= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &' %' ( = 0 # 0 # και γενικότερα για κάθε * 2, L, - -. = L, - - -. = L,. - - - 0# που, με απλή επαγωγή, μας οδηγεί στη σχέση L, -. = - = - - 0 # -# / 0 # -# // 0 # - 0 #. 3 Επομένως, εάν και στα δύο μέλη της ανωτέρω σχέσεως (2) εφαρμόσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace, λάβουμε υπ όψιν τις ανωτέρω ιδιότητες (3) και υποθέσουμε ότι όλες οι αρχικές συνθήκες είναι μηδέν, τότε λαμβάνουμε τη διαφορική εξίσωση: % % %' + 6 + 11 % %' %' + 6 = 2, 4 όπου, προφανώς, = L # 56 και 2 = L # 56. Ένας πρώτος στόχος της προσέγγισης του χώρου καταστάσεων: Ένας πρώτος στόχος της προσέγγισης που παρουσιάζεται εδώ είναι η διαφορική εξίσωση (4) να γραφεί ισοδυνάμως σαν ένα σύστημα πρωτοβαθμίων διαφορικών εξισώσεων, το οποίο συχνά αναφέρεται στη βιβλιογραφία ως κανονική μορφή του συστήματος. Τονίζεται ότι δεν υπάρχει ένας μονοσήμαντος τρόπος διατύπωσης αυτού του συστήματος πρωτοβαθμίων διαφορικών εξισώσεων κατά συνέπεια, έχουμε διαφορετικές κανονικές μορφές, η κάθε μία από τις οποίες έχει τις δικές της

εφαρμογές και τα δικά της πλεονεκτήματα. Προς το παρόν, θα μετατρέψουμε την (4) σε ένα σύστημα Δ.Ε. με χρήση ενδιάμεσων μεταβλητών ως εξής: Θέτουμε =, 59 = =, 5: = = =, 5; οπότε, η Δ.Ε. (4) γράφεται συναρτήσει αυτών των ενδιάμεσων μεταβλητών, ως εξής: + 6 + 11 + 6 = 2 69 = 6 11 6 + 2 6: Είθισται, αλλά είναι και ιδιαιτέρως χρήσιμο, στο σημείο αυτό να γράφουμε το σύστημα σε μορφή πινάκων, όπως περιγράφεται κατωτέρω. Πράγματι, ορίζοντας τον πίνακα στήλης των αγνώστων τότε η (6b) γράφεται < = = > =? 6 11 6@ < + 2 89 ενώ, οι (5a), (5b) γράφονται αντιστοίχως ως και =? 0 1 0@ < + 02 8: =? 0 0 1@ < + 02 8;. Συνενώνοντας τις εξισώσεις 8 με τη σειρά (8c), (8b), (8a), λαμβάνουμε μία τελική κανονική μορφή του συστήματος διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξεως: < 0 1 0 0 = C 0 0 1 D < + = 0>2 9 6 11 6 ενώ, προφανώς, η έξοδος υπολογίζεται μέσω της σχέσεως =?1 0 0@ < 10

Ο δεύτερος στόχος της παρούσας προσέγγισης είναι η επίλυση αυτού του συστήματος πρωτοβαθμίων διαφορικών εξισώσεων, με χρήση θεωρημάτων της Γραμμικής Άλγεβρας. Προς την κατεύθυνση αυτού του στόχου, θα παρουσιαστεί σχετική συνοπτική θεωρία ευθύς αμέσως. 2. Συνοπτική παρουσίαση χρήσιμων στοιχείων από τη Γραμμική Άλγεβρα Ορισμός Πίνακα: Πίνακας είναι μία δομή διάταξη σε μορφή ορθογωνίου παραλληλογράμμου με F γραμμές και G στήλες, όπου F,G N. Η διάταξη αυτή περιλαμβάνει πραγματικούς είτε μιγαδικούς αριθμούς είτε άλλους πίνακες, τα οποία λέγονται στοιχεία του πίνακα, ως εξής: Κάθε στοιχείο τοποθετείται στη θέση με συντεταγμένες JKLMMή *,OPήQR S και συμβολίζεται με ένα γράμμα και δείκτες *,S. Παραδείγματα: 2 α) T = U 5 1 + 2S W 3,14 3S β) X = Y11 Z # ] \^ \ _ γ) ` = a b 2 5 1 + 2S c d ` = e 3,14 3S f 11 Z # ] \ Οι διαστάσεις του πίνακα είναι το πλήθος των γραμμών αυτού F μαζί με το πλήθος των στηλών του G. Συνήθως η διάσταση ενός πίνακα συμβολίζεται με F G. Άρα στη προκειμένω περίπτωση, για τον πίνακα T έχουμε διαστάσεις 2 3, για τον πίνακα X έχουμε 1 3 και τον πίνακα ` 3 3. Ένας πίνακας λέγεται τετραγωνικός όταν και μόνο όταν F = G, δηλαδή όταν το πλήθος των γραμμών είναι ίσο με το πλήθος των στηλών. Ένας τετραγωνικός πίνακας λέγεται διαγώνιος όταν για κάθε * S,a ij = 0. Ανάστροφος πίνακας: \^

