Κεφ. : Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. Επίλυση εξισώσεων. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους.. Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jorda.. Παραγοντοποίηση LU (ειδικές περιπτώσεις: Cholesky, Thomas).. Νόρμες πινάκων, δείκτης κατάστασης πίνακα, ασταθή συστήματα,. Επίλυση συστημάτων με επαναληπτικές μεθόδους.. Μέθοδος Jacob.. Μέθοδος Gauss-Sedel.. Σύγκριση επαναληπτικών μεθόδων και ορισμός φασματικής ακτίνας.4 Μέθοδος Newto-Raphso
. Επίλυση εξισώσεων Παραδείγματα προβλημάτων θερμοδυναμικής, στατικής, μηχανικής, ρευστών, κτλ., που απαιτείται ο υπολογισμός των ριζών αλγεβρικών εξισώσεων: Η καταστατική εξίσωση των Beatte και Brdgma δίδεται από την σχέση RT P 4 V V V V όπου τα β, γ, δ είναι γνωστές συναρτήσεις της θερμοκρασίας. Να βρεθεί ο όγκος του αερίου σε γνωστές τιμές της πίεση και θερμοκρασίας ή η θερμοκρασία του αερίου σε γνωστές τιμές της πίεσης και του όγκου. Η εξίσωση που περιγράφει την παραμόρφωση μιας ελαστικής δοκού που παραλαμβάνει ένα γραμμικά μεταβαλλόμενο φορτίο είναι w0 5 4 y ( L L ) 0EIL Να βρεθεί το σημείο της μέγιστης παραμόρφωσης και στη συνέχεια η τιμή της (Ε=50.000kN/cm, I=0.000cm 4, L=450cm, w 0 =,75kN/cm).
Η συγκέντρωση του οξυγόνου σε ένα ποτάμι κατάντη του σημείου εξόδου αστικών λυμάτων δίδεται από την σχέση 0. 075. c 0 0(e e ) όπου η απόσταση από το σημείο εξόδου. Να προσδιοριστεί σε ποια απόσταση η συγκέντρωση του οξυγόνου είναι c=5. Στη μηχανική ρευστών ο συντελεστής τριβής δίδεται από τη εξίσωση 087. lre 08. Υπολογίστε τον συντελεστή τριβής για Re=00.000. Η παρακάτω εξίσωση εφαρμόζεται στον υπολογισμό της ειδικής θερμότητας του αέρα. Να βρεθεί η θερμοκρασία που αντιστοιχεί σε c p =.kj/(kgk). 4 8 4 4 c 0. 9940. 67* 0 *T 9. 75* 0 *T 9. 588* 0 *T. 950* 0 *T p
.. Μέθοδος διχοτόμησης και γραμμικής παρεμβολής Ζητείται η ρίζα της εξίσωσης 0 Αλγόριθμος: Ορίζεται σημείο Εάν 0 Εάν 0 στο διάστημα. / με τότε αντικαθίσταται το τότε αντικαθίσταται το με και το παλιό 4 / με 4 / Με τον τρόπο αυτό το διάστημα που βρίσκεται η ρίζα διχοτομείται συνεχώς. Αφού η ρίζα είναι στο διάστημα, το μέγιστο αρχικό λάθος είναι /και μετά από διχοτομήσεις θα είναι /. Αντίστοιχη είναι και η μέθοδος της γραμμικής παρεμβολής με μόνη διαφορά ότι η νέα τιμή προκύπτει από τη σχέση:
Παράδειγμα: Να βρεθεί η ρίζα της εξίσωσης cos cosh 0 στο διάστημα.6, L R M L.6.0.8 0.947-0.5656 0.940.8.0.9 0.940-0.5656-0.049.8.9.85 0.940-0.049 0.00.85.9.875 0.00-0.049 0.0004.875.9.8875 0.0004-0.049-0.058.875.8875.88 0.0004-0.058-0.055.875.8754.875 0.0004-0.00-0.0004 R M
.. Μέθοδος απλών αντικαταστάσεων Η αρχική εξίσωση 0 γράφεται στη μορφή F Στη συνέχεια εφαρμόζεται η επαναληπτική διαδικασία. F Η επαναληπτική διαδικασία τερματίζεται όταν ή Σύγκλιση: Έστω η αναλυτική λύση και η αριθμητική λύση και το σφάλμα. Επιλύουμε ως προς και αντικαθιστούμε στον επαναληπτικό αλγόριθμο: df df F F d d df Η μέθοδος συγκλίνει εάν d
Παραδείγματα:.88.9 0.9.88 F, F.88 6 Αριθμός επανάληψης F F 0.500 0.66-0.600 0.66 0.559-0.685 0.559 0.66-0.6 4 0.66 0.58-0.665 5 0.58 0.6-0.69 6 0.6 0.59 7 0.59 0.60
