήζνπκε λένπο θιάδνπο θαη απφ ηα δχν ππνπξνβιήκαηα, αθνχ θαλέλα απφ ηα δχν δελ έδσζε αθέξαηα ιχζε, θαη ε ηηκή ηεο αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο είλαη ε ίδηα, νπφηε δελ κπνξνχκε λα απνξξίςνπκε θάπνηα ιχζε. Απφ ην Τπ2 δεκηνπξγνχκε ηα ππνπξνβιήκαηα 4 θαη 5 κε 0 θαη 1, θαη απφ ην Τπ3 ηα 6 θαη 7 κε 0 θαη 1. Τποπρόβλημα 4 max (9 + 5 + 6 + 4 ) φηαλ 6 + 3 + 5 + 2 10 + 1 2 0 0, i = 1,2,3,4 Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 28
Τποπρόβλημα 5 max (9 + 5 + 6 + 4 ) φηαλ 6 + 3 + 5 + 2 10 + 1 2 1 0, i = 1,2,3,4 Τποπρόβλημα 6 max (9 + 5 + 6 + 4 ) φηαλ 6 + 3 + 5 + 2 10 + 1 3 0 0, i = 1,2,3,4 Τποπρόβλημα 7 max (9 + 5 + 6 + 4 ) φηαλ 6 + 3 + 5 + 2 10 + 1 3 1 0, i = 1,2,3,4 Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 29
Οη ιχζεηο ησλ ππνπξνβιεκάησλ είλαη: Τπ4 (,,, ) = (0, 2, 0, 1) θαη z=14, Τπ5 (,,, ) = (1, 0.8, 0, 0.8) θαη z=16.2, Τπ6 (,,, ) = (0, 3.3, 0, 0) θαη z=16,5 θαη ην Τπ7 δελ έρεη εθηθηή ιχζε. Σν Τπ4 δίλεη αθέξαηα ιχζε (,,, ) = (0, 2, 0, 1) z=14, αιιά νη ηηκέο ησλ αληηθεηκεληθψλ ζπλαξηήζεσλ ησλ Τπ5 θαη Τπ6 είλαη κεγαιχηεξεο (16.2 θαη 16.5 αληίζηνηρα), άξα επηιέγνπκε λα ζπλερίζνπκε κε ηε δεκηνπξγία θιαδηψλ ζην Τπ6 πνπ έρεη ηε κεγαιχηεξε ηηκή αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο. Δδψ έρνπκε 3 θαη 4, θαη έηζη δεκηνπξγνχληαη ηα ππνπξνβιήκαηα 8 θαη 9. Τποπρόβλημα 8 max (9 + 5 + 6 + 4 ) φηαλ 6 + 3 + 5 + 2 10 + 1 3 0 3 0, i = 1,2,3,4 Τποπρόβλημα 9 max (9 + 5 + 6 + 4 ) φηαλ 6 + 3 + 5 + 2 10 + 1 3 0 4 0, i = 1,2,3,4 Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 30
Με ηε κέζνδν Simplex βξίζθνπκε ηε ιχζε ζην Τπ8, (,,, ) = (0.17, 3, 0, 0) θαη z=16.5, ελψ ην Τπ9 δελ έρεη εθηθηή ιχζε. πλερίδνπκε δεκηνπξγψληαο κε ηελ δχν ππνπξνβιήκαηα απφ ην Τπ8, ηα 10 θαη 11. Τποπρόβλημα 10 max (9 + 5 + 6 + 4 ) φηαλ 6 + 3 + 5 + 2 10 + 1 3 0 3 0 0, i = 1,2,3,4 Τποπρόβλημα 11 max (9 + 5 + 6 + 4 ) φηαλ 6 + 3 + 5 + 2 10 + 1 3 0 3 1 0, i = 1,2,3,4 Ζ ιχζε ζην Τπ10 είλαη (,,, ) = (0, 3, 0, 0) θαη z=15 ελψ ην Τπ11 δελ έρεη εθηθηή ιχζε. Σν ππνπξφβιεκα 10 έδσζε αθέξαηα ιχζε, αιιά ε ηηκή z=15 ηεο αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο είλαη κηθξφηεξε απφ απηή ηνπ ππνπξνβιήκαηνο 5 (z=16.2), άξα ζπλερίδνπκε δεκηνπξγψληαο θιάδνπο απφ ην Τπ5, κε 0 θαη 1. Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 31