Έστω πίνακας k. Ο k l ορίζεται ο ανάστροφος του πίνακα T, ο οποίος έχει γραμμές τις στήλες του T και στήλες τις γραμμές του T. Άρα για τους προαναφερόμενους πίνακες, έχουμε τους εξής αντίστοιχους ανάστροφους πίνακες: 2 3,14 α) k l = e 5 f 1 + 2S 3S 11 β) X l = C Z # D ] \ \^ 2 3,14 11 γ) `l =? k l m n @ `l = e 5 Z # f 1 + 2S 3S ] \ \^ Ορίζουσα του πίνακα: Ως ορίζουσα του πίνακα ορίζεται μια κατάλληλη απεικόνιση από τον χώρο των τετραγωνικών πινάκων στο R. Θα δείξουμε την ακριβή μορφή αυτής της απεικόνισης με παραδείγματα: Α) έστω πίνακας T = U L p W. Τότε η ορίζουσα του πίνακα είναι : J q detk = 9 q p J a a a Β) έστω πίνακας 3 3, u = Ca a a a a D. Τότε η ορίζουσα του πίνακα είναι : a a a a detu = va a a a a v a = 1 a w a a a a w + 1 a w a a a a w + 1 a w a a a w a

detu = 1 a a a a a + 1 a a a a a + 1 a a a a a a a a a z a Γ) έστω πίνακας 4 4, ` = y a a a z a a a a {. Τότε η ορίζουσα του πίνακα z a z a z a z a zz είναι : a a a z a a a z det` = 1 a va a a z v + 1 a va a a z v a z a z a zz a z a z a zz a a a z a a a + 1 a va a a z v + 1 z a z va a a v a z a z a zz a z a z a z Ορισμός μοναδιαίου πίνακα: Ο μοναδιαίος πίνακας ορίζεται μόνο στον χώρο των τετραγωνικών πινάκων. Είναι ο τετραγωνικός πίνακας τα διαγώνια στοιχεία του οποίου ισούνται με τη μονάδα, ενώ ταυτόχρονα τα μη διαγώνια αυτού ισούνται με το μηδέν. Συνεπώς ο μοναδιαίος πίνακας G G έχει ως εξής: L L } ~ = C D 9 9 όπου L - = 1 αν * = S και L - = 0 αν * S * = 1,,G L S = 1,,G. Ορισμός αντιστρόφου: Αντίστροφος πίνακας ενός πίνακα A ορίζεται μόνο στον χώρο των τετραγωνικών πινάκων. Ένας πίνακας X λέγεται αντίστροφος του πίνακα k όταν ισχύει η σχέση k X = X k = Συνήθως ο αντίστροφος πίνακας του A συμβολίζεται ως k #. Σημειωτέον ότι ο πολλαπλασιασμός πινάκων δεν είναι αντιμεταθετική πράξη, αλλά ειδικά για την περίπτωση του αντιστρόφου εάν αποδείξουμε ότι k X = τότε ισχύει και X k = χωρίς να χρειάζεται να το αποδείξουμε.

Ένας τετραγωνικός πίνακας έχει αντίστροφο όταν και μόνον όταν η ορίζουσά του είναι διάφορη του μηδενός. 2.1 Επίλυση γραμμικών συστημάτων 2.1 α) Μητρική μορφή εξισώσεων Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων με ίδιο πλήθος εξισώσεων και αγνώστων, έστω αυτό το πλήθος G, ονομάζεται τετραγωνικό γραμμικό σύστημα G G. Ένα πρώτο γενικό παράδειγμα: Έστω ένα σύστημα 4 4: 9 + 9 + 9 + 9 z z = ; 9 + 9 + 9 + 9 z z = ; 9 + 9 + 9 + 9 z z = ; 9 z + 9 z + 9 z + 9 zz z = ; z Το σύστημα αυτό μπορεί να γραφεί και σε μητρική μορφή με τη βοήθεια των παρακάτω πινάκων: 9 9 9 9 z 9 9 9 9 z k = y 9 9 9 9 { z 9 z 9 z 9 z 9 zz z z ˆ = y { z z ; ; = y ; { ; z Η μητρική μορφή του συστήματος έχει ως εξής: k ˆ = Στην περίπτωση που ο πίνακας k έχει αντίστροφο, δηλαδή στην περίπτωση που ο πίνακας k έχει ορίζουσα διάφορη του μηδενός, τότε το εν λόγω σύστημα έχει μοναδική λύση την οποία εντοπίζουμε με την ακόλουθη διαδικασία: z k ˆ = k # k ˆ = k # ˆ = k # 10 Συνεπώς οι λύσεις του συστήματος,,, z είναι γνωστές αν είναι γνωστός ο πίνακας k #.