.88.84 0, Αναλυτική λύση:.497 F.84.88, F.88 6 Αριθμός επανάληψης F F.500.4997 0.9659.4997.4995 0.965.4995.499......495.495 0.9555.495.495 0.955.495.4950 0.955
.. Μέθοδος Newto Έστω η αναλυτική λύση και η αριθμητική λύση και το σφάλμα. d 0 0 0 d Γεωμετρική ερμηνεία:
Σύγκλιση: Έστω η αναλυτική λύση και η αριθμητική λύση και το σφάλμα. Αλγόριθμος: Ανάπτυγμα Taylor: 0 0 d d d 0 d d d Αντικαθιστούμε την τελευταία σχέση στον αριθμητή της προηγούμενης:
Η μέθοδος συγκλίνει εάν Απλοποιημένη Newto:, Αλγόριθμος ης τάξης:,
Παράδειγμα:, 0, Αναλυτική λύση: Μέθοδος Newto Μέθοδος απλών επαναλήψεων 0.75. 0.. 0..008 0.008 0.0.076 0.076 0.075.000068 0.000068 0.000069.0545 0.0545 0.055 4.000000.0405 0.0405 0.0409.. 9.0070 0.0070 0.005 0.005 0.005 Απλές επαναλήψεις:, F / F F 0.75
Μέθοδος Newto για πολλαπλές ρίζες: Είναι προφανές ότι στη περίπτωση πολλαπλών ριζών η μέθοδος Newto αστοχεί ή στη καλύτερη περίπτωση η σύγκλιση είναι αντίστοιχη με αυτή των γραμμικών μεθόδων (καθώς πλησιάζουμε τη ρίζα όχι μόνο το αλλά και το τείνουν στο μηδέν. Απόδειξη: Έχει αποδειχθεί ότι η εξέλιξη του σφάλματος στη μέθοδο Newto δίδεται από την σχέση: Αν η ρίζα είναι πολλαπλότητας τότε 0 0 Η τελευταία σχέση αντικαθίσταται στη γενική έκφραση και προκύπτει ότι:
Επομένως εφαρμόζονται οι παρακάτω δύο εναλλακτικοί αλγόριθμοι ώστε η σύγκλιση να παραμείνει τετραγωνική. Α) Έστω u και u Σημειώνεται ότι οι ρίζες της συνάρτησης u είναι οι ίδιες με αυτές της αρχικής συνάρτησης. u u
Παράδειγμα (Chapra & Caale, σελ. 65): 5 7 0 Μέθοδος Newto Μέθοδος Newto για πολλαπλές ρίζες (%) (%) 0 0 00 0 00 0.486 57.056 0.6857.0008 0. 0.89 7.00000 0.0004 4 0.9 8.7 5 0.9558 4.4 6 0.9777.
Β) Έστω ότι αναζητείται ρίζα πολλαπλότητας : 0 0 0 0 0 0 0 0 Γενική περίπτωση ρίζας πολλαπλότητας m: m
. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους Εξετάζονται συστήματα όπου ο αριθμός των εξισώσεων ισούται με τον αριθμό των αγνώστων. Οι απευθείας μέθοδοι εφαρμόζονται μόνο σε γραμμικά συστήματα της μορφής A b ή a a... a b a a... a b... aa... a b... a a... a b ή a j j b,,,..., j Ο αριθμός των πράξεων που απαιτούνται για την επίλυση του συστήματος με τις απευθείας μεθόδους είναι τάξης O ]. [
Το σύστημα A b έχει λύση εάν ο πίνακας A είναι αντιστρέψιμος (ή εάν det A 0). Το σύστημα A 0 έχει μη μηδενική λύση εάν ο πίνακας A είναι μη αντιστρέψιμος (ή det A 0). εάν Οι ιδιοτιμές ή χαρακτηριστικές τιμές ενός πίνακα A προκύπτουν επιλύοντας συστήματα όπως το σύστημα A ή A I 0, όπου είναι το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα ή χαρακτηριστικό διάνυσμα. Το σύστημα αυτό έχει μη μηδενική λύση μόνο όταν χαρακτηριστική εξίσωση c c c 0... 0 από την οποία προκύπτουν οι ιδιοτιμές,,...,. Φασματική ακτίνα πίνακα A: ma A,,,...,. det A I 0 που οδηγεί στην
Επίλυση του συστήματος A b με τον κανόνα του Cramer: A A,,,..., όπου A a a... a a a... a............ a a... a............ a a... a A a a... b... a a a... b... a.................. a a... b... a.................. a a... b... a (η στήλη αντικαθίσταται με το διάνυσμα b) Πλεονέκτημα: Η λύση είναι σε κλειστή μορφή Μειονέκτημα: Ο αριθμός πράξεων για σύστημα εξισώσεων είναι O!. 6 Για σύστημα 0 εξισώσεων ο αριθμός πράξεων είναι 0 O.