Τποπρόβλημα 12 max (9 + 5 + 6 + 4 ) φηαλ 6 + 3 + 5 + 2 10 + 1 2 1 0 0, i = 1,2,3,4 Τποπρόβλημα 13 max (9 + 5 + 6 + 4 ) φηαλ 6 + 3 + 5 + 2 10 + 1 2 1 1 0, i = 1,2,3,4 Ζ ιχζε ζην Τπ12 είλαη (,,, ) = (1, 1.3, 0, 0) θαη z=15.5 ελψ ην Τπ13 δελ έρεη εθηθηή ιχζε. πλερίδνπκε δεκηνπξγψληαο θιάδνπο απφ ην Τπ12, κε 1 θαη 2. Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 32
Τποπρόβλημα 14 max (9 + 5 + 6 + 4 ) φηαλ 6 + 3 + 5 + 2 10 + 1 2 1 0 1 0, i = 1,2,3,4 Τποπρόβλημα 15 max (9 + 5 + 6 + 4 ) φηαλ 6 + 3 + 5 + 2 10 + 1 2 1 0 2 0, i = 1,2,3,4 Ζ ιχζε ζην Τπ14 είλαη (,,, ) = (1.17, 1, 0, 0) θαη z=15.5 ελψ ην Τπ15 δελ έρεη εθηθηή ιχζε. Καη ηα δχν ππνπξνβιήκαηα πνπ δεκηνπξγνχληαη απφ ην Τπ14 δελ έρνπλ εθηθηέο ιχζεηο, θαη άξα θαηαιήγνπκε φηη ε βέιηηζηε ιχζε είλαη απηή ηνπ ππνπξνβιήκαηνο 10, δειαδή (,,, ) = (0, 3, 0, 0) θαη z=15. Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 33
Δικόνα 7:Γράθημα ηοσ προβλήμαηος 3 Έλα κηθηφ π.α.π. κεγηζηνπνίεζεο 4 κεηαβιεηψλ Πξφβιεκα 4: Hillier-Lieberman 1995 max (9 + 5 + 6 + 4 ) φηαλ 6 + 3 + 5 + 2 10 + 1 0, i = 1,2,3,4, αθέξαηνη Λχζε Αθνινπζψληαο ηελ ίδηα δηαδηθαζία κε πξηλ, παξαηεξνχκε φηη θηάλνληαο ζην Τπ3, έρνπκε κία εθηθηή ιχζε, αθνχ (,,, ) = (0, 3, 0, 0.5), ε νπνία είλαη θαη ε βέιηηζηε δηφηη έρεη ηελ κεγαιχηεξε ηηκή (z=17) ζε Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 34
ζρέζε κε απηέο ησλ ππνπξνβιεκάησλ 4 θαη 5. Άξα εδψ ε βέιηηζηε ιχζε είλαη ε (,,, ) = (0, 3, 0, 0.5) θαη ε βέιηηζηε ηηκή είλαη z=17. Δικόνα 8:Γράθημα ηοσ προβλήμαηος 4 Έλα 0-1 π.α.π. κεγηζηνπνίεζεο 4 κεηαβιεηψλ Πξφβιεκα 5: Hillier-Lieberman 1995 max (9 + 5 + 6 + 4 ) φηαλ 6 + 3 + 5 + 2 10 + 1 0, i = 1,2,3,4 = {, i = 1,2,3,4 Λχζε Δδψ νη κφλεο ηηκέο αθεξαίσλ πνπ κπνξνχλ λα πάξνπλ νη κεηαβιεηέο είλαη 0 ή 1, γηα i = 1,2,3,4. Απηφ θάλεη ην ζπγθεθξηκέλν πξφβιεκα πην Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 35
εχθνιν θαη γξήγνξν ζηε ιχζε, ζπγθξηηηθά κε ην π.α.π. πνπ ιχζακε πξνεγνπκέλσο. Ζ ιχζε ηνπ πγπ ραιάξσζεο είλαη ε ίδηα κε πξηλ, δειαδή (,,, ) = (0, 2.7, 0, 1) θαη z = 17.5. Βιέπνπκε φηη ε κεηαβιεηή δελ έρεη ηηκή 0 ή 1, άξα δεκηνπξγνχκε 2 θιάδνπο κε βάζε απηή ηελ παξαηήξεζε, κε = 0 θαη = 1. Έηζη έρνπκε: Τποπρόβλημα 2 max (9 + 5 + 6 + 4 ) φηαλ 6 + 3 + 5 + 2 10 + 1 0, i = 1,2,3,4 = 0 = {, i = 1,3,4 Τποπρόβλημα 3 max (9 + 5 + 6 + 4 ) φηαλ 6 + 3 + 5 + 2 10 + 1 0, i = 1,2,3,4 = 1 = {, i = 1,3,4 Ζ ιχζε ζην Τπ2 είλαη (,,, ) = (1.7, 0, 0, 0) θαη z=15, θαη ζην Τπ3 (,,, ) = (0.8, 1, 0, 1) θαη z=16.5. Δπεηδή ζην Τπ3 επηηπγράλεηαη κεγαιχηεξε ηηκή ηεο αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο, Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 36