Αν ο πίνακας k έχει ορίζουσα ίση με το μηδέν το σύστημα δεν έχει μοναδική λύση. Στην περίπτωση αυτή εντοπίζουμε μια υποορίζουσα 3 3 η οποία είναι διάφορη του μηδενός. Ακολούθως εργαζόμαστε με τον ίδιο τρόπο όπως και πριν επιλύοντας το σύστημα με έναν ελεύθερο άγνωστο, ή αλλιώς με ένα βαθμό ελευθερίας. Αν για παράδειγμα η ορίζουσα 9 9 9 9 9 9 9 9 9 είναι διάφορη του μηδενός λύνουμε ένα σύστημα 3 3 με ελεύθερο άγνωστο το z, επειδή κανένα στοιχείο της υποορίζουσας που επιλέξαμε δεν πολλαπλασιάζει το z. Το σύστημα αυτό θα έχει ένα βαθμό ελευθερίας. Στην περίπτωση που όλες οι υποορίζουσες 3 3 είναι μηδέν ερευνούμε για το αν υπάρχει κάποια 2 2 υποορίζουσα διάφορη του μηδενός οπότε και το προκύπτον σύστημα θα έχει δύο ελεύθερους αγνώστους δηλαδή 2 βαθμούς ελευθερίας κ.ο.κ. Αν και κάθε γραμμικό σύστημα που έχει μοναδική λύση λύνεται κομψά με τον τύπο (10) εν τούτοις προτείνεται (καθοριστικά) να μην χρησιμοποιείται αυτός για την επίλυση τέτοιων συστημάτων στην πράξη. Αντιθέτως προτείνεται να χρησιμοποιείται η μέθοδος απαλοιφής Gauss, η οποία λειτουργεί πλήρως και στην περίπτωση που το σύστημα δεν έχει μοναδική λύση, αλλ αντιθέτως είναι αδύνατο ή έχει άπειρες λύσεις. Η μέθοδος αυτή δημιουργεί κατ αρχήν έναν επαυξημένο πίνακα, ο οποίος αριστερά μιας νοητής γραμμής που συνήθως σχεδιάζεται διακεκομμένη, περιλαμβάνει τη μήτρα των συντελεστών του συστήματος, ενώ δεξιά της διακεκομμένης περιλαμβάνει τη στήλη των σταθερών όρων. Η μέθοδος απαλοιφής Gauss χρησιμοποιεί πράξεις μεταξύ γραμμών του επαυξημένου (και ποτέ στηλών) και συγκεκριμένα: α) πολλαπλασιασμό γραμμής επί σταθερά β) προσθαφαίρεση γραμμών και γ) εναλλαγή γραμμών για εξοικονόμηση πράξεων. Ο στόχος είναι η απαλοιφή να καταστήσει όλα τα διαγώνια στοιχεία άσσους και τα εκτός διαγωνίου μηδέν. Η πορεία της απαλοιφής περιλαμβάνει τα εξής βήματα: 1) Πρώτα γίνεται 1 το στοιχείο 9. Εάν αυτό είναι μηδέν ή πολύ μεγάλο, εναλλάσσω τις κατάλληλες γραμμές ώστε να δημιουργήσω ένα καινούριο 9 που είναι ήδη 1 ή γενικώς με συμφέρει. 2) Εν συνεχεία μηδενίζω όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης με απαλοιφή, χρησιμοποιώντας την πρώτη γραμμή. 3) Κάνω 1 το 9, με ίδια τεχνική όπως το 9. 4) Κάνω μηδέν όλα τα εκτός διαγωνίου στοιχεία της στήλης 2, κ.ο.κ.

Προσοχή 1: Εάν μία γραμμή αριστερά της διακεκομμένης είναι όλη μηδέν, τότε αμέσως κοιτάω το στοιχείο δεξιά της διακεκομμένης. Εάν αυτό είναι διάφορο του μηδενός, τότε αποφασίζω ότι το σύστημα είναι αδύνατο και σταματώ τη διαδικασία. Εάν το στοιχείο δεξιά της διακεκομμένης είναι μηδέν τότε συνεχίζουμε τη διαδικασία μέχρι το σύστημα να βρεθεί αδύνατο είτε να ολοκληρωθούν οι πράξεις σε όλες τις γραμμές. Προσοχή 2: Οι πράξεις γραμμών καθορίζονται μόνο από τη μήτρα συντελεστών και όχι από τους σταθερούς όρους. Προτείνουμε η αντιστροφή πίνακα να γίνεται με μέθοδο απαλοιφής Gauss όπως θα φανεί στα κατωτέρω παραδείγματα: Παράδειγμα 2.2.1 Έστω ένας οποιοσδήποτε πίνακας k 9 k = a 9 9 9 d του οποίου επιθυμούμε να βρούμε τον αντίστροφο. Προς τον σκοπό αυτό δημιουργούμε τον επαυξημένο πίνακα = U 9 9 1 0 9 9 0 1 W και εκτελούμε πράξεις γραμμών σε αυτόν για να δημιουργήσουμε τον μοναδιαίο αριστερά της διακεκομμένης. Αν κατά τη διάρκεια αυτής της μεθόδου απαλοιφής, μία γραμμή αριστερά της διακεκομμένης βγει μηδέν, τότε ο πίνακας δεν έχει αντίστροφο. Αλλιώς, μετά την ολοκλήρωση της απαλοιφής, θα καταλήξουμε σε έναν πίνακα της μορφής Τότε, ο πίνακας p U 1 0 p W 0 1 p p u = U p p p p W είναι ο αντίστροφος του T. Παράδειγμα 2.2.2 Έστω ένας οποιοσδήποτε πίνακας k 9 9 9 k = C9 9 9 9 9 D 9