.. Απαλοιφές (elmato) Gauss και Gauss-Jorda Κύρια χαρακτηριστικά απαλοιφής Gauss: Α) Αντικατάσταση κάθε στοιχείου της διαγωνίου με μονάδα Β) Αντικατάσταση κάθε στοιχείου κάτω από τη διαγώνιο με μηδέν Γ) Αντικατάσταση όλων των άλλων στοιχείων με τις τιμές που προκύπτουν από τα παραπάνω βήματα χωρίς να αλλοιώνεται το αρχικό σύστημα. Κύρια χαρακτηριστικά απαλοιφής Gauss-Jorda: Δ) Αντικατάσταση κάθε στοιχείου πάνω από τη διαγώνιο με μηδέν εκτός της στήλης Ε) Αντικατάσταση κάθε στοιχείου της στήλης με τις τιμές που προκύπτουν από τα παραπάνω βήματα χωρίς να αλλοιώνεται το αρχικό σύστημα Αριθμός πράξεων απαλοιφής Gauss: 5 5 προσθαφαιρέσεις, πολλαπλασιασμούς, διαιρέσεις 6 6 Αριθμός πράξεων απαλοιφής Gauss-Jorda: προσθαφαιρέσεις, πολλαπλασιασμούς, διαιρέσεις
Παράδειγμα: Απαλοιφή Gauss με μερική οδήγηση 0 7 5 0 0 0.4 0.4 r r r r/5 r r r 5 0 0 7 0 7 0 0.4 0.4 0 0.4 0.4 0 0.4 0.4 0 0.6.6 r r 0 7 r r / ( ) 0. 0.66 0-7 0 0.6.6 0 0.6.6 0 0.4 0.4 0 0.4 0.4 r r r 0. 0.66 r r / 4.06 0. 0.66 0 0 4.06.9 0 0 0.968 0.4 0.4 0.66. 0.787.590 0.968 0.968
Παράδειγμα: Να λυθεί το σύστημα Α) Χωρίς οδήγηση: 0. 005 0. 5 με αριθμητική σημαντικών ψηφίων. 0. 005 0. 5 00 00 00 00 00 00 0 99 99 0 00 99 99 0495. 050., 00 000. 5 0 ΛΑΘΟΣ!! 00 Β) Με οδήγηση: 0005. 05. 0. 005 05. 0 0995. 0495. 0 0. 0. 50 05., 0. 5 05. ΣΩΣΤΟ σε σημαντικά ψηφία Η λύση με ακρίβεια 4 σημαντικών ψηφίων είναι 0505. και 0. 4975
Παράδειγμα (ολική οδήγηση): Επιλύστε το παρακάτω σύστημα με απαλοιφή Gauss ολικής οδήγησης και σχολιάστε την ακρίβεια του αποτελέσματος: 0. 00 0. 0. 0. 5 0. 7 066. 0. 66 0. 85 0. 6 0. 76 0. 477 0. 8 0. 6 0. 76 0. 477 0. 8 0. 00 0. 0. 0. 5 0. 7 066. 0. 66 0. 85 0. 66 0. 7 0. 66 0. 85 0. 6 0. 944 0. 40 0. 76 0. 6 0. 477 0. 8 0 0. 8 0. 0. 07 0 0. 056 0. 0. 4 0. 0. 00 0. 0. 5 0. 6 0. 944 0. 40 0. 944 0. 6 0. 40 0 0. 056 0. 0. 4 0 0. 0. 056 0. 4 0 0. 0. 8 0. 07 0. 944 0. 6 0. 40 0. 096 0 0. 40. 09 069. 0 0 0. 67 0. 67 0 0. 8 0. 0. 07
.. Παραγοντοποίηση (actorzato or decomposto) LU και Αλγόριθμος Thomas Ο πίνακας A παραγοντοποιείται σύμφωνα με τη σχέση ένας κάτω και ένας άνω τριγωνικός πίνακας αντίστοιχα. A LU όπου L και U είναι A b LU b Στη συνέχεια ορίζεται ένα νέο διάνυσμα y έτσι ώστε παραπάνω σύστημα και προκύπτει Ly b. U y που αντικαθίσταται στο Επιλύεται το κάτω τριγωνικό σύστημα και βρίσκεται το διάνυσμα y και στη συνέχεια επιλύεται το άνω τριγωνικό σύστημα U y και προκύπτει το διάνυσμα. Ο αριθμός πράξεων είναι ο ίδιος με αυτόν της απαλοιφής Gauss.
