Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πίνακες Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD
Πίνακες Μητρώα Πίνακας: Ορθογώνια διάταξη αριθμών σε γραμμές και στήλες mn Μέγεθος του Α Συμβολισμοί a a a a a a a a a 11 12 1n 21 22 2n m1 m2 mn a, 1 im,1 j n Αν m=n ο πίνακας ονομάζεται Τετράγωνος ή Τετραγωνικός ή M (F) m n M (F) n ή F mn ή F nn Το σύνολο των mxn πινάκων με στοιχεία από το σύνολο F Το σύνολο των τετράγωνων πινάκων με στοιχεία από το F Ορισμός Πίνακα ως Συνάρτηση : F, {1, 2,..., m}, {1, 2,..., n} 1 2 1 2
Ειδικές Περιπτώσεις Πινάκων Πίνακας Γραμμή 1 n a1 a2 a Πίνακας Στοιχείο 11 n Πίνακας στήλη m1 a1 a 2 am Αναπαράσταση Διανύσματος στον m Ίχνος Τετράγωνου Πίνακα tr( ) a a... a a nn 11 22 nn ii i1 Ισότητα δύο Πινάκων Πρέπει να έχουν το ίδιο μέγεθος και τα ομοθέσια στοιχεία τους να είναι ίσα n Άθροισμα Διαγώνιων Στοιχείων
Άνω και Κάτω Τριγωνικός Άνω Τριγωνικός a 0 i j 7 4 8 0 5 m n 0 6 3 6 3 0 0 1 7 2 Όλα μηδέν Κάτω Τριγωνικός Κύρια Διαγώνιος a 0 i j ( i j) m n 2 0 0 0 0 3 1 0 0 0 1 0 4 0 0
Μηδενικός Διαγώνιος Ταυτοτικός Μηδενικός Om n m n Διαγώνιος a a 0 i j 0 i, j 0 0 0 0 O3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 6 0 0 0 0 1 0 Ταυτοτικός a 1 i j, a 0 i j In 1 1 1 1 Τετράγωνος Διαγώνιος I 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1
Ανάστροφος Συμμετρικός Αντισυμμετρικός Ο ανάστροφος ενός mxn πίνακα, είναι ο nxm πίνακας που προκύπτει από τον αν τις γραμμές του τις γράψουμε ως στήλες, 1,1 a a in j m 4 8 4 1 3 1 0 8 0 6 3 6 Συμμετρικός Πίνακας: Αν 4 8 3 8 1 2 3 2 9 Αντισυμμετρικός Πίνακας: Αν 0 8 3 8 0 2 3 2 0 ji Στη διαγώνιο έχουμε αναγκαστικά 0 a a, 1 i, j n ji Ισχύει γενικά Τετράγωνος πίνακας με Τετράγωνος πίνακας με a a, 1 i, jn ji
Συζυγής Ερμιτιανιός Αν Mm n τότε ο συζυγής του ορίζεται ως a, i, j 3 14i i 3 14i i 0 7 2 i 0 7 2 i Ερμιτιανός Πίνακας Αν o τετράγωνος και ισχύει ότι 3 2i i 2 i 7 4 i i 4 i 1 Η διαγώνιος περιέχει πάντοτε μόνον πραγματικούς αριθμούς M n και ο Ερμιτιανός ο Συμμετρικός
Πρόσθεση Πινάκων Αν B, F Ιδιότητες Mm n τότε B a b a b B B ( BC) ( B) C O O ( ) O ( B) B B B Πρέπει και οι δύο να έχουν το ίδιο μέγεθος Αντιμεταθετική Ιδιότητα Μηδενικό Στοιχείο Αντίθετος Πίνακας Προσεταιριστική Ιδιότητα Κάθε Τετράγωνος πίνακας γράφεται ως άθροισμα ενός Συμμετρικού και ενός Αντισυμμετρικού πίνακα: 1 1 2 2
Βαθμωτός Πολλαπλασιασμός Αριθμού με Πίνακα Mm n F F Αν και τότε a a Ιδιότητες ( B) B ( 1) Αντιμεταθετική Ιδιότητα Επιμεριστική Ιδιότητα Προσεταιριστική Ιδιότητα Επιμεριστική Ιδιότητα Αντίθετος πίνακας
Γινόμενο Πινάκων Mm k F Αν και τότε B F F Mk n C B M m n Πρέπει το πλήθος των στηλών του πρώτου πίνακα να ταυτίζεται με το πλήθος των γραμμών του δεύτερου k c a b a b a b... a b, i, j is sj i1 1j i2 2 j ik kj s1 Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων i γραμμής και j στήλης 1, 2,, c a a a i i ik b1 j b2 j b kj
Γραμμικός Συνδυασμός στοιχείων ενός συνόλου Είναι μία έκφραση, η οποία κατασκευάζεται από ένα σύνολο όρων (συνήθως διανυσμάτων) πολλαπλασιάζοντας κάθε όρο με μία σταθερά (συνήθως πραγματικού αριθμού) και αθροίζοντας τα γινόμενα: cv 1 1 cv 2 2... cv n n π.χ. 2 3b c 6 2B όπου, bc, όπου B, ( ) n Mm n 3 f ( x) 5 g( x) όπου f, g:
Γινόμενο πινάκων ΑΒ ως γραμμικός συνδυασμός των γραμμών του Β Η i γραμμή του γινομένου δύο πινάκων Α, Β ισούται με το γραμμικό συνδυασμό των γραμμών του Β με συντελεστές τις συνιστώσες της i γραμμής του Α mk a a... a a a... a............ a a... a 11 12 1k 21 22 2k m1 m2 mk B kn b11 b12... b1 n R1 b21 b22... b 2n R 2............... bk1 bk2... bkn Rk C mn a11r1 a12r2... a1 krk a21r1 a22r2... a2kr k B... am 1R1am2R2... amkrk
Γινόμενο πινάκων ΑΒ ως γραμμικός συνδυασμός των στηλών του Α Η j στήλη του γινομένου δύο πινάκων Α, Β ισούται με το γραμμικό συνδυασμό των στηλών του Α με συντελεστές τις συνιστώσες της j στήλης του Β a11 a12... a1 k a a... a............ am1 am2... amk 21 22 2k m k C1 C2... Ck B kn b11 b12... b1 n b21 b22... b 2n............ bk1 bk2... bkn C B b C b C... b C b C b C... b C mn 11 1 21 2 k1 k 1n 1 2n 2 kn k
Παραδείγματα Πολλαπλασιασμού Πινάκων Πίνακα με Πίνακα Στήλη (Διάνυσμα) 2 1 3 33 5 2 1 4 7 6 x31 2 8 1 c 31 483 1 x 10 16 1 5 8566 42 Το ίδιο μπορεί να γραφεί και σαν γραμμικός συνδυασμός των στηλών του Α c 31 2 1 3 1 x2 5 8 2 1 1 5 4 7 6 42
Παραδείγματα Πολλαπλασιασμού Πινάκων Πίνακα Γραμμή με Πίνακα Στήλη (Διάνυσμα) a13 2 4 3 31 b 3 2 5 c 11 ab 6 8 15 17 Σε αυτή την περίπτωση μπορούμε να πούμε ότι το αποτέλεσμα είναι ο αριθμός 17 (αντί ένας πίνακας 1x1 με στοιχείο το 17) Πίνακα Στήλη (Διάνυσμα) με Πίνακα Γραμμή a31 3 2 5 b 13 2 4 3 c 33 6 12 9 ab 4 8 6 10 20 15
Παραδείγματα Πολλαπλασιασμού Πινάκων 3 2 1 2 3 4 0 2 4 2 5 1 B3 4 1 3 2 0 4 1 0 2 C 24 12 2 4 6 6 1 15 4 0 3 0 2 18 13 19 5 B 1608 802 2000 404 24 10 20 8 Μπορούμε να εκφράσουμε την κάθε γραμμή του C ως γραμμικό συνδυασμό των γραμμών του Β. Για παράδειγμα για τη 2 η γραμμή θα έχουμε: 24 10 20 8 44 2 5 1 01 3 2 0 24 1 0 2 1608 802 2000 402 Επίσης μπορούμε να εκφράσουμε την κάθε στήλη του C ως γραμμικό συνδυασμό των στηλών του Α. Για παράδειγμα για τη 3 η στήλη θα έχουμε: 19 3 2 1 15 4 0 5 2 0 20 4 0 2 20 0 0
Ιδιότητες Πολλαπλασιασμού Πινάκων Έστω οι B B ( C) B C ( BC) BC ( B) B B ( B) n, BC, B B I I OOO n Τετράγωνοι, τότε Δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα (Εν γένει) Επιμεριστική ιδιότητα Επιμεριστική ιδιότητα Mm n F Αν τότε οι πίνακες και είναι συμμετρικοί
Δύναμη Τετράγωνου Πίνακα Προσοχή: k k k B B B B B k k 2 2 2 2 2 B BBB 2BB k Ισχύει ο Διωνυμικός Τύπος n n n n n nk n In I n1 nk 1 1 n n! ό k k!( n k)! I 2I π.χ. 2 2 2 2 n, Για Διαγώνιους πίνακες diag( a, a,, a n ) k k k k 1 2
Αντίστροφος Τετράγωνου Πίνακα Δεν υπάρχει πάντοτε, αλλά αν υπάρχει είναι μοναδικός Ένας πίνακας που δεν έχει αντίστροφο, ονομάζεται ιδιάζων ή ιδιόμορφος. Ιδιότητες 1 1 B 1 1 1 B 1 1 1 1 1 k 1 1 k, 0 C CB B 1 C ό C BC B (1/,1/,,1/ ) 1 diag a1 a2 an 1 1 I Δεξιός Αντίστροφος Αριστερός Αντίστροφος Ο Δεξιός ή ο Αριστερός αντίστροφος, ορίζονται και για μη τετράγωνους πίνακες. Αν υπάρχει ο Αριστερός Αντίστροφος ενός τετράγωνου πίνακα τότε υπάρχει και ο Δεξιός Αντίστροφός του και μάλιστα οι δύο Αντίστροφοι ταυτίζονται. Το ίδιο ισχύει και για τον Δεξιό Αντίστροφο Αν ο Α διαγώνιος