ζπλερίδνπκε κε ηε δεκηνπξγία θιάδσλ απφ απηφ, θαη ζπλερίδνπκε κε ηελ κεηαβιεηή. Οκνίσο κε πξηλ, έρνπκε = 0 θαη = 1. Τποπρόβλημα 4 max (9 + 5 + 6 + 4 ) φηαλ 6 + 3 + 5 + 2 10 + 1 0, i = 1,2,3,4 = 1 = 0 = {, i = 3,4 Τποπρόβλημα 5 max (9 + 5 + 6 + 4 ) φηαλ 6 + 3 + 5 + 2 10 + 1 0, i = 1,2,3,4 = 1 = 1 = {, i = 3,4 Ζ ιχζε ηνπ Τπ4 είλαη (,,, ) = (0, 1, 0, 1) θαη z=9, θαη ηνπ Τπ5 είλαη (,,, ) = (1, 1, 0, 0.5) θαη z = 16. Ζ ηηκή ηνπ Τπ5 είλαη Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 37
κεγαιχηεξε απφ ηελ ηηκή ηνπ Τπ2, νπφηε ζπλερίδνπκε ζην Τπ5 κε ηελ κεηαβιεηή, κε = 0 θαη = 1. Τποπρόβλημα 6 max (9 + 5 + 6 + 4 ) φηαλ 6 + 3 + 5 + 2 10 + 1 0, i = 1,2,3,4 = 1 = 0 = 0 = {, i = 3 Τποπρόβλημα 7 max (9 + 5 + 6 + 4 ) φηαλ 6 + 3 + 5 + 2 10 + 1 0, i = 1,2,3,4 = 1 = 0 = 1 = {, i = 3 Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 38
Σν Τπ7 δελ έρεη εθηθηή ιχζε, ελψ ε ιχζε ηνπ Τπ6 είλαη (,,, ) = (1, 1, 0.2, 0) θαη z=15.2. πλερίδνπκε κε ηελ κεηαβιεηή πνπ απέκεηλε, δειαδή ηελ, θαη έρνπκε ηα παξαθάησ ππνπξνβιήκαηα: Τποπρόβλημα 8 max (9 + 5 + 6 + 4 ) φηαλ 6 + 3 + 5 + 2 10 + 1 0, i = 1,2,3,4 = 1 = 0 = 0 = 0 Τποπρόβλημα 9 max (9 + 5 + 6 + 4 ) φηαλ 6 + 3 + 5 + 2 10 + 1 0, i = 1,2,3,4 = 1 = 0 = 0 = 1 Σν Τπ9 δελ έρεη εθηθηή ιχζε, ελψ ην Τπ8 έρεη ιχζε (,,, ) = (1, 1, 0, 0) θαη z = 14. Ζ ηηκή z = 14 είλαη κηθξφηεξε απφ ηελ ηηκή πνπ δίλεη Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 39
γηα ηελ αληηθεηκεληθή ζπλάξηεζε ην Τπ2, άξα επηζηξέθνπκε ζην Τπ2 θαη δεκηνπξγνχκε λένπο θιάδνπο. Τποπρόβλημα 10 max (9 + 5 + 6 + 4 ) φηαλ 6 + 3 + 5 + 2 10 + 1 0, i = 1,2,3,4 = 0 = 0 = {, i = 3,4 ηνπ νπνίνπ ε ιχζε είλαη ε κεδεληθή θαη δελ ιακβάλεηαη ππ φςε Τποπρόβλημα 11 max (9 + 5 + 6 + 4 ) φηαλ 6 + 3 + 5 + 2 10 + 1 0, i = 1,2,3,4 = 0 = 1 = {, i = 3,4 ηνπ νπνίνπ ε ιχζε είλαη (,,, ) = (1, 0, 0.8, 0) θαη z = 13.8. Απφ ην Τπ11 πξνθχπηνπλ ηα ηειεπηαία ππνπξνβιήκαηα, εθ ησλ νπνίσλ ην Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 40
έλα δελ έρεη εθηθηή ιχζε, ελψ ην άιιν έρεη ιχζε (,,, ) = (1, 0, 0, 0) θαη z = 9, πνπ είλαη κηθξφηεξε απφ απηή ηνπ Τπ8. Άξα ηειηθά θαηαιήγνπκε φηη ε βέιηηζηε ιχζε ηνπ αξρηθνχ καο πξνβιήκαηνο είλαη ε (,,, ) = (1, 1, 0, 0) θαη z = 14. Δικόνα 9:Γράθημα ηοσ προβλήμαηος 5 Έλα κηθηφ π.α.π. ειαρηζηνπνίεζεο 5 κεηαβιεηψλ Πξφβιεκα 6: Έζησ ην πξφβιεκα: min (5 + + + 2 + 3 ) φηαλ - 5 + + 2-2 5 - + 7 + + 6 + 4 0, i = 1,2,3,4,5 αθέξαηνο γηα i = 1,2,3 Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 41