A LU a... a l 0 0 u...... u l l 0 0 0 u... u............ 0 0... 0 a... a l......... l 0 0 l lu lu... lu l lu l lu lu... lu lu l lu l lu lu l... lu lu lu...... l l u l l u lu l... lkuk l k
Γενικές εκφράσεις: Στοιχεία της στήλης του L: l a l u, j,,..., j j jk k k Στοιχεία της γραμμής του U : j j k kj l k u a l u, j,..., Μέθοδος Cholesky T Στη περίπτωση που ο πίνακας A είναι συμμετρικός ( A A ) και θετικά ορισμένος T (δηλαδή για τον οποίο ισχύει A 0 για κάθε R ) αποδεικνύεται, εφαρμόζοντας T T την παραγοντοποίηση LU, ότι ο πίνακας U=L και επομένως A LL Η ιδιότητα αυτή είναι σημαντική επειδή μειώνει δραστικά τον αναγκαίο αριθμό πράξεων. Ο συνολικός αριθμός πράξεων που απαιτούνται στη μέθοδο Cholesky είναι O.
Αλγόριθμος Thomas: Παραγοντοποίηση LU σε τριδιαγώνιο σύστημα A LU a 0 0 d 0 0 u 0... 0 a 0 0 l d 0 0 0 u... 0 0...... 0 0 0 0 0... 0 d 0 u 0 0 a 0... 0 l d 0 0 d du 0... 0 l lu d du... 0 0 l lu d...... d u 0 0 l lu d l d u a / d d a lu,,..., u / d
Έστω το τριδιαγώνιο σύστημα: a 0 0 a 0 0 0............... 0 0... 0 a Αλγόριθμος Thomas: e a, e a,,..., e g g, g,,..., e e g, g,,...,, e Ο συνολικός αριθμός πράξεων που απαιτούνται στον αλγόριθμο Thomas είναι O.
4 0 u 000 Παράδειγμα: Να επιλυθεί το σύστημα 4 u 0 με αλγόριθμο Thomas. 0 4 u 000 Αλγόριθμος Thomas: e g a, 4 000 e 500, e 4 g 57.4, a 4.75, e 4 e 4.7 a e.75 0 500 g g., e.75 g 000. g 57.4 e.7 g 57.4 57.4 85.7, e.75 g 500 85.7 57.4 e 4
.. Νόρμες πινάκων, δείκτης κατάστασης πίνακα, ασταθή συστήματα Νόρμες διανυσμάτων: p / : νόρμα l ή Ευκλείδεια : νόρμα l ή αθροίσματος ma : νόρμα l or μεγίστου / p p : νόρμα l p ή γενική p, Για κάθε νόρμα διανύσματος μπορούμε να ορίσουμε την αντίστοιχη νόρμα πίνακα.
Νόρμες πινάκων ορισμός: A ma 0 R A Νόρμα αθροίσματος γραμμών: A 0 R ' A ma ma j a j Νόρμα αθροίσματος στηλών: A ' A ma ma 0 j R a j T Ευκλείδεια νόρμα: A AA /
Δείκτης κατάστασης Εξετάζεται η ευστάθεια του συστήματος A b, ( A R και είναι αντιστρέψιμος, όταν εισάγονται στο διάνυσμα b, διαταραχές δb R. Τότε εάν είναι η λύση του συστήματος ισχύει ότι Aδ A A bδb A b δ A δb δ A δb δ A δb b R ) b A b A b A Συνδυάζοντας τις δύο ανισότητες προκύπτει ότι δ b A A δb δ A A δb b που αποτελεί μέτρηση του άνω φράγματος της αλλαγής στη λύση που επιφέρει η εξωτερικά επιβαλλόμενης διαταραχής δb.
b b Δείκτης κατάστασης πίνακα A: KA A A Σημειώνεται ότι K A Απόδειξη: K A A A AA I Εάν K A είναι κοντά στη μονάδα τότε ο πίνακας A είναι σε καλή κατάσταση. Εάν K A τότε είναι ο πίνακας A σε κακή κατάσταση. Ο δείκτης κατάστασης ορίζεται μόνο για αντιστρέψιμους πίνακες και εάν ο πίνακας K A τείνει να είναι ιδιόμορφος τότε.