του οποίου επιθυμούμε να βρούμε τον αντίστροφο. Προς τον σκοπό αυτό δημιουργούμε τον επαυξημένο πίνακα 9 9 9 1 0 0 = C9 9 9 0 1 0D 9 9 9 0 0 1 και εκτελούμε πράξεις γραμμών σε αυτόν για να τον δημιουργήσουμε τον μοναδιαίο αριστερά της διακεκομμένης. Αν κατά τη διάρκεια αυτής της μεθόδου απαλοιφής, μία γραμμή αριστερά της διακεκομμένης βγει μηδέν, τότε ο πίνακας δεν έχει αντίστροφο. Αλλιώς, μετά την ολοκλήρωση της απαλοιφής, θα καταλήξουμε σε έναν πίνακα της μορφής Τότε, ο πίνακας είναι ο αντίστροφος του T. 1 0 0 p p p C0 1 0 p p p D 0 0 1 p p p p p p u = Cp p p D p p p Κοκ. για τετραγωνικούς πίνακες μεγαλύτερων διαστάσεων. 2.2 Ορισμός γραμμικού χώρου υπεράνω του R Έστω ένα μη κενό σύνολο στο οποίο ορίζονται 2 πράξεις (απεικονίσεις): μία που συνήθως ονομάζεται πρόσθεση από, και μία που συνήθως ονομάζεται πολλαπλασιασμός από R,. Ως προς την πρόσθεση το είναι αντιμεταθετική ομάδα δηλαδή έχει τις εξής ιδιότητες. Είναι προσεταιριστική : + + = + + έχει ουδέτερο στοιχείο, που συνήθως συμβολίζεται με μηδέν: Υπάρχει συμμετρικό στοιχείο δηλαδή Είναι αντιμεταθετική: + = + = υπάρχει / : + / = / + =, + = +

Όσον αφορά τον πολλαπλασιασμό αυτός έχει τις εξής ιδιότητες. 1 = M + = M + M M R L, M + M = M + M M,M R L Ιδιότητες του χώρου. M M = M M M,M R L 1. 0 = 2. M + M M,M R L, Τονίζεται ότι αν η σταθερά M παίρμει τιμές στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών ισχύει ακριβώς ο ίδιος ορισμός του γραμμικού χώρου ο οποίος απλά λέγεται ότι είναι υπεράνω του C. Ορισμός γραμμικού υποχώρου. Ένα υποσύνολο του γραμμικού χώρου λέγεται γραμμικός υπόχωρος αν και το είναι αφ εαυτού γραμμικός χώρος. Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να ισχύει αυτό είναι το να είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό του χώρου. Ο χώρος R Είναι το σύνολο των διατεταγμένων G άq,,, στις οποίες έχουν οριστεί οι γνωστές πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού με πραγματικό αριθμό: M R M,,, = M,M,,M,,, +,,, = +, +,, + 2.1 β) Η έννοια της γραμμικής ανεξαρτησίας πινάκων (γραμμής ή στήλης) Έστωσαν δύο πίνακες στήλης (ή γραμμής) <,, διαστάσεων G 1 ή 1 G. Τα διανύσματα αυτά λέγονται γραμμικώς ανεξάρτητα αν και μόνον αν για κάθε M,M R M < + M = 0 M = M = 0 Ικανή και αναγκαία συνθήκη γραμμικής ανεξαρτησίας:

Θα διατυπώσουμε αυτή τη συνθήκη με παραδείγματα: Έστωσαν πάλι οι ανωτέρω δύο πίνακες και ˆ = y { z z = y { z z Θεωρούμε τον πίνακα T ο οποίος προκύπτει από τη συνένωση των < και με την έννοια ότι ο T έχει στήλες τους < και, δηλαδή k = y { z z z Οι < και είναι γραμμικώς ανεξάρτητοι, αν και μόνον αν μία υποορίζουσα 22 του πίνακα k είναι διάφορη του μηδενός. Ορισμός γραμμικής ανεξαρτησίας επεκτείνεται άμεσα για οποιοδήποτε πλήθος διανυσμάτων <,<,,< ~.: τα n αυτά διανύσματα αν και μόνο αν ισχύει M < +M < + + M < ~ =0 M =M =M =0 Έστωσαν τέσσερεις πίνακες <,,š, ιδίων διαστάσεων 61. Δημιουργώ τον πίνακα k που έχει στήλες τους πίνακες αυτούς. Ο k θα είναι προφανώς διαστάσεων 64. Αν μία οποιαδήποτε υποορίζουσα 44 του k είναι διάφορη του μηδενός, τότε τα 4 αρχικά διανύσματα είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Εάν όλες οι υποορίζουσες 44 είναι μηδέν, τότε τα <,,š, είναι γραμμικώς εξαρτημένα και το καλύτερο που μπορούμε να επιτύχουμε είναι να βρούμε ένα υποσύνολο αυτών που είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, κοιτώντας πρώτα όλες τις υποορίζουσες 33 και ελέγχοντας αν μία είναι διάφορη του μηδενός, οπότε τα αντίστοιχα 3 διανύσματα θα είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, μετά τις υποορίζουσες 22, κλπ. Διάσταση ενός χώρου λέγεται ο μέγιστος αριθμός γραμμικώς ανεξαρτήτων διανυσμάτων που μπορούν να βρεθούν στο χώρο αυτό.

Εάν είναι η διάσταση ενός χώρου τότε ένα οποιοδήποτε σύνολο γραμμικώς ανεξαρτήτων στοιχείων αυτού είναι βάση αυτού. 2.2 To πρόβλημα των ιδιοτιμών Έστω T ένας τετραγωνικός G G πίνακας. Ένας αριθμός Q R ή C είναι ιδιοτιμή του πίνακα T αν υπάρχει μη-μηδενικό διάνυσμα ˆ (δηλαδή πίνακας G 1) που λέγεται ιδιοδιάνυσμα ώστε να ισχύει: T < = Q< Επιλύοντας την παραπάνω σχέση παίρνουμε : T < Q< = k Q ˆ = Η τελευταία σχέση δίνει ένα γραμμικό και ομογενές σύστημα από G το πλήθος εξισώσεις. Προφανώς, το σύστημα έχει τουλάχιστον μία λύση, τη μηδενική. Για να αναζητήσουμε μη τετριμμένες λύσεις πρέπει και αρκεί να εξετάσουμε την περίπτωση που η ορίζουσα του συστήματος γίνεται ίση με μηδέν. Δηλαδή: Zk Q = Η παραπάνω ορίζουσα είναι ένα πολυώνυμο ως προς Q βαθμού G, που λέγεται χαρακτηριστικό πολυώνυμο. Η απαίτηση Zk Q = ισοδυναμεί με μία πολυωνυμική εξίσωση ως προς Q, την οποίαν καλούμαστε να επιλύσουμε. Οι ρίζες, πραγματικές και μιγαδικές, αυτής της εξίσωσης είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα k. Σημειώνουμε, ότι αν ο G είναι περιττός και εφ όσον οι συντελεστές του πολυωνύμου είναι πραγματικοί αριθμοί, τότε γνωρίζουμε ότι μία τουλάχιστον από τις ρίζες του πολυωνύμου είναι πραγματικός αριθμός. Έχοντας βρει μία πραγματική ιδιοτιμή του πίνακα k την αντικαθιστούμε στην αρχική εξίσωση και παίρνουμε ένα ομογενές σύστημα για το οποίο γνωρίζουμε ότι ο πίνακας των σταθερών όρων έχει ορίζουσα ίση με μηδέν. Ένας τρόπος επίλυσης

αυτού του συστήματος είναι με στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών, μέσω των οποίων προκύπτει σύστημα ισοδύναμο του αρχικού. Για να επιλύσουμε το σύστημα, θέτουμε: u=t Q και εντοπίζουμε στον πίνακα X, έναν υποπίνακα ο οποίος έχει ορίζουσα διάφορη του μηδενός. Οι θέσεις των γραμμών του υποπίνακα καθορίζουν τις αντίστοιχες εξισώσεις του συστήματος τις οποίες θα επιλύσουμε προκειμένου να βρούμε τις G 1 το πλήθος συντεταγμένες του αγνώστου διανύσματος <, οι οποίες θα είναι συνάρτηση της G œopή συντεταγμένης. Αυτές δίνουν τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα για την ιδιοτιμή που βρήκαμε. 2.3 Διαγωνοποίηση Πινάκων. Ορισμός 2.1 Ένας τετραγωνικός πίνακας k ονομάζεται διαγωνοποιήσιμος στο R ή C, αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας ž, τέτοιος ώστε ο πίνακας ž # T ž να είναι διαγώνιος. Παράδειγμα 2.3.1: 4 2 2 1 0 1 Έστω πίνακας k = C2 4 2D. Επιπλέον έστω ο πίνακας ž = C 0 1 1D. Αν το 2 2 4 1 1 1 αποτέλεσμα ž # T ž είναι ένας διαγώνιος πίνακας τότε ο πίνακας b είναι διαγωνοποιήσιμος. Πράγματι: 1 0 1 C 0 1 1D 1 1 1 # 4 2 2 1 0 1 2 0 0 C2 4 2D C 0 1 1D = C0 2 0D 2 2 4 1 1 1 0 0 8 Παράδειγμα 2.3.2: Έστω πίνακας k = Ÿ z. Αν θεωρήσουμε τον αντιστρέψιμο πίνακα