. Επίλυση συστημάτων με απλές επαναληπτικές μεθόδους A b A Q Q b Q Q A b Q Q A Q b G k, όπου G Q Q A I Q A και k Q b Απλός επαναληπτικός αλγόριθμος: G k, όπου G ο πίνακας επανάληψης. Έστω σ σ G σ k Gσ G k σ Gσ Εύκολα αποδεικνύεται ότι 0 σ Gσ G σ... G σ, όπου 0 σ το αρχικό σφάλμα. Επομένως lmσ 0 εάν lmg 0 το οποίο ισχύει εάν η φασματική ακτίνα του πίνακα επανάληψης G είναι μικρότερη της μονάδας, δηλαδή G
Για την εφαρμογή των μεθόδων Jacob και Gauss-Sedel διασπούμε τον αρχικό πίνακα συντελεστών του συστήματος ως εξής: A DLU, όπου a... a A........., a... a 0 0... 0 a 0 0... 0 L... 0 0 0,... 0 0 a...... a, 0 D U a 0... 0 0 a 0... 0... 0... 0 a, 0 0... 0 a 0 a...... a 0 0 a... a 0 0 0 0 0 a,
.. Μέθοδος Jacob A b D L U b D L U b D L U D b D AD D b D DA D b I D A D b Επομένως ο επαναληπτικός αλγόριθμος Jacob δίδεται από τη σχέση: G k, όπου J J GJ I D A και k J D b Η μέθοδος συγκλίνει εάν G Είναι προφανές ότι στη μέθοδο Jacob J Q D
Γράφοντας το σύστημα A b στη μορφή abaa... a a... a a b,,...,,,,, j j j j ο επαναληπτικός αλγόριθμος Jacob δίδεται από τη σχέση: ajj b a j j Παράδειγμα: 4 4 6 4 4 4 6 4 4 4 4 4 4 6 4 4 4
0 0 0 4 4 4 6 4 4 4 4 5 4 4 4 4 6 5 6 5 4 4 4 0.875.97.07... Η επαναληπτική διαδικασία ολοκληρώνεται (τερματίζεται) όταν,,..., ή Η μέθοδος εφαρμόζεται χωρίς να εισάγουμε τα δεδομένα σε πινακοποιημένη μορφή!
.. Μέθοδος Gauss-Sedel Γράφοντας το σύστημα A b στη μορφή abaa... a a... a b a a,,, j j j j j j ο επαναληπτικός αλγόριθμος Gauss-Sedel δίδεται από τη σχέση: a a a b j j j j j j Παράδειγμα: 4 4 6 4 4 4 6 4 4 4, 4 4 4 6 4 4 4
0 0 0 4 4 4 5 6 5 9 4 4 4 8 9 5 64 78 56 0.9990.995.996... Jacob (από παραπάνω): 0 0 0 4 4 4 6 4 4 4 4 5 4 4 4 4 6 5 6 5 4 4 4 0.875.97.07...
Πίνακας επανάληψης G GS της μεθόδου Gauss-Sedel: A b D L U b D L U b D L U D L b DL U DL b DL ADL DL b DL DL A DL b I DL A DL b Επομένως ο επαναληπτικός αλγόριθμος Gauss-Sedel δίδεται από τη σχέση: G k, όπου GS GS G Η μέθοδος συγκλίνει εάν G I D L A και Είναι προφανές ότι στη μέθοδο Gauss-Sedel Q DL GS GS k D L b GS
.4 Μέθοδος Newto Γενική μορφή συστήματος αλγεβρικών εξισώσεων (μη γραμμικά συστήματα):,,..., 0,,..., 0...,,..., 0 Μέθοδοι απλών επαναλήψεων (η μαθηματική επεξεργασία σύγκλισης δεν είναι εφικτή):... k k k k k,,,..., F k k k k k,,,..., F k k k k k,,...,, F ή... k k k k k,,,..., F k k k k k,,,..., F k k k k k,,...,, F
Τις περισσότερες φορές η σύγκλιση των μεθόδων απλών επαναλήψεων όταν εφαρμόζονται σε μη γραμμικά συστήματα είναι αργή Για το λόγο αυτό μη γραμμικά συστήματα επιλύονται κατά κύριο λόγο με τη μέθοδο Newto ή Newto-Raphso. Εισαγωγικά εξετάζεται ένα σύστημα εξισώσεων με αγνώστους:, 0, 0 Έστω ότι, είναι οι αναλυτικές λύσεις με, συμβολίζονται οι αντίστοιχες αριθμητικές μετά από k επαναλήψεις με τα σφάλματα να ορίζονται από τις σχέσεις k k k k και. k k k k k k k k, 0, 0 k k k k,, k k k k, 0 k k k k, 0 k k k k k k,,
k k k k, k, k k, k k k k k, k, k k, k ή k k k k k k, k k, Επιλύοντας το γραμμικό σύστημα με απευθείας ή επαναληπτικές μεθόδους προκύπτουν τα και. Στη συγκεκριμένη περίπτωση εφαρμόζεται η μέθοδος Cramer: k k k, k k k, k k, k k k k k, k k k, k k, k k
Στη συνέχεια εισάγονται οι ορισμοί των σφαλμάτων και προκύπτει ο επαναληπτικός αλγόριθμος Newto για σύστημα εξισώσεων: k k k και k k k Σημειώνεται ότι σε κάθε επανάληψη απαιτείται η επίλυση ενός γραμμικού συστήματος!!! Απλοποιημένη Newto: k k k και k k k
Παράδειγμα:, s 0 4 e, e e e 0 4 cos cos 4 e e e
Το σύστημα που επιλύεται σε κάθε επανάληψη είναι k k k k και οι νέες τιμές προκύπτουν από τις σχέσεις Πίνακας αποτελεσμάτων k k k, k k k k k k k k k 0 0.400.000 0.07-0.04 0.045-0.007 -.4 0.865 0.8.49-0.4.75-0.66.74 0.8-0.6-4.66 0.865-0.86.08-0.45 0.7-0.05 0.00-0.9-0.00-4. 0.865 0.06 0.4-0.6 0.69 0.0009 0.000-0.95-0.08-4.5 0.865-0.0007-0.00 4-0.60 0.6 0.0000 0.0000-0.9-0.08-4.4 0.865 0.0000 0.000 5-0.60 0.6 0.0000 0.0000 Σημείωση: οι συναρτήσεις και οι μερικές παράγωγοι υπολογίζονται στα σημεία k k k k k και k k.
Παράδειγμα: Να βρεθούν µε τη μέθοδο Newto οι ρίζες της εξίσωσης z z 0 Έστω z y 05. και y 0. 86605 0 y y 0 y y y Αριθμητική λύση με μέθοδο Newto: επιλύεται το σύστημα y y y Το σύστημα που επιλύεται σε κάθε επανάληψη είναι 0 y y y 0 y k k y y y k y y k k k k, k k k y y
Πίνακας αποτελεσμάτων k y dd ddy dd ddy d dy err err 0-0.4 0. 00 5.5 0.6 0.8 0. 0.6 0. -.6.6 0. 0.07-6.5 0 7.6 0.49 0.86 0.0078-0.0-0.05 -.7.7-0.05 8 4 0.500 0.866 0.0000 985 0.0000 69 0.0000 797 -.7.7 0.0000 797 Επομένως z 05. 0866.. Βρείτε τη συζυγή ρίζα. - 0.0077 0.0000 98 Η μέθοδος Newto χρησιμοποιείται στην εύρεση μιγαδικών ριζών. -0.00446.6 0.6 0.0000 0.000 0.000
Επέκταση σε σύστημα εξισώσεων: k k k k k k,,..., 0 k k k k k k,,..., 0... k k k k k k,,..., 0... k k k k,,..., 0 k k k k,,..., 0,,..., 0 k k k k
Το γραμμικό σύστημα που επιλύεται σε κάθε επανάληψη είναι... k k k k k k και στη συνέχεια k k k,,..., k. Το υπολογιστικό φορτίο ανά επανάληψη είναι μεγάλο σε σχέση με άλλες μεθόδους αλλά συνήθως η μέθοδος Newto συγκλίνει σε μικρό αριθμό επαναλήψεων. Εναλλακτική (κλειστή) μορφή αλγορίθμου Newto για σύστημα εξισώσεων:
......,..., J,,...,.