3 1 5 ž=c 1 1 3D,και τον αντίστροφο του, 3 1 1 3 1 5 ž # = C 1 1 3D 3 1 1 # ž # = Ÿ 1, τότε εκτελώντας το γινόμενο ž # T ž, θα λάβουμε έναν διαγώνιο πίνακα. Πράγματι : ž # T ž = Ÿ 1 Ÿ z 3 1 5 C 1 1 3D 3 1 1 = ž # T ž = C 0 0 0 0 2 0 0 0 1 D Θα αναπτύξουμε, ακολούθως, συστηματικές μεθόδους για να βρίσκουμε τον πίνακα ž από τον πίνακα T. Α) Διαγωνοποίηση όταν ο πίνακας έχει διαφορετικές ιδιοτιμές. Παράδειγμα 2.3.3: Έστω ο πίνακας k όπου k = y 5 5 2 3 2{ 8 5 4 4 3 4 Βρίσκουμε τις ιδιοτιμές του υπολογίζοντας τον πίνακα k Q και θέτοντας την ορίζουσά του ίση με μηδέν: Zk Q = Zy 5 Q 5 3 2 2 { = Q + 4Q Q 6 = 0. 8 5 Q 4 4 3 4 Q Εξετάζοντας τους διαιρέτες του σταθερού όρου και εκτελώντας τις κατάλληλες διαιρέσεις πολυωνύμων διαπιστώνουμε ότι οι

Q = 1, Q = 2 και Q = 3 αποτελούν ρίζες αυτού του χαρακτηριστικού πολυωνύμου. Για την εύρεση των αντίστοιχων ιδιοδιανυσμάτων εργαζόμαστε ως εξής: Για την ιδιοτιμή Q = 1 επιλύουμε το ακόλουθο γραμμικό σύστημα. k + C D = 0 y 5 6 2 8 4 4 4 3 5 6 + 5 2 3 2 = 0 8 4 +4 = 0 4 3 +5 = 0 3 2{ C D = 0 Προφανώς η ορίζουσα των συντελεστών στο εν λόγω σύστημα είναι ίση με το μηδέν. Παρατηρούμε ότι η πάνω αριστερά υποορίζουσα 22 είναι διάφορη του μηδενός. Συνεπώς λύνουμε το σύστημα με ελεύθερο άγνωστο το και προκύπτει το κάτωθι αντίστοιχο διάνυσμα. 1 C3 D = C 3D 1 Και κατά συνέπεια το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα 1 < = C 3D. 1 Για την ιδιοτιμή Q = 2 επιλύουμε το ακόλουθο γραμμικό σύστημα. k 2 C D = 0 Με τον ίδιο τρόπο με πριν προκύπτει το ιδιοδιάνυσμα 2 < = C 0D. 4 Για την ιδιοτιμή Q = 3 επιλύουμε το ακόλουθο γραμμικό σύστημα. k 3 C D = 0 Με τον ίδιο τρόπο με πριν προκύπτει το ιδιοδιάνυσμα

1 < =C 2D. 2 Ο πίνακας ž των τριών παρατιθεμένων ιδιοδιανυσμάτων είναι o ακόλουθος 1 2 1 ž =?<,<,< @ ž = C 3 0 2D 1 4 2 και ο πίνακας όπου = ž # T ž 1 0 0 = C 0 2 0D 0 0 3 Β) Διαγωνοποίηση όταν ο πίνακας παρουσιάζει πολλαπλές ιδιοτιμές. Β.1 Η έννοια της αλγεβρικής και γεωμετρικής πολλαπλότητας. Θα καταδείξουμε τις έννοιες της αλγεβρικής και γεωμετρικής πολλαπλότητας με σχετικά παραδείγματα. Παράδειγμα 2.3.4: Έστω ο πίνακας k όπου 1 3 3 k = C3 5 3D. 6 6 4 Βήμα 1: Βρίσκουμε τις ιδιοτιμές του υπολογίζοντας τον πίνακα k Q και θέτοντας την ορίζουσά του ίση με μηδέν: 1 Q 3 3 Zk Q = ZC 3 5 Q 3 D = Q + 12Q + 16 = 0. 6 6 4 Q Εξετάζοντας τους διαιρέτες του σταθερού όρου διαπιστώνουμε ότι οι Q = 4 και Q = 2 αποτελούν ρίζες αυτού του χαρακτηριστικού πολυωνύμου. Εκτελώντας τη διαίρεση πολυώνυμων διαπιστώνουμε ότι η τιμή 2 είναι διπλή ρίζα. Βήμα 2: Λύνουμε πρώτα το πρόβλημα ιδιοτιμών της Q που έχει πολλαπλότητα 1. Για την περίπτωση αυτή ισχύει:

k 4 C D=0 C 3 3 3 3 9 3D C D = 0 6 6 0 3 3 +3 = 0 3 9 +3 = 0 6 6 +0 = 0 Προφανώς η ορίζουσα των συντελεστών στο προκείμενο σύστημα είναι ίση με το μηδέν. Παρατηρούμε ότι η πάνω αριστερά υποορίζουσα 22 είναι διάφορη του μηδενός. Συνεπώς λύνουμε το σύστημα με ελεύθερο άγνωστο το και προκύπτει το κάτωθι αντίστοιχο διάνυσμα. 1 2 1 2 1 2 = 1 2 Ÿ Ÿ1 Και κατά συνέπεια το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα 1 2 < = 1 2 Ÿ1 Βήμα 3: Όσον αφορά την Q που έχει πολλαπλότητα 2, ισχύει: 3 3 3 3 3 +3 = 0 k + 2 C D = 0 C3 3 3D C D = 0 3 3 +3 = 0 6 6 6 6 6 +6 = 0 Προφανώς η ορίζουσα των συντελεστών στο προκείμενο σύστημα είναι ίση με το μηδέν. Παρατηρούμε ότι όλες οι υποορίζουσες είναι ίσες με μηδέν άρα πρέπει υποχρεωτικά να λύσουμε το σύστημα με 2 ελεύθερους αγνώστους. Επιλέγουμε να λύσουμε την πρώτη εξίσωση με ελεύθερους αγνώστους τα και και προκύπτει =. Τότε C D = C D = = 1 1 > + C 0 D = C1D + C 0D 0 0 1 Παρατηρούμε ότι τα ιδιοδιανύσματα 1 1 < = C1D και < = C 0D 0 1

είναι γραμμικώς ανεξάρτητα διότι η υποορίζουσα των δύο πρώτων στοιχείων τους είναι διάφορη του μηδενός. Άρα ο υπόχωρος των ιδιοδιανυσμάτων-πινάκων στήλης που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή 2 έχει διάσταση 2 και βάση τα ανωτέρω 2 γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα. Η διάσταση του υποχώρου μιας ιδιοτιμής λέγεται γεωμετρική πολλαπλότητα αυτής, ενώ η πολλαπλότητα της ίδιας ιδιοτιμής ως ρίζας του χαρακτηριστικού πολυωνύμου λέγεται αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής αυτής. Η διαφορά (αλγεβρική πολλαπλότητα - γεωμετρική πολλαπλότητα), καθορίζει την μέθοδο την οποία θα εφαρμόσουμε για τον υπολογισμό των ιδιοδιανυσμάτων μιας πολλαπλής ιδιοτιμής, αλλά και τη μορφή του πίνακα που προκύπτει μετά τη διαγωνοποίηση. Προφανώς η αλγεβρική πολλαπλότητα είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση της γεωμετρικής. Βήμα 4: Εν προκειμένω, επειδή (αλγεβρική πολλαπλότητα - γεωμετρική πολλαπλότητα) = 0 ο πίνακας ž των τριών παρατιθεμένων ιδιοδιανυσμάτων είναι o ακόλουθος 1 2 1 1 ž=?<,<,< @ ž = 1 2 1 0 Ÿ1 0 1 ο οποίος είναι αντιστρέψιμος διότι τα <,<,< είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Επιπλέον, ο πίνακας όπου = ž # T ž είναι όντως διαγώνιος και ισχύει: Παράδειγμα 2.3.5: Έστω ο πίνακας k όπου 4 0 0 = C0 2 0D 0 0 2 5 2 1 k = C 4 12 4 D 2 11 Βήμα 1: Βρίσκουμε τις ιδιοτιμές του υπολογίζοντας τον πίνακα k Q και θέτοντας την ορίζουσα αυτού ίση με μηδέν: 5 Q 2 1 Zk Q = ZC 4 12 Q 4 D = Q + 28Q 256Q + 68 = 0. 2 11 Q

Εξετάζοντας τους διαιρέτες του σταθερού όρου διαπιστώνουμε ότι οι Q =12 και Q = 8 αποτελούν ρίζες αυτού του χαρακτηριστικού πολυωνύμου. Εκτελώντας τη διαίρεση πολυωνύμων διαπιστώνουμε ότι η τιμή 8 είναι διπλή ρίζα. Βήμα 2: Λύνουμε πρώτα το πρόβλημα ιδιοτιμών της Q = 12 που έχει πολλαπλότητα 1. Για την περίπτωση αυτή ισχύει: 2 1 k 12 C D = 0 C 4 0 4 2 1 +2 + = 0 4 +0 +4 = 0 2 = 0 D C D = 0 Όπως αναμενόταν η ορίζουσα των συντελεστών στο προκείμενο σύστημα είναι ίση με το μηδέν. Παρατηρούμε ότι η πάνω αριστερά υποορίζουσα 22 είναι διάφορη του μηδενός. Συνεπώς λύνουμε το σύστημα με ελεύθερο άγνωστο το και προκύπτει το κάτωθι αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα. Επιλέγουμε 1 < = C3D 1 1 < = C3D 1 Βήμα 3: Όσον αφορά την Q = 8 που έχει πολλαπλότητα 2, ισχύει: 3 2 1 3 +2 +1 = 0 k 8 C D = 0 C 4 4 4D C D = 0 4 +4 +4 = 0 2 3 2 +3 = 0 Όπως αναμενόταν η ορίζουσα των συντελεστών στο προκείμενο σύστημα είναι ίση με το μηδέν. Παρατηρούμε ότι η πάνω αριστερά υποορίζουσα 22 του ανωτέρω πίνακα είναι διάφορη του μηδενός. Συνεπώς λύνουμε το σύστημα με ελεύθερο άγνωστο το και προκύπτει το κάτωθι αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα. Επιλέγουμε < = C 1 2D 1 1 < = C 2D. 1

Προσοχή: τα ανωτέρω σημαίνουν ότι ο υπόχωρος της διπλής ιδιοτιμής Q =8 έχει διάσταση 1 γεγονός που συνεπάγεται ότι (αλγεβρική πολλαπλότητα - γεωμετρική πολλαπλότητα) =q=2 1=1 Το γεγονός ότι η διαφορά ª είναι μεγαλύτερη του μηδενός σημαίνει ότι ο αρχικός πίνακας δεν είναι διαγωνοποιήσιμος. Σε αυτές τις περιπτώσεις η καλύτερη δυνατότητα είναι να μετασχηματίσουμε τον k σε έναν «σχεδόν διαγώνιο πίνακα», με τον τρόπο που θα περιγραφεί κατωτέρω. Πράγματι, για να προσδιορίσουμε το ˆ λύνουμε το σύστημα 1 3 2 1 1 k 8 ˆ =ˆ =C 2D C 4 4 4D C D = C 2D 1 2 3 1 3 +2 +1 = 1 4 +4 +4 = 2 2 +3 = 1 Παρατηρούμε ότι η πάνω αριστερά υποορίζουσα 22 του ανωτέρω πίνακα είναι διάφορη του μηδενός. Συνεπώς λύνουμε το σύστημα με ελεύθερο άγνωστο το δίνοντας σε αυτόν την τιμή = 1 για απλότητα στις πράξεις. Προκύπτει το κάτωθι αντίστοιχο γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα. < = y 1 5 2 1 { Βήμα 4: Εν προκειμένω, επειδή (αλγεβρική πολλαπλότητα - γεωμετρική πολλαπλότητα) = q = 1 ο πίνακας ž δημιουργείται με συνένωση των δύο ιδιοδιανυσμάτων <,< και του γενικευμένου ιδιοδιανύσματος <, οπότε προκύπτει 1 1 1 ž =?<,<,< @ ž = y3 2 5 {. 2 1 1 1 Ο πίνακας ž είναι αντιστρέψιμος διότι τα <,<,< είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. 12 0 0 Διαπιστώνουμε ότι ž # T ž = «= C 0 8 1D 0 0 8 Εδώ βρίσκεται η ουσία αυτής της προσέγγισης (του Jordan). Όντως παρατηρούμε ότι

12 0 0 ž «=?<,<,< @C 0 8 1D =?12<,8 <,< + 8 < @, 0 0 8 Ενώ T ž = T?<,<,< @ =?T<,T<,T< @ =?12<,8 <,k < @ Παρατηρούμε ότι για να είναι ίσα τα γινόμενα ž «και T ž θα πρέπει να ισχύει η ισότητα k < = < + 8 < k 8 ˆ = ˆ που είναι η σχέση που χρησιμοποιήσαμε προκειμένου να εντοπίσουμε το γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα <. Παράδειγμα 2.3.6: Έστω ο πίνακας Α όπου 5 4 2 1 0 1 1 1 k = y { 1 1 3 0 1 1 1 2 «= y 1 0 0 0 0 2 0 0 { 0 0 4 1 0 0 0 4 Παράδειγμα 2.3.: k = Ÿ 3 1 3 3 2 3 6 25 3 4 3 3 3 16 3 2 1 3 10 2 4 1 Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο και αντίστοιχα η χαρακτηριστική εξίσωση είναι Q z + Q + 18Q + 20Q + 8 = 0

«=y 1 0 0 0 0 2 1 0 { 0 0 2 1 0 0 0 2 Θεώρημα Cayley-Hamilton: Κάθε πίνακας b ικανοποιεί ταυτοτικά το χαρακτηριστικό του πολυώνυμο, δηλαδή το πολυώνυμο που προκύπτει απ την απαίτηση ZT Q} =.